Численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем
Целью работы является разработка способа численного интегрирования стационарных функций, инвариантного по отношению к начальным значениям. Применялись аналитический метод исследований, а также численные методы интегрирования и аппроксимации....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2013
|
| Назва видання: | Техническая механика |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88404 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем / Л.Г. Лапина // Техническая механика. — 2013. — № 3. — С. 57-62. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88404 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-884042025-02-09T20:47:41Z Численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем Лапина, Л.Г. Целью работы является разработка способа численного интегрирования стационарных функций, инвариантного по отношению к начальным значениям. Применялись аналитический метод исследований, а также численные методы интегрирования и аппроксимации. Метою роботи є розробка способу чисельного інтегрування стаціонарних функцій, інваріантного по відношенню до початкових значень. Застосовувалися аналітичний метод досліджень, а також чисельні методи інтегрування та апроксимації. The aim is to provide a method of numerical integration of the fixed functions invariant with respect to the initial values. Analytical method applied research, as well as numerical integration methods and approximations . 2013 Article Численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем / Л.Г. Лапина // Техническая механика. — 2013. — № 3. — С. 57-62. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88404 51-74:519.65 ru Техническая механика application/pdf Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Целью работы является разработка способа численного интегрирования стационарных функций, инвариантного по отношению к начальным значениям. Применялись аналитический метод исследований, а также численные методы интегрирования и аппроксимации. |
| format |
Article |
| author |
Лапина, Л.Г. |
| spellingShingle |
Лапина, Л.Г. Численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем Техническая механика |
| author_facet |
Лапина, Л.Г. |
| author_sort |
Лапина, Л.Г. |
| title |
Численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем |
| title_short |
Численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем |
| title_full |
Численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем |
| title_fullStr |
Численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем |
| title_full_unstemmed |
Численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем |
| title_sort |
численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| publishDate |
2013 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88404 |
| citation_txt |
Численное восстановление стационарной функции по значениям её производной для исследования движения механических систем / Л.Г. Лапина // Техническая механика. — 2013. — № 3. — С. 57-62. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
| series |
Техническая механика |
| work_keys_str_mv |
AT lapinalg čislennoevosstanovleniestacionarnoifunkciipoznačeniâmeeproizvodnoidlâissledovaniâdviženiâmehaničeskihsistem |
| first_indexed |
2025-11-30T15:58:01Z |
| last_indexed |
2025-11-30T15:58:01Z |
| _version_ |
1850231524322967552 |
| fulltext |
57
УДК 51-74:519.65
Л. Г. ЛАПИНА
ЧИСЛЕННОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ФУНКЦИИ ПО
ЗНАЧЕНИЯМ ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Целью работы является разработка способа численного интегрирования стационарных функций, ин-
вариантного по отношению к начальным значениям. Применялись аналитический метод исследований, а
также численные методы интегрирования и аппроксимации.
На основании анализа формул многократного интегрирования отмечено, что результаты интегриро-
вания стационарной функции содержат полиномиальный тренд, коэффициентами которого являются по-
стоянные интегрирования. Разработан способ определения этих постоянных, не зависящий от задаваемых
начальных значений искомой функции. Алгоритм численного решения описан для случая двукратного
интегрирования и удаления линейного тренда из полученных результатов. На примерах интегрирования
гармонической и случайной функций показана приемлемость этого алгоритма для расчетов. Отмечена
высокая точность получаемых результатов при интегрировании стационарных функций.
Предложенный способ может быть использован при решении многих технических задач, в которых
необходимо интегрировать сигналы, полученные в ходе эксперимента. В частности, могут быть определе-
ны скорость и перемещение заданных точек механической системы по результатам измерения их ускоре-
ний.
Метою роботи є розробка способу чисельного інтегрування стаціонарних функцій, інваріантного по
відношенню до початкових значень. Застосовувалися аналітичний метод досліджень, а також чисельні
методи інтегрування та апроксимації.
