Свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки
Рассмотрены собственные поперечные колебания двух балок, соединенных между собой упругой круговой цилиндрической оболочкой. Уравнения колебаний упругой системы и граничные условия получены на основе принципа возможных перемещений. Предложено приближенное решение сформулированной спектральной задачи...
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2002
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/904 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки / Ю.В. Троценко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 2. — С. 54-72. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860132718605500416 |
|---|---|
| author | Троценко, Ю.В. |
| author_facet | Троценко, Ю.В. |
| citation_txt | Свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки / Ю.В. Троценко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 2. — С. 54-72. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрены собственные поперечные колебания двух балок, соединенных между собой упругой круговой цилиндрической оболочкой. Уравнения колебаний упругой системы и граничные условия получены на основе принципа возможных перемещений. Предложено приближенное решение сформулированной спектральной задачи на основе ее эквивалентной вариационной формулировки. Приведен алгоритм точного решения исходной задачи для случая, когда оболочка заменяется эквивалентным участком балки. Исследовано влияние входных параметров системы на ее частоты и формы колебаний как в строгой, так и в упрощенной постановке задачи.
Розглянуті власні поперечні коливання двох балок, які з'єднані між собою пружною круговою циліндричною оболонкою. Рівняння коливань пружної системи та граничні умови отримані на основі принципу можливих переміщень. Запропоновано наближене розв'язання сформульованої спектральної задачі на основі її еквівалентного варіаційного формулювання. Наведено алгоритм точного розв'язання вихідної задачі для випадку, коли оболонка замінюється еквівалентною ділянкою балки. Досліджено вплив вхідних параметрів системи на її частоти та форми коливань як у строгій, так і в спрощеній постановці задачі.
The transversal characteristic vibrations of two beams interconnected with elastic circular cylindrical shell are considered. The equations of vibration of the system and the boundary conditions are obtained on the basis of the principle of possible displacements. The approximate solution of the formulated spectral task is offered on the basis of its equivalent variational formulation. The algorithm of exact solution of the initial problem for the case, when the shell is replaced with an equivalent section of the beam, is given. The influence of initial parameters of system on its frequencies and forms of vibration are studied both for exact, and simplified statement of the problem.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:45:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
УДК 539.3:534.13
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ, СОЕДИНЯЮЩЕЙ УПРУГИЕ БАЛКИ
Ю. В. ТРО Ц ЕН К О
Межотраслевой научно-исследовательский институт проблем механики “Ритм”
при Национальном техническом университете Украины “КПИ”, Киев
Получено 15.04.2002 � Пересмотрено 17.07.2002
Рассмотрены собственные поперечные колебания двух балок, соединенных между собой упругой круговой цилин-
дрической оболочкой. Уравнения колебаний упругой системы и граничные условия получены на основе принципа
возможных перемещений. Предложено приближенное решение сформулированной спектральной задачи на основе
ее эквивалентной вариационной формулировки. Приведен алгоритм точного решения исходной задачи для случая,
когда оболочка заменяется эквивалентным участком балки. Исследовано влияние входных параметров системы на
ее частоты и формы колебаний как в строгой, так и в упрощенной постановке задачи.
Розглянутi власнi поперечнi коливання двох балок, якi з’єднанi мiж собою пружною круговою цилiндричною обо-
лонкою. Рiвняння коливань пружної системи та граничнi умови отриманi на основi принципу можливих перемiщень.
Запропоновано наближене розв’язання сформульованої спектральної задачi на основi її еквiвалентного варiацiйного
формулювання. Наведено алгоритм точного розв’язання вихiдної задачi для випадку, коли оболонка замiнюється
еквiвалентною дiлянкою балки. Дослiджено вплив вхiдних параметрiв системи на її частоти та форми коливань як
у строгiй, так i в спрощенiй постановцi задачi.
Eigen cross vibrations of two beams interconnected with elastic circular cylindrical shell are considered. The equations of
vibration of the system and the boundary conditions are obtained on the basis of the principle of possible displacements.
The approximate solution of the formulated spectral task is offered on the basis of its equivalent variational formulation.
The algorithm of exact solution of the initial problem for the case, when the shell is replaced with an equivalent section
of the beam, is given. The influence of initial parameters of system on its frequencies and forms of vibration are studied
both for exact, and simplified statement of the problem.
ВВЕДЕНИЕ
Составные механические конструкции, пред-
ставляющие собой разного рода соединения обо-
лочечных элементов и упругих балок, широко
используются в авиастроении, машиностроении,
судостроении, других отраслях промышленности
и строительства. Определение форм и частот соб-
ственных колебаний как основных характеристик
упругих систем представляет большой практиче-
ский интерес и является первым этапом динами-
ческого расчета.
Исследованию продольных и крутильных ко-
лебаний цилиндрической оболочки с сосредото-
ченными массами на ее торцах посвящены ра-
боты [1, 2]. В работах [3, 4] изучено взаимодей-
ствие ребристой цилиндрической оболочки и аб-
солютно твердого тела, связанного с внутренней
поверхностью оболочки с помощью жестких не-
весомых стержней. Расчету свободных колебаний
оболочек вращения с локально присоединенными
телами посвящены работы [5, 6]. В работах [7, 8]
построена математическая модель связанных ко-
лебаний цилиндрической оболочки и прикреплен-
ного к одному из ее торцов абсолютно твердого те-
ла, предложен приближенный метод определения
частот и форм собственных колебаний рассматри-
ваемой механической системы. Точному решению
задачи о собственных колебаниях цилиндрической
оболочки, соединенной с упругими балками, по-
священы работы [9, 10].
Данная статья посвящена разработке вариаци-
онного метода построения приближенного реше-
ния задачи о собственных поперечных колебани-
ях тонкостенной круговой цилиндрической обо-
лочки, к торцам которой жестко прикреплены две
упругие балки. Сформулированы геометрические
условия сопряжения, накладываемые на переме-
щения оболочки и балок в местах их жесткого кре-
пления. На основе принципа возможных переме-
щений получены уравнения и естественные гра-
ничные условия на торцах цилиндрической обо-
лочки. При построении решений рассматривае-
мой спектральной задачи на основе ее эквивален-
тной вариационной формулировки используются
точные решения для уравнений поперечных коле-
баний балок. В результате исходная задача све-
дена к решению однородной алгебраической си-
стемы. Для случаев, когда оболочку можно за-
менить эквивалентным участком балки, приве-
дено точное решение упрощенной задачи, полу-
ченное с использованием метода начальных па-
раметров Коши. Исследовано влияние толщины
оболочки, ее местоположения и длины на ча-
стоты и формы собственных колебаний систе-
мы.
54 c© Ю. В. Троценко, 2002
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается механическая система, состо-
ящая из тонкостенной круговой цилиндрической
оболочки толщиной h и двух балок, которые жест-
ко прикреплены к ее торцам (рис. 1). Предпола-
гается, что балки имеют две взаимно перпендику-
лярные плоскости симметрии, линией пересечения
которых является ось Oz, совпадающая с продоль-
ной осью оболочки. Координатную плоскость Oxz
совместим с одной из плоскостей симметрии систе-
мы, а начало координат O выберем в плоскости
торцевого сечения одной из балок, свободного от
оболочки.
Орты введенной системы координат Oxyz обо-
значим через ~i, ~j, ~k. Координаты торцевых сече-
ний цилиндрической оболочки радиуса R и длины
l в принятой системе координат обозначим через
z1 и z2. Считается, что общая длина рассматри-
ваемой системы “балки – оболочка” равна z3. Сре-
динную поверхность оболочки отнесем к ортого-
нальной системе криволинейных координат z и ϕ,
где ϕ – полярный угол, отсчитываемый от оси Ox
против хода часовой стрелки, если смотреть в сто-
рону положительного направления оси Oz. С эти-
ми координатами свяжем ортогональный базис ~e1,
~e2, ~e3, в котором ~e1 и ~e2 – единичные векторы, ка-
сательные к линиям главных кривизн срединной
поверхности оболочки и направленные в сторону
возрастания координат z и ϕ соответственно, а ве-
ктор ~e3 равен векторному произведению векторов
~e1 и ~e2. Деформированное состояние оболочки бу-
дем характеризовать вектором перемещения точек
ее срединной поверхности:
~U(z, ϕ, t) = u(z, ϕ, t)~e1+
+v(z, ϕ, t)~e2 + w(z, ϕ, t)~e3.
(1)
Предположим далее, что при совместных коле-
баниях рассматриваемая механическая система со-
вершает движение в одной из плоскостей симме-
трии (будем считать, что она совпадает с плоско-
стью Oxz). Перемещения точек нейтральной ли-
нии упругих балок в направлении оси Ox на участ-
ках [0, z1] и [z2, z3] будем обозначать через ξ1(z, t)
и ξ2(z, t) соответственно.
В случае связанных колебаний системы переме-
щения оболочки и балок в сечениях z=z1 и z=z2
являются непрерывными функциями. В силу это-
го имеем
~U = ~U0 + [~θ0 × ~r0]. (2)
Здесь компоненты векторов ~U0, ~θ0 и ~r0 в базисе
Рис. 1. Общий вид рассматриваемой упругой системы
системы координат Oxyz имеют вид
~U0 = {ξk(zk, t), 0, 0} ,
~θ0 =
{
0,
dξk(zk, t)
dz
, 0
}
,
~r0 = {R cos ϕ,−R sinϕ, 0} ,
где ~U0 и ~θ0 – векторы малых перемещений и пово-
рота балок при z=zk, k=1, 2; ~r0 – радиус-вектор
точек оболочки в плоскостях ее торцевых сечений.
Выразим правую часть соотношения (2) в ви-
де разложения по ортам трехгранника Дарбу, учи-
тывая при этом их связь с ортами системы коор-
динат Oxyz:
~i = − sin ϕ~e2 + cosϕ~e3,
~j = − cos ϕ~e2 − sinϕ~e3 ,
~k = ~e1.
