Звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном
Для модели волновода c жестким ступенчатым дном и меняющимся по глубине профилем скорости звука исследовано асимптотическое поведение неизвестных в бесконечной системе линейных уравнений, определяющей весовые коэффициенты в Фурье-разложении акустического потенциала. Знание асимптотики неизвестных по...
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2003
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/924 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном / С.О. Папков, Ю.И. Папкова, А.А. Ярошенко // Акустичний вісник. — 2003. — Т. 6, N 1. — С. 32-42. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860130189859618816 |
|---|---|
| author | Папков, С.О. Папкова, Ю.И. Ярошенко, А.А. |
| author_facet | Папков, С.О. Папкова, Ю.И. Ярошенко, А.А. |
| citation_txt | Звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном / С.О. Папков, Ю.И. Папкова, А.А. Ярошенко // Акустичний вісник. — 2003. — Т. 6, N 1. — С. 32-42. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Для модели волновода c жестким ступенчатым дном и меняющимся по глубине профилем скорости звука исследовано асимптотическое поведение неизвестных в бесконечной системе линейных уравнений, определяющей весовые коэффициенты в Фурье-разложении акустического потенциала. Знание асимптотики неизвестных позволило применить метод улучшенной редукции при вычислении коэффициентов для нормальных мод. Проведено численное исследование звуковых полей при варьировании параметров задачи.
Для моделі хвилеводу з твердим східчастим дном і змінним по глибині профілем швидкості звуку досліджено асимптотичне поводження невідомих у нескінченній системі, яка визначає вагові коефіцієнти у Фур'є-розкладі акустичного потенціалу. Знання асимптотики невідомих дозволило застосувати метод поліпшеної редукції при обчисленні коефіцієнтів для нормальних мод. Проведено чисельне дослідження звукових полів при варіюванні параметрів задачі.
For the model of waveguide with a rigid stepwise bottom the asymptotic behavior of unknown variables in the infinite system of linear equations, yielding the weighting coefficients in the Fourier decomposition of an acoustic potential, is studied. Knowledge of asymptotics of the variables allowed to use the method of enhanced reduction when determining the coefficients for the normal modes. Numerical investigation of the sound fields is carried out varying the parameters of the problem.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:44:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 32 – 42
УДК 534.231
ЗВУКОВОЕ ПОЛЕ В НЕОДНОРОДНОМ
ГИДРОАКУСТИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ
СО СТУПЕНЧАТЫМ ДНОМ
С. О. П А П К ОВ, Ю. И. П А П К ОВ А, А. А. Я РО Ш ЕН К О
Севастопольский национальный технический университет
Получено 26.02.2003
Для модели волновода c жестким ступенчатым дном и меняющимся по глубине профилем скорости звука исследо-
вано асимптотическое поведение неизвестных в бесконечной системе линейных уравнений, определяющей весовые
коэффициенты в Фурье-разложении акустического потенциала. Знание асимптотики неизвестных позволило при-
менить метод улучшенной редукции при вычислении коэффициентов для нормальных мод. Проведено численное
исследование звуковых полей при варьировании параметров задачи.
Для моделi хвилеводу з твердим схiдчастим дном i змiнним по глибинi профiлем швидкостi звуку дослiджено асим-
птотичне поводження невiдомих у нескiнченнiй системi, яка визначає ваговi коефiцiєнти у Фур’є-розкладi акусти-
чного потенцiалу. Знання асимптотики невiдомих дозволило застосувати метод полiпшеної редукцiї при обчисленнi
коефiцiєнтiв для нормальних мод. Проведено чисельне дослiдження звукових полiв при варiюваннi параметрiв за-
дачi.
For the model of waveguide with a rigid stepwise bottom the asymptotic behavior of unknown variables in the infinite
system of linear equations, yielding the weighting coefficients in the Fourier decomposition of an acoustic potential, is
studied. Knowledge of asymptotics of the variables allowed to use the method of enhanced reduction when determining
the coefficients for the normal modes. Numerical investigation of the sound fields is carried out varying the parameters
of the problem.
ВВЕДЕНИЕ
Реальные геофизические волноводы имеют сло-
жную структуру, определяемую как свойствами
среды, так и случайными пространственными и
временными флуктуациями. Исходя из этого, для
их описания используют различные упрощенные
модели, в зависимости от области применения.
