Что изучает математика?
Saved in:
| Published in: | Культура народов Причерноморья |
|---|---|
| Date: | 1999 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
1999
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/92069 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Что изучает математика? / Н.В. Сафонова // Культура народов Причерноморья. — 1999. — № 6. — С. 429-433. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859733759876661248 |
|---|---|
| author | Сафонова, Н.В. |
| author_facet | Сафонова, Н.В. |
| citation_txt | Что изучает математика? / Н.В. Сафонова // Культура народов Причерноморья. — 1999. — № 6. — С. 429-433. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Культура народов Причерноморья |
| first_indexed | 2025-12-01T14:13:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
1
Сафонова Н. В.
ЧТО ИЗУЧАЕТ МАТЕМАТИКА?
Математика уже давно не черпает свои идеи из
человеческого опыта. Отрыв от эмпирической базы
ныне настолько силен, что возникает неожиданный,
но серьезный вопрос: что изучает математика?
В математической энциклопедии мы можем
прочитать: ”Математика - наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира” [9, стр. 560]. Ни один
математик не согласится с таким узким
определением.
1
Уже с середины ХIХ века
математики замечают, что эта наука изучает не
только количественные отношения.
“Сущность математики, -- говорил Буль в 1854
году, - не состоит в том, чтобы заниматься
идеями числа и величины.”[2, стр. 319]. Г. Грассман,
подобно Булю, настаивает на том, что “название
науки о величинах не подходит к совокупности
математических дисциплин” [2, стр. 320].
Г. Ганкель в 1867 году утверждал, что математика
“имеет своим предметом не совокупность величин
или их образов - чисел, но мысленных
вещей (Gedankending), которым могут
соответствовать действительные объекты или
отношения, хотя такое соответствие
необязательно” [2, стр. 321].
Однако не следует думать, что математиков в
обсуждении этого вопроса охватило редкое
единодушие, и ответ на вопрос “Что изучает
математика?” может не знать только
непосвященный. Я бы даже сказала, что нет другой
такой темы, в которой математики до сих пор не
только не пришли к единому мнению, но даже
противоречат сами себе.
Первое противоречие. Отрыв от эмпирической
базы настолько силен, что математики (эти
любители строгости и ясности) не хотят связывать
взгляды на природу математики с областью своих
занятий. "Никакой руководитель
исследовательских работ какой-либо
промышленной компании не станет интересоваться
метафизическими воззрениями поступающего к
нему на работу математика. Между такого рода
воззрениями и действиями, в которых
заинтересован руководитель, не усматривается
никакой связи. В поисках решения какой-либо
конкретной системы дифференциальных уравнений
все математики мирно объединяются, что не
мешает им яростно спорить за чашкой чаю о
"природе математики" [13, стр.197-198].
Вот ярчайший тому пример. Остается только
удивляться, как члены группы Бурбаки, немало
способствовавшие формализму математики, могли
всерьез полагать, что “каковы бы ни были
философские оттенки, в которые понятия
математических объектов окрашивались у того или
иного математика или философа, имеется по
крайней мере один пункт, в котором они
единодушны: это то, что эти объекты нам даны и не
в нашей власти приписывать им произвольные
свойства, так же как физик не может изменить
какое-либо природное явление. Правду сказать,
составной частью этих воззрений, несомненно
являются реакции психологического порядка, в
которые нам не следует углубляться, но которые
хорошо знакомы каждому математику, когда он
впустую тратит силы, стараясь поймать
доказательство, беспрестанно, как ему кажется,
ускользающее” [2, стр. 317]. На том противоречия
не исчерпываются. Думаю, не погрешу против
истины, если скажу, что практически все
математики с большим удовольствием вступают в
дискуссию о природе математики. И тут возникает
полнейший хаос мнений. Судите сами.
Возьмем, например, следующее признание
Эрмита: “Я полагаю, что числа и функции анализа
не являются произвольным сознанием нашего ума;
я думаю, что они существуют вне нас с такой же
необходимостью, как и предметы объективной
реальности, и мы их встречаем или открываем и
изучаем их так же, как физики, химики, зоологи”
[2, стр. 317].
