Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах
Для случая двумерных потенциальных течений проанализированы усредненные во времени геометрические конфигурации (виброравновесия) ограниченного объема идеальной жидкости, находящейся в прямоугольном сосуде, совершающем высокочастотные поступательные вибрации. В исследованиях использованы концепция кв...
Saved in:
| Date: | 2002 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2002
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/920 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах / А.Н. Тимоха // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 1. — С. 50-71. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859669915427930112 |
|---|---|
| author | Тимоха, А.Н. |
| author_facet | Тимоха, А.Н. |
| citation_txt | Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах / А.Н. Тимоха // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 1. — С. 50-71. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Для случая двумерных потенциальных течений проанализированы усредненные во времени геометрические конфигурации (виброравновесия) ограниченного объема идеальной жидкости, находящейся в прямоугольном сосуде, совершающем высокочастотные поступательные вибрации. В исследованиях использованы концепция квазипотенциальной энергии и предположение о малости волновых чисел. Указаны частные точные аналитические решения. Исследование общего случая базируется на прямой численной минимизации функционала квазипотенциальной энергии. Для решения вспомогательной задачи о волновой функции, являющейся ограничением-связью, построена модификация метода Нистрема-Кресса. Теоретически описаны экспериментальные феномены ``сплющивания'' и вибростабилизации свободной поверхности жидкости, а также ``переворота'' (``переориентации'' жидкости, ее локализацию около одной из вертикальных стенок) и ``провала'' (равномерного растекания жидкости между стенками с образованием ``каверны'' в центре), проявляющиеся при горизонтальных вибрациях сосуда. Обсуждаются результаты расчетов виброравновесий для условий земной гравитации (больших чисел Бонда) и полной невесомости (отсутствия массовых сил). Указано на многозначность решения и зависимость виброравновесия от переходных процессов. Подтверждено теоретически, что эффект ``переворота'' более вероятен для малых глубин, в то время как ``провал'' характерен для немалых глубин жидкости. Получены первые теоретические результаты, описывающие ``сплющивание'' и вибростабилизацию висящей капли на вибрирующей пластинке, в том числе и для случая пренебрежимо малого поверхностного натяжения (больших чисел Бонда).
Для випадку двовимірних потенціальних течій проаналізовані осереднені за часом геометричні конфігурації (вівброрівноваги) обмеженого об'єму ідеальної рідини, яка знаходиться в прямокутній посудині, що здійснює високочастотні поступальні вібрації. У дослідженнях використано концепцію квазіпотенціальної енергії й припущення про малість хвильових чисел. Вказано часткові точні аналітичні рішення. Дослідження загального випадку базується на прямій чисельній мінімізації функціонала квазіпотенціальної енергії. Для розв'язку допоміжної задачі про хвильову функцію, яка є обмеженням-зв'язком, побудовано модифікацію методу Ністрема-Креса. Теоретично описано експериментальні феномени ``сплющування'' й вібростабілізації вільної поверхні рідини, а також ``перевороту'' (``переорієнтації'' рідини, її локалізацію біля однієї з вертикальних стінок) і ``провалу'' (рівномірного розтікання рідини між стінками з утворенням ``каверни'' у центрі), які проявляються при горизонтальних вібраціях посудини. Обговорюються результати розрахунків віброрівноваг для умов земної гравітації (великих чисел Бонда) і повної невагомості (відсутності масових сил). Вказано на багатозначність розв'язку й залежність віброрівноваги від перехідних процесів. Підтверджено теоретично, що ефект ``перевороту'' більш ймовірний для малих глибин, у той час як ``провал'' є характерним для немалих глибин рідини. Отримано перші теоретичні результати, що описують ``сплющування'' й вібростабілізацію висячої краплі на вібруючій пластинці, у тому числі і для випадку, коли поверхневим натягом можна знехтувати (великі числа Бонда).
For case of two-dimensional potential flows, time-averaged geometrical configurations (vibroequilibria) of limited volume of ideal liquid in a rectangular vessel, showing high-frequency forwards vibrations, are analysed. A concept of quasipotential energy and supposition of smallness of the wave numbers is used. Particular exact analytical solutions are stated. The study of a general case is based on straight numeral minimization of a functional of quasipotential energy. Auxiliary boundary problem on the wave function, being a limitation-tie, is solved by modified Nystrom-Kress method. Theoretical description is given for experimental phenomena of ``flattening'' and vibrostabilization of free liquid surface, ``overturn'' (``reorientation'' of the liquid, its localization near one of vertical walls) and ``dip'' (even spreading of the liquid between the walls with a ``cavity'' forming in the center), that occur under horizontal vibrations of the vessel. Numerical results for vibroequilibria under conditions of the Earth gravitation (large Bond's numbers) and zero-gravity (lack of mass forces) are discussed. Non-uniqueness of solution and dependence of vibroequilibrium on transitional processes are stated. It is confirmed theoretically that an ``overturn'' is more probable for small depths, while a ``dip'' is typical for non-small depths of the liquid. Preliminary theoretical results, describing the '' flattening'' and vibrostabilization of a drop hanging on vibrating plate are obtained, including the case of negligibly small surface-tension (large Bond's numbers).
|
| first_indexed | 2025-11-30T13:30:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
УДК 532.595
ПЛАНИМЕТРИЯ ВИБРОРАВНОВЕСИЙ
ПРИ МАЛЫХ ВОЛНОВЫХ ЧИСЛАХ
А. Н. Т ИМ ОХ А
Институт математики НАН Украины, Киев
Получено 8.01.2002
Для случая двумерных потенциальных течений проанализированы усредненные во времени геометрические кон-
фигурации (виброравновесия) ограниченного объема идеальной жидкости, находящейся в прямоугольном сосуде,
совершающем высокочастотные поступательные вибрации. В исследованиях использованы концепция квазипотен-
циальной энергии и предположение о малости волновых чисел. Указаны частные точные аналитические решения.
Исследование общего случая базируется на прямой численной минимизации функционала квазипотенциальной энер-
гии. Для решения вспомогательной задачи о волновой функции, являющейся ограничением-связью, построена моди-
фикация метода Нистрема –Кресса. Теоретически описаны экспериментальные феномены “сплющивания” и вибро-
стабилизации свободной поверхности жидкости, а также “переворота” (“переориентации” жидкости, ее локализацию
около одной из вертикальных стенок) и “провала” (равномерного растекания жидкости между стенками с обра-
зованием “каверны” в центре), проявляющиеся при горизонтальных вибрациях сосуда. Обсуждаются результаты
расчетов виброравновесий для условий земной гравитации (больших чисел Бонда) и полной невесомости (отсут-
ствия массовых сил). Указано на многозначность решения и зависимость виброравновесия от переходных процессов.
Подтверждено теоретически, что эффект “переворота” более вероятен для малых глубин, в то время как “провал”
характерен для немалых глубин жидкости. Получены первые теоретические результаты, описывающие “сплющи-
вание” и вибростабилизацию висящей капли на вибрирующей пластинке, в том числе и для случая пренебрежимо
малого поверхностного натяжения (больших чисел Бонда).
Для випадку двовимiрних потенцiальних течiй проаналiзованi осередненi за часом геометричнi конфiгурацiї (вiв-
брорiвноваги) обмеженого об’єму iдеальної рiдини, яка знаходиться в прямокутнiй посудинi, що здiйснює високоча-
стотнi поступальнi вiбрацiї. У дослiдженнях використано концепцiю квазiпотенцiальної енергiї й припущення про
малiсть хвильових чисел. Вказано частковi точнi аналiтичнi рiшення. Дослiдження загального випадку базується
на прямiй чисельнiй мiнiмiзацiї функцiонала квазiпотенцiальної енергiї. Для розв’язку допомiжної задачi про хви-
льову функцiю, яка є обмеженням-зв’язком, побудовано модифiкацiю методу Нiстрема –Креса. Теоретично описано
експериментальнi феномени “сплющування” й вiбростабiлiзацiї вiльної поверхнi рiдини, а також “перевороту” (“пере-
орiєнтацiї” рiдини, її локалiзацiю бiля однiєї з вертикальних стiнок) i “провалу” (рiвномiрного розтiкання рiдини мiж
стiнками з утворенням “каверни” у центрi), якi проявляються при горизонтальних вiбрацiях посудини. Обговорю-
ються результати розрахункiв вiброрiвноваг для умов земної гравiтацiї (великих чисел Бонда) i повної невагомостi
(вiдсутностi масових сил). Вказано на багатозначнiсть розв’язку й залежнiсть вiброрiвноваги вiд перехiдних про-
цесiв. Пiдтверджено теоретично, що ефект “перевороту” бiльш ймовiрний для малих глибин, у той час як “провал”
є характерним для немалих глибин рiдини. Отримано першi теоретичнi результати, що описують “сплющування”
й вiбростабiлiзацiю висячої краплi на вiбруючiй пластинцi, у тому числi i для випадку, коли поверхневим натягом
можна знехтувати (великi числа Бонда).
For case of two-dimensional potential flows, time-averaged geometrical configurations (vibroequilibria) of limited volume
of ideal liquid in a rectangular vessel, showing high-frequency forwards vibrations, are analysed. A concept of quasipotential
energy and supposition of smallness of the wave numbers is used. Particular exact analytical solutions are stated. The
study of a general case is based on straight numeral minimization of a functional of quasipotential energy. Auxiliary
boundary problem on the wave function, being a limitation-tie, is solved by modified Nyström –Kress method. Theoretical
description is given for experimental phenomena of “flattening” and vibrostabilization of free liquid surface, “overturn”
(“reorientation” of the liquid, its localization near one of vertical walls) and “dip” (even spreading of the liquid between
the walls with a “cavity” forming in the center), that occur under horizontal vibrations of the vessel. Numerical results for
vibroequilibria under conditions of the Earth gravitation (large Bond’s numbers) and zero-gravity (lack of mass forces)
are discussed. Non-uniqueness of solution and dependence of vibroequilibrium on transitional processes are stated. It is
confirmed theoretically that an “overturn” is more probable for small depths, while a “dip” is typical for non-small depths
of the liquid. Preliminary theoretical results, describing the ” flattening” and vibrostabilization of a drop hanging on
vibrating plate are obtained, including the case of negligibly small surface-tension (large Bond’s numbers).
ВВЕДЕНИЕ
Задача о нелинейном плескании ограниченного
объема жидкости в сосуде, совершающем посту-
пательные или угловые гармонические вибрации с
фиксированной частотой и амплитудой, является
одной из самых старых, но, по-прежнему, актуаль-
ных задач волновой гидродинамики. Обзор боль-
шинства известных теоретических и эксперимен-
тальных результатов в этой области можно найти
в статье Неволина (1984) [1], в книге Луковского
и Тимохи (1995) [2] или во введении к статье Фал-
тинсена и Тимохи (2001) [3]. Большинство цитиру-
емых исследований посвящены резонансным вол-
нам, для которых частота вибраций сосуда близ-
ка к одной из собственных частот линейных ко-
лебаний жидкости относительно ее гидростатиче-
ского положения, определяющегося объемными и
поверхностными потенциальными силами. Нали-
чие точного или приближенно-аналитического ре-
шения задачи о гидростатическом равновесии яв-
ляется основным требованием аналитических тео-
50 c© А. Н. Тимоха, 2002
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
рий резонансных плесканий, базирующихся на ме-
тодах теории возмущений. При этом гидростати-
ческое равновесия ассоциируется с нулевым при-
ближением в асимптотических схемах и является
средним во времени положением жидкого объе-
ма (mean fluid domain). Попытка обобщить по-
добные асимптотические подходы для описания
ряда нерезонансных явлений, в том числе иссле-
дуемых в данной работе, оказывается безрезуль-
татным. Основной причиной такого положения
дел является противоречие с экспериментальными
данными, устанавливающими, что среднее во вре-
мени положение жидкости существенно отличае-
тся от ожидаемого гидростатического. В этом слу-
чае возникает понятие квазистатического положе-
ния равновесия.
