Моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта
Розглядається задача моделювання процесу очищення рiдин вiд багатокомпонентного забруднення просторовим фiльтром, яка враховує зворотний вплив визначальних факторiв (концентрацiї забруднення рiдини та осаду) на характеристики середовища (коефiцiєнт пористостi, дифузiї) i надає можливiсть визначення...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88545 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта / А.Я. Бомба, А.П. Сафоник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 26-32. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88545 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. 2015-11-16T18:19:56Z 2015-11-16T18:19:56Z 2014 Моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта / А.Я. Бомба, А.П. Сафоник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 26-32. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88545 519.63:532.5 Розглядається задача моделювання процесу очищення рiдин вiд багатокомпонентного забруднення просторовим фiльтром, яка враховує зворотний вплив визначальних факторiв (концентрацiї забруднення рiдини та осаду) на характеристики середовища (коефiцiєнт пористостi, дифузiї) i надає можливiсть визначення малого масообмiнного коефiцiєнта за умов домiнування конвективних складових над дифузiйними. Запропоновано алгоритм розв’язання вiдповiдної нелiнiйної оберненої сингулярно збуреної задачi типу конвекцiя–дифузiя–масообмiн. Рассматривается задача моделирования процесса очистки жидкостей от многокомпонентного загрязнения пространственным фильтром, которая учитывает обратное влияние определяющих факторов (концентрации загрязнения жидкости и осадка) на характеристики среды (коэффициент пористости, диффузии) и предоставляет возможность определения малого массообменного коэффициента при условиях доминирования конвективных составных над диффузными. Предложен алгоритм решения соответствующей нелинейной обратной сингулярно возмущенной задачи типа конвекция–диффузия–массообмен. The problem of modeling of the process of purification of liquids from a multicomponent pollution by a spatial filter is considered. The influence of the determining factors (concentrations of the contamination and the sediment) on the environmental characteristics (porosity coefficient, diffusion) is taken into account. The problem provides the opportunity for the definition of a small mass exchange factor under conditions of domination of convective constituents over diffusive ones. An algorithm of solution the corresponding nonlinear inverse singularly perturbed task of the convection–diffusion–mass exchange type is proposed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта Моделирование процесса фильтрования жидкости от многокомпонентного загрязнения пространственным фильтром при условии идентификации массообменного коэффициента Modeling the process of filtration of a fluid from a multicomponent pollution by a spatial filter under the condition of identification of the mass-exchange coefficient Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта |
| spellingShingle |
Моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. Інформатика та кібернетика |
| title_short |
Моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта |
| title_full |
Моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта |
| title_fullStr |
Моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта |
| title_full_unstemmed |
Моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта |
| title_sort |
моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта |
| author |
Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. |
| author_facet |
Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. |
| topic |
Інформатика та кібернетика |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| publishDate |
2014 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Моделирование процесса фильтрования жидкости от многокомпонентного загрязнения пространственным фильтром при условии идентификации массообменного коэффициента Modeling the process of filtration of a fluid from a multicomponent pollution by a spatial filter under the condition of identification of the mass-exchange coefficient |
| description |
Розглядається задача моделювання процесу очищення рiдин вiд багатокомпонентного
забруднення просторовим фiльтром, яка враховує зворотний вплив визначальних факторiв (концентрацiї забруднення рiдини та осаду) на характеристики середовища (коефiцiєнт пористостi, дифузiї) i надає можливiсть визначення малого масообмiнного коефiцiєнта за умов домiнування конвективних складових над дифузiйними. Запропоновано
алгоритм розв’язання вiдповiдної нелiнiйної оберненої сингулярно збуреної задачi типу
конвекцiя–дифузiя–масообмiн.
Рассматривается задача моделирования процесса очистки жидкостей от многокомпонентного загрязнения пространственным фильтром, которая учитывает обратное влияние
определяющих факторов (концентрации загрязнения жидкости и осадка) на характеристики среды (коэффициент пористости, диффузии) и предоставляет возможность определения малого массообменного коэффициента при условиях доминирования конвективных
составных над диффузными. Предложен алгоритм решения соответствующей нелинейной
обратной сингулярно возмущенной задачи типа конвекция–диффузия–массообмен.
