Визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування
Розглянуто навантажену на нескiнченностi пластину з центральною трiщиною нормального вiдриву. В рамках моделi трiщини з зоною передруйнування знайдено аналiтичнi розв’язки для перемiщень берегiв трiщини, побудовано систему рiвнянь для визначення безпечної довжини трiщини, вiдповiдної довжини зони пе...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88550 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування / М.Ф. Селiванов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 58-65. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88550 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-885502025-02-09T22:16:23Z Визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування Определение безопасной длины трещины и распределения сил сцепления в рамках модели трещины с зоной предразрушения Determination of the safe crack length and cohesive traction distribution using the model of a crack with prefacture zone Селіванов, М.Ф. Механіка Розглянуто навантажену на нескiнченностi пластину з центральною трiщиною нормального вiдриву. В рамках моделi трiщини з зоною передруйнування знайдено аналiтичнi розв’язки для перемiщень берегiв трiщини, побудовано систему рiвнянь для визначення безпечної довжини трiщини, вiдповiдної довжини зони передруйнування та параметрiв розподiлу сил зчеплення при заданому рiвнi iнтенсивностi зовнiшнього навантаження. Числовi розв’язки отримано для таких зв’язкiв зчеплення–вiдриву, при яких iнтенсивнiсть сил зчеплення в точцi зовнiшньої границi зони передруйнування перевищує рiвень iнтенсивностi зовнiшнього навантаження. Рассмотрена нагруженная на бесконечности пластина с центральной трещиной нормального отрыва. В рамках модели трещины с зоной предразрушения найдены аналитические решения для перемещений берегов трещины, построена система уравнений для определения безопасной длины трещины, соответствующей длины зоны предразрушения и параметров распределения сил сцепления при заданном уровне интенсивности внешнего нагружения. Числовые решения получены для таких связей сцепления–отрыва, при которых интенсивность сил сцепления в точке внешней границы зоны предразрушения превышает уровень интенсивности внешнего нагружения. The loaded at infinity plate with a central mode I crack is considered. Using the cohesive zone model, a solution for crack displacements is given. Constitutive relationships for the safe crack length corresponding to the cohesive zone length and parameters of a cohesive traction distribution are found for the given intensity of an external load. Numerical solutions are obtained for tractionseparation relationships such that the cohesive traction at the cohesive crack tip exceeds the external load intensity. 2014 Article Визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування / М.Ф. Селiванов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 58-65. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88550 539.421 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Селіванов, М.Ф. Визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто навантажену на нескiнченностi пластину з центральною трiщиною нормального вiдриву. В рамках моделi трiщини з зоною передруйнування знайдено аналiтичнi розв’язки для перемiщень берегiв трiщини, побудовано систему рiвнянь для визначення безпечної довжини трiщини, вiдповiдної довжини зони передруйнування та
параметрiв розподiлу сил зчеплення при заданому рiвнi iнтенсивностi зовнiшнього навантаження. Числовi розв’язки отримано для таких зв’язкiв зчеплення–вiдриву, при яких iнтенсивнiсть сил зчеплення в точцi зовнiшньої границi зони передруйнування перевищує рiвень iнтенсивностi зовнiшнього навантаження. |
| format |
Article |
| author |
Селіванов, М.Ф. |
| author_facet |
Селіванов, М.Ф. |
| author_sort |
Селіванов, М.Ф. |
| title |
Визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування |
| title_short |
Визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування |
| title_full |
Визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування |
| title_fullStr |
Визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування |
| title_full_unstemmed |
Визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування |
| title_sort |
визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88550 |
| citation_txt |
Визначення безпечної довжини тріщини та розподілу сил зчеплення в рамках моделі тріщини з зоною передруйнування / М.Ф. Селiванов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 58-65. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT selívanovmf viznačennâbezpečnoídovžinitríŝinitarozpodílusilzčeplennâvramkahmodelítríŝinizzonoûperedruinuvannâ AT selívanovmf opredeleniebezopasnoidlinytreŝinyiraspredeleniâsilscepleniâvramkahmodelitreŝinyszonoipredrazrušeniâ AT selívanovmf determinationofthesafecracklengthandcohesivetractiondistributionusingthemodelofacrackwithprefacturezone |
| first_indexed |
2025-12-01T08:34:22Z |
| last_indexed |
2025-12-01T08:34:22Z |
| _version_ |
1850294209790083072 |
| fulltext |
УДК 539.421
М.Ф. Селiванов
Визначення безпечної довжини трiщини та розподiлу
сил зчеплення в рамках моделi трiщини з зоною
передруйнування
(Представлено академiком НАН України В.Д. Кубенком)
Розглянуто навантажену на нескiнченностi пластину з центральною трiщиною нор-
мального вiдриву. В рамках моделi трiщини з зоною передруйнування знайдено аналi-
тичнi розв’язки для перемiщень берегiв трiщини, побудовано систему рiвнянь для ви-
значення безпечної довжини трiщини, вiдповiдної довжини зони передруйнування та
параметрiв розподiлу сил зчеплення при заданому рiвнi iнтенсивностi зовнiшнього на-
вантаження. Числовi розв’язки отримано для таких зв’язкiв зчеплення–вiдриву, при
яких iнтенсивнiсть сил зчеплення в точцi зовнiшньої границi зони передруйнування пе-
ревищує рiвень iнтенсивностi зовнiшнього навантаження.