Изначально такие квазистатические равновесия,
отличные от капиллярных, были обнаружены на
границе раздела двух жидкостей близкой плотно-
сти в экспериментах Вольфа (1969) [4]. Позднее
эти результаты были подтверждены Безденежных
с соавторами (1984) [5]. Эксперименты проводи-
лись в земных условиях в лотках большой ши-
рины, так что поверхностным натяжением можно
было пренебречь. Однако, вместо ожидаемого пло-
ского рельефа, при горизонтальных вибрациях ло-
тка наблюдались квазистатические волнообразные
рельефы. Пионерской теоретической работой, ис-
следовавшей этот феномен, следует, по-видимому,
считать статью Любимова и Черепанова (1986) [6].
Обзор современного состояния проблемы и некото-
рые новые экспериментальные данные можно най-
ти в статьях Хеннера с соавторами (1999) [7], а
также Ла Рокка с соавторами (2002) [8]. Другим
известным примером, когда гармоническое нагру-
жение ограниченного объема жидкости приводит
к экзотическим квазистатическим конфигурациям
свободной границы, является случай высокочасто-
тных вибраций сосуда с жидкостью. Первые экспе-
рименты, зафиксировавшие отличие вибрацион-
ных квазистатических рельефов от капиллярных,
и, кроме того, подтвердившие гипотезу о возмо-
жной вибрационной стабилизации свободной по-
верхности, были проведены в 1960–1970-ых годах.
Кроме дискутируемых ниже работ Вольфа (1969,
1970) [4,9], Ганиева с соавторами (1977) [10] и Лю-
бимова с соавторами (1981) [11], интересующие-
ся читатели могут найти описание ряда экспери-
ментальных результатов и некоторых теоретиче-
ских подходов к их объяснению в обзорах Неволи-
на (1984) [1], Луковского и Тимохи (1999) [12], а
также Бейера с соавторами (2001) [13].
Важно, что высокочастотные вибрации могут не
только искривлять среднее положение свободной
границы, но даже приводить к разрыву односвя-
зного объема на несколько устойчивых жидких
порций. Фактически, речь идет о том, что в рас-
сматриваемых случаях “вибросилы” (см. классиче-
скую работу Капицы (1952) [14], где было введено
такое понятие) зачастую не просто соизмеримы с
другими потенциальными силами, но и могут быть
доминирующим фактором, влияющим на геоме-
трию и устойчивость ограниченного объема жид-
кости. В общем случае, задача может быть сфор-
мулирована как задача о вибрационном (акустиче-
ском) позиционировании жидкости. Практическая
мотивация решения таких задач связана с созда-
нием новых космических бесконтактных техноло-
гий (см. обзоры теоретических и эксперименталь-
ных работ Луковского и Тимохи (2001) [15], отче-
ты оригинальных экспериментальных данных, по-
лученных на борту Второй американской косми-
ческой лаборатории в работах Ванга (1996) [16],
Апфеля с соавторами (1998) [17] и Ли с соавто-
рами (1998) [18], в рамках программы НАСА KC-
135 Ванисом с соавторами (1999) [19] или в рамках
Европейской программы экспериментов MICREX
Лирке (1991) [20]). Несмотря на это, в научной
литературе можно найти лишь небольшое коли-
чество аналитических работ, исследующих такие
феномены.
Ряд сложностей математического характера, ко-
торые необходимо преодолеть для создания аде-
кватных теорий, описаны, например, в работе Ти-
мохи (1997) [21] и обзоре Луковского и Тимо-
хи (1999) [12]. Главными из упомянутых сложно-
стей являются селекция и параметрическое пред-
ставление допустимых геометрических конфигу-
раций жидкости, решение специальных краевых
задач со свободной границей, описывающих взаи-
мовлияние вибросил и квазиравновесных состоя-
ний, а также исследование устойчивости динами-
ческого равновесия. Строгий математический ана-
лиз возникающих при этом краевых и вариацион-
ных задач был дан в работе Бейера с соавтора-
ми (2001) [13]. Там же квазистатические конфи-
гурации объема жидкости при высокочастотных
вибрациях сосуда получили название виброравно-
весий (vibroequilibria). В то же время, Бейер с со-
авторами (2001) [13] не дают ни качественного, ни
численного анализа возможных геометрических
конфигураций виброравновесий. Подобные приме-
ры имеются лишь в работах Луковского и Тимо-
хи (1995) [2], а также Тимохи (1997) [21]. Однако
в цитируемых статьях исследуются лишь простей-
шие ситуации, в которых виброравновесия совпа-
дают с гидростатическим положением (или асим-
птотически близки к нему) либо, исходя из экспе-
А. Н. Тимоха 51
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
риментальных данных, существует возможность
прогнозировать форму виброравновесия.
Данная работа продолжает аналитические ис-
следования, проведенные Тимохой (1997) [21] и
Бейером с соавторами (2001) [13] в рамках конце-
пции виброравновесий. Нами будут рассмотрены
некоторые геометрически сложные виброравнове-
сия в случае поступательных вибраций цилиндри-
ческого сосуда прямоугольного сечения. Направ-
ляющий вектор вибраций считается параллель-
ным одной из граней. Рассматриваются двумер-
ные потенциальные (в плоскости вибраций) тече-
ния. Основной целью данной работы является ана-
лиз виброравновесий в случае высокочастотных
горизонтальных вибраций сосуда и качественное
объяснение известных из экспериментальных ра-
бот Любимова с соавторами (1981) [11], а также
Ганиева с соавторами (1977) [10] эффектов “пере-
ворота” и “провала”. При этом, следуя преприн-
ту Тимохи (1992) [22] и статье Бейера с соавто-
рами (2001) [13], задача определения устойчивых
виброравновесий будет рассматриваться в рам-
ках минимизации функционала квазипотенциаль-
ной энергии, когда волновое число вибрационно-
го поля в жидкости мало. Поскольку такой фун-
кционал в качестве ограничения-связи имеет спе-
циальную смешанную краевую задачу, особое ме-
сто в построении численного метода будет уде-
лено обобщению метода Нистрема – Кресса инте-
гральных уравнений, ассоциированных с такими
задачами в областях с угловыми точками. В до-
полнение к исследованию виброравновесий в пря-
моугольном сосуде нами будут анонсированы ре-
зультаты анализа форм равновесия капли, лежа-
щей (висящей) на вибрирующей с высокой часто-
той пластине. Кроме феномена “сплющивания” ка-
пли под действием вибрации, будет показано, что
для достаточно высоких частот приложения вися-
щая капля может удерживаться на вибрирующей
пластине даже в том случае, когда поверхностное
натяжение пренебрежимо мало по отношению к
гравитационным силам.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Вариационная формулировка Бейера с соавто-
рами (2001) [13]. Пусть течения жидкости Qf , ча-
стично заполняющей абсолютно твердый сосуд Q
(рис. 1, а), идеальны и потенциальны, а площадь
контакта между жидкостью и стенками сосуда яв-
ляется множеством ненулевой меры. Предполага-
ется, что сосуд совершает гармонические высо-
кочастотные поступательные вибрации со скоро-
стью v=−νA sin(νt)(a1, a2, a3). Циклическая ча-
стота возбуждения ν , амплитуда вибраций A и на-
правляющий вектор (a1, a2, a3) являются постоян-
ными. При этом A – малая величина, по отно-
шению к линейным размерам объема жидкости
(сосуда) l, а частота возбуждения ν значительно
больше, чем первый собственный тон колебания
жидкости в сосуде. Кроме того, ν−1=O(A/l).
Бейер с соавторами (2001) [13], введя в рассмо-
трение усредненные во времени геометрические
конфигурации жидкостиQ0 =〈Qf〉 (виброравнове-
сия), ограниченные усредненными смоченной (S)
и свободной (Σ0) поверхностями, показали, что
устойчивые конфигурации Q0 могут быть найде-
ны из принципа минимума квазипотенциальной
энергии, принимающего для обезразмеренной за-
дачи следующий вид:
Π(Q0) = η1(|Σ0| − cosα|S|)−
−η2
∫
Q0
(g1x+ g2y + g3z)dQ+
∫
Q0
(|∇ψ|2−
−k2(ψ − a1x− a2y − a3z)
2)dQ→
Q0
min,
(1)
при ограничениях-связях
Q0 ⊂ Q,
∫
Q0
dQ = V = const (2)
и
∆ψ + k2ψ = k2(a1x+ a2y + a3z) в Q0,
∂nψ = 0 на S, ψ = a1x+ a2y + a3z на Σ0.
(3)
Здесь соотношение (2) является условием сохране-
ния объема, а смешанная краевая задача (3) опре-
деляет ψ(x, y, z) – волновую функцию пульсацион-
ных (акустических) течений в Q0. Здесь | · | обозна-
чает площадь поверхности; g=(g1, g2, g3), |g|=1 –
направляющий единичный вектор гравитационно-
го поля; α – угол смачивания; k – волновое чи-
сло; ∂n – нормальная производная (внешняя к Q0).
Введенные безразмерные неотрицательные числа
η1 и η2 обратно пропорциональны ν2 и соответ-
ствуют соотношениям между поверхностным на-
тяжением, объемными (гравитационными) силами
и так называемой “вибрационной энергией” (усре-
дненной кинетической энергией высокочастотных
пульсаций объема жидкости), выражаемой после-
дним интегральным членом в формуле (1).
Планиметрическая постановка при k�1. Рас-
смотрим поступательные вибрации цилиндриче-
ского открытого сосуда прямоугольного сечения,
так что g и a компланарны и лежат в плоско-
сти Oxz. Задача описания виброравновесий мо-
52 А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
0Σ
z
S
x
Q
g
a
y
f
0
a
a3
S
Q
x
z
1
Σ
g1
g
3 f
а б
Рис. 1. Эскиз виброравновесия и принятые обозначения:
а – в общем (трехмерном) случае, б – в рамках двумерных течений в прямоугольном баке
Q0 Q0Q0
x
z
*
*
а б в
Рис. 2. Рассматриваемые допустимые положения жидкости в открытом прямоугольном сосуде:
а – “криволинейная трапеция”, б – “криволинейный треугольник”, в – “капля”
Q0
Q0 Q0
a a a
а б в
Рис. 3. Виброравновесия в открытом прямоугольном сосуде при η1 =η2 =0
(поверхностное натяжение и объемные силы пренебрежимо малы)
А. Н. Тимоха 53
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
жет быть сведена к двумерной (рис. 1, б). Пред-
положив дополнительно, что волновые числа ма-
лы (k�1), приходим к упрощенной вариационной
формулировке (1) – (3) вида
Π(Q0) = η1(|Σ0| − cosα|S|)−
−η2
∫
Q0
(g1x+ g3z)dQ+
∫
Q0
|∇ψ|2dQ→
Q0
min
(4)
при ограничении-связи
∆ψ = 0 в Q0, ∂nψ = 0 на S,
ψ = a1x+ a3z = w(x, z) на Σ0
(5)
и условии сохранения объема (2), где “объем” свя-
зывается с площадью Q0 в сечении Oxz, а все ин-
тегралы в (4) и (2) предполагаются двумерными.
Заметим, что малость k физически эквивален-
тна предположению о несжимаемости жидкости.
Это допустимо в случае, когда частота возбужде-
ния значительно меньше минимального собствен-
ного акустического тона в Q0. Ранее несжимае-
мость постулировалась в работах Любимова и Че-
репанова (1986) [6], в некоторых примерах, рассмо-
тренных Тимохой (1992) [22], а также Хеннером с
соавторами (1999) [7]. В данной работе изучаются
виброравновесия в прямоугольном сосуде в рамках
постановки (2), (4), (5) на допустимых классах ви-
броравновесийQ0, схематически изображенных на
рис. 2. Ограничения на допустимую форму вибро-
равновесия предполагают, что граница области Q0
состоит не более чем из четырех гладких частей,
где лишь одна является криволинейной, а осталь-
ные – смоченные поверхности сосуда. В то время
как гладкость границы очевидна для смоченных
стенок и дна сосуда, гладкость свободной границы
принимается в качестве рабочей гипотезы, кото-
рая может быть аргументирована исключительно
наличием поверхностного натяжения в тех случа-
ях, когда оно не является пренебрежимо малым.
