Достатні умови збіжності асимптотичного ряду В.О. Марченка для власних значень задачі Штурма–Ліувілля
За допомогою FD-методу знайдено достатнi умови збiжностi асимптотичного ряду В. О. Марченка для √λn, де λn — власне значення задачi Штурма–Лiувiлля з полiномiальним потенцiалом...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88543 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Достатні умови збіжності асимптотичного ряду В.О. Марченка для власних значень задачі Штурма–Ліувілля / В.Л. Макаров // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 16-21. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88543 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-885432025-02-09T09:35:29Z Достатні умови збіжності асимптотичного ряду В.О. Марченка для власних значень задачі Штурма–Ліувілля Достаточные условия сходимости асимптотического ряда В. А. Марченко для собственных значений задачи Штурма–Лиувилля Sufficient conditions for the convergence of the V. A. Marchenko asymptotic series for eigenvalues of the Sturm–Liouville problem Макаров, В.Л. Математика За допомогою FD-методу знайдено достатнi умови збiжностi асимптотичного ряду В. О. Марченка для √λn, де λn — власне значення задачi Штурма–Лiувiлля з полiномiальним потенцiалом С помощью FD-метода найдены достаточные условия сходимости асимптотического ряда В. А. Марченко для √λn, где λn — собственное значение задачи Штурма–Лиувилля с полиномиальным потенциалом. We state sufficient conditions for the convergence of the V.A. Marchenko asymptotic series for √λn, where λn are the eigenvalues of the Sturm–Liouville problem with polynomial potential, by using the functional discrete method. 2014 Article Достатні умови збіжності асимптотичного ряду В.О. Марченка для власних значень задачі Штурма–Ліувілля / В.Л. Макаров // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 16-21. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88543 519.624.2 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Макаров, В.Л. Достатні умови збіжності асимптотичного ряду В.О. Марченка для власних значень задачі Штурма–Ліувілля Доповіді НАН України |
| description |
За допомогою FD-методу знайдено достатнi умови збiжностi асимптотичного ряду
В. О. Марченка для √λn, де λn — власне значення задачi Штурма–Лiувiлля з полiномiальним потенцiалом |
| format |
Article |
| author |
Макаров, В.Л. |
| author_facet |
Макаров, В.Л. |
| author_sort |
Макаров, В.Л. |
| title |
Достатні умови збіжності асимптотичного ряду В.О. Марченка для власних значень задачі Штурма–Ліувілля |
| title_short |
Достатні умови збіжності асимптотичного ряду В.О. Марченка для власних значень задачі Штурма–Ліувілля |
| title_full |
Достатні умови збіжності асимптотичного ряду В.О. Марченка для власних значень задачі Штурма–Ліувілля |
| title_fullStr |
Достатні умови збіжності асимптотичного ряду В.О. Марченка для власних значень задачі Штурма–Ліувілля |
| title_full_unstemmed |
Достатні умови збіжності асимптотичного ряду В.О. Марченка для власних значень задачі Штурма–Ліувілля |
| title_sort |
достатні умови збіжності асимптотичного ряду в.о. марченка для власних значень задачі штурма–ліувілля |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88543 |
| citation_txt |
Достатні умови збіжності асимптотичного ряду В.О. Марченка для власних значень задачі Штурма–Ліувілля / В.Л. Макаров // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 16-21. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT makarovvl dostatníumovizbížnostíasimptotičnogorâduvomarčenkadlâvlasnihznačenʹzadačíšturmalíuvíllâ AT makarovvl dostatočnyeusloviâshodimostiasimptotičeskogorâdavamarčenkodlâsobstvennyhznačenijzadačišturmaliuvillâ AT makarovvl sufficientconditionsfortheconvergenceofthevamarchenkoasymptoticseriesforeigenvaluesofthesturmliouvilleproblem |
| first_indexed |
2025-11-25T09:42:30Z |
| last_indexed |
2025-11-25T09:42:30Z |
| _version_ |
1849754934401040384 |
| fulltext |
УДК 519.624.2
Академiк НАН України В.Л. Макаров
Достатнi умови збiжностi асимптотичного ряду
В.О. Марченка для власних значень задачi
Штурма–Лiувiлля
За допомогою FD-методу знайдено достатнi умови збiжностi асимптотичного ряду
В.О. Марченка для
√
λn, де λn — власне значення задачi Штурма–Лiувiлля з полiно-
мiальним потенцiалом.