The problem of modeling of the process of purification of liquids from a multicomponent pollution
by a spatial filter is considered. The influence of the determining factors (concentrations of
the contamination and the sediment) on the environmental characteristics (porosity coefficient, diffusion)
is taken into account. The problem provides the opportunity for the definition of a small
mass exchange factor under conditions of domination of convective constituents over diffusive
ones. An algorithm of solution the corresponding nonlinear inverse singularly perturbed task of
the convection–diffusion–mass exchange type is proposed.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88545 |
| citation_txt |
Моделювання процесу фільтрування рідини від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром за умов ідентифікації масообмінного коефіцієнта / А.Я. Бомба, А.П. Сафоник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 26-32. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT bombaaâ modelûvannâprocesufílʹtruvannârídinivídbagatokomponentnogozabrudnennâprostorovimfílʹtromzaumovídentifíkacíímasoobmínnogokoefícíênta AT safonikap modelûvannâprocesufílʹtruvannârídinivídbagatokomponentnogozabrudnennâprostorovimfílʹtromzaumovídentifíkacíímasoobmínnogokoefícíênta AT bombaaâ modelirovanieprocessafilʹtrovaniâžidkostiotmnogokomponentnogozagrâzneniâprostranstvennymfilʹtrompriusloviiidentifikaciimassoobmennogokoéfficienta AT safonikap modelirovanieprocessafilʹtrovaniâžidkostiotmnogokomponentnogozagrâzneniâprostranstvennymfilʹtrompriusloviiidentifikaciimassoobmennogokoéfficienta AT bombaaâ modelingtheprocessoffiltrationofafluidfromamulticomponentpollutionbyaspatialfilterundertheconditionofidentificationofthemassexchangecoefficient AT safonikap modelingtheprocessoffiltrationofafluidfromamulticomponentpollutionbyaspatialfilterundertheconditionofidentificationofthemassexchangecoefficient |
| first_indexed |
2025-11-27T02:59:05Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:59:05Z |
| _version_ |
1850795753600974848 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2014
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.63:532.5
А.Я. Бомба, А. П. Сафоник
Моделювання процесу фiльтрування рiдини
вiд багатокомпонентного забруднення просторовим
фiльтром за умов iдентифiкацiї масообмiнного
коефiцiєнта
(Представлено членом-кореспондентом НАН України C. I. Ляшком)
Розглядається задача моделювання процесу очищення рiдин вiд багатокомпонентного
забруднення просторовим фiльтром, яка враховує зворотний вплив визначальних фак-
торiв (концентрацiї забруднення рiдини та осаду) на характеристики середовища (кое-
фiцiєнт пористостi, дифузiї) i надає можливiсть визначення малого масообмiнного кое-
фiцiєнта за умов домiнування конвективних складових над дифузiйними. Запропоновано
алгоритм розв’язання вiдповiдної нелiнiйної оберненої сингулярно збуреної задачi типу
конвекцiя–дифузiя–масообмiн.
Аналiз результатiв дослiджень [1–11] свiдчить про наявнiсть складної структури взаємоза-
лежностi рiзних факторiв, якi визначають процеси фiльтрацiї та фiльтрування через порис-
тi середовища й не враховувалися в традицiйних (класичних, феноменологiчних) моделях
таких систем. Мотивом для побудови математичних моделей процесiв очищення рiдин вiд
багатокомпонентного забруднення просторовим фiльтром є вiдсутнiсть “модельних меха-
нiзмiв”, що враховують зворотний вплив рiзного роду характеристик процесу на характе-
ристики середовища, та iдентифiкацiя невiдомих параметрiв, якi входять до вiдповiдних
моделей.
У роботi [8] розроблено математичну модель процесу очищення рiдини у пористiй фiльт-
руючiй насадцi, що враховує зворотний вплив характеристик процесу (концентрацiї осаду)
на фiльтрацiйнi параметри, при цьому деякi коефiцiєнти розглянутого процесу визначалися
експериментальним шляхом.
У данiй роботi побудовано математичну модель процесу фiльтрування рiдини вiд ба-
гатокомпонентного забруднення в просторовому фiльтрi з урахуванням невiдомого малого
масообмiнного коефiцiєнта за умов домiнування конвективних складових над дифузiйними.
Розв’язок вiдповiдної оберненої задачi дає можливiсть iстотно наблизити числовi розрахун-
ки до реальних експериментальних даних (у порiвняннi з класичними, феноменологiчними
© А.Я. Бомба, А. П. Сафоник, 2014
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
моделями [8]), бiльш точно прогнозувати й розраховувати ефективнiсть процесу осадження
домiшок рiзних технологiчних водно-дисперсних систем.