Хотя виброравновесие может быть неодносвязной
областью, т. е. жидкость может разделяться под
действием вибраций на две и более изолированных
подобластей, допустимые виброравновесия пред-
полагаются в рамках этой работы односвязными.
Такое ограничение является незначительным, по-
скольку каждая связная подобласть может быть
рассмотрена независимо.
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ
2.1. Аналитическое решение
Когда поверхностное натяжение и гравитация
пренебрежимо малы по сравнению с вибросилами
(η1 =η2 =0), вариационная задача (2), (4), (5) име-
ет точное аналитическое решение
ψ = C1 = const, a1x+ a3z = C1, (6)
на котором достигается абсолютно минимальное
значение функционала Π=0. Это решение демон-
стрирует тот факт, что вибросилы при отсутствии
других потенциальных сил “сплющивают” грани-
цу Σ0, превращая ее в плоскость, перпендикуляр-
ную направляющему вектору вибрации a, как схе-
матически изображено на рис. 3.
Известно, что гидростатическая (капиллярная)
форма равновесия также может быть плоской. Ин-
тересен случай, когда η2
1+η2
2 6=0, но упомянутые
плоские равновесия совпадают. Это возможно (см.
рис. 3, б) при g1 =g2 =0, |g3|=1, α=π/2 (вектор
g перпендикулярен ко дну, вибрации вертикаль-
ны, а угол смачивания является прямым). Лег-
ко заметить, что если η1, η2>0, g3 =−1 (ускоре-
ние гравитации направлено вниз), то и капилляр-
ная и вибрационная плоские поверхности устойчи-
вы. Если же g3 =1 (гравитация направлена вверх),
то плоская равновесная форма может быть неу-
стойчивой. Для анализа ее устойчивости нужно
вычислить знак второй вариации функционала (4)
или собственные значения оператора Якоби, яв-
ный вид последнего был выведен Бейером с соав-
торами (2001) [13]. Его собственные значения для
решения (6) имеют вид
λk = η1κ
2
k − η2g3 + κkth (κkh),
κk =
πk
2
, k = 1, 2, . . .
(7)
Используя спектральный критерий устойчиво-
сти в форме Бейера с соавторами (2001) [13]:
λk>0, можно найти η2, при которых плоское ви-
броравновесие на рис. 3, б) устойчиво:
g3η2 < η1κ
2
1 + κ1th (κ1h). (8)
Условием устойчивости плоской капиллярной
формы (см. Мышкис с соавторами (1987, 1992)
[23, 24]) будет ограничение на числа Бонда:
√
gl3
σ
= Bo = −
η2g3
η1
> κ2
1. (9)
Простой анализ показывает, что даже если не
выполнено неравенство (9) (капиллярная форма
неустойчива), условие (8) может выполняться (ви-
броравновесие устойчиво), поскольку η1∼η2→0,
nu→∞. Этот факт качественно подтверждает фе-
номен вибростабилизации, установленный экспе-
риментально в работах Вольфа (1969,1970) [4, 9].
54 А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
Детали других экспериментов, описывающих па-
раметрическую стабилизацию свободной поверх-
ности жидкости можно найти в обзоре Неволи-
на (1984) [1]. Такая возможность была теорети-
чески предсказана в книге Луковского и Тимохи
(1995) [2] в рамках маятниковой аналогии и фено-
мена вибростабилизации вертикального маятника
с вибрирующей точкой подвеса, анализируемого
Капицей (1952) [14].
2.2. Численный метод
Явное параметрическое представление прибли-
женного допустимого положения свободной гра-
ницы, удовлетворяющее соотношению (2), и метод
граничных элементов для решения краевой зада-
чи (5) в промежуточных положениях Q0 сводят
вариационную проблему к функции многих пере-
менных. Развиваемый ниже приближенный метод
базируется на прямой численной процедуре опре-
деления локальных минимумов этой функции.
Представление свободной границы. Для гео-
метрических конфигураций, изображенных на
рис. 2, предположим, что уравнение свободной
границы Σ0 допускает нормальный вид z=f(x)
или x=f(z). Функция f(·) связывается с кубиче-
ским сплайном в форме Форсайта с соавторами
(1977) [25]
f(·) ∼= Ai(fk) + Bi(fk)(· − ·i)+
+Ci(fk)(· − ·i)
2 +Di(fk)(· − ·i)
3,
(10)
где коэффициенты Ai, Bi, Ci, Di – функции значе-
ний fk =f(·k) в узлах ·k, k=0, . . . ,M , M≥4 (согла-
сно процедуре Форсайта с соавторами (1977) [25],
строится кубический сплайн без дополнительных
условий на концах отрезка). Это означает, что
граница Σ0 определяется исключительно масси-
вом чисел {fk, k=0, . . . ,M}. В связи с наличи-
ем условия (2), не все fk являются независи-
мыми. Поэтому в наших численных процедурах
массив {fk, k=0, . . . ,M} параметризуется таким
образом: fk =fk(di), k=0, . . . ,M , что вспомога-
тельный массив {dk, k = 0, . . . ,M1} несет в се-
бе независимый набор переменных и условие (2)
выполнено для всех di из области определения.
Видно, что два первых члена функционала (4) за-
висят от f и ее производных, а следовательно, от
массива {dk, k=0, . . . ,M1}. Последний интеграль-
ный член в выражении (4) также зависит от этого
массива и функции ψ(x, z), определяемой из кра-
евой задачи (5), причем
∫
Q0
(∇ψ)2dQ =
∫
Σ0
∂nψwdl. (11)
Равенство (11) означает, что для каждого ша-
га итерационного приближения Q0 для подсчета
последнего интегрального члена функционала (4)
необходимо знать лишь Неймановский след реше-
ния краевой задачи (5) на границу Σ0. В этом
смысле наиболее предпочтительными и быстрыми
являются методы, использующие интегральную
формулировку краевой задачи. Подобные методи-
ки использовались, к примеру, Мизуно и Кода-
но (1990) [26] и Ландрини с соавторами (1999) [27].
Они базировались на интегральных уравнениях,
речь о которых пойдет ниже.
Интегральные уравнения для смешанной крае-
вой задачи (5). Пусть P (ξ, η)∈∂Q0 и P ∗(x, z)∈Q0 –
две произвольные точки на границе и внутренней
области Q0. Представление гармонической фун-
кции через интегралы простого и двойного слоев
(Михлин (1977) [28, с. 207]) имеет вид
ψ(x, z)=
1
2π
∮
∂Q0
[
ln
1
R
∂nP
ψ−ψ∂nP
ln
1
R
]
dΓP , (12)
где R=R(ξ, η; x, z)=
√
(ξ − x)2 + (η − z)2 и
G(P, P ∗)=ln(1/R) – двумерная функция Гри-
на; ∂nP
– символ нормальной производной к ∂Q0
в точке P . В соответствии с правилами для потен-
циалов простого и двойного слоев, интегральное
представление (12) может быть спроектировано на
границу области Q0. Это приведет к соотношению
ω(x,z)ψ(x, z) =
=
∮
∂Q0
[
ln
1
R
∂nP
ψ − ψ∂nP
ln
1
R
]
dΓ(ξ,η),
(13)
где P ∗(x, z)∈∂Q0 и ω(x,z) – телесный угол в точке
P ∗(x, z) (ω(x,z)=π для внутренних точек на глад-
ких участках границы).
След Дирихле ψ=w(x, z) известен на Σ0, в то
время, как условие Неймана ∂nψ=0 выполняется
на оставшейся части границы. Тогда для P ∗∈∂Q0
представление (13) порождает следующее инте-
А. Н. Тимоха 55
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
гральное уравнение:
∫
Σ0
[
Φ ln
1
R
−w∂n(ξ,η)
ln
1
R
]
dΓ(ξ,η)−
−
∫
S
Ψ∂n(ξ,η)
ln
1
R
dΓ(ξ,η) =
= ω(x,z)
{
w(x, z), (x, z) ∈ Σ0,
Ψ(x, z), (x, z) ∈ S,
(14)
где ∂nP
=∂n(ξ,η)
. Это интегральное уравнение свя-
зывает две неизвестные функции:
Φ = ∂nψ на Σ0, Ψ = ψ на S (15)
и, фактически, распадается на систему интеграль-
ных уравнений для гладких частей границы ∂Q0.
Поскольку ∂Q0 имеет не более четырех гладких
частей, а именно: Σ0 (свободная криволинейная
граница), S− (смоченная левая стенка), S+ (смо-
ченная правая стенка) и S0 (дно), то случай “кри-
волинейной трапеции” (см. рис. 2, а) является наи-
более общим. Тогда интегральные уравнения (14)
принимают следующий вид:
1∫
−1
Φ(ξ)
√
1+f ′2(ξ)
[
ln
1
R
]
η=f(ξ)
dξ−
−
1∫
−1
w(ξ)
[
∂η ln
1
R
−f ′(ξ)∂ξ ln
1
R
]
η=f(ξ)
dξ+
+
f(−1)∫
0
Ψ−(η)
[
∂ξ ln
1
R
]
ξ=−1
dη−
−
f(1)∫
0
Ψ+(η)
[
∂ξ ln
1
R
]
ξ=1
dη+
+
1∫
−1
Ψ0(ξ)
[
∂η ln
1
R
]
η=0
dξ =
=π
w(x, f(x)), z=f(x), −1<x<1,
Ψ0(x), z=0, −1<x<1,
Ψ−(z), x=−1, 0<z<f(−1),
Ψ+(z), x=1, 0<z<f(1).
(16)
Здесь Неймановский след
Φ=Φ(x)∈W−1/2([−1, 1]) был определен в со-
отношении (15), а след Дирихле Ψ является
липшицевой функцией на гладких участках
границы S0, S− и S+ (см. Обэн (1972) [29]) и
распадается в совокупность трех независимых
функций:
Ψ =
Ψ0(x), −1 < x < 1,
Ψ−(z), 0 < z < f(−1),
Ψ+(z), 0 < z < f(1),
Ψ0(−1) = Ψ−(0), Ψ0(1) = Ψ+(0).
(17)
Явный вид ядер интегральной системы (16) при-
веден в приложении как для случая “криволиней-
ной трапеции”, так и для случая “криволинейно-
го треугольника” (см. рис. 2, а и б). Заметим, что
большая часть ядер этой системы регулярна (или
имеет устранимые особенности), однако некоторые
из них могут иметь сингулярности на концах ин-
тервала интегрирования, связанные с интеграла-
ми двойного слоя, или логарифмическую сингу-
лярность на интервале интегрирования, связан-
ную с интегралами простого слоя. При этом ха-
рактер сингулярности ядер и решений в окрестно-
сти точек контакта свободной границы с стенками
(дном) может меняться с изменением контактного
угла и кривизны криволинейной границы.
Выбор подходящего “быстрого” метода решения,
который учитывал бы и равномерно покрывал все
возможные сингулярности для допустимых кон-
фигураций Q0, оказался весьма сложной пробле-
мой. Отметим, к примеру, что эти сингулярно-
сти игнорируются методами граничных элементов
низких порядков (см., например, Мизуно и Кода-
ма (1990) [26]). Ландрини с соавторами (1999) [27])
обсуждают эти сингулярности, однако предложен-
ная ими схема высокого порядка, использующая
технику B-сплайнов, также не учитывает сингу-
лярности в угловых точках. Подходящий подход
к решению интегральных уравнений, ассоцииро-
ванных с задачей Дирихле в области с угловой то-
чкой, дается Крессом (1990) [30]. Он базируется на
методе Нистрема и по количеству операций име-
ет тот же порядок, что и перечисленные методы
граничных элементов. Поскольку техника Кресса
учитывает высшую сингулярность в ядрах систе-
мы, в наших расчетах она была выбрана в каче-
стве базовой. Детали обобщения данной методики
на случай системы интегральных уравнений (16)
даны в приложении. В то же время, в рамках этой
работы не анализируются вычислительные аспе-
кты такого обобщенного метода, что является от-
дельной сложной математической проблемой.
