Фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ
З використанням нульового наближення променевого методу розв'язана задача про перебудову фронтів квазіпоздовжніх та квазіпоперечних хвиль сильного розриву, які формуються при падінні плоскої нестаціонарної хвилі на криволінійну межу розділу пружних трансверсально-ізотропних середовищ з різними...
Saved in:
| Date: | 2002 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2002
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/901 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ / В. І. Гуляєв, В. В. Гайдайчук, Г. М. Іванченко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 2. — С. 27-32. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860109579029839872 |
|---|---|
| author | Гуляєв, В.І. Гайдайчук, В.В. Іванченко, Г.М. |
| author_facet | Гуляєв, В.І. Гайдайчук, В.В. Іванченко, Г.М. |
| citation_txt | Фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ / В. І. Гуляєв, В. В. Гайдайчук, Г. М. Іванченко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 2. — С. 27-32. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | З використанням нульового наближення променевого методу розв'язана задача про перебудову фронтів квазіпоздовжніх та квазіпоперечних хвиль сильного розриву, які формуються при падінні плоскої нестаціонарної хвилі на криволінійну межу розділу пружних трансверсально-ізотропних середовищ з різними фізичними властивостями. Для розв'язування нелінійних рівнянь типу Снеліуса застосовується синтез методу продовження розв'язку по параметру та алгоритму Ньютона. Аналізуються ефекти розсіювання та фокусування нестаціонарних хвиль як окремі випадки біфуркації фронтів та утворення каустик.
С использованием нулевое приближение лучевого метода решена задача о перестройке фронтов квазипродольных и квазипоперечных волн сильного разрыва, которые формируются при падении плоской нестационарной волны на криволинейную границу раздела упругих трансверсально-изотропных сред с разными физическими свойствами. Для решения нелинейных уравнений типа Снеллиуса применяется синтез метода продолжения решения по параметру и алгоритма Ньютона. Анализируются эффекты рассеяния и фокусирования нестационарных волн, как частные случаи бифуркации фронтов и образования каустик.
A problem on modification of the strong discontinuity quasi-primary and quasi-secondary wavefronts, formed at incidence of the plane discontinuity wave on ellipsoidal boundary subdividing two elastic transversally isotropic media with different physical properties, is solved using zero-order approximation of the ray method. Synthesis of a method of continuation of solution by a parameter and the Newton algorithm is applied to solve the Snellius non-linear equations. Cases of scattering and focussing of the discontinuity waves are analyzed as the particular cases of the fronts' bifurcation and formation of caustics.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:32:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 27 – 32
УДК 539.3:532.593
ФОКУСУВАННЯ ПЛОСКОЇ НЕСТАЦIОНАРНОЇ ХВИЛI
ЕЛIПСОЇДАЛЬНОЮ МЕЖЕЮ РОЗДIЛУ
ТРАНСВЕРСАЛЬНО-IЗОТРОПНИХ СЕРЕДОВИЩ
В. I. Г У Л Я ЄВ∗, В. В. Г А Й Д АЙ Ч У К∗∗, Г. М. IВ А Н Ч ЕН К О∗∗
∗ Український транспортний унiверситет, Київ
∗∗ Київський нацiональний унiверситет будiвництва й архiтектури, Київ
Одержано 30.04.2002
З використанням нульового наближення променевого методу розв’язана задача про перебудову фронтiв квазiпо-
здовжнiх та квазiпоперечних хвиль сильного розриву, якi формуються при падiннi плоскої нестацiонарної хвилi на
криволiнiйну межу роздiлу пружних трансверсально-iзотропних середовищ з рiзними фiзичними властивостями.
Для розв’язування нелiнiйних рiвнянь типу Снелiуса застосовується синтез методу продовження розв’язку по пара-
метру та алгоритму Ньютона. Аналiзуються ефекти розсiювання та фокусування нестацiонарних хвиль як окремi
випадки бiфуркацiї фронтiв та утворення каустик.
С использованием нулевое приближение лучевого метода решена задача о перестройке фронтов квазипродольных
и квазипоперечных волн сильного разрыва, которые формируются при падении плоской нестационарной волны
на криволинейную границу раздела упругих трансверсально-изотропных сред с разными физическими свойствами.
Для решения нелинейных уравнений типа Снеллиуса применяется синтез метода продолжения решения по парамет-
ру и алгоритма Ньютона. Анализируются эффекты рассеяния и фокусирования нестационарных волн, как частные
случаи бифуркации фронтов и образования каустик.
