Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону
В работе поставлена цель построения математической модели движения шара переменного радиуса и массы. Методом исследования выбран аналитический способ решения задачи Коши для нелинейного уравнения движения с переменными коэффициентами. Впервые в цилиндрических функциях построено замкнутое аналитическ...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Техническая механика |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2014
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88480 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону / В.П. Ольшанский, С.В. Ольшанский // Техническая механика. — 2014. — № 2. — С. 73-78. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88480 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ольшанский, В.П. Ольшанский, С.В. 2015-11-15T20:26:55Z 2015-11-15T20:26:55Z 2014 Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону / В.П. Ольшанский, С.В. Ольшанский // Техническая механика. — 2014. — № 2. — С. 73-78. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88480 531.395 В работе поставлена цель построения математической модели движения шара переменного радиуса и массы. Методом исследования выбран аналитический способ решения задачи Коши для нелинейного уравнения движения с переменными коэффициентами. Впервые в цилиндрических функциях построено замкнутое аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения вертикального падения сферического тела переменной массы при дробно-линейном убывании его радиуса во времени и квадратичном сопротивлении воздушной среды. Исследована асимптотика поведения решения. В роботі поставлена мета побудови математичної моделі руху кулі змінного радіуса та маси. Методом дослідження обрано аналітичний спосіб розв’язання задачі Коші для нелінійного рівняння руху зі змінними коефіцієнтами. Вперше в циліндричних функціях побудовано замкнутий аналітичний розв’язок нелінійного диференціального рівняння вертикального падіння сферичного тіла змінної маси при дробово-лінійному убуванні його радіуса з часом та квадратичному опорі повітряного середовища. Досліджено асимптотику поведінки розв’язку. The paper deals with building a mathematical model of motion of the sphere with variable radius and mass. The analytical method for solving the Cauchy problem for a nonlinear equation of motion with variable coefficients is the research method. For the first time a closed analytic solution of a nonlinear differential equation of a vertical fall of a spherical variable-mass body is built in cylindrical functions when its radius is reduced fractionally and linearly in time and quadratic resistance of the air environment. The asymptotic behavior of solutions is investigated. ru Інститут технічної механіки НАН України і НКА України Техническая механика Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону |
| spellingShingle |
Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону Ольшанский, В.П. Ольшанский, С.В. |
| title_short |
Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону |
| title_full |
Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону |
| title_fullStr |
Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону |
| title_full_unstemmed |
Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону |
| title_sort |
аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону |
| author |
Ольшанский, В.П. Ольшанский, С.В. |
| author_facet |
Ольшанский, В.П. Ольшанский, С.В. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Техническая механика |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| format |
Article |
| description |
В работе поставлена цель построения математической модели движения шара переменного радиуса и массы. Методом исследования выбран аналитический способ решения задачи Коши для нелинейного уравнения движения с переменными коэффициентами. Впервые в цилиндрических функциях построено замкнутое аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения вертикального падения сферического тела переменной массы при дробно-линейном убывании его радиуса во времени и квадратичном сопротивлении воздушной среды. Исследована асимптотика поведения решения.
В роботі поставлена мета побудови математичної моделі руху кулі змінного радіуса та маси. Методом дослідження обрано аналітичний спосіб розв’язання задачі Коші для нелінійного рівняння руху зі змінними коефіцієнтами. Вперше в циліндричних функціях побудовано замкнутий аналітичний розв’язок нелінійного диференціального рівняння вертикального падіння сферичного тіла змінної маси при дробово-лінійному убуванні його радіуса з часом та квадратичному опорі повітряного середовища. Досліджено асимптотику поведінки розв’язку.