56 А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
а б в г
Рис. 4. Фотографии из экспериментальной серии Ганиева с соавторами (1977) [10],
расположенные слева направо в соответствии с возрастанием частоты вибраций
(в и г иллюстрируют симметричные и асимметричные виброравновесия соответственно)
3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ДИСКУССИЯ
Численный метод применялся для качественно-
го описания экспериментальных результатов, уста-
навливающих растекание и дальнейшее “сплющи-
вание” объема жидкости около вертикальных сте-
нок при горизонтальных высокочастотных вибра-
циях сосуда. При этом эксперименты в длин-
ном горизонтальном бассейне (лотке), проведен-
ные в земных условиях Любимовым с соавтора-
ми (1981) [11], фиксируют, в основном, феномен
“переворота”, “переориентации” жидкости (жид-
кий объем удерживается вибрацией около одной
из вертикальных стенок). Этот эффект связыва-
ется в дальнейшем с асимметричным положени-
ем жидкости относительно оси симметрии сосуда
Oz. Эксперименты в невесомости (Ганиев с соав-
торами (1977) [10]) устанавливают, кроме того, фе-
номен “провала” (“каверна” в центре расширяется
вплоть до разделения объема жидкости на при-
близительно два равных объема, локализованных
на противолежащих стенках), описываемый сим-
метричными конфигурациями (рис. 4, в).
Максимальная размерность для сплайн прибли-
жения была M =20, N1 = . . .=N4 =50 для сетки
на границы области Q0. Численная процедура
обычно требовала N1≈ . . .≈N4≈30 и M =10 для
того, чтобы добиться стабилизации четырех – пяти
знаков в равномерной метрике для приближения
свободной границы Σ0. Максимальные размерно-
сти использовались для подсчета критических по-
ложений свободной границы. Минимизация фун-
кционалов (43) и (50) проводилась квазиньюто-
новским методом в версии Каханера с соавтора-
ми (1988) [31]. Число итераций зависело от числа
узлов на границе области и лежало в пределах
А. Н. Тимоха 57
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
’0.05’
’0.1’
’0.18’
’0.21’
’0.5’
’1.0’
Рис. 5. Симметричное растекание жидкости
при горизонтальных вибрациях сосуда.
Глубина жидкости в статическом состоянии h=2,
поверхностное натяжение игнорируется (η1=0).
Виброравновесия отмечены величинами η2.
Критическое значение η2, где жидкость разделяется
на две равных порции (“половинки”), равно 0.205
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
’10.0’
’5.0’
’3.0’
Рис. 6. То же, что и на рис. 5, но для h=0.2.
Критическое значение η2 =2.2
5÷50. Расчеты производились в среде SunOS 5.7.
Время расчета одного виброравновесия зависело
от исходных физических параметров и начально-
го приближения для авторских неоптимизирован-
ных FORTRAN-кодов и оценивалось в пределах
15÷600 секунд.
3.1. Виброравновесия в земных условиях
В этом подразделе будут рассмотрены вибро-
равновесия в условиях земной гравитации, когда
гравитационное ускорение направлено перпенди-
кулярно дну сосуда (g1 =0 и g3 =−1), сосуд ви-
брирует поступательно в горизонтальном направ-
лении (a1 =1, a3 =0), а поверхностным натяжени-
ем можно пренебречь, положив η1 =0. Тогда ви-
броравновесия будут зависеть лишь от значения
η2, характеризующего соотношение между грави-
тацией и вибросилами, а также объема Q0, состав-
ляющего V =2h. Исключая ситуацию η2�1 (ви-
бросилы пренебрежимо малы и виброравновесие
совпадает с плоским гидростатическим положени-
ем жидкости под действием гравитации) и вари-
ант η2�1, рассмотренный аналитически в подра-
зделе 2.1, положим η2∼1. Некоторые случаи ви-
броравновесия представлены на рис. 5 – 9. Расчеты
показывают, что они могут иметь как симметри-
чную, так и асимметричную структуру. Реальная
геометрия виброравновесия зависит от η2, h и на-
чального положения границы (в терминах нашей
итерационной процедуры). Последнее утвержде-
ние означает, что задача о виброравновесии име-
ет не единственное решение. При этом переходные
процессы, происходящие в начальной стадии после
приложения к сосуду вибронагрузки, оказывают
решающее значение на то, какое из решений реа-
лизуется.
Рис. 5 и 6 соответствуют плоскому гидростати-
ческому равновесию, что физически допустимо в
случае, когда волновые переходные процессы пре-
небрежимо малы. Такое начальное приближение
всегда приводит к симметричным виброравнове-
сиям, имеющим “каверну” в центре (жидкость “ра-
стекается” между двумя вертикальными стенка-
ми в пропорции 1:1). Соответствующие симметри-
чные виброравновесия для η2>0.205 (h=2) пока-
заны на рис. 5. При η2≤0.205 примененная чи-
сленная процедура становилась неустойчивой. Это
объясняется тем, что свободная граница “касае-
тся” дна. В предположении, что такое касание с
уменьшением η2 означает разделение области Q0
на две равные порции, расчеты были продолже-
ны для каждой ее “половинки”. При этом была
использована численная процедура для “криволи-
нейных треугольников”.
На рис. 5 даны примеры соответствующих “ле-
вых половинок” области для η2=0.18, 0.1 и 0.05.
Интересно, что для немалых глубин расчеты ука-
зывают, что контактный угол свободной границы с
дном должен быть прямым. При оценке критиче-
ских значений η2, при которых Q0 разделяется на
две “половинки”, предполагалось, что разделение
происходит тогда, когда x∗-координата одной из
них пересечет центр дна (см. рис. 2, б). Безразмер-
ное критическое значение η2 зависело от объема
(глубины h), рис. 7. Кроме того, на рис. 8 показа-
ны критические конфигурации “левых половинок”
для некоторых значений h. Из рисунка видно, что
для малых h (мелкой жидкости) свободная грани-
ца становится геометрически близкой к наклонной
58 А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
’eta_vs_h’
0
η
2
h
versus h η 2
Рис. 7. Зависимость критического значения η2,
при котором объем разделяется на две равные
порции, от объема жидкости V =2h.
Поверхностное натяжение игнорируется (η1 =0)
0
1
2
3
4
5
6
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
’h=1.6’
’h=1.2’
’h=0.7’
’h=0.5’
’h=0.3’
Рис. 8. Зависимость критических квазиравновесий
левой “половинки” объема жидкости V =2h
по отношению к h (граница пересекает центр дна).
Критические значения η2 см. на рис. 7.
Поверхностное натяжение игнорируется (η1 =0)
плоскости. Значит, и “симметричные” конфигура-
ции для мелкой воды должны отличаться от при-
веденных на рис. 5. Это подтверждают виброрав-
новесия для h=0.2, показанные на рис. 6. Здесь
ширина “каверны” становится существенно боль-
шей, а основная масса жидкости позиционируется
и “сплющивается” около стенок. При этом грави-
тационные силы удерживают на дне сосуда лишь
небольшую часть жидкости.
Серия численных результатов, представленная
на рис. 9, посвящена “асимметричным” вибро-
0
1
2
3
4
5
6
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
’0.25’
’0.2’
’0.15’
’0.1’
’0.075’
’0.05’
initial position
g
a
Рис. 9. Зависимость асимметричных
виброравновесий от η2 при h=2.
Поверхностное натяжение игнорируется (η1 =0)
bore
standing
а б
Рис. 10. Некоторые ожидаемые
начальные состояния свободной границы,
обусловленные переходными волнами:
а – для немалых глубин, б – для малых глубин
равновесиям. Она соответствует асимметричным
(треугольным) начальным положениям. Расчеты
показали, что для η2>0.25 такое начальное по-
ложение границы ведет к симметричным вибро-
равновесиям (см. рис. 5). Асимметричные устой-
чивые виброравновесия реализуются для меньших
η2. Интересно, что все асимметричные положения,
которые нам удалось найти численно, сопровожда-
лись “оголением” дна. Возможная причина для та-
кого эффекта состоит в том, что если жидкость
имеет существенную смоченную границу контакта
с обеими вертикальными стенками, она получа-
ет два сонаправленных, соизмеримых по абсолю-
тной величине импульса с противоположных сто-
рон. Это может приводить к равномерному расте-
канию жидкости между этими смоченными стен-
ками.
Принимая во внимание вероятные профили пе-
реходных волн, указанных на рис. 10 (Луковский
и Тимоха (2000) [32] грубо оценивают возникно-
вение этих волновых профилей при h<0.4), мо-
А. Н. Тимоха 59
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
’10.0’
’0.5’
’0.1’
’0.075’
’0.2t’
’0.1t’
Рис. 11. Симметричные виброравновесия
в условиях невесомости (η2 =0, h=2.0, α=π/4).
Профили помечены величинами η1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
’10.0’
’0.5’
’0.1’
’0.2t’
’0.1t’
Рис. 12. То же, что на рис. 11, но при α=π/6
жно с высокой вероятностью предсказать реализу-
емость предпочтительно асимметричных конфи-
гураций для малых h, в то время как большие
глубины связаны с симметричными. Этот вывод
подтверждается экспериментальными результата-
ми Любимова с соавторами (1981) [11], получен-
ными в мелком прямоугольном лотке.
3.2. Виброравновесия в невесомости
Случай полной невесомости соответствует η2 =0
и η1 6=0. Серия соответствующих виброравновесий
на рис. 11 и 12 демонстрирует симметричные фор-
мы для двух контактных углов π/4 и π/6 (гори-
зонтальные вибрации). Подобно случаям, рассмо-
тренным выше, такие симметричные конфигура-
ции обнаруживаются всегда при начальных со-
стояниях, близких к капиллярному равновесию,
или при плоских начальных положениях. Вычи-
сления показывают, что симметричные конфигу-
рации свободной границы в этом случае лишь не-
существенно отличаются от профилей, найденных
в условиях земной гравитации, так что различие
может быть легко объяснено наличием постоян-
ного контактного угла. Далее, при уменьшении
η1 (при увеличении частоты вибраций) симметри-
чные формы также претерпевают разделение на
две связные части (“половинки”), локализованные
около левой и правой стенок. В этом смысле очень
важным является поведение критических η1. В
условиях земной гравитации для виброравновесия
существует критическое значение η1, при котором
Q0 разделяется на две равные части, совпадающие
с величиной η̃1, когда два равных объема сливаю-
тся в один связный объем. В то же время, наши
вычисления установили для случая на рис. 11 и
12 наличие гистерезиса критических значений η1.
Был найден существенный диапазон значений η1,
где сосуществуют одновременно связные и несвя-
зные формы равновесия. Соответствующие про-
фили отмечены метками 0.2t и 0.1t. Такой гистере-
зис объясняется скачком потенциальной энергии,
обусловленной поверхностным натяжением. Нако-
нец, как и в случае “земной гравитации”, обнару-
жены асимметричные равновесия при достаточно
малых η2 и асимметричных начальных положений
границы. Тем самым качественно подтверждаются
экспериментальные выводы Ганиева с соавторами
(1977) [10].
3.3. Виброравновесия капли
Капиллярные формы равновесия капель, кон-
тактирующих с бесконечной абсолютно твердой
пластинкой, детально исследованы в монографиях
Мышкиса с соавторами (1987, 1992) [23, 24]. Была
установлена инвариантность соответствующих ка-
пиллярных профилей по отношению к горизон-
тальным сдвигам. Отсюда следует, что осесимме-
тричные капли устойчивы тогда и только тогда,
когда они устойчивы относительно симметричных
возмущений. Вариационная формулировка (4) да-
ет возможность исследовать двумерный случай
этой проблемы, когда пластина вибрирует вдоль
оси Oz (a‖g). Благодаря полной симметрии зада-
чи, можно применить нашу методику расчета к
половинке капли ABC, как показано на рис. 13.