Приравнивая компоненты векторов справа и слева
в соотношении (2), получаем
u(zk, ϕ, t) = −
∂ξk(zk, t)
∂z
R cosϕ,
v(zk , ϕ, t) = −ξk(zk, t) sinϕ,
w(zk, ϕ, t) = ξk(zk, t) cosϕ,
k = 1, 2.
(3)
Нетрудно показать, что условия равенства углов
поворота торцевых сечений балок вокруг направ-
ления ~e2 с соответствующими углами поворота
Ю. В. Троценко 55
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
кромок оболочки дают следующие соотношения
между производной от нормального прогиба обо-
лочки и производной от перемещений балок:
∂w(zk, ϕ, t)
∂z
=
∂ξk(zk, t)
∂z
cosϕ,
k = 1, 2.
(4)
Формулы (3) и (4) представляют собой геоме-
трические условия сопряжения, накладываемые
на перемещения оболочки и балок в местах их жес-
ткого крепления.
Для получения уравнений колебаний и сило-
вых граничных условий в сечениях z=zk , k=1, 2,
воспользуемся вариационным принципом возмож-
ных перемещений, согласно которому
δΠ = δA, (5)
где δΠ – вариация потенциальной энергии дефор-
мации системы; δA – работа внешних сил на воз-
можных перемещениях. Внешними силами в рас-
сматриваемом случае являются в соответствии с
принципом Даламбера силы инерции.
Обозначим через mk и EkIk, k=1, 2, погонные
массы балок и их изгибные жесткости в плоско-
сти Oxz соответственно. При k=1 имеем участок
[O, z1], а при k=2 – [z2, z3]. Будем считать, что
жесткостные и массовые характеристики балок
постоянны по их длине. Плотность, модуль упру-
гости и коэффициент Пуассона материала оболоч-
ки обозначим через ρ, E и ν соответственно.
Потенциальную энергию деформации оболочки
выпишем на основе общих соотношений техниче-
ской теории оболочек [11]. Для балок будем учи-
тывать только потенциальную энергию изгиба в
плоскости Oxz. При этом общая потенциальная
энергия системы, записанная в перемещениях, бу-
дет иметь вид
Π=
Eh
2(1−ν2)
∫∫
Σ
[
(
∂u
∂z
)2
+
1
R2
(
∂v
∂ϕ
+w
)2
+
+
2ν
R
∂u
∂z
(
∂v
∂ϕ
+w
)
+
1−ν
2
(
1
R
∂u
∂ϕ
+
∂v
∂z
)2
]
dΣ +
+
D
2
∫∫
Σ
[
(
∂2w
∂z2
)2
+
(
1
R2
∂2w
∂ϕ2
)2
+
2ν
R2
×
×
∂2w
∂z2
∂2w
∂ϕ2
+2 (1−ν)
(
1
R
∂2w
∂z∂ϕ
)2
]
dΣ +
+
1
2
z1
∫
0
E1I1
(
∂2ξ1
∂z2
)2
dz+
1
2
z3
∫
z2
E2I2
(
∂2ξ2
∂z2
)2
dz,
(6)
где Σ – срединная поверхность оболочки;
D =
Eh3
12 (1 − ν2)
.
Первый интеграл по поверхности Σ представляет
собой потенциальную энергию удлинений и сдви-
гов, а второй – потенциальную энергию изгиба и
кручения оболочки.
Вариацию потенциальной энергии упругой де-
формации системы представим в следующей фор-
ме:
δΠ = −
Eh
(1 − ν2)
×
×
∫∫
Σ
{[L11(u) + L12(v) + L13(w)] δu+
+ [L21(u) + L22(v) + L23(w)] δv−
− [L31(u) + L32(v) + L33(w)] δw }dΣ+
+
∫
Γ
[
T1δu + Sδv + Q∗
1δw − M1
∂δw
∂z
]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z2
z=z1
ds+
+
z1
∫
0
∂2
∂z2
(
E1I1
∂2ξ1
∂z2
)
δξ1dz+
+
(
M (1) ∂δξ1
∂z
− Q(1)δξ1
)
∣
∣
∣
∣
z=z1
z=0
+
+
z3
∫
z2
∂2
∂z2
(
E2I2
∂2ξ2
∂z2
)
δξ2dz+
+
(
M (2)∂δξ2
∂z
− Q(2)δξ2
)
∣
∣
∣
∣
z=z3
z=z2
.
(7)
Здесь приняты следующие обозначения:
∆ = R2 ∂2
∂z2
+
∂2
∂ϕ2
;
L11 =
∂2
∂z2
+
ν1
R2
∂2
∂ϕ2
;
L22 =
1
R2
∂2
∂ϕ2
+ ν1
∂2
∂z2
;
L33 =
1
R2
(
c2∆∆ + 1
)
;
56 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
L12 = L21 =
ν2
R
∂2
∂z∂ϕ
;
L13 = L31 =
ν
R
∂
∂z
;
L23 = L32 =
1
R2
∂
∂ϕ
;
ν1 =
1 − ν
2
; ν2 =
1 + ν
2
; c2 =
h2
12R2
;
S =
Eh
2(1 + ν)
(
∂v
∂z
+
1
R
∂u
∂ϕ
)
;
T1 =
Eh
1 − ν2
[
∂u
∂z
+
ν
R
(
∂v
∂ϕ
+ w
)]
;
M1 = −D
(
∂2w
∂z2
+
ν
R2
∂2w
∂ϕ2
)
;
Q∗
1 = −c2 Eh
1 − ν2
[
R2 ∂3w
∂z3
+ (2 − ν)
∂3w
∂z∂ϕ2
]
;
M (k) = EkIk
∂2ξk
∂z2
; Q(k) =
∂
∂z
(
EkIk
∂2ξk
∂z2
)
;
k = 1, 2,
где T1 и S – соответственно меридиональная и
сдвигающая силы, отнесенные к единице длины
нормального сечения срединной поверхности обо-
лочки; Q∗
1 – обобщенная поперечная сила на кон-
туре оболочки; M1 – погонный изгибающий мо-
мент в меридиональной плоскости оболочки; M (k)
и Q(k) – изгибающий момент и перерезывающая
сила для балок с переменной по длине изгибной
жесткостью. При выводе выражения (7) были
использованы формулы интегрирования по ча-
стям поверхностных интегралов
∫∫
Σ
f
∂g
∂z
dΣ = −
∫∫
Σ
g
∂f
∂z
dΣ +
∫
Γ
(fg)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z2
z=z1
ds,
∫∫
Σ
f
∂g
∂ϕ
dΣ = −
∫∫
Σ
g
∂f
∂ϕ
dΣ,
где функции f(z, ϕ) и g(z, ϕ) – 2π-периодические
по второй координате; Γ – окружность радиуса R.
Работа инерционных сил на возможных переме-
щениях δu, δv, δw и δξk имеет вид
δA=−ρh
∫∫
Σ
(
∂2u
∂t2
δu+
∂2v
∂t2
δv+
∂2w
∂t2
δw
)
dΣ−
−
z1
∫
0
m1
∂2ξ1
∂t2
δξ1dz−
z3
∫
z2
m2
∂2ξ2
∂t2
δξ2dz.
(8)
На контуре крепления балок с оболочкой, вариа-
ции δu, δv, δw и ∂δw/∂z не являются независи-
мыми, поскольку перемещения оболочки связаны
с параметрами движения балок условиями сопря-
жения (3) и (4).
Подставляя формулы (7) и (8) (с учетом выра-
жений для вариаций перемещений оболочки при
z=zk) в уравнение (5) и полагая вариации δu,
δv, δw и δξk независимыми, получаем следующие
уравнения:
L11(u)+L12(v)+L13(w)=
ρ(1−ν2)
E
∂2u
∂t2
,
L21(u)+L22(v)+L23(w)=
ρ(1−ν2)
E
∂2v
∂t2
,
L31(u)+L32(v)+L33(w)= −
ρ(1−ν2)
E
∂2w
∂t2
,
∂2
∂z2
(
EkIk
∂2ξk
∂z2
)
+mk
∂2ξk
∂t2
=0,
k=1, 2
(9)
и известные граничные условия на свободных от
оболочки торцах балок, а также граничные усло-
вия на торцах оболочки:
∫
Γ
(S sin ϕ − Q∗
1 cos ϕ)|z=zk
ds−
−Q(k) |z=zk
= 0,
∫
Γ
(T1R cos ϕ + M1 cos ϕ)|z=zk
ds+
+M (k) |z=zk
= 0.
(10)
Нетрудно показать, что уравнения (10) выража-
ют собой силовые и моментные условия равнове-
сия узлов стыковки балок и оболочки. При этом
первое уравнение является следствием равенства
нулю суммы проекций всех усилий на ось Ox, а
второе – равенства нулю всех моментов относи-
тельно оси Oy, действующих в сечениях системы
при z=zk , k=1, 2. Следует также отметить, что
условия (10) являются естественными граничны-
ми условиями для соответствующего функциона-
ла. Таким образом, определение колебаний рас-
сматриваемой механической системы при задан-
ных начальных условиях свелось к совместному
интегрированию уравнений цилиндрической обо-
лочки и балок (9) при выполнении геометриче-
ских (3), (4) и силовых (10) условий сопряжения,
совместно с граничными условиями закрепления
балок при z=0 и z=z3 .
Ю. В. Троценко 57
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
Рассмотрим установившиеся гармонические ко-
лебания упругой системы в плоскости Oxz c часто-
той ω. Для случая неосесимметричных деформа-
ций срединной поверхности цилиндрической обо-
лочки ее перемещения u, v, w и перемещения ба-
лок ξk будем искать в виде
u = eiωtun(z) cos nϕ,
v = eiωtvn(z) sin nϕ,
w = eiωtwn(z) cos nϕ,
ξk = eiωtηk(z),
n = 1, 2, . . . , k = 1, 2.
