Использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака
The paper elucidates how to determine a sample size from the general population if the analyzed variable’s value is small. The Ukrainian sociologist Mykola Churylov was the first who highlighted this problem in the national scientific literature. The author argues that it is necessary to calculate b...
Saved in:
| Published in: | Социология: теория, методы, маркетинг |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Iнститут соціології НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/89840 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака / С. Литвинов // Социология: теория, методы, маркетинг. — 2008. — № 2. — С. 141–150. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859683314982453248 |
|---|---|
| author | Литвинов, С. |
| author_facet | Литвинов, С. |
| citation_txt | Использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака / С. Литвинов // Социология: теория, методы, маркетинг. — 2008. — № 2. — С. 141–150. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Социология: теория, методы, маркетинг |
| description | The paper elucidates how to determine a sample size from the general population if the analyzed variable’s value is small. The Ukrainian sociologist Mykola Churylov was the first who highlighted this problem in the national scientific literature. The author argues that it is necessary to calculate both absolute and relative error. He also points to the sample size from the general population (in case of small variable’s value) that should be larger than while using traditional formulas. A new enhanced approach presented in the paper includes using within a representative random sample only a priori characteristics.
|
| first_indexed | 2025-11-30T21:46:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Сер гей Лит ви нов
Исполь зо ва ние по ня тия от но си тель ной по греш нос ти оце ни ва ния…
СЕРГЕЙ ЛИТВИНОВ,
êàí äè äàò ñî öè î ëî ãè ÷åñ êèõ íàóê, âå äó ùèé
ñïå öè à ëèñò DP ìàð êå òèí ãî âî ãî àã åíòñòâà
IRS
Исполь зо ва ние по ня тия от но си тель ной
по греш нос ти оце ни ва ния для рас че та вы бор ки
из ге не раль ной со во куп нос ти с ма лой до лей
при зна ка
Abstract
The paper elucidates how to determine a sample size from the general population if the
analyzed variable’s value is small. The Ukrainian sociologist Mykola Churylov was the
first who highlighted this problem in the national scientific literature. The author
argues that it is necessary to calculate both absolute and relative error. He also points
to the sample size from the general population (in case of small variable’s value) that
should be larger than while using traditional formulas. A new enhanced approach
presented in the paper includes using within a representative random sample only a
priori characteristics.
Важ ную роль в эм пи ри чес кой со ци о ло гии иг ра ет вы бо роч ный ме тод,
осно ван ный на те о ре ти ко-ве ро ят нос тном под хо де к оцен ке ха рак те рис тик
ге не раль ной со во куп нос ти (ГС) по ха рак те рис ти кам вы бо роч ной со во куп -
нос ти (ВС). Спе ци фи ка пред мет ной сфе ры и со ци аль ная си ту а ция “об ыч -
но го” со ци о ло ги чес ко го ис сле до ва ния (огра ни чен ность средств, тех ни чес -
ких и че ло ве чес ких ре сур сов, тре бо ва ние опе ра тив нос ти, труд но дос туп -
ность эле мен тов эм пи ри чес ко го об ъ ек та ис сле до ва ния) сти му ли ру ют по -
иск ме то да, по зво ля ю ще го стро ить об осно ван ные за клю че ния от но си тель -
но всей со во куп нос ти на осно ве дан ных об сле до ва ния ее час ти. Имен но это
име ет целью вы бо роч ный ме тод. Он при ме ня ет ся вез де, где сле ду ет ис хо -
дить из ука зан ных выше усло вий — при из уче нии бюд же тов до мо хо зяйств,
струк ту ры сво бод но го вре ме ни граж дан, при кон тро ле ка чес тва про дук ции
и услуг, при ста тис ти чес ких об сле до ва ни ях на се ле ния, при мас со вых со -
цио логических опросах.
