Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации
В работе рассмотрен алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации с квадратичным критерием качества и линейными ограничениями на переменные состояния и управления методом декомпозиции по временным индексам для систем с блочно-ленточной структурой матрицы Гессе для двойственного функц...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Культура народов Причерноморья |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/91091 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации / В.В. Матвеев, В.Н. Титаренко, Д.В. Титаренко // Культура народов Причерноморья. — 2012. — № 244. — С. 106-110. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859723502228078592 |
|---|---|
| author | Матвеев, В.В. Титаренко, В.Н. Титаренко, Д.В. |
| author_facet | Матвеев, В.В. Титаренко, В.Н. Титаренко, Д.В. |
| citation_txt | Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации / В.В. Матвеев, В.Н. Титаренко, Д.В. Титаренко // Культура народов Причерноморья. — 2012. — № 244. — С. 106-110. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Культура народов Причерноморья |
| description | В работе рассмотрен алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации с
квадратичным критерием качества и линейными ограничениями на переменные состояния и управления
методом декомпозиции по временным индексам для систем с блочно-ленточной структурой матрицы
Гессе для двойственного функционала.
У роботі розглянуто алгоритм рішення задачі дискретно-динамічної оптимізації з
квадратичним критерієм якості та лінійними обмеженнями на змінні стану та управління методом
декомпозиції за індексами часу для систем з блочно-стрічкової структурою матриці Гессе для
двоїстого функціоналу.
This paper deals with the algorithm for solving the problem of discrete-dynamical optimization with
quadratic quality criteria and linear constraints on state and control variables by decomposition on time indexes
method for systems with block-band structure of the Hessian matrix for the dual functional.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:03:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
Малик М.А.
МІСЦЕ УКРАЇНСЬКОЇ ЕКОНОМІКИ В СУЧАСНИХ ІНТЕГРАЦІЙНИХ ПРОЦЕСАХ
106
2. Геєць В. М. Інноваційний шлях розвитку та економічного зростання / В. М. Геєць // Утвердження
інноваційної моделі розвитку економіки України. Мат-ли наук-практ. конф. – К : НТТУ «КПІ», 2003. –
С 38-56.
3. Амоша А. И. Неоиндустриализация и новая промышленная политика Украины / А. И. Амоша,
В. П. Вишневский, Л. А. Збаразская // Економіка промисловості. – 2012. – № 1-2. – С. 3-32.
4. Четыре года Украины в ВТО : Кто выиграл, а кто проиграл [Електронний ресурс] / Сайт
«Комсомольская правда в Украине». – Режим доступу : http://kp.ua/daily/170512/337974/
5. Мунтиян В. И. Об интеграции Украины в цифрах / В. И. Мунтиян // Евразийская экономическая
интеграция Научно-аналитический журнал. – 2011. – №3. – С.5-9.
6. European Union – EEAS (European External Action Service) | Ukraine [Електронний ресурс]. – Режим
доступу : http://eeas.europa.eu/ukraine/
7. Ивантер В. В. Экспертная оценка возможных макроэкономических эффектов экономического
сотрудничества Украины со странами Единого экономического пространства / В. В. Ивантер,
В. М. Геец и др. // Економіка і прогнозування. – 2011. – № 4. – С. 9-26.
8. Макогон Ю. В. Глобализация и Украина в мировой экономике / Ю. В. Макогон, Т. В. Орехова //
Донецк: ДонНУ, 2004. – 478 с.
9. European Union - Eurostat | CIS-EU – trade in goods [Електронний ресурс]. – Режим доступу:
http://epp.eurostat.ec.europa.eu/statistics_explained/index.php/CIS-EU_trade_in_goods
10. Довгаль Е. А. Развитие международного сотрудничества регионов в процессе глобализации / Е.
А. Довгаль // Вчені записки Харківського гуманітарного інституту "Народна українська академія" :
научное издание. Т. 14. – Харків : НУА, 2008. – 618 с.
11. Пирожков С. І. Глобалізація та інноваційна діяльність в Україні / С.І. Пирожков // Утвердження
інноваційної моделі розвитку економіки України. Матеріали науково-практичної конференції. – К. :
НТУУ «КПІ». – 2003. – С. 143.
