Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой
Сформулирована задача о взаимодействии осциллирующего сферического тела с тонкой упругой цилиндрической оболочкой, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную идеальную сжимаемую среду с другими параметрами. Геометрический центр сферы находится на оси цилиндра. Процедура п...
Gespeichert in:
| Datum: | 2002 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2002
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/902 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой / В.В. Дзюба, В.Д. Кубенко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 2. — С. 33-42. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859643434706403328 |
|---|---|
| author | Дзюба, В.В. Кубенко, В.Д. |
| author_facet | Дзюба, В.В. Кубенко, В.Д. |
| citation_txt | Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой / В.В. Дзюба, В.Д. Кубенко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 2. — С. 33-42. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Сформулирована задача о взаимодействии осциллирующего сферического тела с тонкой упругой цилиндрической оболочкой, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную идеальную сжимаемую среду с другими параметрами. Геометрический центр сферы находится на оси цилиндра. Процедура построения решения основана на возможности представления частных решений уравнений Гельмгольца для обеих сред в цилиндрических координатах с помощью частных решений в сферических координатах, и наоборот. В результате удовлетворения граничных условий на поверхности сферы и на стенке оболочки получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов Фурье-разложения потенциала скоростей жидкости по полиномам Лежандра. Определены гидродинамические характеристики жидкости, заполняющей цилиндрический объем и окружающей его, а также прогибы цилиндрической оболочки. Проведено сравнение с задачей о колебаниях сферы на оси тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью (без учета внешней среды).
Сформульовано задачу про взаємодію сферичного тіла, що осцилює, з тонкою пружною циліндричною оболонкою, яка заповнена ідеальною стисливою рідиною та занурена в безмежне ідеальне стисливе середовище з іншими параметрами. Геометричний центр сфери знаходиться на осі циліндра. Процедура побудови розв'язку спирається на можливість представлення частинних розв'язків рівнянь Гельмгольца для обох середовищ, які записані у циліндричних координатах, за допомогою частинних розв'язків у сферичних координатах, та навпаки. В результаті задоволення граничних умов на поверхнях сфери та оболонки отримано нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження коефіцієнтів Фур'є-розкладу потенціалу швидкостей рідини за поліномами Лежандра. Визначено гідродинамічні характеристики рідини, що заповнює циліндричний об'єм та оточує його, а також прогини циліндричної оболонки. Проведено порівняння з задачею про коливання сфери на осі тонкої пружної циліндричної оболонки, що заповнена стисливою рідиною (без урахування зовнішнього середовища).
The problem on interaction between an oscillating spherical body and a thin elastic cylindrical shell filled by an ideal compressible liquid and submerged into an infinite ideal compressible medium with other parameters is formulated. Geometrical center of the sphere is located on the cylinder's axis. Development of the solution is based on the possibility to represent particular solutions of the Helmholtz equations, written for both media in the cylindrical coordinates, by means of particular solutions in spherical coordinates and vice versa. After satisfying boundary conditions on the surfaces of the sphere and the shell, the infinite system of linear algebraic equations is obtained to determine the coefficients in the Fourier expansion of the liquid's velocity potential with respect to the Legendre polynomials. Hydrodynamic characteristics of liquids filling the cylindrical shell and surrounding it are determined, as well as flexural deformations of the cylindrical shell. A comparison with the sphere vibrating at the axis of a thin elastic cylindrical shell filled by the compressible liquid (not accounting to the external liquid) is made.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:25:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 33 – 42
УДК 534.14
ВНУТРЕННЯЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ
ЗАДАЧА О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ТОНКОЙ УПРУГОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ
СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ И ПОГРУЖЕННОЙ
В БЕЗГРАНИЧНУЮ СЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ,
С ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ СФЕРОЙ
В. Д. Д ЗЮБ А, В. Д. К У Б ЕН К О
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев
Получено 17.12.2001
Сформулирована задача о взаимодействии осциллирующего сферического тела с тонкой упругой цилиндрической
оболочкой, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную идеальную сжимаемую
среду с другими параметрами. Геометрический центр сферы находится на оси цилиндра. Процедура построения
решения основана на возможности представления частных решений уравнений Гельмгольца для обеих сред в ци-
линдрических координатах с помощью частных решений в сферических координатах, и наоборот. В результате удов-
летворения граничных условий на поверхности сферы и на стенке оболочки получена бесконечная система линейных
алгебраических уравнений для определения коэффициентов Фурье-разложения потенциала скоростей жидкости по
полиномам Лежандра. Определены гидродинамические характеристики жидкости, заполняющей цилиндрический
объем и окружающей его, а также прогибы цилиндрической оболочки. Проведено сравнение с задачей о колебаниях
сферы на оси тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью (без учета внешней
среды).
Сформульовано задачу про взаємодiю сферичного тiла, що осцилює, з тонкою пружною цилiндричною оболон-
кою, яка заповнена iдеальною стисливою рiдиною та занурена в безмежне iдеальне стисливе середовище з iншими
параметрами. Геометричний центр сфери знаходиться на осi цилiндра. Процедура побудови розв’язку спирається
на можливiсть представлення частинних розв’язкiв рiвнянь Гельмгольца для обох середовищ, якi записанi у ци-
лiндричних координатах, за допомогою частинних розв’язкiв у сферичних координатах, та навпаки. В результатi
задоволення граничних умов на поверхнях сфери та оболонки отримано нескiнченну систему лiнiйних алгебраїчних
рiвнянь для знаходження коефiцiєнтiв Фур’є-розкладу потенцiалу швидкостей рiдини за полiномами Лежандра. Ви-
значено гiдродинамiчнi характеристики рiдини, що заповнює цилiндричний об’єм та оточує його, а також прогини
цилiндричної оболонки. Проведено порiвняння з задачею про коливання сфери на осi тонкої пружної цилiндричної
оболонки, що заповнена стисливою рiдиною (без урахування зовнiшнього середовища).