A problem on modification of the strong discontinuity quasi-primary and quasi-secondary wavefronts, formed at incidence
of the plane discontinuity wave on ellipsoidal boundary subdividing two elastic transversally isotropic media with different
physical properties, is solved using zero-order approximation of the ray method. Synthesis of a method of continuation of
solution by a parameter and the Newton algorithm is applied to solve the Snellius non-linear equations. Cases of scattering
and focussing of the discontinuity waves are analyzed as the particular cases of the fronts’ bifurcation and formation of
caustics.
ВСТУП
Явища фокусування й розсiювання свiтлових
та електромагнiтних хвиль, якi спостерiгаються в
оптичних та радiоприладах, дослiджуються мето-
дами геометричної оптики [1 – 3]. Навiть у най-
простiшiй оптичнiй системi, якою є роздiленi кри-
волiнiйною межею однорiднi середовища, проявля-
ються певнi характернi риси. Оскiльки на обвiдни-
цi сiмейства свiтлових променiв (каустицi) вiдбу-
вається їхнє фокусування, iнтенсивнiсть свiтлово-
го поля уздовж каустик необмежено зростає, а на
фазовому фронтi спостерiгаються особливостi пе-
ребудов фазових фронтiв i каустики (див., напри-
клад, [1, 4, 5]).
У зв’язку з тим, що властивостi нестацiонарних
розривних хвиль в пружних середовищах подi-
бнi до властивостей свiтлових та електромагнiтних
хвиль, їхня взаємодiя з криволiнiйними поверхня-
ми неоднорiдностей також супроводжується змi-
ною напрямкiв променiв, спричиняючи їхнє фоку-
сування або розсiювання.
При дослiдженнi особливостей фронтiв неста-
цiонарних хвиль у пружних середовищах у рядi
випадкiв найбiльший iнтерес становлять геомет-
рична побудова рухомих поверхонь розривiв по-
льових функцiй i обчислення значень цих розри-
вiв. Цi характеристики дають найважливiшу iн-
формацiю про фронт хвилi та iнтенсивнiсть го-
ловної частини iмпульсу, який переноситься фрон-
том. Для постановки i розв’язання таких задач
в теорiї пружностi також використовуються ме-
тоди геометричної оптики (зокрема, нульове на-
ближення променевого методу). Вказаний пiдхiд
забезпечує достатньо точний кiлькiсний опис ши-
рокого кола хвильових явищ рiзної фiзичної при-
роди [2, 3, 6 – 8]. Променевий метод дозволяє видi-
лити функцiї оптичного шляху хвилi (ейконал) i
за допомогою рiвняння ейконалу будувати систе-
му променiв та фронтiв нестацiонарної хвилi. Та-
ка задача порiвняно легко розв’язується для iзо-
тропних пружних середовищ, але й у цьому ви-
падку виникають ускладнення при дослiдженнi
взаємодiї хвилi з межею роздiлу середовищ, якi
мають рiзнi механiчнi властивостi. Як результат,
утворюються каустики, пов’язанi з фокусуванням
енергiї й необмеженим зростанням iнтенсивностi
поля. Дослiдження фокусування нестацiонарних
хвиль пружними анiзотропними “дзеркалами”, ко-
ли польова функцiя виявляється векторною, зна-
чно ускладнюється, оскiльки в цих випадках для
кожного напрямку iснують три види хвиль, якi
c© В. I. Гуляєв, В. В. Гайдайчук, Г. М. Iванченко, 2002 27
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 27 – 32
вiдрiзняються поляризацiєю. Принципово змiню-
ється явище дифракцiї хвилi на поверхнях розме-
жування анiзотропних середовищ, оскiльки вiдпо-
вiднi спiввiдношення Снелiуса стають iстотно нелi-
нiйними через те, що фазовi швидкостi поширення
вiдбитих i заломлених хвиль перестають бути за-
здалегiдь вiдомими. Тому для визначення напрям-
кiв променiв, що вiдходять вiд граничних повер-
хонь, необхiдно розв’язувати системи нелiнiйних
рiвнянь. Неоднозначнiсть розв’язку таких систем
є додатковою причиною появи каустик при падiн-
нi нестацiонарної хвилi навiть на поверхню роздiлу
середовищ, що має малу кривизну.