Постановка задачi. Розглянемо криволiнiйний паралелепiпед (фiльтр) Gz = ABCDA∗
B∗C∗D∗, обмежений гладкими ортогональними мiж собою в кутових точках i ребрах еквi-
потенцiальними поверхнями ABB∗A∗ = {z : f1(x, y, z) = 0}, CDD∗C∗ = {z : f2(x, y, z) = 0},
а також поверхнями течiї ADD∗A∗ = {z : f3(x, y, z) = 0}, BCC∗B∗ = {z : f4(x, y, z) = 0},
ABCD = {z : f5(x, y, z) = 0}, A∗B∗C∗D∗ = {z : f6(x, y, z) = 0}. Припускаємо [8], що час-
тинки забруднення домiшок речовини можуть переходити з одного стану в iнший (про-
цеси захоплення–вiдриву, сорбцiї–десорбцiї), при цьому концентрацiї забруднення впли-
вають на характеристики вiдповiдного середовища (пористiсть, коефiцiєнт фiльтрацiї то-
що). Концентрацiя забруднення є багатокомпонентною (C = C(x, y, z, t) = (C1, . . . , Cm) =
(C1(x, y, z, t), . . . , Cm(x, y, z, t))), де Ci — концентрацiя i-ї компоненти домiшки (i = 1,m)
у рiдкому фiльтруючому середовищi. Вiдповiдний процес фiльтрування для областi G =
= Gz × (0,∞) опишемо такою модельною задачею:
∂(σ(P )Ci)
∂t
+ v⃗ · ∇⃗Ci + βiCi + ε
m∑
l,g=1,l ̸=g
kl,gClCg = Di∆Ci + εα(t)P,
∂P
∂t
=
(
m∑
i=1
βiCi
)
− εα(t)P, i = 1,m,
(1)
Ci|ABB∗A∗ = Ci,∗(M, t),
∂Ci
∂n⃗
∣∣∣∣
CDD∗C∗
= 0,
∂Ci
∂n⃗
∣∣∣∣
ADD∗A∗∪BCC∗B∗∪ABCD∪A∗B∗C∗D∗
= 0,
Ci(x, y, z, 0) = C0
i,0(x, y, z), P (x, y, z, 0) = P 0
0 (x, y, z),
(2)
v⃗ = κ(P )∇φ, ∇ · v⃗ = 0, (3)
φ|ABB∗A∗ = φ∗, φ|CDD∗∗ = φ∗,
∂φ
∂n⃗
∣∣∣∣
ADD∗A∗∪BCC∗B∗∪ABCD∪A∗B∗C∗D∗
= 0; (4)
α(t)
y
G
P (x̃, ỹ, z̃, t) dx̃dỹdz̃ = µ(t), (5)
де P (x, y, z, t) — концентрацiя осаду у внутрiшнiй точцi (x, y, z) областi G (завантаження
фiльтра) в момент часу t; βi — коефiцiєнти, що характеризують масовi об’єми осаджен-
ня домiшок за одиницю часу; α(t) — шуканий коефiцiєнт, що характеризує масовi об’єми
вiдiрваних вiд гранул завантаження частинок; µ(t) — функцiя, що характеризує масовi
розподiли осаду з часом (знаходиться експериментально [9]); (5) — умова перевизначення;
σ(P ) — пористiсть середовища (σ(P ) = σ0 − εσ∗P (x, y, z, t)); ∇⃗ — оператор Гамiльтона;
∆ = ∇⃗ · ∇⃗ — оператор Лапласа; Di = d0iε — коефiцiєнт дифузiї домiшки у рiдинi; σ∗, d0i,
ε — твердi параметри (характеризують вiдповiдний м’який параметр σ(P )), що знаходяться
експериментально; ε — малий параметр (вiн характеризує переваги одних складових про-
цесу над iншими, а саме, десорбцiйнi складовi та явища мiжкомпонентної взаємодiї цього
процесу є малими порiвняно з iншими його складовими); C∗
i (M, t), C0
i,0(x, y, z) — достатньо
гладкi функцiї, узгодженi мiж собою на ребрах областi G; M — довiльна точка вiдповiд-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 27
ної поверхнi; φ — фiльтрацiйний потенцiал (0 < φ∗ 6 φ 6 φ∗ < ∞); v⃗(vx, vy, vz) — вектор
швидкостi фiльтрацiї (|v⃗| > v∗ ≫ ε); κ = K(P ) — коефiцiєнт фiльтрацiї вiдповiдного по-
ристого середовища (K(P ) — задана, достатнього гладка функцiя); n⃗ — зовнiшня нормаль
до вiдповiдної поверхнi.