Симметрия относительно (AB) ведет к тому, что
контактный угол в точке A будет прямым. Сме-
шанная краевая задача (5) должна быть решена
в криволинейном треугольнике ABC, где нулевое
условие Неймана требуется на AB (в связи с сим-
метрией) и на BC, а условие Дирихле выполняется
60 А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
plate
calculated half−drop
CB
A
π/2
α
g a
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
’capillary’
’5.0’
’1.0’
’0.5’
Рис. 13. Эскиз висящей капли Рис. 14. Профили “половинки” висящей
капли на вертикально вибрирующей пластине
в условиях полной невесомости (η2 =0).
Кривые помечены величинами η1;
V =2, α=π/6
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
’Capillary_____0.0’
’Capillary_____0.5’
’Capillary_____0.9’
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
’0.5’
’0.9’
’1.5’
’2.0’
Рис. 15. Капиллярные формы равновесия
“половинки” висящей капли. Кривые помечены
числами Бонда |Bo|=η2/η1; V =2, α=π/6
Рис. 16. Виброравновесия “половинки” висящей капли
(η1 =1). Кривые помечены величинами η2;
V =2, α=π/6
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 0 1 2 3 4 5
’0.2’
’0.4’
’0.6’
’0.725’
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
’0.2’
’0.4’
’0.6’
’0.8’
’1.0’
Рис. 17. Виброравновесия “половинки” висящей
капли. Поверхностное натяжение игнорируется
(η1=0, V =4). Кривые помечены величинами η2.
Критическое значение η2, когда капля срывается
с пластинки, равно 0.73
Рис. 18. То же самое, что и на рис. 17,
но при V =2. Критическое значение η2,
когда капля срывается с пластинки, равно 1.03.
А. Н. Тимоха 61
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
на CA.
На рис. 14 представлены результаты для η2 =0
(полная невесомость). Как и ожидалось, виброси-
лы “сплющивают” каплю. С уменьшением η1 (при
увеличении частоты вибрации) капля “сплющива-
ется” в бесконечно тонкую пленку.
Рис. 15 и 16 демонстрируют зависимость ка-
пиллярных форм и виброравновесия от абсолю-
тной величины числа Бонда |Bo|=η2/η1. (Вектор
гравитации направлен вниз и ожидается потеря
устойчивости со срывом капли с пластинки для
достаточно больших |Bo|.) В предположении, что
вибросилы соизмеримы по влиянию с поверхно-
стным натяжением (η1 =1), наблюдается не толь-
ко “сплющивание” капли, но и изменение крити-
ческих значений числа Бонда, т. е. эффект вибро-
стабилизации. Так, критическое число Бонда для
капиллярных профилей для рис. 15 оценивается
как Bo≈1.02, в то время как наличие вертикаль-
ных вибраций сдвигает его к величине Bo≈2.06
(см. рис. 16).
Когда вибрации отсутствуют и поверхностное
натяжение пренебрежимо мало (η1 =0), то лежа-
щая капля формирует бесконечно тонкую плен-
ку (g3 =1), а висящая капля (g3 =−1) срывается
с пластины под действием гравитации. Еще одна
серия вычислений проведена с целью исследова-
ния устойчивости висящей капли (η1 =0, g3 =−1)
для V =4 и V =2 под действием вибраций (рис. 17
и 18). Эти расчеты продемонстрировали явление
вибростабилизации. Интересно, что, в противопо-
ложность случаю капиллярной жидкости, понятие
угла смачивания в точке A теряет смысл, однако
вычисления всегда дают, что формально он дол-
жен быть прямым.
ВЫВОДЫ
Исследуется задача о формах квазиравнове-
сия ограниченного объема идеальной несжимае-
мой жидкости под действием высокочастотных ви-
браций сосуда (vibroequilibria). Рассматриваются
двумерные течения жидкости в случае поступа-
тельных высокочастотных вибраций цилиндриче-
ского резервуара прямоугольного сечения, причем
трехмерная задача сводится к планиметрической
в площади действия вибраций (направляющий ве-
ктор вибраций и вектор гравитационного ускоре-
ния коллинеарны и параллельны одной из гра-
ней). Поперечные деформации свободной границы
не исследовались. Для определения устойчивых
виброравновесий использовался принцип миниму-
ма квазипотенциальной энергии в форме Бейера
с соавторами (2001) [13], который состоит в ми-
нимизации функционала, суммирующего энергию
поверхностных сил, потенциальную энергию гра-
витационного поля и так называемую “виброэнер-
гию”. Для вычисления последней необходимо ре-
шать смешанную краевую задачу для волновой
функции в варьируемой области.
1. Для частного случая отсутствия поверхно-
стных и массовых потенциальных сил постро-
ены аналитические решения задачи, описыва-
ющие “сплющивание” жидкости под действи-
ем вибраций и стабилизацию плоской капил-
лярной поверхности, экспериментально уста-
новленную Вольфом (1970) [9].
2. Для решения вспомогательной смешанной
краевой задачи построен специальный метод,
являющийся обобщением метода Нистрема –
Кресса. Он обеспечивает малое число опера-
ций и учитывает сингулярности в ядрах соо-
тветствующих интегральных уравнений, свя-
занные с угловыми точками контакта жидко-
сти со стенками (дном).
3. Построен специальный итерационный метод
минимизации функционала на трех типах
допустимых областей: “криволинейная трапе-
ция”, “криволинейный треугольник” и “капля”.
4. Описаны эффекты деформации гидростати-
ческого состояния жидкости под действи-
ем вибраций в условиях земной гравитации
(большие числа Бонда) при горизонтальных
вибрациях сосуда. Показано, что для достато-
чно больших частот вибраций жидкость мо-
жет как разделяться на два равных объема
(феномен “провала”), так и локализовываться
около одной из стенок (эффект “переворота”).
При этом последнее состояние, благодаря ха-
рактерным переходным волнам, более свой-
ственно малым глубинам, что и было установ-
лено ранее в экспериментах Любимова с соав-
торами (1981) [11].
5. Описаны эффекты “провала” и “переворо-
та” в условиях полной невесомости и каче-
ственно подтверждены выводы эксперимен-
тальных исследований Ганиева с соавторами
(1977) [10].
6. Качественно описаны “сплющивание” и вибро-
стабилизация капли, висящей на вертикально
вибрирующей пластинке. Показано, что капля
может удерживаться вибрацией на пластине
даже в том случае, когда поверхностные си-
лы пренебрежимо малы (при больших числах
Бонда).
62 А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
БЛАГОДАРНОСТЬ
Автор выражает благодарность Государствен-
ному фонду фундаментальных исследований
Украины, при частичной финансовой поддержке
которого была выполнена эта работа (Проект
ДФФД N 01.07/096).
1. Неволин В. Г. Параметрическое возбуждение по-
верхностных волн (Обзор) // Инж.-физ. ж.– 1984.–
47, N 6.– С. 1028–1042.
2. Луковский И. А., Тимоха А. Н. Вариационные ме-
тоды в нелинейной динамике ограниченного объе-
ма жидкости.– К.: Ин-т матем. НАН Украины,
1995.– 400 с.
3. Faltinsen O. M., Timokha A. N. Adaptive multi-
modal approach to nonlinear sloshing in a rectangular
tank // J. Fluid Mech.– 2001.– 432.– P. 169–20..
4. Wolf G. H. The dynamic stabilization of the
Rayleigh – Taylor instability and the corresponding
dynamic equilibrium // Z. Physik.– 1969.– 227, N 3.–
P. 291–300.
5. Безденежных Н. К., Брискман В. А., Люби-
мов Д. В., Черепанов А. А., Шаров М. Т. Управ-
ление устойчивостью поверхности раздела жид-
костей с помощью вибраций, электрических и
магнитных полей // Тез. докл. Всесоюз. семи-
нара по гидромеханике и тепломассопереносу в
невесомости.– Черноголовка, 1984.– С. 18–20.
6. Lubimov D. V., Cherepanov A. A. Development of a
steady relief at the interface of fluids in a vibrational
field // Fluid Dynamics.– 1986.– 21.– P. 849–854.
7. Khenner M. V., Lyubimov D. V., Belozerova T. S.,
Roux B. Stability of plane-parallel vibrational flow
in a two-layer system // Eur. J. Mech. B/Fluids.–
1999.– 18.– P. 1085–1101.
8. La Rocca M., Sciortino G., Boniforti M. A. Interfacial
gravity waves in a two-fluid system // Fluid Dynami-
cs Research.– 2002.– 30, N 1.– P. 31–66.
9. Wolf G. H. Dynamic stabilisation of the interchange
instability of a liquid-gas interface // Phys. Rev.
Let.– 1970.– 24, N 9.– P. 444–446.
10. Ганиев Р. Ф., Лакиза В. Д., Цапенко А. С. О дина-
мическом поведении свободной поверхности жид-
кости в условиях, близких к невесомости, при ви-
брационном воздействии // Прикл. мех.– 1977.–
13, N 5.– С. 102–107.
11. Любимов Д. В., Черепанов А. А., Брискман В. А.
Управление устойчивостью свободной поверхно-
сти жидкости переменными полями // II Всесо-
юзн. семинар по гидромеханике и тепломассопе-
реносу в невесомости: Тез. док..– Пермь: ИМСС
УНЦ АН СССР, 1981.– С. 112–114.
12. Луковский И. А., Тимоха А. Н. Нелинейная теория
плескания жидкости в подвижных полостях: клас-
сические и неклассические задачи (обзор) // Во-
просы аналитической механики и ее применений.–
К.: Ин-т матем. НАН Украины, 1999.– С. 169–200.
13. Beyer K., Gawrilyuk I., Guenther M., Lukovsky I.,
Timokha A. Compressible potential flows with
free boundary. Part I: Vibricapillary equilibria //
ZAMM.– 2001.– 81(4).– P. 261–271.
14. Капица П. Л. Маятник с вибрирующим подве-
сом // Успехи физ. наук.– 1952.– 44, N 1.– С. 34–42.
15. Lukovsky, I.A., Timokha, A.N. Sound effect on
dynamics and stability of fluid sloshing in zero-
gravity // Акуст вiсн.– 1999.– 2, N 3.– P. 69–83.
16. Wang T. Drop Physics Module / Drop Dynamics
Experiment // The second United States Microgravi-
ty Laboratory (USML-2). 90-day Science Report.–
March, 1996.– P. 69–71.
17. Apfel R. E., Tian Y., Jankovsky J., Shi T., Chen X.,
Holt R. G., Trinh E., Croonguist A., Thornton K. C.,
Sacco A. Jr., Colemen C., Leslie F. W., Matthi-
esen D. H. Free oscillations and surfactant studies of
superdeformed drops in microgravity // Phys. Rev.
Let.– 1998.– 78, N 10.– P. 1912–1915.
18. Lee C. P., Anilkumar A. V., Hmelo A. B., Wang T. G.
Equilibrium of liquid drops under effects of rotation
and acoustic flattening: Results from USML-2 experi-
ments in space // J. Fluid Mech.– 1998.– 354.– P. 43–
67.
19. Wanis S., Sercovich A., Komerath N. Acoustic shapi-
ng in microgravity: higher order surface shapes.– AI-
AA Pap: 1999, N 99-0954.– 7 p.
20. Lierke E. G., Ed. Acoustic positioning // Summary
review of sounding rocket experiments in fluid science
and material sciences (post-flight).– TEXUS 1 to 20,
MASTER 1 and 2, ESA SP-1132, February, 1991.–
P. 362–365.
21. Тимоха А. Н. Влияние поперечных вибраций сосу-
да на свободную поверхность жидкости // Техн.
мех.– 1997.– вып. 5.– С. 33–41.
22. Тимоха А. Н. Поведение свободной поверхно-
сти жидкости в вибрирующем сосуде. Препринт
92.22.– К.: Ин-т матем. АН Украины, 1992.– 46 с.
23. Myshkis A. D., Babsky V. G., Kopachevskii N. D.,
Slobozhanin L. D., Typsov A. D. Low-gravity
fluid mechanics. Mathematical theory of capillary
phenomena.– Berlin Heidelberg: Springer-Verlag,
1987.– 386 p.
24. Мышкис А. Д., Бабский В. Г., Жуков М. Ю., Ко-
пачевский Н. Д., Слобожанин Л. Д., Тюпцов А. Д.