В частности, известно большое количество работ,
опирающихся на модели волноводов с жесткими
или импедансными границами раздела сред (см.,
например, [1 – 4]). При этом предполагается, что
свойства морского дна не влияют на звуковое поле
в волноводе, а скорость звука считается, как пра-
вило, только функцией глубины. В рамках дан-
ного подхода наиболее простой является модель
гидроакустического волновода с плоскопараллель-
ными границами (сверху – свободная поверхность,
снизу – неподатливое дно). Заметим, что даже в
таком случае точные решения волнового уравне-
ния удается получить только для некоторых част-
ных профилей скорости звука [1]. В связи с этим
широко применяются различные приближенные
подходы, такие как приближение ВКБ при усло-
вии, что относительные изменения вертикальной
компоненты волнового вектора на длине волны
малы, а также методы геометрической акустики
для плавно меняющегося профиля скорости зву-
ка [1, 2].
Для расчета моделей волноводов с неровным
дном, как правило, используются численные мето-
ды. В работах Ю. В. Завадского [5] для вычисле-
ния звуковых полей применен метод сеток, позво-
ляющий учитывать в моделях волноводов измене-
ния параметров среды и границ. Указанный метод
основан на аппроксимации дифференциального
уравнения конечно-разностным уравнением. В ра-
боте A. J. Kalinowski [2] рассматривалось примене-
ние метода конечных элементов к горизонтально-
неоднородным волноводам с учетом влияния гео-
акустических свойств дна.
Главный недостаток численных методов состоит
в том, что они не учитывают особенности по-
ля скоростей в окрестности ребер и угловых то-
чек, а также не позволяют вычислить звуковое
поле вблизи источника. В связи с этим, наряду
с построением численных решений, в настоящее
время активно развиваются и комбинированные
численно-аналитические подходы к расчету зву-
ковых полей. Асимптотические методы для плав-
нонерегулярных волноводов, основанные на есте-
ственном выделении малого параметра (так на-
зываемого “параметра плавности” или френелев-
ского параметра), рассмотрены в монографии [1].
Дальнейшее уточнение асимптотического подхода
к построению решений волнового уравнения ре-
ализовано, в частности, в модификациях метода
плавных возмущений и метода асимптотического
32 c© С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко, 2003
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 32 – 42
интегрирования волноводных уравнений. В рабо-
тах Де Санто, Бэра [2], Ф. Д. Тапперта [6] ра-
звит метод параболического уравнения для малых
изменений параметров волновода. Его преимуще-
ство заключается в том, что численное интегриро-
вание параболического уравнения позволяет обой-
тись меньшим объемом вычислений, по сравнению
с другими численными методами.
К аналитическим методам построения решения
в задачах излучения и дифракции звука следует
отнести метод частичных областей [7], согласно
которому область волновода разбивается на эле-
ментарные области, в каждой из которых возмож-
но построение аналитического решения волново-
го уравнения. Последующая сшивка решения на
границах частичных областей (выполнение есте-
ственных условий непрерывности физических по-
лей) обычно приводит к бесконечной системе ли-
нейных алгебраических уравнений или к системам
интегральных уравнений.
Целью данной работы является построение ре-
шения в гидроакустическом волноводе со ступен-
чатым дном на основе метода частичных областей,
а также анализ влияния неоднородностей волново-
да на звуковое поле точечного источника.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПОСТРОЕНИЕ
РЕШЕНИЯ
Рассмотрим гидроакустический волновод со
ступенчатым дном, имеющим радиальную симме-
трию (рис. 1). Расположим начало цилиндриче-
ской системы координат на поверхности волново-
да над источником звука, имеющим координаты
(0, z0). Считаем, что ось Oz ориентирована в на-
правлении дна. Пусть гидроакустический волно-
вод ограничен свободной поверхностью и абсолю-
тно жестким дном.
Разобьем волновод на N+2 области цилиндри-
ческой формы, каждая из которых характеризуе-
тся скоростью звука cj(z) и постоянной глубиной
hj (рис. 1). В зависимости от перепада глубины
между соседними областями, формируется выступ
(hj ≤hj+1) или впадина (hj ≥hj+1).
