О близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне
Приводятся условия существования близких к синхронным движений заряженной частицы в электромагнитной волне. Рассмотрен эффект образования сгустка ионизированной плазмы. Встановлено умови iснування близьких до синхронних рухiв зарядженої частинки в електромагнiтнiй хвилi. Розглянуто ефект утворення з...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88549 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне / Н.В. Никитина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 53-57. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859526881227833344 |
|---|---|
| author | Никитина, Н.В. |
| author_facet | Никитина, Н.В. |
| citation_txt | О близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне / Н.В. Никитина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 53-57. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Приводятся условия существования близких к синхронным движений заряженной частицы в электромагнитной волне. Рассмотрен эффект образования сгустка ионизированной плазмы.
Встановлено умови iснування близьких до синхронних рухiв зарядженої частинки в електромагнiтнiй хвилi. Розглянуто ефект утворення згустка iонiзованої плазми.
The conditions of existence of the motions close to synchronous ones of a charged particle in an
electromagnetic wave are presented. The effect of formation of a cluster of the ionized plasma is considered.
|
| first_indexed | 2025-11-25T22:20:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
Н.В. Никитина
О близких к синхронным движениях заряженной
частицы в электромагнитной волне
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
Приводятся условия существования близких к синхронным движений заряженной час-
тицы в электромагнитной волне. Рассмотрен эффект образования сгустка ионизиро-
ванной плазмы
Рассматривается электродинамическая задача, которая связана с общей задачей синхрони-
зации динамических систем [1], а именно, движение заряженной частицы в стоячей электро-
магнитной волне. В обзоре, посвященном шаровым молниям (ШМ) [2], большое внимание
уделено исследованиям П.Л. Капицы [3]. Приведем постановку задачи, согласно [2–4], о дви-
жении заряженной частицы в стоячей электромагнитной волне. Перечислим три основные
предположения рабочей гипотезы [3].
1. Во время свечения к ШМ непрерывно подводится энергия. Известно, что поглощение
электромагнитной энергии колебаний происходит при резонансе, когда собственный период
электромагнитных колебаний плазмы совпадает с периодом поглощения излучения.
2. Возможно, единственный способ подвода энергии — это поглощение приходящих извне
интенсивных радиоволн. Источником радиоволн является колебательный процесс, проис-
ходящий в ионизированной атмосфере.
3. Местами, наиболее благоприятными для образования ШМ, будут те области, где ра-
диоволны достигают наибольшей интенсивности. Поглощение электромагнитных колеба-
ний ионным газом может происходить только в определенных поверхностях, параллельных
земле. Этот процесс кратковременный.
В данной работе показано, что при определенном уровне диссипации система входит
в состояние, близкое к синхронизму, и именно это состояние характерно для возникновения
ШМ. Таким образом, в простейшей модели ШМ можно установить критерий синхронизма
и объяснить механизм образования этого явления.
Постановка задачи. Простейшая модель. Сила, с которой электромагнитное поле
действует на частицу, является силой Лоренца
F = q
(
E+
1
c
v ×B
)
,
где q — заряд частицы; E — напряженность электрического поля; B — магнитная индук-
ция; v — скорость частицы; c — скорость света [4]. В системе координат OXY Z проекции
векторов E и B имеют вид
EX = 0, EY = E0 cosωt sin kX, EZ = 0,
BX = 0, BY = 0, BZ = −E0
c
sinωt cos kX,
© Н.В. Никитина, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 53
где ω — частота колебаний; k — волновое число. Фазы электрических и магнитных по-
лей смещены во времени на π/2, поэтому энергия в среднем за период равна нулю, что
характерно для стоячей волны.
Уравнения движения частицы можно представить в виде
Ẍ +
H
M
Ẋ +
qE0
cM
Ẏ sinωt cos kX = 0,
Ÿ +
H
M
Ẏ − qE0
M
cosωt sin kX − qE0
cM
Ẋ cosωt sin kX = 0,
Z̈ +
H
M
Ż = 0,
где H — коэффициент сопротивления; M — масса частицы. Заметим, что координата Z не
входит в первые два уравнения.
Перейдем к безразмерным переменным x = kX, y = kY , τ = ωt, введем новую пере-
менную z = ẏ. Учитывая, что ω/k = c, уравнения движения частицы в безразмерном виде
запишутся так:
dx
dτ
− y = 0,
dy
dτ
+ hy +Az cosx sin τ = 0,
dz
dτ
+ hz −A sinx cos τ −Ay cosx sin τ = 0,
(1)
где h = H/(Mω), A = qE0/(cMω). Так как в уравнения (1) включена сила сопротивления,
волна будет перемещаться параллельно плоскости xy в сторону устойчивой особой точки.
Уравнения (1) можно рассматривать в качестве абстрактной трехмерной модели, которая
описывает также движение заряженной частицы в электромагнитной волне.