Со ци о ло гия: те о рия, ме то ды, мар ке тинг, 2008, 2 141
Вы бо роч ный ме тод охва ты ва ет всю про бле ма ти ку, свя зан ную с от бо -
ром еди ниц, вы чис ле ни ем ха рак те рис тик вы бор ки, а так же с фор му ли ро ва -
ни ем суж де ний о ко ли чес твен ных ха рак те рис ти ках со во куп нос ти, на осно -
ва нии ко то рой по стро е на эта вы бор ка [1]. Каж дая ин тег раль ная ста тис ти -
чес кая ха рак те рис ти ка вы бор ки (точ нее, ее ма те ма ти чес кое ожи да ние), на -
при мер доля при зна ка, сред нее зна че ние не ко то рой ве ли чи ны, ее дис пер -
сия, яв ля ет ся оцен кой со от ве тству ю щей ха рак те рис ти ки ГС. Ха рак те рис -
ти ки ГС при ня то на зы вать па ра мет ра ми. Ха рак те рис ти ки ВС, рас счи тан -
ные по тому же пра ви лу, суть оцен ки па ра мет ров ГС. Пос коль ку ВС, по
опре де ле нию, не тож дес твен на ГС, вы бо роч ные оцен ки от ли ча ют ся от де й -
стви тель ных зна че ний па ра мет ров. Ко ли чес твен ная мера их рас хож де ния
на зы ва ет ся по греш нос тью вы бор ки. В за ви си мос ти от ис точ ни ка воз ник но -
ве ния и свойств по греш нос тей реп ре зен та тив нос ти их раз де ля ют на сис те -
ма ти чес кие и слу чай ные. Сис те ма ти чес кие по греш нос ти воз ни ка ют из-за
не дос тат ков пла ни ро ва ния вы бор ки, не слу чай нос ти от бо ра еди ниц, не ва -
лид нос ти про це ду ры об сле до ва ния и инстру мен та рия из ме ре ния пер вич -
ных ха рак те рис тик и т.п. Слу чай ные по греш нос ти свя за ны со сто хас тич нос -
тью от кло не ний вы бо роч ных оце нок от ге не раль ных па ра мет ров всле дст -
вие не де тер ми ни ро ван нос ти от бо ра одних эле мен тов ГС и ис клю че ния дру -
гих (под слу чай ным мы по ни ма ем не де тер ми ни ро ван ное, сто хас ти чес кое, а
под ве ро ят нос тным — осо бый вид при чин ной де тер ми на ции — ве ро ят нос т -
ную де тер ми на цию). Го во ря об ошиб ках реп ре зен та тив нос ти, мы бу дем
иметь в виду имен но пред ель ные слу чай ные по греш нос ти, ко то рые, в от ли -
чие от сис те ма ти чес ких, мо гут быть ста тис ти чес ки оце не ны до осу ще ствле -
ния про це ду ры от бо ра еди ниц ВС. Если рас чет ная слу чай ная по греш ность
реп ре зен та тив нос ти не пре вы ша ет при ем ле мых для ис сле до ва те ля гра ниц,
то вы бор ка счи та ет ся реп ре зен та тив ной. В противном случае она должна
считаться нерепрезентативной.
Пог реш ность реп ре зен та тив нос ти всег да име ет кон крет ное со дер жа ние
и ха рак те ри зу ет не ка чес тво вы бор ки в це лом, а точ ность вы бо роч ной оцен -
ки ка ко го-то па ра мет ра ге не раль ной со во куп нос ти. Вы бор ка, в дос та точ ной
мере реп ре зен та тив ная от но си тель но од но го па ра мет ра, на при мер доли не -
ко то ро го при зна ка, мо жет быть не дос та точ но реп ре зен та тив ной от но си -
тель но доли дру го го при зна ка [2]. На прак ти ке дос ти жи ма реп ре зен та тив -
ность по двум-трем, в луч шем слу чае — еще не сколь ким при зна кам од но вре -
мен но. Па ра докс вы бо роч но го ме то да за клю ча ет ся в том, что реп ре зен та -
тив ность ВС по ис сле ду е мо му при зна ку тре бу ет ис чер пы ва ю ще го зна ния о
его рас пре де ле нии в ге не раль ной со во куп нос ти, ре ко нструк ция ко то ро го
как раз и со став ля ет за да чу вы бо роч но го ис сле до ва ния. В со вре мен ной те о -
рии вы бо роч но го ме то да су щес тву ет не сколь ко воз мож нос тей вы хо да из
этого замкнутого круга.
