Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека

На основе использования теории изгибных колебаний круговых стержней разработана расчетная схема для количественной оценки вынужденных колебаний трахеального и бронхиального хрящей при воздействии на них радиальной нагрузки. Установлено, что вынужденные колебания хрящей имеют сложный характер, обусло...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Басовский, В.Г., Вовк, И.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2006
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/910
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека / В. Г. Басовский, И. В. Вовк // Акуст. вісн. — 2006. — N 1. — С. 10-14. — Библиогр.: 5 назв. — рус.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-910
record_format	dspace
spelling	Басовский, В.Г. Вовк, И.В. 2008-07-08T12:34:30Z 2008-07-08T12:34:30Z 2006 Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека / В. Г. Басовский, И. В. Вовк // Акуст. вісн. — 2006. — N 1. — С. 10-14. — Библиогр.: 5 назв. — рус. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/910 534.64.222:616.24-073 На основе использования теории изгибных колебаний круговых стержней разработана расчетная схема для количественной оценки вынужденных колебаний трахеального и бронхиального хрящей при воздействии на них радиальной нагрузки. Установлено, что вынужденные колебания хрящей имеют сложный характер, обусловленный, главным образом, тремя первыми модами. Полученные результаты позволяют утверждать, что при возникновении звука внутри трахеи и бронхов их стенки будут совершать не пульсирующие (как предполагалось ранее), а достаточно сложные колебания. На основі використання теорії згинальних коливань кругових стержнів розроблено розрахункову схему для кількісної оцінки вимушених коливань трахеального і бронхіального хрящів під дією на них радіального навантаження. Встановлено, що вимушені коливання хрящів мають складний характер, обумовлений, головним чином, трьома першими модами. Одержані результати дозволяють стверджувати, що при виникненні звуку всередині трахеї й бронхів їхні стінки будуть здійснювати не пульсуючі (як передбачалося раніше), а досить складні коливання. On the basis of the theory of flexural vibrations of circular rods an algorithm has been developed for quantitative estimating forced vibrations of tracheal and bronchial cartilages under the action of radial loading. It is proved that the forced vibrations of cartilages are of complex character determined mainly by the first three vibrational modes. The obtained results allow asserting that at a sound emergence inside the trachea and bronchi their walls will rather perform complex vibrations than the pulsating ones (as it was supposed before). ru Інститут гідромеханіки НАН України Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека Forced vibrations of cartilages of human trachea and bronchi Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека
spellingShingle	Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека Басовский, В.Г. Вовк, И.В.
title_short	Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека
title_full	Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека
title_fullStr	Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека
title_full_unstemmed	Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека
title_sort	вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека
author	Басовский, В.Г. Вовк, И.В.
author_facet	Басовский, В.Г. Вовк, И.В.
publishDate	2006
language	Russian
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
format	Article
title_alt	Forced vibrations of cartilages of human trachea and bronchi
description	На основе использования теории изгибных колебаний круговых стержней разработана расчетная схема для количественной оценки вынужденных колебаний трахеального и бронхиального хрящей при воздействии на них радиальной нагрузки. Установлено, что вынужденные колебания хрящей имеют сложный характер, обусловленный, главным образом, тремя первыми модами. Полученные результаты позволяют утверждать, что при возникновении звука внутри трахеи и бронхов их стенки будут совершать не пульсирующие (как предполагалось ранее), а достаточно сложные колебания. На основі використання теорії згинальних коливань кругових стержнів розроблено розрахункову схему для кількісної оцінки вимушених коливань трахеального і бронхіального хрящів під дією на них радіального навантаження. Встановлено, що вимушені коливання хрящів мають складний характер, обумовлений, головним чином, трьома першими модами. Одержані результати дозволяють стверджувати, що при виникненні звуку всередині трахеї й бронхів їхні стінки будуть здійснювати не пульсуючі (як передбачалося раніше), а досить складні коливання. On the basis of the theory of flexural vibrations of circular rods an algorithm has been developed for quantitative estimating forced vibrations of tracheal and bronchial cartilages under the action of radial loading. It is proved that the forced vibrations of cartilages are of complex character determined mainly by the first three vibrational modes. The obtained results allow asserting that at a sound emergence inside the trachea and bronchi their walls will rather perform complex vibrations than the pulsating ones (as it was supposed before).
