A theoretical study of surface localized modes in free space
The azimuthally symmetrical surface localized modes in free space are analyzed. In the geometry aligned to the wave-field localization surface, a combination of WKB eikonal with the exponential- polynomial series is used to find approximate solutions. It is found that in axially symmetrical case t...
Saved in:
| Published in: | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/90639 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | A theoretical study of surface localized modes in free space / V.Е. Moiseenko, A.P. Kovtun // Вопросы атомной науки и техники. — 2011. — № 1. — С. 50-52. — Бібліогр.: 2 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859766652000796672 |
|---|---|
| author | Moiseenko, V.Е. Kovtun, A.P |
| author_facet | Moiseenko, V.Е. Kovtun, A.P |
| citation_txt | A theoretical study of surface localized modes in free space / V.Е. Moiseenko, A.P. Kovtun // Вопросы атомной науки и техники. — 2011. — № 1. — С. 50-52. — Бібліогр.: 2 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Вопросы атомной науки и техники |
| description | The azimuthally symmetrical surface localized modes in free space are analyzed. In the geometry aligned to the
wave-field localization surface, a combination of WKB eikonal with the exponential- polynomial series is used to find
approximate solutions. It is found that in axially symmetrical case the surface of wave-field localization is a
hyperboloid. The shape of the reflecting surface for a single-mode resonator is a section of eccentric paraboloid.
Було проведено аналіз азимутально-симетричних поверхнево локалізованих мод у свободному просторі.
Для знаходження наближеної розв’язки використано комбінацію методу ВКБ та експоненційно-
поліноміального розкладання в геометрії, що прив’язана до поверхні локалізації хвилі. Визначено, що
поверхнею локалізації поля хвилі є гіперболоїд ротації. Обрахована форма поверхні для одномодового
резонатора. Це є сегмент параболоїда ротації зі зсуненою віссю.
Проанализированы азимутально-симметричные поверхностно локализованные моды в свободном пространстве.
Для нахождения приближенного решения использована комбинация метода ВКБ и экспоненциально-
полиномиального разложения в геометрии, привязанной к поверхности локализации волны. Определено, что
поверхностью локализации поля волны является гиперболоид вращения. Рассчитана форма отражающих
поверхностей для одномодового резонатора. Это сегмент параболоида вращения со смещенной осью.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:12:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
50 PROBLEMS OF ATOMIC SCIENCE AND TECHNOLOGY. 2011. № 1.
Series: Plasma Physics (17), p. 50-52.
`A THEORETICAL STUDY OF SURFACE LOCALIZED MODES
IN FREE SPACE
V.Е. Moiseenko, A.P. Kovtun
Institute of Plasma Physics, NSC “Kharkov Institute of Physics and Technology", Kharkov, Ukraine
E-mail: moiseenk@ipp.kharkov.ua
The azimuthally symmetrical surface localized modes in free space are analyzed. In the geometry aligned to the
wave-field localization surface, a combination of WKB eikonal with the exponential- polynomial series is used to find
approximate solutions. It is found that in axially symmetrical case the surface of wave-field localization is a
hyperboloid. The shape of the reflecting surface for a single-mode resonator is a section of eccentric paraboloid.
PACS: 03.50.De, 41.20.Jb, 42.15.Dp
1. MAXWELL’S EQUATIONS IN CASE
OF AXIAL SYMMETRY
System of time-harmonic Maxwell’s equations in free
space in cylindrical coordinates in axially symmetric case
( 0=
∂
∂
ϕ
) reduces to equation for TE-mode.
011
22
2
2
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ϕϕϕ
ω E
rc
E
z
E
r
r
rr
. (1)
By substitution
r
E Φ
=ϕ this equation transforms to
two-dimensional Helmholtz-type equation
02
2
2
2
=Φ+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂ G
zr
, (2)
where 22
2 1
4
3
rc
G −=
ω . (3)
2. GEOMETRY ALIGNED TO THE GUIDING
SURFACE
We suggest that axially symmetrical localized wave may
exist in free space in the vicinity of a guiding
surface ( )rfz = . The last equation determines the
trajectory curve at the plane const=ϕ . Following [1], we
introduce coordinates u across the trajectory curve and
υ along it (see Fig.1). Below implicit formulas for them
are given.
