Функціонально-дискретний метод (FD-метод) розв’язування задачі Коші для нелінійного рівняння Клейна–Гордона
Запропоновано функцiонально-дискретний метод розв’язування задачi Кошi для нелiнiйного рiвняння Клейна–Гордона. Знайдено достатнi умови, якi забезпечують суперекспоненцiальну швидкiсть збiжностi методу. Одержанi теоретичнi результати проiлюстровано на числовому прикладi. Предложен функционально-диск...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88430 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Функціонально-дискретний метод (FD-метод) розв’язування задачі Коші для нелінійного рівняння Клейна–Гордона / В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов, Д.А. Сембер // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 10. — С. 33-39. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859555453186342912 |
|---|---|
| author | Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. Сембер, Д.А. |
| author_facet | Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. Сембер, Д.А. |
| citation_txt | Функціонально-дискретний метод (FD-метод) розв’язування задачі Коші для нелінійного рівняння Клейна–Гордона / В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов, Д.А. Сембер // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 10. — С. 33-39. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано функцiонально-дискретний метод розв’язування задачi Кошi для нелiнiйного рiвняння Клейна–Гордона. Знайдено достатнi умови, якi забезпечують суперекспоненцiальну швидкiсть збiжностi методу. Одержанi теоретичнi результати проiлюстровано на числовому прикладi.
Предложен функционально-дискретный метод решения задачи Коши для нелинейного уравнения Клейна–Гордона. Найдены достаточные условия, обеспечивающие суперэкспоненциальную скорость сходимости метода. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы на численном примере.
We propose a functional-discrete method for solving the Cauchy problem for a nonlinear Klein–Gordon equation. Sufficient conditions for the superexponential convergence of this method are
obtained. The obtained theoretical results are illustrated by a numerical example.
|
| first_indexed | 2025-11-26T11:39:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.6
Академiк НАН України В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов, Д.А. Сембер
Функцiонально-дискретний метод (FD-метод)
розв’язування задачi Кошi для нелiнiйного рiвняння
Клейна–Гордона
Запропоновано функцiонально-дискретний метод розв’язування задачi Кошi для нелiнiй-
ного рiвняння Клейна–Гордона. Знайдено достатнi умови, якi забезпечують суперекспо-
ненцiальну швидкiсть збiжностi методу. Одержанi теоретичнi результати проiлю-
стровано на числовому прикладi.
1. Про постановку задачi. Об’єктом розгляду даної роботи є задача Кошi для нелiнiйного
рiвняння Клейна–Гордона виду
∂2u(x, y)
∂y2
− ∂2u(x, y)
∂x2
− N(u(x, y)) = f(x, y), (1)
u(x, 0) = ϕ(x), uy(x, y)|y=0 = ψ(x), (2)
(x, y) ∈ Ω, де Ω = {(x, y) | −∞ < x < +∞, y > 0}.
Вiдомо, що рiвняння Клейна–Гордона, яке є релятивiстською версiєю рiвняння Шре-
дiнгера, має широкi застосування в сучаснiй фiзицi. Воно є моделлю, яка описує хвильо-
ву функцiю нейтрально зарядженої елементарної частинки [1]. В астрофiзицi, в поєднаннi
з рiвнянням Максвелла, рiвняння Клейна–Гордона описує мiнiмально зв’язане заряджене
поле бозона в сферично-симетричному просторi-часi [2]. Бiльш того, в поєднаннi з самим
рiвнянням Шредiнгера воно описує систему скалярних консервативних нуклонiв, якi пов’я-
занi взаємодiєю Юкави з нейтральними скалярними мезонами [3] i т. д.
Серед аналiтичних методiв розв’язування задачi Кошi (1), (2) можна видiлити, зокрема,
розширений tanh-метод [4], метод гомотопiй [5] та iн. Серед чисельних методiв розв’язува-
ння поставленої задачi можна видiлити, наприклад, групу скiнченнорiзницевих методiв [6]
та Рунге–Кутта Фур’є псевдоспектральнi схеми [7]. Запропонований у данiй роботi функцiо-
нально-дискретний метод (FD-метод), який походить з функцiонально-дискретного методу
розв’язування задачi Штурма–Лiувiлля [8], являє собою симбiоз скiнченнорiзницевого мето-
ду та методу гомотопiй, завдяки чому йому притаманнi основнi властивостi як аналiтичних,
так i дискретних методiв одночасно.
