Хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении
Исследованы свойства пьезоэлектрического преобразователя при взаимодействии с задающим генератором ограниченной мощности. В результате анализа наибольшего показателя Ляпунова совокупной системы преобразователь-генератор найдены области реализации трех классов установившихся режимов - стационарных, п...
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2003
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/923 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении / Т.С. Краснопольская // Акустичний вісник. — 2003. — Т. 5, N 1. — С. 22-31. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859720353235861504 |
|---|---|
| author | Краснопольская, Т.С. |
| author_facet | Краснопольская, Т.С. |
| citation_txt | Хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении / Т.С. Краснопольская // Акустичний вісник. — 2003. — Т. 5, N 1. — С. 22-31. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Исследованы свойства пьезоэлектрического преобразователя при взаимодействии с задающим генератором ограниченной мощности. В результате анализа наибольшего показателя Ляпунова совокупной системы преобразователь-генератор найдены области реализации трех классов установившихся режимов - стационарных, периодических и хаотических - и определены параметры, при которых они реализуются. Установлено, что хаос может возникнуть только при учете взаимодействия между подсистемами. При идеальном электрическом возбуждении процессы в пьезоэлектрическом преобразователе не имеют хаотических установившихся режимов.
Досліджені властивості п'єзоэлектричного перетворювача при взаємодії з задаючим генератором обмеженої потужності. В результаті аналізу найбільшого показника Ляпунова сукупної системи перетворювач-генератор знайдені області реалізації трьох класів усталених режимів - стаціонарних, періодичних і хаотичних - та визначені параметри, при яких вони реалізуються. Встановлено, що хаос може виникнути тільки при урахуванні взаємодії між підсистемами. При ідеальному електричному збудженні процеси у п'єзоелектричному перетворювачі не мають хаотичних усталених режимів.
Properties of a piezoceramic transducer at the interaction with a generator of limited power-supply are investigated. As a result of analysis of the largest Lyapunov exponent for the total system transducer-generator, the regions for three classes of steady state regimes - stationary, periodical and chaotic - are determined and the parameters for their realization are found. It is shown that chaos may originate only at accounting for the interaction between the subsystems. Under ideal electric supply, the processes in piezoceramic transducer do not have chaotic steady state regimes.
|
| first_indexed | 2025-12-01T09:57:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 22 – 31
УДК 534.23
ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
ИЗЛУЧАТЕЛЯ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ ВОЗБУЖДЕНИИ
Т. С. К Р АС НО П О ЛЬ С КА Я
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 27.02.2003
Исследованы свойства пьезоэлектрического преобразователя при взаимодействии с задающим генератором ограни-
ченной мощности. В результате анализа наибольшего показателя Ляпунова совокупной системы преобразователь–
генератор найдены области реализации трех классов установившихся режимов – стационарных, периодических и
хаотических – и определены параметры, при которых они реализуются. Установлено, что хаос может возникнуть
только при учете взаимодействия между подсистемами. При идеальном электрическом возбуждении процессы в
пьезоэлектрическом преобразователе не имеют хаотических установившихся режимов.
Дослiдженi властивостi п’єзоэлектричного перетворювача при взаємодiї з задаючим генератором обмеженої поту-
жностi. В результатi аналiзу найбiльшого показника Ляпунова сукупної системи перетворювач– генератор знайденi
областi реалiзацiї трьох класiв усталених режимiв – стацiонарних, перiодичних i хаотичних – та визначенi пара-
метри, при яких вони реалiзуються. Встановлено, що хаос може виникнути тiльки при урахуваннi взаємодiї мiж
пiдсистемами. При iдеальному електричному збудженнi процеси у п’єзоелектричному перетворювачi не мають ха-
отичних усталених режимiв.
Properties of a piezoceramic transducer at the interaction with a generator of limited power-supply are investigated. As a
result of analysis of the largest Lyapunov exponent for the total system transducer – generator, the regions for three classes
of steady state regimes – stationary, periodical and chaotic – are determined and the parameters for their realization are
found. It is shown that chaos may originate only at accounting for the interaction between the subsystems. Under ideal
electric supply, the processes in piezoceramic transducer do not have chaotic steady state regimes.
ВВЕДЕНИЕ
Функционирование ответственных элементов
многих технических устройств, в частности пре-
образователей, основано на эффекте связанности
механического и электрического полей в пьезоке-
рамических средах [1 – 6]. В связи с этим созда-
ние общей математической теории для описания
сопряженных электроупругих процессов, протека-
ющих в таких средах при самых общих услови-
ях механического и электрического нагружения,
является важным в научном и прикладном аспе-
ктах. Линейная теория пьезоэлектричества разви-
та в работах А. Ф. Улитко и его школы [1 – 3, 5, 6].