(11)
В соответствии с этим, усилия и моменты в обо-
лочке определяются по формулам
T1 = eiωtT1(n) cosnϕ,
T2 = eiωtT2(n) cosnϕ,
S = eiωtS(n) sin nϕ,
Q∗
1 = eiωtQ∗
1(n) cos nϕ,
M1 = eiωtM1(n) cosnϕ.
(12)
Будем пользоваться безразмерными величина-
ми, которые связаны с соответствующими размер-
ными величинами следующим образом:
z=Rα1, z1 =Rγ1, z−z1 =Rα,
z3−z=Rα2, z3−z2 =Rγ2, l=γR,
M1(n)=
EhR
(1−ν2)
M̄1(n), Q(k)=πEhRQ̄(k),
M (k)=πEhR2M̄ (k), ω2 =
E
(1−ν2)ρR2
ω̄2,
EkIk =πEhR3ζk, mk =
(
1−ν2
)
πρRhm̄k,
{
T1(n), Q
∗
1(n), S(n)
}
=
=
Eh
(1−ν2)
{
T̄1(n), Q̄
∗
1(n), S̄(n)
}
,
{un, vn, wn}=R {ūn, v̄n, w̄n} .
(13)
В дальнейшем для упрощения формы записи, чер-
точку над безразмерными величинами опускаем.
Подставляя соотношения (11) в (9), получаем
для определения функций Un(α), Vn(α), Wn(α) и
ηk(αk) следующие уравнения:
d2
dαk
(
ζk
d2ηk
dα2
k
)
− ω2mkηk = 0, (14)
L
(n)
11 (un) + L
(n)
12 (vn) + L
(n)
13 (wn) + ω2un = 0,
L
(n)
21 (un) + L
(n)
22 (vn) + L
(n)
23 (wn) + ω2vn = 0,
L
(n)
31 (un) + L
(n)
32 (vn) + L
(n)
33 (wn) − ω2wn = 0,
n = 1, 2, . . . , k = 1, 2,
(15)
где L
(n)
ij , i, j=1, . . . , 3 – дифференциальные опера-
торы, получаемые из операторов Lij после отделе-
ния в них угловой переменной и перехода к без-
размерным величинам.
Если количество волн в окружном направлении
оболочки n равно единице, то кинематические и
силовые условия сопряжения в сечениях z=z1 и
z=z2 имеют вид
u1(χk) = (−1)k dηk(γk)
dαk
,
dw1(χk)
dα
= (−1)k+1 dηk(γk)
dαk
,
v1(χk) = −ηk(γk), w1(χk) = ηk(γk),
(16)
{
c2
[
d3w1
dα3
−(2−ν)
dw1
dα
]
+ν1
(
dv1
dα
−u1
)}
α=χk
+
+(−1)k(1−ν2)
d
dαk
(
ζk
d2ηk
dα2
k
)
αk=γk
=0,
{
c2
(
νw1−
d2w1
dα2
)
+
du1
dα
+ν(v1+w1)
}
α=χk
+
+(1−ν2)
(
ζk
d2ηk
dα2
k
)
αk=γk
=0,
k=1, 2.
(17)
Здесь и в дальнейшем χ1 =0, χ2 =γ. К соотноше-
ниям (16) и (17) необходимо добавить граничные
условия для балок при α1 =0 и α2 =0.
Для случая, когда количество волн в окруж-
ном направлении превосходит единицу, кинемати-
ческие условия сопряжения дают граничные усло-
вия для оболочки
un(χk) = vn(χk) = wn(χk) =
dwn(χk)
dα
= 0,
k = 1, 2,
(18)
и колебания рассматриваемой системы возможны
лишь при ηk(αk)≡0. Полученные граничные усло-
вия являются следствием ортогональности фун-
кций sin nϕ и cosnϕ на отрезке [0, 2π].
Таким образом, собственные колебания рассма-
триваемой упругой системы, как и в случае цилин-
58 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
дрической оболочки с присоединенным твердым
телом [8], распадаются на два типа колебаний.
Исследование первого типа колебаний требует
одновременного интегрирования уравнений тео-
рии балок и цилиндрической оболочки при усло-
виях сопряжения (16), (17) и при соответствую-
щих граничных условиях на свободных от оболоч-
ки торцах балок. Для этого случая, с учетом пред-
ставления (11) для прогибов оболочки при n=1,
проекции главного вектора сил на оси Oy и Oz,
изгибающий момент относительно оси Ox и кру-
тящий момент, которые передаются от оболочки к
балкам в узлах их стыковки, будут равны нулю [7].
Следовательно, балки будут совершать только по-
перечные движения в плоскости Oxz при одновре-
менном деформировании поверхности цилиндри-
ческой оболочки.
При втором типе колебаний оболочка совершает
пространственные неосесимметричные колебания
в плоскости Oxz, в то время как балки остаются
неподвижными. Определение характеристик этого
типа колебаний сводится к решению классической
задачи о колебаниях цилиндрической оболочки с
двумя жестко защемленными торцами при числе
волн в окружном направлении больше единицы.
Нахождение минимальной частоты системы мо-
жет быть осуществлено после определения выше-
указанных типов колебаний.
2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Для случая, когда толщина оболочки и жестко-
стные характеристики балок являются постоян-
ными величинами, в работе [9] построены точные
решения соответствующих задач на собственные
значения. Согласно такому подходу, определение
общего решения для уравнений оболочки по мето-
ду Эйлера при фиксированном значении частоты
ω сводится к решению характеристического урав-
нения восьмого порядка. Используя точные реше-
ния уравнений для балок (14), условия сопряже-
ния (16), (17) и условия закрепления свободных
от оболочки торцов балок, исходная задача сво-
дится к решению линейной однородной алгебраи-
ческой системы двенадцатого порядка относитель-
но постоянных интегрирования. Равенство нулю
определителя этой системы приводит к частотно-
му уравнению относительно параметра ω. В ре-
зультате процесс нахождения частот системы сво-
дится к последовательному подбору значений ω,
удовлетворяющих частотному уравнению, с пре-
дварительным нахождением для каждого фикси-
рованного значения ω корней характеристическо-
го уравнения. Следует отметить, что при изме-
нении частотного параметра ω, геометрических и
физических параметров оболочки возможны раз-
личные комбинации корней характеристического
уравнения. Это приводит к различной структу-
ре общего решения системы дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами (15), а
следовательно, к разным видам частотного урав-
нения. По этой причине алгоритм решения рассма-
триваемой задачи достаточно сложен. Применение
этого подхода при конкретных расчетах вызывает
определенные затруднения, поскольку в [9] фор-
мульная схема решения задачи не приведена в си-
лу ее громоздкости. В то же время, численные дан-
ные, полученные на основе точного решения до-
вольно сложной спектральной задачи, играют не-
оценимую роль при разработке и оценке точности
других приближенных решений рассматриваемой
задачи.
Ниже для построения приближенных анали-
тических решений задач на собственные значе-
ния (14) – (17) и (15), (18) будет использовано све-
дение их к соответствующим эквивалентным ва-
риационным задачам с последующим применени-
ем для их решения обобщенного метода Ритца.
Использовав введенные потенциальную энергию
деформаций системы и работу инерционных сил
на возможных перемещениях, после интегрирова-
ния по углу ϕ и перехода к безразмерным величи-
нам по формулам (13) спектральную задачу све-
дем к отысканию стационарных значений для ква-
дратичного функционала:
I =
1
2
γ
∫
0
[
(
dun
dα
)2
+(wn+nvn)2 +
+2ν
dun
dα
(wn+nvn)+ν1
(
dvn
dα
−nun
)2
]
dα+
+
c2
2
γ
∫
0
[(
d2wn
dα
)
+ n4w2
n−
−2νn2d2wn
dα2
wn+2 (1−ν)n2
(
dwn
dα
)2]
dα+
+
(
1−ν2
)
2
2
∑
k=1
γk
∫
0
ζk
(
d2ηk
dαk
)2
dαk−
−
ω2
2
[
γ
∫
0
(
u2
n+v2
n+w2
n
)
dα+
+
(
1−ν2
)
2
∑
k=1
γk
∫
0
mkη2
kdαk
]
.
(19)
Для случая n=1 функционал (19) необходи-
Ю. В. Троценко 59
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
мо минимизировать на классе функций, удовле-
творяющих кинематическим условиям сопряже-
ния (16) и главным граничным условиям на сво-
бодных от оболочки торцах балок. Силовые и мо-
ментные граничные условия (17) являются есте-
ственными условиями для функционала, что су-
щественно упрощает построение систем базисных
функций в методе Ритца.
Для случая n>1 в функционале (19) следует по-
ложить ηk≡0, k=1, 2. Класс допустимых функций
должен быть ограничен условиями (18). Предпо-
ложим для определенности, что торцы балок при
α1 =α2=0 жестко защемлены.
Решения для балок будем искать на классе част-
ных решений уравнения
d4ηk
dα4
k
− β4
kηk = 0, (20)
где β4
k =mkω2/ζk, k=1, 2. При этом с учетом вы-
бранных условий закрепления для балок будем
иметь
η1(α1) = C1U(β1α1) + C2V (β1α1),
η2(α2) = D1U(β2α2) + D2V (β2α2).
(21)
Здесь Ci и Di, i=1, 2 – произвольные постоянные;
U(βz) и V (βz) – функции Крылова,
U(βz) =
1
2
(ch βz − cos βz) ,
V (βz) =
1
2
(sh βz − sin βz) .