В роботах [3,8] дослiджувалась дифракцiя удар-
них хвиль на межах роздiлу iзотропних пружних
середовищ. У статтях [6, 7] були розглянутi пита-
ння аналiзу взаємодiї ударної хвилi з плоскою ме-
жею роздiлу анiзотропних середовищ, вивченi осо-
бливостi трансформування плоских фронтiв не-
стацiонарних хвиль на криволiнiйних поверхнях
розмежування трансверсально-iзотропних середо-
вищ. При цьому застосовувався метод продовжен-
ня розв’язку по параметру [9], який дозволяє най-
бiльш просто iдентифiкувати бiфуркацiйнi стани.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Рух частинок пружного середовища в декарто-
вiй системi координат Ox1x2x3 визначається ди-
ференцiйними рiвняннями
3
∑
k,p,q=1
λik,pq
∂2uq
∂xk∂xp
−
∂2ui
∂t2
= 0, i = 1, 2, 3, (1)
де λik,pq =cik,pq/ρ – приведенi параметри пружно-
стi середовища; ρ – щiльнiсть; u1, u2, u3 – компо-
ненти вектора пружних змiщень; t – час.
Враховуючи, що в анiзотропних середовищах
променi, в загальному випадку, не ортогональнi до
поверхонь хвильових фронтiв, будемо розрiзняти
вектори фазової (v) й променевої (ξ) швидкостей,
вважаючи, що фронт є поверхнею постiйної фа-
зи n · r−vt=const, кожна елементарна площинка
якої рухається вздовж мiсцевої одиничної норма-
лi n зi швидкiстю v. Тут r – радiус-вектор точки
фронту.
Вектори фазової швидкостi v й поляризацiї A
хвилi для обраного напрямку n визначаються з
однорiдної системи алгебраїчних рiвнянь [2, 6]
3
∑
k,p,q=1
λik,pqnknpAq − v2Ai = 0, i = 1, 2, 3 (2)
як власнi числа й власнi вектори матрицi з коефi-
цiєнтiв системи (2).
З умови iснування нетривiального розв’язку цiєї
системи одержуємо рiвняння третього ступеня вiд-
носно v2, коренями якого є квадрати швидкостей
трьох по-рiзному поляризованих хвиль:
[v(1)(n)]2 > [v(2)(n)]2 ≥ [v(3)(n)]2 > 0.
Поверхня фронту розривної хвилi визначається
спiввiдношенням [2]
τ (x1, x2, x3) − t = 0, (3)
у якому функцiя τ повинна задовольняти дифе-
ренцiйне рiвняння в частинних похiдних першого
порядку:
3
∑
i,k,p,q=1
λik,pqpkppA
(r)
q A
(r)
i = 1, (4)
яке є узагальнюючим рiвнянням ейконалу в гео-
метричнiй оптицi для пружних анiзотропних се-
редовищ. Величини pk, k=1, 2, 3, якi входять до
рiвняння (4), є компонентами вектора рефракцiї
pk ≡ ∂τ/∂xk = nk/v(r)(n), k = 1, 2, 3.
Для побудови хвильового фронту (3) нестацiо-
нарної хвилi в однорiдному (ρ=const) анiзотро-
пному середовищi необхiдно визначити розв’язок
рiвняння (4), яке за допомогою методу характери-
стик приводиться до системи звичайних диферен-
цiйних рiвнянь:
dxk/dτ = ξk =
3
∑
i,p,q=1
λik,pqppA
(r)
q A
(r)
i ,
dpk/dτ = 0, k = 1, 2, 3.
(5)
Перша група рiвнянь (5) описує поширення хви-
лi уздовж променя з променевою швидкiстю
ξ=ξ(r)(n, xk). З другої групи рiвнянь (5) випливає
прямолiнiйнiсть ходу променiв у однорiдному сере-
довищi. Система променiв i фронтiв, яка побудова-
на за допомогою сiввiдношень (5), дозволяє визна-
чити iнтенсивностi хвилi в околi фронту. Для цьо-
го зручно скористатися розкладом розв’язку (1)
уздовж променя в ряд [2, 10]
uq =
∞
∑
m=0
u(m)
q (x1, x2, x3)fm[t−τ (x1, x2, x3)],
q = 1, 2, 3,
(6)
де функцiї fm, котрi задовольняють спiввiдношен-
ня f
′
m(y)=fm−1(y), вважаємо такими, що мають
розриви неперервностi в похiдних (наприклад, по-
рядку n+2) [2].
28 В. I. Гуляєв, В. В. Гайдайчук, Г. М. Iванченко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 27 – 32
Для дослiдження поведiнки розривної хвилi в
малому околi фронту досить утримувати в розкла-
дi (6) лише один член m=0, а вектор iнтенсивно-
стi хвильового поля u(0) обчислювати з однорiдної
системи рiвнянь [2]
3
∑
k,p,q=1
λik,pqpkppu
(0)
q − u
(0)
i = 0, i = 1, 2, 3, (7)
розв’язок якої в променевiй системi координат τ ,
α, β набуває вигляду
u(0)
q =
c0(α, β)A
(r)
q (τ, α, β)
√
J(τ, α, β)
f0[t−τ (x1, x2, x3)],
q = 1, 2, 3.