issn	1028-7507
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/910
citation_txt	Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека / В. Г. Басовский, И. В. Вовк // Акуст. вісн. — 2006. — N 1. — С. 10-14. — Библиогр.: 5 назв. — рус.
work_keys_str_mv	AT basovskiivg vynuždennyekolebaniâhrâŝeitraheiibronhovčeloveka AT vovkiv vynuždennyekolebaniâhrâŝeitraheiibronhovčeloveka AT basovskiivg forcedvibrationsofcartilagesofhumantracheaandbronchi AT vovkiv forcedvibrationsofcartilagesofhumantracheaandbronchi
first_indexed	2025-11-25T21:02:22Z
last_indexed	2025-11-25T21:02:22Z
_version_	1850545240693276672
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 1. С. 10 – 14 УДК 534.64.222:616.24-073 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ХРЯЩЕЙ ТРАХЕИ И БРОНХОВ ЧЕЛОВЕКА В. Г. Б А СО ВС К И Й, И. В. В О ВК Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 11.10.2005 На основе использования теории изгибных колебаний круговых стержней разработана расчетная схема для коли- чественной оценки вынужденных колебаний трахеального и бронхиального хрящей при воздействии на них ра- диальной нагрузки. Установлено, что вынужденные колебания хрящей имеют сложный характер, обусловленный, главным образом, тремя первыми модами. Полученные результаты позволяют утверждать, что при возникнове- нии звука внутри трахеи и бронхов их стенки будут совершать не пульсирующие (как предполагалось ранее), а достаточно сложные колебания. На основi використання теорiї згинальних коливань кругових стержнiв розроблено розрахункову схему для кiлькi- сної оцiнки вимушених коливань трахеального i бронхiального хрящiв пiд дiєю на них радiального навантаження. Встановлено, що вимушенi коливання хрящiв мають складний характер, обумовлений, головним чином, трьома пер- шими модами. Одержанi результати дозволяють стверджувати, що при виникненнi звуку всерединi трахеї й бронхiв їхнi стiнки будуть здiйснювати не пульсуючi (як передбачалося ранiше), а досить складнi коливання. On the basis of the theory of flexural vibrations of circular rods an algorithm has been developed for quantitative estimating forced vibrations of tracheal and bronchial cartilages under the action of radial loading. It is proved that the forced vibrations of cartilages are of complex character determined mainly by the first three vibrational modes. The obtained results allow asserting that at a sound emergence inside the trachea and bronchi their walls will rather perform complex vibrations than the pulsating ones (as it was supposed before). ВВЕДЕНИЕ Данная статья является естественным продол- жением работы [1], в которой рассматривались собственные частоты и формы колебаний хрящей трахеи и бронхов человека. Интерес к особенно- стям колебаний этих элементов бронхиального де- рева связан с решением проблем генерирования и распространения звуковых волн в респираторной системе в норме и патологии (подробнее см., на- пример, в [2, 3]). Ниже мы рассмотрим вынужденные колебания трахеальных и бронхиальных хрящей человека под воздействием равномерной нагрузки, что чре- звычайно важно при качественном и количествен- ном анализе прохождения звуковых колебаний че- рез стенки трахеи и бронхов. Выбор такого ти- па нагрузки обусловлен тем, что в диапазоне ча- стот, интересных для практики, волновой размер диаметров трахеи и бронхов существенно меньше единицы. Поэтому ожидать возникновения