Нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором
Розглянуто задачу нестацiонарного скруту напiвнескiнченного пружного стержня, що взаємодiє iз середовищем за моделлю в’язкопластичного тертя. Отримано точний аналiтичний розв’язок поставленої задачi для довiльного моменту часу вiд початку збурення. Проведено аналiз отриманих результатiв для зрушено...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88435 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором / I.П. Шацький, В.В. Перепiчка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 10. — С. 63-68. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88435 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шацький, І.П. Перепічка, В.В. 2015-11-14T15:50:00Z 2015-11-14T15:50:00Z 2014 Нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором / I.П. Шацький, В.В. Перепiчка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 10. — С. 63-68. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88435 534.1 Розглянуто задачу нестацiонарного скруту напiвнескiнченного пружного стержня, що взаємодiє iз середовищем за моделлю в’язкопластичного тертя. Отримано точний аналiтичний розв’язок поставленої задачi для довiльного моменту часу вiд початку збурення. Проведено аналiз отриманих результатiв для зрушеної частини стержня. Рассмотрена задача нестационарного кручения полубесконечного упругого стержня, взаимодействующего со средой посредством вязкопластического трения. Получено точное аналитическое решение поставленной задачи для произвольного момента времени от начала возмущения. Проведен анализ полученных результатов для сдвинутой части стержня. The problem of non-stationary twisting of a semiendless elastic rod interacting with the medium is considered, using the model of viscoplastic friction. An exact analytical solution of the problem is obtained for an arbitrary moment of time from the beginning of a perturbation. The analysis of the obtained results for the moved part of the rod is performed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором Нестационарное кручение упругого стержня с вязкопластическим внешним сопротивлением Non-stationary twisting of an elastic bar with viscoplastic external resistance Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором |
| spellingShingle |
Нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором Шацький, І.П. Перепічка, В.В. Механіка |
| title_short |
Нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором |
| title_full |
Нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором |
| title_fullStr |
Нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором |
| title_full_unstemmed |
Нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором |
| title_sort |
нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором |
| author |
Шацький, І.П. Перепічка, В.В. |
| author_facet |
Шацький, І.П. Перепічка, В.В. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2014 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Нестационарное кручение упругого стержня с вязкопластическим внешним сопротивлением Non-stationary twisting of an elastic bar with viscoplastic external resistance |
| description |
Розглянуто задачу нестацiонарного скруту напiвнескiнченного пружного стержня, що
взаємодiє iз середовищем за моделлю в’язкопластичного тертя. Отримано точний аналiтичний розв’язок поставленої задачi для довiльного моменту часу вiд початку збурення. Проведено аналiз отриманих результатiв для зрушеної частини стержня.
Рассмотрена задача нестационарного кручения полубесконечного упругого стержня, взаимодействующего со средой посредством вязкопластического трения. Получено точное аналитическое решение поставленной задачи для произвольного момента времени от начала
возмущения. Проведен анализ полученных результатов для сдвинутой части стержня.
The problem of non-stationary twisting of a semiendless elastic rod interacting with the medium
is considered, using the model of viscoplastic friction. An exact analytical solution of the problem
is obtained for an arbitrary moment of time from the beginning of a perturbation. The analysis of
the obtained results for the moved part of the rod is performed.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88435 |
| citation_txt |
Нестаціонарний скрут пружного стержня з в’язкопластичним зовнішнім опором / I.П. Шацький, В.В. Перепiчка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 10. — С. 63-68. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT šacʹkiiíp nestacíonarniiskrutpružnogosteržnâzvâzkoplastičnimzovníšnímoporom AT perepíčkavv nestacíonarniiskrutpružnogosteržnâzvâzkoplastičnimzovníšnímoporom AT šacʹkiiíp nestacionarnoekručenieuprugogosteržnâsvâzkoplastičeskimvnešnimsoprotivleniem AT perepíčkavv nestacionarnoekručenieuprugogosteržnâsvâzkoplastičeskimvnešnimsoprotivleniem AT šacʹkiiíp nonstationarytwistingofanelasticbarwithviscoplasticexternalresistance AT perepíčkavv nonstationarytwistingofanelasticbarwithviscoplasticexternalresistance |
| first_indexed |
2025-11-25T09:42:11Z |
| last_indexed |
2025-11-25T09:42:11Z |
| _version_ |
1850509233575952384 |
| fulltext |
УДК 534.1
I. П. Шацький, В. В. Перепiчка
Нестацiонарний скрут пружного стержня
з в’язкопластичним зовнiшнiм опором
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Г.С. Кiтом)
Розглянуто задачу нестацiонарного скруту напiвнескiнченного пружного стержня, що
взаємодiє iз середовищем за моделлю в’язкопластичного тертя. Отримано точний ана-
лiтичний розв’язок поставленої задачi для довiльного моменту часу вiд початку збу-
рення. Проведено аналiз отриманих результатiв для зрушеної частини стержня.