Розглядається задача Штурма–Лiувiлля
d2u(x)
dx2
+ (λ− q(x))u(x) = 0, x ∈ (0, 1), u(0) = 0, u(1) = 0, (1)
для якої треба знайти достатнi умови збiжностi асимптотичного ряду В.О. Марченка для√
λn у випадку полiномiального потенцiалу
q(x) =
r∑
i=0
cix
i. (2)
Застосуємо до цiєї задачi FD-метод [1, 2]. Тодi будемо мати
λn =
2m∑
j=0
λ(j)n +R(2m)
n , R(2m)
n =
∞∑
j=2m+1
λ(j)n , (3)
|R(2m)
n | 6 ∥q∥∞
(r
(0)
n )2m
1− r
(0)
n
α2m = ∥q∥∞
(r
(0)
n )2m
1− r
(0)
n
2
(4m− 1)!!
(4m+ 2)!!
(4)
i наведена оцiнка залишкового члена буде вiрною за умови, що
|r(0)n | = 4∥q∥∞
π2(2n− 1)
< 1. (5)
Алгоритм знаходження поправок до власних значень λ(j+1)
n i вiдповiдних поправок до влас-
них функцiй u(j+1)
n (x) є таким:
λ(j+1)
n =
1∫
0
q(x)u(j)n (x)u(0)n (x) dx,
u(j+1)
n (x) =
1∫
0
gn(x, ξ)
(
−
j∑
p=0
λ(j+1−p)
n u(p)n (ξ) + q(ξ)u(j)n (ξ)
)
dξ, j = 0, 1, . . . ,
© В.Л. Макаров, 2014
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
u(0)n (x) =
√
2 sin(nπx),
де
gn(x, ξ) =
(
(x−H(x− ξ)) cos(nπx)
πn
− sin(nπx)
2π2n2
)
sin(nπξ) +
+
sin(nπx)(ξ −H(ξ − x)) cos(nπξ)
πn
,
H(z) — функцiя Хевiсайда.
Оскiльки iнтегрування тут здiйснюється аналiтично, цей алгоритм може бути перетво-
рений до такого вигляду, в якому використовуються тiльки арифметичнi операцiї (див. [3]).
Враховуючи залежнiсть λ(j)n вiд n, перепишемо (3) таким чином:
λn = (nπ)2 +
(r+2)m−1∑
j=0
aj
(2nπ)2j
+R(2m)
n . (6)
За аналогiєю з наслiдком теореми 1.5.1 В. О. Марченка [4, c. 75] будемо шукати
√
λn у ви-
глядi√
λn = nπ +
(r+2)m−1∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
+ α(2m)
n . (7)
Знаходимо параметри виразу (7) з рiвняння
(nπ)2 +
(r+2)m−1∑
j=0
aj
(2nπ)2j
+R(2m)
n =
[
nπ +
(r+2)m−1∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
+ α(2m)
n
]2
, (8)
прирiвнюючи коефiцiєнти при однакових степенях nπ. Обчислимо праву частину (8). Ма-
тимемо
λn = (nπ)2 +
∑
06j6
[
(r+2)m−1
2
]
(bj)
2
(2nπ)4j+2
+
(r+2)m−1∑
j=0
bj
(2nπ)2j
+
∑
06s+j6(r+2)m−2
bjbs
(2nπ)2(s+j)+2
+
+
[
(r+2)m−1∑
j=
[
(r+2)m−1
2
]
+1
(bj)
2
(2nπ)4j+2
+
∑
(r+2)m−16s+j62(r+2)m−2,j ̸=s
bjbs
(2nπ)2(s+j)+2
+
+ 2α(2m)
n
[
nπ +
(r+2)m−1∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
]
+ [α(2m)
n ]2
]
. (9)
Порiвняння з (6) приводить до такої системи:
(r+2)m−1∑
j=0
aj
(2nπ)2j
=
∑
06j6
[
(r+2)m−1
2
]
(bj)
2
(2nπ)4j+2
+
(r+2)m−1∑
j=0
bj
(2nπ)2j
+
+
∑
06s+j6(r+2)m−2,j ̸=s
bjbs
(2nπ)2(s+j)+2
, (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 17
R(2m)
n =
(r+2)m−1∑
j=
[
(r+2)m−1
2
]
+1
(bj)
2
(2nπ)4j+2
+
∑
(r+2)m−16s+j62(r+2)m−2,j ̸=s
bjbs
(2nπ)2(s+j)+2
+
+ 2α(2m)
n
[
nπ +
(r+2)m−1∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
]
+ [α(2m)
n ]2. (11)
З рiвняння (10) однозначно знаходимо bj , j = 0, 1, . . . , (r + 2)m − 1, а з квадратного рiв-
няння (11) — α(2m)