какой- либо нагрузки на внутренние стенки трахеи и бронхов (в плоскости нормальной к их продоль- ным осям), отличной от равномерной, не приходи- тся. 1. ТЕОРИЯ Так же, как и в [1], трахеальные и бронхи- альные хрящи будем моделировать тонкими не- замкнутыми круговыми стержнями. Исходя из этого, рассмотрим изгибные колебания кругово- го стержня постоянного поперечного сечения со свободными концами под воздействием гармони- ческой радиально распределенной силы с интен- сивностью q(θ) exp(−jωt), где ω – круговая часто- та вынужденных колебаний; j – мнимая едини- ца. Продольная ось стержня в недеформирован- ном состоянии очерчена по дуге окружности ра- диуса R0 и углового размера θ0 (рис. 1, а). При этом крутильными и продольными деформация- ми пренебрегаем, считая, что применима гипотеза плоской нормали и поперечные сечения не дефор- мируются. Условия равновесия элемента ds стер- жня (см. рис. 1, в) при вынужденных изгибных ко- лебаниях имеют вид [4] dN̂ dθ − Q̂ = −mR0ω 2V, (1) dQ̂ dθ + N̂ = −mR0ω 2W − R0q, (2) dM̂ dθ − R0Q̂ = 0. (3) Здесь и далее временной множитель exp(−jωt) опускаем. В уравнениях (1) – (3) введены следую- щие обозначения: N̂ , Q̂, M̂ – амплитуды нормаль- 10 c© В. Г. Басовский, И. В. Вовк, 2006 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 1. С. 10 – 14 ной и перерезывающей сил и изгибающего момен- та в текущем сечении стержня в его плоскости со- ответственно; V , W – амплитуды компонент пе- ремещения сечений стержня в тангенциальном и радиальном направлениях соответственно; m – по- гонная масса стержня. Присоединим к уравнениям движения элемента известные зависимости из теории тонких криволи- нейных стержней: M̂ = − EI R2 0 ( d2W dθ2 + W ) , (4) W = dV dθ , (5) где E – модуль Юнга; I =b3h/12 – момент инер- ции поперечного сечения стержня (см. рис. 1, б) относительно нейтральной оси сечения, перпенди- кулярной к плоскости колебаний. Отметим, что используя равенства (4) и (5), уравнения (1) – (3) можно свести к одному диффе- ренциальному уравнению шестого порядка отно- сительно искомой функции W (θ), как это сдела- но в статье [1]. Однако выполнять здесь это упро- щение нецелесообразно, поскольку ниже для ре- шения задачи будет использовано свойство попар- ной ортогональности собственных форм кругово- го стержня, которые являются вектор-функциями с компонентами, соответствующими тангенциаль- ным и радиальным перемещениям сечений стер- жня. Краевые условия для стержня со свободными концами имеют вид M = Q = N = 0 при θ = ± θ0 2 . Для вынужденных гармонических колебаний, используя соотношения (2) – (4), краевые условия можно записать в следующей форме: − EI R2 0 ( d2W dθ2 +W )∣ ∣ ∣ ∣ θ=±θ0/2 =0, − EI R3 0 ( d3W dθ3 + dW dθ ) ∣ ∣ ∣ ∣ θ=±θ0/2 =0, [ EI R3 0 ( d4W dθ4 + d2W dθ2 −Ω2W ) −R0q ]∣ ∣ ∣ ∣ θ=±θ0/2 =0, (6) где Ω – безразмерная круговая частота: Ω = ω ω∗ , ω∗ = 1 R2 0 √ EI m . =0 =- 0/2 = 0/2 O 0 R 0 b а b h б w v ds N M Q N M Q N M Q M+dM N+dN Q+dQ O d qexp(-j t) в Рис. 1. Механическая модель хряща: а – незамкнутое круговое кольцо (круговой стержень), б – поперечное сечение кольца, в – элемент кольца и действующие на него силы и моменты Уравнения равновесия (1) – (3), соотношения (4) и (5), а также краевые условия (6) в совоку- пности составляют математическую модель выну- жденных колебаний рассматриваемых хрящей под воздействием гармонической радиально распреде- ленной силы. Рассмотрим вынужденные