The paper deals with building a mathematical model of motion of the sphere with variable radius and mass. The analytical method for solving the Cauchy problem for a nonlinear equation of motion with variable coefficients is the research method. For the first time a closed analytic solution of a nonlinear differential equation of a vertical fall of a spherical variable-mass body is built in cylindrical functions when its radius is reduced fractionally and linearly in time and quadratic resistance of the air environment. The asymptotic behavior of solutions is investigated.
|
| issn |
1561-9184 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88480 |
| citation_txt |
Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону / В.П. Ольшанский, С.В. Ольшанский // Техническая механика. — 2014. — № 2. — С. 73-78. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT olʹšanskiivp analitičeskoerešeniezadačiopadeniišararadiuskotorogoubyvaetpodrobnolineinomuzakonu AT olʹšanskiisv analitičeskoerešeniezadačiopadeniišararadiuskotorogoubyvaetpodrobnolineinomuzakonu |
| first_indexed |
2025-11-25T22:46:18Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:46:18Z |
| _version_ |
1850572493941637120 |
| fulltext |
73
УДК 531.395
В.П. ОЛЬШАНСКИЙ, С.В. ОЛЬШАНСКИЙ
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПАДЕНИИ ШАРА, РАДИУС
КОТОРОГО УБЫВАЕТ ПО ДРОБНО-ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ
В работе поставлена цель построения математической модели движения шара переменного радиуса
и массы. Методом исследования выбран аналитический способ решения задачи Коши для нелинейного
уравнения движения с переменными коэффициентами. Впервые в цилиндрических функциях построено
замкнутое аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения вертикального падения
сферического тела переменной массы при дробно-линейном убывании его радиуса во времени и квадра-
тичном сопротивлении воздушной среды. Исследована асимптотика поведения решения.
В роботі поставлена мета побудови математичної моделі руху кулі змінного радіуса та маси. Мето-
дом дослідження обрано аналітичний спосіб розв’язання задачі Коші для нелінійного рівняння руху зі
змінними коефіцієнтами. Вперше в циліндричних функціях побудовано замкнутий аналітичний розв’язок
нелінійного диференціального рівняння вертикального падіння сферичного тіла змінної маси при дробо-
во-лінійному убуванні його радіуса з часом та квадратичному опорі повітряного середовища. Досліджено
асимптотику поведінки розв’язку.
The paper deals with building a mathematical model of motion of the sphere with variable radius and mass.
The analytical method for solving the Cauchy problem for a nonlinear equation of motion with variable coeffi-
cients is the research method. For the first time a closed analytic solution of a nonlinear differential equation of a
vertical fall of a spherical variable-mass body is built in cylindrical functions when its radius is reduced fraction-
ally and linearly in time and quadratic resistance of the air environment. The asymptotic behavior of solutions is
investigated.
Актуальность темы и цель исследования. Как известно, начало иссле-
дованию движения тел переменной массы положено в работах
И.В. Мещерского [1] и К.Э. Циолковского [2]. В дальнейшем это научное
направление развивались в связи с проектированием реактивной техники, где
направленное удаление частиц движущегося тела создаёт реактивную силу.
Наряду с этим в природе встречаются случаи, когда во время движения про-
исходит не направленное, а всестороннее убывание массы тела. Так измене-
ние массы может происходить при испарении движущихся капель в газовой
среде, при полёте в атмосфере догорающих частиц твёрдых топлив, вслед-
ствие вытекания (откачивания или накачивания) жидкости, в результате хи-
мических преобразований, путём изменения элементов системы (наматыва-
ния нитей или канатов на барабаны). Моделирование движения частиц пере-
менной массы проводят также при исследовании разгона испаряющихся ка-
пель жидкости конвективным потоком [3]. Во время всестороннего отделе-
ния массы от тела, да ещё с малой относительной скоростью, реактивная си-
ла незначительна и её можно не учитывать при расчёте движения. Но изме-
нение размеров тела влияет на сопротивление его полёту, что приводит к пе-
ременным коэффициентам в уравнении движения и усложняет теоретическое
исследование.
При движении тела переменного размера появляется ряд особенностей.