Матвеев В.В., Титаренко В.Н., Титаренко Д.В. УДК 519.863 + 65.012.122
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПО ВРЕМЕННЫМ ИНДЕКСАМ И ДВУХУРОВНЕВЫЙ
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ
ОПТИМИЗАЦИИ
Аннотация. В работе рассмотрен алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации с
квадратичным критерием качества и линейными ограничениями на переменные состояния и управления
методом декомпозиции по временным индексам для систем с блочно-ленточной структурой матрицы
Гессе для двойственного функционала.
Анотація. У роботі розглянуто алгоритм рішення задачі дискретно-динамічної оптимізації з
квадратичним критерієм якості та лінійними обмеженнями на змінні стану та управління методом
декомпозиції за індексами часу для систем з блочно-стрічкової структурою матриці Гессе для
двоїстого функціоналу.
Summary. This paper deals with the algorithm for solving the problem of discrete-dynamical optimization with
quadratic quality criteria and linear constraints on state and control variables by decomposition on time indexes
method for systems with block-band structure of the Hessian matrix for the dual functional.
Основная сложность в решении задач дискретно-динамической оптимизации экономических систем
связана с «большой размерностью» традиционных алгоритмов и методов решения [3]. Для решения
проблемы «размерности» задач дискретно-динамической оптимизации используются методы
многоуровневых иерархических систем [1], методы декомпозиции по временным индексам [5].
Цель статьи: В работе предлагается декомпозиция по временным индексам задачи оптимизации с
квадратичным критерием и линейными ограничениями и решение ее путем приведения к задаче поиска
экстремума двойственного функционала Лагранжа.
Процедуру поиска экстремума двойственного функционала предлагается строить с учетом
особенностей блочно-ленточной структуры матрицы Гессе, характерной для линейных многосвязных
объектов.
В общем виде математическая модель последовательного технологического процесса может быть
представлена балансовым уравнением
SCSQBSYASY 1 (1)
с ограничением на переменные состояния и управления
maxmin iii YSYY (2)
maxmin iii QSQQ (3)
где вектор - переменные состояния, компоненты SY SYi
которого являются запасами ресурса в -
ой подсистеме в момент времени
i
TS ,...,2,1 вектор SQ - переменные управления, имеющие смысл
передачи ресурса в момент времени S в i -ую подсистему, Mi 2,1 ,...,
http://kp.ua/daily/170512/337974/
http://eeas.europa.eu/ukraine/
http://epp.eurostat.ec.europa.eu/statistics_explained/index.php/CIS-EU_trade_in_goods
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
107
A - диагональная матрица размерности NN , значения - КПД i -ой подсистемы
iia
B - матрица MN с элементами:
1, если ресурс поступил в -ую подсистему
1,если ресурс выбыл из -ой подсистемы
0,в остальных случаях
j
i j j
Q i
b Q i
(4)
С - матрица KN
1, если прогнозное поступление ресурса
в -ую подсистему
1,если прогнозный отток ресурса
из -ой подсистемы
j
i j
j
i
b
i
(5)
Критерий оптимальности функционирования динамической системы есть квадратичная форма
отклонений показателей эффективности от плановых значений, заявленных или технологически
целесообразных значений переменных состояния и управления:
0
1 1 1 1 1
T
T
T
T
S
I Y T Y T V T Y T Y T
Y S Y S V S Y S Y S
Q S Q S R S Q S Q S
(6)
где SQSY , - соответственно векторы "желательных" значений переменных состояния и
управления,
V S - положительно определенная, диагональная матрица N N ,
- положительно определенная, диагональная матрица R S M M ,
Элементы матриц V и R имеют смысл коэффициентов штрафа за отклонение переменных состояния
и управления от "желательных" значений.
Замена переменных
Z S Y S Y S
U S Q S Q S
(7)
В новых переменных задача формулируется: найти
,
0
min 1 1 1T
Z S U S
T
T T
S
J Z T V T Z T
Z S V S Z S U S R S U S
(8)
при ограничениях:
1Z S A Z S B U S C S D S (9)
где:
( 1)D S Y S A Y S B Q S (10)
В работе рассматривается решение задачи оптимизации без учета простых двусторонних ограничений
на переменные состояния и управления, в предположении, что в процессе нормального функционирования
системы эти условия выполняются.
Лагранжиан задачи имеет вид:
0
1 1 1
1
T
T T
T
T
S
L Z T V T Z T
Z S V S Z S U S R S U S
S Z S A Z S B U S C S D S
(11)
где - вектор множителей Лагранжа. S
Решение сформулированной задачи методами статической оптимизации нежелательно ввиду большой
размерности эквивалентной задачи статической оптимизации 2 1M N T ).