Для численних прикладних задач динамiки конструкцiй важливим є аналiз розсiювання
енергiї за рахунок фрикцiйного проковзування в контактi. Огляд досягнень з питань ди-
намiки пружних стержнiв при наявностi сухого тертя на бiчнiй поверхнi наведено в робо-
тах [1–3]. Характерним для цих результатiв є використання класичної теорiї стержнiв та
моделi фiксованого кулонiвського тертя. У данiй роботi дослiджуємо задачу нестацiонарно-
го скруту стержня з в’язкопластичним зовнiшнiм опором. Отриманi результати узагальню-
ють випадки чисто сухого та чисто в’язкого тертя i можуть застосовуватися до розрахунку
режимiв лiквiдацiї прихоплень бурильної колони способом крутильного удару [4].
Розглянемо поширення ударної хвилi скруту у напiвнескiнченному пружному стержнi
круглого (кiльцевого) поперечного перерiзу iз зовнiшнiм радiусом R. На торцi стержня в по-
чатковий момент часу прикладається крутний момент M , який залишається надалi сталим.
Дослiджуємо процес загасання хвилi, спричинений дотичною контактною взаємодiєю бiчної
поверхнi стержня з жорсткою обоймою через тонкий в’язкопластичний прошарок.
У системi координат з початком у центрi ваги навантаженого торця i вiссю OX, напрям-
леною вздовж стержня, крайова задача динамiчного скруту має вигляд:
G
∂2φ
∂X2
+ τR
Π
J
= ρ
∂2φ
∂T 2
, X > 0, T > 0;
φ(X, 0) = 0,
∂φ
∂T
(X, 0) = 0, X > 0;
GJ
∂φ
∂X
(0, T ) = −M, φ(∞, T ) = 0, T > 0.
Тут φ(X,T ) — кут закручування; G — модуль зсуву; ρ — густина матерiалу стержня; J —
полярний момент iнерцiї поперечного перерiзу; Π — периметр частини контура, на якому
дiє сила в’язкопластичного тертя τ .
Силу опору на бiчнiй поверхнi моделюємо паралельним з’єднанням за Фойхтом еле-
ментiв Сен-Венана та Ньютона (так звана модель в’язкопластичної рiдини Шведова–Бiнга-
ма [5]):
τ = −τc sgn
∂φ
∂T
− βR
∂φ
∂T
,
∂φ
∂T
̸= 0,
© I. П. Шацький, В. В. Перепiчка, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №10 63
∂φ
∂T
= 0, |τ | < τc.
Тут τc — порогове значення тертя; β — динамiчна в’язкiсть.
Введемо безрозмiрнi координату i час x = X/L, t = cT/L, де L =
√
J/(RΠ) — ха-
рактерний розмiр поперечного перерiзу; c =
√
G/ρ — швидкiсть поширення хвилi зсуву
в матерiалi стержня.
Рiвняння руху для стержня запишемо так:
φ′′ +
τ
G
= φ̈, x > 0, t > 0. (1)
Тут штрих позначає частинну похiдну за безрозмiрною координатою, крапка — за безроз-
мiрним часом.
Початковi умови:
φ(x, 0) = φ̇(x, 0) = 0, x > 0. (2)
Крайовi умови:
φ′(0, t) = −τ0
G
H(t), φ(∞, t) = 0, t > 0. (3)
Тут τ0 = M/(πR3); H(t) — функцiя Гевiсайда.
У рамках прийнятих припущень, передбачаючи знак швидкостi φ̇ i швидкiсть пошире-
ння збурення, в’язкопластичну силу тертя подаємо у виглядi{
τ = −τcH(t− x)− 2BGφ̇, φ̇ > 0,
φ̇ = 0, |τ | < τc,
(4)
де B = βR/(2L
√
Gρ) — безрозмiрний параметр в’язкостi.