1. У сучасних дослiдженнях розвитку трiщин поряд з числовими характеристиками трiщи-
ностiйкостi (критичний коефiцiєнт iнтенсивностi напружень, критичне розкриття трiщини,
енергiя руйнування) використовуються i характеристики у виглядi функцiональних залеж-
ностей, якi мiстять числовi параметри трiщиностiйкостi, разом iз законом σ = σ(δ). Цей
закон пов’язує розкриття берегiв трiщини в зонi послаблених зв’язкiв у фронта трiщини,
δ(x) з iнтенсивнiстю сил зчеплення σ(x), прикладених у зазначених зонах в рамках моделi
трiщини з зоною передруйнування (Cohesive Zone Model — CZM).
Метою роботи є визначення безпечної довжини трiщини, вiдповiдної довжини зони пе-
редруйнування та закону розподiлу сил зчеплення для заданого рiвня iнтенсивностi зов-
нiшнього навантаження та спiввiдношення зчеплення–вiдриву (Traction-Separation Relation-
ship — TSR).
Основна частина дослiджень механiки руйнування з використанням CZM проводиться
за допомогою методу скiнченних елементiв (див. огляд [1]). Єдиною роботою з визначення
напружень в зонi передруйнування за допомогою методу комплексних потенцiалiв є робо-
та [2]. В нiй побудовано вираз для розкриття трiщини для використання в рамках CZM
i визначено напруження в зонi передруйнування для найпростiшого TSR в лiнiйнiй фор-
мi змiцнення. Така форма передбачає максимальне значення iнтенсивностi сил зчеплення
в вершинi зони передруйнування.
Для розв’язання першої основної задачi плоскої теорiї пружностi в данiй роботi вико-
ристано метод Мусхелiшвiлi. Отримано горизонтальнi та вертикальнi перемiщення берегiв
трiщини при заданому кусково-лiнiйному розподiлi сил зчеплення. Пiдстановкою аналiтич-
них виразiв для розкриття у вузлах функцiї σ(x) в TSR i доповненням отриманих рiвнянь
умовою скiнченностi напружень в вершинi зони передруйнування отримано систему рiвнянь
для визначення критичної довжини трiщини, зовнiшньої границi зони передруйнування та
параметрiв функцiї σ(x). Для числових розрахункiв використано TSR з дiлянками змiц-
нення та знемiцнення у формi кубiчного полiнома.
© М.Ф. Селiванов, 2014
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
Рис. 1
2. Визначення перемiщень берегiв трiщини при кусково-лiнiйному розподiлi
сил зчеплення. Розглянемо класичну задачу механiки руйнування про трiщину в нескiн-
ченнiй пластинi. На нескiнченностi до пластини прикладено навантаження, напрямок якого
збiгається з напрямком нормалi до лiнiї розташування трiщини (рис. 1, а).
Моделюватимемо трiщину розрiзом довжиною 2b вздовж осi Ox. На продовженнi цього
розрiзу вводимо додатковий розрiз довжиною d− b з прикладеними до берегiв самоурiвно-
важеними силами зчеплення σ(x). Додатковий розрiз моделює зону послаблених зв’язкiв
перед фронтом трiщини i має назву зони передруйнування. Закон σ(x) задаємо у кусково-лi-
нiйнiй формi (рис. 1, б ). Береги трiщини змикаються плавно, тобто напруження в вершинi
трiщини є скiнченними.