колебания хряща под воздействием распределенной симметрично отно- сительно сечения θ = 0 радиальной силы. Учи- В. Г. Басовский, И. В. Вовк 11 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 1. С. 10 – 14 тывая неоднородность краевого условия для нор- мальных усилий, представим общее решение для перемещений хряща ξ=(V, W ) в виде ряда по сим- метричным нормированным собственным формам ξγ =(Vγ(θ), Wγ(θ)) колебаний хряща в вакууме [1] и некоторого произвольного дополнительного пе- ремещения ξ̃ = (Ṽ (θ), W̃ (θ)), которое необходимо лишь для удовлетворения неоднородных краевых условий: ξ = ∞ ∑ γ=0 Gγξγ + G̃ξ̃. (7) Здесь G̃ и Gγ – неизвестные коэффициенты. Нулевой член ряда в формуле (7) соответствует поступательному перемещению хряща как абсолю- тно жесткого тела с нулевой собственной частотой. Здесь и ниже собственные формы колебаний хря- щей нормированы на величину θ0/2 ∫ 0 (V 2 γ + W 2 γ )dθ = 1, γ = 0, 1, . . . Тангенциальные и радиальные перемещения хряща не являются независимыми функциями, а связаны между собой соотношением (5). Поэто- му достаточно указать способ вычисления толь- ко какой-нибудь одной из компонент перемеще- ния. Например, способ вычисления амплитуд ра- диальных компонент собственных форм колеба- ний хряща Wγ(θ) описан в статье [1]. Амплитуду радиальной компоненты дополнительного переме- щения W̃ (θ) выберем в следующем виде: W̃ (θ) = ( 1 − ( θ θ0/2 )2)4 . (8) Это позволяет тождественно удовлетворить кра- евые условия для изгибающего момента и пере- резывающей силы. Подставляя соотношение (7) с учетом выражения (8) в третье краевое условие (6) и учитывая, что функции Wγ(θ) удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям для нормальных усилий [1], получаем алгебраиче- ское уравнение, связывающее неизвестные коэф- фициенты G̃ и Gγ : ∞ ∑ γ=0 Gγ(Ω2 − Ω2 γ)Wγ ( θ0 2 ) − 384 (θ0/2)4 G̃ = = − R4 0 EI q ( θ0 2 ) . (9) Здесь Ωγ – собственные безразмерные круговые частоты хряща [1]. Алгебраизацию уравнений движения (1) – (3) осуществим на основе свойств ортогональности собственных форм колебаний хряща. С этой целью вначале приведем эту систему к двум уравнениям, исключив из первых двух перерезывающую силу с помощью третьего и соотношения (4). После под- становки в эти уравнения представления (7) для перемещения стержня с использованием соотно- шений (5) и (8) получаем следующие два диффе- ренциальные уравнения: dN dθ − ∞ ∑ γ=0 Gγ dNγ dθ = = − EI R3 0 [ ∞ ∑ γ=0 Gγ ( Ω2 − Ω2 γ ) Vγ+ +G̃Ω2Ṽ + G̃ ( d3W̃ dθ3 + dW̃ dθ )] , N − ∞ ∑ γ=0 GγNγ = = − EI R3 0 [ ∞ ∑ γ=0 Gγ ( Ω2 − Ω2 γ ) Wγ+ +G̃Ω2W̃ − G̃ ( d4W̃ dθ4 + d2W̃ dθ2 )] − R0q. (10) Умножим обе части системы (10) на вектор соб- ственных колебаний хряща ξl и проинтегрируем по переменной θ от 0 до θ0/2. Все перекрестные чле- ны, содержащие произведения ξγξl (γ 6= l), обра- щаются в нуль. После очевидных преобразований с использованием краевых условий для нормаль- ных сил N и Nγ приходим к следующей беско- нечной системе линейных алгебраических уравне- ний: Gl(Ω 2 − Ωl) + G̃(Ω2I1l + I2l) = = − R4 0 EI θ0/2 ∫ 0 qWldθ, l = 0, 1, . . . (11) 12 В. Г. Басовский, И. В. Вовк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 1. С. 10 – 14 Здесь введены обозначения I1l = θ0/2 ∫ 0 (Ṽ Vl + W̃Wl)dθ; I2l = θ0/2 ∫ 0 [( d3W̃ dθ3 + dW̃ dθ ) Vl− − ( d4W̃ dθ4 + d2W̃ dθ2 ) Wl ] dθ. Значения этих интегралов нетрудно получить в явном виде [5], однако здесь они не приводятся из- за громоздкости выражений. Бесконечная система линейных алгебраических уравнений (9), (11) является исходной для получе- ния количественных данных об изгибных колеба- ниях хрящей трахеи и главных бронхов человека под воздействием гармонической радиальной си- лы, распределенной с интенсивностью q(θ). 2. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ При проведении конкретных расчетов использо- вались следующие геометрические и физические характеристики хрящей [1]: • для трахеального хряща 2R0 = 1.75 · 10−2 м, θ0 =240◦, b=1.64·10−3 м, h=3.2·10−3 м; • для хряща главных бронхов 2R0 = 1.18·10−2 м, θ0 =180◦, b=1.1·10−3 м, h=2.18·10−3 м. Плотность биоткани хрящей принималась равной 1.1·103 кг/м3, а модуль Юнга – 4.4·106 Па. Как показано в [1], зависимости перемещений се- чений хрящей от угла для их собственных форм колебаний являются достаточно сложными функ- циями. Это обусловлено наличием противофазных участков колебаний и соответственно узловых то- чек, количество которых растет с ростом номера собственной формы колебаний хряща. Что каса- ется собственных частот колебаний, то для при- нятых физических и геометрических параметров хрящей в диапазон f ≤2000 Гц, который интересен с точки зрения клинической практики, попадают следующие их значения: • для хряща трахеи – fγ = 0, 60.7, 362.1, 980.4, 1886.0 Гц; • для хряща главных бронхов – fγ = 0, 168.7, 1020.6 Гц. Как уже было сказано, нулевое значение собствен- ной частоты соответствует перемещению хрящей как абсолютно жесткого тела. Рассмотрим вынужденные колебания хрящей под воздействием равномерно распределенной ра- диальной силы q(θ) = q0. Для них важной хара- ктеристикой является их радиальная колебатель- ная скорость. Легко показать, что нормированные относительно величины R4 0q0ω∗/(EI) коэффици- енты разложения Ḡγ колебательной скорости хря- щей по их собственным формам колебаний связа- ны с определенными выше коэффициентами Gγ и G̃ следующим соотношением: Ḡγ = −j Ω EI R4 0 q0 (Gγ + G̃I1γ), γ = 0, 1, . . . На рис. 2 изображены зависимости значений мо- дулей этих коэффициентов от частоты. Посколь- ку при постановке задачи не учитывались потери в материале хрящей, то при приближении к соб- ственной частоте хряща fγ соответствующий ко- эффициент Ḡγ будет неограниченно возрастать. Чтобы этого не происходило, необходимо учесть потери. При постановке рассматриваемой задачи это можно сделать либо вполне строго, либо с до- статочной для практики точностью приближенно с помощью типичной резонансной кривой (если известна добротность или декремент затухания материала хряща). К сожалению, такие данные в доступной нам литературе отсутствуют. Поэто- му при построении зависимостей, изображенных на рис. 2, предполагалось, что потери в материале хрящей не зависят от частоты, а добротность ко- лебаний в окрестности собственных частот хрящей равна 10. Прежде всего, обратимся к рис. 2, а. Как ви- дно из графика, основной вклад в колебания хря- ща трахеи (под воздействием рассматриваемой на- грузки) вносят первые три моды. При этом значи- мость вкладов каждой из них существенно зависит от частоты. Так, на низких частотах (примерно до 40 Гц) основной вклад вносит нулевая мода. По- этому хрящ здесь движется как единое целое, т. е. совершает осциллирующие колебания вдоль сво- ей оси симметрии. В области примерно от 40 до 100 Гц главную роль играют колебания, соответ- ствующие первой собственной