О построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами
В статье рассмотрена актуальная проблема построения совместной системы линейных ограничений для экономико–математических моделей, задач с двухсторонними ограничениями на переменные. Приведены примеры и сформулированы условия совместности линейных систем. У статті розглянута актуальна проблема побу...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Культура народов Причерноморья |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/92321 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами / В.В. Матвеев, Д.В. Титаренко, В.Н. Титаренко // Культура народов Причерноморья. — 2013. — № 262. — С. 56-61. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-92321 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Матвеев, В.В. Титаренко, Д.В. Титаренко, В.Н. 2016-01-17T08:45:08Z 2016-01-17T08:45:08Z 2013 О построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами / В.В. Матвеев, Д.В. Титаренко, В.Н. Титаренко // Культура народов Причерноморья. — 2013. — № 262. — С. 56-61. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-0808 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/92321 519.852.3+519.86 В статье рассмотрена актуальная проблема построения совместной системы линейных ограничений для экономико–математических моделей, задач с двухсторонними ограничениями на переменные. Приведены примеры и сформулированы условия совместности линейных систем. У статті розглянута актуальна проблема побудови спільної системи лінійних обмежень для економіко–математичних моделей задач із двосторонніми обмеженнями на змінні. Наведені приклади і сформульовані умови спільності лінійних систем. This article deals to the actual problem of building a joint system of linear constraints for economic and mathematical models problems with bilateral constraints on the variables. In applications of the economic models of production systems, lower and upper limits of the values correspond to the minimum and maximum possible values of variables and constraints which are specified explicitly. Such a statement, compared with the traditional when variables imposed only non–negativity condition, is more common and necessary in the construction of econometric models and the solution of practical problems of management and decision–making. Building a joint system of linear constraints and bilateral inequalities carried out on the basis of verification of the fulfillment of conditions: Consistency of a system of linear constraints in Rn ( Kronecker – Capelli theorem) ; Consistency of a system of linear constraints in Rn and in X ≥ 0, by constructing and solving linear programming problem, which determines the consistency in area where X≥ 0; Consistency of a system of linear constraints in the X≥Xmin, by linear coordinate transformations (change of variables X=Xmin+Z, Z≥0 and solving linear programming problem, which determines the consistency at Z ≥ 0 and, that’s why, at the area X≥Xmin); Consistency of a system of linear constraints at X≤Xmax, by checking of the condition Xmax–Xmin=Z, Z≥0. There were given examples of solutions of the problem of determining the consistency of systems of linear constraints and restrictions on the variables in the form of bilateral inequalities. ru Кримський науковий центр НАН України і МОН України Культура народов Причерноморья Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ О построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами Про побудову спільних систем лінійних обмежень економіко-математичних моделей задач з двосторонніми нерівностями About construction of joint systems of linear restrictions of econometric models problems with bilateral inequality Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами |
| spellingShingle |
О построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами Матвеев, В.В. Титаренко, Д.В. Титаренко, В.Н. Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| title_short |
О построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами |
| title_full |
О построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами |
| title_fullStr |
О построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами |
| title_full_unstemmed |
О построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами |
| title_sort |
о построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами |
| author |
Матвеев, В.В. Титаренко, Д.В. Титаренко, В.Н. |
| author_facet |
Матвеев, В.В. Титаренко, Д.В. Титаренко, В.Н. |
| topic |
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| topic_facet |
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Культура народов Причерноморья |
| publisher |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про побудову спільних систем лінійних обмежень економіко-математичних моделей задач з двосторонніми нерівностями About construction of joint systems of linear restrictions of econometric models problems with bilateral inequality |
| description |
В статье рассмотрена актуальная проблема построения совместной системы линейных
ограничений для экономико–математических моделей, задач с двухсторонними ограничениями на
переменные. Приведены примеры и сформулированы условия совместности линейных систем.