Методы решения задач гидромеханики для усло-
вий невесомости.– К.: Наук. думка, 1992.– 592 с.
25. Forsythe G. E., Malcolm N. A., Moler C. B.
Computer methods for mathematical computation.–
New York: Prentice-Hall, 1977.– 259 p.
26. Mizuno Akisato, Kodama Yoshihiro Analysis of
nonlinear wave-making phenomena by means of
boundary element method // Res. Repts. Kogakuin
Univ.– 1990.– N 69.– P. 15–20.
27. Landrini M., Grytøyr G., Faltinsen O. M. A B-spline
based BEM for unsteady free-surface flows // J. Ship
Research.– 1999.– 43, N 1.– P. 13–24.
28. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных
производных.– М.: Наука, 1977.– 431 с.
29. Aubin J.-P. Approximation of elliptic boundary-
value problems.– New York: Wiley-Interscience,
1972.– 383 p.
30. Kress R. A Nyström methods for boundary integral
equations in domains with corners // Numer. Math.–
1990.– 58.– P. 145–161.
31. Kahaner D., Moler C., Nash S. Numerical Methods
and Software.– New York: Prentice-Hall, 1988.–
324 p.
32. Lukovsky I. A., Timokha A. N. Steady-state nonli-
near sloshing in a rectangular tank: passage to
shallow water // Доповiдi НАН України.– 2000.–
N 11.– P. 48–51.
А. Н. Тимоха 63
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
ПРИЛОЖЕНИЕ.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИН-
ТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (16)
Область – “криволинейная трапеция”
Представление свободной границы. Когда угол
смачивания α 6=0, то гладкая свободная граница
Σ0 области на рис. 2, а (“криволинейная трапеци-
я”) допускает нормальное представление z=f(x).
Для удовлетворения условия сохранения объема,
принимающего в этом случае вид условия сохра-
нения площади
∫ 1
−1
f(x)dx=V , вводится вспомога-
тельная функция d(x)∈C2([−1, 1]), так что
z = f(x) =
= d(x) −
1
2
1∫
−1
d(x)dx+ h,
(18)
где h=2V – средняя глубина жидкости. Фун-
кция d(x) связывается в дальнейшем с кубиче-
ским сплайном, и, следовательно, формула (18)
порождает сплайн-приближение (10) функции
f(x), где fk, k=0, . . . ,M зависят от dk =d(xk),
k=0, . . . ,M (M1 =M), причем
fk = F (xk, d0, . . . , dM);
f ′(x) = d′(x); f ′′(x) = d′′(x).
(19)
Массив {dk, k=0, . . . ,M1} задает все допустимые
сплайн-приближения Σ0. Заметим, что, в свя-
зи со специальной структурой выражения (18),
представление функции f(x) неоднозначно и
Π(d0, . . . , dM) (функционал, образованный после
подстановки (18)) инвариантен относительно сдви-
говой замены:
Π(d0 + C, . . . , dM + C) = Π(d0, . . . , dM)
для произвольной константы C. Это, однако, яв-
ляется несущественным для процедуры минимиза-
ции, базирующейся на условии ΠN+1<ΠN на ка-
ждом шаге итераций.
Интегральные уравнения для смешанной кра-
евой задачи (5). Система интегральных уравне-
ний (16) принимает следующий вид:
1∫
−1
F11(ξ1, x1)[ϕ(ξ1) − ϕ(x1)]dξ1+
+
1∫
−1
F12(ξ1, x1)ϕ(ξ1)dξ1 + ϕ(x1)F13(x1)+
+
1∫
−1
F14(ξ2, x1)Ψ0(ξ2)dξ2+
+
f(−1)∫
0
F15(η1, x1)[Ψ−(η1) −w(−1)]dη1+
+
f(1)∫
0
F17(η2, x1)[Ψ+(η2) − w(1)]dη2+
+w(−1)F16(x1) + w(1)F18(x1) = πw(x1)−
−
1∫
−1
G11(ξ1, x1)w(ξ1)dξ1, −1 < x1 < 1,
(20)
1∫
−1
F21(ξ1, x2)ϕ(ξ1)dξ1 − πΨ0(x2)+
+
f(−1)∫
0
F22(η1, x2)[Ψ−(η1) − Ψ−(0)]dη1+
+
f(1)∫
0
F24(η2, x2)[Ψ+(η2) − Ψ+(0)]dη2+
+Ψ−(0)F23(x2) + Ψ+(0)F25(x2) =
= −
1∫
−1
G21(ξ1, x2)w(ξ1)dξ1, −1 < x2 < 1,
(21)
64 А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
1∫
−1
F31(ξ1, z1)ϕ(ξ1)dξ1+
+
1∫
−1
F32(ξ2, z1)[Ψ0(ξ2) − Ψ−(0)]dξ2+
+Ψ−(0)F33(z1) − πΨ−(z1)+
+
f(1)∫
0
F34(η2, z1)Ψ+(η2)dη2 =
= −
1∫
−1
G31(ξ1, z1)[w(ξ1) −w(−1)]dξ1−
−w(−1)G32(z1), 0 < z1 < f(−1),
(22)
1∫
−1
F41(ξ1, z2)ϕ(ξ1)dξ1+
+
1∫
−1
F42(ξ2, z2)[Ψ0(ξ2) − Ψ+(0)]dξ2+
+
f(−1)∫
0
F44(η1, z2)Ψ−(η1)dη1−
−Ψ+(0)F43(z2) + πΨ+(z2) =
= −
1∫
−1
G41(ξ1, z2)[w(ξ1) −w(1)]dξ1−
−w(1)G42(z2), 0 < z2 < f(1),
(23)
где ϕ(ξ)=Φ(ξ)
√
1+f ′2(ξ).
Подчеркнутые одной линией ядра имеют сте-
пенные особенности на концах интервала интегри-
рования, а подчеркнутые дважды – логарифмиче-
ские особенности. Аналитические выражения для
этих ядер имеют вид
F11(ξ, x) = − ln |ξ − x|,
F12(ξ, x)=−
1
2
ln
(
1+
(
f(ξ)−f(x)
ξ−x
)2
)
, ξ 6=x,
ln(1+(f ′(x))2), ξ=x
F13(x) = −
1∫
−1
ln |ξ − x|dξ =
=
2 − (1 − x) ln(1 − x)−
−(1 + x) ln(1 + x), −1 < x < 1,
2 − 2 ln 2, x = ±1,
F14(ξ, x) =
f(x)
(ξ − x)2 + f2(x)
,
F15(η, x) =
1 + x
(1 + x)2 + (η − f(x))2
,
F16(x) =
f(−1)∫
0
1 + x
(1 + x)2 + (η − f(x))2
dη =
=
arctg
f(x)
1 + x
− arctg
f(x) − f(1)
x+ 1
, −1<x≤1,
π/2 − arctg f ′0, x=−1,
F17(η, x) =
1 − x
(1 − x)2 + (η − f(x))2
,
F18(x) =
f(1)∫
0
1 − x
(1 − x)2 + (η − f(x))2
dη =
=
arctg
(
f(x) − f(1)
x− 1
)
+
+arctg
f(x)
1 − x
, −1 ≤ x < 1,
arctg f ′(1) + π/2, x = 1,
G11(ξ, x) =
f(ξ) − f(x) − f ′(ξ)(ξ − x)
(ξ − x)2 + (f(ξ) − f(x))2
, ξ 6= x,
−
f ′′(x)
2(1 + f ′2(x))
, ξ = x,
F21(ξ, x) = −
1
2
ln |(ξ − x)2 + f2(ξ)|,
F22(ξ, x) =
1 + x
(1 + x)2 + η2
,
F23(x) =
f(−1)∫
0
1 + x
(1 + x)2 + η2
dη =
=
arctg
f(−1)
1 + x
, −1 < x ≤ 1,
π/2, x = −1,
F24(η, x) =
1 − x
(1 − x)2 + η2
,
А. Н. Тимоха 65
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
F25(x) =
f(1)∫
0
1 − x
(1 − x)2 + η2
dη =
=
arctg
f(1)
1 − x
, −1 ≤ x < 1,
π/2, x = 1,
G21(ξ, x) =
f(ξ) − f ′(ξ)(ξ − x)
(ξ − x)2 + f2(ξ)
,
F31(ξ, z) = −
1
2
ln |(ξ + 1)2 + (f(ξ) − z)2|,
F32(ξ, z) =
z
(1 + ξ)2 + z2
,
F33(z) =
1∫
−1
z
(1 + ξ)2 + z2
dξ =
=
arctg
2
z
, z 6= 0,
π/2, z = 0,
F34(η, z) =
2
4 + (η − z)2
,
G31(ξ, z) =
f(ξ) − z − f ′(ξ)(ξ + 1)
(ξ + 1)2 + (f(ξ) − z)2
,
G32(z) = π −F33(z)−
−
(
arctg
f(1) − z
2
+ arctg
z
2
)
,
F41(ξ, z) = −
1
2
ln((ξ − 1)2 + (f(ξ) − z)2),
F42(ξ, z) =
z
(ξ − 1)2 + z2
,
F43(z) =
1∫
−1
F44(ξ, z)dξ = F33(z),
F44(η, z) =
2
4 + (η − z)2
,
G41(ξ, z) =
f(ξ) − z − f ′(ξ)(ξ − 1)
(ξ − 1)2 + (f(ξ) − z)2
,
G42(z) = π −F43(z)−
−
(
arctg
f(−1) − z
2
+ arctg
z
2
)
Метод Нистрема – Кресса для системы инте-
гральных уравнений (20) – (23). Метод Кресса ба-
зируется на специальных квадратурных форму-
лах. Идея вывода таких квадратурных формул
сводится к следующему.
Рассмотрим интеграл
∫ 1
−1g(x)dx, где подынте-
гральное выражение является гладким в (−1, 1),
но имеет сингулярности на концах x=±1. Пусть
функция η : [−1, 1]→ [−1, 1] является биектив-
ной, строго монотонно возрастающей и кусочно-
бесконечно дифференцируемой, так что η′ имеет
нули определенного порядка на концах интервала
интегрирования. Тогда, произведя замену x=η(t)
1∫
−1
g(x)dx =
1∫
−1
η′(t)g(η(t))dt (24)
и применив метод трапеции к новому интегралу,
получим искомую квадратурную формулу
1∫
−1
g(x)dx ≈
1
N
2N−1∑
i=1
β
(N)
i g(x
(N)
i ) (25)
с весами и узлами, вычисляемыми по формуле
t
(N)
i = i/N, β
(N)
i = η′(ti), x
(N)
i = η(ti),
i = 0, . . . , 2N
(26)
(если это не будет принципиально, для простоты
будем писать wi вместо w
(N)
i и xi вместо x
(N)
i ).
Теоремы, доказанные Крессом (1990) [30], обе-
спечивают сходимость квадратурных формул (25)
и схему метода Нистрема при N→∞. Заметим,
что квадратурные формулы Кресса могут быть
непосредственно применены к регулярным инте-
гралам и к интегралам с ядрами, подчеркну-
тыми одной линией. Дважды подчеркнутые ядра
требуют других квадратурных формул (они бу-
дут построены ниже). При этом для примени-
мости схемы Нистрема необходимо позаботиться
о том, чтобы узлы всех квадратурных формул
совпадали на Σ0, S− и S+. К сожалению, при
применении бесконечно-дифференцируемой заме-
ны η∈C∞([−1, 1]), предложенной Крессом, доби-
ться этого не удается. Подходящая замена, что-
бы удовлетворить условия теорем Кресса для ин-
тегралов двойного слоя и обеспечить метод ква-
дратурными формулами для интегралов с лога-
рифмической особенностью, может быть выбрана
66 А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
как
η(t) =
{
−1 + (t+ 1)p, −1 ≤ t ≤ 0,
1 − (1 − t)p, 0 ≤ t ≤ 1,
η′(t) = p
{
p(t+ 1)p−1, −1 ≤ t ≤ 0,
p(1 − t)p−1, 0 ≤ t ≤ 1,
(27)
где p≥2 – натуральное число. Результирующие ве-
совые коэффициенты в соотношении (25) вычи-
сляются по формуле
βi = p
(ti + 1)p−1, i = 0, . . . , N − 1,
1, i = N,
(1 − ti)
p−1, i = N + 1, . . . , 2N.