The problem on interaction between an oscillating spherical body and a thin elastic cylindrical shell filled by an ideal
compressible liquid and submerged into an infinite ideal compressible medium with other parameters is formulated.
Geometrical center of the sphere is located on the cylinder’s axis. Development of the solution is based on the possibility
to represent particular solutions of the Helmholtz equations, written for both media in the cylindrical coordinates, by
means of particular solutions in spherical coordinates and vice versa. After satisfying boundary conditions on the surfaces
of the sphere and the shell, the infinite system of linear algebraic equations is obtained to determine the coefficients in the
Fourier expansion of the liquid’s velocity potential with respect to the Legendre polynomials. Hydrodynamic characteristics
of liquids filling the cylindrical shell and surrounding it are determined, as well as flexural deformations of the cylindrical
shell. A comparison with the sphere vibrating at the axis of a thin elastic cylindrical shell filled by the compressible liquid
(not accounting to the external liquid) is made.
ВВЕДЕНИЕ
Многосвязные задачи дифракции стационар-
ных волн рассматривались многими авторами. Ди-
фракция электромагнитных волн исследовалась в
монографии [1], акустических волн – в работе [2].
Монографии [3, 4] посвящены систематическому
изложению результатов изучения дифракции волн
в упругой среде. В указанных и ряде других пу-
бликаций дифракционные задачи решаются для
систем однотипных поверхностей: рассматривают-
ся семейства параллельных цилиндров либо се-
мейства сферических (сфероидальных) тел.
В работах [5, 6] построено аналитическое пред-
ставление для потенциала, определяющего пуль-
сационное движение сферы в сжимаемой (акусти-
ческое приближение) и несжимаемой жидкости,
заполняющей круговую цилиндрическую полость.
В них предполагалось, что источник сферической
формы расположен на оси полости, так что имеет
место осевая симметрия. Позже в работе [7] ана-
логичная задача для дальней зоны решалась ме-
тодом “нулевого поля”. Работы [8 –12] посвящены
внутренней задаче взаимодействия сферического
тела и цилиндра (жесткого тела и тонкой упругой
цилиндрической оболочки), заполненного несжи-
маемой жидкостью; в них приведены соответству-
ющие численные результаты. В работе [13] рассмо-
c© В. В. Дзюба, В. Д. Кубенко, 2002 33
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 33 – 42
трена осесимметричная задача о колебаниях сфе-
ры в жесткой цилиндрической полости, содержа-
щей сжимаемую жидкость, а в публикации [14] –
задача о построении потенциала, определяюще-
го движение сферического тела по заданному за-
кону в сжимаемой жидкости, заполняющей тон-
кую упругую цилиндрическую оболочку, приведе-
ны результаты решения конкретных задач. Нали-
чие внешней среды в этих публикациях не учи-
тывалось.
В настоящей публикации рассматривается за-
дача о построении потенциала, определяющего
осцилляции сферического тела в сжимаемой жид-
кости, заполняющей тонкую упругую цилиндри-
ческую оболочку, погруженную в безграничную
сжимаемую жидкость с другими параметрами.
Сфера расположена на оси оболочки, так что име-
ет место осевая симметрия. Решение, полученное
в данной работе, опирается на возможность пред-
ставления частных решений уравнений Гельмголь-
ца для обеих сред в цилиндрических координатах
через частные решения этих же уравнений в сфе-
рических координатах, и наоборот. В результате
удовлетворения граничных условий на стенке обо-
лочки и на поверхности сферы получена бесконеч-
ная система алгебраических уравнений, коэффи-
циенты которой имеют вид несобственных инте-
гралов от цилиндрических функций. Для нахож-
дения решения бесконечной системы использован
метод редукции. Приведены количественные ре-
зультаты. Дано сравнение с задачей о колебаниях
сферы на оси тонкой упругой цилиндрической обо-
лочки, заполненной сжимаемой жидкостью (без
учета внешней среды).
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим бесконечную круговую цилиндри-
ческую оболочку радиуса ρ0, толщины h, которая
заполнена идеальной сжимаемой жидкостью плот-
ности γ1 , погружена в безграничную идеальную
сжимаемую жидкость плотности γ2 и содержит на
своей оси сферическое тело, поверхность которого
гармонически осциллирует. Радиус сферы обозна-
чим через r0. Сферическое тело и цилиндрическая
оболочка не имеют точек соприкосновения.
Соотнесем цилиндрическую оболочку с цилин-
дрической системой координат (ρ, φ, z), ось OZ ко-
торой совпадает с осью цилиндра. Свяжем с цен-
тром сферического тела, лежащим на оси цилин-
дра, сферические координаты (r, φ, θ). Граничная
задача состоит в отыскании решений уравнений
Гельмгольца для обеих сред (индекс “1” указывает
на характеристики внутренней среды; “2” – внеш-
ней):
∇2ϕ1 +
ω2
c2
1
ϕ1 = 0, (1.1)
∇2ϕ2 +
ω2
c2
2
ϕ2 = 0 (1.2)
при следующих граничных условиях на поверхно-
сти оболочки:
∂ϕ1
∂ρ
∣
∣
∣
∣
ρ=ρ0
=
∂w
∂t
, (1.3)
∂ϕ2
∂ρ
∣
∣
∣
∣
ρ=ρ0
=
∂w
∂t
(1.4)
и на поверхности сферы:
∂ϕ1
∂r
∣
∣
∣
∣
r=r0
= V
(
θ
)
. (1.5)
В соотношениях (1.1) – (1.5):∇2 – оператор Лапла-
са; c1 и c1 – скорости звука в жидкости, заполня-
ющей и окружающей оболочку соответственно; ϕ1
и ϕ2 – волновые потенциалы внутри и снаружи
цилиндрического объема соответственно; ω – за-
данная частота колебаний сферы; w – прогиб ци-
линдрической оболочки (считаем w положитель-
ным по направлению к центру кривизны оболоч-
ки); V (θ) – известная функция, представимая ря-
дом по полиномам Лежандра. Временной множи-
тель e−iωt всюду опущен.