У статті розглянута актуальна проблема побудови спільної системи лінійних обмежень для
економіко–математичних моделей задач із двосторонніми обмеженнями на змінні. Наведені приклади і
сформульовані умови спільності лінійних систем.
This article deals to the actual problem of building a joint system of linear constraints for economic
and mathematical models problems with bilateral constraints on the variables. In applications of the economic
models of production systems, lower and upper limits of the values correspond to the minimum and maximum
possible values of variables and constraints which are specified explicitly. Such a statement, compared with the
traditional when variables imposed only non–negativity condition, is more common and necessary in the
construction of econometric models and the solution of practical problems of management and decision–making.
Building a joint system of linear constraints and bilateral inequalities carried out on the basis of verification of
the fulfillment of conditions:
Consistency of a system of linear constraints in Rn ( Kronecker – Capelli theorem) ;
Consistency of a system of linear constraints in Rn and in X ≥ 0, by constructing and solving linear programming
problem, which determines the consistency in area where X≥ 0;
Consistency of a system of linear constraints in the X≥Xmin, by linear coordinate transformations (change of
variables X=Xmin+Z, Z≥0 and solving linear programming problem, which determines the consistency at Z ≥ 0
and, that’s why, at the area X≥Xmin);
Consistency of a system of linear constraints at X≤Xmax, by checking of the condition Xmax–Xmin=Z, Z≥0.
There were given examples of solutions of the problem of determining the consistency of systems of linear
constraints and restrictions on the variables in the form of bilateral inequalities.
|
| issn |
1562-0808 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/92321 |
| citation_txt |
О построении совместных систем линейных ограничений экономико-математических моделей задач с двухсторонними неравенствами / В.В. Матвеев, Д.В. Титаренко, В.Н. Титаренко // Культура народов Причерноморья. — 2013. — № 262. — С. 56-61. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT matveevvv opostroeniisovmestnyhsistemlineinyhograničeniiékonomikomatematičeskihmodeleizadačsdvuhstoronnimineravenstvami AT titarenkodv opostroeniisovmestnyhsistemlineinyhograničeniiékonomikomatematičeskihmodeleizadačsdvuhstoronnimineravenstvami AT titarenkovn opostroeniisovmestnyhsistemlineinyhograničeniiékonomikomatematičeskihmodeleizadačsdvuhstoronnimineravenstvami AT matveevvv propobudovuspílʹnihsistemlíníinihobmeženʹekonomíkomatematičnihmodeleizadačzdvostoronníminerívnostâmi AT titarenkodv propobudovuspílʹnihsistemlíníinihobmeženʹekonomíkomatematičnihmodeleizadačzdvostoronníminerívnostâmi AT titarenkovn propobudovuspílʹnihsistemlíníinihobmeženʹekonomíkomatematičnihmodeleizadačzdvostoronníminerívnostâmi AT matveevvv aboutconstructionofjointsystemsoflinearrestrictionsofeconometricmodelsproblemswithbilateralinequality AT titarenkodv aboutconstructionofjointsystemsoflinearrestrictionsofeconometricmodelsproblemswithbilateralinequality AT titarenkovn aboutconstructionofjointsystemsoflinearrestrictionsofeconometricmodelsproblemswithbilateralinequality |
| first_indexed |
2025-11-26T02:47:37Z |
| last_indexed |
2025-11-26T02:47:37Z |
| _version_ |
1850609290324213760 |
| fulltext |
Матвеев В.В., Титаренко Д.В., Титаренко В.Н.
О ПОСТРОЕНИИ СОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЗАДАЧ С ДВУХСТОРОННИМИ НЕРАВЕНСТВАМИ
56
Матвеев В.В., Титаренко Д.В., Титаренко В.Н. УДК: 519.852.3+519.86
О ПОСТРОЕНИИ СОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЗАДАЧ С ДВУХСТОРОННИМИ
НЕРАВЕНСТВАМИ
Аннотация. В статье рассмотрена актуальная проблема построения совместной системы линейных
ограничений для экономико–математических моделей, задач с двухсторонними ограничениями на
переменные. Приведены примеры и сформулированы условия совместности линейных систем.