Соответствующие j-ой области амплитуды по-
тенциалов скорости удовлетворяют неоднородно-
му уравнению Гельмгольца
∆Φ +
ω2
c2(z)
Φ = −δ(z − z0)δ(r)
2πr
(1)
(здесь Φ – потенциал скоростей; ω – частота; c(z) –
профиль скорости звука; δ – дельта-функция Ди-
рака) и граничным условиям
Φj(r, 0) = 0 при z = 0,
∂Φj(r, hj)
∂z
= 0 при z = hj ,
j = 0, 1, . . . , N + 1.
Условия непрерывности звукового поля и усло-
вия жесткого дна при r=rj (выступ или впади-
на – z∈ [hj; hj+1] или z∈ [hj+1; hj] соответственно)
можно объединить следующим образом:
• для выступа –
Φj+1(z, rj) =
{
Φj(z, rj), z∈ [0; hj],
Φj+1(z, rj), z∈ (hj ; hj+1],
∂Φj+1(z, rj)
∂r
=
∂Φj(z, rj)
∂r
, z∈ [0; hj],
0, z∈ [hj; hj+1],
(2)
• для впадины –
Φj(z, rj) =
{
Φj+1(z, rj), z∈ [0; hj+1],
Φj(z, rj), z∈ (hj+1; hj],
∂Φj(z, rj)
∂r
=
∂Φj+1(z, rj)
∂r
, z ∈ [0; hj+1],
0, z ∈ [hj+1; hj].
(3)
Построим общее решение краевой задачи (1) –
(3) для j-го интервала (j=0, 1, . . . , N+1), удовле-
творяющее граничным условиям на горизонталь-
ных стенках волновода и условию излучения, в ви-
де суммы нормальных мод:
Φj(r, z) =
∞
∑
n=0
ϕj,n(z)
[
Aj
nJ0(ξj,nr)+
+Bj
nH
(1)
0 (ξj,nr)
]
,
j = 0, 1, . . . , N,
ΦN+1(r, z) =
∞
∑
n=0
BN+1
n ϕN+1,n(z)×
×H
(1)
0 (ξN+1,nr).
(4)
Здесь Aj
n, Bj
n – неопределенные коэффициенты;
ξj,n, ϕj,n(z) – собственные функции и собственные
С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко 33
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 32 – 42
Рис. 1. Гидроакустический волновод со ступенчатым дном
числа соответствующих краевых задач:
d2ϕj,n
dz2
+
(
ω2
c2(z)
− ξ2
)
ϕj,n = 0,
ϕj,n(0, ξ) = 0,
dϕj,n(hj , ξ)
dz
= 0,
j = 0, 1, . . . , N + 1.
(5)
Так как точные решения дифференциального
уравнения существуют лишь для немногих зави-
симостей профиля скорости звука c(z), то реаль-
ное распределение c(z) заменим некоторым при-
ближенным, позволяющим получить аналитиче-
ское решение краевых задач (5). При этом соб-
ственные числа и собственные функции строятся
по следующему алгоритму.
Пусть профиль скорости звука c(z) определен
системой опорных точек c(zk)=ck. Рассмотрим
случай, когда скорость звука изменяется на отрез-
ке [zk, zk+1] по закону
ω2
c2
k(z)
= ak + bkz,
ak =
ω2
zk+1 − zk
(
zk+1
c2
k
− zk
c2
k+1
)
,
bk =
ω2
zk+1 − zk
(
1
c2
k+1
− 1
c2
k
)
.
Тогда при bk 6=0 линейно-независимые решения
вертикального волнового уравнения (5) на данном
отрезке выражаются через функции Эйри:
ϕk
1(z, ξ) = Ai
(
ξ2 − ak
3
√
b2
k
− 3
√
bk z
)
,
ϕk
2(z, ξ) = Bi
(
ξ2 − ak
3
√
b2
k
− 3
√
bk z
)
,
а при bk =0 – через показательную и тригономе-
трические функции:
ϕk
1(z, ξ) =
{
cos
(
√
ak − ξ2 z
)
, ak − ξ2≥0,
exp
(
√
ξ2 − ak z
)
, ak − ξ2 < 0,
ϕk
2(z, ξ) =
{
sin
(
√
ak − ξ2 z
)
, ak − ξ2≥0,
exp
(
−
√
ξ2 − ak z
)
, ak − ξ2 < 0.