( )
( )
( )
( )
( ) ,1
,
1
1,
1
0
2
22
∫ ′+=
′+
−=
′+
′
+=
sr
s
s
s
s
s
drrf
rf
urfz
rf
rfurr
υ
(4)
where
dr
dff =′ . Coordinate u is chosen to be the distance
between point ( )zr, and curve ( )rfz = with the
appropriate sign. Then the trajectory curve equation could
be written as 0=u .Coordinate υ is the length of
segment of the curve between the initial point and the
point ( )ss zr , which is the cross of the trajectory curve
and a straight line that originates from the current point
( )zr, and is perpendicular to the trajectory curve (Fig. 1).
In such coordinates equation (2) has the following form.
011
3
=Φ+Φ
∂
∂
∂
∂
+Φ
∂
∂
∂
∂ GB
Bu
B
uB υυ
, (5)
where κuB +=1 , ( ) ( )
( )( ) 2
321 s
s
s
rf
rf
r
′+
′′
=κ is the curvature
of the trajectory curve.
Fig. 1. Trajectory curve and coordinates u and υ
3. APPROXIMATE SOLUTION OF SOURCE
EQUATION
As in [1], the approximate solution of equation (5) is
suggested as a combination of WKB eikonal along the
trajectory and the first radial mode of parabolic cylinder
equation across it.
( ) ( )( )
( )υψ
υψυ
∇
+−
=Φ
iug 2exp . (6)
Here g and ψ are functions of υ . Both of them vary in
space with the characteristic space scale 0L and the
wavelength is much smaller than this scale
( 12
0
4 >>=− GLγ where γ is series expansion parameter).
ψ determines the wave field oscillation along the
trajectory curve while g controls the wave channel width
across the trajectory.
After substitution of the expression (6) to equation (5),
terms of different orders appear. Neglecting of terms
which order is 0γG results in the following equation.
02 =− kG . (7)
Here ψ∇=k . Neglecting terms which order is 2γG
results in the next equation.
( ) 01224 2222 =−+−− kGB
d
dg
d
d
B
iugug
υυ
ψ . (8)
51
Substituting Taylor expansion of the ( )2kGB − in u ,
using new variable τ which is determined by the
equation
υ
ψ
τ
υ
d
d
d
d
= and equating the coefficients before
each power of u one can obtain four equations similar to
ray-tracing equations (see, for example, [2] §2.1).
0kR
=
∂
∂
τ
, (9)
( )
ou
Gg
=
+−∇=
∂
∂
2
2
1
τ
0k
, (10)
gG
d
d
ou
2−=
=τ
ψ , (11)
( )
ouu
kGiig
d
dg
=∂
−∂
−−=
2
22
2
4
2
τ
. (12)
Here
0=
=
u
kk 0 .
4. TRAJECTORY CURVES
Combining equations (9) and (10), the following
equation for wave trajectory is obtained:
gG ∇−∇=
∂
∂
2
1
2
2
τ
R . (13)
With account of the ratio of orders of the terms in the right-
hand side of the equation the last term can be neglected since
( ) 1~ 4
3
2
0 >>GL
g
G .
r
z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
0
Fig. 2. Trajectory curves for 10 =r and different values of
parameter a, from left to right 10=a , 5=a , 3=a
This equation is solved analytically. The solution is the family
of hyperbolas (Fig. 2).
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
τaz
ra
z
r
r 1
3
4
0
2
2
2
0
2
. (14)
5. STRUCTURE OF THE WAVE FIELDS
With account of equations (3) and (14) the last term of
equation (12) reads:
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) .
3332
12339
Re
26
0
22
0
224
0
2
4
0
6
0
22
0
226
0
2
2
22
rarar
rrarara
u
G
ou
+++
+++
−=
=
∂
∇−∂
=
ττ
τ
ψ
(15)
For a large values of z (or τ ) the curvature of the
trajectory curve becomes small and the localization of the
wave worsens. Therefore, the small τ are of particular
interest.