Ключевые слова: задача линейного программирования, экономико–математическое моделирование.
Анотація. У статті розглянута актуальна проблема побудови спільної системи лінійних обмежень для
економіко–математичних моделей задач із двосторонніми обмеженнями на змінні. Наведені приклади і
сформульовані умови спільності лінійних систем.
Ключові слова: задача лінійного програмування, економіко–математичне моделювання.
Summary. This article deals to the actual problem of building a joint system of linear constraints for economic
and mathematical models problems with bilateral constraints on the variables. In applications of the economic
models of production systems, lower and upper limits of the values correspond to the minimum and maximum
possible values of variables and constraints which are specified explicitly. Such a statement, compared with the
traditional when variables imposed only non–negativity condition, is more common and necessary in the
construction of econometric models and the solution of practical problems of management and decision–making.
Building a joint system of linear constraints and bilateral inequalities carried out on the basis of verification of
the fulfillment of conditions:
Consistency of a system of linear constraints in Rn ( Kronecker – Capelli theorem) ;
Consistency of a system of linear constraints in Rn and in X ≥ 0, by constructing and solving linear programming
problem, which determines the consistency in area where X≥ 0;
Consistency of a system of linear constraints in the X≥Xmin, by linear coordinate transformations (change of
variables X=Xmin+Z, Z≥0 and solving linear programming problem, which determines the consistency at Z ≥ 0
and, that’s why, at the area X≥Xmin);
Consistency of a system of linear constraints at X≤Xmax, by checking of the condition Xmax–Xmin=Z, Z≥0.
There were given examples of solutions of the problem of determining the consistency of systems of linear
constraints and restrictions on the variables in the form of bilateral inequalities.
Keywords: linear programming, economic and mathematical modeling, the consistency of linear systems.
Введение. В задачах экономико–математического моделирования на переменные могут налагаться
ограничения в виде верхней и нижней границы допустимых значений [2]. Применительно к экономическим
моделям производственных систем, нижние и верхние границы значений соответствуют минимальным и
максимальным возможным значениям переменных и относятся к ограничениям, заданным в явном виде.
Такая постановка, по сравнению с традиционной, когда на переменные налагается только условие
неотрицательности, является более общей [3], [4] и необходима при построении экономико–
математических моделей и решении практических задач управления и принятия решений.
Вопросу построения линейных экономико–математических моделей и решению задач посвящено
достаточно публикаций, например [1], [5], [7], [8]. В работе [1] рассмотрен вопрос совместности системы
линейных ограничений в области Х≥0. В меньшей степени отражены результаты исследований
совместности линейных систем с двухсторонними ограничениями.
Основной материал исследования. Цель данной работы заключается в определении условий при
которых система линейных ограничений совместна в области двухсторонних ограничений на переменные,
– Хmin≤X≤Xmax.
Процедура построения системы линейных ограничений совместной в области двухсторонних
ограничений на переменные проводится поэтапно.
На начальном этапе необходимо провести анализ совместности системы линейных ограничений в
области неотрицательных значений переменных.
В самом общем виде система линейных ограничений задач экономико–математического
моделирования содержит как равенства, так и неравенства. Пусть линейная система ограничений все
возможные типы и имеет вид (1):
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
57
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
1
...
...
(1.1)
...
...
...
...
(1.2)
...
...
n n
n n
p p pn n p
p p p n n p
p p p n n p
q q qn n q
q
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a
1 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
(1.3)
...
...
...
...
(1
...