А вот другое мнение: "Современная математика
изучает конструкцию, отношение которой к
реальному миру по меньшей мере проблематично.
Более того, эта конструкция не единственно
возможная, да и на самом деле не самая
подходящая с точки зрения самой математики" [4,
стр.14].
Джеймс Джинс в своей книге "Загадочная
Вселенная" выражает другую точку зрения:
"Самый важный факт состоит в том, что все
рисуемые наукой картины природы, которые
только могут находиться в согласии с данными
наблюдений, - картины математические… Природа,
по-видимому, очень "хорошо осведомлена" о
правилах чистой математики" [6, стр.231].
2
Не удержусь и приведу свое мнение. Первая
половина правды: математика изучает символы. На
эту идею меня натолкнула статья Г. Вейля "О
символизме математики". [3]. "Для Брауэра
символы, принадлежа, подобно словам, языку,
являются лишь вспомогательными средствами для
представления и передачи математических
положений и мыслей. Для Гильберта символы
3
,
хотя они и ничего не значат, - или даже именно
поэтому, являются субстанцией математики" [3,
стр.64].
Правда, согласившись, что математика изучает
символы (а это довольно-таки прозрачно), мы
получаем новую проблему: что есть символы?
"Всегда остается проблема толкования" [3, стр.57].
Но мы имеем дело с формальной математикой, а
следовательно, вслед за Гильбертом будем
утверждать, что символы ничего не значат. Мы
свободны наделять их каким угодно значением или
не наделять вовсе.
Вторую идею я позаимствовала у А. Пуанкаре.
"Математики изучают не предметы, а лишь
отношения между ними; поэтому для них
безразлично, будут ли одни предметы замещены
430
другими, лишь бы только не менялись их
отношения" [12, стр.26]. На основе этих двух
мнений делаем вывод: математика изучает не
просто символы, а отношения между ними, причем
минимальную их часть она закрепляет
аксиоматически, (например, a b b a), а остальные
получает с помощью логического вывода.
И здесь мы (хоть это немного отдалит нас от
проблемы данной работы) просто обязаны ответить
на вопрос: зачем нам нужна математика в такой
роли? Не является ли математика игрой для
интеллектуалов? Я полагаю, что нет. Роль
символического мышления еще до конца не
определена.
Как не согласиться с Г. Ноаком: "Способность к
пониманию символов, возникающую вместе с
формированием языка, можно считать решающим
шагом, который вывел человека из животной
жизни" [11, стр.97].
И почему в то время, когда явно определился
кризис математики, все больше проявляется новая
тенденция - многие вузы вводят вступительный
экзамен по математике на факультеты, где этот
предмет вовсе не является профилирующим? - Да
потому, что затребованы молодые люди, лучше
других умеющие оперировать символами, а этим
как раз характеризуются "математические
способности". И я спрашиваю: не исключена ли
возможность, что математика вновь станет
"царицей наук", но уже в новом качестве, как
"царица символического мышления"?
Отойдем от патетики и вернемся к реальности.
Такая "умозрительная" область, как "основания
математики", оказалась применима к другим
наукам. "Вряд ли кто мог предположить в начале
нашего века, когда зарождалась математическая
логика, и даже в 30-40-е годы, в пору ее расцвета,
что эта чисто теоретическая дисциплина,
относящаяся скорее к области "философии
математики", найдет практическое применение. И
тем не менее это произошло уже в 50-е годы… а в
70-е годы появился даже термин "вычислительная
логика" [8, стр.331-332].
