Об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций
Рассмотрена задача оптимизации приближенного вычисления интегралов на классах многозначных функций, имеющих заданную мажоранту модуля непрерывности. В качестве информации использованы известные с погрешностью значения функций в n фиксированных точках области определения. Розглянуто задачу оптимiза...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88541 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций / В.Ф. Бабенко, В.В. Бабенко, М.В. Полищук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 7-10. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859686981315854336 |
|---|---|
| author | Бабенко, В.Ф. Бабенко, В.В. Полищук, М.В. |
| author_facet | Бабенко, В.Ф. Бабенко, В.В. Полищук, М.В. |
| citation_txt | Об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций / В.Ф. Бабенко, В.В. Бабенко, М.В. Полищук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 7-10. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассмотрена задача оптимизации приближенного вычисления интегралов на классах
многозначных функций, имеющих заданную мажоранту модуля непрерывности. В качестве информации использованы известные с погрешностью значения функций в n
фиксированных точках области определения.
Розглянуто задачу оптимiзацiї наближеного обчислення iнтегралiв на класах многозначних
функцiй, що мають задану мажоранту модуля неперервностi. Як iнформацiю використано
вiдомi з похибкою значення функцiй в n фiксованих точках областi визначення.
We consider the problem of optimization of the approximate calculation of integrals on the class of
set-valued functions defined by the given majorant of their moduli of continuity. As information, we
use the values of functions at n fixed points of their domain, where they are known with an error.
|
| first_indexed | 2025-11-30T23:00:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2014
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
В.Ф. Бабенко, В.В. Бабенко, М.В. Полищук
Об оптимальном восстановлении интегралов
от многозначных функций
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
Рассмотрена задача оптимизации приближенного вычисления интегралов на классах
многозначных функций, имеющих заданную мажоранту модуля непрерывности. В ка-
честве информации использованы известные с погрешностью значения функций в n
фиксированных точках области определения.
Обозначим через K(Rm) пространство непустых компактных подмножеств пространст-
ва Rm. Пусть Kc(Rm) — множество выпуклых элементов пространства K(Rm). Многознач-
ными функциями мы называем функции f : [0, 1] → K(Rm).
В настоящее время известно много различных подходов к определению интегралов от
многозначных функций (см., например, [1–4] и др.). Интегралы от таких функций находят
важные приложения во многих областях математики (математическая экономика, опти-
мальное управление, интегральная геометрия, статистика и др.). Одним из наиболее упо-
требительных является интеграл Аумана [2] ввиду наличия у него многих хороших свойств.
Интеграл Аумана от глобально ограниченной многозначной функции f : [0, 1] → K(Rmd)
определяется как множество всех интегралов от интегрируемых выборок f :
I(f) =
1∫
0
f(x)dx :=
{ 1∫
0
ϕ(x) dx : ϕ(x) ∈ f(x)
}
.
Через RM([0, 1],K(Rm)) обозначим множество функций, интегрируемых в смысле Ри-
мана–Минковского [3, 4]. В [3] доказано, что интеграл Римана–Минковского для любой
непрерывной ограниченной многозначной функции существует и совпадает с интегралом
Аумана.
Теория численного интегрирования является важной частью теории аппроксимации
и численного анализа. Обзоры известных результатов, связанных с оптимизацией квадра-
турных формул на классах вещественнозначных функций, можно найти в [5, 6]. Оценки
© В.Ф. Бабенко, В.В. Бабенко, М. В. Полищук, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 7
отклонения сумм Римана и некоторых других методов приближенного вычисления инте-
гралов от самих интегралов для многозначных функций рассматривались в [7, 8]. Рабо-
та [9] посвящена оптимизации квадратурных формул на классах монотонных по включе-
нию выпуклозначных функций.
В данной работе рассматриваются задачи оптимизации приближенного вычисления ин-
тегралов Римана–Минковского на классах функций f : [0, 1] → K(Rm), имеющих заданную
мажоранту модулей непрерывности. Поскольку интеграл Римана–Минковского всегда яв-
ляется выпуклым множеством, неестественно использовать прямые аналоги квадратурных
формул. Поэтому мы рассматриваем эти задачи с точки зрения теории оптимального вос-
становления функций, функционалов и операторов, которая интенсивно развивается с се-
редины 1960-х годов. Постановки задач и обзоры полученных результатов можно найти
в [10–12].
Пусть заданы множество x = {x1, . . . , xn} ⊂ [0, 1], множество ε = {ε1, . . . , εn} не-
отрицательных чисел и класс M непрерывных функций f : [0, 1] → K(Rm). Обозначим
через A(f, x, ε) совокупность наборов A = {A1, . . . , An} множеств из K(Rm) таких, что
δ(f(xk), Ak) 6 εk, k = 1, . . . , n (здесь и ниже δ(A,B) — расстояние Хаусдорфа между мно-
жествами A,B ∈ K(Rm)).