Шляхом введення пари функцiй ψ = ψ(x, y, z), η = η(x, y, z) (просторово квазiком-
плексно спряжених iз функцiєю φ(x, y, z)) таких, що κ gradφ = gradψ grad η [9] i замiною
граничних умов на умови ψ|ADD∗A∗ = 0, ψ|BCC∗B∗ = Q∗, η|ABCD = 0, η|A∗D∗C∗B∗ = Q∗,
ця задача замiнюється бiльш загальною прямою задачею на знаходження просторового
аналога квазiконформного вiдображення областi Gz на вiдповiдну область комплексного
квазiпотенцiалу Gw = {w = (φ,ψ, η) : φ∗ 6 φ 6 φ∗, 0 < ψ < Q∗, 0 < η < Q∗}, де Q∗, Q∗ —
невiдомi параметри; Q∗Q
∗ = Q =
∫
EFF∗E∗
∂φ
∂s
ds — кiлькiсть рiдини, що проходить через
деяку квазiеквiпотенцiальну поверхню EFF∗E∗ областi Gz (повна фiльтрацiйна витрата).
Приймемо, що дана задача на просторове конформне вiдображення Gw 7→ Gz (Gw = {w =
= (φ,ψ, η) : φ∗ < φ < φ∗, 0 < ψ < Q∗, 0 < η < Q∗} — вiдповiдна Gz область комплексного
потенцiалу) при деякому усередненому значеннi κ розв’язана [7, 8], зокрема, побудовано
динамiчну сiтку та поле швидкостi v⃗, обчислено фiльтрацiйну витрату Q = Q∗Q
∗. Тодi,
здiйснивши замiну змiнних x = x(φ,ψ, η), y = y(φ,ψ, η), z = z(φ,ψ, η) у системi (1) та
умовах (2), приходимо до вiдповiдної задачi для областi Gw × (0,∞)
∂(σ(ρ)ci)
∂t
+ v2
∂ci
∂φ
+ βici + ε
m∑
l,g=1,l ̸=g
kl,gclcg =
= εd0i
(
v2
∂2ci
∂φ2
+ b1
∂2ci
∂ψ2
+ b2
∂2ci
∂η2
+ d1
∂ci
∂ψ
+ d2
∂ci
∂η
)
+ εα(t)ρ,
∂ρ
∂t
=
m∑
i=1
βici − εα(t)ρ,
(6)
ci(φ∗, ψ, η, t) = c∗i (ψ, η, t), ci,φ(φ
∗, ψ, η, t) = 0,
ci,ψ(φ, 0, η, t) = ci,ψ(φ,Q∗, η, t) = ci,η(φ,ψ, 0, t) = ci,η(φ,ψ,Q
∗, t) = 0
ci(φ,ψ, η, 0) = ci,
0
0(φ,ψ, η), ρ(φ,ψ, η, 0) = ρ00(φ,ψ, η),
(7)
α(t)
y
Gw
ρ(φ̃, ψ̃, η̃, t) dφ̃dψ̃dη̃ = µ(t), (8)
де
ci = ci(φ,ψ, η, t) = Ci(x(φ,ψ, η), y(φ,ψ, η), z(φ,ψ, η), t),
ρ = ρ(φ,ψ, η, t) = P (x(φ,ψ, η), y(φ,ψ, η), z(φ,ψ, η), t),
b1 = b1(φ,ψ, η) = (∇⃗ψ)2, b2 = b2(φ,ψ, η) = (∇⃗η)2,
d1 = d1(φ,ψ, η) = ∆ψ, d2 = d2(φ,ψ, η) = ∆η,
v2(φ,ψ, η) = v2x(x(φ,ψ, η), y(φ,ψ, η), z(φ,ψ, η)) + v2y(x(φ,ψ, η), y(φ,ψ, η), z(φ,ψ, η)) +
+ v2z(x(φ,ψ, η), y(φ,ψ, η), z(φ,ψ, η)) (див., напр., [7, 8]).