Однако в этих и других публикациях по данной
тематике рассматриваются только задачи о пове-
дении электроупругих в случаях вынужденных и
свободных колебаний, когда пьезокерамика нахо-
дится под действием силовых и электрических по-
лей заданного вида. При этом вопрос о влиянии
диссипации и излучения энергии при колебаниях
тела на режимы работы устройства, создающего
указанное воздействие, остается вне рассмотрения.
Вместе с тем известно, что если электроупру-
гое тело нагружено на среду с сопротивлением,
как это имеет место при работе гидроакустических
излучателей, то излучение энергии вовне вызыва-
ет изменение электрического поля в генераторе, по
сравнению со случаем, когда потерь нет. Это изме-
нение может быть существенным и порождать но-
вые динамические режимы или являться прене-
брежимо малым, в зависимости от того, какова
мощность задающего генератора по сравнению с
излучаемой мощностью. Исследование специфи-
ческих эффектов в динамике пьезокерамическо-
го тела и в функционировании задающего генера-
тора, обусловленных “чувствительностью” совоку-
пной системы к излучению энергии, представляет
несомненный научный интерес. Этот случай отно-
сится к задачам так называемого “ограниченного”
или “неидеального” возбуждения пьезокерамиче-
ских тел. При этом возбуждающий генератор име-
ет ограниченную мощность, сравнимую с мощно-
стью, излучаемой или потребляемой телом при его
деформации.
Данная статья посвящена исследованию задачи
об ограниченном возбуждении пьезокерамическо-
го тела простейшего вида – стержневого излучате-
ля, работающего в среде с сопротивлением. Ее те-
матику можно определить как исследование взаи-
мовлияния физических подсистем, получившего
название эффекта Зоммерфельда – Кононенко [7 –
16], для случая связи колеблющегося пьезокера-
мического излучателя и возбуждающего эти ко-
лебания генератора электрического тока, имею-
щего ограниченную мощность. С этой целью по-
строена новая математическая модель, описыва-
ющая процесс взаимодействия излучателя, нагру-
22 c© Т. С. Краснопольская, 2003
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 22 – 31
женного на гидросреду с сопротивлением, и гене-
ратора. Связанность процессов в преобразователе
и источнике энергии – генераторе – приводит к
качественно новым эффектам в их динамике, ко-
торые нельзя выявить, исследуя задачу об иде-
альном возбуждении. Прежде всего, речь идет о
возможности установления хаотических режимов,
выйти из которых без дополнительного внешне-
го воздействия невозможно. Хаотические режимы
взаимодействия, к которым система приходит с те-
чением времени, являются по своей сути асимпто-
тическими. Обычно для того, чтобы понять дина-
мику физической системы, анализируются ее уста-
новившиеся режимы, так как считается, что они
реализуются на практике [10, 17, 18]. Если устано-
вившиеся режимы в системе – хаотические, то по-
нимание ее динамики связано не с регулярными,
а с хаотическими процессами. Отметим, что если
не рассматривать хаотическое поведение объекта,
зачастую невозможно ответить на вопросы о его
долговечности, надежности и прочности.
Известно, что фазовый портрет (т. е. траектория
движения в вымышленном пространстве, где роль
координат играют основные переменные, описыва-
ющие поведение системы) для хаотического режи-
ма является сложным геометрическим объектом.
В отличие от него, регулярные фазовые портре-
ты сравнительно просты (точка, замкнутая линия,
тор). Фазовые траектории регулярных режимов
диссипативных систем отличают общее сжатие и
локальная устойчивость, а хаотических – общее
сжатие и локальная неустойчивость. Траектории
хаотических режимов очень чувствительны к ма-
лейшему изменению начальных условий. Будучи
близкими в начальный момент, с течением време-
ни они экспоненциально разбегаются друг от дру-
га. Если в динамической системе наблюдается ха-
ос, то ее поведение становится, по сути, непред-
сказуемым, так как невозможно предсказать точку
фазового пространства, которой будет соответ-
ствовать искомое решение через заданный проме-
жуток времени, если учесть, что реальная точ-
ность задания начальных условий и параметров
задачи всегда ограничена либо точностью изме-
рительной аппаратуры, либо точностью вычисли-
тельных машин. Тем не менее, всегда можно ука-
зать притягивающее множество сложной структу-
ры – хаотический аттрактор, по которому будет
двигаться в фазовом пространстве изображающая
точка. Кроме того, хаотические режимы от регу-
лярных отличает наличие сплошного спектра.