Вернемся к проблеме данной работы. Как
разобраться в таком количестве мнений о предмете
математики и какое из них ближе к истине? Чтобы
выпутаться из всех несуразностей, необходимо
классифицировать мнения и ввести новую
терминологию. Эту работу прекрасно выполнил
известный логик Хаскелл Б. Карри в статье
“Природа математики” [5]. “Различные точки
зрения на природу математики делятся на две
основные группы. Мы будем называть их
контенсивизмом и формализмом. Согласно
контенсивизму, математика имеет определенный
предмет, определенное содержание; объекты,
фигурирующие в математических утверждениях,
считающихся в математическом обиходе
понятными, - числа, множества, отношения,
функции и т. д., - в каком-то смысле существуют, и
математические утверждения истинны как раз в той
степени, в какой они согласуются с фактами. С
точки же зрения формализма, математика
характеризуется скорее своим методом изучения;
ее объекты или не определяются, или если и
определяются, то таковы, что подлинная их
природа несущественна, так что замена одних
категорий объектов на другие может и не повлиять
на истинность теории. Мы должны, например,
отнести к формализму любую точку зрения,
согласно которой математика имеет дело с
символами, ибо, хотя символику можно и
фиксировать, никто не станет утверждать, что
существенным является выбор конкретной
символики. В противоположность этому для
контенсивизма характерно признание
определенности математических объектов.
Контенсивизм можно далее разделить на две
основные линии. Представители одной из них,
известной под именем платонизма
4
, утверждают, по
сути дела, что понятия числа и множества
существуют в действительности (независимо от
нашего знания о них) и что классическая
математика, хотя и нуждается в более серьезном
обосновании, на самом деле не является
ненадежной. Другие контенсивисты, напротив,
считают, что в математике есть нечто гнилое и что
значительную часть классического анализа нужно
отбросить. Эту разновидность уместно назвать
критическим контенсивизмом. Главенствующая в
настоящее время разновидность критического
контенсивизма называется интуиционизмом [5 стр.
27-29].
Теперь остается рассмотреть все "за" и "против"
каждого направления.
В отношении платонизма картина достаточно
ясна. К концу ХIХ века этого взгляда
придерживались практически все математики. Как
иронично замечает Карри, “вероятно, платонизм -
это тот взгляд, которого более или менее
подсознательно придерживается большинство
математиков, не занимающихся специально
вопросами обоснования. Это также позиция
пионеров математической логики Фреге и Рассела;
ее и сегодня защищают некоторые выдающиеся
логики” [5, стр. 28].
Дело в том, что развитие математики в тот
момент было таково, что родиться другому мнению
время еще не пришло. Отсюда и возникла
путаница, о которой говорилось ранее - по
существу, математики уже занимались развитием
формализованных теорий, но для того, чтобы
сформировалось мнение о том, что изучает
математика, необходимо было обозреть всю
математику в целом (а она только создавалась).
Время суеверий закончилось и для математиков.
На сегодняшний день, по общему мнению,
единственным убежденным платоником среди
современных философов математики является
Пенелопа Мэдди. (Рецензия С. Строголова в
реферативном журнале 13. Математика. Выпуск
свободного тома №3.– М., 1993 г. (3А1К.)). В [7]
"Автор ставит своей целью показать, что
натурализм как философское течение имеет право
на существование в философии математики".
431
Думаю, что, несмотря на столь героические
попытки Пенелопы Мэдди, платонизм себя изжил и
существовать в философии математики может
лишь в качестве исторического факта.
Нам остается рассмотреть все “за и против”
позиции формализма и интуиционизма в решении
вопроса: "что изучает математика?", а это означает,
что мы снова приходим к старой распре двух
течений. В качестве представителей двух школ
возьмем интуициониста Г. Вейля и логика Х.
Карри. В статье “О символизме математики и
математической физики” (1954) [3]. Г. Вейль
нехотя соглашается: ”Однако факт остается
фактом: мы обладаем простым формализмом,
который охватывает всю математику, какую мы
имеем по сей день, и который до сих пор не
приводил к противоречиям” [3, стр.65]; а для
спасения своей концепции выдвигает идею: “Если
формальная математика больше не претендует на
установление истинных утверждений, следует
задать вопрос, какую же тогда цель она вообще
ставит перед собой. Ответ Кузанского и Лейбница,
что математика будто бы отражает в конечных
символах идеи, которыми Бог обладает в
непосредственной интуиции бесконечного, в наше
время находит мало сочувствия, и он, во всяком
случае, слишком односторонне теологичен.