Розглянемо контурнi умови (на рис. 1, б взято n = 4):
σ±(x) =
(bk − x)σk−1 + (x− bk−1)σk
△ bk
, bk−1 6 x 6 bk,
0, x ∈ L′,
σ±(−x) = σ±(x),
τ±xy(x) = 0, x ∈ L,
L′′ = (−d,−b)
∪
(b, d), L′ = L\L′′, L = (−d, d);
△ bk = bk − bk−1, k = 1, 2, . . . , n.
Напруження та перемiщення в рамках плоскої задачi лiнiйної теорiї пружностi визна-
чаються комплексними потенцiалами Φ(z) i Ω(z) [3]:
σy + σx = 4ReΦ(z);
σy − iτxy = Φ(z) + Ω(z) + (z − z)Φ′(z);
2µ(u+ iv) = κφ(z)− ω(z)− (z − z)Φ(z),
φ(z) =
∫
Φ(z) dz, ω(z) =
∫
Ω(z) dz.
(1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 59
Граничнi умови на контурi прямолiнiйного розрiзу вздовж осi Ox, згiдно з другим рiв-
нянням спiввiдношень (1) мають вигляд
Φ+(x) + Ω−(x) = σ+i , Φ−(x) + Ω+(x) = σ−i ,
де введено позначення σi = σy − iτxy; f±(x) — значення функцiї f(z) на верхньому i ниж-
ньому берегах розрiзу. Додаючи та вiднiмаючи правi i лiвi частини рiвнянь, отримаємо
задачу Рiмана–Гiльберта для функцiй Φ(z) ± Ω(z):
[Φ(x) + Ω(x)]+ + [Φ(x) + Ω(x)]− = σ+i + σ−i ;
[Φ(x)− Ω(x)]+ + [Φ(t)− Ω(x)]− = σ+i − σ−i .
(2)
Розв’язок задачi Рiмана–Гiльберта (2) знаходиться у виглядi [3]:
Φ(z)± Ω(z) =
1
2πiX(z)
∫
L′′
σ(x)X+(x)
x− z
dx+ 2
C0 + C1z
X(z)
−Γ2
, (3)
де Γ2 = (σ∞y − σ∞x )/2 − iτ∞xy , X
+(x) — значення функцiї X(z) =
√
z2 − d2 на верхньому
березi розрiзу, стала C0 визначається умовами на нескiнченностi, а стала C1 — умовою
однозначностi перемiщень:
C0 =
1
2
(σ∞y − iτ∞xy), C1 = 0. (4)
З урахуванням (4) система (3) для σ∞x = τ∞xy = 0 дасть комплекснi потенцiали задачi
2π
{
Φ(z)
Ω(z)
}
= H(z) +
πσ∞y z
X(z)
∓ πΓ2, Γ2 =
1
2
σ∞y , (5)
де введену функцiю H(z), обчисливши iнтеграл, можна подати у виглядi:
H(z) =
1
iX(z)
∫
L′′
σ(x)X+(x)
x− z
dx =
n∑
k=0
σk
[
ihk(z)−
2Nkz
X(z)
]
, (6)
h0(z) =
△ Q1
△ b1
+ C(b, z)− C(−b, z), hk(z) =
△ Qk+1
△ bk+1
− △ Qk
△ bk
(1 6 k 6 n− 1);
hn(z) =
Qn−1 + iπ(z + bn−1)
△ bn
;
△ Qk(z) = Qk(z)−Qk−1(z), Qk(z) = (z + bk)C(−bk, z) + (z − bk)C(bk, z);
C(ξ, z) = ln
X̌(ξ)− X̌(z)
X̌(ξ) + X̌(z)
, X̌(z) =
√
z + d
d− z
;
N0 =
b1 △ I1+ △ X̂1
△ b1
, Nk =
△ Rk+1
△ bk+1
− △ Rk
△ bk
(1 6 k 6 n− 1);
Nn = −bn−1 △ In+ △ X̂n
△ bn
;
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
△ Ik = Ik − Ik−1, Ik = I(bk), (In = I(d) = π);
△ X̂k = X̂k − X̂k−1, X̂k = X̂(bk), (X̂n = X̂(d) = 0);
△ Rk = Rk −Rk−1, Rk = bkIk + X̂k;
I(z) = 2 arctg X̌(z), X̂(z) =
√
d2 − z2.