В данной работе построены фазовые портреты
для трех основных классов установившихся режи-
мов взаимодействия – стационарных, периодиче-
ских и хаотических. Проведен сравнительный ана-
лиз поведения системы в каждом из них.
1. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МО-
ДЕЛИ
В качестве модельной задачи рассмотрим
стержневой пьезокерамический преобразователь,
к электродам которого приложено электриче-
ское напряжение, возбуждаемое LC-генератором
(рис. 1). Через поверхности стержня S− и S+, пер-
пендикулярные его оси Oz (начало координат на-
ходится в срединном сечении), происходит излу-
чение звуковых сигналов в жидкость. Исследо-
вать будем продольные колебания круглого стер-
жня длиной 2h, имеющего площадь сечения S и
поляризованного вдоль оси (продольный пьезоэф-
фект).
Согласно теории продольных деформаций [2 –
4], уравнения состояния в нашем случае имеют вид
εz = s33σz + d33Ez,
Dz = ε33Ez + d33σz,
(1)
где εz – продольная деформация; σz – механиче-
ское напряжение; Ez – напряженность электриче-
ского поля; Dz – индукция поля; s33 – упругая по-
датливость; d33 – пьезоэлектрическая постоянная;
ε33 – диэлектрическая проницаемость.
Ограничиваясь акустическим диапазоном ча-
стот, используем уравнения вынужденной эле-
ктростатики [2 – 4], которые применительно к рас-
сматриваемой задаче выглядят как
∂Dz
∂z
= 0, Ez = −
∂Ψ
∂z
. (2)
Здесь Ψ – электрический потенциал.
Уравнения (1) и (2) дополним соотношением Ко-
ши εz =∂u/∂z и уравнением колебаний стержня
∂σz
∂z
= ρ
∂2u
∂t2
, (3)
где u=u(z, t) – продольные перемещения стержня;
ρ – его плотность.
Кроме того, учтем граничные условия при коле-
баниях стержня в среде с импедансом η0:
σz = −η0
∂u
∂t
, Ψ = ±V (t)
при z = ±h.
(4)
Здесь 2V (t) – разность потенциалов на электродах,
соответствующих поверхностям стержня S− и S+.
Т. С. Краснопольская 23
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 22 – 31
Рис. 1. Схема рассматриваемой системы
Она является неизвестной функцией времени, за-
висящей от колебаний стержня и тока генератора.
Функция 2V (t) – разность потенциалов в электри-
ческой цепи, где ток
i = −
∂(SDz )
∂t
течет по стержню [2 – 4]. Ток стержневого преобра-
зователя i связан с током генератора i2+i3 диф-
ференциальным уравнением
2V + L
di
dt
= M
d(i2 + i3)
dt
. (5)
Для сравнения отметим, что при отсутствии стер-
жня получаем
L
di
dt
= M
d(i2 + i3)
dt
.
Таким образом, наличие стержня изменяет рас-
пределение напряжения в цепи. Добавление пьезо-
элемента эквивалентно добавлению некоторой ем-
кости (входной электрический импеданс стержне-
вого преобразователя может быть рассчитан по
так называемой “геометрической емкости”) [2 – 4].
Ток i в цепи с преобразователем отличается от то-
ка в цепи без него. Если величина тока i мала и
2V �Ldi/dt (в этом случае 2V ≈Md(i2+i3)/dt), то
можно считать реализованными условия идеаль-
ного возбуждения преобразователя. Если же зна-
чение 2V является сравнимым с Ldi/dt, то усло-
вие заданности 2V (t) не выполняется, так как ток
i влияет на режим работы генератора через цепь
преобразователя.
Задающий электрический генератор ограничен-
ной мощности в большинстве случаев является ав-
токолебательной системой. Классическим приме-
ром автоколебательной системы может служить
ламповый генератор [17, 18]. Запишем уравнения
Кирхгофа для каждой ветви тока такого устрой-
ства [11, 16]. Для определенности предположим,
что генератор работает в мягком режиме:
ia = I0 + I1(eg + Dea) − I3(eg + Dea)3. (6)
Здесь ia – анодный ток; eg – напряжение на се-
тке; ea – напряжение на аноде; D – проницаемость
лампы; I0, I1, I3 – постоянные параметры лампы.
Тогда уравнения токов генератора имеют вид
ia = i1 + i2 + i3,
ea − Ea + Rai1 = 0,
eg + Eg − Mc
di2
dt
= 0,
Lc
di2
dt
+ Rci2 =
1
Cc
∫
i3dt ,
ea + Lc
di2
dt
+ Rci2 + L1
d(i2 + i3)
dt
= 0.