форме, поскольку частота 60.7 Гц соответствует первой собственной частоте хряща. На более высоких частотах нуле- вая и первая мода вносят примерно одинаковый вклад и форма колебаний хряща сильно усложня- ется. Далее, в зоне 362 Гц, где находится третья собственная частота хряща, его колебания стано- вятся еще более сложными, поскольку вклад всех В. Г. Басовский, И. В. Вовк 13 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 1. С. 10 – 14 f, Hz 101 102 103 \|G \| 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 \|G0\| \|G1\| \|G2\| \|G3\| \|G4\| f, Hz 101 102 103 \|G \| 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 \|G0\| \|G1\| \|G2\| \|G3\| \|G4\| а б Рис. 2. Частотные зависимости модулей коэффициентов разложения по собственным формам колебательной скорости: а – хряща трахеи, б – хряща главных бронхов трех мод здесь примерно равен. Наконец, выше 400 Гц основной вклад в колебания трахейного хряща вносят только первые две моды. В отличие от трахейного хряща, колебания бронхиального хряща формируют главным обра- зом две моды – нулевая и первая, см. рис. 2, б. При этом на низких частотах (примерно до 100 Гц) основную роль играет нулевая мода. В области от 100 до 250 Гц преобладает первая мода, поскольку ее собственная частота составляет 168.7 Гц. Выше по частоте вклады этих двух мод примерно рав- ны. Лишь в районе 1020 Гц, где находится третья собственная частота, возможно небольшое влия- ние третьей моды. Учитывая результаты приведенного анализа, становится очевидным, что при возникновении по каким-либо причинам звуковых колебаний в тра- хеи и бронхах их формы радиальных колебаний будут принципиально отличаться от простейшей осесимметричной (пульсирующей) формы, приня- той для моделей стенок трахеи и бронхов в более ранних работах (см., например [2, 3]). ВЫВОДЫ 1. На основе использования теории изгибных колебаний круговых стержней разработана расчетная схема для количественной оцен- ки вынужденных колебаний трахеального и бронхиального хрящей при воздействии на них равномерной радиальной нагрузки. 2. На основе численного анализа установлено, что вынужденные колебания хрящей име- ют сложный характер, который определяе- тся главным образом тремя первыми модами. Однако вклад отдельных мод в общее движе- ние хрящей не одинаков и существенно зави- сит от частоты. 3. Полученные результаты позволяют утвер- ждать, что при возникновении звука внутри трахеи и бронхов их стенки будут совершать не пульсирующие (как предполагалось ранее), а достаточно сложные колебания, характери- зующиеся наличием противофазных участков и узловых точек. 1. Басовский В. Г., Вовк И. В. Собственные час- тоты и формы колебаний хрящей трахеи и брон- хов человека // Акуст. вiсн.– 2002.– 5, N 3.– С. 5– 11. 2. Вовк И. В., Вовк О. И. Распространение звука в бронхиальном дереве человека. Часть I. Теория // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, N 2.– С. 19–31. 3. Habib R. H., Chalker R. B., Suki B., Jackson A. C. Airway geometry and wall mechanical properties esti- mated from subglottal input impedance in humans // J. Appl. Physiol.– 1994.– 77, N 1.– P. 441–451. 4. Ляв А. Математическая теория упругости.– М.-Л.: ОНТИ, 1935.– 674 с. 5. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции.– М.: Наука, 1981.– 800 с. 14 В. Г. Басовский, И. В. Вовк

Вынужденные колебания хрящей трахеи и бронхов человека

Репозитарії

Схожі ресурси