На підставі аналізу формул багаторазового інтегрування відзначено, що результати інтегрування
стаціонарної функції містять поліноміальний тренд, коефіцієнтами якого є постійні інтегрування. Розроб-
лено спосіб визначення цих постійних, який не залежить від заданих початкових значень шуканої функції.
Алгоритм чисельного розв’язання описаний для випадку дворазового інтегрування та видалення лінійного
тренду з отриманих результатів. На прикладах інтегрування гармонічної та випадкової функцій показано
прийнятність цього алгоритму для розрахунків. Відзначено високу точність результатів, що отримані при
інтегруванні стаціонарних функцій.
Запропонований спосіб може бути використаний при вирішенні багатьох технічних завдань, в яких
необхідно інтегрувати сигнали, отримані в ході експерименту. Зокрема, можуть бути визначені швидкість
і переміщення заданих точок механічної системи за результатами вимірювання їх прискорень.
The aim is to provide a method of numerical integration of the fixed functions invariant with respect to the
initial values. Analytical method applied research, as well as numerical integration methods and approximations .
Based on the analysis of multiple integration formulas noted that the results of the integration of stationary
functions include polynomial trend coefficients are constants of integration. A method of determining these con-
stants, independent of the start value of the desired function . Numerical algorithm is described for the case of
two-fold integration and removal of the linear trend of the results. The examples of the integration of the harmonic
and random functions shows the acceptability of this algorithm for the calculation. The high accuracy of the re-
sults in the integration of stationary functions.
The proposed method can be used in many technical applications where it is necessary to integrate the sig-
nals received during the experiment. In particular, it can be determined moving speed and the specified points of
the mechanical system by measuring its acceleration.
При решении многих технических задач возникает необходимость инте-
грирования сигналов, полученных в ходе эксперимента. Одним из примеров
задач такого типа является определение скорости и перемещения некоторых
точек механической системы по результатам измерения их ускорений. Полу-
чение однозначного решения осложняется тем обстоятельством, что в ре-
зультатах интегрирования присутствуют произвольные постоянные, вызыва-
ющие смещение вычисленных значений величин от истинных. Удалить это
смещение можно, задавая начальное значение искомой функции, однако на
практике в большинстве случаев оно заранее неизвестно. Целью данной ра-
боты является разработка способа численного определения постоянных инте-
грирования и однозначного восстановления стационарной функции (т. е. та-
кой, вероятностные характеристики которой не зависят от начала отсчета) и
Л. Г. Лапина, 2013
Техн. механика. – 2013. – № 3.
58
ее производных низших порядков по заданным значениям высшей производ-
ной, инвариантного по отношению к начальным значениям.
Теоретическое обоснование. Обозначим вторую производную искомой
стационарной функции через )(xf2 . Требование стационарности обусловле-
но тем, что нестационарная функция содержит некоторый тренд, который не
может быть восстановлен при интегрировании. При интегрировании )(xf2
имеем
)()()( xFCxfdxxf 1112 , (1)
где )(xf1 – первообразная функции )(xf2 , 1C – произвольная постоянная.
Результат повторного интегрирования функции )(xf2 с учетом соотно-
шения (1) запишется так:
)()()())(()( xFCxCxfdxCdxxfdxCxfdxxF 001011111 ,(2)
где )(xf0 – первообразная функции )(xf1 (искомая функция), 0C – произ-
вольная постоянная второго интегрирования.
Из формулы (2) видно, что результат двукратного интегрирования функ-
ции )(xf2 является суммой искомой функции )(xf0 и линейной зависимости
01 CxC , т. е. содержит линейный тренд, коэффициентами которого являют-
ся постоянные первого и второго интегрирования. Таким образом, задача
восстановления функции и ее первой производной по значениям второй про-
изводной может быть решена после определения коэффициентов линейного
тренда.
В общем случае, если известна производная m -го порядка искомой
функции, то результат ее m -кратного интегрирования содержит полиноми-
альный тренд порядка 1m
1
1
0
m
j
jj
x
j
C
CxC )( , (3)
а, значит, для восстановления функции )(xf0 необходимо найти коэффици-
енты этого тренда jC , 10 mj , .
