Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации

В работе рассмотрен алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации с квадратичным критерием качества и линейными ограничениями на переменные состояния и управления методом декомпозиции по временным индексам для систем с блочно-ленточной структурой матрицы Гессе для двойственного функц...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Культура народов Причерноморья
Date:	2012
Main Authors:	Матвеев, В.В., Титаренко, В.Н., Титаренко, Д.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Кримський науковий центр НАН України і МОН України 2012
Subjects:	Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/91091
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации / В.В. Матвеев, В.Н. Титаренко, Д.В. Титаренко // Культура народов Причерноморья. — 2012. — № 244. — С. 106-110. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859723502228078592
author	Матвеев, В.В. Титаренко, В.Н. Титаренко, Д.В.
author_facet	Матвеев, В.В. Титаренко, В.Н. Титаренко, Д.В.
citation_txt	Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации / В.В. Матвеев, В.Н. Титаренко, Д.В. Титаренко // Культура народов Причерноморья. — 2012. — № 244. — С. 106-110. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Культура народов Причерноморья
description	В работе рассмотрен алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации с квадратичным критерием качества и линейными ограничениями на переменные состояния и управления методом декомпозиции по временным индексам для систем с блочно-ленточной структурой матрицы Гессе для двойственного функционала. У роботі розглянуто алгоритм рішення задачі дискретно-динамічної оптимізації з квадратичним критерієм якості та лінійними обмеженнями на змінні стану та управління методом декомпозиції за індексами часу для систем з блочно-стрічкової структурою матриці Гессе для двоїстого функціоналу. This paper deals with the algorithm for solving the problem of discrete-dynamical optimization with quadratic quality criteria and linear constraints on state and control variables by decomposition on time indexes method for systems with block-band structure of the Hessian matrix for the dual functional.
first_indexed	2025-12-01T11:03:40Z
format	Article
fulltext	Малик М.А. МІСЦЕ УКРАЇНСЬКОЇ ЕКОНОМІКИ В СУЧАСНИХ ІНТЕГРАЦІЙНИХ ПРОЦЕСАХ 106 2. Геєць В. М. Інноваційний шлях розвитку та економічного зростання / В. М. Геєць // Утвердження інноваційної моделі розвитку економіки України. Мат-ли наук-практ. конф. – К : НТТУ «КПІ», 2003. – С 38-56. 3. Амоша А. И. Неоиндустриализация и новая промышленная политика Украины / А. И. Амоша, В. П. Вишневский, Л. А. Збаразская // Економіка промисловості. – 2012. – № 1-2. – С. 3-32. 4. Четыре года Украины в ВТО : Кто выиграл, а кто проиграл [Електронний ресурс] / Сайт «Комсомольская правда в Украине». – Режим доступу : http://kp.ua/daily/170512/337974/ 5. Мунтиян В. И. Об интеграции Украины в цифрах / В. И. Мунтиян // Евразийская экономическая интеграция Научно-аналитический журнал. – 2011. – №3. – С.5-9. 6. European Union – EEAS (European External Action Service) \| Ukraine [Електронний ресурс]. – Режим доступу : http://eeas.europa.eu/ukraine/ 7. Ивантер В. В. Экспертная оценка возможных макроэкономических эффектов экономического сотрудничества Украины со странами Единого экономического пространства / В. В. Ивантер, В. М. Геец и др. // Економіка і прогнозування. – 2011. – № 4. – С. 9-26. 8. Макогон Ю. В. Глобализация и Украина в мировой экономике / Ю. В. Макогон, Т. В. Орехова // Донецк: ДонНУ, 2004. – 478 с. 9. European Union - Eurostat \| CIS-EU – trade in goods [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://epp.eurostat.ec.europa.eu/statistics_explained/index.php/CIS-EU_trade_in_goods 10. Довгаль Е. А. Развитие международного сотрудничества регионов в процессе глобализации / Е. А. Довгаль // Вчені записки Харківського гуманітарного інституту "Народна українська академія" : научное издание. Т. 14. – Харків : НУА, 2008. – 618 с. 11. Пирожков С. І. Глобалізація та інноваційна діяльність в Україні / С.І. Пирожков // Утвердження інноваційної моделі розвитку економіки України. Матеріали науково-практичної конференції. – К. : НТУУ «КПІ». – 2003. – С. 143. Матвеев В.В., Титаренко В.Н., Титаренко Д.