Волновые потенциалы связаны с давлением и
скоростью движения жидкости формулами
pl = i γl ω ϕl, Ul = gradϕl, l = 1, 2. (1.6)
Принимая во внимание линеаризованную тео-
рию оболочек [15], основанную на гипотезах Кирх-
гофа – Лява, и считая прогибы малыми по срав-
нению с толщиной оболочки, запишем следующие
уравнения движения оболочки:
L11u + L12v + L13w = γM
1 − µ2
E
∂2u
∂t2
,
L21u + L22v + L23w = γM
1 − µ2
E
∂2v
∂t2
,
L31u + L32v + L33w =
1 − µ2
Eh
q−
− γM
1 − µ2
E
∂2w
∂t2
,
(1.7)
34 В. В. Дзюба, В. Д. Кубенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 33 – 42
где
L11 =
∂2
∂z2
+
1 − µ
2ρ2
0
∂2
∂φ2
,
L22 =
1 − µ
2
∂2
∂z2
+
1
ρ2
0
∂2
∂φ2
,
L33 =
1
ρ2
0
+
h2
12
(
∂4
∂z4
+
2
ρ2
0
∂4
∂z2∂φ2
+
1
ρ2
0
∂4
∂φ4
)
,
L12 = L21 =
1 + µ
2ρ0
∂2
∂z∂φ
,
L13 = L31 = −
µ
ρ0
∂
∂z
,
L23 = L32 = −
1
ρ2
0
∂
∂φ
.
Здесь u, v, w – перемещения точек срединной по-
верхности оболочки в осевом направлении, вдоль
дуги и в радиальном направлении соответственно;
γM – плотность материала цилиндрической обо-
лочки; E – модуль упругости; µ – коэффициент
Пуассона; q – гидродинамическая нагрузка, дей-
ствующая на оболочку, определяемая как
q
∣
∣
ρ=ρ0
=
(
−p1 + p2
)∣
∣
ρ=ρ0
. (1.8)
Введем безразмерные переменные
r̄ =
r
ρ0
, ρ̄ =
ρ
ρ0
, z̄ =
z
ρ0
, h̄ =
h
ρ0
,
ū =
u
ρ0
, v̄ =
v
ρ0
, w̄ =
w
ρ0
, f̄ =
γ1
γM
,
t̄ =
tc1
ρ0
, ω̄ =
ωρ0
c1
, Ū =
U
c1
, ϕ̄ =
ϕ
ρ0c1
,
p̄ =
p
γ1c2
1
.
Далее будем использовать только безразмерные
величины (при этом черту над переменными в
выражениях опускаем).
Цилиндрическая оболочка находится под дей-
ствием симметричной относительно оси Oz на-
грузки со стороны жидкостей. Следовательно, де-
формации срединной поверхности оболочки не бу-
дут зависеть от угла поворота вокруг оси Oz
(т. е. от угла φ), а перемещения точек срединной
поверхности вдоль дуги будут тождественно рав-
ны нулю.
Запишем уравнения движения оболочки ви-
да (1.7) в безразмерных величинах для случая осе-
симметричного деформирования оболочки:
∂2u
(
z
)
∂z2
− µ
∂w
(
z
)
∂z
= −ω2
c2
1
c2
M
u
(
z
)
,
−µ
∂u
(
z
)
∂z
+
(
1 +
h2
12
∂4
∂z4
)
w
(
z
)
=
=
(
f
h
q
(
1, z
)
+ ω2w
(
z
)
)
c2
1
c2
M
.
(1.9)
Под cM понимается скорость звука в материале
оболочки, определяемая как
cM =
√
E
γM
(
1 − µ2
) .
Применяя преобразование Фурье по координате
z к уравнениям (1.9), получаем:
−ξ2 uF
(
ξ
)
− i µ ξwF
(
ξ
)
= −ω2
c2
1
c2
M
uF
(
ξ
)
,
−i µ ξ uF
(
ξ
)
+
(
1 +
h2
12
ξ4
)
wF
(
ξ
)
=
=
(
f
h
qF
(
1, ξ
)
+ ω2 wF
(
ξ
)
)
c2
1
c2
M
(1.10)
и, учитывая соотношение (1.8), а также связь ме-
жду волновым потенциалом и давлением в жид-
кости (1.6), имеем выражение, связывающее про-
гиб оболочки с потенциалом скоростей жидкости
в пространстве изображений:
wF
(
ξ
)
=
R
(
ξ, ω
)
iω
[
ϕF
1
(
1, ξ
)
−
γ2
γ1
ϕF
2
(
1, ξ
)
]
, (1.11)
где
R
(
ξ, ω
)
=
ω2
c2
1
c2
M
f
h
(
ω2
c2
1
c2
M
−ξ2
)
µ2 ξ2+
(
ω2
c2
1
c2
M
−ξ2
)(
1+
h2
12
ξ4−ω2
c2
1
c2
M
) ;
индекс “F ” обозначает изображение по Фурье.
2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ
Представим потенциал внутри цилиндрическо-
го объема ϕ1 в виде суммы двух функций, одна
из которых является решением уравнения (1.1) в
сферических, другая – в цилиндрических коорди-
натах: ϕ1 =ϕs+ϕc.
Решение ϕs, затухающее при r→∞, имеет вид
ϕs
(
r, θ
)
=
∞
∑
n=0
xnhn
(
rω
)
Pn
(
cos θ
)
, (2.1)
В. В. Дзюба, В. Д. Кубенко 35
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 33 – 42
где Pn – полином Лежандра; xn – неопределенная
постоянная; hn – сферическая функция Ханкеля
первого рода.
Решение (2.1) можно переписать в цилиндриче-
ских координатах. Будем исходить из известной
формулы [16], связывающей решения уравнения
Гельмгольца в цилиндрической и сферической си-
стемах координат:
hn
(
ωr
)
Pn
(
cos θ
)
=
i−n
2ω
∞
∫
−∞
Pn
(
ξ
ω
)
×
×H0
(
√
ω2 − ξ2ρ
)
eiξzdξ.