Для определения коэффициентов полинома, присутствующего в функции
в виде тренда, можно воспользоваться подходом, предложенным в работе [1]
для удаления тренда из временных рядов. Этот подход заключается в ап-
проксимации имеющегося ряда значений полиномом заданной степени и вы-
числении его коэффициентов методом наименьших квадратов.
Алгоритм численного решения задачи двукратного интегрирования.
Пусть функция 2f задана таблично – значениями в точках ix , ni ,1 . Функ-
цию такого вида в дальнейшем будем называть рядом значений. Искомым
результатом однократного интегрирования функции )( ixf2 является ряд зна-
чений )( ixf1 , а двукратного – ряд )( ixf0 (см. формулы (1) и (2)). Во многих
технических приложениях аргументом исследуемых функций является вре-
59
мя, а в качестве функции 2f используется ускорение, функции 1f – скорость,
0f – перемещение некоторых заданных точек.
Численное интегрирование функции )( ixf2 может быть выполнено од-
ним из широко известных методов – прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Каждый из этих методов предполагает задание значения функции в началь-
ной точке 1x , которое определяет значения функции во всех последующих
точках ix , ni ,2 . Метод трапеций является оптимальным по соотношению
точности и простоты реализации. В случае, когда обрабатываются экспери-
ментальные данные, заданный ряд представляет собой кусочно-линейную
функцию, значит, погрешность интегрирования на шаге в этом методе равна
0, следовательно, и общая погрешность, определяемая суммированием по
всем шагам, также равна 0.
Выполнив последовательно два раза численное интегрирование функции
)( ixf2 , получим ряды значений )( ixF1 и )( ixF0 . Начальные значения )( 11 xF
и )( 10 xF выбираются произвольно. Для удаления линейного тренда из ряда
)( ixF0 его необходимо аппроксимировать прямой 01 CxC i , ni ,1 . Для
определения значений коэффициентов этой прямой 1C и 0C методом
наименьших квадратов удобно воспользоваться следующими формулами:
.
)(
,
)()(
n
xCxF
C
xxn
xFxxFxn
C
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
1
1
1
0
0
2
11
2
1
0
11
0
1
(4)
Искомые результаты одно- и двукратного численного интегрирования
функции )( ixf2 находятся путем удаления соответственно постоянного сме-
щения и линейного тренда из рядов )( ixF1 и )( ixF0 :
.)()(
,)()(
0100
111
CxCxFxf
CxFxf
iii
ii
(5)
Точность вычисления элементов рядов )( ixf1 и )( ixf0 определяется
точностями метода трапеций и метода наименьших квадратов.
Разработанный алгоритм представлен графически на рис. 1. Отметим,
что шаги 4 и 5 независимы друг от друга и могут выполняться в любой по-
следовательности.
60
Шаг 1.
Интегрирование
)( ixf2
)( ixF1
Шаг 2.
Интегрирование
)( ixF1
)( ixF0
Шаг 3.
Аппроксимация
)( ixF0 прямой
1C ,
0C
Шаг 4.
Удаление
линейного
тренда
)( ixf0
1C
Шаг 5.
Удаление
постоянного
смещения
)( ixf1
Рис. 1
Иллюстративные примеры. Рассмотрим применение предложенного
алгоритма на примерах.
1. Гармоническая функция. Пусть
)sin()( 25252 xxf . (6)
Для такой функции несложно получить аналитические выражения )(xf1
и )(xf0 , которые будут использованы для оценки результатов численного
решения:
)cos()( 2551 xxf , (7)
)sin()( 250 xxf . (8)
Ряд )( ixf2 был сформирован по формуле (6) для значений
)( 1 ixxi , 010,x , 5001,i . Результат интегрирования )( ixf2 ме-
тодом трапеций – функция )( ixF1 – показан на рис. 2 пунктирной линией.