На вiдмiну вiд роботи [9], в якiй було розглянуто задачу Гурса для рiвняння (1), дана ро-
бота присвячена побудовi та обгрунтуванню FD-методу розв’язування задачi Кошi (1), (2).
Перш нiж перейти до опису алгоритму, сформулюємо вiдомий результат про локальне iсну-
вання розв’язку задачi (1), (2).
Позначимо через Ckb (Rm) пiдмножину простору Ck(Rm) неперервно диференцiйованих
на Rm до k-го порядку включно функцiй, якi задовольняють нерiвнiсть
∥f∥Ck
b (Rm)
def
= max
|α|6k
sup
x∈Rm
|∂αf(x)| <∞,
© В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов, Д.А. Сембер, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №10 33
Рис. 1
де α = (α1, . . . , αn), αi > 0, |α| = α1 + · · ·+ αn — мультиiндекс, а ∂αf(x) =
∂|α|f(x)
∂xα1
1 · · · ∂xαn
n
—
частинна похiдна порядку |α|. Можна показати, що лiнiйний простiр Ckb (Rm), оснащений
нормою ∥ · ∥Ck
b (Rm), є банаховим простором.
Має мiсце нижченаведена теорема, що є певним доповненням результатiв з [10], де роз-
глядається випадок f(x, y) ≡ 0.
Теорема 1 (про локальне iснування розв’язку задачi Кошi для квазiлiнiйного хвильо-
вого рiвняння). Нехай N(u) ∈ C2(R),ϕ(x) ∈ C2
b (R), ψ(x) ∈ C1
b (R), f(x, y) ∈ C1
b (Dε). Тодi
двiчi неперервно диференцiйований розв’язок u(x, y) задачi Кошi (1), (2) iснує принаймнi
на множинi Dε = {R × (0; ε)}, де
ε = min
{
1;
√
2
(
max
|u|6M1
∣∣N(u)∣∣)−1/2
;
√
2q1
(
max
|u|6M1
|N′(u)|
)−1/2}
,
M1 = ∥u1(x, y)∥C(R×[0,1]) + 1, 0 < q1 < 1, u1(x, y) — розв’язок задачi Кошi (1), (2) при
N(u) ≡ 0, i на цiй множинi вiн єдиний.
2. Опис алгоритму FD-методу. Нехай умови теореми 1 є виконаними i до того ж
N(u) ∈ C(∞)(R). Далi будемо розглядати задачу Кошi (1), (2) в деякiй областi D ⊆ Ω,
D = {(x, y) | 0 < y 6 YM , XM − (YM − y) < x < XM + (YM − y),−∞ < XM < +∞, YM >
> 0, YM < ε}, де стала ε визначається теоремою 1 (рис. 1).
Згiдно iз загальною схемою FD-методу, викладеною в [11], ми наближаємо точний розв’я-
зок u(x, y) задачi (1), (2) функцiєю m
u(x, y), яку можна подати у виглядi суми m
u(x, y) =
=
m∑
k=0
(k)
u (x, y), m ∈ N. Для визначення функцiй
(k)
u (x, y) введемо розбиття областi D (див.
рис. 1):
yj = y0 + jh, y0 = 0, h =
YM
N
, j = 1, 2, . . . , N (3)
та розглянемо таке узагальнення задачi Кошi (1), (2):
∂2u(x, y, τ)
∂y2
− ∂2u(x, y, τ)
∂x2
− N(u⊥(x, y, τ))− τ [N(u(x, y, τ))− N(u⊥(x, y, τ))] =
= f(x, y), (x, y, τ) ∈ Dτ , (4)
u(x, 0, τ) = ϕ(x), u′y(x, y, τ)
∣∣
y=0
= ψ(x), ∀x ∈ [XM − YM , XM + YM ], ∀ τ ∈ [0, 1],
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №10
(u(x, yj + 0, τ)− u(x, yj − 0, τ))
def≡ [u(x, y, τ)]y=yj = 0, (5)
[u′y(x, y, τ)]y=yj = 0, ∀x ∈ [XM − (YM − yj);XM + (YM − yj)], ∀ j ∈ 1, N − 1,
де
u(x, y, τ) ∈ C2(Dτ ), Dτ = {(x, y, τ)∈ [XM− (YM−y), XM+ (YM−y)]×(0, YM ]×[0, 1]},
u⊥(x, y, τ) ≡ u(x, yj , τ),
∀ (x, y, τ) ∈ [XM − (YM − y), XM + (YM − y)]× (yj , yj+1]× [0, 1], ∀ j ∈ 0, N − 1.