Общее решение дифференциального уравнения на
отрезке имеет вид
ϕk(z, ξ) = Ck
1 ϕk
1(z, ξ) + Ck
2 ϕk
2(z, ξ).
Учет условий непрерывности звукового поля на
концах отрезков аппроксимации позволяет полу-
чить однородную систему линейных алгебраиче-
ских уравнений относительно неизвестных коэф-
фициентов Ck
1 , Ck
2 . Необходимым условием су-
ществования ее нетривиального решения являе-
тся равенство нулю соответствующего определи-
теля ∆. Из этого условия получаем дисперсион-
ное уравнение для определения собственных чисел
{ξn}:
∆(ξ) = 0.
По найденным собственным значениям нахо-
дим нетривиальные решения однородной системы
{Ck
1 (ξn), Ck
2 (ξn)}, позволяющие восстановить соб-
ственные функции краевых задач ϕn(z, ξn).
Используя свойство ортогональности собствен-
ных функций {ϕ0,n(z)}∞n=0 на отрезке [0; h0] и учи-
тывая функциональное равенство
∞
∑
n=0
B0
nϕ0,n(z, ξ0,n) =
i
4
δ(z − z0),
получаем значения неопределенных коэффициен-
тов B0
n:
B0
n =
i ϕ0,n(z0)
4γ0,n
.
34 С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 32 – 42
Здесь и далее
γj,n =
hj
∫
0
(ϕj,n(z))2 dz.
Подставляя выражения для звуковых потенци-
алов (4) в соотношения (2), (3) и используя свой-
ство ортогональности собственных функций кра-
евых задач {ϕj,n(z)}∞n=0 в пространстве L2[0; hj],
строим бесконечную систему линейных алгебраи-
ческих уравнений относительно неизвестных ко-
эффициентов, входящих в общее решение рассма-
триваемой краевой задачи. Конечный вид систе-
мы уравнений не приводим ввиду ее громоздко-
сти, отметить только, что неизвестные, входящие
в полученную бесконечную систему, и коэффици-
енты Aj
n, Bj
n из общего решения краевой задачи
связаны следующим образом:
xj
n = Aj
nJ0(ξj,nrj), yj
n = Bj
nH
(1)
0 (ξj,nrj−1).
2. АСИМПТОТИКА НЕИЗВЕСТНЫХ КОЭФ-
ФИЦИЕНТОВ x
j
n , y
j
n
Следуя подходу, изложенному в монографии [7],
воспользуемся тем, что для входящих в бесконеч-
ную систему неизвестных характер поведения в
окрестности угловых точек задается условием на
ребре цилиндрического выступа:
|~v| ∼ CkRπ/α−1 при R → 0,
R =
√
(r − rk)2 + (z − hk)2 ,
где α=3π/2 – внешний угол, охватывающий
острую кромку акустически жесткого тела. В этом
случае колебательная скорость имеет вблизи ребра
степенную особенность порядка σ=−1/3.
В силу граничных условий и условий непре-
рывности звукового поля, поведение колебатель-
ной скорости на границе раздела областей r=rk−1
описывается следующими выражениями:
• для выступа (hk−1<hk)
vz → 0 при r → rk−1 − 0,
(vr)k−1∼ C̃k−1(hk−1−z)−1/3 ∼
∼ C∗
k−1(h
2
k−1−z2)−1/3 при z → hk−1 − 0,
(vr)k =
{
(vr)k−1, z → hk−1 − 0,
0, z → hk−1 + 0,
• для впадины (hk−1>hk)
vz → 0 при r → rk−1 + 0,
(vr)k−1 =
{
(vr)k, z → hk − 0,
0, z → hk + 0,
(vr)k ∼ C∗
k−1(h
2
k − z2)−1/3 при z → hk − 0.
Тогда в случае выступа между (k−1)-ой и k-ой
областями особенности не имеют следующие ра-
зности:
f̂k−1 =(vr)k−1−C∗
k−1(h
2
k−1−z2)−1/3,
ĝk−1=(vr)k−
−
{
C∗
k−1(h
2
k−1−z2)−1/3, z<hk−1,
0, z>hk−1.