Процесс движения становится нестационарным. Поэтому при падении тела
переменной массы теряет смысл понятие «скорость витания», величину ко-
торой определил Н. Е. Жуковский [4]. Траектория тела убывающей массы
может обрываться вследствие полного сгорания или испарения движущегося
тела, что исключено при полёте тела постоянной массы. Описание туманов
тесно связанно с изучением эффекта зависания тела (частицы) [5]. Следует
также упомянуть о наличии эффекта отражения лёгкого тела встречным по-
током [6], а также о существовании экстремума скорости, характерного толь-
В.П. Ольшанский, С.В. Ольшанский, 2014
Техн. механика. – 2014. – № 2.
74
ко при движении малой частицы переменной массы [7, 8]. Таким образом,
даже при отсутствии реактивной силы изучение баллистики тела убывающей
массы представляет научный интерес.
При моделировании движения тела используются различные законы из-
менения размера тела [9, 10], в том числе линейный, экспоненциальный и
закон В. Срезневского. Известен также дробно-линейный закон, которому
уделено меньше внимания. Его рассматривали В. А. Сапа и М. Н. Сагитов
[11] в случае линейного аэродинамического сопротивления движению.
Уравнение вертикального падения тела и его аналитическое реше-
ние. Предполагаем, что изменение радиуса r падающего сферического тела
описывается дробно-линейной функцией времени t :
0
1
r
r
t
, (1)
где 0 0 ;r r – параметр, характеризующий интенсивность убывания ра-
диуса и массы шара.
Ориентируясь на скорость полёта 10 м/с, примем квадратичную за-
висимость сил аэродинамического сопротивления cR от скорости
2
cR C S , (2)
здесь C – коэффициент сопротивления; S – площадь поперечного сечения
сферического тела.
С учётом введенных предположений (1) и (2) падение однородного шара
описывается дифференциальным уравнением
2k
z z g
r
, (3)
где
3
4
C
k
– сведённый коэффициент сопротивления; – удельный вес
тела; g – ускорение свободного падения; z t t – скорость центра тела;
z z t – вертикальное перемещение центра тела по оси oz , направленной
вниз; точка над символом означает производную по времени.
Уравнением (3) может моделироваться вертикальное движение испаря-
ющихся капель огнетушащих веществ, физическая постановка таких задач
изложена в [15].
Начальными условиями к (3) берём:
30 0; 0 ,z z (4)
обозначив через 3 начальную скорость полёта.
Учитывая (1), преобразованием
2
0
d d dr d
r
dt dr dt r dr
представляем уравнение (3) в форме
75
2
0
0 3 2
,
gd
k
dr r r
(5)
где 0 0
0 0; .
kr gr
k g
Запишем далее уравнение (5) в виде
2
r f r h r , (6)
где 0 0
3 2
; .
k g
f r h r
r r
Уравнение (6) является общим уравнением Риккати [12]. Используя пре-
образование
exp ,f r u r dr (7)
переводим (6) в линейное дифференциальное уравнение
2
2 0 0
2 3
3 0
k gd u du
r r u
drdr r
. (8)
Дифференциальное уравнение (8) является уравнением типа Бесселя,
общим решением которого является [13]:
1 2/3 2 2/3
1
u r c I c K
r
. (9)
Здесь 0 0
3/2
2
3
k g
r
; 1 2,c c – произвольные постоянные; 2/3 2/3,I K –
соответственно модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда
порядка 2/3.
Обратное преобразование для нахождения решения уравнения Риккати
имеет вид [12]
.ru
uf r
(10)
Для нахождения производных используем формулы:
2/3 1/3 2/3
2
,
3
d
I I I
d
2/3 1/3 2/3
2
.
3
d
K K K
d
В итоге после ряда преобразований получаем первый интеграл уравне-
ния (3)
1/3 1/30
0 2/3 2/3
.
cI Krg
k cI K
(11)
Здесь 1
1 2c c c ; 1/3 1/3,I K – соответственно модифицированная
функция Бесселя и функция Макдональда индекса 1/3.