Произвольное отображение
Φ: K(Rm)× · · · ×K(Rm︸ ︷︷ ︸
n раз
) → Kc(Rm)
будем называть методом восстановления интеграла
1∫
0
P (x)f(x) dx. Здесь и ниже P — не-
прерывная на [0, 1] и почти всюду положительная весовая функция.
Положим
R(M,Φ, x, ε) := sup
f∈M
sup
A∈A(f,x,ε)
δ
( 1∫
0
P (x)f(x) dx,Φ(A1, . . . , An)
)
,
R(M, x, ε) := inf
Φ
R(M,Φ, x, ε).
Задача. Найти значение R(M, x, ε) и метод Φ∗, реализующий inf
Φ
.
Для заданного модуля непрерывности ω(t) обозначим через Hω([0, 1],K(Rm)) класс
функций f : [0, 1] → K(Rm) таких, что для любых x′, x′′ ∈ [0, 1] δ(f(x′), f(x′′)) 6 ω(|x′−x′′|).
Для заданных x и ε положим
fω,x,ε(x) := min
k=1,...,n
{εk + ω(|x− xk|)}, x ∈ [0, 1].
Пусть Πk := {x ∈ [0, 1] : fω,x,ε(x) = εk + ω(|x− xk|)}. Если модуль непрерывности строго
возрастает, то meas(Πk
∩
Πj) = 0 при k ̸= j. Пусть kj , j = 1, . . . , ν, — числа из множества
{1, . . . , n} такие, что Πkj ̸= ∅. Возможно (в случае, когда некоторые εk слишком велики),
что ν < n.
Теорема 1. Пусть заданы модуль непрерывности ω(x) и множества x, ε. Тогда
R(Hω([0, 1],K(Rm)), x, ε) = R(Hω([0, 1],K(Rm)),Φ∗, x, ε) =
1∫
0
P (x)fω,x,ε(x) dx,
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
где (в случае строго возрастающего модуля непрерывности)
Φ∗(A1, . . . , An) := co
(
ν∑
j=1
∫
Πkj
P (x) dx ·Akj
)
,
coA — выпуклая оболочка множества A.
Замечание 1. Тот факт, что ν может быть строго меньше n, означает, что в случае,
когда для некоторого k соответствующее εk слишком велико, оптимальный метод Φ∗ не
учитывает соответствующее информационное множество Ak.
Замечание 2. Несколько усложняя формулировку, можно предъявить оптимальный ме-
тод восстановления и в случае, когда модуль непрерывности не является строго возрас-
тающим.
Замечание 3. Теорема 1 обобщает результаты Н. П. Корнейчука [13] и Г.К. Лебедя [14]
и, по-видимому, является новой даже в случае числовых функций.
Следствие 1. Пусть заданы ω(t) и x = {x1, . . . , xn}. Пусть также ε1 = · · · = εn = ε;
fω,x(x) := ω
(
min
i=1,...,n
|x− xi|
)
. Тогда
R(Hω([0, 1],K(Rm)), x, ε) =
1∫
0
P (x)fω,x(x) dx+ ε.
Пусть #x — количество элементов множества x. Учитывая результаты [13], получаем
Следствие 2. Пусть P (x) ≡ 1 и ε1 = · · · = εn = ε. Тогда
inf
#x6n
R(Hω([0, 1],K(Rm)), x, ε) = 2n
1/(2n)∫
0
ω(x) dx+ ε
и набор x, в котором xk = (2k − 1)/(2n), k = 1, . . . , n, реализует inf
#x6n
.
В случае, когда P (x) отличается от константы, вряд ли возможно получить явные выра-
жения для оптимальных узлов и соответствующей погрешности восстановления. Однако,
используя результаты из [15], можно найти точную асимптотику для этой величины (если
ε1 = · · · = εn = 0) при n → ∞. Приведем только результат, относящийся к случаю
ω(x) = xα, α ∈ (0, 1].
Теорема 2. Пусть функция P непрерывна и положительна почти всюду в [0, 1]; ω(x) =
= xα, α ∈ (0, 1] и ε1 = · · · = εn = 0. Тогда при n → ∞
inf
#x6n
R(Hω([0, 1],K(Rm)), x, ε) =
(2n)−α
α+ 1
( 1∫
0
P (x)1/(1+α)dx
)α+1
+ o
(
1
nα
)
.
1. Price G.B. The theory of integration // Trans. Am. Math. Soc. – 1940. – 47. – P. 1–50.
2. Aumann R. J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. and Appl. – 1965. – 12, No 1. – P. 1–12.
3. Polovinkin E. S. Riemannian integral of set-valued function // Optimization Techniques, IFIP Techn.
Conf., Novosibirsk, July 1–7, 1974. – Berlin; Heidelberg: Springer, 1975. – P. 405–410. – (Lecture Notes in
Computer Science; Vol. 27.).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 9
4. Materon G. Random sets and integral geometry. – New York: Wiley, 1975. – 288 p.
5. Никольский С.М. Квадратурные формулы. С добавлениями Н.П. Корнейчука. – Москва: Наука,
1988. – 255 с.