n :
α(2m)
n = −
[
nπ +
(r+2)m−1∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
]
+
([
nπ +
(r+2)m−1∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
]2
+
+R(2m)
n −
(r+2)m−1∑
j=
[
(r+2)m−1
2
]
+1
(bj)
2
(2nπ)4j+2
−
∑
(r+2)m−16s+j62(r+2)m−2
bjbs
(2nπ)2(s+j)+2
)1/2
=
=
[
R(2m)
n −
(r+2)m−1∑
j=
[
(r+2)m−1
2
]
+1
(bj)
2
(2nπ)4j+2
−
∑
(r+2)m−6s+j62(r+2)m−2,
j ̸=s
bjbs
(2nπ)2(s+j)+2
]
×
×
(
nπ +
(r+2)m−1∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
+
[(
nπ +
(r+2)m−1∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
)2
+R(2m)
n −
−
(r+2)m−1∑
j=
[
(r+2)m−1
2
]
+1
(bj)
2
(2nπ)4j+2
−
∑
(r+2)m−16s+j62(r+2)m−2,
j ̸=s
bjbs
(2nπ)2(s+j)+2
]1/2)−1
=
=
√
λn −
(
λn −R(2m)
n +
(r+2)m−1∑
j=
[
(r+2)m−1
2
]
+1
(bj)
2
(2nπ)4j+2
+
+
∑
(r+2)m−16s+j62(r+2)m−2,
j ̸=s
bjbs
(2nπ)2(s+j)+2
)1/2
.
(12)
Так, розв’язок рiвняння (10) має вигляд такої рекурентної послiдовностi:
bk = −
k−1∑
p=0
bpbk−1−p + ak, k = 0, 1, . . . . (13)
Будемо шукати розв’язок рекурентної послiдовностi (13) за допомогою методу твiрних
функцiй. З цiєю метою введемо позначення
f(z) =
∞∑
j=0
bjz
j , g(z) =
∞∑
j=0
ajz
j , (14)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
де f(z) — невiдома функцiя (bj , j = 0, 1, 2, . . ., — шуканi величини), а g(z) — вiдома функцiя.
Помножимо обидвi частини (13) на zk i просумуємо за k вiд 1 до ∞, тодi одержимо рiвняння
f(z) = −zf2(z) + g(z),
розв’язком якого буде вираз
f(z) =
2g(z)
1 +
√
1 + 4zg(z)
. (15)
Звiдси маємо явну формулу для знаходження bj , j = 0, 1, 2, . . .:
bj =
1
j!
dj
dzj
(
2g(z)
1 +
√
1 + 4zg(z)
)∣∣∣∣
z=0
, j = 0, 1, . . . . (16)
Зокрема, матимемо
b0 = a0, b1 = a1 − a20, b2 = a2 − 2a1a0 + 2a30,
b3 = a3 − 2a2a0 + 6a1a
2
0 − a21 − 5a40, . . . .
Таким чином, можна сформулювати таке твердження.
Теорема. Нехай виконується умова (5), тодi:
1) має мiсце спiввiдношення (8), де складовi правої частини визначаються формула-
ми (12), (16);
2) вiрне граничне спiввiдношення
lim
m→∞
[
nπ +
(r+2)m−1∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
]
= nπ +
∞∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
=
√
λn. (17)
Доведення потребує тiльки (17). Введемо позначення
wn = R(2m)
n −
(r+2)m−1∑
j=
[
(r+2)m−1
2
]
+1
(bj)
2
(2nπ)4j+2
−
∑
(r+2)m−16s+j62(r+2)m−2
bjbs
(2nπ)2(s+j)+2
,
тодi
α(2m)
n =
√
λn −
√
λn − wn (18)
i з (7) випливає, що α(2m)
n — дiйсне число та
lim
m→∞
wn = ω < λn.
Оскiльки ряд
∞∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
є збiжним, то
lim
m→∞
(
2(r+2)m−2∑
j=(r+2)m−1
bj
(2nπ)2j+1
)2
= 0
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 19
i
lim
m→∞
wn = lim
m→∞
(
−
(r+2)m−1∑
j=
[
(r+2)m−1
2
]
−1
(bj)
2
(2nπ)4j+2
+
(r+2)m−1∑
j=
[
(r+2)m−1
2
]
(bj)
2
(2nπ)4j+2
)
=
= lim
m→∞
b[ (r+2)m−1
2
]
(2nπ)
2
[
(r+2)m−1
2
]
+1
2
= 0.