(7)
Система уравнений (6), (7) описывает внутрен-
ние процессы в ламповом генераторе. Эти уравне-
ния являются нелинейными относительно eg . По-
скольку обычно D – малая величина, то в каче-
стве основной переменной целесообразно оставить
eg . Введя новую переменную
φ(t) =
t
∫
0
(eg − Eg)dt (8)
(здесь −Eg – постоянная составляющая eg), полу-
чим нелинейное уравнение относительно φ:
d2φ
dt2
+ ω2
0φ = a1
dφ
dt
+ a2
(
dφ
dt
)2
− a3
(
dφ
dt
)3
, (9)
24 Т. С. Краснопольская
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 22 – 31
где
a1 =
Mc
LcCc
[
I1−
RcRaCc−Lc
Ra(Mc−DLc)
+
RcL1
R2
aMc
−3I3(Eg)
2
]
;
a2 =3
McI3Eg
LcCc
; a3 =
McI3
LcCc
;
ω2
0 =(Ra + Rc)/(RaLcCc) – квадрат частоты гене-
ратора в линейной теории.
Если генератор связан с электрической цепью
преобразователя, то последнее уравнение систе-
мы (7) изменяется на следующее:
ea + Lc
di2
dt
+ Rci2 + L1
d(i2 + i3)
dt
= M
di
dt
. (10)
Теперь для внутренних процессов в генераторе
должно выполняться уравнение
φ̈ + ω2
0φ = a0φ̇ + a2φ̇
2 − a3φ̇
3 − a4V (t), (11)
где
a0 = a1 −
M2Rc
LcCcLR2
a
; a4 =
2MMc
LRaLcCc
.
Уравнение (11) связано с соотношением (5). Сле-
довательно, процесс генерации напряжения 2V (t)
описывается системой уравнений четвертого по-
рядка (11), (5), где величина i зависит от меха-
нических деформаций, происходящих в пьезокера-
мическом стержне. Для деформаций и электриче-
ского поля в стержне имеем систему уравнений
c2 ∂2u
∂z2
=
∂2u
∂t2
,
∂2Ψ
∂z2
=
k2
d33(1 − k2)
∂2u
∂z2
,
(12)
где c=[ρs33(1 − k2)]−1/2 – скорость продольных со-
пряженных волн в стержне; k=d33(ε33s33)
−1/2.
Представим продольные колебания стержня в
виде суммы по собственным модам колебаний:
u(z, t) =
N
∑
i=1
fi(t) sin λiz. (13)
Здесь λi – корень уравнения
λih cos λih − k2 sin λih = 0.
Для напряжения Ψ справедливо соотноше-
ние [2 – 4]
Ψ(z, t) = f(t)z +
k2
d33(1 − k2)
N
∑
i=1
fi(t) sin λiz. (14)
При этом протекающий через стержень ток i будет
i=−
∂(SDz )
∂t
=Sε33(1−k2)ḟ =
= Sε33
1−k2
h
[
V̇ −
k2
d33(1−k2)
N
∑
i=1
ḟi sin λih
]
.
(15)
Используя граничные условия (4), приходим к сле-
дующим соотношениям для собственных мод коле-
баний:
−
s33hη0
d33
N
∑
i=1
ḟi(t) sin λih = V (t), (16)
i =
Sε33(1 − k2)
h
V̇ (t) +
ε33k
2
h2η0
V (t). (17)
Подставив эти выражения в соотношение (5), по-
лучаем, что напряжение 2V (t), прикладываемое к
электродам преобразователя, определяется как ре-
шение следующей системы уравнений четвертого
порядка:
φ̈ + ω2
0φ = a1φ̇ + a2φ̇
2 − a3φ̇
3 − a4V (t),
V̈ (t) + ω2
1V (t) = a5φ + a6φ̇ − a7V̇ (t).
(18)
Здесь
a5 = −
Mω2
1Rc(Ra + Rc)
2McRaLc
; a6 = −
Mω2
1Rc
2McRa
;
a7 =
k2
η0hS(1 − k2)
; ω2
1 =
2h
LSε33(1 − k2)
.
После нахождения V (t), продольные колебания
стержня
u(t)=
N
∑
i=1
fi(t) sin λiz
определяются из уравнения
∂2u
∂t2
= c2 ∂2u
∂z2
−
d33
s33hρ
V (t)δ(z − h)+
+
d33
s33hρ
V (t)δ(z + h),
(19)
где δ(z) – функция Дирака.
Если пренебречь эффектом Зоммерфельда –
Кононенко, т. е. обратным влиянием механиче-
ских и электрических колебаний преобразователя
на функционирование генератора (a4 =0), систе-
ма уравнений (18) распадается на два уравнения.