Пiдставляючи (6) у вираз (5), попередньо прирiвнявши вираз при z/X(z) до нуля, оста-
точно одержуємо комплекснi потенцiали задачi
2π
{
Φ(z)
Ω(z)
}
= i
n∑
k=0
σkhk(z)∓πΓ2 (7)
та умову скiнченностi напружень в точках z = ±d
n∑
k=0
σkNk =
πσ∞y
2
. (8)
Iнтегруючи (7), отримаємо
2π
{
ϕ(z)
ω(z)
}
= i
n∑
k=0
σk(Jk − i ImJ0
k )∓Γ2z, J0
k = Jk(0);
Jk(z) =
∫
hk(z)dz =
△ T1
△ b1
+ (z − b)C(b, z)− (z + b)C(−b, z), k = 0,
△ Tk+1
△ bk+1
− △ Tk
△ bk
, 1 6 k 6 n− 1,
1
△ bn
[
Tn−1 +
iπ
2
(z + bn−1)
2
]
, k = n,
△ Tk(z) =
∫
△ Qk(z)dz = Tk(z)− Tk−1(z);
Tk(z) =
1
2
[(z + bk)
2C(−bk, z) + (z − bk)
2C(bk, z)] + X̂(bk)X̂(z).
На контурi трiщини
C±(ξ, x) = ±Cx(ξ, x) + iCy(ξ, x),
Cx(ξ, x) = ln
∣∣∣∣X̌(ξ)− X̌(x)
X̌(ξ) + X̌(x)
∣∣∣∣, Cy(ξ, x) = −πδ(x− ξ)
(δ(t) — функцiя Хiвiсайда), звiдки J±
k (x) = ±Jkx(x)+iJky(x) i можна записати перемiщення
на берегах трiщини:
2π(u+ iv)± = i
n∑
k=0
σk[±L1Jkx + iL2J̃ky]− πL1Γ2x, (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 61
де
J̃ky(x) = Jky(x)− Jky(0), L1 =
κ + 1
2µ
, L2 =
κ − 1
2µ
;
J0x(x) =
△ T1x
△ b1
+ (x− b)Cx(b, x)− (x+ b)Cx(−b, x);
Jkx(x) =
△ T(k+1)x
△ bk+1
− △ Tkx
△ bk
(1 6 k 6 n− 1), Jnx(x) =
T(n−1)x
△ bn
;
△ Tkx(x) = T(k+1)x(x)− Tkx(x);
Tkx(x) =
1
2
[(x+ bk)
2Cx(−bk, x) + (x− bk)
2Cx(bk, x)] + X̂(bk)X̂(x);
J0y(x) =
△ T1y
△ b1
− π[(x− b)δ(x− b)− (x+ b)δ(x+ b)];
Jky(x) =
△ T(k+1)y
△ bk+1
−
△ Tky
△ bk
(1 6 k 6 n− 1);
Jny(x) =
1
△ bn
[
T(n−1)y +
π
2
(x+ bn−1)
2
]
;
J0y(x) =
△ T1y
△ b1
− π[(x− b)δ(x− b)− (x+ b)δ(x+ b)];
Jky(x) =
△ T(k+1)y
△ bk+1
−
△ Tky
△ bk
(1 6 k 6 n− 1),
Jny(x) =
[
T(n−1)y +
π
2
(x+ bn−1)
2
]
△ bn
;
△ Tyk(x) = T(k+1)y(x)− Tky(x);
Tky(x) = −π
2
[(x+ bk)
2δ(x+ bk) + (x− bk)
2δ(x− bk)].
З (9) отримаємо вертикальне та горизонтальне перемiщення берегiв трiщини:
2πu± = −L2
n∑
k=0
σkJ̃ky −
π
2
L1σ
∞
x x, 2πv± = ±L1
n∑
k=0
σkJkx. (10)
Цей результат збiгається з результатом, одержаним у [4] для моделi Дагдейла (при n = 1,
σ0 = σ1).
3. Визначення безпечної довжини трiщини. Визначимо безпечну довжину трi-
щини, вiдповiдну довжину зони передруйнування та розподiл сил зчеплення для заданих
iнтенсивностi зовнiшнього навантаження та TSR.