Для отыскания стационарных значений фун-
кционала (19) представим искомые функции
un(α), vn(α) и wn(α) в следующем виде:
un(α) =
N
∑
j=1
ajUj(α)+
+δ1n
(
dη2(γ2)
dα2
f2(α) −
dη1(γ1)
dα1
f1(α)
)
,
vn(α) =
N
∑
j=1
bjVj(α)−
−δ1n
(
η1(γ1)f1(α) + η2(γ2)f2(α)
)
,
wn(α) =
N
∑
j=1
cjWj(α)+
+δ1n
(
η1(γ1)g1(α) + η2(γ2)g2(α)+
+
dη1(γ1)
dα1
h1(α) −
dη2(γ2)
dα2
h2(α)
)
,
δ1n =
{
1, ∀ n = 1,
0, ∀ n > 1.
(22)
Здесь aj, bj, cj – произвольные постоянные;
f1(α)=1−
α
γ
; f2(α)=
α
γ
;
g1(α)=1−
3
γ2
α2+
2
γ3
α3; g2(α)=1−g1(α);
h1(α)=α−
2
γ
α2+
1
γ2
α3; h2(α)=−
α2
γ
+
α3
γ2
,
а координатные функции Uj(α), Vj(α) и Wj(α)
подчинены граничным условиям (18).
Представления для прогибов оболочки в фор-
ме (22) будут удовлетворять главным граничным
условиям (16) для функционала (19) при любых
значениях вектора
~X{a1, a2, . . . , aN , b1, b2, . . . , bN ,
c1, c2, . . . , cN , C1, C2, D1, D2}.
Заметим, что решения для перемещений обо-
лочки в форме (22) включают в себя и формы с
частотами колебаний ω∗
1i, при которых η1(γ1)=0,
dη1(γ1)/dα1 =0, а также формы с частотами ω∗
2i,
при которых η2(γ2)=0, dη2(γ2)/dα2=0. В случае
совпадения частот с ω∗
1i первая балка будет осуще-
ствлять колебания при защемленном торце в месте
стыковки ее с оболочкой и принятом граничном
условии при α1 =0. При этих частотах оболочка
60 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
и вторая балка остаются неподвижными. Анало-
гичная ситуация будет иметь место и при ω=ω∗
2i.
Для исключения этих частот и форм колебаний
из рассмотрения при изучении связанных форм
колебаний рассматриваемой упругой системы не-
обходимо разделить η1(γ1), dη1(γ1)/dα1 и η2(γ2),
dη2(γ2)/dα2 на соответствующие коэффициенты
K1 =
p
∑
i=1
(ω − ω∗
1i), K2 =
p
∑
i=1
(ω − ω∗
2i),
где количество членов p в суммах выбирается в
соответствии с числом рассчитываемых частот.
Построение систем базисных функций будем
осуществлять с использованием полиномов Ле-
жандра, которые обеспечивают их линейную не-
зависимость и полноту на отрезке [0, γ]. При этом
Uj(α) = Vj(α) = α(α − γ)Pj
(
2
γ
α − 1
)
,
Wj(α) = α2(α − γ)2Pj
(
2
γ
α − 1
)
,
j = 1, 2 . . .N.
(23)
Здесь Pj(z) – смещенные на единицу по индексу
j полиномы Лежандра, вычисление которых и их
первых двух производных можно проводить с по-
мощью следующих рекуррентных соотношений:
P1(z) = 1, P2(z) = z, P3(z) =
1
2
(3z2 − 1),
Pj+2(z) = 1
j+1
[
(2j + 1)zPj+1(z) − jPj(z)
]
,
P ′
j+2(z) = zP ′
j+1(z) + (j + 1)Pj+1(z),
P ′′
j+2(z) = zP ′′
j+1(z) + (j + 2)P ′
j+1(z).
Обращает на себя внимание то, что, в отли-
чие от традиционного метода Ритца, представле-
ния (22) для функций un(α), vn(α) и wn(α) для
случая n = 1 не являются независимыми, посколь-
ку они включают в себя общие постоянные C1,
C2 и D1, D2, подлежащие определению в даль-
нейшем. Поэтому построение однородной линей-
ной алгебраической системы относительно векто-
ра ~X вызывает определенные технические труд-
ности. Формирование алгебраических уравнений
можно существенно упростить, вычислив предва-
рительно вариацию функционала (19) с учетом
некоторых преобразований, связанные с тем, что
η1(α1) и η2(α2) выбирались на классе частных ре-
шений уравнений для балок.
Введем в рассмотрение следующие дифферен-
циальные операторы:
Ψ11(p, q) =
dp
dα
dq
dα
+ ν1n
2pq,
Ψ12(p, q) = νnp
dq
dα
− ν1n
dp
dα
q,
Ψ13(p, q) = νp
dq
dα
, Ψ23(p, q) = npq,
Ψ22(p, q) = n2pq + ν1
dp
dα
dq
dα
;
Ψ33(p, q) = pq + c2
[(
d2p
dα2
− νn2p
)
d2q
dα2
+
+
(
n4p − νn2 d2p
dα2
)
q + 2(1− ν)n2 dp
dα
dq
dα
]
.
(24)
Здесь p(α) и q(α) – произвольные функции.
Используя эти операторы, вариацию функцио-
нала (19) можно представить в следующей форме:
δI =
γ
∫
0
[
Ψ11(un, δun) + Ψ12(vn, δvn)+
+Ψ13(wn, δun) + Ψ12(δvn, un)+
+Ψ22(vn, δvn) + Ψ23(wn, δvn)+
+Ψ13(δwn, un) + Ψ23(δwn, vn)+
+Ψ33(wn, δwn)
]
dα−
−ω2
γ
∫
0
(
unδun + vnδvn + wnδwn
)
dα+
+(1 − ν2)
{ 2
∑
k=1
[
ζk
d2ηk
dα2
k
dδηk
dαk
−
−
d
dαk
(
ζk
d2ηk
dα2
k
)
δηk
]
αk=γk
}
.
(25)
Вычислив, к примеру, частную производную
∂I/∂αi и положив в соотношении (25) δun =Ui,
δvn≡0, δwn≡0 и δηk≡0, получим первые N урав-
нений относительно вектора ~X. Аналогично посту-
пим и при вычислении частных производных от
функционала I по переменным bi, ci, C1, C2, D1,
D2, найдя соответствующие вариации из представ-
ления (22).
Таким образом, воспользовавшись необходи-
мыми условиями для экстремума функционала,
Ю. В. Троценко 61
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
после приравнивания нулю всех частных произво-
дных от него по компонентам вектора ~X , исходную
вариационную задачу сведем к решению однород-
ной алгебраической системы
(
A − ω2B
)
~XT = 0, (26)
где A и B – симметричные матрицы порядка
3N+4 для n= 1 и 3N для n > 1. В силу того, что
частотный параметр ω входит в аргумент функций
Крылова, часть элементов матриц A и B будет за-
висеть от этого параметра.
Введем в рассмотрение следующие определен-
ные интегралы:
Φ1(f, h) =
γ
∫
0
[ Ψ11(f, f) − 2Ψ13(h, f) +
+Ψ33(h, h) ] dα,
Φ2(f, h) =
γ
∫
0
[ Ψ22(f, f) − 2Ψ23(h, f) +
+Ψ33(h, h) ] dα,
Φ3(f, g, h) =
γ
∫
0
[Ψ12(f, f) − Ψ13(g, f)−
−Ψ23(h, f) + Ψ33(h, g)]dα,
F1 =
γ
∫
0
[ − Ψ11(f2, f1) + Ψ13(h2, f1) +
+Ψ13(h1, f2) − Ψ33(h2, h1) ] dα,
F2 =
γ
∫
0
[ Ψ12(f2, f1) − Ψ13(g2, f1) −
−Ψ23(h1, f2) + Ψ33(g2, h1) ]dα,
F3 =
γ
∫
0
[ − Ψ12(f1, f2) + Ψ13(g1, f2) +
+Ψ23(h2, f1) − Ψ33(h2, g1) ]dα,
F4 =
γ
∫
0
[ Ψ22(f2, f1) − Ψ23(g2, f1) −
−Ψ23(g1, f2) + Ψ33(g2, g1) ]dα,
α11(i) =
γ
∫
0
[Ψ13(h1, Ui) − Ψ11(f1, Ui)]dα,
α12(i) =
γ
∫
0
[Ψ13(g1, Ui) − Ψ12(f1, Ui)]dα,
α13(i) =
γ
∫
0
[Ψ13(h2, Ui) − Ψ11(f2, Ui)]dα,
α14(i) =
γ
∫
0
[Ψ13(g2, Ui) − Ψ12(f2, Ui)]dα,
α21(i) =
γ
∫
0
[Ψ23(h1, Vi) − Ψ12(Vi, f1)]dα,
α22(i) =
γ
∫
0
[Ψ23(g1, Vi) − Ψ22(f1, Vi)] dα,
α23(i) =
γ
∫
0
[Ψ23(h2, Vi) − Ψ12(Vi, f2)]dα,
α24(i) =
γ
∫
0
[Ψ23(g2, Vi) − Ψ22(f2, Vi)] dα,
α31(i) =
γ
∫
0
[Ψ33(h1, Wi) − Ψ13(Wi, f1)]dα,
α32(i) =
γ
∫
0
[Ψ33(g1, Wi) − Ψ23(Wi, f1)] dα,
α33(i) =
γ
∫
0
[Ψ33(h2, Wi) − Ψ13(Wi, f2)]dα,
α34(i) =
γ
∫
0
[Ψ33(g2, Wi) − Ψ23(Wi, f2)] dα.
Обозначим значения балочных функций
U(βkαk), V (βkαk) и их первых производных при
αk = γk, k=1, 2, через
u0k =U(βkγk), u′
0k =
dU(βkαk)
dαk
∣
∣
∣
∣
αk=γk
,
v0k =V (βkγk), v′0k =
dV (βkαk)
dαk
∣
∣
∣
∣
αk=γk
,
(u0kv0k)′=
d
dαk
[
U(βkαk)V (βkαk)
]
∣
∣
∣
∣
αk=γk
.