(8)
Тут J =∂(x1, x2, x3)/∂(τ, α, β) – величина, що по-
значає функцiональний визначник перетворення
променевих координат у декартовi.
В нульовому наближеннi променевого методу
змiна швидкостi змiщення частинок середовища
при переходi через фронт пружної хвилi типу r
може бути обчислена за формулою
u̇(r)(α, β, τ) = u̇(r)(α, β, 0)
√
J(α, β, 0)
J(τ, α, β, τ)
, (9)
де u̇(r)(α, β, 0)= u̇
(r)
0 – початковий вектор швидко-
стi частинок пружного середовища при τ =0.
Якобiан перетворення променевої системи коор-
динат у декартову визначається як
J(α, β, τ) = z1[z2 × z3] =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z11 z12 z13
z21 z22 z23
z31 z32 z33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
, (10)
де
z1 =
3
∑
k=1
(∂xk/∂α)ik;
z2 =
3
∑
k=1
(∂xk/∂β)ik;
z3 =
3
∑
k=1
(∂xk/∂τ )ik —
координатнi вектори криволiнiйної променевої си-
стеми координат α, β, τ , якi обчислюються чисель-
ним методом при замiнi часткових похiдних на рi-
зницевi схеми.
Наведенi спiввiдношення дозволяють побудува-
ти сiмейство прямолiнiйних променiв та послiдов-
ностi фронту розривної хвилi в однорiдному анiзо-
тропному середовищi, а також обчислити значення
розриву польових функцiй на поверхнi еволюцiо-
нуючого фронту.
2. МЕТОДИКА РОЗВ’ЯЗАННЯ
Розглянемо два трансверсально-iзотропнi сере-
довища, осi симетрiї пружних параметрiв яких збi-
гаються з вiссю Ox2 декартової системи координат.
Завдяки властивостям симетрiї компоненти тензо-
ра пружних констант кожного середовища cik,pq
можна представити у формi шестирозрядної ква-
дратної матрицi (Cα,β), яка у прийнятiй системi
координат має вигляд [11]
(Cα,β)=
λ+2µ λ λ−l 0 0 0
λ λ+2µ−p λ−l 0 0 0
λ−l λ−l λ+2µ 0 0 0
0 0 0 µ−m 0 0
0 0 0 0 µ 0
0 0 0 0 0 µ−m
. (11)
Тут λ i µ – параметри Ляме; l, m, p – константи,
що вiдрiзняють середовище вiд iзотропного.
Нехай в одному з розглянутих середовищ (на-
приклад, у середовищi I) iнiцiйована плоска ква-
зiпоздовжня нестацiонарна хвиля qP(1−), вектор
поляризацiї якої спрямований уздовж осi Ox2 (чи-
сто поздовжня хвиля). Вивчимо дифракцiю такої
хвилi при її взаємодiї з криволiнiйною осесиме-
тричною межею G роздiлу двох середовищ, вiсь
симетрiї яких також збiгається з Ox2. Очевидно,
що сформульована задача є осесиметричною. То-
му досить розглянути явища перебудови й форму-
вання слiдiв ударних хвиль на однiй з площин, що
мiстить вiсь симетрiї (наприклад, x3 =0). Прийме-
мо “локально-плоске наближення” [2], вiдповiдно
до якого в мiсцi падiння хвилi на елементарну пло-
щинку, видiлену на поверхнi G у площинi падiння
x3 =0, усi вiдбитi й заломленi променi також бу-
дуть належати цiй площинi. Отже, у цьому випад-
ку третi компоненти усiх векторiв поляризацiї до-
рiвнюють нулю. Це дозволяє ввести до розгляду
кути Θµ, Θ̄ν , µ, ν=1, 2, з якими вiдбитi й залом-
ленi хвилi вiдходять вiд межi G, й застосовувати
узагальнений закон Снелiуса [2, 6]:
sin(γ)
v
=
sin(Θν + γ)
vν(Θν)
=
sin(Θ̄µ − γ)
v̄µ(Θ̄µ)
,
µ, ν = 1, 2.