Одно из них является уравнением автоколебаний,
а второе – линейным уравнением, описывающим
Т. С. Краснопольская 25
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 22 – 31
колебательные процессы в стержне. В этом случае
φ(t) и V (t) всегда будут регулярными функция-
ми времени. Таким образом, и функционирование
генератора и излучение волн преобразователем в
акустическую среду будут соответствовать регу-
лярным (хотя, возможно, и достаточно сложным)
процессам.
Если же a4 6=0, то в системе (18) становятся
возможными не только регулярные, но и хаоти-
ческие режимы. Это обусловлено тем, что нели-
нейная система (18) имеет размерность четыре.
Напомним, что хаотизация движений в гладкой
(дифференцируемой) нелинейной динамической
системе может происходить, начиная с размерно-
сти три [10, 17, 18]. При этом V (t) может быть ха-
отической функцией времени, и преобразователь
будет порождать в акустической среде хаотиче-
ские волны. Таким образом, принципиальная воз-
можность существования хаотических режимов в
генераторе и возбуждения хаотических волн в аку-
стической среде обусловлена наличием эффекта
Зоммерфельда – Кононенко.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ
РЕЖИМОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Для определения возможных установившихся
режимов взаимодействия в системе (18) введем
безразмерные переменные
ξ =
φω0
Eg
,
dξ
dτ
= ζ,
β =
V
Eg
,
dβ
dτ
= γ, τ = ω0t.
(20)
Тогда исходная система перепишется в виде
dζ
dτ
= −ξ + α1ζ + α2ζ
2 − α3ζ
3 − α4β,
dγ
dτ
= −α0β + α5ξ + α6ζ − α7γ,
dξ
dτ
= ζ,
dβ
dτ
= γ,
(21)
где
α0 = ω2
1/ω2
0; α1 = a0/ω0; α2 = a2Eg/ω0;
α3 = a3E
2
g/ω0; α4 = a4/ω0; α5 = a5/ω3
0 ;
α6 = a6/ω2
0 ; α7 = a7/ω0.
Поскольку система уравнений (21) является не-
линейной дифференциальной системой, допуска-
ющей в общем случае только численное решение,
проведем численный эксперимент. Пусть параме-
тры генератора имеют следующие значения [3,4,6]:
Ec = 700 В, Ea = 2000 В,
I1 = 6.5 · 10−5 А/В, I3 = 5.184 · 10−9 А/В
3
,
D = 0.015, Ra = 160 Ом,
Rc = 10 Ом, Lc = 0.094 Гн, Cc = 1.0465 µФ,
Mc = 0.275 Гн, M = 1 Гн, L = 100 Гн.
Здесь X – безразмерный переменный бифуркаци-
онный параметр. Эти данные соответствуют та-
ким величинам коэффициентов системы (21):
α0 = 0.995, α1 = 0.0535, α2 = 0.63X,
α3 = 0.21X, α4 = 0.103, α5 = −0.0604,
α6 = −0.12, α7 = 0.01,
ξ(0) = ζ(0) = 0.1, β(0) = γ(0) = 0.
Установившиеся режимы, реализующиеся в си-
стеме (18), соответствуют асимптотическим тра-
екториям в фазовом четырехмерном пространс-
тве (ξ, ζ, β, γ). Асимптотические траектории могут
представлять собой точку (размерность ноль), за-
мкнутую кривую (размерность единица), тор (ра-
змерности два и три) или странный аттрактор
(фрактальная размерность). Фиксированные точ-
ки (точки равновесия) соответствуют стационар-
ным решениям системы (18), замкнутые кривые –
периодическим (незамкнутые кривые на торе –
квазипериодическим) решениям, а странные ат-
тракторы отражают поведение хаотических реше-
ний.
Параметр X варьировался с целью нахожде-
ния всех возможных установившихся режимов.
Для численного интегрирования системы уравне-
ний (21) применялся метод Рунге – Кутта четвер-
того порядка с коррекцией интервала интегриро-
вания по методу Дорманда – Принса [10,12 –14]. В
процессе численного интегрирования погрешность
счета не превышала O(10−9). Для того, чтобы
исключить влияние переходных режимов на па-
раметры установившихся режимов, документиро-
вание результатов осуществлялось после того, как
безразмерное время достигало достаточно большо-
го значения: τ >105.
Одним из главных критериев существования ха-
отических режимов в динамической системе явля-
ется наличие положительных показателей Ляпу-
нова [10, 17, 18], характеризующих процесс “разбе-
гания” траекторий в фазовом пространстве по ра-
зличным направлениям. Если траектории имеют
26 Т. С. Краснопольская
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 22 – 31
довольно близкие начальные параметры, то с те-
чением времени они могут:
1) сблизиться (если стремятся к одному и тому
же предельному циклу);
2) сохранить расстояние между собой (если на-
ходятся на разных предельных циклах);
3) удалиться друг от друга (если они не стремя-
тся к устойчивому регулярному движению).