Нехай мають мiсце такi припущення:
a) розв’язок u(x, y, τ) задачi (4), (5) iснує для будь-якого τ ∈ [0, 1];
b) розв’язок u(x, y, τ) може бути знайдений у виглядi ряду
u(x, y, τ) =
∞∑
i=0
(i)
u (x, y)τ i, (6)
що задовольняє рiвностi
∂u(x, y, τ)
∂x
=
∞∑
i=0
∂
(i)
u (x, y)
∂x
τ i,
∂u(x, y, τ)
∂y
=
∞∑
i=0
∂
(i)
u (x, y)
∂y
τ i, ∀ (x, y, τ) ∈ Dτ ,
де
(i)
u (x, y) — незалежнi вiд τ функцiї. Враховуючи припущення a, b, ми приходимо до
висновку, що u(x, y) = u(x, y, 1)
def≡
(∞)
u (x, y), тобто розв’язок u(x, y) задачi Кошi (1), (2)
може бути з довiльною точнiстю знайдений за допомогою функцiї
(m)
u (x, y). Пiдставляючи
ряд (6) в задачу (4), (5) та прирiвнюючи функцiональнi коефiцiєнти при однакових сте-
пенях τ , одержуємо задачу Кошi вiдносно невiдомої функцiї
(0)
u (x, y), яку називатимемо
базовою задачею:
∂2
(0)
u (x, y)
∂y2
− ∂2
(0)
u (x, y)
∂x2
= f(x, y) + N(
(0)
u (x, yj−1)), (7)
(x, y) ∈ Dj = [XM − (YM − y);XM + (YM − y)]× (yj−1, yj ], j = 1, N,
(
(0)
u (x, yj + 0)−
(0)
u (x, yj − 0))
def≡ [
(0)
u (x, y)]y=yj = 0, (8)
[
(0)
u′ y(x, y)]y=yj = 0, ∀x ∈ [XM − (YM − yj−1);XM + (YM − yj−1)], ∀ j ∈ 1, N − 1,
(0)
u (x, 0) = ϕ(x),
(0)
u′ y(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ [XM − YM ;XM + YM ],
i рекурентну послiдовнiсть задач Кошi вiдносно функцiй
(k)
u (x, y), k = 1, 2, . . .:
∂2
(k)
u (x, y)
∂y2
− ∂2
(k)
u (x, y)
∂x2
= N′(
(0)
u ⊥(x, y))
(k)
u ⊥(x, y)− Fk(x, y), ∀ (x, y) ∈ D, (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №10 35
[
(k)
u (x, y)]y=yj = 0,
[
∂
(k)
u (x, y)
∂y
]
y=yj
= 0,
∀x ∈ [XM − (YM − yj−1);XM + (YM − yj−1)], ∀ j ∈ 1, N − 1, (10)
(k)
u (x, 0) = 0,
∂
(k)
u (x, y)
∂y
∣∣∣∣
y=0
= 0, x ∈ [XM − YM , XM + YM ], k = 1, 2, . . . ,
де
u⊥(x, y) = u(x, yj), ∀ (x, y) ∈ Dj+1, ∀ j ∈ 0, N − 1,
Fk(x, y) = Ak(N;
(0)
u ⊥(x, y);
(1)
u ⊥(x, y); . . . ;
(k−1)
u ⊥(x, y); 0) +
+Ak−1(N;
(0)
u (x, y);
(1)
u (x, y); . . . ;
(k−1)
u (x, y))−
−Ak−1(N;
(0)
u ⊥(x, y);
(1)
u ⊥(x, y); . . . ;
(k−1)
u ⊥(x, y)), (x, y) ∈ D, k = 1, 2, . . . .
Тут через An(N ; v0, v1, . . . , vn) позначено плiноми Адомяна n-го порядку для функцiї
N(·) [12].