(2.2)
Исходя из этого, решение (2.1) может быть запи-
сано в цилиндрических координатах (ρ, z) следую-
щим образом:
ϕs =
∞
∫
−∞
H0
(
√
ω2 − ξ2ρ
)
A
(
ξ
)
eiξzdξ, (2.3)
где
A
(
ξ
)
=
1
2ω
∞
∑
n=0
xni−nPn
(
ξ
ω
)
. (2.4)
Функция ϕc, представляющая ограниченное при
ρ→0 решение уравнения (1.1) в цилиндрических
координатах, имеет вид [1]
ϕc
(
ρ, z
)
=
∞
∫
−∞
B
(
ξ
)
J0
(
√
ω2 − ξ2ρ
)
eiξzdξ. (2.5)
Для того, чтобы записать ϕc в сферических коор-
динатах, воспользуемся следующей формулой [6]:
eiξzJ0
(
√
ω2 − ξ2ρ
)
=
∞
∑
n=0
in
(
2n + 1
)
×
×Pn
(
ξ
ω
)
jn
(
ωr
)
Pn
(
cos θ
)
.
(2.6)
Тогда для функции ϕc получим
ϕc
(
r, θ
)
=
∞
∑
n=0
Bnjn
(
ωr
)
Pn
(
cos θ
)
, (2.7)
Bn = in
(
2n + 1
)
∞
∫
−∞
B
(
ξ
)
Pn
(
ξ
ω
)
dξ. (2.8)
Здесь jn – сферическая функция Бесселя.
Потенциал вне цилиндрического объема ϕ2, яв-
ляющийся решением уравнения Гельмгольца (1.2)
в цилиндрических координатах при ρ→∞, имеет
вид
ϕ2
(
ρ, z
)
=
∞
∫
−∞
C
(
ξ
)
H0
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2ρ
)
eiξzdξ. (2.9)
В формулах (2.5) и (2.9) B(ξ), C(ξ) – неизвестные
функции.
3. УДОВЛЕТВОРЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ
УСЛОВИЙ
Граничные условия на поверхности тонкой
упругой цилиндрической оболочки (1.3) и (1.4) не-
обходимо записать в пространстве изображений по
Фурье:
∂ϕF
l
(
ρ, ξ
)
∂ρ
∣
∣
∣
∣
ρ=1
= iωwF
(
ξ
)
, l = 1, 2, (3.1)
где, в соответствии с уравнениями (2.3), (2.5)
и (2.9),
ϕF
1
(
ρ, ξ
)
= A
(
ξ
)
H0
(
√
ω2 − ξ2ρ
)
+
+B
(
ξ
)
J0
(
√
ω2 − ξ2ρ
)
,
(3.2)
ϕF
2
(
ρ, ξ
)
= C
(
ξ
)
H0
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2ρ
)
, (3.3)
а выражение для функции wF (ξ) определяется
формулой (1.11).
Удовлетворяя граничному условию (3.1) с уче-
том выражений (1.11), (3.2) и (3.3), получаем си-
стему уравнений для определения вида неизвест-
36 В. В. Дзюба, В. Д. Кубенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 33 – 42
ных функций B(ξ) и C(ξ):
C
(
ξ
)γ2
γ1
R
(
ξ, ω
)
H0
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2
)
−
−B
(
ξ
)
[
√
ω2 − ξ2J1
(
√
ω2 − ξ2
)
+
+R
(
ξ, ω
)
J0
(
√
ω2 − ξ2
)]
=
= A
(
ξ
)
[
√
ω2 − ξ2H1
(
√
ω2 − ξ2
)
+
+R
(
ξ, ω
)
H0
(
√
ω2 − ξ2
)]
,
C
(
ξ
)
[
γ2
γ1
R
(
ξ, ω
)
H0
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2
)
−
−
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2H0
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2
)]
−
−B
(
ξ
)
R
(
ξ, ω
)
J0
(
√
ω2 − ξ2
)
=
= A
(
ξ
)
R
(
ξ, ω
)
H0
(
√
ω2 − ξ2
)
.
(3.4)
Решив систему (3.4), получим следующие выраже-
ния для неизвестных функций:
B
(
ξ
)
=−
A
(
ξ
)
Bzn
(
ξ
)
[(
√
ω2 − ξ2 − Mn
(
ξ
)
)
×
×H1
(
√
ω2 − ξ2
)
+ R
(
ξ, ω
)
H0
(
√
ω2 − ξ2
)]
,
(3.5)
C
(
ξ
)
=
A
(
ξ
)
R
(
ξ, ω
)
√
ω2 − ξ2
Bzn
(
ξ
)
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2 H1
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2
)
×
×
[
J0
(
√
ω2 − ξ2
)
H1
(
√
ω2 − ξ2
)
−
−H0
(
√
ω2 − ξ2
)(
J1
√
ω2 − ξ2
)]
,
(3.6)
где
Bzn
(
ξ
)
=
(
√
ω2 − ξ2 − Mn
(
ξ
)
)
×
×J1
(
√
ω2 − ξ2
)
+ R
(
ξ, ω
)
J0
(
√
ω2 − ξ2
)
,
Mn
(
ξ
)
=
γ2
γ1
R
(
ξ, ω
)
H0
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2
)
√
ω2 − ξ2
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2H1
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2
)
.