В последнем случае траектории “забудут” свою
близость в начальный момент времени. При этом
они могут расходиться очень далеко, снова сбли-
жаться и т. д. Хаотические решения обладают
свойством локальной неустойчивости. С матема-
тической точки зрения это выражается в том, что
они имеют хотя бы один положительный макси-
мальный показатель Ляпунова λ [10, 17, 18]:
λ = lim
t→∞
1
t
ln
∣
∣
∣
∣
y(t)
y(0)
∣
∣
∣
∣
.
Здесь y(0) – расстояние между исследуемой трае-
кторией и близкой к ней траекторией в начальный
момент времени; y(t) – расстояние между ними в
момент времени t.
На рис. 2 показана зависимость максимально-
го показателя Ляпунова λ 6≡0 от значений па-
раметра X, определенного по алгоритму Бенет-
тина [19]. При тех параметрах, когда макси-
мальный показатель Ляпунова становится боль-
ше нуля, в системе устанавливаются хаотиче-
ские режимы. Из рисунка очевидно, что в систе-
ме имеются пять таких областей (3.95≤X≤5.14,
7.26≤X≤9.00, 11.9≤X≤12.5, 16.8≤X≤17.4 и
19.0≤X≤20.0), в которых реализуются хаоти-
ческие установившиеся режимы. Как следует
из графика, при 1.00≤X<3.95, 5.14≤X≤7.26,
9.00<X<11.9, 12.5≤X≤16.8 и 17.4≤X≤19.0 ре-
шения максимальный показатель Ляпунова сис-
темы (18) равен нулю. Следовательно, здесь сис-
тема (18) имеет периодические (квазипериодиче-
ские) решения. Как показывают более детальные
численные исследования, переход от регулярных
режимов к хаотическим осуществляется через пе-
ремежаемость.
На рис. 3 представлен максимальный показа-
тель Ляпунова λ 6≡0, вычисленный при постоян-
ном значении X =7.5, но при варьировании пара-
метра α7, связанного с потерями энергии при ко-
лебаниях преобразователя в среде с сопротивле-
нием. В интервалах значений 0.001<α7<0.012 и
0.028<α7<0.146 в системе реализуются хаотиче-
ские режимы взаимодействия.
X
0 5 10 15 20
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Рис. 2. Зависимость максимального
показателя Ляпунова от X
7
0 0.05 0.1 0.15 0.2
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Рис. 3. Зависимость максимального
показателя Ляпунова от α7
На рис. 4, а показана проекция в трехмер-
ном пространстве (β, γ, ξ) хаотического аттракто-
ра, который реализуется в системе при α7 =0.05,
X =7.5. Соответствующие временные реализации
ξ(τ ) и β(τ ) приведены на рис. 4, б, в. Видно, что та-
кой излучатель транслирует в окружающую среду
хаотический сигнал, соответствующий временной
функции β(τ ).
Для сравнения на рис. 5 приведены аналоги-
чные характеристики при работе излучателя и ге-
нератора в рассматриваемом диапазоне параме-
тров в случае пренебрежения обратным влияни-
ем излучателя на генератор (α4 =0 – мощность
источника энергии неограничена). Как видно из
сравнения графиков, связанность или обратное во-
здействие излучателя порождает хаос в системе.
Кроме того, учет взаимодействия приводит к зна-
Т. С. Краснопольская 27
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 22 – 31
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0
2
4
6
8
а
10000 10200 10400 10600 10800 11000
0
2
4
6
8
б
10000 10200 10400 10600 10800 11000
-2
-1
0
1
в
Рис. 4. Проекция странного аттрактора
и временные реализации переменных
при X =7.5 и α7 =0.05
-0.05
0
0.05
-0.05
0
0.05
-0.5
0
0.5
1
1.5
а
10000 10050 10100 10150 10200 10250 10300
-0.5
0
0.5
1
1.5
б
10000 10050 10100 10150 10200 10250 10300
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
в
Рис. 5. Проекция замкнутой регулярной траектории
и временные реализации переменных
при X =7.5, α7=0.05 и α4=0
28 Т. С. Краснопольская
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 22 – 31
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
-0.5
0
0.5
-5
0
5
10
15
а
10000 10200 10400 10600 10800 11000
-5
0
5
10
15
б
10000 10200 10400 10600 10800 11000
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
в
Рис. 6. Проекция странного аттрактора
и временные реализации переменных
при X =12.3 и α7=0.05
-1
-0.5
0
-0.2
0
0.2
0.4-5
0
5
10
15
а
10000 10200 10400 10600 10800 11000
-5
0
5
10
15
б
10000 10050 10100 10150 10200 10250 10300
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
в
Рис. 7. Проекция замкнутой регулярной траектории
и временные реализации переменных
при X =12.3, α7=0.05 и α4 =0
Т. С. Краснопольская 29
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 22 – 31
-1
-0.5
0
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0
2
4
6
8
а
10000 10050 10100 10150 10200 10250 10300
0
2
4
6
8
б
10000 10050 10100 10150 10200 10250 10300
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
в
Рис. 8. Регулярная замкнутая траектория
и временные реализации переменных
при X =7.5, а α7=1.8
чительному (на порядок) росту амплитуд коле-
баний напряжения в генераторе и сигнала излу-
чателя на одних временных интервалах и значи-
тельному уменьшению на других. Таким образом,
качественно изменяется сигнал, вырабатываемый
излучателем. Для связанной системы он напоми-
нает сигнал в режиме быстрого разряда [5], т. е. су-
ществуют временные интервалы, на которых сиг-
нал имеет большую амплитуду, а затем наступает
мелкое “дрожание” вокруг нуля, когда напряжение
на пьезоизлучателе “замирает” вокруг нейтраль-
ного значения.