Точний розв’язок
(0)
u (x, y) базової задачi (7), (8) та розв’язки
(k)
u (x, y), k = 1, 2, . . . , за-
дач (9), (10) можуть бути знайденi рекурентно за допомогою формули Д’Аламбера [13]:
(0)
u (x, y) =
1
2
(
(0)
u (x− (y − yj−1), yj−1) +
(0)
u (x+ (y − yj−1), yj−1)) +
+
1
2
x+(y−yj−1)∫
x−(y−yj−1)
∂
(0)
u (ξ, η)
∂η
∣∣∣∣
η=yj−1
dξ +
1
2
y∫
yj−1
x+(y−η)∫
x−(y−η)
[f(ξ, η)− N(
(0)
u (ξ, yj−1))]dξdη,
∀ (x, y) ∈ Dj , j = 1, N,
[
(0)
u (x, y)]y=yj−1 = 0,
[
∂
(0)
u (x, y)
∂y
]
y=yj−1
= 0,
∀x ∈ [XM − (YM − yj−1);XM + (YM − yj−1)], ∀ j = 1, N − 1,
(0)
u (x, 0) = ϕ(x),
∂
(0)
u (x, y)
∂y
∣∣∣∣
y=0
= ψ(x), ∀x ∈ [XM − YM ;XM + YM ],
(11)
(k)
u (x, y) =
1
2
(
(k)
u (x− (y − yj−1), yj−1) +
(k)
u (x+ (y − yj−1), yj−1))) +
+
1
2
x+(y−yj−1)∫
x−(y−yj−1)
∂
(k)
u (ξ, η)
∂η
∣∣∣∣
η=yj−1
dξ +
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №10
+
1
2
y∫
yj−1
x+(y−η)∫
x−(y−η)
[Fk(ξ, η)− N′(
(0)
u (ξ, yj−1))
(k)
u (ξ, yj−1)]dξdη,
∀ (x, y) ∈ Dj , j = 1, N, (12)
[
(k)
u (x, y)]y=yj−1 = 0,
[
∂
(k)
u (x, y)
∂y
]
y=yj−1
= 0,
∀x ∈ [XM − (YM − yj−1);XM + (YM − yj−1)], ∀ j = 1, N − 1,
(k)
u (x, 0) = 0,
∂
(k)
u (x, y)
∂y
∣∣∣∣
y=0
= 0, ∀x ∈ [XM − YM , XM + YM ].
Зауваження. Варто зазначити, що для знаходження розв’язку задачi Кошi (1), (2) у сму-
зi {(x, y)| − ∞ < x < +∞, 0 6 y 6 YM < ε} можна почергово використовувати алгоритм
FD-методу розв’язування задачi Кошi (11), (12) та алгоритм розв’язування задачi Гур-
са, запропонований в [9, 14]. Справдi, розв’язавши задачу Кошi в трикутниках D та D1
(див. рис. 1), ми одержимо початковi данi для задачi Гурса в квадратi D̃. Очевидно, що
розв’язок такої задачi Гурса в областi D̃ збiгається з розв’язком задачi Кошi (1), (2).
3. Збiжнiсть FD-методу. Мають мiсце такi теореми.
Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1 i u(x, y) та
(0)
u (x, y)1 розв’язки задач
(1), (2) та (7), (8) вiдповiдно. Тодi для достатньо малого h має мiсце оцiнка:
∥u(x, y)−
(0)
u (x, y)∥∞,D 6 hK1
∥∥∥∥∂u(x, y)∂y
∥∥∥∥
∞,D
,
де ∥u(x, y)−
(0)
u (x, y)∥∞,D = max
(x,y)∈D
|u(x, y)−
(0)
u (x, y)|, а стала K1 не залежить вiд h.
Згiдно з теоремою 2, розв’язок
(0)
u (x, y) базової задачi (7), (8) наближає розв’язок u(x, y)
вихiдної задачi (1), (2) з порядком h, де h— крок розбиття (3). Крiм того, оскiльки розв’язок
базової задачi при кожному фiксованому розбиттi областi D є єдиним, то з теореми 2, як
наслiдок, випливає той факт, що якщо задача (1), (2) має розв’язок u(x, y) ∈ C2(D), то
такий розв’язок також є єдиним. З iншого боку, теорема 2 показує, що початковi данi ϕ(x),
ψ(x), задачi на вiдрiзку [XM − YM , XM + YM ] єдиним чином визначають розв’язок u(x, y)
рiвняння (1) у характеристичному трикутнику D (на вiдмiну вiд лiнiйного випадку, коли
цей факт майже очевидний, для нелiнiйного випадку вiн потребує окремого обгрунтування
(див. [10])).