76
Решение (11) удовлетворяет второму начальному условию в (4), при
2/3 0 1/3 0
1/3 0 2/3 0
,
bK K
c
I bI
(12)
где 0 0
0 3
0
2
3
k g
r
; 0
0
0 0
k
b
r g
.
Таким образом, используя таблицы функций Бесселя [13, 14] или вычис-
ляя цилиндрические функции на компьютере, с помощью выражений (11) и
(12) несложно определить скорость падения тела в любой момент времени.
Учитывая асимптотические представления функций Бесселя и Макдо-
нальда малого аргумента [13]:
2
30
2/3 0
1 2
2 3 2
K
,
1
30
1/3 0
1 1
2 3 2
K
,
1
30
1/3 0
2
/
2 3
I
;
2
30
2/3 0
5
/
2 3
I
,
в которых x – гамма-функция, получаем асимптотику решения (11) при
малом коэффициенте сопротивления движению k , когда 2kg r . Она
имеет вид:
4/3
0
0 4/3
4/3 0
0 0
1 1,17767
* .
1 1,17767 1
2
t
k
r
(13)
При записи (13) учтено, что [14]
1/ 3 2,678939; 5 / 3 0,902745.
Если, аналогично [15], не учитывать влияние гравитации на процесс дви-
жения, то для расчёта падения с большой начальной скоростью при малых t в
(13) можно отбросить слагаемые, пропорциональные 4/3
0 и 4/3. Тогда:
0
*
0 0
.
1 0,5 /
r
t
kt t r
(14)
Из физических соображений следует, что (14) является нижней оценкой
скорости, т. е. * .t t
Проведём проверку точности асимптотических формул. Для этого при-
мем 0 0,0002r м; 0,0000312k ; 3 с-1; 0 100 м/с. Результаты указаны
в таблице 1.
Таблица 1
,t с 0,03 0,07 0,14 0,20 0,25
p , м/с 67,36 45,69 28,04 20,51 16,57
* , м/с 69,60 48,13 29,76 21,64 17,28
* , м/с 67,16 45,32 27,45 19,78 15,72
э , м/с 67 43 30 21 18
77
Во второй строке таблицы 1 записаны рассчитанные по формуле (11)
значения скорости, в третьей строке – значения скорости, полученные по
асимптотической формуле (13), в четвёртой строке – значения скорости по-
лученные по формуле (14), и, наконец, в последней строке – результаты, ко-
торые получили экспериментально авторы монографии [15]. Наблюдается
хорошее соответствие теории эксперименту. Обе асимптотические формулы
обладают высокой точностью. Для дальнейшего расчёта высоты падения,
удобнее использовать формулу (14).
При определении высоты падения тела z t вычисляем интеграл
0
,
t
z t t dt (15)
который не выражается через затабулированные специальные функции. Его
можно находить численно на компьютере.
Интеграл
*
0
t
S t t dt
выражается через элементарные функции
0
1 1
ln ,
1 1
t a a
r
S t
ka
t a a
(16)
причём 0
0
21
1
r
a
k
.
Учитывая выражение (16), получаем вместо (15) более удобную форму-
лу для вычисления высоты падения тела
.z S t t (17)
Здесь второе слагаемое
*
0
t
t t t dt
значительно меньше первого и его легко оценить с помощью неравенства
*t t t t .
В приближённых расчётах методом трапеций можно принять
*
1
.
2
t t t t (18)
Результаты расчёта пройденного телом пути представлены в таблице 2.
При этом расчёте использовались прежние исходные данные.
Таблица 2
,t с 0,03 0,07 0,14 0,20 0,25
az , м 2,45 4,66 7,16 8,59 9,51
чz , м 2,45 4,66 7,15 8,58 9,49
78
Числа az во второй строке получены по формулам (16), (17) и (18), а
числа чz в третей строке – путём численного интегрирования квадратуры
(15). Сравнение чисел, полученных разными способами, в таблице 2 показа-
ло, что приближённое аналитическое решение приемлемо для расчёта про-
цесса падения тела, в частности в задачах автоматизированного пожаротуше-
ния, где интенсивное испарение капель жидких огнетушащих веществ обу-
словлено высокой температурой газовой среды, а падение осуществляется за
короткий промежуток времени.