(27)
C учетом веденных обозначений элементы верх-
ней части симметричной матрицы A относительно
главной диагонали можно представить в виде
ai,j =
γ
∫
0
Ψ11(Uj , Ui)dα,
62 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
ai,j+N =
γ
∫
0
Ψ12(Vj , Ui)dα,
ai,j+2N =
γ
∫
0
Ψ13(Wj , Ui)dα,
ai+N,j+N =
γ
∫
0
Ψ22(Vj , Vi)dα,
ai+N,j+2N =
γ
∫
0
Ψ23(Wj , Vi)dα,
ai+2N,j+2N =
γ
∫
0
Ψ33(Wj , Wi)dα,
ai,N1
= u′
01α11(i) + u01α12(i),
ai,N2
= v′01α11(i) + v01α12(i),
ai,N3
= −u′
02α13(i) + u02α14(i),
ai,N4
= −v′02α13(i) + v02α14(i),
ai+N,N1
= u′
01α21(i) + u01α22(i),
ai+N,N2
= v′01α21(i) + v01α22(i),
ai+N,N3
= −u′
02α23(i) + u02α24(i),
ai+N,N4
= −v′02α23(i) + v02α24(i),
ai+2N,N1
= u′
01α31(i) + u01α32(i),
ai+2N,N2
= v′01α31(i) + v01α32(i),
ai+2N,N3
= −u′
02α33(i) + u02α34(i),
ai+2N,N4
= −v′02α33(i) + v02α34(i),
aN1,N1
= C
(1)
11 + (u′
01)
2Φ1(f1, h1) +
+2u01u
′
01Φ3(f1, g1, h1) + (u01)
2Φ2(f1, g1),
aN1,N2
= C
(1)
12 + u′
01v
′
01Φ1(f1, h1) +
+(u01v01)
′Φ3(f1, g1, h1) + u01v01Φ2(f1, g1),
aN1,N3
= u′
01u
′
02F1 + u02u
′
01F2 +
+u01u
′
02F3 + u01u02F4,
aN1,N4
= u′
01v
′
02F1 + v02u
′
01F2 +
+u01v
′
02F3 + u01v02F4,
aN2,N2
= C
(1)
22 + (v′01)
2Φ1(f1, h1) +
+2v01v
′
01Φ3(f1, g1, h1) + (v01)
2Φ2(f1, g1),
aN2,N3
= v′01u
′
02F1 + u02v
′
01F2 +
+v01u
′
02F3 + v01u02F4,
aN2,N4
= v′01v
′
02F1 + v02v
′
01F2 +
+v01v
′
02F3 + v01v02F4,
aN3,N3
= C
(2)
11 + (u′
02)
2Φ1(f2, h2) −
−2u02u
′
02Φ3(f2, g2, h2) + (u02)
2Φ2(f2, g2),
aN3,N4
= C
(2)
12 + u′
02v
′
02Φ1(f2, h2) −
−(u02v02)
′Φ3(f2, g2, h2) + u02v02Φ2(f2 , g2),
aN4,N4
= C
(2)
22 + (v′02)
2Φ1(f2, h2) −
−2v02v
′
02Φ3(f2, g2, h2) + (v02)
2Φ2(f2, g2),
где Ni =3N + i; i= 1, . . . , 4;
C
(k)
11 = (1 − ν2)ζkβ3
k
(
ST − V U
)
αk=γk
;
C
(k)
12 = (1 − ν2)ζkβ3
k
(
T 2 − SU
)
αk=γk
;
C
(k)
22 = (1 − ν2)ζkβ3
k
(
TU − SV
)
αk=γk
;
k = 1, 2.
Здесь S, T , U и V – функции Крылова. Выраже-
ния для U и V были представлены выше, а S и T
имеют следующий вид:
S(βα) = 1
2 (ch βα + cos βα),
T (βα) =
1
2
(sh βα + sin βα).
Введя в рассмотрение определенные интегралы
(f, g) =
γ
∫
0
fgdα, E(f, g) =
γ
∫
0
(f2 + g2)dα,
FH =
γ
∫
0
(f1f2 + h1h2)dα,
FG =
γ
∫
0
(f1f2 + g1g2)dα,
соответствующие элементы матрицы B предста-
вим в форме
bi,j = (Uj , Ui),
bi,j+N = bi,j+2Nbi+N,j+2N = 0,
Ю. В. Троценко 63
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
bi,N1
= −u′
01(f1, Ui),
bi,N2
= −v′01(f1 , Ui),
bi,N3
= u′
02(f2, Ui),
bi,N4
= v′02(f2, Ui),
bi+N,j+N = (Vj , Vi),
bi+N,N1
= −u01(f1, Vi),
bi+N,N2
= −v01(f1, Vi),
bi+N,N3
= −u02(f2, Vi),
bi+N,N4
= −v02(f2, Vi),
bi+2N,j+2N = (Wj , Wi),
bi+2N,N1
= u01(g1, Wi) + u′
01(h1, Wi),
bi+2N,N2
= v01(g1, Wi) + v′01(h1, Wi),
bi+2N,N3
= u02(g2, Wi) − u′
02(h2, Wi),
bi+2N,N4
= v02(g2, Wi) − v′02(h2, Wi),
bN1,N1
= (u′
01)
2E(f1 , h1) + 2u01u
′
01(g1, h1) +
+(u01)
2E(f1, g1),
bN1,N2
= u′
01v
′
01E(f1, h1) + u01v01E(f1, g1) +
+(u01v01)
′(g1, h1),
bN1,N3
= −u′
01u
′
02FH + u01u02FG−
−u01u
′
02(g1, h2) + u02u
′
01(g2, h1),
bN1,N4
= −u′
01v
′
02FH + u01v02FG −
−u01v
′
02(g1, h2) + v02u
′
01(g2, h1),
bN2,N2
= (v′01)
2E(f1, h1) + 2v01v
′
01(g1, h1) +
+(v01)
2E(f1, g1),
bN2,N3
= −v′01u
′
02FH + v01u02FG −
−v01u
′
02(g1, h2) + u02v
′
01(g2, h1),
bN2,N4
= −v′01v
′
02FH + v01v02FG−
−v01v
′
02(g1, h2) + v02v
′
01(g2, h1),
bN3,N3
= (u′
02)
2E(f2 , h2) − 2u02u
′
02(g2, h2) +
+(u02)
2E(f2, g2),
bN3,N4
= u′
02v
′
02E(f2, h2) + u02v02E(f2, g2) −
−(u02v02)
′(g2, h2),
bN4,N4
= (v′02)
2E(f2, h2) − 2v02v
′
02(g2, h2) +
+(v02)
2E(f2, g2).
Если количество волн в окружном направле-
нии оболочки превышает единицу, матрицы A и
B получаются из матриц, построенных для n = 1,
вычеркиванием из них последних четырех столб-
цов и строк. При этом, в силу симметрии гра-
ничных условий, симметричные и антисимметри-
чные формы колебаний оболочки могут быть рас-
смотрены независимо. Тогда порядок алгебраиче-
ской системы можно уменьшить в два раза [8].
Таким образом, задача определения собствен-
ных частот и форм поперечных колебаний балок,
скрепленных между собой упругой круговой ци-
линдрической оболочкой, свелась к вычислению
квадратур с последующим решением однородной
алгебраической задачи (26).
3. УПРОЩЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Решение рассматриваемой задачи можно значи-
тельно упростить, если дополнительно предполо-
жить, что поперечные сечения оболочки при де-
формировании остаются плоскими и перпендику-
лярными к ее нейтральной оси, а нормальные на-
пряжения на площадках, параллельных этой оси,
пренебрежимо малы. При таких допущениях обо-
лочку можно заменить эквивалентной балкой с по-
стоянными по длине погонной массой m=2πRhρ и
изгибной жесткостью EI =EπR3h. В результате,
исходная задача сводится к расчету собственных
колебаний неоднородной упругой балки с кусочно-
постоянными изгибной жесткостью EiIi и погон-
ной массой mi.
Наиболее эффективным способом решения этой
задачи является метод начальных параметров Ко-
ши [12, 13], позволяющий находить частоты и
формы собственных колебаний упругой системы,
используя частотный определитель, порядок ко-
торого не зависит от номера тона колебаний и
от числа участков балки с постоянными упруго-
массовыми характеристиками. Кроме того, сам ме-
тод очень прост для реализации на ЭВМ, так как
все вычисления сводятся к перемножению матриц
четвертого порядка и нахождению корней транс-
цендентного уравнения.
Приведем расчетную схему определения соб-
ственных частот и форм поперечных колебаний
неоднородной балки с использованием матриц пе-
рехода.
Разобьем балку на k участков с длинами li,
64 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
i=1, 2, . . . , k, на каждом из которых изгибная
жесткость и погонная масса постоянны. Вводя для
каждого участка свою систему координат, начало
которой связано с его левым концом, дифферен-
циальные уравнения с постоянными коэффициен-
тами для любого i-го участка будут иметь вид
d4ηi(zi)
dz4
i
− β4
i ηi(zi) = 0,
β4
i =
mi
Di
ω2, Di = EiIi,
0 ≤ zi ≤ li, i = 1, 2, . . . , k,
(28)
где ω – собственная частота упругой системы;
ηi(zi) – форма колебаний i-го участка балки.
Уравнения (28) должны решаться при приня-
тых граничных условиях закрепления свободных
торцов 1-го и k-го участков балки и условиях со-
пряжения i-го и i+1-го участков балки в местах
их стыковки:
ηi(li) = ηi+1(0), Diη
′′
i (li) = Di+1η
′′
i+1(0),
η′
i(li) = η′
i+1(0), Diη
′′′
i (li) = Di+1η
′′′
i+1(0),
(29)
которые представляют собой непрерывность про-
гибов, углов поворота, изгибающих моментов и пе-
ререзывающих сил.