The equation (12) could be solved using iteration
method with an initial assumption 0=
τd
dg . Such
iterations converge fast for small τ . The first iteration
results in the following approximate solutions:
2
0
22
00
0
121
2
3ReReRe
rar
ggg +=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
=
=
τ
τ τ
τ
, (16)
( )
( )12
72392
4
3Im 2
0
22
0
2
2
0
24
0
4
4
0 +
++
−=
rara
rara
r
g τ . (17)
Imaginary part of g determines the bending of the wave
front. By substitution expressions (3), (16) and (17)
equation (11) could be written as
( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
=∇=
=
13
139
4
0
2
4
0
2
6
0
2
2
22
0
r
rraa
d
d
u τ
ττ
ψ
τ
ψ . (18)
With the initial condition 0
0
=
=τ
ψ solution of this
equation is
2
0
2
0
2
2 3313
r
arctg
ra
a ττψ −⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= . (19)
So, expression for the azimuthal projection of the electric
field reads as:
( )
( )
4
4
0
2
4
0
2
6
0
2
2
2
2
0
2
0
2
22
2
0
22
0
2
2
0
24
0
4
4
0
2
0
22
0
0
13
139
1
3313
12
72392
4
3121
2
3exp
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
−+−
=
r
rra
u
ar
r
arctg
ra
aiu
rara
rara
r
i
rar
EE
τ
ττ
κ
τττ
ϕϕ . (20)
6. REFLECTING SURFACES FOR RESONATOR
Since equation (2) is real, complex conjugate of
solution (20) is also a solution linearly independent of the
initial solution. Using these two solutions two real value
expressions for the electric field of the standing wave can
be constructed.
( )
( )
( )gu
r
guE Im
cos
sinReexp 2
2
2,1 −
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∇
−
= ψ
υψ
. (21)
52
There is a family of surfaces on which the solution
nullify. The equation for these surfaces comes from the
condition of nullifying sine or cosine functions in (21).
2
33Im13
2
0
2
2
0
2
2 n
r
arctggu
ra
a πττ =−−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ . (22)
To form a resonator the conductive surfaces(metallic walls of
the resonator) should coincide with those ones defined by
Eq.(22). For small τ a shape of these surfaces can be found
analytically. Let reflecting surface crosses the localization
surface in the point ττ ˆ= ( zzrr ˆ,ˆ == ), which we can
obtained from equation (22) setting 0=u
22
ˆ
a
nπτ = . (23)
Also
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
==
+=
a
naz
ra
nrr
2
ˆˆ
4
31ˆ
4
0
4
22
0
πτ
π
. (24)
For small τ
( )
( )
2
2
0
26
0
6
2
0
24
0
4
12
72392
8
3 u
rara
raran
+
++
−=Δ πτ , (25)
where τττ ˆ−=Δ . With account of formula
( )
( )
τυ Δ=Δ
′+
′
rf
rf
a ˆ1
ˆ1
2
, in coordinates ( )υ,u equation
for reflecting surface is:
( )
( )
2
4
0
4
22
6
0
622
2
1
4
0
4
22
2
0
29
0
8
2
0
24
0
4
4
31
4
9
4
31
12
72392
8
3 u
ra
nran
ra
n
rara
raran ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
++
−=Δ
−
ππππυ . (26)
Transforming to coordinates ( )zr, gives the following equation:
( )
( )
.
3
4
312
24
31
4
3112
72392
4
1
23
4
312
4
31
2
4
0
4
22
3
0
3
4
0
4
22
0
4
0
4
22
2
0
29
0
8
2
0
24
0
44
0
4
22
3
0
3
4
0
4
22
0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
++
++
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
n
ra
nra
a
nz
ra
nrr
ra
nrara
rara
a
nz
n
ra
nra
ra
nrr
π
π
ππ
π
π
π
π
π (27)
As follows from the last equation, the shape of the
reflecting surface for the single-mode resonator is a
section of eccentric paraboloid (Fig. 3) placed
perpendicular to the wave channel.
Fig. 3. Two-dimensional configuration of reflecting
surfaces. Section const±=ϕ
CONCLUSIONS
In free space there exist modes which fields are
concentrated in the vicinity of a certain (guiding) surface.
In axial symmetrical case the guiding surfaces for such
modes are hyperboloids. In the perpendicular direction of
the guiding surface the fields decay exponentially. The
reflecting surfaces forming a resonator on such a mode
are calculated.
REFERENCES
1. V.E. Moiseenko. Localized electrostatic waves in two-
dimensionally non-uniform magnetized plasma //
Problems of Atomic Science and Technology. Series
“Plasma Physics” (10). 2005, № 1, p. 54-56.
2. Yu.A. Kravtcov, Yu.I. Orlov. Geometric optics of
inhomogeneous media. Moscow: «Science», 1980.
Article received 24.11.10
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНО ЛОКАЛИЗОВАННЫХ МОД
В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В.Е. Моисеенко, А.П. Ковтун
Проанализированы азимутально-симметричные поверхностно локализованные моды в свободном пространстве.
Для нахождения приближенного решения использована комбинация метода ВКБ и экспоненциально-
полиномиального разложения в геометрии, привязанной к поверхности локализации волны. Определено, что
поверхностью локализации поля волны является гиперболоид вращения. Рассчитана форма отражающих
поверхностей для одномодового резонатора. Это сегмент параболоида вращения со смещенной осью.
ТЕОРЕТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ПОВЕРХНЕВО ЛОКАЛІЗОВАННИХ МОД У ВІЛЬНОМУ ПРОСТОРІ
В.Є. Моісеєнко, А.П. Ковтун
Було проведено аналіз азимутально-симетричних поверхнево локалізованих мод у свободному просторі.
Для знаходження наближеної розв’язки використано комбінацію методу ВКБ та експоненційно-
поліноміального розкладання в геометрії, що прив’язана до поверхні локалізації хвилі. Визначено, що
поверхнею локалізації поля хвилі є гіперболоїд ротації. Обрахована форма поверхні для одномодового
резонатора. Це є сегмент параболоїда ротації зі зсуненою віссю.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-90639 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-6016 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-02T06:12:08Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Moiseenko, V.Е. Kovtun, A.P 2015-12-29T15:42:51Z 2015-12-29T15:42:51Z 2011 A theoretical study of surface localized modes in free space / V.Е. Moiseenko, A.P. Kovtun // Вопросы атомной науки и техники. — 2011. — № 1. — С. 50-52. — Бібліогр.: 2 назв. — англ. 1562-6016 PACS: 03.50.De, 41.20.Jb, 42.15.Dp https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/90639 The azimuthally symmetrical surface localized modes in free space are analyzed. In the geometry aligned to the wave-field localization surface, a combination of WKB eikonal with the exponential- polynomial series is used to find approximate solutions. It is found that in axially symmetrical case the surface of wave-field localization is a hyperboloid. The shape of the reflecting surface for a single-mode resonator is a section of eccentric paraboloid. Було проведено аналіз азимутально-симетричних поверхнево локалізованих мод у свободному просторі. Для знаходження наближеної розв’язки використано комбінацію методу ВКБ та експоненційно- поліноміального розкладання в геометрії, що прив’язана до поверхні локалізації хвилі. Визначено, що поверхнею локалізації поля хвилі є гіперболоїд ротації. Обрахована форма поверхні для одномодового резонатора. Це є сегмент параболоїда ротації зі зсуненою віссю. Проанализированы азимутально-симметричные поверхностно локализованные моды в свободном пространстве. Для нахождения приближенного решения использована комбинация метода ВКБ и экспоненциально- полиномиального разложения в геометрии, привязанной к поверхности локализации волны. Определено, что поверхностью локализации поля волны является гиперболоид вращения. Рассчитана форма отражающих поверхностей для одномодового резонатора. Это сегмент параболоида вращения со смещенной осью. en Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Фундаментальная физика плазмы A theoretical study of surface localized modes in free space Теоретичне дослідження поверхнево локалізованних мод у вільному просторі Теоретическое изучение поверхностно локализованных мод в свободном пространстве Article published earlier |
| spellingShingle | A theoretical study of surface localized modes in free space Moiseenko, V.Е. Kovtun, A.P Фундаментальная физика плазмы |
| title | A theoretical study of surface localized modes in free space |
| title_alt | Теоретичне дослідження поверхнево локалізованних мод у вільному просторі Теоретическое изучение поверхностно локализованных мод в свободном пространстве |
| title_full | A theoretical study of surface localized modes in free space |
| title_fullStr | A theoretical study of surface localized modes in free space |
| title_full_unstemmed | A theoretical study of surface localized modes in free space |
| title_short | A theoretical study of surface localized modes in free space |
| title_sort | theoretical study of surface localized modes in free space |
| topic | Фундаментальная физика плазмы |
| topic_facet | Фундаментальная физика плазмы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/90639 |
| work_keys_str_mv | AT moiseenkove atheoreticalstudyofsurfacelocalizedmodesinfreespace AT kovtunap atheoreticalstudyofsurfacelocalizedmodesinfreespace AT moiseenkove teoretičnedoslídžennâpoverhnevolokalízovannihmoduvílʹnomuprostorí AT kovtunap teoretičnedoslídžennâpoverhnevolokalízovannihmoduvílʹnomuprostorí AT moiseenkove teoretičeskoeizučeniepoverhnostnolokalizovannyhmodvsvobodnomprostranstve AT kovtunap teoretičeskoeizučeniepoverhnostnolokalizovannyhmodvsvobodnomprostranstve AT moiseenkove theoreticalstudyofsurfacelocalizedmodesinfreespace AT kovtunap theoreticalstudyofsurfacelocalizedmodesinfreespace |