6. Боянов Б.Д. Оптимальные квадратурные формулы // Успехи мат. наук. – 2005. – 60, вып. 6(366). –
С. 33–52.
7. Балабан Е.И. О приближенном вычислении интеграла Римана от многозначного отображения //
Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1982. – 22, № 2. – С. 472–476.
8. Baier R., Lempio F. Computing Aumann’s integral // Modeling Techniques for Uncertain Systems / Eds.
A.B. Kurzhanski, V.M. Veliov. – Basel: Birkhäuser, 1994. – P. 71–92. – (Progress in Systems and Control
Theory; Vol. 18).
9. Бабенко В.Ф., Бабенко В.В. Оптимизация приближенного интегрирования многозначных функций,
монотонных по включению // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 2. – С. 177–186.
10. Бахвалов Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах
функций // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1971. – 11, № 4. – С. 1014–1018.
11. Micchelli C.A., Rivlin T. J. Lectures on optimal recovery // Numerical Analysis. – Berlin; Heidelberg:
Springer, 1985. – P. 21–93. – (Lecture Notes in Mathematics; Vd. 1129).
12. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным
данным // Мат. заметки – 1991. – 50, № 6. – С. 85–93.
13. Корнейчук Н.П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих перемен-
ных // Там же. – 1968. – 3, № 5. – С. 565–576.
14. Лебедь Г.К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах функ-
ций // Там же. – 1968. – 3, № 5. – С. 577–586.
15. Бабенко В.Ф. Об оптимизации весовых квадратурных формул // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 8. –
С. 1011–1021.
Поступило в редакцию 30.05.2014Днепропетровский национальный университет
им. Олеся Гончара
Университет Юты, США
В.Ф. Бабенко, В. В. Бабенко, М.В. Полiщук
Про оптимальне вiдновлення iнтегралiв вiд многозначних функцiй
Розглянуто задачу оптимiзацiї наближеного обчислення iнтегралiв на класах многозначних
функцiй, що мають задану мажоранту модуля неперервностi. Як iнформацiю використано
вiдомi з похибкою значення функцiй в n фiксованих точках областi визначення.
V.F. Babenko, V.V. Babenko, M. V. Polishchuk
On the optimal recovery of integrals of set-valued functions
We consider the problem of optimization of the approximate calculation of integrals on the class of
set-valued functions defined by the given majorant of their moduli of continuity. As information, we
use the values of functions at n fixed points of their domain, where they are known with an error.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88541 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T23:00:35Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бабенко, В.Ф. Бабенко, В.В. Полищук, М.В. 2015-11-16T18:18:49Z 2015-11-16T18:18:49Z 2014 Об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций / В.Ф. Бабенко, В.В. Бабенко, М.В. Полищук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 7-10. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88541 517.5 Рассмотрена задача оптимизации приближенного вычисления интегралов на классах многозначных функций, имеющих заданную мажоранту модуля непрерывности. В качестве информации использованы известные с погрешностью значения функций в n фиксированных точках области определения. Розглянуто задачу оптимiзацiї наближеного обчислення iнтегралiв на класах многозначних функцiй, що мають задану мажоранту модуля неперервностi. Як iнформацiю використано вiдомi з похибкою значення функцiй в n фiксованих точках областi визначення. We consider the problem of optimization of the approximate calculation of integrals on the class of set-valued functions defined by the given majorant of their moduli of continuity. As information, we use the values of functions at n fixed points of their domain, where they are known with an error. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций Про оптимальне вiдновлення iнтегралiв вiд многозначних функцiй On the optimal recovery of integrals of set-valued functions Article published earlier |
| spellingShingle | Об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций Бабенко, В.Ф. Бабенко, В.В. Полищук, М.В. Математика |
| title | Об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций |
| title_alt | Про оптимальне вiдновлення iнтегралiв вiд многозначних функцiй On the optimal recovery of integrals of set-valued functions |
| title_full | Об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций |
| title_fullStr | Об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций |
| title_full_unstemmed | Об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций |
| title_short | Об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций |
| title_sort | об оптимальном восстановлении интегралов от многозначных функций |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88541 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf oboptimalʹnomvosstanovleniiintegralovotmnogoznačnyhfunkcii AT babenkovv oboptimalʹnomvosstanovleniiintegralovotmnogoznačnyhfunkcii AT poliŝukmv oboptimalʹnomvosstanovleniiintegralovotmnogoznačnyhfunkcii AT babenkovf prooptimalʹnevidnovlennâintegralivvidmnogoznačnihfunkcii AT babenkovv prooptimalʹnevidnovlennâintegralivvidmnogoznačnihfunkcii AT poliŝukmv prooptimalʹnevidnovlennâintegralivvidmnogoznačnihfunkcii AT babenkovf ontheoptimalrecoveryofintegralsofsetvaluedfunctions AT babenkovv ontheoptimalrecoveryofintegralsofsetvaluedfunctions AT poliŝukmv ontheoptimalrecoveryofintegralsofsetvaluedfunctions |