Приведем систему (1) к виду автономной системы
du
dτ
= v,
dv
dτ
= −u,
dx
dτ
= y,
dy
dτ
= −hy +Avz cosx,
dz
dτ
= −hz +Au sinx−Avy cosx,
(2)
где
u = cos τ, v = − sin τ, u(0) = 1, v(0) = 0. (3)
Введем малое отклонение δu, δv, δx, δy, δz в системе (2) от частных решений u, v, x, y,
z и составим уравнения в вариациях [5]
dδu
dτ
− δv = 0,
dδv
dτ
− δu = 0,
dδx
dτ
− δy = 0,
dδy
dτ
+ hδy −Az cosxδv +Avz sinxδx−Av cosxδz = 0,
dδz
dτ
+ hδz −A sinxδu+Ay cosxδv −Au cosxδx−Avy sinxδx+Av cosxδy = 0.
(4)
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
Характеристическое уравнение системы (4) имеет вид
(λ2 + 1)(λ3 + 2λ2h+ λ(h2 +A2v2 cos2 x+Avz sinx)−A2vu cos2 x−
−A2v2y sinx cosx+Ahvz sinx) = 0. (5)
Корни характеристического уравнения (5) разделяются. Имеют место два уравнения
λ2 + 1 = 0,
λ3 + 2λ2h+ λ(h2 +A2v2 cos2 x+Avz sinx)−A2vu cos2 x−A2v2y sinx cosx+
+Ahvz sinx = 0,
(6)
где u, v определяются решением (3). Два корня уравнения имеют вид λ1,2 = ±i и соот-
ветствуют первым двум уравнениям системы (4), остальные находятся из второго уравне-
ния (6).
Разделение корней характеристического уравнения (5) является предпосылкой того, что
частица может совершать движение в состоянии, близком к синхронизации. Вид характе-
ристического уравнения (5) аналогичен виду характеристического уравнения при периоди-
ческом воздействии на нелинейный осциллятор, который порождает предельный цикл [5].
Множитель (λ2 + 1) в характеристическом уравнении диссипативной системы (5) можно
рассматривать как внешний сигнал, что указывает на возможность возникновения дви-
жений близких, к синхронизации системы (1). Это качество при определенном значении
параметров превратит траектории движения частиц в сгусток ионизированной плазмы.
Введем предположение о малости коэффициента A. Тогда на основе анализа характе-
ристических показателей (ХП) точек траектории системы (1) можно установить порядок
второго коэффициента h системы (1), который вызывает движение, близкое к синхронизи-
рованному. Качество ХП точек траектории должно ввести систему (1) в состояние, близкое
к синхронизму. Процесс возникает на конечном отрезке времени.
Консервативная система. Движение частицы в стоячей электромагнитной волне оп-
ределяется уравнениями
du
dτ
= v,
dv
dτ
= −u, dx
dτ
= y,
dy
dτ
= Avz cosx,
dz
dτ
= Au sinx−Avy cosx. (7)
Особая точка O(u = 0, v = 0, x = 0, y = 0, z = 0) имеет такие ХП: λ1,2 = ±i, λ3 = λ4 =
= λ5 = 0. Покажем, что из трех нулевых корней два корня кратные. Характеристическая
матрица линейной системы (7) распадается на три. Одна из них, соответствующая третьему
и четвертому уравнениям системы (7), имеет вид(
λ −1
0 λ
)
. (8)
При помощи элементарных преобразований характеристическая матрица (8) приводится
к виду(
λ2 0
0 λ
)
.
Корни λ3 = 0, λ4 = 0 являются кратными.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 55
Рис. 1
Рис. 2
Рассмотрим характеристическое уравнение системы в вариациях (5) при h = 0. Для
определения x, y, z применим численное решение системы (7). ХП уравнения (5) разде-
ляются на две группы: периодические λ1,2 = ±i и седлофокусные λ3 < 0, Reλ4,5 > 0.
Седловая величина при этом σ = λ3 + λ4 + λ5 = 0 для всех точек траектории.
Траектория не замыкается и не уходит, а бесконечно наматывается на орбиту (рис. 1,
а, б, в, начальные возмущения лишь y(0) = 0,01).
Система с диссипацией. Разделение ХП в характеристическом уравнении (5) позво-
ляет предсказать существование почти синхронного режима колебаний при h ̸= 0 с часто-
той, равной единице (период колебаний T = 2π). На рис. 2, а приведено пространственное
изображение синхронизированных колебаний при h = 3; A = 0,2; x(0) = y(0) = 0,01 на
отрезке τ ∈ (5, T · 40), где T = 2π. Синхронизация происходит на конечном промежутке
времени, т. е. имеет место переходный процесс, который включает почти синхронизиро-
ванные колебания. Траектория на отрезке τ ∈ (5, T · 40) имеет следующие ХП: λ1,2 = ±i
и узел-фокусные λ3 > 0, |λ3| ≪ 1, Reλ4,5 < 0, |Reλ4,5| ≫ 1, так, что σ = λ3 + λ4 + λ5 < 0,
|σ| ≫ 1. Эффект образования сгустка ионизированной плазмы происходит благодаря силь-
ному притяжению витков (Reλ4,5 < 0, |Reλ4,5| ≫ 1; |σ| ≫ 1).