В. УДК 519.863 + 65.012.122 ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПО ВРЕМЕННЫМ ИНДЕКСАМ И ДВУХУРОВНЕВЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Аннотация. В работе рассмотрен алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации с квадратичным критерием качества и линейными ограничениями на переменные состояния и управления методом декомпозиции по временным индексам для систем с блочно-ленточной структурой матрицы Гессе для двойственного функционала. Анотація. У роботі розглянуто алгоритм рішення задачі дискретно-динамічної оптимізації з квадратичним критерієм якості та лінійними обмеженнями на змінні стану та управління методом декомпозиції за індексами часу для систем з блочно-стрічкової структурою матриці Гессе для двоїстого функціоналу. Summary. This paper deals with the algorithm for solving the problem of discrete-dynamical optimization with quadratic quality criteria and linear constraints on state and control variables by decomposition on time indexes method for systems with block-band structure of the Hessian matrix for the dual functional. Основная сложность в решении задач дискретно-динамической оптимизации экономических систем связана с «большой размерностью» традиционных алгоритмов и методов решения [3]. Для решения проблемы «размерности» задач дискретно-динамической оптимизации используются методы многоуровневых иерархических систем [1], методы декомпозиции по временным индексам [5]. Цель статьи: В работе предлагается декомпозиция по временным индексам задачи оптимизации с квадратичным критерием и линейными ограничениями и решение ее путем приведения к задаче поиска экстремума двойственного функционала Лагранжа. Процедуру поиска экстремума двойственного функционала предлагается строить с учетом особенностей блочно-ленточной структуры матрицы Гессе, характерной для линейных многосвязных объектов. В общем виде математическая модель последовательного технологического процесса может быть представлена балансовым уравнением        SCSQBSYASY 1 (1) с ограничением на переменные состояния и управления   maxmin iii YSYY  (2)   maxmin iii QSQQ  (3) где вектор - переменные состояния, компоненты  SY  SYi которого являются запасами ресурса в - ой подсистеме в момент времени i TS ,...,2,1 вектор  SQ - переменные управления, имеющие смысл передачи ресурса в момент времени S в i -ую подсистему, Mi 2,1 ,..., http://kp.ua/daily/170512/337974/ http://eeas.europa.eu/ukraine/ http://epp.eurostat.ec.europa.eu/statistics_explained/index.php/CIS-EU_trade_in_goods Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ 107 A - диагональная матрица размерности NN  , значения - КПД i -ой подсистемы iia B - матрица MN  с элементами: 1, если ресурс поступил в -ую подсистему 1,если ресурс выбыл из -ой подсистемы 0,в остальных случаях j i j j Q i b Q i       (4) С - матрица KN  1, если прогнозное поступление ресурса в -ую подсистему 1,если прогнозный отток ресурса из -ой подсистемы j i j j i b i        (5) Критерий оптимальности функционирования динамической системы есть квадратичная форма отклонений показателей эффективности от плановых значений, заявленных или технологически целесообразных значений переменных состояния и управления:                                    0 1 1 1 1 1 T T T T S I Y T Y T V T Y T Y T Y S Y S V S Y S Y S Q S Q S R S Q S Q S                             (6) где    SQSY , - соответственно векторы "желательных" значений переменных состояния и управления,  V S - положительно определенная, диагональная матрица N N , - положительно определенная, диагональная матрица  R S M M , Элементы матриц V и R имеют смысл коэффициентов штрафа за отклонение переменных состояния и управления от "желательных" значений. Замена переменных             Z S Y S Y S U S Q S Q S     (7) В новых переменных задача формулируется: найти                        , 0 min 1 1 1T Z S U S T T T S J Z T V T Z T Z S V S Z S U S R S U S               (8) при ограничениях:          1Z S A Z S B U S C S D        S (9) где:      ( 1)D S Y S A Y S B Q S      (10) В работе рассматривается решение задачи оптимизации без учета простых двусторонних ограничений на переменные состояния и управления, в предположении, что в процессе нормального функционирования системы эти условия выполняются. Лагранжиан задачи имеет вид:                               0 1 1 1 1 T T T T T S L Z T V T Z T Z S V S Z S U S R S U S S Z S A Z S B U S C S D S                               (11) где - вектор множителей Лагранжа.  