На поверхности колеблющейся сферы (при
r=r0) из соотношений (1.5), (2.1), (2.7) и (2.8) по-
лучаем:
∞
∑
n=0
xnh′
n
(
ωr0
)
ωPn
(
cos θ
)
+
+
∞
∑
n=0
Bnj′n
(
ωr0
)
ωPn
(
cos θ
)
=
∞
∑
n=0
VnPn
(
cos θ
)
,
где штрих обозначает производную по аргументу
сферической функции. Отсюда следует, что для
каждого n имеет место равенство
xnh′
n
(
ωr0
)
ω + Bnj′n
(
ωr0
)
ω = Vn. (3.7)
Формулы (2.1), (2.4), (2.7), (2.8), (3.5) позволя-
ют записать бесконечную систему алгебраических
уравнений для определения постоянных xn в виде
xn−
1
2ω
j′n
(
ωr0
)
h′
n
(
ωr0
)
∞
∑
m=0
in−m
(
2n+1
)
qmnxm =
=
Vn
ωh′
n
(
ωr0
) , n = 0, 1, 2, . . . ,
(3.8)
где коэффициенты qmn записываются как
qmn=
∞
∫
0
2
Bzn
(
ξ
)
[(
√
ω2−ξ2−Mn
(
ξ
)
)
×
×H1
(
√
ω2−ξ2
)
+R
(
ξ, ω
)
H0
(
√
ω2−ξ2
)]
×
×Pn
(
ξ
ω
)
Pm
(
ξ
ω
)
dξ,
(3.9)
причем сумма индексов n+m – четная (в против-
ном случае qmn =0).
Бесконечная система алгебраических уравне-
ний (3.8) относится к классу систем нормально-
го типа. В работе [13] показано, что определитель
системы, подобной системе (3.8), является опреде-
лителем нормального типа. Таким образом, полу-
ченная система имеет единственное ограниченное
решение [17]. Это решение можно получить мето-
дом усечения рассматриваемой бесконечной систе-
мы уравнений.
Следует отметить, что в приведенных выше пре-
образованиях допустима перемена порядков инте-
грирования и суммирования.
В. В. Дзюба, В. Д. Кубенко 37
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 33 – 42
4. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ
Для численного решения бесконечная систе-
ма алгебраических уравнений (3.8) была сведена
к конечной системе N уравнений. Порядок усече-
ния системы определялся пробным путем таким
образом, чтобы достигалась достаточная (порядка
10−4) точность удовлетворения граничных усло-
вий (1.3) – (1.5).
Приняв во внимание соотношения (2.1), (2.4),
(2.7) и (3.5), выразим через найденные коэффи-
циенты xn потенциал скоростей, давление и ско-
рость жидкости внутри оболочки в сферических
координатах (r, θ):
ϕ1
(
r, θ
)
=
∞
∑
n=0
[
xnhn
(
ωr
)
−
in
2ω
(
2n + 1
)
×
×jn
(
ωr
)
∞
∑
m=0
xmi−mqmn
]
Pn
(
cos θ
)
,
(4.1)
p1
(
r, θ
)
= iωϕ1
(
r, θ
)
, (4.2)
U1
(
r, θ
)
=
∞
∑
n=0
[
xnh′
n
(
ωr
)
−
in
2ω
(
2n + 1
)
×
×j′n
(
ωr
)
∞
∑
m=0
xmi−mqmn
]
ωPn
(
cos θ
)
.
(4.3)
Здесь коэффициенты qmn определяются соотно-
шением (3.9), а штрих, как и ранее, обозначает
производную по аргументу сферической функции.
С помощью выражений (2.9) и (3.6) получим со-
отношения, связывающие найденные коэффици-
енты xn с потенциалом скоростей, давлением и
скоростью жидкости снаружи оболочки в цилин-
дрических координатах:
ϕ2
(
ρ, z
)
=
1
2ω
∞
∑
n=0
xni−nϕq
n
(
ρ, z
)
, (4.4)
ϕq
n
(
ρ, z
)
=
=
∞
∫
−∞
R
(
ξ, ω
)
√
ω2 − ξ2
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2H1
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2
)
×
×
[
J0
(
√
ω2 − ξ2
)
H1
(
√
ω2 − ξ2
)
−
−H0
(
√
ω2 − ξ2
)
J1
(
√
ω2 − ξ2
)]
×
×
H0
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2ρ
)
Bzn
(
ξ
) Pn
(
ξ
ω
)
eiξzdξ,
(4.5)
p2
(
ρ, z
)
= iωϕ2
(
ρ, z
)
, (4.6)
U2
(
ρ, z
)
=
1
2ω
∞
∑
n=0
xni−nU q
n
(
ρ, z
)
, (4.7)
U q
n
(
ρ, z
)
=
∞
∫
−∞
R
(
ξ, ω
)
√
ω2 − ξ2
H1
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2
)
×
×
[
J0
(
√
ω2 − ξ2
)
H1
(
√
ω2 − ξ2
)
−
−H0
(
√
ω2 − ξ2
)
J1
(
√
ω2 − ξ2
)]
×
×
H1
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2ρ
)
Bzn
(
ξ
) Pn
(
ξ
ω
)
eiξzdξ.
(4.8)
Применив к соотношению (1.11) обратное пре-
образование Фурье по ξ с учетом формул (2.4),
(3.2), (3.3), (3.5) и (3.6), получим выражение для
определения прогиба тонкой упругой цилиндриче-
ской оболочки:
w
(
z
)
= w1
(
z
)
+ w2
(
z
)
, (4.9)
w1
(
z
)
=
1
2iω2
∞
∑
n=0
xni−nwq1
n
(
z
)
, (4.10)
wq1
n
(
z
)
=
∞
∫
−∞
R
(
ξ, ω
)
[
H0
(
√
ω2 − ξ2
)
−
−
1
Bzn
(
ξ
)
[(
√
ω2 − ξ2 − Mn
(
ξ
)
)
×
×H1
(
√
ω2 − ξ2
)
+ R
(
ξ, ω
)
×
×H0
(
√
ω2 − ξ2
)]
J0
(
√
ω2 − ξ2
)]
×
×Pn
(
ξ
ω
)
eiξzdξ,
(4.11)
w2
(
z
)
=
1
2iω2
γ2
γ1
∞
∑
n=0
xni−nwq2
n
(
z
)
, (4.12)
38 В. В. Дзюба, В. Д. Кубенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 33 – 42
wq2
n
(
ρ, z
)
=
=
∞
∫
−∞
−R2
(
ξ, ω
)
√
ω2 − ξ2
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2H1
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2
)
×
×
[
J0
(
√
ω2 − ξ2
)
H1
(
√
ω2 − ξ2
)
−
−H0
(
√
ω2 − ξ2
)
J1
(
√
ω2 − ξ2
)]
×
×
H0
(
√
c2
1
c2
2
ω2 − ξ2ρ
)
Bzn
(
ξ
) Pn
(
ξ
ω
)
eiξzdξ.