Общее решение для каждого из участков состав-
ной балки можно представить в виде
ηi(zi) = ηi(0)S(βizi) +
1
βi
η′
i(0)T (βizi)+
+
1
β2
i
η′′
i (0)U(βizi) +
1
β3
i
η′′′
i (0)V (βizi).
(30)
Введем в рассмотрение четырехмерный вектор-
столбец ~ui(zi)={u1i, u2i, u3i, u4i}
T , компоненты ко-
торого связаны с функциями ηi(zi) и их производ-
ными соотношениями
u1i = ηi(zi), u3i = Diη
′′
i (zi),
u2i = η′
i(zi), u4i = Diη
′′′
i (zi).
(31)
Тогда условия сопряжения (29) для смежных
участков балки примут вид
~ui(li) = ~ui+1(0), (32)
а вектор ~ui(zi) можно выразить через его началь-
ные значения ~ui(0) и функции Крылова:
~ui(zi) = Ai(zi)~ui(0). (33)
Здесь Ai(zi) – матрица перехода, которая имеет
следующий вид:
Ai(zi) =
S
1
βi
T
1
β2
i Di
U
1
β3
i Di
V
βiV S
1
βiDi
T
1
β2
i Di
U
β2
i DiU βiDiV S
1
βi
T
β3
i DiT β2
i DiU βiV S
, где аргументами в функциях Крылова являются
βizi.
Исходя из соотношения (33), с учетом условий
сопряжения (32) установим формулу
~ui+1(zi+1) = Ai+1(zi+1)Ai(li)~ui(0). (34)
Далее, воспользовавшись соотношениями (32) –
(34), можно выразить решения на каждом участке
через начальные значения ~u1(0) на первом участ-
ке:
~ui(zi) = Ai(zi)
1
∏
j=i−1
Aj(lj)~u1(0). (35)
С учетом выражения (35) получаем формулу для
вычисления перемещений и усилий на правом кон-
це балки через перемещения и усилия на ее левом
конце:
~uk(lk) = P~ui(0). (36)
Здесь
P =
1
∏
i=k
Ai(li).
Осталось подчинить найденные решения гра-
ничным условиям закрепления торцов 1-го и k-го
участков балки. В случае свободных торцов дол-
жны выполняться условия
u31(0) = u41(0) = u3k(lk) = u4k(lk) = 0. (37)
Тогда из соотношений (36) получаем частотное
уравнение
p31p42 − p32p41 = 0. (38)
Здесь через pij обозначены элементы матрицы P .
Выбрав условие нормировки u11(0)=1, началь-
ный вектор ~u1(0) запишем в виде
~u1(0)={1, u21(0), 0, 0}
T
, u21(0)=−
p31
p32
. (39)
Ю. В. Троценко 65
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
Табл. 1. Значения низших частот системы
в зависимости от числа координатных функций N
при γ=2, γ1=8, ζ =2
N ω1 ω2 ω3 ω4 ω5
2 0.03813 0.09778 0.19468 0.29943 0.44334
4 0.03810 0.09772 0.19462 0.29933 0.44279
6 0.03809 0.09770 0.19460 0.29931 0.44275
8 0.03808 0.09770 0.19460 0.29931 0.44274
10 0.03808 0.09770 0.19459 0.29931 0.44274
Табл. 2. Значения низших частот системы
в зависимости от числа координатных функций N
при γ=6, γ1=4, ζ =2
N ω1 ω2 ω3 ω4 ω5
2 0.03885 0.10514 0.18342 0.29362 0.38854
4 0.03873 0.10353 0.18275 0.26800 0.38800
6 0.03870 0.10343 0.18271 0.26745 0.38704
8 0.03868 0.10341 0.18269 0.26727 0.38690
10 0.03867 0.10340 0.18268 0.26720 0.38686
12 0.03866 0.10339 0.18267 0.26716 0.38684
14 0.03866 0.10339 0.18267 0.26716 0.38684
С учетом формул (35) и (39) форму собственных
колебаний на каждом участке можно представить
как
ηi(zi)=b
(i)
11 (zi)−b
(i)
12 (zi)
p31
p32
, 0≤zi≤ li, (40)
где b
(i)
pq – коэффициенты матрицы
B(zi) = Ai(zi)
1
∏
j=i−1
Aj(lj).
Для случая жесткого закрепления торцов балки
частотное уравнение принимает вид
p13p24 − p14p23 = 0. (41)
Таким образом, изложенный алгоритм позволя-
ет строить точное решение спектральной задачи о
собственных колебаниях составной балки. Он по-
лучил широкое применение для расчета частот и
форм собственных колебаний упругих систем, в
том числе и систем с параметрами, меняющими-
ся по длине [13].
4. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТА-
ТЫ
Ниже приводятся результаты расчетов частот
и форм собственных колебаний рассматриваемой
упругой системы для случая, когда торцы балок
жестко защемлены, а их жесткостные и массовые
характеристики равны между собой. Во всех ра-
счетах были приняты следующие значения безра-
змерных параметров системы:
m1
ζ1
=
m2
ζ2
=
m
ζ
= 2.2,
ζ =
1
75h
, ν = 0.3,
z3
R
= 20.
(42)
Длина цилиндрической оболочки, ее толщина
и местоположение в системе варьировались. При
вычислении матриц A и B использовалась квадра-
турная формула Гаусса с числом узлов интегри-
рования, обеспечивающим необходимую точность
вычислений.
В табл. 1 и 2 приведены результаты расчета
первых пяти низших частот связанных попереч-
ных колебаний упругой системы в зависимости
от количества членов N в разложениях (22) для
параметров γ=2, γ1 =8, ζ =2 и γ=6, γ1 =4, ζ =2
соответственно. Данные, приведенные в табли-
цах, свидетельствуют о том, что последователь-
ные приближения, полученные на основе вариа-
ционного метода, сходятся достаточно быстро для
цилиндрических оболочек средней относительной
длины и имеют пределом величину, совпадающую
с точным решением задачи [9].
При сохранении принятой точности вычисле-
66 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
2 6 10 14 18
0.02
0.07
0.12
0.17
0.22
ζ
ω
Рис. 2. Влияние толщины оболочки
на частоты системы:
сплошные – оболочечная расчетная схема,
штриховые – балочная расчетная схема
ний увеличение длины оболочки требует увели-
чения количества членов в разложениях (22). В
отличие от координатных функций, построенных
на классе степенных функций [8], предложенные
здесь базисные функции с использованием поли-
номов Лежандра обеспечивают высокую устойчи-
вость вычислительного процесса при больших N
(до 40), что делает возможным проведение необ-
ходимых расчетов в широком диапазоне входных
параметров системы.
Все вычисления проводились по изложенной
выше методике, а также с использованием чисто
балочной схемы, в которой цилиндрическая обо-
лочка заменялась балкой с постоянными по длине
погонной массой и изгибной жесткостью. Резуль-
таты расчетов показали, что во всех случаях для
первого типа колебаний упругой системы выпол-
няется неравенство ωi≤ω∗
i , где ωi и ω∗
i – частоты
колебаний, вычисленные в строгой и упрощенной
постановках задачи соответственно.
На рис. 2 – 4 приведены графики изменения ча-
стот первых трех тонов колебаний системы перво-
го типа. Сплошным соответствуют частоты ωi, а
штриховым – частоты ω∗
i .
Влияние толщины h цилиндрической оболочки
на частоты ωi и ω∗
i показано на рис. 2 (согла-
сно формуле (42) величина ζ обратно пропорцио-
нальна h). При вычислениях было положено γ=2,
γ1 =4. Из рисунка видно, что уменьшение толщи-
ны оболочки сопровождается увеличением разли-
чия в частотах ωi и ω∗
i . Так, если при ζ=2 разли-
чие в первой частоте составляет порядка 3 %, а во
2 6 10 14 18
0.02
0.09
0.16
0.23
0.30
γ
ω
Рис. 3. Влияние длины оболочки на частоты системы:
сплошные – оболочечная расчетная схема,
штриховые – балочная расчетная схема
2 3 4 5 6 7 8 9
0.01
0.04
0.07
0.10
0.13
0.16
0.19
0.22
γ
1
ω
Рис. 4. Влияние местоположения оболочки
на частоты системы:
сплошные – оболочечная расчетная схема,
штриховые – балочная расчетная схема
второй и третьей – 2 %, то при ζ = 14 расхожде-
ние в первой частоте достигает 20 %, а во второй
и третьей – 10 %.
Влияние длины цилиндрической оболочки на
первые три частоты ωi и ω∗
i при γ1 =γ2, R/h=900
показано на рис. 3. Обращает на себя внимание
довольно сложное поведение частот упругой си-
стемы в зависимости от длины цилиндрической
вставки. Если при γ≤8 первые частоты ω1 и ω∗
1
в рассматриваемом примере практически совпа-
дают, то для третьей частоты такое совпадение
наблюдается при γ<4. Минимальная разность во
Ю. В. Троценко 67
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
0 5 10 15 20
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
z
η
Рис. 5. Формы первых трех тонов колебаний системы
при γ=2, γ1=9, R/h=900:
сплошные – оболочечная расчетная схема,
штриховые – балочная расчетная схема
0 5 10 15 20
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
z
η
Рис. 6. Формы первых двух тонов колебаний системы
при γ=2, γ1=2, R/h=900:
сплошные – оболочечная расчетная схема,
штриховые – балочная расчетная схема
вторых частотах ω2 и ω∗
2 , не превышающая 7 %,
наблюдается лишь при 8<γ<11.
Зависимость частот от местоположения цилин-
дрической оболочки при γ=2, R/h=900 изобра-
жена на рис. 4. Отметим, что для случая симме-
тричного расположения цилиндрической вставки
в рассматриваемой упругой системе (γ1 = γ2 = 9)
первые и третьи частоты ωi и ω∗
i практически сов-
падают, тогда как для второй частоты расхожде-
ние составляет ≈ 35 %.