Для розв’язання поставленої задачi скористаємось перетворенням Лапласа за часом.
Операцiйний еквiвалент задачi (1)–(4) запишемо у виглядi
d2φL
dx2
− (s2 + 2Bs)φL =
τc
G
e−sx
1
s
;
φ′
L(0) = −τ0
G
1
s
; φL(∞) = 0, (5)
де φL(x) =
∞∫
0
φ(x, t)e−stdt; s — параметр перетворення Лапласа.
Розв’язком крайової задачi (5) для трансформанти буде:
φL(x) =
τ0
G
[(
1 +
τc
τ0
1
2B
)
1
s
√
(s+B)2 −B2
e−x
√
(s+B)2−B2 − τc
τ0
1
2B
e−sx
s2
]
. (6)
Використовуючи безпосередню вiдповiднiсть [6, 7]
e−x
√
(s+B)2−B2√
(s+B)2 −B2
÷ e−BtI0
(
B
√
t2 − x2
)
H(t− x),
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №10
Рис. 1. Хвильова картина нестацiонарного збурення у скручуваному стержнi
запишемо остаточний розв’язок вихiдної задачi (1)–(4):
φ(x, t) =
τ0
G
t∫
x
[(
1 +
τc
τ0
1
2B
)
e−BτI0
(
B
√
τ2 − x2
)
− τc
τ0
1
2B
]
dτH(t− x), (7)
φ̇(x, t) =
τ0
G
[(
1 +
τc
τ0
1
2B
)
e−BtI0
(
B
√
t2 − x2
)
− τc
τ0
1
2B
]
H(t− x), (8)
φ′(x, t) = −τ0
G
[(
1+
τc
τ0
1
2B
)(
e−Bx+B2x
t∫
x
e−Bτ
I1
(
B
√
τ2− x2
)
B
√
τ2 − x2
dτ
)
− τc
τ0
1
2B
]
×
×H(t− x). (9)
Тут I0(z), I1(z) — модифiкованi цилiндричнi функцiї Бесселя першого роду.
Покладаючи в поданнях (7)–(9) τc = 0, отримали окремий випадок нестацiонарної задачi
про скрут стержня у в’язкому середовищi.
При B = 0 одержуємо розв’язок, що описує ударну хвилю скруту у стержнi iз зовнiшнiм
сухим тертям (подiбний до розв’язку задачi про поздовжнiй удар [1, 2]):
φ(x, t) =
τ0
G
[
t− x+
τc
4τ0
(x2 − t2)
]
H(t− x),
φ̇(x, t) =
τ0
G
[
1− τc
2τ0
t
]
H(t− x),
φ′(x, t) = −τ0
G
[
1− τc
2τ0
x
]
H(t− x).
Перейдемо до аналiзу отриманих результатiв. Рис. 1 в координатно-часовiй площинi
характеризує хвильову картину нестацiонарного збурення в стержнi. Тут область A — пе-
редфронтова зона спокою; B — зона динамiчного збурення в стержнi; C — зона залишкових
стацiонарних напружень. Штриховими лiнiями показано межi вiдповiдних зон для випадку
сухого тертя. Областi A i B роздiленi характеристикою, що описує поведiнку фронту хвилi
i є лiнiєю сильного розриву, тут мають мiсце стрибки швидкостi i напружень. Розв’язок
(7)–(9) справедливий в областях A i B, причому вiдсутнiсть збурень у передфронтовiй об-
ластi врахована множником Гевiсайда. У зонi C швидкiсть збурення стає вiд’ємною, тому
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №10 65
Рис. 2. Розподiл кутової швидкостi провертання перерiзiв
Рис. 3. Дотичнi напруження на поверхнi стержня
отриманi формули тут слiд вiдкинути як такi, що суперечать початковому припущенню про
знак швидкостi. Крива, що роздiляє зони B i C, знаходиться чисельно з умови φ̇(x, t) = 0 i
є лiнiєю слабкого розриву. Пiд час переходу через неї рух припиняється, на нiй мають мiс-
це стрибки кутового прискорення, дотичних контактних напружень i градiєнта напружень
скруту. В областi C перемiщення i напруження не змiнюються з часом i мають значення, за-
фiксованi на лiнiї зупинки. Дотичнi контактнi напруження визначається з рiвнянь статики
як половина вiд градiєнта напружень скруту, обчислених на лiнiї слабкого розриву.