(4.13)
При вычислении интегралов (3.9), (4.5), (4.8),
(4.11) и (4.13) интервал интегрирования был раз-
бит на следующие отрезки:
• 0≤ξ<(c1/c2)ω, (c1/c2)ω<ξ<ω и ω<ξ<∞,
если c1 <c2;
• 0≤ξ<ω, ω<ξ<(c1/c2)ω и (c1/c2)ω<ξ<∞,
если c1 >c2.
Верхний бесконечный предел в интегралах заме-
нялся конечным пределом таким образом, чтобы
он обеспечивал стабильность полученных резуль-
татов, как минимум, в третьем десятичном знаке.
Следует отметить, что на рассматриваемых интер-
валах интегрирования подынтегральные функции
имеют особые точки второго рода. К ним, в част-
ности, относятся точки ξ=ω и ξ=(c1/c2)ω. При
вычислениях они выделялись достаточно малой ε-
окрестностью. Исследование поведения подынте-
гральных функций в окрестности этих точек по-
казало, что справа и слева от особых точек, соо-
тветствующих нулям знаменателя, они принима-
ют одинаковые по модулю и противоположные по
знаку значения. Справа и слева от особых точек
ξ=ω, ξ=(c1/c2)ω подынтегральные функции стре-
мятся к одинаковому пределу, которым и опреде-
лялись значения интегралов в достаточно малой
ε-окрестности этих точек.
5. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Все вычисления производились в безразмерных
величинах. Использовалась универсальная систе-
ма математических расчетов MathCAD PLUS 7.0
PRO. Скорость звука в среде, заполняющей обо-
лочку, принималась равной c1 =1500 м/с, ее плот-
ность – γ1 =103 кг/м
3
. Для внешней по отно-
шению к оболочке среды были взяты следую-
щие параметры: c2 =3000 м/с, γ2 =3·103 кг/м
3
.
Материал оболочки полагался таким, что µ=0.3;
E=2·1011 Н/м2, а отношение плотности “внутрен-
ней” жидкости к плотности материала состав-
ляло f =1/8. Рассматривались оболочки толщи-
нами h=0.001, 0.01 и 0.05. Нормированное зна-
чение радиуса сферы варьировалось в пределах
r0 =0.1÷0.9. Полагалось, что поверхность сфери-
ческого тела осциллирует по закону V
(
θ
)
=cos θ.
Использованные для сравнения гидродинами-
ческие характеристики жидкости, заполняющей
тонкую упругую цилиндрическую оболочку, на
оси которой колеблется сфера (без учета влияния
внешней среды), были получены в работе [14].
На рисунках показано влияние геометрических
размеров взаимодействующих тел на распреде-
ление абсолютных значений давления жидкости
(рис. 1, 2) и прогибов цилиндрической оболочки
(рис. 3, 4) вдоль ее образующей в области 0≤z≤3.
Безразмерное значение круговой частоты прини-
малось равным ω=2. Рис. 1 – 3 отображают влия-
ние толщины цилиндрической оболочки на распре-
деление абсолютных значений давления вдоль ее
образующей и модуль прогиба. Рис. 4 иллюстри-
рует влияние радиуса сферического тела на про-
гибы цилиндрической оболочки. На рис. 1, 2 спло-
шные линии соответствуют давлению внутри, а
штриховые – вне оболочки. На рис. 2 представ-
лен случай, когда влияние внешней среды не учи-
тывается. На рис. 3, 4 сплошными линиями пока-
заны характеристики, рассчитанные при наличии
внешней по отношению к оболочке среды, а штри-
ховыми – без учета ее влияния.
При осцилляциях сферы абсолютные значения
давления вблизи поверхности оболочки, заполнен-
ной сжимаемой жидкостью (без учета влияния
внешней среды), существенным образом меняются
с изменением ее толщины (см. рис. 2). Видно, что
с уменьшением толщины оболочки снижается ам-
плитуда давления вблизи ее поверхности, а харак-
тер его распределения становится более монотон-
ным. В то же время, при осцилляциях сферы вну-
три оболочки, заполненной и окруженной сжима-
емой жидкостью, распределение модуля давления
по ее поверхности менее зависит от толщины обо-
лочки (см. рис. 1). При этом амплитуда давления
вблизи поверхности оболочки несколько возраста-
ет с уменьшением ее толщины. Заметим, что ам-
плитуда давления снаружи оболочки примерно в
три раза меньше амплитуды давления, распреде-
ленного по ее внутренней поверхности.
Наличие внешней среды существенно влияет на
прогиб оболочки (см. рис. 3, 4). Амплитуды проги-
бов оболочки, находящейся в безграничной сжима-
емой жидкости, почти в два – три раза меньше ам-
В. В. Дзюба, В. Д. Кубенко 39
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 33 – 42
Рис. 1. Влияние толщины оболочки на распределение
абсолютных значений давления вдоль ее образующей
при r0 =0.5, h=0.001, 0.01, 0.05
(внешняя среда учтена)
Рис. 2. Влияние толщины оболочки на распределение
абсолютных значений давления вдоль ее образующей
при r0 =0.5, h=0.001, 0.01, 0.05
(внешняя среда не учтена)
Рис. 3. Влияние толщины оболочки на модуль
ее прогиба, r0 =0.5, h=0.001, 0.01, 0.05
Рис. 4. Влияние радиуса сферы на модуль
прогиба оболочки, h=0.01, r0 =0.01, 0.5, 0.9
40 В. В. Дзюба, В. Д. Кубенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 33 – 42
плитуд прогибов оболочки, рассчитанных без уче-
та влияния внешней среды. При этом затухание
амплитуд прогибов с увеличением координаты z в
последнем случае происходит быстрее.