Использование двухуровневой процедуры оптимизации методом декомпозиции по временным
индексам позволяет существенно снизить размерность решаемых задач.
Сущность метода декомпозиции по временным индексам состоит в том, что в Лагранжиане (11)
выделяются слагаемые сходной структуры, отличающиеся друг от друга только значениями временных
индексов и поэтому обладающие одним и тем же алгоритмом нахождения оптимального решения.
Алгоритм оптимизации двухуровневый: на нижнем уровне решается ряд однотипных задач малой
размерности при фиксированных значениях вектора , 0,1,...,S S T , на верхнем уровне
рассчитываются множители Лагранжа , 0,1,...,S S T , обеспечивающие согласованность задач
верхнего уровня.
Фиксируя векторы , 0,1,...,S S T , выделим в (11) группы слагаемых.
1. Для 0S
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
T T
T
L Z V Z U R U
A Z B U C A Y B Q
0
(12)
Матвеев В.В., Титаренко В.Н., Титаренко Д.В.
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПО ВРЕМЕННЫМ ИНДЕКСАМ И ДВУХУРОВНЕВЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ДИСКРЕТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
108
где , -заданы. 0 , 0Y Z
1,2,...,2. Для S T
1
T T
T
T
L S Z S V S Z S U S R S U S
S A Z S B U S C S A Y S B Q S
S Z S Y S
(13)
3. Для 1S T
1 1 1 1 1T TL T Z T V T Z T T Z T Y T 1 (14)
Из (12)-(14) видно, что из задач 1T 1T (для 0 S T 1 ) имеют одинаковую формальную
запись.
Задача алгоритмов нижнего уровня состоит в определении Z S и U S , минимизирующих (8)-(9) при
заданном значении . Из-за сходства оптимизационных моделей, при алгоритмы
решения задач для всех временных индексов, кроме первого (
S 1,2,...,S T
0S ) и последнего ( ), являются
однотипными, что упрощает решение исходной задачи.
1S T
Двухуровневая процедура оптимизации.
Задача нижнего уровня состоит в отыскании локально оптимальных (при фиксированном S )
значений . Задача верхнего уровня - корректировка вектора ,U Z , 0,1,...S S T 1
*
для нахождения
оптимального решения исходной задачи (8)-(9).
1. Вычисление локально оптимальных значений векторов * * *, , ,Z U V Q проводится из условия
, . 0U L S 0Z L S
а) Для 0S
0 0 2 0 0 0 0T
U L R U B
(15)
откуда
* 11
0 0
2
TU R B 0
(16)
* 11
0 0 0
2
TQ Q R B 0
(17)
б) Для 1, 2,...,S T
2 0T
U S L S R S U S B S
(18)
откуда
* 11
2
TU S R S B S
(19)
* 11
2
TQ S Q S R S B S
(20)
2 1T
Z S L S V S Z S A S S 0
(21)
и
* 1 11 1
1
2 2
TZ S V S A S V S S
(22)
* 1 11 1
1
2 2
TY S Y S V S A S V S
(23)
в) Для 1S T
1 1 2 1 1 0Z T L T V T Z T T
(24)
* 11
1 1
2
Z T V T T
(25)
* 11
1 1 1
2
Y T Y T V T T
(26)
Подставляя найденные выражения для локально-оптимальных значений векторов ,Z S U S и,
соответственно, Y S и Q S в (12)-(14), получим аналитическое выражение двойственного
функционала исходной задачи как функцию вектора
0,1,..., 1S T
. В силу линейности уравнения (9) и выражений для
*, *Z U относительно вектора , двойственный функционал после подстановки представляет собой
квадратичную форму множителей Лагранжа. После подстановки в (12)-(14) и упрощения получим:
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
109
* 1
0 0 0 0 0 0 0
4
0 0 0 0 0
T T
T T T
L Z V Z B R B
C A Y B
1
0
T
Q
(27)
* 1 1
1 1
1 1
1 1
4 4
1 1
1
2 4
1
T T T
T T T
T T
L S S A V S A S S Y S S
S A Y S S S B R S B S
S C S A Y S B Q S S Y S
(28)
* 11
1 1
4
T T TL T T V T T Y T 1 (29)
* * * *
1
0 1
T
S
L L L S L T
(30)
Максимизация двойственного функционала
Согласно теореме Куна - Таккера, оптимальному решению (8)-(9) соответствует максимум
двойственного функционала (11). Ввиду большой размерности (12)-(14) для поиска оптимального вектора
, доставляющего максимум функционалу (11), применим итеративную процедуру типа Флетчера – Ривса
[4], обеспечивающую достижение экстремума за конечное число шагов оптимизации. Привлекательность
метода состоит в том, что не требуется проводить операции обращения матриц большой размерности.