S Решение сформулированной задачи методами статической оптимизации нежелательно ввиду большой размерности эквивалентной задачи статической оптимизации    2 1M N T   ). Использование двухуровневой процедуры оптимизации методом декомпозиции по временным индексам позволяет существенно снизить размерность решаемых задач. Сущность метода декомпозиции по временным индексам состоит в том, что в Лагранжиане (11) выделяются слагаемые сходной структуры, отличающиеся друг от друга только значениями временных индексов и поэтому обладающие одним и тем же алгоритмом нахождения оптимального решения. Алгоритм оптимизации двухуровневый: на нижнем уровне решается ряд однотипных задач малой размерности при фиксированных значениях вектора   , 0,1,...,S S T  , на верхнем уровне рассчитываются множители Лагранжа   , 0,1,...,S S T  , обеспечивающие согласованность задач верхнего уровня. Фиксируя векторы   , 0,1,...,S S T  , выделим в (11) группы слагаемых. 1. Для 0S                             0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T T L Z V Z U R U A Z B U C A Y B Q                   0 (12) Матвеев В.В., Титаренко В.Н., Титаренко Д.В. ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПО ВРЕМЕННЫМ ИНДЕКСАМ И ДВУХУРОВНЕВЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ 108 где , -заданы.    0 , 0Y Z 1,2,...,2. Для S T                                  1 T T T T L S Z S V S Z S U S R S U S S A Z S B U S C S A Y S B Q S S Z S Y S                         (13) 3. Для 1S T                1 1 1 1 1T TL T Z T V T Z T T Z T Y T 1            (14) Из (12)-(14) видно, что из задач 1T  1T  (для 0 S T 1   ) имеют одинаковую формальную запись. Задача алгоритмов нижнего уровня состоит в определении  Z S и  U S , минимизирующих (8)-(9) при заданном значении . Из-за сходства оптимизационных моделей, при алгоритмы решения задач для всех временных индексов, кроме первого (  S 1,2,...,S  T 0S  ) и последнего ( ), являются однотипными, что упрощает решение исходной задачи. 1S T  Двухуровневая процедура оптимизации. Задача нижнего уровня состоит в отыскании локально оптимальных (при фиксированном  S ) значений . Задача верхнего уровня - корректировка вектора ,U Z   , 0,1,...S S T 1   * для нахождения оптимального решения исходной задачи (8)-(9). 1. Вычисление локально оптимальных значений векторов * * , , ,Z U V Q проводится из условия , .   0U L S    0Z L S  а) Для 0S          0 0 2 0 0 0 0T U L R U B     (15) откуда       11 0 0 2 TU R B  0 (16)        * 11 0 0 0 2 TQ Q R B   0 (17) б) Для 1, 2,...,S T          2 0T U S L S R S U S B S     (18) откуда      * 11 2 TU S R S B S  (19)        * 11 2 TQ S Q S R S B S   (20)            2 1T Z S L S V S Z S A S S      0 (21) и          * 1 11 1 1 2 2 TZ S V S A S V S S      (22)          * 1 11 1 1 2 2 TY S Y S V S A S V S       (23) в) Для 1S T           1 1 2 1 1 0Z T L T V T Z T T        (24)     * 11 1 1 2 Z T V T     T (25)       * 11 1 1 1 2 Y T Y T V T T       (26) Подставляя найденные выражения для локально-оптимальных значений векторов    ,Z S U S и, соответственно,  Y S и  Q S в (12)-(14), получим аналитическое выражение двойственного функционала исходной задачи как функцию вектора 0,1,..., 1S T   . В силу линейности уравнения (9) и выражений для , Z U относительно вектора , двойственный функционал после подстановки представляет собой квадратичную форму множителей Лагранжа. После подстановки в (12)-(14) и упрощения получим:  Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ 109                           * 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 T T T T T L Z V Z B R B C A Y B             1 0 T Q   (27)                                        * 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 1 1 1 2 4 1 T T T T T T T T L S S A V S A S S Y S S S A Y S S S B R S B S S C S A Y S B Q S S Y S                                      (28)         * 11 1 1 4 T T TL T T V T T Y T           1 (29)      * * * * 1 0 1 T S L L L S L T      (30) Максимизация двойственного функционала Согласно теореме Куна - Таккера, оптимальному решению (8)-(9) соответствует максимум двойственного функционала (11). Ввиду большой размерности (12)-(14) для поиска оптимального вектора , доставляющего максимум функционалу (11), применим итеративную процедуру типа Флетчера – Ривса [4], обеспечивающую достижение экстремума за конечное число шагов оптимизации. Привлекательность метода состоит в том, что не требуется проводить операции обращения матриц большой размерности.  