Формы η первых трех тонов колебаний для этого
случая представлены на рис. 5. Сплошными пока-
заны формы колебаний, отвечающие частотам ωi,
а штриховыми – частотам ω∗
i . Форма колебаний
на участке [0, z1] совпадает с η1(α1), на участке
[z1, z2] – с w1(α) и на участке [z2, z3] – с η2(α2).
Если первая и третья формы колебаний, рассчи-
танные по строгой и упрощенной постановках за-
дачи, практически совпадают друг с другом, то
различие для второй формы является существен-
ным.
На рис. 6 представлены формы первых двух то-
нов колебаний системы, рассчитанных при тех же
параметрах, но для случая несимметричного ра-
сположения оболочки в системе при γ1 =2. Как ви-
дно из рисунка, в этом случае присутствуют рас-
хождения в формах колебаний, полученных раз-
ными способами. Порядок этих расхождений со-
ответствует порядку расхождений в частотах ко-
лебаний системы.
На рис. 7 в увеличенном масштабе показаны по-
ведение первой формы колебаний системы и ее
производной в окрестности сопряжения оболочки
с балкой при γ=2, γ1 =9, R/h=900. Из этого ри-
сунка видно, что в довольно узкой зоне оболоч-
ки, примыкающей к балке, наблюдаются резкие
изменения как по форме, так и по ее производ-
ной, что свидетельствует о сложном напряженно-
деформированном состоянии оболочки в зоне кон-
такта. Ширина этой зоны и изменяемость переме-
щений и углов поворота оболочки зависит от пе-
репада жесткостей составляющих элементов кон-
струкции в узлах их стыковки. В соответствии с
постановкой задачи, в сечении при z=9 выполня-
ются условия непрерывности форм колебаний и
их производных. В свою очередь, расчетная мо-
дель в виде составной упругой балки при опреде-
ленных параметрах системы может удовлетвори-
тельно описывать деформации упругой системы в
целом, но она неприменима для анализа местных
деформаций конструкции.
Таким образом, точность представления дина-
мических характеристик рассматриваемой упру-
гой системы упрощенной моделью и пределы ее
применимости в каждом конкретном случае дол-
жны определяться сравнением результатов с ре-
зультатами расчета, основанными на уравнениях
теории оболочек.
При вычислении частот колебаний ω∗
i по ба-
лочной схеме за счет поправочного коэффициен-
та K можно подобрать такую изгибную жесткость
(EI)∗ =EI/K на участке [z1, z2], при которой ча-
стота ω∗
i для определенного типа колебаний будет
совпадать с частотой ωi. При этом исходное зна-
чение погонной массы считается неизменным.
68 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
Согласно рис. 8, значения параметров K для то-
чек пересечения этих кривых с горизонтальными
штриховыми линиями, соответствующими часто-
там ω∗
i , оказываются разными для различных ти-
пов колебаний. Они приблизительно равны K =8,
4 и 6 для первой, второй и третьей форм коле-
баний соответственно. Приведенные значения ко-
эффициента K показывают, что если при расче-
те спектра собственных частот колебаний системы
использовать чисто балочную схему, то для совпа-
дения с частотами, полученными по оболочечной
схеме, изгибная жесткость участка балки [z1, z2]
должна быть уменьшена в несколько раз.
Сравнение низших частот первого и второго ти-
пов колебаний упругой системы показало, что со-
отношение между ними определяется толщиной
и длиной оболочки. Так, при γ1 =4 и R/h=1500
для γ=2 и γ=4 низшие частоты первого типа ко-
лебаний равны ω1 =0.0294 и 0.0279 соответствен-
но. Минимальные частоты цилиндрической обо-
лочки, жестко заделанной по торцам (частоты
второго типа колебаний), равны ω
(12)
1 =0.0439 и
ω
(9)
1 =0.0221 соответственно. Здесь верхний индекс
при ω означает число волн в окружном направ-
лении оболочки. Таким образом, низшей часто-
той системы при γ=2 является частота, соответ-
ствующая первому, а при γ=4 – второму типу
колебаний. Эти результаты полностью совпадают
с расчетными данными работы [9], полученными
на основе точного решения рассматриваемой спек-
тральной задачи.
Как уже отмечалось, обращает на себя внима-
ние довольно сложное поведение частот в зави-
симости от длины цилиндрической вставки (см.
рис. 3). Из этого рисунка видно, что балочная схе-
ма расчета полностью отображает качественную
картину поведения частот системы. Ниже приве-
дем результаты расчетов по балочной схеме, по-
зволяющие дать некоторую физическую интер-
претацию немонотонного поведения первой часто-
ты системы.
Во всех расчетах было положено
γ1 = γ2 , γ1 + γ + γ2 = 10,
ζ1 = ζ2 = ζ, m1 = m2 = m.
При этом для всех участков неоднородной балки
справедливо соотношение
β4 =
m
ζ
2
(1 − ν2)
ω2.
Здесь ζ и m – изгибная жесткость и погонная
масса участка балки, отнесенные соответственно к
8.9 9.0 9.1 9.2 9.3
0.92
0.94
0.96
0.98
8.9 9.0 9.1 9.2 9.3
−0.8
−0.4
0.0
0.4
0.8
z
z
η’
η
Рис. 7. Поведение первой формы колебаний системы
и ее производной в окрестности стыковки оболочки
с балками при γ=2, γ1=9, R/h=900:
сплошные – оболочечная расчетная схема,
штриховые – балочная расчетная схема
0 2.5 5 7.5 10
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
K
ω
Рис. 8. Зависимость частот составной балки
от изгибной жесткости балки на участке [z1, z2]
при неизменной ее погонной массе:
сплошные – оболочечная расчетная схема,
штриховые – балочная расчетная схема
изгибной жесткости и погонной массе центрально-
го участка. Введенные таким образом безразмер-
ные величины ζ и m характеризуют степень не-
однородности составной балки по жесткостным и
массовым параметрам соответственно.
Известно, что увеличение длины однородной
балки ведет к понижению ее частот. Этот же эф-
фект наблюдается при уменьшении жесткости и
увеличении погонной массы.
Рассмотрим влияние физических и геометриче-
Ю. В. Троценко 69
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
0 2 4 6 8 10
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
ω
γ
m=1
m=0.5
m=0.25
m=2
m=4
Рис. 9. Зависимость первой частоты составной балки
от длины центрального участка при неизменной
общей длине системы (γ1+γ+γ2=10, ζ =1)
0 2 4 6 8 10
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
ω
γ
ζ=1
ζ=0.5
ζ=0.25
ζ=2
ζ=4
Рис. 10. Зависимость первой частоты составной балки
от длины центрального участка при неизменной
общей длине системы (γ1+γ+γ2=10, m=1)
ских параметров на формирование первой часто-
ты рассматриваемой системы более подробно.
На рис. 9 представлены зависимости первой ча-
стоты составной балки от длины центрального
участка, когда жесткостные параметры для всех
ее участков одинаковы (ζ =1), а погонные массы
боковых балок меняются. При γ=0 имеем первые
частоты однородной балки при соответствующих
значениях m. При γ→10 все кривые стремятся к
частоте однородной балки при m=1. Если погон-
ная масса центрального участка больше, чем по-
гонная масса концевых участков, то с увеличени-
ем γ частота падает, и наоборот. Падение частот
объясняется увеличением массы системы, а возра-
стание – уменьшением массы при увеличении дли-
ны центрального участка.
На рис. 10 представлен случай, когда составная
балка однородна по своим массовым параметрам
(m=1), но участки имеют различные изгибные
жесткости. Объяснение поведения первой частоты
здесь аналогично случаю, рассмотренному выше, с
той лишь разницей, что с увеличением жесткости
системы частота повышается, а с уменьшением –
понижается. В обоих случаях имеем монотонный
характер поведения первой частоты при измене-
нии длины центрального участка.
На рис. 11 и 12 представлены зависимости пер-
вой частоты составных балок от длины централь-
ного участка при m/ζ =1 и 5 соответственно для
разных значений ζ. Видно, что существенное вли-
яние на поведение частоты оказывает степень не-
однородности как по массовым, так и по жестко-
стным параметрам составной балки. При γ=0 и
γ=10 имеем частоту однородной балки при за-
данной величине m/ζ. С увеличением длины цен-
тральной вставки (см. рис. 11) при ζ =2 частота
сразу начинает возрастать. По-видимому, на этом
этапе на частоту системы превалирующее влияние
оказывают параметры концевых участков состав-
ной балки и возрастание частоты происходит за
счет уменьшения их длин γ1 и γ2 . При ζ >2 вна-
чале наблюдается падение частоты, а при даль-
нейшем увеличении γ – ее рост. Это можно объ-
яснить начальным ослаблением жесткости систе-
мы центральной вставкой. Однако затем, опять-
таки за счет уменьшения γ1 и γ2, наблюдается
повышение частоты. Дальнейшее увеличение дли-
ны центральной вставки ведет к ослаблению влия-
ния концевых участков на формирование частоты
системы, что приводит к ее снижению к частоте
однородного стержня при m/ζ =1.
В случае ζ <1 (массовые и жесткостные параме-
тры центрального участка выше, чем у концевых
участков) наблюдается несколько иная картина.
Так, при ζ =0.05 с увеличением γ частота резко по-
нижается, затем возрастает и приближается к ча-
стоте однородного стержня при m/ζ =1. Падение
частоты можно объяснить существенным увели-
чением массы системы при начальном увеличении
длины центрального участка. Дальнейшее поведе-
ние частоты при увеличении γ зависит от степе-
ни неоднородности составной балки. Так, если по-
гонная масса и изгибная жесткость центрального
участка в четыре раза больше, чем соответству-
ющие величины концевых участков (ζ =0.25), то
частота продолжает несколько снижаться. При су-
щественном увеличении степени неоднородности
70 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
(ζ =0.05 – погонная масса и изгибная жесткость
центрального участка в двадцать раз больше, чем
соответствующие величины концевых участков) –
частота возрастает.