На рис. 2–4 зображено нестацiонарнi поля безрозмiрних значень швидкостi провертан-
ня, напружень скруту на поверхнi стержня τxφ|r=R = Gφ′ i дотичних контактних напру-
жень. При розрахунках прийнято τ0 = τc, B = 1. Iз зростанням часу i координати вказанi
величини згасають, зокрема, на фронтi — експоненцiально (див. формули (7)–(9)). Впер-
ше зупинка спостерiгається на фронтi хвилi на вiдстанi L∗ =
L
B
ln
(
1 +
2τ0
τc
B
)
вiд тор-
ця стержня. Зокрема, для малих B одержали оцiнку для протяжностi зрушеної дiлянки:
L∗ ≈ L
2τ0
τc
(
1−B
τ0
τc
)
.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №10
Рис. 4. Розподiл дотичного контактного напруження
На вiдмiну вiд випадку лише сухого тертя зупинка руху в дослiджуванiй системi вiдбу-
вається не одночасно, а зi скiнченною швидкiстю, що перевищує, проте, швидкiсть поши-
рення фронту хвилi скруту. Слiд вiдзначити, що пiсля зупинки руху в збуренiй областi
стержня залишковi дотичнi напруження в стержнi i контактнi напруження, а також пово-
рот перерiзiв можуть бути вираженi через довжину зрушеної дiлянки таким чином:
τxφ(x,∞) = −τ0
(
1− L
L∗
x
)
, τ(x,∞) =
τ0
L∗
, φ(x,∞) =
τ0
2G
L∗
L
(
1− L
L∗
x
)2
.
Цi вирази збiгаються з обчисленими з формул (7)–(9) значеннями на лiнiї зупинки.
Таким чином, при наявностi в’язкопластичного зовнiшнього опору в картинi руху пере-
рiзiв стержня переважає вплив сухого тертя, в’язкiсть вносить кiлькiснi поправки у знай-
дений розв’язок.
На вiдмiну вiд випадку сухого тертя, коли збурена частина стержня рухається як абсо-
лютно тверде тiло i зупинка вiдбувається одночасно по усiй довжинi вiд торця до фронту
хвилi, присутнiсть в’язкої компоненти опору призводить до руху збуреної частини стержня
як деформованої, а зупинка руху вiд фронту до торця вiдбувається зi швидкiстю, бiльшою
вiд швидкостi хвилi зсуву.
1. Никитин Л.В. Динамика упругих стержней с внешним сухим трением // Усп. механики. – 1988. –
11, № 4. – С. 53–106.
2. Никитин Л.В. Статика и динамика твердых тел с внешним сухим трением. – Москва: Моск. Лицей,
1998. – 272 с.
3. Султанов К.С. Численное решение задачи о распространении волн в вязкоупругом стержне с внеш-
ним трением // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. – 1991. – № 6. – С. 92–101.
4. Улитин Г.М., Петтик Ю.В. Крутильные колебания бурильных колонн при прихватах // Зб. наук.
праць. Сер. Галузеве машинобудування, будiвництво. – Полтава: ПолтНТУ, 2009. – Вип. 3(25). – Т. 2. –
С. 214–218.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №10 67
5. Рейнер М. Реология. – Москва: Наука, 1965. – 224 с.
6. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. – Москва: Высш. шк.,
1965. – 466 с.
7. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва:
Наука, 1983. – 752 с.
Надiйшло до редакцiї 18.04.2014Iвано-Франкiвський вiддiл Iнституту
прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України
И. П. Шацкий, В. В. Перепичка
Нестационарное кручение упругого стержня с вязкопластическим
внешним сопротивлением
Рассмотрена задача нестационарного кручения полубесконечного упругого стержня, взаи-
модействующего со средой посредством вязкопластического трения. Получено точное ана-
литическое решение поставленной задачи для произвольного момента времени от начала
возмущения. Проведен анализ полученных результатов для сдвинутой части стержня.
I. P. Shatsky, V. V. Perepichka
Non-stationary twisting of an elastic bar with viscoplastic external
resistance
The problem of non-stationary twisting of a semiendless elastic rod interacting with the medium
is considered, using the model of viscoplastic friction. An exact analytical solution of the problem
is obtained for an arbitrary moment of time from the beginning of a perturbation. The analysis of
the obtained results for the moved part of the rod is performed.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №10
|