Убедительнее звучит указание на
естественнонаучное применение математики, на
роль, которую она играет при конструктивном
построении теории реального мира в физике. В
этом случае мы можем обратиться к проверке
теоретической конструкции посредством опыта и
предсказаний” [3, стр.66]. Итак, Вейль предлагает
математикам строить конструктивные теории
реального мира в физике и тем самым проверить
математику опытом. Посмотрим, что говорит по
этому поводу современная математика.
На международном конгрессе математиков в
Беркли (1986) в докладе “Физика и геометрия”
Эдвард Виттен говорил: ”Уже не раз в прошлом
задачи, возникавшие в теоретической физике,
влияли на развитие математики, и наоборот,
структуры, впервые появившиеся в математике,
участвовали в развитии физики. До ХХ века самые
яркие примеры тому - роль римановой геометрии в
открытии общей теории относительности и влияние
квантовой механики на развитие функционального
анализа. Эти примеры, однако, связаны с
событиями шестидесяти-семидесятилетней
давности. В последние полвека математика и
физика развивались в различных направлениях, и
взаимодействие этих дисциплин играло меньшую
роль” [10, стр.394]. Далее Виттен указывает на еще
один возможный контакт математики и физики “по
образцу общей теории относительности изобрести
чистым усилием мысли новую математическую
схему, обобщающую риманову геометрию и
способную охватить квантовую теорию поля.
Многие честолюбивые теоретики пытались это
сделать, но из этого пока ничего не вышло.
Прогресс был достигнут совсем другим путем. В
попытке понять механизм сильных взаимодействий
физики пришли в конце 60-х - начале 70-х годов к
исследованию того, что стало потом известным под
именем "струнной теории". На теорию струн
"натолкнулись" случайно или, во всяком случае, на
весьма окольном пути при изучении так
называемой "модели Венециано"
5
[10, стр.396]. На
сегодняшний день “дело обстоит примерно так, как
если бы нам удалось сформулировать общую
теорию относительности в каких-нибудь
искусственных терминах, не ведая ничего о
римановой геометрии; тогда естественно возникла
бы задача построения римановой геометрии как
математического аппарата теории гравитации. Сама
мысль о формулировке общей теории
относительности без римановой геометрии кажется
странной, но именно такая ситуация в струнной
теории. Никто не знает, какой окажется ее
естественная логическая схема” [10, стр.397].
Автор убежден, что “открытие будет знаменовать
начало нового золотого века в истории
взаимодействия физики и математики; но в
будущем нас ожидает лишь конечное число
примеров существенного взаимодействия физики и
математики” [10, стр.397-398].
Следует сказать, практически все математики
уверены, что вся математика не может служить
теоретической базой для физики, она, несомненно,
многограннее и шире. “Перед тем как началось
революционное развитие современной физики,
было потрачено немало труда из-за желания во что
бы то ни стало заставить математику рождаться из
экспериментальных истин; но, с одной стороны,
квантовая физика показала, что эта
“макроскопическая” интуиция действительности
скрывает “микроскопические” явления совсем
другой природы, причем для их изучения
требуются такие разделы математики, которые,
наверное, не были изобретены с целью приложений
к экспериментальным наукам, а с другой стороны,
аксиоматический метод показал, что “истины”, из
которых хотели сделать сосредоточие математики,
являются лишь весьма частным аспектом общих
концепций, которые имеют гораздо более широкое
применение. В конце концов, это интимное
взаимопроникновение, гармонической
необходимостью которого мы только что
восхищались
6
, представляется не более чем
случайным контактом наук, связи между которыми
являются гораздо более скрытыми, чем это
казалось a priori” [2а, стр.258].