Влияние частоты осцилляций сферы радиу-
са r0 =0.5 на гидродинамические характеристи-
ки жидкости демонстрируется рис. 5, 6. На них
приведены распределения абсолютных значений
давления по поверхности взаимодействующих тел:
на рис. 5 – по поверхности осциллирующей сферы
(сплошными линиями показаны характеристики,
рассчитанные при наличии внешней по отноше-
нию к оболочке среды, а штриховыми – без уче-
та ее влияния); на рис. 6 – по поверхности обо-
лочки (сплошные линии соответствуют давлению
внутри, а штриховые – вне оболочки).
Как следует из графиков, при частоте возбужде-
ния ω=8.0 для давлений как во внутренней обла-
сти оболочки, так и во внешней, наблюдается су-
щественное (в несколько раз) увеличение амплиту-
ды. Это обстоятельство, очевидно, свидетельству-
ет о наличии частот запирания в системе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Разработан подход к решению внутренней
осесимметричной задачи о взаимодействии
осциллирующего сферического тела с тон-
кой упругой цилиндрической оболочкой, за-
полненной идеальной сжимаемой жидкостью
и погруженной в безграничную идеальную
сжимаемую жидкость с другими параметра-
ми. Получено точное аналитическое решение
указанной задачи. Определены гидродинами-
ческие характеристики жидкости, заполняю-
щей цилиндрический объем и окружающей
его, а также прогибы цилиндрической оболоч-
ки. Исследовано влияние геометрических раз-
меров взаимодействующих тел, а также часто-
ты осцилляций поверхности сферы на распре-
деление абсолютных значений давления жид-
кости и прогибов цилиндрической оболочки.
2. Установлено, что при осцилляциях сферы
абсолютные значения давления вблизи по-
верхности оболочки, заполненной сжимаемой
жидкостью (без учета влияния внешней сре-
ды), значительно меняются с изменением ее
толщины. В то же время, при наличии внеш-
ней среды распределение модуля давления по
внутренней поверхности такой оболочки не-
существенно зависит от толщины ее стенки.
Для распределения давления вблизи внутрен-
ней поверхности оболочки характерны следу-
Рис. 5. Влияние частоты осцилляций сферы
на распределение абсолютных значений
давления по ее поверхности r=r0
(r0 =0.5, h=0.001, ω=0.1, 2, 8, 10)
Рис. 6. Влияние частоты осцилляций сферы
на распределение абсолютных значений
давления по поверхности оболочки ρ=ρ0
(r0 =0.5, h=0.001, ω=0.1, 2, 8, 10)
В. В. Дзюба, В. Д. Кубенко 41
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 33 – 42
ющие особенности: с уменьшением толщины
стенки оболочки амплитуда давления вблизи
ее поверхности снижается в случае отсутствия
внешней среды и несколько возрастает при ее
наличии.
3. Внешняя среда имеет существенное влияние
на гидродинамическое давление внутри обо-
лочки и на ее прогиб. Амплитуда давления
снаружи оболочки примерно в три раза мень-
ше амплитуды давления, распределенного по
ее внутренней поверхности. Амплитуды про-
гибов оболочки, находящейся в безграничной
сжимаемой жидкости, почти в два – три раза
меньше амплитуд прогибов оболочки, влия-
ние внешней среды на которую не учитыва-
ется. При этом затухание амплитуд прогибов
с увеличением координаты z в последнем слу-
чае происходит быстрее.
4. Обнаружены эффекты, свидетельствующие о
наличии частот запирания в системе.
1. Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн
на двух телах.– Минск: Наука и техника, 1968.–
548 с.
2. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики.–
Л.: Судостроение, 1972.– 352 с.
3. Гузь А. Н., Головчан В. Т. Дифракция упругих
волн в многосвязных телах.– К.: Наук. думка,
1972.– 254 с.
4. Гузь А. Н., Кубенко В. Д., Черевко М. А. Дифра-
кция упругих волн.– К.: Наук. думка, 1978.– 308 с.
5. Кубенко В. Д. О колебаниях столба жидкости в
жестком цилиндрическом сосуде при возбуждении
пульсирующей сферой // Прикл. мех.– 1987.– 23,
N 4.– С. 119–122.
6. Кубенко В. Д. О построении потенциала пульси-
рующей сферы в бесконечной цилиндрической по-
лости, заполненной несжимаемой жидкостью //
Прикл. мех.– 1986.– 22, N 7.– С. 116–119.
7. Olsson S. Point force excitation of an elastic infi-
nite circular cylinder with an embedded spherical
cavity // J. Acoust. Soc. Amer.– 1993.– 93, N 5.–
P. 2479–2488.
8. Кубенко В. Д., Гавриленко В. В., Крук Л. А.
Колебания несжимаемой жидкости в бесконечной
цилиндрической полости, содержащей вибрирую-
щее сферическое тело // Доповiдi АН України.
Сер. А.– 1992.– N 1.– С. 42–47.
9. Кубенко В. Д., Гавриленко В. В., Крук Л. А. По-
строение потенциала скоростей жидкости в беско-
нечной цилиндрической полости, содержащей ви-
брирующее тело // Прикл. мех.– 1993.– 29, N 1.–
С. 19–25.
10. Кубенко В. Д., Крук Л. А. Взаємодiя нескiнчен-
ної цилiндричної оболонки, заповненої нестисли-
вою рiдиною, з сферичним тiлом, що пульсує на
осi оболонки // Доповiдi АН України. Сер. А.–
1993.– N 6.– С. 54–58.
11. Кубенко В. Д., Крук Л. А. О колебаниях несжи-
маемой жидкости в бесконечной цилиндрической
оболочке, содержащей осциллирующее вдоль оси
оболочки сферическое тело // Прикл. мех.– 1994.–
bf 30, N 4.– С. 31–37.