(12)
Тут γ – кут мiж напрямком осi Ox2 i нормаллю n
до G у точцi падiння променя; Θν , Θ̄µ, ν, µ=1, 2 –
кути мiж напрямком хвильової нормалi i вiссю
Ox2 хвиль, вiдбитих у середовище I, i хвиль, що
пройшли у середовище II, вiдповiдно (рис. 1). Зна-
чення iндексiв ν=µ=1 вiдповiдають квазiпоздов-
жнiм хвилям qP , ν =µ=2 – квазiпоперечним хви-
лям qS.
В. I. Гуляєв, В. В. Гайдайчук, Г. М. Iванченко 29
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 27 – 32
Рис. 1. Схема орiєнтацiї векторiв фазових
швидкостей фронтiв розривних хвиль
Будемо позначати параметри хвиль до i пiсля
перебудови на поверхнi G знаками “−” i “+” у
нижньому iндексi, а всi параметри заломлених
хвиль – рискою зверху. Пiсля взаємодiї фронту
qP -хвилi з осесиметричною поверхнею G променi
вiдбитих qP+, qS+ i заломлених qP̄+, qS̄+ хвиль
виявляються нахиленими до осi Ox2 пiд деяки-
ми кутами за рахунок властивостей трансверсаль-
ної iзотропiї середовищ I i II, яка спричиняє по-
рушення поздовжньої орiєнтацiї векторiв поляри-
зацiї розривних qP i qS хвиль. Вiдмiннiсть спiв-
вiдношень (12) вiд звичайного закону Снелiуса об-
умовлена залежнiстю знаменникiв vν(Θν), v̄µ(Θ̄µ)
вiд величин вiдповiдних кутiв Θν , Θ̄µ i неявно вiд
кута γ. Значення кутiв вiдбиття й заломлення про-
менiв Θν , Θ̄µ, ν, µ=1, 2 в деякiй точцi межi G ви-
значаються в результатi розв’язання нелiнiйної си-
стеми рiвнянь (12) методом Ньютона разом з ме-
тодом продовження розв’язку по параметру [9]. За
ведучий параметр зручно вибрати величину кута
γ. Наприклад, у першому рiвняннi для деякого вi-
домого стану γ=γn , Θν =Θn
ν малому прирощенню
ведучого параметра ∆γn буде вiдповiдати прирiст
направляючих кутiв фазових швидкостей вiдби-
тих хвиль
∆Θn
ν =
cos(γ)vν(Θn
ν )+cos(Θn
ν −γ)v
cos(Θn
ν −γ)v−sin(γ)
∂vν (Θn
ν )
∂Θν
∆γ+r, (13)
де r=sin(Θn
ν −γ)v−sin(γ)Θn
ν – нев’язка на даному
кроцi побудови розв’язку.
Реалiзацiя обчислень за схемою (13) можли-
ва при наявностi вiдомого початкового стану γ0,
Θ0
ν +γ0 , v(Θ0
ν ). Для випадку осесиметричної ме-
жi роздiлу середовищ зручно вибрати γ0 =0, тоб-
то почати побудову сiмейства падаючих, вiдбитих
i заломлених променiв з променя, орiєнтованого
уздовж осi Ox2. Формула (13) дозволяє знаходити
єдиний прирiст ∆Θν значення кута падiння γ, при
якому знаменник у правiй частинi рiвняння (13)
буде вiдмiнним вiд нуля. Тому рiвнiсть
cos(Θn
ν − γ)v − sin(γ)
∂vν (Θn
ν )
∂Θν
= 0 (14)
є умовою бiфуркацiї розв’язку. Для продовження
розв’язування через цей стан необхiдно в рiвнян-
нi (6) утримувати члени другого, а в разi потреби –
третього порядку, тощо [2].
Умова (14) можливої неоднозначностi розв’яз-
ку системи (12) вiдповiдає ефекту сходження (до-
тику) й перетину вiдбитих i заломлених проме-
нiв пiсля взаємодiї падаючих променiв з межею G,
а множина таких критичних ситуацiй обумовлює
утворення обвiдницi сiмейства променiв – каусти-
ки. В даному випадку каустики можуть породжу-
вати формування геометричних особливостей на
поверхнях вiдбитих i заломлених хвильових фрон-
тiв як результат взаємодiї регулярного падаючого
хвильового фронту з межею G роздiлу анiзотроп-
них середовищ, навiть якщо остання є плоскою.
Оскiльки особливостi хвильового фронту поро-
джуються на каустиках, то на каустиках вiдбу-
вається i його фокусування, що супроводжується
необмеженим зростанням iнтенсивностi поля в мi-
сцях геометричних особливостей.
3. ЧИСЕЛЬНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТА АНАЛIЗ РЕ-
ЗУЛЬТАТIВ
З використанням розробленого алгоритму
розв’язано задачу про дифракцiю фронту плоскої
поздовжньої розривної хвилi на елiпсоїдальнiй
межi G роздiлу двох трансверсально-iзотропних
пружних середовищ. При цьому вважалось, що
хвиля породжена в середовищi I i поляризована
уздовж осi симетрiї пружних властивостей обох
середовищ, з якою спiвпадає вiсь обертання
поверхнi G.
Завдяки осесиметричностi задачi, пiсля взаємо-
дiї падаючого фронту з поверхнею G iнтенсивно-
стi заломлених i вiдбитих квазiпоперечних хвиль,
поляризованих ортогонально до площини, що мi-
стить вiсь симетрiї, будуть дорiвнювати нулю. От-
же, плоский падаючий фронт на поверхнi роздiлу
G породжує лише по два види осесиметричних вiд-
битих i заломлених хвиль, поляризованих у пло-
щинi осьового перерiзу.
Значення механiчних констант, якi властивi
iзотропним середовищам, приймалися на осно-
вi властивостей доломiту (λ1 =1.876·107 Па,
30 В. I. Гуляєв, В. В. Гайдайчук, Г. М. Iванченко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 27 – 32
µ1 =1.474·107 Па, ρ1 =2.650·103 кг/м
3
) та пi-
щаника (λ2 =1.235·106 Па, µ2 =4.947·106 Па,
ρ2 =2.760·103 кг/м3) для першого та друго-
го середовищ вiдповiдно. Межу роздiлу двох
трансверсально-iзотропних пружних середовищ
вважали елiпсоїдальною, такою, що в перетинi з
осьовою площиною утворює криву
(
x1
5
)2
+
(
(x2 − 4)
1, 5
)2
= 0.
На рис. 2 проiлюстрований випадок фокусуван-
ня плоскої ударної хвилi увiгнутою межею роздi-
лу середовищ, якi характеризуються параметрами
анiзотропiї li =0.1λi, mi =0.2µi, pi =0.4(λi+2µi),
i=1, 2 для квазiпоздовжнiх хвиль (квазiпоперечнi
хвилi qS+ i qS̄+ при такiй дифракцiї є менш iн-
тенсивними, тому їх не показуємо). На рисунку
також зображенi послiдовностi слiдiв осесиметри-
чних фронтiв вiдбитої й заломленої квазiпоздов-
жнiх розривних хвиль на площинi симетрiї з кро-
ком по часу ∆t=1.5·10−4 с. У мiсцях згущення
променiв їхня розбiжнiсть зменшується, тому в
цих зонах поверхнi фронту iнтенсивнiсть змiщень
пiдвищується. Очевидно, що в рамках прийнятої
iдеалiзацiї iнтенсивнiсть хвильового поля в мiсцях
фокусування вiдбитих i заломлених променiв нео-
бмежено зростає.
Можливiсть виникнення зон фокусування вiд-
битих i заломлених променiв, а також величина
фокусної вiдстанi обумовлюються геометрiєю по-
верхнi G, яка роздiляє середовища, i спiввiдно-
шенням пружних характеристик середовищ. Тер-
мiн “фокусна вiдстань” використовується тут не-
строго, оскiльки точного фокусування променiв у
загальному випадку немає.
При падiннi плоскої нестацiонарної хвилi з менш
“оптично щiльного” середовища заломленi й вiд-
битi променi квазiпоздовжнiх хвиль розсiюються
(див. рис. 3). Iнтенсивностi всiх хвиль, породже-
них взаємодiєю плоскої нестацiонарної хвилi оди-
ничної iнтенсивностi з увiгнутою межею G роз-
дiлу трансверсально-iзотропних пружних середо-
вищ, зображенi на рис. 4 у виглядi епюр на вiдпо-
вiдних фронтах, зафiксованих в момент часу, коли
падаючий фронт на осi симетрiї досягає межi G.