Во-пер вых, мож но рас суж дать сле ду ю щим об ра зом. Пусть нам нуж но
ко ли чес твен но оце нить па ра мет ры не из вес тно го ге не раль но го рас пре де ле -
ния признака А, вмес те с тем нам из вес тно рас пре де ле ние признака В, свя -
зан ного с А. Тог да мож но осу щес твить вы бор ку, реп ре зен та тив ную от но си -
тель но при зна ка В, пред по ло жив, что чем бо лее реп ре зен та тив ной бу дет вы -
бор ка по В, тем выше бу дет ее реп ре зен та тив ность от но си тель но А. Связь
меж ду пе ре мен ны ми мо жет быть об осно ва на те о ре ти чес ки или уста нов ле на
эм пи ри чес ки, ска жем, на осно ве на ли чия кор ре ля ции (ко ва ри а ции) при -
142 Со ци о ло гия: те о рия, ме то ды, мар ке тинг, 2008, 2
Сер гей Лит ви нов
зна ков. Рас смот рим, на при мер, та кие при зна ки ра бот ни ков боль шо го пред -
при я тия, как “стаж ра бо ты”, “опыт ность” (уро вень усво ен ных про фес си о -
наль ных уме ний и на вы ков) и “воз раст”. На и бо лее оче вид на связь меж ду
пер вым и вто рым при зна ка ми — ра бот ни ки с большим ста жем ра бо ты яв ля -
ют ся бо лее опыт ны ми. Ме нее оче вид на за ви си мость меж ду при зна ка ми
“воз раст” и “стаж ра бо ты”. Как пра ви ло, боль ши нство ра бот ни ков стар ше го
воз рас та име ют боль ший стаж ра бо ты, по сколь ку для них ха рак тер на сход -
ная пе ри о дич ность жиз нен но го пути: в на шем об щес тве при бли зи тель но в
од ном воз рас те на чи на ют и за кан чи ва ют об уче ние, в од ном воз рас те на чи -
на ет ся и тру до вая де я тель ность. А вот сте ре о тип ная оче вид ность свя зи
меж ду воз рас том ра бот ни ка и его опыт нос тью об ман чи ва: на пред при я тии
при опре де лен ных об сто я т ельствах, ска жем в усло ви ях пе репро фи ли ро ва -
ния про из во дства, мо гут пре об ла дать стар шие ра бот ни ки с мень шим ста -
жем ра бо ты в дан ной об лас ти, а зна чит ме нее опыт ные, не же ли млад шие,
уже осво ив шие но вый тех но ло ги чес кий про цесс. В этом слу чае на ли чие
свя зи мо жет быть уста нов ле но лишь эм пи ри чес ки, ис хо дя из пред ы ду щих
со ци о ло ги чес ких ис сле до ва ний или ста тис ти чес ких об сле до ва ний.
До воль но час то при хо дит ся иметь дело с си ту а ци ей, от лич ной от опи сан -
ной выше, ког да вся кая над еж ная осно ва вы бор ки от су тству ет. Если это так,
то мож но: 1) ис хо дя из те о ре ти чес кой мо де ли об ъ ек та ис сле до ва ния сде лать
пред по ло же ние от но си тель но вида ге не раль но го рас пре де ле ния, но в со ци о -
ло гии по до бный под ход ско рее ис клю че ние, чем пра ви ло; 2) вос поль зо вать ся
сле дстви я ми цен траль ной пред ель ной те о ре мы те о рии ве ро ят нос тей (ЦПТ).
Дан ный под ход стал ка но ни чес ким при по стро е нии вы бор ки [3].
Во об ще го во ря, для иде аль но го со блю де ния усло вий при ме ни мос ти
ЦПТ не об хо ди мо осу щес твить се рию по до бных вы бо рок, но при из вес тных
до пу ще ни ях об хо дят ся од ной. Для оцен ки па ра мет ров ГС в этом слу чае при -
ме ня ют то чеч ные и ин тер валь ные при бли же ния. Ко неч но, в силу са мой сущ -
нос ти вы бо роч но го ме то да то чеч ная оцен ка бу дет от ли чать ся от де йст ви тель -
но го зна че ния па ра мет ра на не ко то рую сто хас ти чес кую ве ли чи ну. Пос коль -
ку де йстви тель ное зна че ние не из вес тно (его надо оце нить), то мож но пред по -
ло жить, что по греш ность оце ни ва ния (от кло не ние) не пре вы сит опре де лен -
ной за ра нее за дан ной нами ве ли чи ны. Откло не ние яв ля ет ся ста тис ти кой, т.е.
каж до му зна че нию от кло не ния со от ве тству ет ве ро ят ность, с ко то рой от кло -
не ния ре а ли зу ют ся в длин ной се рии ис пы та ний (при боль ших об ъ е мах вы -
бор ки). Это озна ча ет, что от кло не ние $X X− то чеч ной вы бо роч ной оцен ки $X
от “ис тин но го” зна че ния X па ра мет ра не пре вы ша ет за дан ной по греш нос ти D
с ве ро ят нос тью P. Что бы осу щес твить ин тер валь ное оце ни ва ние X, не об хо -
ди мо и дос та точ но по стро ить до ве ри тель ный ин тер вал для X. До ве ри тель -
ным ин тер ва лом на зы ва ет ся рас счи тан ный по вы бо роч ной оцен ке $X ин тер -
вал зна че ний па ра мет ра X, в ко то ром на хо дит ся его де йстви тель ное зна че ние
с до ве ри тель ной ве ро ят нос тью P. До ве ри тель ный ин тер вал име ет вид
$ $X X X− ≤ ≤ +∆ ∆. (1)
В от дель ных слу ча ях пе ред ис сле до ва те лем сто ит за да ча срав не ния точ -
нос ти вы бо роч ных оце нок. Ко ли чес твен ной ме рой точ нос ти в ста тис ти ке
при ня то счи тать от но си тель ную по греш ность вы бор ки [2], ко то рая по ка зы -
ва ет, на ка кую часть сво ей ве ли чи ны то чеч ная оцен ка от ли ча ет ся от де йст -
Со ци о ло гия: те о рия, ме то ды, мар ке тинг, 2008, 2 143
Исполь зо ва ние по ня тия от но си тель ной по греш нос ти оце ни ва ния…
ви тель но го зна че ния па ра мет ра в пред е лах еди нич но го до ве ри тель но го ин -
тер ва ла (при t = 1 и P X X( $ − < ≈s) 0,683):
E XXm m= $ / $ , (2)
m $X — сред нее квад ра ти чес кое от кло не ние вы бо роч ной оцен ки ге не раль но -
го па ра мет ра.