...
q q n n q
q q q n n q
l l ln n l
l l l n n l
l l l n n l
m m mn n m
x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
.4)
(1)
В систему (1) введем вспомогательные переменные 1 2, ,..., l ≥0, со знаком, совпадающим со
знаком при коэффициенте в правой части данного ограничения. Получим систему ограничений (2).
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1 1 2 2
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1 1 2 2
...
...
(2.1)
...
...
...
...
...
...
n n
n n
p p pn n p p
p p p n n p p
p p p n n p p
q q qn n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x
(2.2)
q qb
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1 1 2 2
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
(2.3)
...
...
...
...
...
...
q q q n n q q
q q q n n q q
l l ln n l l
l l l n n l
l l l n n l
m m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a
(2.4)
mn n mx b
(2)
Совместность системы линейных алгебраических уравнений в области действительных чисел
устанавливается теоремой Кронекера–Капелли [1], [6]:
Теорема1. Для совместности системы линейных алгебраических уравнений n–го порядка необходимо и
достаточно чтобы ранг матрицы системы совпадал с рангом расширенной матрицы этой системы.
Существование неотрицательных решений x∈R, x≥0, для системы ограничений (1) можно определить
на основании решения вспомогательной задачи линейного программирования [1]:
Среди неотрицательных решений (2) найти решение доставляющее минимум линейной функции (3)
1 2 ... lf (3)
Пусть, найденное решение 0 0 0 0 0
1 2 1, ,..., , ,...,n lx x x , тогда 0 0 0
1 ... 0lf . Возможны 2 случая:
1) 0 0f , если 0 0
1 ... 0l ,– система (2) совпадает с (1), и, система (1) совместна.
2) 0 0f , система (1) несовместна, т.к. всякое неотрицательное решение, дополненное значениями
0 0
1 ... 0l , является решением (2), для которого значение 0f , что противоречит предположению
min 0f . Приведенные выше рассуждения служат доказательством теоремы 2 [1]:
Матвеев В.В., Титаренко Д.В., Титаренко В.Н.
О ПОСТРОЕНИИ СОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЗАДАЧ С ДВУХСТОРОННИМИ НЕРАВЕНСТВАМИ
58
Теорема 2. Для совместности системы (1) в области неотрицательных значений переменных
необходимо и достаточно, чтобы минимум линейной функции (3) при ограничениях (2) равнялся нулю.
Значение 0 minf f служит мерой «отклонения» системы (1) от совместности в области
неотрицательных решений.
Если 0 0f , то система совместна, если 0 0f , несовместна.
Задачу (2)–(3) можно решить симплекс–методом, перейдя в (2.2) и (2.4) к ограничениям типа равенств,
введя дополнительные переменные
1 2, ,..., m l
≥0 и
1 2, ,..., q p
≥0
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1 1 2 2
11 1 12 2 1 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2 2
1 1 2 2
...
...
(4.1)
...
...
...
...
...
...
n n
n n
p p pn n p p
p p p n n p p
p p p n n p p
q q
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1 1 2 2
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2
(4.2)
...
...
(4.3)
...
...
...
...
qn n q q p q
q q q n n q q
q q q n n q q
l l ln n l l
l l l n n l
l l
a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x
2 2 2
1 1 2 2
(4.4)
...
...
l n n l
m m mn n m l m
a x b
a x a x a x b
(4)
В решении системы (4) в качестве базисных переменных можно взять
1 2 1 2, ,..., , , ,...,l m l
, а
1 2 1 2, ,..., , , ,...,n q px x x
– как свободные переменные.
Базисное решение:
0 1,2,..., ; 0 1,2,...,
1,..., ; 1,2,...,
i i
i i i i l
x i n i q p
b i l b i m l
В силу предположения 0 1,2,...,ib i m базисное решение является допустимым.