Практически аналогичная картина наблюдает-
ся в случае, представленном на рис. 12. Нетрудно
заметить, что здесь на формирование частот боль-
шее влияние оказывают массовые параметры. Это
обуславливает общее снижение частот по отноше-
нию к представленным на рис. 11.
На основании вышеизложенного можно сделать
вывод о сложном взаимодействии физических и
геометрических параметров при формировании
частот рассматриваемой упругой системы. При
этом различные соотношения физических величин
m и ζ могут по-разному влиять на характер пове-
дения частот при изменении геометрических па-
раметров рассматриваемой конструкции.
Проведенный анализ указывает на необходи-
мость предварительного осуществления расчетов
по предложенной схеме при проведении проектно-
конструкторских работ.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье предложено приближенное решение за-
дачи о собственных поперечных колебаниях тон-
костенной круговой цилиндрической оболочки, со-
единяющей две упругие балки, на основе ее экви-
валентной вариационной формулировки. Сопо-
ставление точных и приближенных решений рас-
сматриваемой задачи свидетельствует о достаточ-
но высокой эффективности предложенного вари-
анта вариационного метода.
Показано, что собственные колебания упругой
системы распадаются на два типа колебаний. Пер-
вый тип обусловлен связанными колебаниями ба-
лок и оболочки в одной из плоскостей симметрии
всей системы, когда количество волн в окруж-
ном направлении оболочки равно единице. При
втором типе колебаний оболочка совершает про-
странственные неосесимметричные колебания с
количеством волн в окружном направлении, боль-
шим единицы, тогда как балки остаются неподви-
жными. Минимальной частотой упругой системы
будет меньшая из минимальных частот первого и
второго типа колебаний.
В предположении, что деформации оболочки
подчинены гипотезе плоских сечений, на основе
метода начальных параметров Коши приведено
точное решение рассматриваемой задачи в упро-
щенной постановке.
В рамках строгой и упрощенной постановок за-
дачи проведено исследование частот и форм соб-
0 2 4 6 8 10
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
ω
ζ=15
ζ=10
ζ=5
ζ=2
ζ=1
ζ=0.5
ζ=0.25
ζ=0.05
γ
Рис. 11. Зависимость первой частоты составной балки
от длины центрального участка при неизменной
общей длине системы (γ1+γ+γ2 =10, m/ζ=1)
0 2 4 6 8 10
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
ω
m=1; ζ=1
ζ=15
ζ=10
ζ=5
ζ=2
ζ=1
ζ=0.5
ζ=0.25
ζ=0.05
γ
Рис. 12. Зависимость первой частоты составной балки
от длины центрального участка при неизменной
общей длине системы (γ1+γ+γ2 =10, m/ζ=5)
ственных колебаний упругой системы в зависимо-
сти от толщины оболочки, ее длины и местополо-
жения. При этом показано, что в ряде случаев учет
оболочечных эффектов цилиндрической вставки
приводит к значительному различию в частотах
и формах связанных колебаний, вычисленных по
балочной схеме и при строгой постановке задачи.
Такое различие наблюдается при резком перепаде
жесткостей в узлах стыковки оболочки с балками.
В связи с этим для достоверного описания динами-
ческих свойств системы в указанном случае необ-
ходимо привлекать расчетные схемы, основанные
Ю. В. Троценко 71
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 2. С. 54 – 72
на уравнениях теории оболочек.
Установлена возможность подбора изгибной
жесткости при неизменной погонной массе участ-
ка балки, заменяющего цилиндрическую оболоч-
ку, при которой частоты, вычисленные по балоч-
ной схеме, будут совпадать с частотами, вычислен-
ными по оболочечной схеме. При этом эквивалент-
ные изгибные жесткости участка балки будут раз-
личными для разных форм колебаний.
На конкретных примерах проведено сравнение
низших частот совместных колебаний системы с
минимальными частотами цилиндрической обо-
лочки при количестве волн в окружном направ-
лении, большем единицы. Показано, что соотно-
шение между ними определяется геометрически-
ми характеристиками оболочки.
На примере с использованием балочной схемы
расчета проведен анализ влияния физических и
геометрических параметров системы на формиро-
вание ее низшей частоты. Показано, что основную
роль при формировании частот играют соотноше-
ния массовых и жесткостных характеристик в со-
четании с геометрическими параметрами системы.
БЛАГОДАРНОСТЬ
Автор выражает благодарность академику НАН
Украины В. Т. Гринченко за оказанное внимание к
работе и сделанные замечания, способствовавшие
улучшению ее содержания.
1. Бреславский В. Е. Продольные колебания ци-
линдрической оболочки, скрепленной с упруго-
вязким заполнителем и сосредоточенными масса-
ми // Проблемы машиностроения.– 1981.– N 14.–
С. 27–32.
2. Бреславский В. Е. Исследование колебаний тон-
ких оболочек, скрепленных с наполнителем //
Труды VIII Всесоюз. конф. по теории оболочек и
пластин. Ленинград, 21–28 мая, 1973.– М: Наука.–
1973.– С. 271–276.
3. Паламарчук В. Г. Свободные колебания системы,
состоящей из ребристой цилиндрической оболочки
и абсолютно твердого тела // Прикл. мех.– 1978.–
14, N 4.– С. 56–62.
4. Паламарчук В. Г. Динамическая неустойчивость
системы, состоящей из ребристой цилиндрической
оболочки и абсолютно твердого тела // Прикл.
мех.– 1978.– 14, N 5.– С. 45–51.
5. Каиров А. С. Влияние формы меридиана и при-
соединенных тел на собственные колебания обо-
лочки вращения // Теор. и прикл. мех.– 1999.–
Вып. 29.– С. 117–122.
6. Каиров А. С. Влияние подкреплений и геоме-
трических характеристик на свободные колеба-
ния оболочек вращения с сосредоточенными мас-
сами // Судостроение.– 1986.– Вып. 35.– С. 16–22.
7. Trotsenko Yu. V. On equilibrium equations of cyli-
ndrical shell with attached rigid body // Nonlinear
Oscillations.– 2001.– 4, N 3.– P. 422–431.
8. Карпачев Ю. А., Троценко В. А., Троценко Ю. В.
Собственные неосесимметричные колебания ци-
линдрической оболочки с присоединенным твер-
дым телом // Акуст. вiсн.– 2001.– 4, N 1.– С. 44–
59.
9. Швейко Ю. Ю., Брусиловский А. Д., Мельнико-
ва А. М. Поперечные колебания балок, соединен-
ных цилиндрической оболочкой // Прикл. мех.–
1968.– 4, N 8.– С. 32–39.
10. Брусиловский А. Д., Швейко Ю. Ю., Шма-
ков В. П. Продольные колебания упругих констру-
кций с тонкостенными полостями, содержащими
жидкость // Динамика упругих и твердых тел,
взаимодействующих с жидкостью.– Томск: Том-
ский ун-т, 1978.– С. 21–31.
11. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек.– Л.:
Судпромгиз, 1962.– 432 с.
12. Крылов А. И. Вибрация судов.– Л.: ОНТИ, 1936.–
442 с.
13. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика тон-
костенных конструкций с отсеками, содержащими
жидкость.– М.: Машиностроение, 1971.– 564 с.
72 Ю. В. Троценко
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-904 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:45:08Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Троценко, Ю.В. 2008-07-07T15:48:38Z 2008-07-07T15:48:38Z 2002 Свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки / Ю.В. Троценко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 2. — С. 54-72. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/904 539.3:534.13 Рассмотрены собственные поперечные колебания двух балок, соединенных между собой упругой круговой цилиндрической оболочкой. Уравнения колебаний упругой системы и граничные условия получены на основе принципа возможных перемещений. Предложено приближенное решение сформулированной спектральной задачи на основе ее эквивалентной вариационной формулировки. Приведен алгоритм точного решения исходной задачи для случая, когда оболочка заменяется эквивалентным участком балки. Исследовано влияние входных параметров системы на ее частоты и формы колебаний как в строгой, так и в упрощенной постановке задачи. Розглянуті власні поперечні коливання двох балок, які з'єднані між собою пружною круговою циліндричною оболонкою. Рівняння коливань пружної системи та граничні умови отримані на основі принципу можливих переміщень. Запропоновано наближене розв'язання сформульованої спектральної задачі на основі її еквівалентного варіаційного формулювання. Наведено алгоритм точного розв'язання вихідної задачі для випадку, коли оболонка замінюється еквівалентною ділянкою балки. Досліджено вплив вхідних параметрів системи на її частоти та форми коливань як у строгій, так і в спрощеній постановці задачі. The transversal characteristic vibrations of two beams interconnected with elastic circular cylindrical shell are considered. The equations of vibration of the system and the boundary conditions are obtained on the basis of the principle of possible displacements. The approximate solution of the formulated spectral task is offered on the basis of its equivalent variational formulation. The algorithm of exact solution of the initial problem for the case, when the shell is replaced with an equivalent section of the beam, is given. The influence of initial parameters of system on its frequencies and forms of vibration are studied both for exact, and simplified statement of the problem. ru Інститут гідромеханіки НАН України N 2. С. 54-72 . Свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки Free vibrations of the cylindrical shell connecting two elastic beams Article published earlier |
| spellingShingle | Свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки Троценко, Ю.В. |
| title | Свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки |
| title_alt | Free vibrations of the cylindrical shell connecting two elastic beams |
| title_full | Свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки |
| title_fullStr | Свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки |
| title_full_unstemmed | Свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки |
| title_short | Свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки |
| title_sort | свободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/904 |
| work_keys_str_mv | AT trocenkoûv svobodnyekolebaniâcilindričeskoioboločkisoedinâûŝeidveuprugiebalki AT trocenkoûv freevibrationsofthecylindricalshellconnectingtwoelasticbeams |