Теорема 3. Нехай для задачi Кошi (1), (2) виконуються умови N(u) ∈ C∞(R), ϕ(x) ∈
∈ C2
b (R), ψ(x) ∈ C1
b (R), f(x, y) ∈ C1
b (Dε). Тодi FD-метод (7)–(10) для задачi Кошi (1), (2)
збiгається до точного розв’язку задачi в областi D. Крiм того, мають мiсце такi оцiнки
абсолютної похибки методу:
∥u(x, y)−
(m)
u (x, y)∥1,∞,D 6 cR
(m+ 1)1+δ(R− h)
(
h
R
)m+1
, m ∈ N
∪
{0}, (13)
1Не виключається iснування глобального розв’язку.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №10 37
Таблиця 1. Похибка FD-методу як функцiя вiд рангу m i крокiв (h, hs)
m δ(1/10, 1/20,m) δ(1/20, 1/20,m) δ(1/40, 1/20,m)
0 0,00977558871568318 0,00524094907229677 0,00271614818564414
1 0,000153731145723108 4,67783385436921e−05 1,29434987624073e−05
2 2,51719986418198e−06 4,47542104721692e−07 6,72226472219799e−08
3 4,15126456317904e−08 4,37374882164099e−09 3,60268871604451e−10
4 1,45110161915889e−09 5,04676046259846e−11 1,83640086071974e−12
де ∥f(x, y)∥1,∞,D = max
{
∥f(x, y)∥∞,D,
∥∥∥∥∂f(x, y)∂y
∥∥∥∥
∞,D
,
∥∥∥∥∂f(x, y)∂x
∥∥∥∥
∞,D
}
, h — крок сiтки FD-
методу, h < R, а додатнi дiйснi сталi c, R, δ залежать лише вiд вхiдних даних задачi.2
Теорема 3 показує, що крок розбиття h завжди може бути вибраний таким чином, щоб
FD-метод розв’язування задачi Кошi (1), (2) в областi D збiгався з суперекспоненцiальною
швидкiстю, тобто швидше, нiж ряд, утворений членами геометричної прогресiї зi знамен-
ником q = h/R < 1.
4. Приклад. Розглянемо таку задачу Кошi:
∂2u(x, y)
∂y2
− ∂2u(x, y)
∂x2
+ u2(x, y) =
2y − 6x2y − y3
(1 + x2)3
, (x, y) ∈ D, (14)
u(x, 0) = 0, u′y(x, 0)| =
1
1 + x2
, x ∈ [−1, 1], (15)
де D = {(x, y) | 0 < y 6
√
2/3, y−
√
2/3 6 x 6
√
2/3− y}. Очевидно, що точним розв’язком
даної задачi є функцiя u∗(x, y) =
y
1 + x2
.
Застосовуючи до задачi (14), (15) описаний вище алгоритм FD-методу, апроксимува-
тимемо точний розв’язок цiєї задачi частинною сумою ряду (6), члени якого шукатимемо
згiдно з (11), (12) з використанням чисельних схем iнтегрування. Для оцiнки похибки ме-
тоду використовуватимемо функцiю δ(h, hs,m) = ∥
(m)
u (x, y, h, hs) − u∗(x, y)∥D, де h — крок
сiтки FD-методу, hs — крок квадратурної формули3, m — ранг FD-методу.
В табл. 1 наведено результати застосування FD-методу до задачi Кошi (14), (15) з кроком
дискретизацiї квадратурної формули hs = 1/20 та кроками дискретизацiї FD-методу h =
= 1/(10 · 2n), n = 0, 1, 2, якi пiдтверджують теоретичнi результати про експоненцiальну
швидкiсть збiжностi FD-методу.
Таким чином, у данiй роботi описано алгоритм FD-методу розв’язування задачi Кошi
для рiвняння Клейна–Гордона (1). Сформульовано теорему, в якiй наведено достатнi умови,
що забезпечують суперекспоненцiальну швидкiсть збiжностi методу i вказану в нiй оцiнку
похибки. Крiм того, сформульовано теорему про апроксимацiйнi властивостi задачi (7), (8),
розв’язок якої може бути знайдений за допомогою формули Д’Аламбера. Разом з тим варто
вiдзначити, що застосування FD-методу у виключно аналiтичному виглядi є досить пробле-
матичним навiть для простих функцiй N(u), f(x, y), ϕ(x), ψ(x). Це пов’язано, насамперед,
зi складнiстю аналiтичного обчислення iнтегралiв, що фiгурують у формулах (11), (12).