Итак, идея Вейля обосновать математику
реальными физическими законами заманчива, но
невыполнима (во всяком случае, в ближайшее
время).
7
Нам остается рассмотреть, какая проблема
возникает в формализме по вопросу о предмете
математики и как ее решает, например, Х.Карри.
“Разновидность формализма, которой
придерживается автор этих строк, утверждает
скорее, что сущность математики заключается в
формальном методе как таковом и что она
включает различные виды формальных теорий, а
также обсуждение взаимоотношения формальных
432
теорий друг с другом и их отношения к другим
доктринам. В этом смысле математика есть наука о
формальных методах” [5, стр.35]. - Это его точка
зрения на предмет математики, а вот как он
отвечает на возражения, выдвинутые против
формализма: ”Зададим, наконец, вопрос: до какой
степени абсолютная надежность присуща
математике? Поиск абсолютной надежности был,
очевидно, основной мотивировкой для концепции
Брауэра и Гильберта. Но нужна ли математике для
своего оправдания абсолютная надежность? Зачем,
скажем, нам так уж нужно быть уверенными в
непротиворечивости теории или в том, что ее
нужно вывести с помощью абсолютно
определенной интуиции чистого времени, прежде
чем использовать эту теорию? Ведь никакой другой
науке мы не предъявляем таких требований.
8
В
физике, например, теории всегда гипотетичны; мы
принимаем теорию, коль скоро на ее основе можно
делать полезные предсказания, и видоизменяем или
отвергаем ее, коль скоро этого сделать нельзя.
Именно так случалось и с математическими
теориями, когда в связи с обнаружением в них
противоречий приходилось модифицировать не
оспариваемые до того времени математические
доктрины. Так почему мы не можем так поступать
в будущем? Используя формалистскую концепцию
для объяснения того, что представляет собой
теория, мы принимаем теорию, коль скоро она
полезна, удовлетворяет некоторым условиям
естественности и простоты, разумным для своего
времени, и коль скоро известно, что эта теория не
введет нас в заблуждение. Мы должны держать
наши теории под постоянным наблюдением, чтобы
видеть, что эти условия выполнены, и чтобы
получить все основанные на догадках
доказательства адекватности теорий, которые мы
можем получить. Теорема Геделя утверждает, что
это все, что мы можем сделать; эмпирическая
философия науки утверждает, что это все, что мы
должны сделать. Более того, поскольку оценка
полезности теории зависит от ее назначения, можно
для различных целей принимать по-разному
построенные теории, так что интуиционистская и
классическая математики могут сосуществовать”
[3, стр.38-39].
Многие математики вместе с Карри
утверждают, что никакого кризиса математики нет.
Они благодарны интуиционистам за то, что те
удержали их от бездумного увлечения
аксиоматическим методом. И выбирают
направление развития математики, ”коль скоро оно
полезно, удовлетворяет некоторым условиям
естественности и простоты, разумным для своего
времени, и коль скоро известно, что оно не введет
нас в заблуждение”. Я думаю, критерий полезности
(в смысле Карри) как нельзя более удачно выразил
Г. Вейль: “Поэтому я нахожу уместным обратиться
к современному математику с таким призывом:
если ты умеешь решать проблему явно
конструктивным путем, не ограничивайся чисто
экзистенциальными доказательствами” [3, стр.67].
Литература
1. Bernays P. Sur le platonisme dans les mathematiques,
Enseignement Mat., 34 (1935-1936), 52-69.
2. Н. Бурбаки. Теория множеств. - М.,1965.
3. Г. Вейль. Математическое мышление. - М., 1989.
4. П. Вопенка. Математика в альтернативной теории
множеств. - М., 1983.
5. Х. Карри. Основания математической логики. - М.,
1989.
6. М. Клайн. Математика. Поиск истины. - М., 1988.
7. Maddy P. // Abstr. 9th Int. Congr. Log., Methodol. and
Phil. Sci., uppsala, Aug/ 7-14, 1991. Vol. 2. Sec 6-9 -
[uppsala], [1991]. - c.2.