(28)
Замена (27) превращает ядра F31 и F41
в непрерывные (p−2)-раза дифференцируемые
функции на [−1, 0]×[0, f(−1)], [0, 1]×[0, f(−1)]
и [−1, 0]×[0, f(1)], [0, 1]×[0, f(1)] соответствен-
но. Следовательно, требуется лишь квадратурная
формула для интеграла с ядром F11, где лога-
рифмическая сингулярность расположена во вну-
тренних точках интервала (−1, 1). После подста-
новки (27) этот интеграл принимает вид
1∫
−1
ϕ(ξ) ln |ξ − xk|dξ =
=
1∫
−1
ϕ(η(t))η′(t) ln |η(t) − xk|dt,
(29)
где k=0, . . . , 2N и
ln |η(t) − xk| =
ln |(t+ 1)p − (1 + xk)|,
−1 ≤ t ≤ 0,
ln |(1− xk) − (1 − t)p|,
0 ≤ t ≤ 1.
(30)
Поскольку (τ
(1)
k )p =1+xk≥0 и (τ
(2)
k )p =1−xk ≥0
при k=0, . . .2N , и они равны нулю лишь для
τ
(1)
0 =τ
(2)
2N =0, то можно записать
ln |η(t) − xk| =
ln |t− κ
(1)
k | + F1(t, τ
(1)
k , p),
t ∈ [−1, 0],
ln |t− κ
(2)
k | + F2(t, τ
(2)
k , p),
t ∈ (0, 1],
при κ
(1)
k =τ
(1)
k −1, κ
(2)
k =1−τ (2). Кроме того,
F1(t, τ
(1)
k , p) = ln
(∑p
i=1(t+ 1)i−1(τ
(1)
k )p−i
)
,
F2(t, τ
(2)
k , p) = ln
(∑p
i=1(1 − t)i−1(τ
(1)
k )p−i
)
,
так что F1 может иметь сингулярную точку при
t=−1, а F2 при t=1, причем η′(t)ϕ(η(t))Fj яв-
ляются регулярными (p−2)-раза дифференциру-
емыми функциями на [−1, 1]. Интеграл (29) будет
0∫
−1
η′(t)ϕ(η(t)) ln |t− κ
(1)
k |dt+
+
1∫
0
η′(t)ϕ(η(t)) ln |t− κ
(2)
k |dt+
+
0∫
−1
η′(t)ϕ(η(t))F1(t, τ
(1)
k , p)dt+
+
1∫
0
η′(t)ϕ(η(t))F1(t, τ
(2)
k , p)dt,
(31)
где регулярные интегральные слагаемые могут
быть подсчитаны по формуле трапеций. Первые
два интеграла (31) требуют специальной ква-
дратурной формулы, которая в настоящей ра-
боте выводится посредством линейной сплайн-
аппроксимации регулярной части:
η′(t)ϕ(η(t)) ∼= Ai + Bi(t− κ
(j)
k ), j = 1, 2.
Это дает
1∫
−1
η′(t)ϕ(η(t))
ln |t−κ
(1)
k |,
t∈ [−1, 0],
ln |t−κ
(2)
k |,
t∈ [0, 1]
dt≈
2N−1∑
i=1
αi,kϕi, (32)
А. Н. Тимоха 67
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
где
αi,k =Nβi
(ti+1−κ
(1)
k )C(ti+1, ti, κ
(1)
k )−
−(ti−1−κ
(1)
k )C(ti, ti−1, κ
(1)
k )+
+D(ti, ti−1, κ
(1)
k )−D(ti+1 , ti, κ
(1)
k ),
i=1, N − 1;
D(tN , tN−1, κ
(1)
k )−D(tN+1 , tN , κ
(2)
k )+
+(tN+1−κ
(2)
k )C(tN+1 , tN , κ
(2)
k )−
−(tN −κ
(1)
k )C(tN , tN−1, κ
(1)
k ),
i=N ;
(ti+1−κ
(2)
k )C(ti+1, ti, κ
(2)
k )−
−(ti−1−κ
(2)
k )C(ti, ti−1, κ
(2)
k )+
+D(ti, ti−1, κ
(2)
k )−D(ti+1 , ti, κ
(2)
k ),
i=N + 1, 2N − 1
(33)
с
C
(j)
i,k =
[
(t− κ
(j)
k ) ln |t− κ
(j)
k |
]ti+1
ti
+ ti − ti+1,
D
(j)
i,k =
[
(t− κ
(j)
k )
2
ln |t− κ
(j)
k | −
(t− κ
(j)
k )2
4
]ti+1
ti
и (t−κ
(j)
k ) ln |t−κ
(j)
k |=0 при t=κ
(j)
k .
Суммируя квадратурные формулы для регуляр-
ных интегралов в выражениях (31) и (32), получа-
ем
1∫
−1
ϕ(ξ) ln |ξ − x|dξ =
=
2N−1∑
i=1
βlog
k,iϕi =
2N−1∑
i=1
ϕi
[
αi,k +
1
N
βiF̂ki
]
,
(34)
где
F̂ki =
F1(ti, τ
(1)
k , p),
i = 1, N − 1,
1
2
(F1(tN , τ
(1)
k , p) + F2(tN , τ
(2)
k , p)),
i = N,
F2(ti, τ
(2)
k , p),
i = N + 1, 2N − 1.
ζ
i , i=1,... ,2N−1
−mesh on the surface
ζ
i , i=1,... ,2N−1
�
�
�
�
−mesh on the walls
ζ
i , i= 0, ... ,2N
ζ
i , i= 0, ... ,2N
mesh on the bottom−
�
�
�
�
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
�
�
�
�
� �
� �
� �
� �
�
�
� �
� �
�
�
� �
� �
�
�
� �
� �
�
�
� �
� �
�
�
� �
� �
�
�
(1)
(2)
(3)
,
(4)
1
2
3
4
Рис. 19. Распределение узлов
для криволинейной трапеции
Теперь, используя узлы квадратурных формул
Кресса в качестве узлов метода Нистрема на ка-
ждом гладком участке границы, как показано на
рис. 19, дискретизируем функции w(x, f) и f(x)
вместе с их производными:
ζ
(1)
i =x
(N1)
i , β
(1)
i =β
(N1)
i ,
fi =f(ζ
(1)
i ), f ′i =f ′(ζ
(1)
i ), f ′′i =f ′′(ζ
(1)
i ),
wi =w(ζ
(1)
i , fi), ϕi =ϕ(ζ
(1)
i ),
i=0, . . . , 2N1,
(35)
и
ζ
(2)
i = x
(N2)
i , β
(2)
i = β
(N2)
i ,
Ψ0i = Ψ0(ζ
(2)), i = 0, . . . , 2N2;
ζ
(3)
i =
f0
2
(x
(N3)
i + 1), β
(3)
i =
f0
2
β
(N3)
i ,
Ψ−i = Ψ−(ζ
(3)
i ), i = 0, . . . , 2N3;
ζ
(4)
i =
f2N1
2
(x
(N4)
i + 1), β
(4)
i =
f2N1
2
β
(N4)
i ,
Ψ+i = Ψ−(ζ
(4)
i ), i = 0, . . . , 2N4;
(36)
где для непрерывной функции Ψ (см.
Обэн (1972) [29]) выполнено
Ψ−(2N3) = w0; Ψ−0 = Ψ00,
Ψ0(2N2) = Ψ+0; Ψ+(2N4) = w2N1 .
(37)
С учетом дискретизации (35), (36) и усло-
вий (37) получаем аппроксимацию инте-
гральных уравнений (20) – (23) относительно
2(N1+N2+N3+N4−1)-мерного вектора, состав-
68 А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
ленного из
ϕi, i = 1, . . . , 2N1 − 1,
Ψ0i, i = 1, . . . , 2N2 − 1,
Ψ−i, i = 0, . . . , 2N3 − 1,
Ψ+i, i = 0, . . . , 2N4 − 1.
(38)
Эти дискретные уравнения метода Нистрема при-
водят к следующей линейной системе:
−
2N1−1∑
i=1
βlog
j,i ϕi+
2N2−1∑
i=1
β
(2)
i F14(ζ
(2)
i , ζ
(1)
j )Ψ0i+
+
2N3−1∑
i=1
β
(3)
i F15(ζ
(3)
i , ζ
(1)
j )Ψ−i+
+
2N4−1∑
i=1
β
(4)
i F17(ζ
(4)
i , ζ
(1)
j )Ψ+i =
= πwj−
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i G11(ζ
(1)
i , ζ
(1)
j )wi−
−w0
[
F16(ζ
(1)
j )−
2N3−1∑
i=1
β
(3)
i F15(ζ
(3)
i , ζ
(1)
j )
]
−
−w2N1
[
F18(ζ
(1)
j )−
2N4−1∑
i=1
β
(4)
i F17(ζ
(4)
i , ζ
(1)
j )
]
,
j=1, . . . , 2N1 − 1,
(39)
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i F21(ζ
(1)
i , ζ
(2)
j )ϕi−πΨ0i+
+Ψ−0
[
F23(ζ
(2)
j )−
2N3−1∑
i=1
β
(3)
i F22(ζ
(3)
i , ζ
(2)
j )
]
+
+
2N3−1∑
i=1
β
(3)
i F22(ζ
(3)
i , ζ
(2)
j )Ψ−i+
+Ψ+0
[
F25(ζ
(2)
j )−
2N4−1∑
i=1
β
(4)
i F24(ζ
(4)
i , ζ
(2)
j )
]
+
+
2N4−1∑
i=1
β
(4)
i F24(ζ
(4)
i , ζ
(2)
j )Ψ+i =
=−
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i G21(ζ
(1)
i , ζ
(2)
j )wi,
j=1, . . . , 2N2 − 1,
(40)
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i F31(ζ
(1)
i , ζ
(3)
j )ϕi+
+
2N2−1∑
i=1
β
(2)
i F32(ζ
(2)
i , ζ
(3)
j )Ψ0i+
+Ψ−0
[
F33(ζ
(3)
j )−
2N3−1∑
i=1
β
(2)
i F32(ζ
(2)
i , ζ
(3)
j )
]
−
−πΨ−j +
2N4−1∑
i=1
β
(4)
i F34(ζ
(4), ζ
(3)
j )Ψ+i =
=−
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i G31(ζ
(1)
i , ζ
(3)
j )[wi−w0]−
−w0G32(ζ
(3)
j ),
j=0, . . . , 2N3 − 1,
(41)
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i F41(ζ
(1)
i , ζ
(4)
j )ϕi+
+
2N2−1∑
i=1
β
(2)
i F42(ζ
(2)
i , ζ
(4)
j )Ψ0i+
+
2N3−1∑
i=1
β
(3)
i F44(ζ
(3)
i , ζ
(4)
j )Ψ−i+
+Ψ+0
[
F43(ζ
(4)
j )−
2N4−1∑
i=1
β
(2)
i F42(ζ
(2)
i , ζ
(4)
j )
]
−
−πΨ+j =−
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i G41(ζ
(1)
i , ζ
(4)
j )×
×[wi−w2N1 ]−w2N1G42(ζ
(4)
j ),
j=0, . . . , 2N4 − 1.
(42)
Функционал. Учитывая соотношения (35), (36)
и тот факт, что решение ϕi системы (39) – (42) за-
висит от fi, f
′
i и f ′′i , приходим, взамен исходного
функционала (4), к функции независимых пере-
менных {dk, k=0, . . . ,M1}
Π(d0, . . . , dM1) =
= η1
(
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i
√
1+(f ′k)2−cosα(2+f0+fM )
)
−
−η2
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i
(
g1ζ
(1)
i fi+g2
f2
i
2
)
+
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i wiϕi.