Определение совместности системы линейных ограничений в области неотрицательных значений
рассмотрим на следующем примере:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
4 2
3 2
3 1
x x x
x x x
x x x
x x x
(5)
Для системы (5) построим систему ограничений (6) и линейную функцию (7)
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
1 2 3
2 3
4 2
3 2
3 1
x x x
x x x
x x x
x x x
(6)
1 2 3f (7)
Вспомогательная задача линейного программирования:
Найти минимум (7) при ограничении (6) и условии
1 2 3, , 0 .
Систему ограничений (6) приведем к канонической форме, введя дополнительные переменные 1 , 1 .
1 2 3 1
1 2 3 2 1
1 2 3 3
1 2 3 1
2 3
4 2
3 2
3 1
x x x
x x x
x x x
x x x
(8)
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
59
Решая задачу линейного программирования (7), (8) симплекс–методом в среде MathCAD находим
допустимое базисное решение:
2x1 x2 x3 1 3
x1 4x2 x3 2 1 2
x1 3x2 x3 3 2
x1 3x2 x3 2 1
solve
1
2
3
x2
1
2
3
x2
7
3
x1
4
3
x3
1
3
2
8
3
7
3
x1
7
3
x3
4
3
2
2
3
1
2 x1 2 x3 2 1
1
3
x1
1
3
x3
1
3
2
1
3
(9)
Целевая функция достигает минимума т.к.
1 2 3
substitute 1
7
3
x1
4
3
x3
1
3
2
8
3
substitute 2
7
3
x1
7
3
x3
4
3
2
2
3
1
substitute 3 2 x1 2 x3 2 1
20
3
x1
17
3
x3
8
3
2
13
3
1
(10)
0
1 2 3
13
0
3
f
Следовательно, исходная система (5) в области неотрицательных решений несовместна.
Рассмотрим пример совместностной системы линейных ограничений и двухсторонних неравенств:
Пусть задана система линейных уравнений
3 6 x1 x2 x3 4 x4 x5 3 x6 0
6 3 x1 x2 4 x4 2 x5 5 x6 0
3 7 x1 2 x2 5 x3 6 x4 x5 0
(11)
и двухсторонние ограничения
(11.1)
Для проверки совместности системы в области неотрицательных значений введем переменные ξ1, ξ2,
ξ3≥0 и решим задачу линейного программирования:
Найти минимум
1 2 3f при ограничениях (12).
3 6 x1 x2 x3 4 x4 x5 3 x6 1
6 3 x1 x2 4 x4 2 x5 5 x6 2
3 7 x1 2 x2 5 x3 6 x4 x5 3
(12)
Оптимальное базисное решение системы (12)
x1
x3
x5
5 1
28
x4
2
3 2
28
3
28
x6
2
x4
4
x2
2
11 1
56
2
56
9 3
56
5 x4
4
x2
2
5 x6
2
15 1
56
37 2
56
3 3
56
3
(13)
Учитывая, что все ξ1, ξ2, ξ3 свободные переменные, получим ξ1=ξ2=ξ3=0 и, следовательно,
ξ1+ξ2+ξ3=0. Это означает, что система (11) совместна в области неотрицательных значений переменных.
Совместность (11) и (11.1) рассмотрим в два этапа, разбив (11.1) на две группы:
(11.2)
(11.3)
Проверку совместности (11) в области (11.2) выполним проведя замену переменных x1=z1+0; x2=z2+0;
x3=z3+1; x4=z4+0; x5=z5+2; x6=z6+2, где z1,z2,z3,z4,z5,z6≥0. Тогда система (11) примет вид:
(14)
Матвеев В.В., Титаренко Д.В., Титаренко В.Н.
О ПОСТРОЕНИИ СОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЗАДАЧ С ДВУХСТОРОННИМИ НЕРАВЕНСТВАМИ
60
Задача линейного программирования, – Найти минимум 1 2 3f при ограничениях (14) и
условии Z≥0.