Видно, що падiння плоскої хвилi qP− iнiцiює вiд-
битi квазiпоздовжню qP+ й квазiпоперечну qS+,
а також заломленi qP̄+ й qS̄+ хвилi, що мають
криволiнiйнi осесиметричнi поверхнi фронтiв i не-
рiвномiрний розподiл iнтенсивностей. При цьому
фронти квазiпоперечних хвиль завжди вiдстають
вiд квазiпоздовжнiх, i на них епюри iнтенсивно-
стi хвиль набувають кососиметричних обрисiв. У
Рис. 2. Фокусування вiдбитих та заломлених
квазiпоздовжнiх нестацiонарних хвиль:
1 – падаюча хвиля qP−,
2 – вiдбита в середовище I хвиля qP+,
3 – заломлена у середовище II хвиля qP̄+
Рис. 3. Фокусування вiдбитої
квазiпоздовжньої нестацiонарної хвилi:
1 – падаюча хвиля qP−,
2 – вiдбита в середовище I хвиля qP+,
3 – заломлена у середовище II хвиля qP̄+
мiсцях фокусування променiв та на каустиках iн-
тенсивностi хвильового поля можуть значно пере-
вищувати iнтенсивнiсть падаючої хвилi.
При падiннi плоскої ударної хвилi на опу-
клу елiпсоїдальну поверхню роздiлу пружних
трансверсально-iзотропних середовищ заломленi
променi сходяться (фокусуються) чи розходяться
в ситуацiях, обернених до розглянутих вище. Слiд
зазначити, що променi вiдбитих вiд опуклої межi
G квазiпоздовжнiх хвиль qP+ завжди виявляють-
ся розбiжними.
В. I. Гуляєв, В. В. Гайдайчук, Г. М. Iванченко 31
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 27 – 32
Рис. 4. Епюри полiв швидкостей на фронтах хвиль:
1 – падаючої поздовжньої qP−,
2 – вiдбитої квазiпоздовжньої qP+,
3 – вiдбитої квазiпоперечної qS+,
4 – заломленої квазiпоздовжньої qP̄+,
5 – заломленої квазiпоперечної qS̄+
ВИСНОВКИ
Розглянуто задачу про поширення нестацiонар-
ної хвилi в трансверсально-iзотропих пружних се-
редовищах. Найбiльш складнi трансформацiї та-
ких хвиль вiдбуваються на межах роздiлу пруж-
них середовищ з рiзними механiчними властивос-
тями, де одна падаюча хвиля породжує двi трiйки
(для осесиметричних задач – двiйки) рiзним чи-
ном поляризованих вiдбитих i заломлених хвиль.
Розривний характер функцiй, якi описують цi хви-
лi, й великий показник їхньої змiнюваностi в часi
та просторi ускладнюють розв’язування задачi як
аналiтичними (у класi спецiальних функцiй), так
i чисельними методами.
На основi аналогiї з геометричною оптикою, iз
застосуванням нульового наближення променево-
го методу й пiдходу, що базується на синтезi ме-
тоду продовження розв’язку по параметру з алго-
ритмом Ньютона, розв’язано задачу про перебудо-
ву фронту плоскої розривної хвилi на елiпсоїдаль-
нiй межi роздiлу двох трансверсально-iзотропних
середовищ, якi вiдрiзняються механiчними хара-
ктеристиками. Дослiдженi особливостi утворення
каустик i фокусування вiдбитих та заломлених
променiв. Чисельно пiдтверджене значне зростан-
ня iнтенсивностей розривних хвиль у мiсцях фо-
кусування променiв та утворення каустик.
1. Кравцов Ю. А. Орлов Ю. И. Геометрическая опти-
ка неоднородных сред.– М.: Наука, 1980.– 304 с.
2. Петрашень Г. И. Распространение волн в анизо-
тропных упругих средах.– Л.: Наука, 1980.– 280 с.
3. Подильчук Ю. Н., Рубцов Ю. К. Лучевые методы
в теории распространения и рассеяния волн.– К.:
Наукова думка, 1988.– 220 с.
4. Арнольд В. И. Критические точки функций и
классификация каустик // УМН.– 1974.– 29, N 3.–
С. 243–244.
5. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гуссейн-Заде С. М.
Особенности дифференцируемых отображений.–
М.: Наука, 1982.– 302 с.
6. Гуляев В. И., Луговой П. З., Иванченко Г. М.,
Яковенко Е. В. Взаимодействие фронтов удар-
ных волн с плоскостью раздела трансверсально-
изотропных упругих сред // Пpикл. мех.– 1999.–
35, N 4.– С. 30–36.
7. Гуляев В. И., Иванченко Г. М., Яковенко Е. В.
Динамическое взаимодействие плоской ударной
волны с плоскостью раздела трансверсально-
изотропных упругих сред // Акуст. вiсн.– 2001.–
4, N 2.– С. 29–37.
8. Lugovoy P. Z., Gouliaev V. I. Propagation of shock
wave fronts in anisotropic layered media // Shock
Compression of Condensed Matter – 1999. Proc.