Алгоритм решения задачи 1. Задается произвольное значение    0 S для 0,1,...,S T . В точке  0 определяется направление нового поискового шага  0S .     0 0S L   где   0L  - градиент двойственного функционала по  , в точке  0 . 2. На k-ом шаге с помощью процедуры одномерного поиска (определения максимальной длины шага в направлении  kS ) находится максимум  L  , что в свою очередь определяет новую точку  1k :                    1 2 k kT k k T k k k L S S S L S              k  где - матрица вторых производных двойственного функционала.  2 kL  3. Вычисляется   1kL  и .   1kL    4. Определяется новое направление  1S k                    1 1 1 1 1 k kT k k k kT L L S L L L                       kS (32) 5. Если выполняется неравенство:  kS  (33) где  некоторая произвольная константа, то процедура поиска останавливается, иначе, поиск циклически повторяется с п.2 с заменой  k на  1k и  kS на  1kS  .        0 1 ... ...S T        (34) Соответственно:                 * * * 0 10 1 ... TL L L L             T (35) Как видно из (13)               * * *1S L S Z S A Z S B U S C S D S          (36) Определение матрицы вторых производных 2 L (матрицы Гессе) Из (11) видно, что в Лагранжиан входят перекрестные произведения векторов с разными временными индексами, поэтому матрица Гессе не может быть представлена в виде прямой суммы матриц , то есть будет содержать не только диагональные блоки      2 S S L      2 1 1S S L    ,   2  S S L  , но и внедиагональные и .     2 1S S L       2 1S S L   Таким образом, матрица Гессе имеет блочно-ленточную структуру: Матвеев В.В., Титаренко В.Н., Титаренко Д.В. ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПО ВРЕМЕННЫМ ИНДЕКСАМ И ДВУХУРОВНЕВЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ 110                                                     2 2 0 0 0 1 2 2 2 1 0 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T T T T T T T T T L L L L L L L L L L L L                                                                        L (37) Специфику вычисления имеют только элементы первого и последнего столбцов блочной матрицы (37). В силу идентичности структуры выражений для функционала при 1, 2,..., 1S T  получим однотипные выражения для элементов (блоков) матрицы Гессе:     2 1 1 1 1 2S S L A V S       (38)          2 1 11 1 1 1 2 2 2 T T S S 1L B R S B V S A V S A            (39)      2 1 1 1 1 2 T S S L V S A       (40) Для , с учетом слагаемых содержащих 0S   0 при   ,S S 1  , имеем:        2 1 1 0 0 0 1 2 2 L B R B V     1 1T  (41)     2 1 1 0 1 2 TL V A    (42) Для S T           2 1 11 1 1 1 2 2 2 T T T T 1L B R T B V T AV T A          (43)      2 1 1 1T T L AV T      (44) Блочно-ленточная структуры матрицы Гессе позволяет существенно упростить и уменьшить размерность вычислений в процедуре поиска экстремума двойственного функционала, так в (31) упрощается вычисление квадратичной формы:                                            2 2 0 2 1 0 2 , 1 TT T k k k kk k S S S T T k kk k S S S S L S S S L S S S S S L S S S S                         (45) Выводы: В данной работе, алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации с декомпозицией по временным индексам построен без предположения диагональности матрицы B в ограничениях (9) и матрицы Гессе, которая в данном случае имеет блочно-ленточную структуру. Полученный алгоритм может применяться для решения более широкого класса задач оптимального оперативного планирования и управления многосвязными, линейными, дискретно-динамическими системами, с квадратичным функционалом качества. Источники и литература: 1. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем / М. Месарович , Д. Мако, И. Такахара. – М. : Мир, 1975 – 344c. 2. Хэмди А. Таха. Введение в исследование операций, 6-е издание / А. Таха Хэмди. – М. : Издательский дом «Вильямс», 2001. – 912 с. 3. Лэсдон Л. С. Оптимизация больших систем / Л.С. Лэсдон – М. : Наука, 1975 – 432 с. 4. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельблау. – М. : Мир, 1975 – 534 с. 5. Tamura H. Decentralized optimization of discrete systems with distributed delays / H. Tamura // Pergamon Press, Great Britain, Automatica – 1975 – Vol.11. – P. 593-602. kultura_narodov_prichernomorya_2013_no244 + содержание 106 kultura_narodov_prichernomorya_2013_no244 + содержание 107 kultura_narodov_prichernomorya_2013_no244 + содержание 108 kultura_narodov_prichernomorya_2013_no244 + содержание 109 kultura_narodov_prichernomorya_2013_no244 + содержание 110