-6
-3
0
3
6
9
0 2 4 x
F 1, f 1 , f 1r
Рис. 2
Результат интегрирования функции )( ixF1 – функция )( ixF0 – показан
пунктирной линией на рис. 3а. После удаления линейного тренда с коэффи-
циентами 1C = 2,0919 и 0C = –0,9634 был получен ряд )( ir xf0 , который явля-
61
ется решением задачи двукратного интегрирования функции )( ixf2 . Этот ряд
изображен на рис. 3а сплошной линией. Здесь же показан ряд )( ixf0 , элемен-
ты которого являются точным аналитическим решением решаемой задачи,
вычисленным по формуле (8). Отличие между значениями )( ir xf0 и )( ixf0
для каждого ix не превышают 6 % от максимального значения этих функ-
ций. Чтобы оценить степень близости графиков )( ir xf0 и )( ixf0 , на рис. 3б в
увеличенном масштабе показана область, в которой отличия между ними
наибольшие.
-2
0
2
4
6
8
10
0 2 4 x
F 0, f 0, f 0r
-1
0
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 x
f 0, f 0r
-2
0
2
4
6
8
10
0 2 4 x
-1
0
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 x
f 0, f 0r
а б
Рис. 3
Удалив постоянное смещение 1C из ряда )( ixF1 , получим ряд )( ir xf1 ,
который является решением задачи однократного интегрирования функции
)( ixf2 . Этот ряд показан на рис. 2 сплошной линией. Здесь же приведен ряд
)( ixf1 , элементы которого являются точным аналитическим решением дан-
ной задачи, вычисленным по формуле (7). Наибольшее отличие между зна-
чениями )( ir xf1 и )( ixf1 составляет 0,25 % от максимального значения этих
функций, и на графике данные линии практически совпадают.
Описанные результаты были получены при интегрировании с начальны-
ми значениями, равными 0. Задание других начальных значений приводит к
изменению значений )( ixF1 и )( ixF0 , ni ,1 , и, следовательно, коэффици-
ентов 1C и 0C . Искомые ряды )( ir xf1 и )( ir xf0 при этом не изменяются.
2. Случайная функция.
В качестве ряда )( ixf2 были взяты значения второй производной верти-
кальных неровностей одной из рельсовых нитей некоторого участка желез-
нодорожного пути длиной 800 м. На рис. 4 приведен фрагмент графика про-
цесса )( ir xf0 , полученного с помощью предлагаемого алгоритма, и реальной
неровности пути, известной априори (процесс )( ixf0 ). Наибольшее отличие
между значениями )( ir xf0 и )( ixf0 для каждого ix в данном примере со-
ставляет 3,5 % от максимального значения этих функций.
Таким образом, на примерах гармонического и случайного процессов
показана работоспособность предложенного алгоритма при двукратном чис-
ленном интегрировании.
62
-0,005
-0,0025
0
0,0025
0 5 10 15 20 25 x , м
f 0, f 0r , м
Рис. 4
Особенности применения алгоритма для функций различного вида.
Описанный подход к определению постоянных интегрирования, основанный
на удалении тренда с применением метода наименьших квадратов на всем
интервале интегрирования, не является универсальным. Он позволяет полу-
чить с высокой степенью точности решение задачи интегрирования для ста-
ционарных функций (гармонических, полигармонических, случайных), кото-
рые описывают многие физические процессы. В то же время, при интегриро-
вании нестационарных, в частности монотонных функций аппроксимация
функции )( ixF0 заданным полиномом для всех ix , ni ,1 не позволяет по-
лучить приемлемые оценки его коэффициентов. Определение постоянных
интегрирования для функций такого вида требует дополнительного примене-
ния некоторых специальных приемов.
Выводы. Предложен численный способ восстановления функции и ее
низших производных по значениям высшей производной. Данный способ
является инвариантным по отношению к начальным значениям и обеспечи-
вает высокую степень точности при интегрировании стационарных функций,
которые имеют широкое применение в технических приложениях.
Отнес Р. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы / Р. Отнес, Л. Эноксон. – М. : Мир,
1982. – 428 с.
Институт технической механики Получено 03.07.13,
НАН Украины и ГКА Украины, в окончательном варианте 03.0913
Днепропетровск
|