(6)
Аналогично, для впадины данные функции пред-
ставляются в виде
f̆k =(vr)k−C∗
k−1(h
2
k−z2)−1/3,
ğk−1=(vr)k−1−
−
{
C∗
k−1(h
2
k−z2)−1/3, z<hk,
0, z>hk.
(7)
Согласно следствию из леммы Римана –
Лебега [8] и учитывая известное асимптотическое
представление [9]
ϕk,n = sin
π(n + 1/2)z
hk
+ O
(
1
n
)
, n → ∞,
оценим скорость убывания коэффициентов ряда
Фурье для функций (6), (7) по системе собствен-
ных функций при n→∞:
hk
∫
0
ĝk−1ϕk,ndz∼
hk
∫
0
ĝk−1 sin
π(n+1/2)z
hk
dz=O
(
1
n
)
,
hk
∫
0
ğk−1ϕk,ndz∼
hk
∫
0
ğk−1 sin
π(n+1/2)z
hk
dz=O
(
1
n
)
.
Это дает возможность найти асимптотические
оценки поведения неизвестных бесконечной систе-
мы yk
n при n→∞.
Действительно, с учетом соотношений (4) коле-
бательную скорость vr в k-ой области можно за-
писать как
(vr)k =
∞
∑
n=0
ϕk,nξk,n[Ak
nJ1(ξk,nr) + Bk
nH
(1)
1 (ξk,nr)].
С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко 35
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 32 – 42
При hk−1<hk, используя значение табличного
интеграла [10]
a
∫
0
(a2 − x2)β−1 sin bxdx =
=
√
π
2
(
2a
b
)β−1/2
Γ(β)Hβ−1/2(ab),
(a, Re β > 0, | arg b| < π)
и асимптотические представления для функций
Струве и Бесселя первого и второго родов [11]
Hν(z) = Yν(z)+
+
1
π
m−1
∑
k=0
Γ(k + 1/2)
Γ(ν + 1/2− k)(z/2)2k−ν+1
+
+O(|z|ν−2m−1), z → ∞,
Jν(z) =
√
2
πz
(
cos(z − νπ/2− π/4)+
+exp(|Im z|)O(|z|−1)
)
,
Yν(z) =
√
2
πz
(
sin(z − νπ/2− π/4)+
+exp(|Im z|)O(|z|−1)
)
, z → ∞,
а также соотношение
ξk,n =
iπn
hk
+ O
(
1
n
)
, n → ∞,
получим асимптотическую формулу
γk,nξk,n[Ak
nJ1(ξk,nrk−1)+Bk
nH
(1)
1 (ξk,nrk−1)] =
= b̂k
π sin
[
πhk−1
hk
(
n +
1
2
)
− π
3
]
2n2/3
+ O
(
1
n
)
,
n → ∞.
(8)
Здесь
b̂k = C∗
k−1
(
2hk
π
)2/3
Γ(2/3)
πh
1/3
k−1
.
С ростом номера n слагаемое
Ak
nJ1(ξk,nrk−1) =
= xk
n
J1(ξk,nrk−1)
J0(ξk,nrk)
= xk
n
J1
(
iπn
hk
rk−1
)
J0
(
iπn
hk
rk
) =
= xk
ni
√
rk
rk−1
exp
(
−πn
hk
(rk − rk−1)
)
экспоненциально убывает, т. е. является бесконеч-
но малой более высокого порядка, чем O(1/n). То-
гда, с учетом асимптотического соотношения
γk,nξk,nBk
nH
(1)
1 (ξk,nrk−1) ∼
∼ iπn
2
yk
n
H
(1)
1 (ξk,nrk−1)
H
(1)
0 (ξk,nrk−1)
∼ πn
2
yk
n,
выражение (8) примет вид
yk
n =
b̂k sin
(
πhk−1
hk
(
n +
1
2
)
− π
3
)
n5/3
+
+O
(
1
n2
)
, n → ∞.
(9)
Аналогичную оценку поведения неизвестных
коэффициентов yk
n можно выполнить и для слу-
чая hk−1 >hk. Раскладывая разность
(vr)k − C∗
k−1(h
2
k − z2)−1/3
в ряд Фурье по системе собственных функций и
следуя изложенной выше схеме, получаем следую-
щие асимптотические представления:
yk
n =
b̆k(−1)n
n5/3
+ O
(
1
n2
)
, n → ∞, (10)
где
b̆k =
C∗
k−1 h
1/3
k Γ(2/3)
2π
(
2
π
)2/3
.