Точ ность оцен ки сле ду ет рас смат ри вать в ка чес тве важ ней ше го кри те -
рия реп ре зен та тив нос ти вы бор ки. В то же вре мя со ци о ло ги не о бос но ван но
по льзу ют ся по ня ти ем аб со лют ной по греш нос ти как еди нствен ной ха рак те -
рис ти ки реп ре зен та тив нос ти. Для вы бо рок из ге не раль ной со во куп нос ти с
ма лой до лей при зна ка это при во дит к кол ли зии, на ко то рую об ра тил вни ма -
ние Н.Чу ри лов [4]. Исполь зо ва ние тра ди ци он ных фор мул при во дит здесь к
оши боч ным вы во дам о не боль шом об ъ е ме реп ре зен та тив ной вы бор ки. Так,
для при зна ка, доля ко то ро го в ква зи бес ко неч ной ГС со став ля ет 10%, об ъ ем
реп ре зен та тив ной вы бор ки при по греш нос ти в 5% (при мем до ве ри тель ную
ве ро ят ность рав ной 0,95) ра вен 138 еди ни цам, а зна чит, в вы бор ке ока жет ся
все го 14 (±7 с до ве ри тель ной ве ро ят нос тью 95%) еди ниц, об ла да ю щих ис ко -
мым при зна ком, что явно не дос та точ но для ана ли за. Дан ное об сто я т ельство
мож но об ъ яс нить боль шой от но си тель ной по греш нос тью вы бор ки, ко то рая
в при ве ден ном примере приближается к 50%.
Как же опти ми зи ро вать рас чет об ъ е ма вы бор ки на осно ве име ю щей ся
ап ри ор ной ин фор ма ции про долю би но ми аль но го при зна ка? Н.Чу ри лов
для этой цели вмес то тра ди ци он ных фор мул пред ла га ет оце ни вать об ъ ем
ВС на осно ве ко эф фи ци ен та ва ри а ции вы бо роч ной оцен ки (фак ти чес ки,
стан дар тной от но си тель ной по греш нос ти вы бор ки) [4]:
n
N
NpE p pE p Np p
=
− +
=
− +( / ( )) ( / ( )) /2 21 1
1
1 1
.
Если p мала и p Ep
2 ∼ 1 / N (об ъ ем вы бор ки зна чи тель но мень ше об ъ е ма ге не -
раль ной со во куп нос ти), n ≈ 1 / p Ep
2. (3)
Ep — стан дар тная от но си тель ная по греш ность оцен ки ге не раль ной доли
по вы бо роч ной (Ep = Em для па ра мет ра “доля при зна ка” p)1.
Но доля при зна ка в ге не раль ной со во куп нос ти нам, как пра ви ло, за ра -
нее не из вес тна. Еще один не дос та ток фор му лы (3) со сто ит в том, что в нее
вхо дят как ге не раль ный па ра метр (ап ри ор ная ин фор ма ция), так и ве ли чи -
на, про из вод ная от вы бо роч ной ста тис ти ки (апос те ри ор ная ин фор ма ция).
Что бы пре одо леть этот не дос та ток, нуж но пе рей ти от ис поль зо ва ния
аб со лют ных по греш нос тей к от но си тель ным ве ли чи нам как по ка за те лям
ре презентативности вы бо роч ной со во куп нос ти. Один из воз мож ных под хо -
дов со сто ит в сле ду ю щем.
Не од ноз нач ность ис поль зо ва ния пред ель ной аб со лют ной по греш нос ти
при пла ни ро ва нии вы бо роч ной со во куп нос ти со сто ит в том, что при от су т -
ствии ин фор ма ции о доле при зна ка p при рав ни ва ет ся 0,5 и стан дар тная
относительная по греш ность оце ни ва ния доли Ep по лу ча ет ся ми ни маль ной
(см. фор му лу (13) ниже). Это при во дит к за ни же нию об ъ е ма реп ре зен та -
тив ной для доли p вы бор ки, осо бен но су щес твен но му в слу чае ма лой p. Для
144 Со ци о ло гия: те о рия, ме то ды, мар ке тинг, 2008, 2
Сер гей Лит ви нов
1 Все услов ные об озна че ния по статье рас шиф ро ва ны в При ло же нии.