Другой вид хаотического аттрактора и соответ-
ствующего ему регулярного предельного цикла
при α4 =0 показаны на рис. 6 и 7. Эти графики по-
лучены при X =12.3, α7 =0.05. Для этой комбина-
ции параметров учет взаимодействия задающего
генератора и пьезокерамического преобразовате-
ля приводит лишь к незначительному изменению
амплитуды колебаний напряжения в генераторе,
однако вновь существенно влияет на частоту си-
гнала, порождая хаос.
Изменение регулярных характеристик предель-
ного цикла, вызванное взаимодействием, показано
на рис. 8. Расчет проводился при X =7.5, α7=1.8.
Это соответствует увеличению потерь энергии при
работе излучателя в 36 раз, по сравнению со слу-
чаем, представленным на рис. 4 (α7 =0.05). В слу-
чае больших потерь энергии установившийся ре-
жим становится регулярным. Заметим, что макси-
мальные значения амплитуд сигналов не претер-
певают существенного изменения, по сравнению с
рис. 4. Однако при малых потерях и хаотическом
режиме взаимодействия за этот же временной ин-
тервал интенсивные сигналы разрядного типа на-
блюдаются в четыре раза чаще.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе построенной математической модели
обнаружен ряд новых эффектов, обусловленных
процессом взаимодействия колебательных режи-
мов пьезокерамического излучателя и задающе-
го электрогенератора. В частности, показано, что
хаотические установившиеся режимы могут появ-
ляться только вследствие взаимодействия между
автоколебательной системой электрогенератора и
излучателем, описываемым линейными соотноше-
ниями. В каждой из подсистем по отдельности ха-
оса в принципе быть не может.
Показано, что демпфирование и обратная связь,
приводя к появлению хаоса, существенно изме-
няют частотные характеристики как излучателя,
так и генератора, обуславливая сплошность их
30 Т. С. Краснопольская
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 22 – 31
спектров.
Полученные результаты могут быть примене-
ны при анализе непериодических режимов работы
электродинамических, электромагнитных и пье-
зокерамических вибраторов с ограниченным во-
збуждением.
1. Баженов В. М., Улитко А. Ф. Исследование ди-
намического поведения пьезокерамического слоя
при мгновенном электрическом нагружении //
Прикл. мех.– 1975.– 11, N 1.– С. 22–27.
2. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А.
Электроупругость.– К.: Наук. думка, 1989.– 277 с.
3. Улитко А. Ф. Векторное разложение в пространс-
твенной теории упругости.– К.: Академпериодика,
2002.– 342 с.
4. Auld B. A. Acoustic fields and waves in solids.– New
York: Wiley, 1973.– 837 p.
5. Улитко А. Ф. Сопряженные волновые процессы в
пьезокерамических телах при электрическом ра-
зряде // Акуст. вiсн.– 1999.– 2, N 1.– С. 60–73.
6. Zharii O. Yu. Normal mode expansions in
dynamic electroelasticity and their application
to electromechanical energy conversion // J. Acoust.
Soc. Amer.– 1992.– 91, N 1.– P. 57–68.
7. Sommerfeld A. Beitrage zum dynamischen ausbau
der festigkeislehre // Zeitschrift des Vereins
Deutscher Ingenieure.– 1902.– 46.– P. 391–394.
8. Timoshenko S. Vibration problems in engineering.–
New York: Van Nostrand, 1928.– 480 p.