Для прикладу вiзьмемо TSR у формi кубiчного полiнома
T (∆) = (σl∆+ σ0)(1−∆)2, ∆(x) =
δ(x)
δ0
,
4
27
σl
(
1 +
σn
σl
)3
= σmax; (11)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
Рис. 2
енергiя руйнування
ϕ = δ0
1∫
0
T (∆) d∆ =
δ0(σmax + 4σn)
12
;
при σn = 0 цей закон перетворюється на запропонований у роботi [5] закон
T (∆) =
27
4
σmax∆(1−∆)2.
З (10) отримаємо вираз для розкриття трiщини:
δ(x) =
L1
π
n∑
k=0
σkJkx(x). (12)
Використавши умову скiнченностi напружень у вершинi зони передруйнування (8), мож-
на записати систему n+1-го рiвняння для визначення критичної напiвдовжини трiщини b∗,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 63
вiдповiдної зовнiшньої границi зони передруйнування d∗ та значень σk (k = 0, 1, . . . , n − 1)
функцiї σ(x) у вузлових точках:
T
[
L1
πδ0
n∑
k=0
σkJkx(bm)
]
= σm, m = 0, 1, . . . , n− 1,
n∑
k=0
σkNk =
πσ∞x
2
.
На рис. 2 в кожному з рядкiв вiдображено TSR (з вiдповiдними параметрами iнтен-
сивностi сили зчеплення в вершинi зони передруйнування σn та енергiєю руйнування ϕ),
отриманий на його основi розподiл сил зчеплення σ(x) (з параметрами кiнцiв зони передруй-
нування b∗, d∗/b∗ в граничному станi) та вiдповiдний вiдрив δ(x). Всi залежностi побудовано
для σ∞y = 7 МПа. Числовi розв’язки вдалося одержати для значень σn > σ∞y .
Числовi результати свiдчать про те, що для iснування фiзично коректного розв’язку
спiввiдношення зчеплення–вiдриву повиннi передбачати ненульове значення iнтенсивностi
сил зчеплення в вершинi зони передруйнування. Зi зменшенням вiдповiдального за це пара-
метра σn суттєво збiльшується розмiр зони передруйнування, що вiдбувається за рахунок
стягнення берегiв трiщини в цiй зонi. Отриманi значення довжини зони передруйнування
при малих σn не спостерiгаються для реальних трiщин, тому при використаннi спiввiдно-
шень зчеплення–вiдриву у формi (11) слiд брати σn, що не суттєво нижчi за максимальне
значення сил зчеплення σmax.
1. Park K., Paulino G.H. Cohesive zone models: a critical review of traction-separation relationships across
fracture surfaces // Appl. Mech. Reviews. – 2011. – 64, No 6. – P. 060802, 20 p.
2. St̊ahle P. On the small crack fracture mechanics // Int. J. of Fract. – 1983. – 22. – P. 203–216.
3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – Москва: На-
ука, 1966. – 707 с.
4. Becker W. Gross D. About the Dugdale crack under mixed mode loading // Int. J. of Fract. – 1988. –
37. – P. 163–170.
5. Needleman A. A continuum model for void nucleation by inclusion debonding // ASME J. Appl. Mech. –
54, No 3. – P. 525–531.
Надiйшло до редакцiї 08.05.2014Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
М.Ф. Селиванов
Определение безопасной длины трещины и распределения сил
сцепления в рамках модели трещины с зоной предразрушения
Рассмотрена нагруженная на бесконечности пластина с центральной трещиной нормаль-
ного отрыва. В рамках модели трещины с зоной предразрушения найдены аналитические
решения для перемещений берегов трещины, построена система уравнений для определения
безопасной длины трещины, соответствующей длины зоны предразрушения и параметров
распределения сил сцепления при заданном уровне интенсивности внешнего нагружения.
Числовые решения получены для таких связей сцепления–отрыва, при которых интенсив-
ность сил сцепления в точке внешней границы зоны предразрушения превышает уровень
интенсивности внешнего нагружения.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
M.F. Selivanov
Determination of the safe crack length and cohesive traction
distribution using the model of a crack with prefacture zone
The loaded at infinity plate with a central mode I crack is considered. Using the cohesive zone
model, a solution for crack displacements is given. Constitutive relationships for the safe crack
length corresponding to the cohesive zone length and parameters of a cohesive traction distribution
are found for the given intensity of an external load. Numerical solutions are obtained for traction-
separation relationships such that the cohesive traction at the cohesive crack tip exceeds the external
load intensity.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 65
|