лю бо го дру го го зна че ния доли би но ми аль но го при зна ка, та кой, что p < 0,5,
по греш ность Ep бу дет боль ше ми ни маль ной. По э то му для адек ват ной ре -
презентации доли ис сле ду е мо го при зна ка или дру го го, свя зан но го с ис сле -
ду е мым при зна ком, рас пре де ле ние ко то ро го из вес тно, же ла тель но ис поль -
зо вать при бли зи тель ную ап ри ор ную ин фор ма цию о доле, а вы бор ку рас -
счи ты вать ис хо дя из оцен ки от но си тель ной по греш нос ти.
Вы ра зим от но си тель ную по греш ность вы бор ки че рез аб со лют ную по -
греш ность D и в ре зуль та те по лу чим оцен ку от но си тель ной по греш нос ти
оце ни ва ния:
V
X
t
X
tVX
∆
∆
= = =
$ $
$m
m . (4)
Но n
t
≈
$s 2 2
2∆
, тог да n
t V X t
E X
V t
t E
V
E
X X X≈ ≈ = =
$ $ $
$
$ $s
m m
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2∆ ∆
,
n V EX≈ ( $ / )m
2 , (5)
где E X t X tEX∆ ∆ /= = =$ / $
$m m .
Со от но ше ние (5) фик си ру ет тот факт, что об ъ ем вы бор ки пря мо про -
пор ци о на лен квад ра ту ве ли чи ны, ко то рая по ка зы ва ет, во сколь ко раз от но -
си тель ная по греш ность оце ни ва ния мень ше ко эф фи ци ен та ва ри а ции со от -
ве тству ю ще го па ра мет ра (или ве ли чи ны, рав ной от но ше нию стан дар тно го
от кло не ния па ра мет ра в ГС к аб со лют ной по греш нос ти вы бо роч ной оцен ки
па ра мет ра). Для того, что бы точ ность по вы си лась в r раз (в r раз умень ши -
лась от но си тель ная по греш ность оце ни ва ния), нуж но уве ли чить об ъ ем ВС
в r2 раз.
Най дем ап ри ор ное вы ра же ние для стан дар тной от но си тель ной по греш -
нос ти. Из того, что вы бо роч ный ко эф фи ци ент ва ри а ции ра вен $ $ / $V XX X= s ,
а m s sX X X
N n
N n n Nn
N
=
−
−
≈
−
−
≤
( )
$ $
,
1
1
1
12
0 05
или m
s
X
X
n
≈
$
, мож но по лу чить,
учи ты вая (2), что стан дар тная от но си тель ная по греш ность оцен ки рав на:
E
V X n
X
V
n
X X
m = =
$ $ /
$
$
; (6)
с по прав кой на ко неч ность ГС и при усло вии, что мы пла ни ру ем вы бор ку
боль ше не сколь ких де сят ков еди ниц:
E
N n
N n
V X
X
V
n
n
N n N
VX
X
n
N
m =
−
−
⋅ =
−
− ≈ − ⋅
≤
( )
$ $
$
$
$
,
1
1
1
1
1 12 2
0 05
X . (7)
Тог да из (7) по лу чим уточ не ние фор му лы (5) с по прав кой на ко неч -
ность ГС:
n
V E
E V N
X
X
=
+
+
$
$ /
2 2
2 2
m
m
. (8)
Со ци о ло гия: те о рия, ме то ды, мар ке тинг, 2008, 2 145
Исполь зо ва ние по ня тия от но си тель ной по греш нос ти оце ни ва ния…
По за дан ной ве ли чи не от но си тель ной по греш нос ти мож но вы чис лить
$s X , а на ее осно ва нии — до ве ри тель ные ин тер ва лы, до ве ри тель ные ве ро ят -
нос ти и об ъ е мы реп ре зен та тив ных относительно доли признака выборок.