Conf. Amer. Phys. Soc. Topical Group on Shock
Compression of Condensed Matter, Pt 2.– Snowbird,
Utah, USA, June 27 – July 2, 1999.– P. 1287–1290.
9. Гуляев В. И., Баженов В. А., Гоцуляк Е. А. Устой-
чивость нелинейных.– Львов: Выща школа, 1982.–
232 с.
10. Hanyda A., Seredynska M. Asymptotic ray theory
in poro- and viscoelastic media // Wave Motion.–
1999.– 30.– P. 175–195.
11. Гуляев В. И., Луговой П. З., Иванченко Г. М., Яко-
венко Е. В. Дифракция ударной волны на кри-
волинейной поверхности раздела трансверсально-
изотропных упругих сред // Пpикл. мат. и мех.–
2000.– 64, N 3.– С. 394–402.
32 В. I. Гуляєв, В. В. Гайдайчук, Г. М. Iванченко
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-901 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:32:55Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гуляєв, В.І. Гайдайчук, В.В. Іванченко, Г.М. 2008-07-07T15:46:32Z 2008-07-07T15:46:32Z 2002 Фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ / В. І. Гуляєв, В. В. Гайдайчук, Г. М. Іванченко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 2. — С. 27-32. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/901 539.3:532.593 З використанням нульового наближення променевого методу розв'язана задача про перебудову фронтів квазіпоздовжніх та квазіпоперечних хвиль сильного розриву, які формуються при падінні плоскої нестаціонарної хвилі на криволінійну межу розділу пружних трансверсально-ізотропних середовищ з різними фізичними властивостями. Для розв'язування нелінійних рівнянь типу Снеліуса застосовується синтез методу продовження розв'язку по параметру та алгоритму Ньютона. Аналізуються ефекти розсіювання та фокусування нестаціонарних хвиль як окремі випадки біфуркації фронтів та утворення каустик. С использованием нулевое приближение лучевого метода решена задача о перестройке фронтов квазипродольных и квазипоперечных волн сильного разрыва, которые формируются при падении плоской нестационарной волны на криволинейную границу раздела упругих трансверсально-изотропных сред с разными физическими свойствами. Для решения нелинейных уравнений типа Снеллиуса применяется синтез метода продолжения решения по параметру и алгоритма Ньютона. Анализируются эффекты рассеяния и фокусирования нестационарных волн, как частные случаи бифуркации фронтов и образования каустик. A problem on modification of the strong discontinuity quasi-primary and quasi-secondary wavefronts, formed at incidence of the plane discontinuity wave on ellipsoidal boundary subdividing two elastic transversally isotropic media with different physical properties, is solved using zero-order approximation of the ray method. Synthesis of a method of continuation of solution by a parameter and the Newton algorithm is applied to solve the Snellius non-linear equations. Cases of scattering and focussing of the discontinuity waves are analyzed as the particular cases of the fronts' bifurcation and formation of caustics. uk Інститут гідромеханіки НАН України N 2. С. 27-32 . Фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ Focussing of plane discontinuity wave by ellipsoidal interface of transversally isotropic media Article published earlier |
| spellingShingle | Фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ Гуляєв, В.І. Гайдайчук, В.В. Іванченко, Г.М. |
| title | Фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ |
| title_alt | Focussing of plane discontinuity wave by ellipsoidal interface of transversally isotropic media |
| title_full | Фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ |
| title_fullStr | Фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ |
| title_full_unstemmed | Фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ |
| title_short | Фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ |
| title_sort | фокусування плоскої нестаціонарної хвилі еліпсоїдальною межею розділу трансверсально-ізотропних середовищ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/901 |
| work_keys_str_mv | AT gulâêvví fokusuvannâploskoínestacíonarnoíhvilíelípsoídalʹnoûmežeûrozdílutransversalʹnoízotropnihseredoviŝ AT gaidaičukvv fokusuvannâploskoínestacíonarnoíhvilíelípsoídalʹnoûmežeûrozdílutransversalʹnoízotropnihseredoviŝ AT ívančenkogm fokusuvannâploskoínestacíonarnoíhvilíelípsoídalʹnoûmežeûrozdílutransversalʹnoízotropnihseredoviŝ AT gulâêvví focussingofplanediscontinuitywavebyellipsoidalinterfaceoftransversallyisotropicmedia AT gaidaičukvv focussingofplanediscontinuitywavebyellipsoidalinterfaceoftransversallyisotropicmedia AT ívančenkogm focussingofplanediscontinuitywavebyellipsoidalinterfaceoftransversallyisotropicmedia |