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
При уменьшении диссипации (h = 0, 3) траектории заряженных частиц не представляют
собой сгусток ионизированной плазмы. На рис. 2, б приведено движение при h = 0,3; A =
= 0,2; x(0) = y(0) = 0,01 на отрезке τ ∈ (5, T · 40), где T = 2π, на рис. 2, в — движение
при h = 0,3; A = 0,2; x(0) = y(0) = 0,01 на отрезке τ ∈ (60, T · 40). Траектория имеет
следующие ХП: λ1,2 = ±i и узел-фокусные λ3 > 0, |λ3| ≪ 1, Reλ4,5 < 0, |Reλ4,5| < 1, так,
что σ = λ3 + λ4 + λ5 < 0, |σ| < 1. В этом случае слабое притяжение в точках траектории не
вызывает движение, близкое к синхронному, с частотой, равной ω = 1.
Отметим некоторые особенности качественного анализа движения заряженной частицы
в электромагнитной волне.
1. Характеристическое уравнение (5), которое включает частные решения системы (2),
позволяет указать ХП любой точки на траектории движения частицы и рассмотреть меха-
низм образования процесса синхронизации.
2. Множитель (λ2 + 1) в характеристическом уравнении диссипативной системы (5)
указывает на возможность синхронизации системы (1) с частотой ω = 1.
3. В диссипативной модели ШМ поиск синхронного режима связан с нахождением зна-
чения параметра h, при котором движение двух объектов объединены в единую систему.
Численное значение параметра h в движении, близком к синхронизации, на порядок выше
значения параметра A.
1. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. – Москва: Наука, 1971. – 894 с.
2. Сигнер С. Природа шаровой молнии. – Москва: Мир, 1973. – 267 с.
3. Капица П.Л. О природе шаровой молнии // Докл. АН СССР. – 1955. – 101, № 2. – С. 245–248.
4. Джексон Дж. Классическая электродинамика. – Москва: Мир, 1965. – 702 с.
5. Никитина Н.В. Нелинейные системы со сложным и хаотическим поведением траекторий. – Киев:
Феникс, 2012. – 235 с.
Поступило в редакцию 29.05.2014Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Н.В. Нiкiтiна
Про рух, близький до синхронного зарядженої частинки
в електромагнiтной хвилi
Встановлено умови iснування близьких до синхронних рухiв зарядженої частинки в елект-
ромагнiтнiй хвилi. Розглянуто ефект утворення згустка iонiзованої плазми.
N.V. Nikitina
About the motions close to synchronous ones of a charged particle in an
electromagnetic wave
The conditions of existence of the motions close to synchronous ones of a charged particle in an
electromagnetic wave are presented. The effect of formation of a cluster of the ionized plasma is
considered.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 57
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88549 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T22:20:11Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Никитина, Н.В. 2015-11-16T18:21:17Z 2015-11-16T18:21:17Z 2014 О близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне / Н.В. Никитина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 53-57. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88549 531.36 Приводятся условия существования близких к синхронным движений заряженной частицы в электромагнитной волне. Рассмотрен эффект образования сгустка ионизированной плазмы. Встановлено умови iснування близьких до синхронних рухiв зарядженої частинки в електромагнiтнiй хвилi. Розглянуто ефект утворення згустка iонiзованої плазми. The conditions of existence of the motions close to synchronous ones of a charged particle in an electromagnetic wave are presented. The effect of formation of a cluster of the ionized plasma is considered. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне Про рух, близький до синхронного зарядженої частинки в електромагнiтной хвилi About the motions close to synchronous ones of a charged particle in an electromagnetic wave Article published earlier |
| spellingShingle | О близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне Никитина, Н.В. Механіка |
| title | О близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне |
| title_alt | Про рух, близький до синхронного зарядженої частинки в електромагнiтной хвилi About the motions close to synchronous ones of a charged particle in an electromagnetic wave |
| title_full | О близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне |
| title_fullStr | О близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне |
| title_full_unstemmed | О близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне |
| title_short | О близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне |
| title_sort | о близких к синхронным движениях заряженной частицы в электромагнитной волне |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88549 |
| work_keys_str_mv | AT nikitinanv oblizkihksinhronnymdviženiâhzarâžennoičasticyvélektromagnitnoivolne AT nikitinanv proruhblizʹkiidosinhronnogozarâdženoíčastinkivelektromagnitnoihvili AT nikitinanv aboutthemotionsclosetosynchronousonesofachargedparticleinanelectromagneticwave |