Алгоритм решения задачи
1. Задается произвольное значение 0 S для 0,1,...,S T . В точке
0 определяется направление
нового поискового шага 0S .
0 0S L
где 0L - градиент двойственного функционала по , в точке 0 .
2. На k-ом шаге с помощью процедуры одномерного поиска (определения максимальной длины шага в
направлении kS ) находится максимум L , что в свою очередь определяет новую точку 1k :
1
2
k kT
k k
T
k k k
L S
S
S L S
k
где - матрица вторых производных двойственного функционала. 2 kL
3. Вычисляется 1kL и . 1kL
4. Определяется новое направление 1S k
1 1
1 1
1
k kT
k k
k kT
L L
S L
L L
kS (32)
5. Если выполняется неравенство:
kS (33)
где некоторая произвольная константа, то процедура поиска останавливается, иначе, поиск
циклически повторяется с п.2 с заменой k на 1k и kS на 1kS .
0 1 ... ...S T (34)
Соответственно:
* * *
0 10 1 ... TL L L L T (35)
Как видно из (13)
* * *1S L S Z S A Z S B U S C S D S (36)
Определение матрицы вторых производных 2 L (матрицы Гессе)
Из (11) видно, что в Лагранжиан входят перекрестные произведения векторов с разными
временными индексами, поэтому матрица Гессе не может быть представлена в виде прямой суммы матриц
, то есть будет содержать не только диагональные блоки
2
S S L
2
1 1S S L ,
2
S S L , но и
внедиагональные и .
2
1S S L
2
1S S L
Таким образом, матрица Гессе имеет блочно-ленточную структуру:
Матвеев В.В., Титаренко В.Н., Титаренко Д.В.
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПО ВРЕМЕННЫМ ИНДЕКСАМ И ДВУХУРОВНЕВЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ДИСКРЕТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
110
2 2
0 0 0 1
2 2 2
1 0 1 1 1 2
2 2 2
2 1 2 2 2 3
2 2 2
1 2 1 1 1
2 2
1
0 0
0 0
0
0 0
0 0 0
0
0
T T T T T T
T T T T
L L
L L L
L L L
L L
L L
L
(37)
Специфику вычисления имеют только элементы первого и последнего столбцов блочной матрицы (37).
В силу идентичности структуры выражений для функционала при 1, 2,..., 1S T получим однотипные
выражения для элементов (блоков) матрицы Гессе:
2 1
1
1
1
2S S L A V S
(38)
2 1 11 1 1
1
2 2 2
T T
S S
1L B R S B V S A V S A
(39)
2 1
1
1
1
2
T
S S L V S A
(40)
Для , с учетом слагаемых содержащих 0S 0 при ,S S 1 , имеем:
2 1 1
0 0 0 1
2 2
L B R B V
1 1T (41)
2 1
1 0
1
2
TL V A
(42)
Для S T
2 1 11 1 1
1
2 2 2
T T
T T
1L B R T B V T AV T A
(43)
2 1
1 1T T L AV T
(44)
Блочно-ленточная структуры матрицы Гессе позволяет существенно упростить и уменьшить
размерность вычислений в процедуре поиска экстремума двойственного функционала, так в (31)
упрощается вычисление квадратичной формы:
2 2
0
2
1
0
2 , 1
TT T
k k k kk k
S S
S
T T
k kk k
S S
S
S L S S S L S S S
S S L S S S S
(45)
Выводы: В данной работе, алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации с
декомпозицией по временным индексам построен без предположения диагональности матрицы B в
ограничениях (9) и матрицы Гессе, которая в данном случае имеет блочно-ленточную структуру.
Полученный алгоритм может применяться для решения более широкого класса задач оптимального
оперативного планирования и управления многосвязными, линейными, дискретно-динамическими
системами, с квадратичным функционалом качества.
Источники и литература:
1. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем / М. Месарович ,
Д. Мако, И. Такахара. – М. : Мир, 1975 – 344c.