8. Математическая логика в программировании. Сб.
статей. - М.,1991.
9. Математическая энциклопедия. Под ред. И.М.
Виноградова. Т. 3. - М., 1982.
10. Международный конгресс математиков в Беркли,
1986. - М., 1991.
11. Noac H. Symbol und Existenz der Wissenschaft. - Halle:
Saale, 1936.
12. А.Пуанкаре. О науке. - М., 1990.
13. А.А. Френкель. И. Бар-Хиллел. Основания теории
множеств. - М., 1966.
14. А. Эйнштейн. Собрание научных трудов. Т. 4.
Статьи, рецензии, письма. Эволюция физики. - М.,
1967.
1 С точки зрения логики, определение слишком узкое, так
как не охватывает всего предмета занятий математики.
2 М. Клайн в конце ХХ века всерьез утверждает:
"Математика и физическая реальность неразделимы" [6,
стр.254].
3 Согласно известному анекдоту, Гильберт охотно
пояснял эту мысль, говоря, что, если заменить слова
"точка", "прямая" и "плоскость" словами "стол", "стул" и
"пивная кружка", в геометрии ничего не изменится" [2,
стр.32].
4 Платон в диалоге “Менон” утверждал, что
математические конструкции не зависят от опыта и даже
предшествуют ему. Карри, в свою очередь замечает, что
этот термин впервые применил Бернайс.[1]. В философии
и в философии математики этот термин имеет различные
значения.
5 См. G.Veneziano, Nuovo Cimento A57 (1986), 190.
6 Авторы имеют в виду роль римановой геометрии в
общей теории относительности.
7Как уже отмечалось, в среде физиков весьма популярна
идея, что математика открывает законы природы.
Эйнштейн в книге “Мир, каким я вижу его” (1934)
пишет: “Я убежден, что посредством чисто
математических конструкций мы можем найти те
понятия и закономерные связи между ними, которые
дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт
может подсказать нам соответствующие математические
понятия, но они ни в коем случае не могут быть
выведены из него. Конечно, опыт остается единственным
критерием пригодности математических конструкций
физики. Но настоящее творческое начало присуще
именно математике. Поэтому я считаю в известном
смысле оправданной веру древних в то, что чистое
мышление в состоянии постигнуть реальность” [14,
с.184].
8 Здесь я не согласна с Х. Карри. Автор забыл о том, что
математика потеряла эмпирическую базу. Здесь мы
имеем ту же ситуацию, что и с аксиомой о параллельных,
возникшей в ХIХ веке. - Математики не могут решить
опытным путем - отказаться или сохранить аксиому
бесконечности и аксиому выбора. Интересно то, что
существуют математические системы как с этими
аксиомами, так и без них, а также с различными их
433
модификациями. Смотри, например, [4]. А также мы
снова упираемся в вопрос: зачем нам нужна наука без
эмпирической базы?
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-92069 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-0808 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T14:13:24Z |
| publishDate | 1999 |
| publisher | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сафонова, Н.В. 2016-01-15T17:22:47Z 2016-01-15T17:22:47Z 1999 Что изучает математика? / Н.В. Сафонова // Культура народов Причерноморья. — 1999. — № 6. — С. 429-433. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1562-0808 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/92069 ru Кримський науковий центр НАН України і МОН України Культура народов Причерноморья Материалы V научных чтений Что изучает математика? Article published earlier |
| spellingShingle | Что изучает математика? Сафонова, Н.В. Материалы V научных чтений |
| title | Что изучает математика? |
| title_full | Что изучает математика? |
| title_fullStr | Что изучает математика? |
| title_full_unstemmed | Что изучает математика? |
| title_short | Что изучает математика? |
| title_sort | что изучает математика? |
| topic | Материалы V научных чтений |
| topic_facet | Материалы V научных чтений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/92069 |
| work_keys_str_mv | AT safonovanv čtoizučaetmatematika |