Выводы. Построена математическая модель движения шара переменно-
го радиуса (массы). Специальной заменой переменных дифференциальное
уравнение движения шара сведено к общему уравнению Риккати, решение
которого представлено в цилиндрических функциях. Проведен асимптотиче-
ский анализ решения для скорости, а также построено приближённое выра-
жение для определения перемещения тела.
1. Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы / И. В. Мещерский. – М. : ГИТТЛ, 1952. –
276 с.
2. Циолковский К. Э. Собрание сочинений. Т. 1, 2 / К. Э. Циолковский. – М. : Изд-во АН СССР, 1954. –
453 с.
3. Тимошенко В. И. Газовая динамика высокотемпературных технологических процессов / В. И. Тимошен-
ко. – Днепропетровск : Институт технической механики НАН Украины и НКА Украины, 2003. – 460 с.
4. Жуковский Н. Е. Сочинения. Т. 3 / Н. Е. Жуковский. – М. : ОНТИ – НКТП, 1936. – 380 с.
5. Ольшанский С. В. Об эффекте зависания мелкой частицы переменной массы в воздушной среде /
С. В. Ольшанский // Вестник НТУ «ХПИ». Тем. вып. : Динамика и прочность машин. – Вып. 30. – Харь-
ков : НТУ «ХПИ». – 2009. – С. 125 – 129.
6. Кучеренко С. І. Балістика крапель, які випаровуються при польоті / С. І. Кучеренко, В. П. Ольшанський,
С. В. Ольшанський, Л. М. Тіщенко. – Харків : ХНТУСГ, 2007. – 304 с.
7. Ольшанский В. П. Об условиях экстремума скорости падения сферического тела переменного радиуса /
В. П. Ольшанский, С. В. Ольшанский // Вестник НТУ «ХПИ». Тем. вып. : Системный анализ, управление
и информационные технологии. – Вып. 26. – Харьков: НТУ «ХПИ». – 2008. – С. 67 – 78.
8. Ольшанский В. П. О максимуме скорости падения сферического тела убывающей массы / В. П. Ольшан-
ский, С. В. Ольшанский // Механика и машиностроение. – 2007. – № 1. – С. 25 – 29.
9. Ольшанский В. П. Аналитические решения уравнения Мещерского, описывающие вертикальное движе-
ние шара убывающей массы / В. П. Ольшанский, С. В. Ольшанский // Техническая механика. – 2009. –
№ 4. – С. 36 – 42.
10. Ольшанский В. П. Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения
радиуса летящего шара / В. П. Ольшанский, К. В. Аврамов, С. В. Ольшанский // Механика твёрдого тела.
– 2009. – Вып. 39. – С. 207 – 214.
11. Сагитов М. Н. Некоторые случаи движения вращающегося шара переменной массы, ось которого
горизонтальна / М. Н. Сагитов // Из-ия АН Казахской ССР. Серия физ.-мат. наук. Математика и меха-
ника. – 1963. – Вып. 15. – С. 88 – 99.
12. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. – М. : Наука,
1976. – 576 с.
13. Абрамовиц А. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и математическими
таблицами) / А. Абрамовиц, И. Стиган. – М. : Наука, 1979. – 832 с.
14. Янке Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. – М. : Наука, 1977. – 344 с.
15. Севриков В. В. Автоматические быстродействующие системы пожарной защиты / В. В. Севриков,
В. А. Карпенко, И. В. Севриков. – Сев ГТУ, 1996. – 260 с.
Национальный технический университет Получено 15.11.12,
«Харьковский политехнический институт», в окончательном варианте 31.03.14
Харьков
|