(43)
А. Н. Тимоха 69
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
ζ
i , i=1,... ,2N−1
−mesh on the surface
ζ
i , i=1,... ,2N−1
�
�
�
�
−mesh on the walls
ζ
i , i= 0, ... ,2N
mesh on the bottom−
�
�
�
�
� �
� �
�
�
!
!
"
"
#
#
$
$
%
%
& &
& &
'
'
(1)
(2)
(3)
,
1
2
3
Рис. 20. Структура узлов
для криволинейного треугольника
Область – “криволинейный треугольник”
Представление свободной границы. Для просто-
ты предположим, что свободная граница допуска-
ет нормальное представление z=f(x) и x∗ являе-
тся координатой точки, где свободная граница пе-
ресекает дно (см. рис. 2, б). Следующая гомотети-
ческая трансформация позволяет свести задачу в
“криволинейном треугольнике” к описанной выше
ситуации при условии, что f(x) пересекает правый
нижний угол треугольника, т. е. f(1)=0:
x = −1 + (x1 + 1)l∗,
z = z1l∗,
x1 = −1 + (x+ 1)/l∗,
z1 = z/l∗,
где l∗=(1+x∗)/2.
В этом случае {fk>0, k=0, . . . , (M−1)}, а
fM =0. Чтобы избавиться от неравенств fi>0, вво-
дится вспомогательный массив {dk, k=0, . . . ,M1},
M1 =M−1 и fi =exp(di), i=0, . . . ,M1.
Заметим, что аналогичная трансформация во-
зможна также для представления x=f(z). Наш
алгоритм учитывал обе возможные ситуации, сме-
на представления свободной границы производи-
лась тогда, когда производные от f становились
достаточно большими при подходе к концам ин-
тервала.
Интегральные уравнения. Интегральные урав-
нения (20) – (23) принимают в случае “криволиней-
ного треугольника” следующий вид:
1∫
−1
F11(ξ1, x1)[ϕ(ξ1) − ϕ(x1)]dξ1+
+
1∫
−1
F12(ξ1, x1)ϕ(ξ1)dξ1 + ϕ(x1)F13(x1)+
+
1∫
−1
F14(ξ2, x1)[Ψ0(ξ2) − w(1)]dξ2 +w(1)F(x)+
+
f(−1)∫
0
F15(η1, x1)[Ψ−(η1) −w(−1)]dη1+
+w(−1)F16(x1) + w(1)F18(x1) =
= πw(x1) −
1∫
−1
G11(ξ1, x1)w(ξ1)dξ1,
−1 < x1 < 1,
(44)
1∫
−1
F21(ξ1, x2)ϕ(ξ1)dξ1 − πΨ0(x2)+
+
f(−1)∫
0
F22(η1, x2)[Ψ−(η1) − Ψ−(0)]dη1+
+Ψ−(0)F23(x2) = −w(1)G22(x)−
−
1∫
−1
G21(ξ1, x2)[w(ξ1) − w(1)]dξ1,
−1 < x2 < 1,
(45)
1∫
−1
F31(ξ1, z1)ϕ(ξ1)dξ1+
+
1∫
−1
F32(ξ2, z1)[Ψ0(ξ2) − Ψ−(0)]dξ2+
+Ψ−(0)F33(z1) − πΨ−(z1) =
= −
1∫
−1
G31(ξ1, z1)[w(ξ1) − w(−1)]dξ1−
−w(−1)G33(z1), 0 < z1 < f(−1),
(46)
70 А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 50 – 71
где введены следующие новые ядра:
F19(x) =
arctg
1 − x
f(x)
+ arctg
1 + x
f(x)
, x 6= 0,
π/2− arctg
1
f ′(x)
, x = 1;
G22(x) =
π − arctg
f(−1)
1 + x
, x 6= −1,
π/2, x = −1;
G33(z) = π −F33(z).
Метод Нистрема. Повторяя процедуру дискре-
тизации предыдущего параграфа в соотношени-
ях (35)–(38), см. рис. 20, вместо системы (39) – (42)
получаем следующую систему линейных уравне-
ний:
−
2N1−1∑
i=1
βlog
j,i ϕi+
2N2−1∑
i=1
β
(2)
i F14(ζ
(2)
i , ζ
(1)
j )Ψ0i+
+
2N3−1∑
i=1
β
(3)
i F15(ζ
(3)
i , ζ
(1)
j )Ψ−i =
= πwj−
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i G11(ζ
(1)
i , ζ
(1)
j )wi−
−w0
[
F16(ζ
(1)
j )−
2N3−1∑
i=1
β
(3)
i F15(ζ
(3)
i , ζ
(1)
j )
]
−
−w2N1
[
F19(ζ
(1)
j )−
2N4−1∑
i=1
β
(4)
i F14(ζ
(4)
i , ζ
(1)
j )
]
,
j=1, . . . , 2N1 − 1,
(47)
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i F21(ζ
(1)
i , ζ
(2)
j )ϕi−πΨ0i+
+Ψ−0
[
F23(ζ
(2)
j )−
2N3−1∑
i=1
β
(3)
i F22(ζ
(3)
i , ζ
(2)
j )
]
+
+
2N3−1∑
i=1
β
(3)
i F22(ζ
(3)
i , ζ
(2)
j )Ψ−i =−w2N1G22(ζ
(2)
j )−
−
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i G21(ζ
(1)
i , ζ
(2)
j )[wi−w2N1 ],
j=1, . . . , 2N2 − 1,
(48)
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i F31(ζ
(1)
i , ζ
(3)
j )ϕi+
+
2N2−1∑
i=1
β
(2)
i F32(ζ
(2)
i , ζ
(3)
j )Ψ0i−πΨ−j+
+Ψ−0
[
F33(ζ
(3)
j )−
2N3−1∑
i=1
β
(2)
i F32(ζ
(2)
i , ζ
(3)
j )
]
=
= −
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i G31(ζ
(1)
i , ζ
(3)
j )[wi −w0]−
−w0G33(ζ
(3)
j ), j=0, . . . , 2N3 − 1.
(49)
Решение (47)–(49) дает вектор ϕi,
i=1, . . . , (2N1−1), зависящий от
{dk, k=1, . . . ,M1}.
Функционал (4) трансформируется в функцию
многих переменных
Π(d0, . . . , dM1)=η1l∗×
×
(2N1−1∑
i=1
β
(1)
i
√
1+(f ′i )
2−cosα(2+f0)
)
−
−η2l
3
∗
(2N1−1∑
i=1
β
(1)
i
(
g1ζ
(1)
i fi+g2
f2
i
2
)
−
−η2g1(l∗−1)V +l2
∗
2N1−1∑
i=1
β
(1)
i wiϕi,
(50)
где
l2
∗
=
V
1∫
−1
f(x)dx
. (51)
А. Н. Тимоха 71
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-920 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T13:30:09Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Тимоха, А.Н. 2008-07-08T16:52:50Z 2008-07-08T16:52:50Z 2002 Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах / А.Н. Тимоха // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 1. — С. 50-71. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/920 532.595 Для случая двумерных потенциальных течений проанализированы усредненные во времени геометрические конфигурации (виброравновесия) ограниченного объема идеальной жидкости, находящейся в прямоугольном сосуде, совершающем высокочастотные поступательные вибрации. В исследованиях использованы концепция квазипотенциальной энергии и предположение о малости волновых чисел. Указаны частные точные аналитические решения. Исследование общего случая базируется на прямой численной минимизации функционала квазипотенциальной энергии. Для решения вспомогательной задачи о волновой функции, являющейся ограничением-связью, построена модификация метода Нистрема-Кресса. Теоретически описаны экспериментальные феномены ``сплющивания'' и вибростабилизации свободной поверхности жидкости, а также ``переворота'' (``переориентации'' жидкости, ее локализацию около одной из вертикальных стенок) и ``провала'' (равномерного растекания жидкости между стенками с образованием ``каверны'' в центре), проявляющиеся при горизонтальных вибрациях сосуда. Обсуждаются результаты расчетов виброравновесий для условий земной гравитации (больших чисел Бонда) и полной невесомости (отсутствия массовых сил). Указано на многозначность решения и зависимость виброравновесия от переходных процессов. Подтверждено теоретически, что эффект ``переворота'' более вероятен для малых глубин, в то время как ``провал'' характерен для немалых глубин жидкости. Получены первые теоретические результаты, описывающие ``сплющивание'' и вибростабилизацию висящей капли на вибрирующей пластинке, в том числе и для случая пренебрежимо малого поверхностного натяжения (больших чисел Бонда). Для випадку двовимірних потенціальних течій проаналізовані осереднені за часом геометричні конфігурації (вівброрівноваги) обмеженого об'єму ідеальної рідини, яка знаходиться в прямокутній посудині, що здійснює високочастотні поступальні вібрації. У дослідженнях використано концепцію квазіпотенціальної енергії й припущення про малість хвильових чисел. Вказано часткові точні аналітичні рішення. Дослідження загального випадку базується на прямій чисельній мінімізації функціонала квазіпотенціальної енергії. Для розв'язку допоміжної задачі про хвильову функцію, яка є обмеженням-зв'язком, побудовано модифікацію методу Ністрема-Креса. Теоретично описано експериментальні феномени ``сплющування'' й вібростабілізації вільної поверхні рідини, а також ``перевороту'' (``переорієнтації'' рідини, її локалізацію біля однієї з вертикальних стінок) і ``провалу'' (рівномірного розтікання рідини між стінками з утворенням ``каверни'' у центрі), які проявляються при горизонтальних вібраціях посудини. Обговорюються результати розрахунків віброрівноваг для умов земної гравітації (великих чисел Бонда) і повної невагомості (відсутності масових сил). Вказано на багатозначність розв'язку й залежність віброрівноваги від перехідних процесів. Підтверджено теоретично, що ефект ``перевороту'' більш ймовірний для малих глибин, у той час як ``провал'' є характерним для немалих глибин рідини. Отримано перші теоретичні результати, що описують ``сплющування'' й вібростабілізацію висячої краплі на вібруючій пластинці, у тому числі і для випадку, коли поверхневим натягом можна знехтувати (великі числа Бонда). For case of two-dimensional potential flows, time-averaged geometrical configurations (vibroequilibria) of limited volume of ideal liquid in a rectangular vessel, showing high-frequency forwards vibrations, are analysed. A concept of quasipotential energy and supposition of smallness of the wave numbers is used. Particular exact analytical solutions are stated. The study of a general case is based on straight numeral minimization of a functional of quasipotential energy. Auxiliary boundary problem on the wave function, being a limitation-tie, is solved by modified Nystrom-Kress method. Theoretical description is given for experimental phenomena of ``flattening'' and vibrostabilization of free liquid surface, ``overturn'' (``reorientation'' of the liquid, its localization near one of vertical walls) and ``dip'' (even spreading of the liquid between the walls with a ``cavity'' forming in the center), that occur under horizontal vibrations of the vessel. Numerical results for vibroequilibria under conditions of the Earth gravitation (large Bond's numbers) and zero-gravity (lack of mass forces) are discussed. Non-uniqueness of solution and dependence of vibroequilibrium on transitional processes are stated. It is confirmed theoretically that an ``overturn'' is more probable for small depths, while a ``dip'' is typical for non-small depths of the liquid. Preliminary theoretical results, describing the '' flattening'' and vibrostabilization of a drop hanging on vibrating plate are obtained, including the case of negligibly small surface-tension (large Bond's numbers). ru Інститут гідромеханіки НАН України Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах Planimetry of vibrocapillary equilibria with small wave numbers Article published earlier |
| spellingShingle | Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах Тимоха, А.Н. |
| title | Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах |
| title_alt | Planimetry of vibrocapillary equilibria with small wave numbers |
| title_full | Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах |
| title_fullStr | Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах |
| title_full_unstemmed | Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах |
| title_short | Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах |
| title_sort | планиметрия виброравновесий при малых волновых числах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/920 |
| work_keys_str_mv | AT timohaan planimetriâvibroravnovesiiprimalyhvolnovyhčislah AT timohaan planimetryofvibrocapillaryequilibriawithsmallwavenumbers |