Остання рiвнiсть разом з (18) доводить твердження 2, а отже, i всю теорему.
Зауваження 1. Наслiдок на с. 75 роботи [4] у деяких випадках може бути уточнений.
Так, нехай q(x) = a(−1/2 +H(x− 1/2)), |a/(nπ)| < 1. Тодi будуть вiрними спiввiдношення
λn = (nπ)2 +
∞∑
j=0
aj
(2nπ)2j
,
√
λn = nπ +
∞∑
j=0
bj
(2nπ)2j+1
, (19)
де, згiдно з [5],
a0 = 0, a1 = a2
2 cos(πn) + 1
4
, a2 = −a4 cos(πn)
48
,
a3 = −a4 5 + 2 cos(πn)
4
+ a6
cos(πn)
3840
, a4 = a6
7 + 2 cos(πn)
48
− a8
cos(πn)
645120
,
a5 = a6
3(3 + 8 cos(πn))
4
− a8
24 + 11 cos(πn)
3840
+ a10
cos(πn)
362880
, . . . ,
b0 = 0, b1 = a1, b2 = a2, b3 = −a4 25 + 12 cos(πn)
48
+ a6
cos(πn)
3840
,
b4 = a6
16 + 5 cos(πn)
96
− a8
cos(πn)
645120
, . . . .
Тут q(x) ∈ L2(0, 1), q(x) /∈W 1
2 (0, 1) i для того щоб функцiя q(x) мала таку гладкiсть, згiдно
з наслiдком [4, c. 75], необхiдно i достатньо, щоб мала мiсце асимптотична рiвнiсть√
λn = nπ +
α̃1
2nπ
+
α̃n
(2nπ)2
, (20)
де lim
m→∞
α̃n = 0. Тодi як за умови |a/(nπ)| < 1 буде мати мiсце не тiльки (20), а й (19).
Зауваження 2. Достатня умова збiжностi FD-методу (5) вiдносно її поведiнки за поряд-
ковим номером власного значення n не залежить вiд гладкостi потенцiалу q(x) так само, як
i оцiнки поведiнки поправок до власних значень λ(j)n . Варто сподiватись, що при збiльшеннi
гладкостi потенцiалу умова (5) буде послаблюватись. Засобами комп’ютерної алгебри пока-
зано [5], що при низькiй гладкостi потенцiалу оцiнки поправок до власних значень λ(j)n є не-
покращуваними вiдносно порядку n. Так, коли q(x) = δ(x− 1/
√
2), маємо λ(j)n = O(1/nj−1),
тодi як при кусково постiйному потенцiалi λ(j)n = O(1/nj), що й пiдтверджує нашi сподi-
вання.
1. Макаров В.Л. О функционально-разностном методе произвольного порядка точности решения задачи
Штурма–Лиувилля с кусочно-гладкими коэффициентами // Докл. АН СССР. – 1991. – 320, № 1. –
С. 34–39.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
2. Макаров В.Л. FD-метод – экспоненциальная скорость сходимости // Обчисл. та прикл. математика. –
1997. – 82. – С. 69–74.
3. Макаров В.Л., Романюк Н.М. Новi властивостi FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–
Лiувiлля // Доп. НАН України. – 2014. – № 2. – С. 26–31.
4. Марченко В.А. Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1997. – 332 с.
5. Макаров В.Л., Романюк Н.М., Лазурчак I. I. Експериментально-аналiтичне дослiдження властивос-
тей складових FD-методу при його застосуваннi до задач Штурма–Лiувiлля // Зб. пр. Iн-ту матема-
тики НАН України. – 2013. – 10, № 3. – С. 145–170.
Надiйшло до редакцiї 26.06.2014Iнститут математики НАН України, Київ
Академик НАН Украины В.Л. Макаров
Достаточные условия сходимости асимптотического ряда
В.А. Марченко для собственных значений задачи
Штурма–Лиувилля
С помощью FD-метода найдены достаточные условия сходимости асимптотического ряда
В.А. Марченко для
√
λn, где λn — собственное значение задачи Штурма–Лиувилля с по-
линомиальным потенциалом.
Academician of the NAS of Ukraine V.L. Makarov
Sufficient conditions for the convergence of the V. A. Marchenko
asymptotic series for eigenvalues of the Sturm–Liouville problem
We state sufficient conditions for the convergence of the V.A. Marchenko asymptotic series for√
λn, where λn are the eigenvalues of the Sturm–Liouville problem with polynomial potential, by
using the functional discrete method.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 21
|