Отже, проблема розробки алгоритму FD-методу з використанням чисельних схем iнтегру-
вання є досить актуальною i буде розглянута в наступних публiкацiях.
2Детальнiше про походження сталої R див. [9].
3В даному прикладi для наближеного обчислення iнтегралiв використовувалась формула Сiмпсона.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №10
1. Li Y. Numerical studies of the Klein–Gordon–Schrödinger equations: A thesis submitted for the degree of
master of science. – Singapore: Nat. Univ. Singapore, 2006. – xii + 87 p. – http://www.math.nus.edu.sg/∼
bao/thesis/Yang-li.pdf.
2. Dariescu C., Dariescu M.A. Transition and regeneration rates in charged boson stars via perturbative
calculations // Int. J. Modern Phys. A. – 2005. – 20. – P. 2326–2330.
3. Fukuda I., Tsutsumi M. On coupled Klein–Gordon–Schrödinger equations II // J. Math. Anal. Appl. –
1978. – 66. – P. 358–378.
4. Malfiet W. The tanh method: a tool for solving certain classes of non-linear PDEs // Math. Methods Appl.
Sci. – 2005. – 28, No 17. – P. 2031. – 2035.
5. Alomari A.K., Noorani M. S., Nazar R.M. Aproximate analytical solutions of the Klein–Gordon equation
by means of the homotopy analysis method // J. Qual. Measur. and Anal. – 2008. – 4. – P. 45–57.
6. Berikelashvili G., Jokhadze O., Kharibegashvili S., Midodashvili B. Finite difference solition of a nonlinear
Klein–Gordon equation with an external source // Math. Comput. – 2011. – 80, No 274. – P. 847–862.
7. Kong L., Zhang J., Cao Y. et al. Semi-explicit symplectic partitioned Runge–Kutta Fourier pseudo-spectral
scheme for Klein–Gordon–Schrödinger equations // Comput. Phys. Commun. – 2010. – 181. – P. 1369–1377.
8. Макаров В.Л. Функционально-дискретный метод решения задачи Штурма–Лиувилля произвольного
порядка точности // Докл. АН СССР. – 1991. – 320, № 1. – С. 391–396.
9. Makarov V. L., Dragunov D.V., Sember D.A. FD-method for solving the nonlinear Klein–Gordon equa-
tion // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, No 10. – P. 1394–1415.
10. Strauss W.A. Nonlinear wave equation. CBMS Regional Conference Series in Math. Vol. 73. – Providence,
R.I.: Amer. Math. Soc., 1989. – 91 p.
11. Gavrilyuk I. P., Lazurchak I. I., Makarov V. L., Sytnyk D. A method with a controllable exponential
convergence rate for nonlinear differential operator equations // Comput. Methods Appl. Math. – 2009. –
9, No 1. – P. 63–78.
12. Seng V., Abbaoui K., Cherruault Y. Adomian’s polynomials for nonlinear operators // Math. Comput.
Modelling. – 1996. – 24, No 1. – P. 59–65.
13. Курант Р. Уравнения с частными производными. – Москва: Мир, 1964. – 830 с.
14. Макаров В.Л., Драгунов Д.В., Сембер Д.А. Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу
розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна–Гордона // Нелiн. коливання. – 2013. – 16, № 1. – С. 75–
89.
Надiйшло до редакцiї 27.03.2014Iнститут математики НАН України, Київ
Академик НАН Украины В.Л. Макаров, Д. В. Драгунов, Д. А. Сембер
Функционально-дискретный метод (FD-метод) решения задачи
Коши для нелинейного уравнения Клейна–Гордона
Предложен функционально-дискретный метод решения задачи Коши для нелинейного урав-
нения Клейна–Гордона. Найдены достаточные условия, обеспечивающие суперэкспонен-
циальную скорость сходимости метода. Полученные теоретические результаты проил-
люстрированы на численном примере.