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
Асимптотика розв’язку. Розв’язок задачi (6), (8) з точнiстю O(εn) шукаємо у виглядi
асимптотичних рядiв [7, 8]:
ci = ci,0 +
n∑
j=1
εjci,j +
n∑
j=0
εjΠi,j +
n∑
j=0
εjΠi,j +
n+1∑
j=0
εj/2Π̃i,j +
n+1∑
j=0
εj/2Πi,j +
+
n+1∑
j=0
εj/2
˜̃
Πi,j +
n+1∑
j=0
εj/2Π̂i,j +Rc,i, (9)
ρ = ρ0 +
n∑
j=1
εjρj +
n∑
j=0
εjPj +
n∑
j=0
εiP j +
n+1∑
j=0
εj/2P̃j +
n+1∑
j=0
εj/2P j +
+
n+1∑
j=0
εj/2
˜̃
P j +
n+1∑
j=0
εj/2P̂j +Rρ,
(10)
α(t) = α0(t) +
k∑
j=1
εjαj(t) +Rα(t, ε), (11)
де Rc,i(φ,ψ, η, t, ε), Rρ(φ,ψ, η, t, ε), Rα(φ,ψ, η, t, ε) — залишковi члени, ci,j(φ,ψ, η, t),
ρj(φ,ψ, η, t); αj(t) — члени регулярної частини асимптотики (i = 1,m; j = 0, n);
Πi,j(ξ, ψ, η, t), Pj(ξ, ψ, η, t) — функцiї типу примежового шару в околi φ = φ∗ (поправки на
виходi з фiльтра) (j = 0, 2), Πi,j(ξ, ψ, η, t), P j(ξ, ψ, η, t) — в околi φ = φ∗ (поправки на входi
у фiльтр) (j = 0, 2), а функцiї Π̃i,j(φ, ψ̃, η, t), Πi,j(φ,ψ, η, t),
˜̃
Πi,j(φ,ψ, ˜̃η, t), Π̂i,j(φ,ψ, η̂, t) та
P̃j(φ, ψ̃, η, t), P j(φ,
˜̃
ψ, η, t), ˜̃P j(φ,ψ, η̃, t), P̂j(φ,ψ, ˜̃η, t) (j = 0, 3) — в околах ψ = 0, ψ = Q,
η = 0, η = Q (поправки в околi бiчних “стiнок” фiльтра) вiдповiдно; ξ = (φ∗ − φ)/ε,
ξ = (φ− φ∗)/ε, ψ̃ = ψ/
√
ε, ψ̃ = (Q∗ − ψ)/
√
ε, ˜̃η = η/
√
ε, η̂ = (Q∗ − η)/
√
ε — “розтяги”
вiдповiдних змiнних.
Шляхом пiдстановки спiввiдношень (9)–(11) у (6)–(8) i виконання стандартної проце-
дури “прирiвнювання” коефiцiєнтiв при однакових степенях ε одержимо такi задачi для
знаходження ci,j(φ,ψ, η, t), ρj(φ,ψ, η, t) (j = 0, n):
σ0
∂ci,0
∂t
+ v2
∂ci,0
∂φ
+ βici,0 = 0,
∂ρ0
∂t
=
m∑
i=1
βici,0,
ci,0(φ,ψ, η, 0) = c0i,0, ci,0(φ∗, ψ, η, t) = ci∗(ψ, η, t),
ρ0(φ,ψ, η, 0) = ρ00;
α0(t)
y
Gw
ρ0(φ̃, ψ̃, η̃, t) dφ̃dψ̃dη̃ = µ(t),
−σ∗ρj−1
∂ci,j
∂t
+ v2
∂ci,j
∂φ
+ βici,j +
m∑
l,g=1,l ̸=g
kl,gcl,j−1cg,j−1 = Ui,j ,
∂ρj
∂t
=
m∑
i=1
βici,j −
j∑
k=1
αj−k(t)ρk−1,
ci,j(φ,ψ, η, 0) = 0, ci,j(φ∗, ψ, η, t) = 0,
ρj(φ,ψ, η, 0) = 0;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 29
α0(t)
y
Gw
ρ0(φ̃, ψ̃, η̃, t) dφ̃dψ̃dη̃ + α1(t)
y
Gw
ρj−1(φ̃, ψ̃, η̃, t) dφ̃dψ̃dη̃ + · · ·+
+ αj(t)
y
Gw
ρ0(φ̃, ψ̃, η̃, t) dφ̃dψ̃dη̃ = 0.