$ $ / $ ; $ $ $ $V X E n XV E X nX X X X= = − = = −s sm m1 1 , (9)
или
$ $ / $ ( )
s m mX E X n
n
N
E X
N n
N n
= − − =
−
−
1 1
1
. (10)
В слу чае доли при зна ка E
p
p p
n
n
N
p
p
m
m
= =
−
−
−
$
( )
$
1
1
1
. (11)
Для боль ших n ис хо дя из те о ре мы Бер нул ли мож но счи тать, что в фор -
му ле (11) $ /p p ≈ 1, а
E
p p
n
n
Nm =
−
−
−
( )1
1
1 . (12)
Стан дар тная от но си тель ная по греш ность оцен ки доли би но ми аль но го
при зна ка при бли жен но рав на
E V
p
npp p≈ =
−1
. (13)
Для вы бо роч ной оцен ки доли при зна ка из (12), учи ты вая, что ED = t Ep,
по лу ча ем:
n
p
pE
t
p
pEp
≈
−
=
−1 1
2
2
2
∆
. (14)
Для ма лых из вес тных p от но си тель ная по греш ность оце ни ва ния дол -
жна быть ми ни маль ной при аб со лют ной по греш нос ти, рав ной D, ина че
апос те ри ор ная от но си тель ная по греш ность оце ни ва ния с вы со кой ве ро ят -
нос тью бу дет боль ше, чем при ня тая нами ап ри ор ная от но си тель ная по -
греш ность ED в фор му ле (14):
E
p p∆
∆ ∆
∆
(min)
$ (max)
= =
+
. (15)
Пре об ра зу ем (14) в со от ве тствии с (15) и по лу чим:
n t
p
p
t
p1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1= +
−
= +
−
∆ e
, (16)
e = D / p — кри те рий точ нос ти вы бор ки, по смыс лу ана ло гич ный от но си -
тель ной по греш нос ти, но ото бра жа щий не вы бо роч ную оцен ку доли, а ее
дей ствительную ве ли чи ну в ГС.
Фор му ла (16) пред став ля ет ся бо лее удов лет во ри тель ной, чем (3), так как
в нее вхо дит лишь ап ри ор ная ин фор ма ция о ге не раль ной со во куп нос ти, а не
ги по те зы от но си тель но вы бо роч ной ста тис ти ки, что было бы не ло гич но.
Та бу ли ру ем n1 для раз лич ных p и D, учи ты вая, что D £ p и t = 2 (P = 0,95):
146 Со ци о ло гия: те о рия, ме то ды, мар ке тинг, 2008, 2
Сер гей Лит ви нов
Таб ли ца 1
Объем n1 про стой ве ро ят нос тной вы бор ки,
при год ной для реп ре зен та ции доли при зна ка p в ГС
по вы бо роч ной оцен ке со ста тис ти чес кой по греш нос тью D1
p\D 0,01 0,05
0,01 1584 –
0,05 2736 304
0,10 4356 324
0,15 5803 363
0,20 7056 400
0,25 8112 432
0,30 8969 457
0,35 9627 475
0,40 10086 486
0,45 10345 489
0,50 10404 484
Ри су нок. За ви си мость опти маль но го об ъ е ма n = t2 (1/e +1)2 (1/p – 1) про стой ве ро ят -
нос тной вы бор ки, при год ной для реп ре зен та ции доли при зна ка p (ин тер вал от 0,11 до
0,5) в ГС по вы бо роч ной оцен ке со ста тис ти чес кой по греш нос тью не боль ше D = 0,1 p
(P = 0,95)
По лез но так же иметь таб ли цу об ъ е ма ВС n2 » (VX / Em)2 = t2 (VX / ED)2, t = 2
(P = 0,95):
Со ци о ло гия: те о рия, ме то ды, мар ке тинг, 2008, 2 147
Исполь зо ва ние по ня тия от но си тель ной по греш нос ти оце ни ва ния…
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0,11 0,14 0,17 0,20 0,23 0,26 0,29 0,32 0,35 0,38 0,41 0,44 0,47 0,50
p
n
1 См. ри су нок.
Таб ли ца 2
Объем n2 про стой ве ро ят нос тной вы бор ки, при год ной для реп ре зен та ции
па ра мет ра ГС с ко эф фи ци ен том ва ри а ции VX по вы бо роч ной оцен ке
с от но си тель ной ста тис ти чес кой по греш нос тью E
D
ED\VX 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3
0,05 100 – – – –
0,1 400 – – – –
0,2 1600 – – – –
0,3 3600 144 – – –
0,4 6400 264 – – –
0,5 10000 400 100 – –
0,6 – 584 144 – –
0,7 – 784 196 – –
0,8 – 1024 256 – –
0,9 – 1296 324 – –
1,0 – 1600 400 100 –
* При ме ча ние. По мет кой “–” об озна че ны зна че ния, не со от ве тству ю щие усло ви ям ап -
прок си ма ции ге не раль ной доли нор маль ным рас пре де ле ни ем вы бо роч ных оце нок.