Academician of the NAS of Ukraine V.L. Makarov, D. V. Dragunov, D.A. Sember
A functional discrete method (FD-method) for solving the Cauchy
problem for a nonlinear Klein–Gordon equation
We propose a functional-discrete method for solving the Cauchy problem for a nonlinear Klein–
Gordon equation. Sufficient conditions for the superexponential convergence of this method are
obtained. The obtained theoretical results are illustrated by a numerical example.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №10 39
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88430 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-26T11:39:17Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. Сембер, Д.А. 2015-11-14T15:45:59Z 2015-11-14T15:45:59Z 2014 Функціонально-дискретний метод (FD-метод) розв’язування задачі Коші для нелінійного рівняння Клейна–Гордона / В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов, Д.А. Сембер // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 10. — С. 33-39. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88430 519.6 Запропоновано функцiонально-дискретний метод розв’язування задачi Кошi для нелiнiйного рiвняння Клейна–Гордона. Знайдено достатнi умови, якi забезпечують суперекспоненцiальну швидкiсть збiжностi методу. Одержанi теоретичнi результати проiлюстровано на числовому прикладi. Предложен функционально-дискретный метод решения задачи Коши для нелинейного уравнения Клейна–Гордона. Найдены достаточные условия, обеспечивающие суперэкспоненциальную скорость сходимости метода. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы на численном примере. We propose a functional-discrete method for solving the Cauchy problem for a nonlinear Klein–Gordon equation. Sufficient conditions for the superexponential convergence of this method are obtained. The obtained theoretical results are illustrated by a numerical example. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Функціонально-дискретний метод (FD-метод) розв’язування задачі Коші для нелінійного рівняння Клейна–Гордона Функционально-дискретный метод (FD-метод) решения задачи Коши для нелинейного уравнения Клейна–Гордона A functional discrete method (FD-method) for solving the Cauchy problem for a nonlinear Klein–Gordon equation Article published earlier |
| spellingShingle | Функціонально-дискретний метод (FD-метод) розв’язування задачі Коші для нелінійного рівняння Клейна–Гордона Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. Сембер, Д.А. Математика |
| title | Функціонально-дискретний метод (FD-метод) розв’язування задачі Коші для нелінійного рівняння Клейна–Гордона |
| title_alt | Функционально-дискретный метод (FD-метод) решения задачи Коши для нелинейного уравнения Клейна–Гордона A functional discrete method (FD-method) for solving the Cauchy problem for a nonlinear Klein–Gordon equation |
| title_full | Функціонально-дискретний метод (FD-метод) розв’язування задачі Коші для нелінійного рівняння Клейна–Гордона |
| title_fullStr | Функціонально-дискретний метод (FD-метод) розв’язування задачі Коші для нелінійного рівняння Клейна–Гордона |
| title_full_unstemmed | Функціонально-дискретний метод (FD-метод) розв’язування задачі Коші для нелінійного рівняння Клейна–Гордона |
| title_short | Функціонально-дискретний метод (FD-метод) розв’язування задачі Коші для нелінійного рівняння Клейна–Гордона |
| title_sort | функціонально-дискретний метод (fd-метод) розв’язування задачі коші для нелінійного рівняння клейна–гордона |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88430 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl funkcíonalʹnodiskretniimetodfdmetodrozvâzuvannâzadačíkošídlânelíníinogorívnânnâkleinagordona AT dragunovdv funkcíonalʹnodiskretniimetodfdmetodrozvâzuvannâzadačíkošídlânelíníinogorívnânnâkleinagordona AT semberda funkcíonalʹnodiskretniimetodfdmetodrozvâzuvannâzadačíkošídlânelíníinogorívnânnâkleinagordona AT makarovvl funkcionalʹnodiskretnyimetodfdmetodrešeniâzadačikošidlânelineinogouravneniâkleinagordona AT dragunovdv funkcionalʹnodiskretnyimetodfdmetodrešeniâzadačikošidlânelineinogouravneniâkleinagordona AT semberda funkcionalʹnodiskretnyimetodfdmetodrešeniâzadačikošidlânelineinogouravneniâkleinagordona AT makarovvl afunctionaldiscretemethodfdmethodforsolvingthecauchyproblemforanonlinearkleingordonequation AT dragunovdv afunctionaldiscretemethodfdmethodforsolvingthecauchyproblemforanonlinearkleingordonequation AT semberda afunctionaldiscretemethodfdmethodforsolvingthecauchyproblemforanonlinearkleingordonequation |