В результатi їх розв’язання отримаємо:
ci,0 =
ci,∗(ψ, η, t− f) exp
[
−βi
φ∫
φ∗
dφ̃
v2(φ̃, ψ, η)
]
, t > f,
c0i,0(f
−1(f − t, ψ, η), ψ, η) exp
[
−βit
σ0
]
, t < f,
ρ0 =
t∫
0
(
m∑
i=1
βici,0
)
dt̃+ ρ00, α0(t) =
µ(t)y
Gw
ρ0(φ̃, ψ̃, η̃, t) dφ̃dψ̃dη̃
,
ci,j =
e−λ1
φ∫
φ0
Ui,j(s, ψ, η, f(s, ψ, η)− f + t)
v2(s, ψ, η)
eλ2(s,ψ,η,t)ds, t > f,
−e
−λ1
σ∗
t∫
0
Ui,j(f
−1(s+ f − t, ψ, η), ψ, η, s)
ρj−1(f−1(s+ f − t, ψ, η), ψ, η)
eλ2(φ,ψ,η,s)ds, t < f,
ρj =
t∫
0
(
m∑
i=1
βici,j −
j∑
k=1
αj−k(t)ρk−1
)
dt̃, αj(t) =
j∑
k=1
αj−k(t)
y
Gw
ρj(φ̃, ψ̃, η̃, t) dφ̃dψ̃dη̃
y
Gw
ρ0(φ̃, ψ̃, η̃, t) dφ̃dψ̃dη̃
,
де
Ui,j(φ,ψ, η, t) = d0i
(
v2
∂2ci,j
∂φ2
+ b1
∂2ci,j
∂ψ2
+ b2
∂2ci,j
∂η2
+ d1
∂ci,j
∂ψ
+ d2
∂ci,j
∂η
)
+
+ αj−1(t)ρj−1 −
m∑
l,g=1,l ̸=g
kl,gcl,j−1cg,j−1, (j = 2, n),
λ1(φ,ψ, η, t) = −βi
φ∫
φ0
ρj−1(s, ψ, η, f(φ̃, ψ, η) + t− f)ci,j(s, ψ, η, f(φ̃, ψ, η) + t− f)
v2(s, ψ, η)
ds,
λ2(φ,ψ, η, t) = −βi
t∫
0
ρj−1(f
−1(s̃+ f − t, ψ, η), ψ, η, s̃)ci,j(f
−1(s̃+ f − t, ψ, η), ψ, η, s̃)
σ(f−1(t̃+ f − t, ψ, η), ψ, η)
ds̃,
f(φ,ψ, η) =
φ∫
φ0
ds
v2(s, ψ, η)
— час проходження вiдповiдною частинкою шляху вiд точки
(x(φ∗, ψ, η), y(φ∗, ψ, η), z(φ∗, ψ, η)) ∈ ABB∗A∗ до точки (x(φ,ψ, η), y(φ,ψ, η), z(φ,ψ, η)) ∈ Gz
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
уздовж вiдповiдної лiнiї течiї (як перетину деяких двох поверхонь ψ(x, y, z) = ψ, 0 6 ψ 6 Q∗,
η(x, y, z) = η, 0 6 η 6 Q∗), f−1 — функцiя, обернена до f вiдносно змiнної φ (вiдзначимо, що
така функцiя iснує, оскiльки v2(φ,ψ, η) — неперервно диференцiйовна, обмежена, додатно
визначена функцiя.
Функцiї Πi,j(ξ, ψ, η, t), Pj(ξ, ψ, η, t) φ = φ∗, (j = 0, 2), Πi,j(ξ, ψ, η, t), P j(ξ, ψ, η, t),
(j = 0, 2), Π̃i,j(φ, ψ̃, η, t), Πi,j(φ,ψ, η, t),
˜̃
Πi,j(φ,ψ, ˜̃η, t), Π̂i,j(φ,ψ, η̂, t) та P̃j(φ, ψ̃, η, t),
P j(φ,
˜̃
ψ, η, t), ˜̃P j(φ,ψ, η̃, t), P̂j(φ,ψ, ˜̃η, t) (j = 0, 3) знаходяться аналогiчно [8]. Оцiнка за-
лишкових членiв проводиться згiдно з [8].