Рас смот рим раз ли чия меж ду ме то да ми рас че та вы бо роч ной со во куп -
нос ти, о ко то рых речь шла выше, на при ме ре. Пусть не об хо ди мо про вес ти
мас штабное элек то раль ное ис сле до ва ние, ко то рое на це ле но, в час тнос ти,
на из уче ние ха рак те рис тик элек то ра та по ли ти чес ких пар тий, ко то рые пре -
одо ле ва ют 3%-й про ход ной барь ер на вы бо рах в пар ла мент1.
(а) В со от ве тствии с тра ди ци он ным под хо дом, чис ло еди ниц ВС (ге не -
раль ную со во куп ность мож но счи тать ква зи бес ко неч ной) рав но: n » s2 t2 / D2,
s2 = p (1 – p), p = 0,03 – доля при зна ка в ГС. При мем в ка чес тве кри те рия
удов лет во ри тель ной точ нос ти вы бор ки e = D / p = 0,2, t = 1,96.
Тог да n
p p t t t
pp
=
− ⋅
≈ =
→
lim
( )
,0 03
2
2
2 21
∆ ∆e e 2
,
n ≈ ⋅ ≈1 96 0 2 0 03 32012 2, / ( , , ) .
(б) Сог лас но под хо ду Н.Чу ри ло ва, n = 1/ (p Ep
2).
Ep = ED / t » e / t .
Отсю да: n
p t
t
p
= ⋅ =
1 1
2
2
2( / )
,
e e
n ≈ ⋅ ≈1 96 0 2 0 03 32012 2, / ( , , ) .
В дан ном слу чае под ход (б) яв ля ет ся лишь кор рек тной фор му ли ров кой
тра ди ци он но го по дхо да (а).
(в) При ме ним для рас че та ВС фор му лу (16), осно ван ную на пред по ло -
же нии о мак си маль ной воз мож ной от но си тель ной по греш нос ти:
n = t2 (1/e +1)2 (1/p – 1), n = 1,962 (5 +1)2 (1/0,03 – 1) » 4472.
148 Со ци о ло гия: те о рия, ме то ды, мар ке тинг, 2008, 2
Сер гей Лит ви нов
1 При мер вы мыш лен ный, так как в ре аль нос ти для ука зан ной цели слу чай ный от бор
рес пон ден тов ма ло эф фек ти вен.
Как ви дим, вы бор ка из ге не раль ной со во куп нос ти с ма лой до лей при -
зна ка дол жна быть боль ше го об ъ е ма, чем мож но су дить, ис хо дя из при выч -
ных фор мул (см. рис.). Боль ший об ъ ем вы бор ки об услов лен тем, что ис -
поль зо ва ние при нци па ми ни ми за ции от но си тель ной ошиб ки по зво ля ет из -
бе жать за ни же ния дис пер сии би но ми аль но го при зна ка с ма лой до лей на
эта пе пла ни ро ва ния вы бор ки. При ис поль зо ва нии тра ди ци он но го под хо да
ап ри ор ное за ни же ние дис пер сии очень ве ро ят но, и по э то му вы бо роч ные
оцен ки доли ока зы ва ют ся не точ ны ми, с не оправ дан но ши ро ки ми до ве ри -
тель ны ми границами.
За ме тим, что по чти все при ве ден ные спо со бы оцен ки об ъ е ма вы бо роч -
ной со во куп нос ти при ме ни мы лишь: (1) для боль ших вы бо рок (n > 100); (2)
для не сдви ну тых вы бо рок или та ких, для ко то рых ве ли чи ной сдви га В мож -
но пре неб речь, ког да B / $ ,s < 0 1 [5]; (3) для ге не раль ной со во куп нос ти с ко -
эф фи ци ен том ва ри а ции ис сле ду е мо го при зна ка s / X < n / 3, где n — об ъ ем
вы бо роч ной со во куп нос ти. Если ко эф фи ци ент ва ри а ции боль ший, то при
боль шом об ъ е ме ВС (ГС ква зи бес ко неч на и $V VX X≈ ) ни жняя гра ни ца до -
ве ри тель но го ин тер ва ла па ра мет ра Х с ве ро ят нос тью Р(t = 3) » 0,997 стре -
мит ся к (X X nmin
$ $ /≈ −3 s ) < 0, что ли ше но смыс ла, по э то му сле ду ет ис -
поль зо вать скор рек ти ро ван ные фор му лы вы чис ле ния пред ель ной по греш -
нос ти вы бор ки. Мож но пред по ло жить, что в по след нем слу чае к рас пре де -
ле нию ве ро ят нос тей по греш нос ти оце ни ва ния ЦПТ (всле дствие не соб лю -
де ния усло вий при ме ни мос ти те о ре мы Ля пу но ва) не при ме нима, по э то му
его не льзя счи тать нор маль ным. Со от ве тствен но, те ря ют смысл тра ди ци он -
ные фор му лы по стро е ния ин тер валь ных оце нок, а сами ин тер ва лы не бу дут
сим мет рич ны ми [1; 6]. Рас пре де ле ние по греш нос тей слу чай ных вы бо рок из
ге не раль ной со во куп нос ти с ма лой до лей при зна ка ап прок си ми ру ет ся не
нор маль ным рас пре де ле ни ем, а рас пре де ле ни ем Пу ас со на или по до бным
ему ско шен ным рас пре де ле ни ем.