Оптимальное решение достигается в базисе (z1, z3, z5) (15):
5 1 3 2 3 4
28 28 28 21
2 11 1 9 3 2 4 6
2
56 56 56 2 4 2
3
15 1 37 2 3 3 2 5 4 5 6
6
56 56 56 2 4 2
z
z
z z z
z
z
z z z
(15)
Переменные ξ1, ξ2, ξ3 свободные, следовательно, ξ1=ξ2=ξ3=0, ξ1+ξ2+ξ3=0, и, система (11) совместна в
области (11.2), – х1≥0, х2≥0, х3≥1, х4≥0, х5≥2, х6≥2.
Действительно, обратное преобразование z1=x1–0; z2=x2–0; z3=x3–1; z4=x4–0; z5=x5–2; z6=x6–2 и
подстановка допустимых значений свободных переменных приводит к результату:
(16)
и, при допустимых значениях свободных переменных х2=0, х4=0, х6=4 получим решение:
(17)
Анализ выполнения граничных условий на максимум, минимум для переменных показывает, что
базисное решение не выходит за пределы допустимых значений, т.е. система ограничений (11), в области–
(11.2)–(11.3) совместна, и полученное решение (17) может служить первоначальным допустимым базисом
для решения задачи экономико–математического моделирования с двухсторонними ограничениями.
Можно показать, что система (11) несовместна в области X≥Xmax.
Действительно, замена переменных
substitute, 1 5 1
substitute, 2 6 2
1 3 6 1 2 3 4 4 5 3 6 1 6 1
substitute, 3 9 3
2 6 3 1 2 4 4 2 5 5 6
substitute, 4 7 4
3 3 7 1 2 2 5 3 6 4 5
substitute, 5 10 5
substitute, 6 10 6
x z
x z
x x x x x x z
x z
x x x x x
x z
x x x x x
x z
x z
2 3 4 4 5 3 6 66
2 3 1 2 4 4 2 5 5 6 73
3 7 1 2 2 5 3 6 4 5 127
z z z z z
z z z z z
z z z z z
(18)
Допустимое базисное решение (18) для Z≥0, ξ≥0
2 2 3 11 1 8 4 181
2 2 3
6 5 5 5 5 5
5 7 1 3 2 2 5 3 6 4 127
1 3 2 3 28 1 14 4 238
5 5 5 5 5
z z
z z
z
z z z z z
z z
Целевая функция достигает минимума
3 2 3 28 1 14 4 8 2 4 3 28 1 14 4 238
1 2 3substitute, 1
5 5 5 5 5 5 5 5 5
z z z z
и, 1 2 3 0
Следовательно, данная система несовместна в области X≥Xmax.
В случае, когда линейная система (11) в области (11.2) совместна, но хотя бы одна из переменных
выходит за пределы своих максимально допустимых значений (11.3), то, для построения совместной
системы ограничений в области (11.2) и (11.3) необходимо в (11) ввести новую переменную, имеющую
смысл дополнительного потребителя, аналогично известному методу приведения открытой транспортной
задачи к замкнутой (закрытой) форме.
Теорема 3. Для совместности системы линейных ограничений (1) и двухсторонних неравенств
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1. Система линейных ограничений (1) совместна.
2. Система линейных ограничений (1) совместна при , 0x R x .
3. Система линейных ограничений (1) совместна в области
minx x .
4. Система линейных ограничений (1) несовместна в области maxx x .
Доказательство: Схема доказательства
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
61
1. Совместность системы линейных ограничений (1) устанавливается на основании утверждения
теоремы Кронекера–Капелли (теорема 1).
2. Совместность системы ограничений (1) в области 0x устанавливается на основании утверждения
теоремы1 и теоремы 2.
3. Совместность системы линейных ограничений (1) в области
minx x устанавливается с путем замены
переменных
minx x z , где 0z и на основании утверждения теоремы 2. При этом обратное
преобразование
minz x x не выводит переменные x из области
minx x .
4. Система линейных ограничений (1) должна быть несовместной в области
maxx x так как в ином
случае все переменные решения линейной системы (1)
maxx x .