Розв’язок вiдповiдної оберненої нелiнiйної модельної задачi, що описує процес фiльтру-
вання рiдини вiд багатокомпонентного забруднення в просторовому фiльтрi, дає можливiсть
iстотно наблизити числовi розрахунки до реальних експериментальних даних (у порiвняннi
з класичними, феноменологiчними моделями), бiльш точно прогнозувати й розраховувати
ефективнiсть процесу осадження домiшок рiзних технологiчних водно-дисперсних систем.
У перспективi — моделювання процесiв фiльтрування в умовах неповних даних та автома-
тизацiя вiдповiдних процесiв (див., наприклад, [8, 10, 11]).
1. Elimelech M. Predicting collision efficiencies of colloidal particles in porous media // Water Research. –
1992. – 26, No 1. – P. 1–8.
2. Elimelech M. Particle deposition on ideal collectors from dilute flowing suspensions: Mathematical formula-
tion, numerical solution and simulations // Separ. Technology. – 1994. – 4. – P. 186–212.
3. Jegatheesan V. Effect of surface chemistry in the transient stages of deep bed filtration. – PhD Thesis,
Univ. of Technology, Sydney, 1999. – 300 p.
4. Johnson P.R., Elimelech M. Dynamics of colloid deposition in porous media: Blocking based on random
sequential adsorption // Langmuir. – 1995. – 11, No 3. – P. 801–812.
5. Ison C.R., Ives K. J. Removal mechanisms in deep bed filtration // Che. Engng. Sci. – 1969. – 24. –
P. 717–729.
6. Ives K. J. Rapid filtration // Water Research. – 1970. – 4, No 3. – P. 201–223.
7. Бомба А.Я., Барановський С.В., Присяжнюк I.М. Нелiнiйнi сингулярно-збуренi задачi типу “конвек-
цiя-дифузiя”. – Рiвне: НУВГП, 2008. – 252 с.
8. Бомба А.Я., Гаврилюк В. I., Сафоник А.П., Фурсачик О.А. Нелiнiйнi задачi типу фiльтрацiя-конвек-
цiя-дифузiя-масообмiн за умов неповних даних. – Рiвне: НУВГП, 2011. – 276 с.
9. Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом
уравнении // Сиб. мат. журн. – 1998. – 39, № 3. – С. 539–550.
10. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решения комбинированных обратных задач для параболических
многокомпонентных распределенных систем // Кибернетика и систем. анализ. – 2007. – № 5. –
С. 48–71.
11. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии
вещества в нанопористой среде // Пробл. управления и информатики. – 2010. – № 6. – С. 5–18.
Надiйшло до редакцiї 07.04.2014Нацiональний унiверситет водного господарства
та природокористування, Рiвне
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 31
А.Я. Бомба, А.П. Сафоник
Моделирование процесса фильтрования жидкости
от многокомпонентного загрязнения пространственным фильтром
при условии идентификации массообменного коэффициента
Рассматривается задача моделирования процесса очистки жидкостей от многокомпонент-
ного загрязнения пространственным фильтром, которая учитывает обратное влияние
определяющих факторов (концентрации загрязнения жидкости и осадка) на характерис-
тики среды (коэффициент пористости, диффузии) и предоставляет возможность опре-
деления малого массообменного коэффициента при условиях доминирования конвективных
составных над диффузными. Предложен алгоритм решения соответствующей нелинейной
обратной сингулярно возмущенной задачи типа конвекция–диффузия–массообмен.
A.Ya. Bomba, A.P. Safonyk
Modeling the process of filtration of a fluid from a multicomponent
pollution by a spatial filter under the condition of identification of the
mass-exchange coefficient
The problem of modeling of the process of purification of liquids from a multicomponent pollu-
tion by a spatial filter is considered. The influence of the determining factors (concentrations of
the contamination and the sediment) on the environmental characteristics (porosity coefficient, di-
ffusion) is taken into account. The problem provides the opportunity for the definition of a small
mass exchange factor under conditions of domination of convective constituents over diffusive
ones. An algorithm of solution the corresponding nonlinear inverse singularly perturbed task of
the convection–diffusion–mass exchange type is proposed.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
|