12. Кубенко В. Д., Крук Л. А. Обтекание сферическо-
го тела пульсирующим потоком жидкости в беско-
нечном цилиндре // Прикл. мех.– 1999.– 35, N 6.–
С. 27–31.
13. Кубенко В. Д., Дзюба В. В. Акустическое поле
в жестком цилиндрическом сосуде при возбужде-
нии колеблющейся по заданному закону сферой //
Прикл. мех.– 2000.– 36, N 6.– С. 88–98.
14. Кубенко В. Д., Дзюба В. В. Взаимодействие тон-
кой упругой цилиндрической оболочки с колеблю-
щейся сферой. Внутренняя осесимметричная за-
дача // Прикл. мех.– 2001.– 37, N 2.– С. 87–95.
15. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и
газа. Задачи гидроупругости.– М.: Наука, 1979.–
320 с.
16. Ерофеенко В. Т. Связь между основными решени-
ями в цилиндрических и сферических координа-
тах уравнений Гельмгольца и Лапласа // Изв. АН
БССР. Сер. физ.-мат. наук.– 1982.– N 4.– С. 42–46.
17. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближен-
ные методы высшего анализа.– М.-Л.: Физматгиз,
1962.– 708 с.
42 В. В. Дзюба, В. Д. Кубенко
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-902 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:25:04Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дзюба, В.В. Кубенко, В.Д. 2008-07-07T15:47:12Z 2008-07-07T15:47:12Z 2002 Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой / В.В. Дзюба, В.Д. Кубенко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 2. — С. 33-42. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/902 534.14 Сформулирована задача о взаимодействии осциллирующего сферического тела с тонкой упругой цилиндрической оболочкой, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную идеальную сжимаемую среду с другими параметрами. Геометрический центр сферы находится на оси цилиндра. Процедура построения решения основана на возможности представления частных решений уравнений Гельмгольца для обеих сред в цилиндрических координатах с помощью частных решений в сферических координатах, и наоборот. В результате удовлетворения граничных условий на поверхности сферы и на стенке оболочки получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов Фурье-разложения потенциала скоростей жидкости по полиномам Лежандра. Определены гидродинамические характеристики жидкости, заполняющей цилиндрический объем и окружающей его, а также прогибы цилиндрической оболочки. Проведено сравнение с задачей о колебаниях сферы на оси тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью (без учета внешней среды). Сформульовано задачу про взаємодію сферичного тіла, що осцилює, з тонкою пружною циліндричною оболонкою, яка заповнена ідеальною стисливою рідиною та занурена в безмежне ідеальне стисливе середовище з іншими параметрами. Геометричний центр сфери знаходиться на осі циліндра. Процедура побудови розв'язку спирається на можливість представлення частинних розв'язків рівнянь Гельмгольца для обох середовищ, які записані у циліндричних координатах, за допомогою частинних розв'язків у сферичних координатах, та навпаки. В результаті задоволення граничних умов на поверхнях сфери та оболонки отримано нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження коефіцієнтів Фур'є-розкладу потенціалу швидкостей рідини за поліномами Лежандра. Визначено гідродинамічні характеристики рідини, що заповнює циліндричний об'єм та оточує його, а також прогини циліндричної оболонки. Проведено порівняння з задачею про коливання сфери на осі тонкої пружної циліндричної оболонки, що заповнена стисливою рідиною (без урахування зовнішнього середовища). The problem on interaction between an oscillating spherical body and a thin elastic cylindrical shell filled by an ideal compressible liquid and submerged into an infinite ideal compressible medium with other parameters is formulated. Geometrical center of the sphere is located on the cylinder's axis. Development of the solution is based on the possibility to represent particular solutions of the Helmholtz equations, written for both media in the cylindrical coordinates, by means of particular solutions in spherical coordinates and vice versa. After satisfying boundary conditions on the surfaces of the sphere and the shell, the infinite system of linear algebraic equations is obtained to determine the coefficients in the Fourier expansion of the liquid's velocity potential with respect to the Legendre polynomials. Hydrodynamic characteristics of liquids filling the cylindrical shell and surrounding it are determined, as well as flexural deformations of the cylindrical shell. A comparison with the sphere vibrating at the axis of a thin elastic cylindrical shell filled by the compressible liquid (not accounting to the external liquid) is made. ru Інститут гідромеханіки НАН України N 2. С. 33-42 Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой Internal axisymmetric problem on interaction of thin elastic cylindrical shell, filled with a compressible liquid and immersed into an infinite compressible liquid, and having an oscillating sphere Article published earlier |
| spellingShingle | Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой Дзюба, В.В. Кубенко, В.Д. |
| title | Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой |
| title_alt | Internal axisymmetric problem on interaction of thin elastic cylindrical shell, filled with a compressible liquid and immersed into an infinite compressible liquid, and having an oscillating sphere |
| title_full | Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой |
| title_fullStr | Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой |
| title_full_unstemmed | Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой |
| title_short | Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой |
| title_sort | внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/902 |
| work_keys_str_mv | AT dzûbavv vnutrennââosesimmetričnaâzadačaovzaimodeistviitonkoiuprugoicilindričeskoioboločkizapolnennoisžimaemoižidkostʹûipogružennoivbezgraničnuûsžimaemuûžidkostʹsoscilliruûŝeisferoi AT kubenkovd vnutrennââosesimmetričnaâzadačaovzaimodeistviitonkoiuprugoicilindričeskoioboločkizapolnennoisžimaemoižidkostʹûipogružennoivbezgraničnuûsžimaemuûžidkostʹsoscilliruûŝeisferoi AT dzûbavv internalaxisymmetricproblemoninteractionofthinelasticcylindricalshellfilledwithacompressibleliquidandimmersedintoaninfinitecompressibleliquidandhavinganoscillatingsphere AT kubenkovd internalaxisymmetricproblemoninteractionofthinelasticcylindricalshellfilledwithacompressibleliquidandimmersedintoaninfinitecompressibleliquidandhavinganoscillatingsphere |