Несовместность системы линейных неравенств в области
maxx x устанавливается на основании
утверждения теоремы 2, после замены переменных
max , 0x x z z .
Если переменные системы (1) в совместной области min min 1,2,...i ix x x x i и
max max 1,2,...i ix x x x i , то система (1) совместна в области min maxi ix x x .
Вывод. Определены условия совместности системы линейных ограничений и явных двухсторонних
ограничений на переменные min maxi ix x x , которые сформулированы в виде необходимых и
достаточных условий (теорема 3), совместности системы линейных ограничений и двухсторонних
неравенств.
Приведенные в работе примеры определения совместности и несовместности систем линейных
ограничений и двухсторонних неравенств показывают возможность применения полученных в работе
результатов для построения экономико–математических моделей линейных систем с подобными
ограничениями.
Источники и литература:
1. Карпелевич Ф. И., Садовский Л. Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования /
Ф. И. Карпелевич, Л. Е. Садовский. – М. :Наука, 1965– 312c.
2. Хэмди А. Таха. Введение в исследование операций, 6–е издание. / Таха А. Хэмди – М. : Издательский
дом «Вильямс», 2001. – 912 с.
3. Зайченко Ю. П. . Исследование операций: Учебник. 6 изд. перераб. / Ю. П. Зайченко – Киев:
Издательский дом «Слово», 2003.– 688 с.
4. Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики / Ю. М. Коршунов – М.: Энергоатомиздат, 1987
– 258 с.
5. Ржевский С. В., Александрова В. М. Дослiдження операцiй / С. В. Ржевский, В. М. Александрова.–
Киiв: Академвидав, 2006. – 418с.
6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер – М: Гостехиздат, 1953. – 548с.
7. Лэсдон Л. С. Оптимизация больших систем / Л. С. Лэсдон – М.: Наука, 1975.–432с.
8. Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. /
О. О. Замков, А. В. Толстопятенко, Ю. Н. Черемных – М.: Издательство «Дело и сервис» , 2001.– 368с.
Матюшенко О.І. УДК 338.24
ПРОБЛЕМАТИКА ПІДХОДІВ ДО ВИЗНАЧЕННЯ СТАДІЇ ЖИТТЄВОГО ЦИКЛУ
ПІДПРИЄМСТВА
Анотація. В статті наведено аналіз основних моделей життєвого циклу підприємства, розглянуто
основні підходи до визначення підприємства на кривій життєвого циклу, визначено їх недоліки та
переваги, запропонована схема оцінки стадії життєвого циклу підприємства, що базується на
розрахунку інтегрального показника фінансово–господарської діяльності підприємства та застосуванні
економіко–математичних моделей для визначення положення підприємства на кривій життєвого циклу.
Ключові слова: життєвий цикл, модель, підприємство, оцінка
Аннотация. В статье представлен анализ основных моделей жизненного цикла предприятия,
рассмотрены основные подходы к определению предприятия на кривой жизненного цикла, их
достоинства и недостатки, предложена схема оценки стадии жизненного цикла предприятия.
Ключевые слова: жизненный цикл, модель, предприятие, оценка.
Summary. The paper presents an analysis of the basic models of the life cycle of the enterprise, on the basis of
which conclusions are drawn about the presence of contradictions in the approaches to the definition of the
organizational life cycle . The article also identified and analyzed the main factors that affect the performance of
the life cycle of the enterprise. In this study, the basic approaches to the determination on a life cycle curve,
defined by their main advantages and disadvantages. On the basis of the analysis of literary sources in the
article, a scheme assessment stage of the life cycle of the enterprise, which is based on the calculation of the
integral index of financial–economic activity of the enterprise and application of econometric models to
determine the position on a life cycle curve . The proposed method for determining the stage of the life cycle of
the enterprise allows you to apply a systematic and comprehensive approach, and also to eliminate subjectivity
|