2. Хэмди А. Таха. Введение в исследование операций, 6-е издание / А. Таха Хэмди. – М. : Издательский
дом «Вильямс», 2001. – 912 с.
3. Лэсдон Л. С. Оптимизация больших систем / Л.С. Лэсдон – М. : Наука, 1975 – 432 с.
4. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельблау. – М. : Мир, 1975 – 534
с.
5. Tamura H. Decentralized optimization of discrete systems with distributed delays / H. Tamura // Pergamon
Press, Great Britain, Automatica – 1975 – Vol.11. – P. 593-602.
kultura_narodov_prichernomorya_2013_no244 + содержание 106
kultura_narodov_prichernomorya_2013_no244 + содержание 107
kultura_narodov_prichernomorya_2013_no244 + содержание 108
kultura_narodov_prichernomorya_2013_no244 + содержание 109
kultura_narodov_prichernomorya_2013_no244 + содержание 110
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-91091 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-0808 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:03:40Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Матвеев, В.В. Титаренко, В.Н. Титаренко, Д.В. 2016-01-08T07:51:37Z 2016-01-08T07:51:37Z 2012 Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации / В.В. Матвеев, В.Н. Титаренко, Д.В. Титаренко // Культура народов Причерноморья. — 2012. — № 244. — С. 106-110. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-0808 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/91091 519.863 + 65.012.122 В работе рассмотрен алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации с квадратичным критерием качества и линейными ограничениями на переменные состояния и управления методом декомпозиции по временным индексам для систем с блочно-ленточной структурой матрицы Гессе для двойственного функционала. У роботі розглянуто алгоритм рішення задачі дискретно-динамічної оптимізації з квадратичним критерієм якості та лінійними обмеженнями на змінні стану та управління методом декомпозиції за індексами часу для систем з блочно-стрічкової структурою матриці Гессе для двоїстого функціоналу. This paper deals with the algorithm for solving the problem of discrete-dynamical optimization with quadratic quality criteria and linear constraints on state and control variables by decomposition on time indexes method for systems with block-band structure of the Hessian matrix for the dual functional. ru Кримський науковий центр НАН України і МОН України Культура народов Причерноморья Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации Декомпозіція за індексами часу та дворівневій алгорітм вирішення задачи дискретно-динамічної оптимізації Тime-indexes decomposition and two-leveled algorythm of solving of discrete-dynamical optimization problem Article first published |
| spellingShingle | Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации Матвеев, В.В. Титаренко, В.Н. Титаренко, Д.В. Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| title | Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации |
| title_alt | Декомпозіція за індексами часу та дворівневій алгорітм вирішення задачи дискретно-динамічної оптимізації Тime-indexes decomposition and two-leveled algorythm of solving of discrete-dynamical optimization problem |
| title_full | Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации |
| title_fullStr | Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации |
| title_full_unstemmed | Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации |
| title_short | Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации |
| title_sort | декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации |
| topic | Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| topic_facet | Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/91091 |
| work_keys_str_mv | AT matveevvv dekompoziciâpovremennymindeksamidvuhurovnevyialgoritmrešeniâzadačidiskretnodinamičeskoioptimizacii AT titarenkovn dekompoziciâpovremennymindeksamidvuhurovnevyialgoritmrešeniâzadačidiskretnodinamičeskoioptimizacii AT titarenkodv dekompoziciâpovremennymindeksamidvuhurovnevyialgoritmrešeniâzadačidiskretnodinamičeskoioptimizacii AT matveevvv dekompozícíâzaíndeksamičasutadvorívnevíialgorítmviríšennâzadačidiskretnodinamíčnoíoptimízacíí AT titarenkovn dekompozícíâzaíndeksamičasutadvorívnevíialgorítmviríšennâzadačidiskretnodinamíčnoíoptimízacíí AT titarenkodv dekompozícíâzaíndeksamičasutadvorívnevíialgorítmviríšennâzadačidiskretnodinamíčnoíoptimízacíí AT matveevvv timeindexesdecompositionandtwoleveledalgorythmofsolvingofdiscretedynamicaloptimizationproblem AT titarenkovn timeindexesdecompositionandtwoleveledalgorythmofsolvingofdiscretedynamicaloptimizationproblem AT titarenkodv timeindexesdecompositionandtwoleveledalgorythmofsolvingofdiscretedynamicaloptimizationproblem |