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-91091
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1562-0808
language	Russian
last_indexed	2025-12-01T11:03:40Z
publishDate	2012
publisher	Кримський науковий центр НАН України і МОН України
record_format	dspace
spelling	Матвеев, В.В. Титаренко, В.Н. Титаренко, Д.В. 2016-01-08T07:51:37Z 2016-01-08T07:51:37Z 2012 Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации / В.В. Матвеев, В.Н. Титаренко, Д.В. Титаренко // Культура народов Причерноморья. — 2012. — № 244. — С. 106-110. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-0808 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/91091 519.863 + 65.012.122 В работе рассмотрен алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации с квадратичным критерием качества и линейными ограничениями на переменные состояния и управления методом декомпозиции по временным индексам для систем с блочно-ленточной структурой матрицы Гессе для двойственного функционала. У роботі розглянуто алгоритм рішення задачі дискретно-динамічної оптимізації з квадратичним критерієм якості та лінійними обмеженнями на змінні стану та управління методом декомпозиції за індексами часу для систем з блочно-стрічкової структурою матриці Гессе для двоїстого функціоналу. This paper deals with the algorithm for solving the problem of discrete-dynamical optimization with quadratic quality criteria and linear constraints on state and control variables by decomposition on time indexes method for systems with block-band structure of the Hessian matrix for the dual functional. ru Кримський науковий центр НАН України і МОН України Культура народов Причерноморья Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации Декомпозіція за індексами часу та дворівневій алгорітм вирішення задачи дискретно-динамічної оптимізації Тime-indexes decomposition and two-leveled algorythm of solving of discrete-dynamical optimization problem Article first published
spellingShingle	Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации Матвеев, В.В. Титаренко, В.Н. Титаренко, Д.В. Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
title	Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации
title_alt	Декомпозіція за індексами часу та дворівневій алгорітм вирішення задачи дискретно-динамічної оптимізації Тime-indexes decomposition and two-leveled algorythm of solving of discrete-dynamical optimization problem
title_full	Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации
title_fullStr	Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации
title_full_unstemmed	Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации
title_short	Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации
title_sort	декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации
topic	Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
topic_facet	Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/91091
work_keys_str_mv	AT matveevvv dekompoziciâpovremennymindeksamidvuhurovnevyialgoritmrešeniâzadačidiskretnodinamičeskoioptimizacii AT titarenkovn dekompoziciâpovremennymindeksamidvuhurovnevyialgoritmrešeniâzadačidiskretnodinamičeskoioptimizacii AT titarenkodv dekompoziciâpovremennymindeksamidvuhurovnevyialgoritmrešeniâzadačidiskretnodinamičeskoioptimizacii AT matveevvv dekompozícíâzaíndeksamičasutadvorívnevíialgorítmviríšennâzadačidiskretnodinamíčnoíoptimízacíí AT titarenkovn dekompozícíâzaíndeksamičasutadvorívnevíialgorítmviríšennâzadačidiskretnodinamíčnoíoptimízacíí AT titarenkodv dekompozícíâzaíndeksamičasutadvorívnevíialgorítmviríšennâzadačidiskretnodinamíčnoíoptimízacíí AT matveevvv timeindexesdecompositionandtwoleveledalgorythmofsolvingofdiscretedynamicaloptimizationproblem AT titarenkovn timeindexesdecompositionandtwoleveledalgorythmofsolvingofdiscretedynamicaloptimizationproblem AT titarenkodv timeindexesdecompositionandtwoleveledalgorythmofsolvingofdiscretedynamicaloptimizationproblem

Декомпозиция по временным индексам и двухуровневый алгоритм решения задачи дискретно-динамической оптимизации

Institution

Similar Items