Та ким об ра зом, вы бор ки из ге не раль ных со во куп нос тей с ма лой до лей
при зна ка дол жны рас счи ты вать ся на иных ста тис ти чес ких осно ва ни ях, не -
же ли об ыч ные, или же их сле ду ет за ме нять одним из ме то дов на прав лен но -
го от бо ра, мо ног ра фи чес ким ис сле до ва ни ем, ис поль зо вать про це ду ры бус -
тин га.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Аббревиатуры и основ ные услов ные об озна че ния
X– па ра метр рас пре де ле ния ста тис ти чес кой ве ли чи ны в ГС
$X– вы бо роч ная оцен ка па ра мет ра рас пре де ле ния ста тис ти чес кой ве ли -
чи ны в ГС
s – сред нек вад ра ти чес кое от кло не ние при зна ка в ГС
t — кван тиль нор маль но го рас пре де ле ния оце нок в ин тер валь ном оце -
ни ва нии ха рак те рис тик ГС
$s – сред нек вад ра ти чес кое от кло не ние при зна ка в ВС
m X — сред нее квад ра ти чес кое от кло не ние вы бо роч ной оцен ки ге не раль -
но го па ра мет ра от “ис тин но го” зна че ния
Со ци о ло гия: те о рия, ме то ды, мар ке тинг, 2008, 2 149
Исполь зо ва ние по ня тия от но си тель ной по греш нос ти оце ни ва ния…
VX – ге не раль ный ко эф фи ци ент ва ри а ции при зна ка
$V X – ко эф фи ци ент ва ри а ции при зна ка в ВС
E XXm m= / $ — стан дар тная от но си тель ная по греш ность вы бор ки (вы -
бо роч ной оцен ки па ра мет ра $X)
N — объем ГС
n — объем ВС
Ли те ра ту ра
1. Шварц Г. Вы бо роч ный ме тод. Ру ко во дство по при ме не нию ста тис ти чес ких ме то -
дов оце ни ва ния. — М., 1978.
2. Общая те о рия ста тис ти ки / Под ред. А.Я.Бо яр ско го, Г.Л.Гро мы ко. — М., 1985.
3. Гне ден ко Б.В. Курс те о рии ве ро ят нос тей. — М., 1988.
4. Опе ра тив ные со ци о ло ги чес кие ис сле до ва ния : Учеб ное по со бие. — Минск, 1997.
5. Кок рен У. Ме то ды вы бо роч но го ис сле до ва ния. — М., 1976.
6. Орлов А.И. Со ци о ло гия: ме то до ло гия, ме то ды, ма те ма ти чес кие мо де ли. — М.,
1992. — С. 28–50.
150 Со ци о ло гия: те о рия, ме то ды, мар ке тинг, 2008, 2
Сер гей Лит ви нов
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-89840 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1563-4426 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T21:46:26Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Iнститут соціології НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвинов, С. 2015-12-20T09:12:58Z 2015-12-20T09:12:58Z 2008 Использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака / С. Литвинов // Социология: теория, методы, маркетинг. — 2008. — № 2. — С. 141–150. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1563-4426 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/89840 The paper elucidates how to determine a sample size from the general population if the analyzed variable’s value is small. The Ukrainian sociologist Mykola Churylov was the first who highlighted this problem in the national scientific literature. The author argues that it is necessary to calculate both absolute and relative error. He also points to the sample size from the general population (in case of small variable’s value) that should be larger than while using traditional formulas. A new enhanced approach presented in the paper includes using within a representative random sample only a priori characteristics. ru Iнститут соціології НАН України Социология: теория, методы, маркетинг Использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака Article published earlier |
| spellingShingle | Использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака Литвинов, С. |
| title | Использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака |
| title_full | Использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака |
| title_fullStr | Использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака |
| title_full_unstemmed | Использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака |
| title_short | Использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака |
| title_sort | использование понятия относительной погрешности оценивания для расчета выборки из генеральной совокупности с малой долей признака |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/89840 |
| work_keys_str_mv | AT litvinovs ispolʹzovanieponâtiâotnositelʹnoipogrešnostiocenivaniâdlârasčetavyborkiizgeneralʹnoisovokupnostismaloidoleipriznaka |