9. Кононенко В. О. Колебательные системы с огра-
ниченным возбуждением.– М.: Наука, 1964.– 256 с.
10. Кубенко В. Д., Ковальчук П. С., Бояршина Л. Г.
и др. Нелинейная динамика осесимметричных тел,
несущих жидкость.– К.: Наук. думка, 1992.– 184 с.
11. Кононенко В. О, Краснопольская Т. С. Лампо-
вый генератор в системе возбуждения механиче-
ских колебаний // Вибротехника.– 1977.– 28, N 4.–
С. 105–120.
12. Krasnopolskaya T. S., Shvets A. Yu. Chaos in
dynamics of machines with a limited power-supply //
8-th World Congr. on the Theory of Machines and
Mechanisms. Eds. M. Okrolnick, L. Pust: vol. 1.–
Prague: Czechoslovak Acad. Sci, 1991.– P. 181–184.
13. Krasnopolskaya T. S., Shvets A. Yu. Chaos in
vibrating systems with limited power-supply //
Chaos.– 1993.– 3.– P. 387–395.
14. Krasnopolskaya T. S., Shvets A. Yu. Chaotic surface
waves in limited power-supply cylindrical tank vi-
brations // J. Fluids & Struct.– 1994.– 8.– P. 1–18.
15. Krasnopolskaya T. S. Acoustic chaos caused by
Sommerfeld effect // J. Fluids & Struct.– 1994.– 8.–
P. 803–815.
16. Краснопольская Т. С. Автономное возбужде-
ние механических колебаний электродинамиче-
ским вибратором // Прикл. мех.– 1977.– 13, N 2.–
С. 108–113.
17. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и
хаотические колебания.– М.: Наука, 1987.– 424 с.
18. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations,
dynamical systems, and bifurcations of vector fields.–
New York: Springer-Verlag, 1983.– 459 p.
19. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M. Kolmogorov
entropy and numerical experiments // Phys.
Rev. A.– 1976.– 14.– P. 2338–2345.
Т. С. Краснопольская 31
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-923 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T09:57:33Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Краснопольская, Т.С. 2008-07-08T16:55:05Z 2008-07-08T16:55:05Z 2003 Хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении / Т.С. Краснопольская // Акустичний вісник. — 2003. — Т. 5, N 1. — С. 22-31. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/923 534.23 Исследованы свойства пьезоэлектрического преобразователя при взаимодействии с задающим генератором ограниченной мощности. В результате анализа наибольшего показателя Ляпунова совокупной системы преобразователь-генератор найдены области реализации трех классов установившихся режимов - стационарных, периодических и хаотических - и определены параметры, при которых они реализуются. Установлено, что хаос может возникнуть только при учете взаимодействия между подсистемами. При идеальном электрическом возбуждении процессы в пьезоэлектрическом преобразователе не имеют хаотических установившихся режимов. Досліджені властивості п'єзоэлектричного перетворювача при взаємодії з задаючим генератором обмеженої потужності. В результаті аналізу найбільшого показника Ляпунова сукупної системи перетворювач-генератор знайдені області реалізації трьох класів усталених режимів - стаціонарних, періодичних і хаотичних - та визначені параметри, при яких вони реалізуються. Встановлено, що хаос може виникнути тільки при урахуванні взаємодії між підсистемами. При ідеальному електричному збудженні процеси у п'єзоелектричному перетворювачі не мають хаотичних усталених режимів. Properties of a piezoceramic transducer at the interaction with a generator of limited power-supply are investigated. As a result of analysis of the largest Lyapunov exponent for the total system transducer-generator, the regions for three classes of steady state regimes - stationary, periodical and chaotic - are determined and the parameters for their realization are found. It is shown that chaos may originate only at accounting for the interaction between the subsystems. Under ideal electric supply, the processes in piezoceramic transducer do not have chaotic steady state regimes. ru Інститут гідромеханіки НАН України Хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении Chaotic dynamics of piezoceramic transducer at limited power-supply Article published earlier |
| spellingShingle | Хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении Краснопольская, Т.С. |
| title | Хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении |
| title_alt | Chaotic dynamics of piezoceramic transducer at limited power-supply |
| title_full | Хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении |
| title_fullStr | Хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении |
| title_full_unstemmed | Хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении |
| title_short | Хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении |
| title_sort | хаотическая динамика пьезоэлектрического излучателя при ограниченном возбуждении |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/923 |
| work_keys_str_mv | AT krasnopolʹskaâts haotičeskaâdinamikapʹezoélektričeskogoizlučatelâpriograničennomvozbuždenii AT krasnopolʹskaâts chaoticdynamicsofpiezoceramictransduceratlimitedpowersupply |