Применив описанную выше методику нахожде-
ния коэффициентов yk
n в окрестности сечения вол-
новода r=rk, определим поведение неизвестных
36 С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 32 – 42
коэффициентов бесконечной системы xk
n:
xk
n =
âk(−1)n
n5/3
+ O
(
1
n2
)
, n → ∞
(при hk+1 > hk),
xk
n =
ăk sin
(
πhk+1
hk
(
n +
1
2
)
− π
3
)
n5/3
+
+O
(
1
n2
)
, n → ∞
(при hk+1 < hk).
(11)
Здесь
âk = −C∗
k h
1/3
k Γ(2/3)
2π
(
2
π
)2/3
;
ăk = −C∗
k Γ(2/3)
πh
1/3
k+1
(
2hk
π
)2/3
.
3. МЕТОД УЛУЧШЕННОЙ РЕДУКЦИИ.
УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ НА ГРАНИ-
ЦЕ ЧАСТИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ
При численном решении бесконечной системы
уравнений, асимптотические свойства коэффици-
ентов которой известны, воспользуемся методом
улучшенной редукции [7, 12].
Проиллюстрируем данный метод на примере ре-
шения задачи с одним выступом. В этом случае
имеем следующую бесконечную систему для опре-
деления неизвестных xn и yn:
−
∞
∑
n=0
1
γ1,m
I1
m,nxn + ym−
− 1
γ1,m
∞
∑
n=0
I2
m,nyn = Q1
m,
− 1
ξ1,mγ1,m
∞
∑
n=0
I1
m,nξ0,n
J1(ξ0,nr0)
J0(ξ0,nr0)
xn+
+
H
(1)
1 (ξ1,mr0)
H
(1)
0 (ξ1,mr0)
ym = Q2
m,
m = 0, 1, 2, . . . ,
(12)
где
Q1
m =
i
4γ1,m
∞
∑
n=0
ϕ0,n(z0)
γ0,n
I1
m,nH
(1)
0 (ξ0,nr0);
Q2
m =
i
4γ1,mξ1,m
∞
∑
n=0
ϕ0,n(z0)
γ0,n
I1
m,nξ0,nH
(1)
1 (ξ0,nr0).
Интегралы
I1
m,n =
h0
∫
0
ϕ0,nϕ1,mdz, I2
m,n =
h1
∫
h0
ϕ1,nϕ1,mdz
в случае c0(z)=c1(z), z∈ [0, h0] вычисляются точно
с помощью интегрирования по частям:
I1
m,n =
ϕ′
1,m(h0)ϕ0,n(h0)
ξ2
1,m − ξ2
0,n
,
I2
m,n =
ϕ1,m(h0)ϕ
′
1,n(h0) − ϕ′
1,m(h0)ϕ1,n(h0)
ξ2
1,m − ξ2
1,n
,
m 6= n.
В соответствии с методом улучшенной редукции,
неизвестные в бесконечной системе (12), начиная
с некоторого номера n>N , заменяются главными
членами их асимптотических представлений (9) –
(11). При этом остатки рядов сворачиваются с по-
мощью функции обобщенного полилогарифма
Liν(z) =
∞
∑
k=1
zk
kν
с последующим численным интегрированием.
Данную процедуру рассмотрим на примере оста-
тка одного из рядов, входящих в бесконечную сис-
тему (12):
∞
∑
n=N+1
h0
∫
0
ϕ0,nϕ1,mdzxn ≈
≈ a0
h0
∫
0
ϕ1,m
∞
∑
n=N+1
(−1)n
n5/3
sin
π(n + 1/2)z
h0
dz =
= a0
h0
∫
0
ϕ1,m
∞
∑
n=1
(−1)n
n5/3
sin
π(n + 1/2)z
h0
dz−
−a0
h0
∫
0
ϕ1,m
N
∑
n=1
(−1)n
n5/3
sin
π(n + 1/2)z
h0
dz.
С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко 37
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 32 – 42
При суммировании первого ряда используем фун-
кцию Liν(z):
h0
∫
0
ϕ1,m
∞
∑
n=1
(−1)n
n5/3
sin
π(n + 1/2)z
h0
dz =
=
h0
∫
0
ϕ1,mIm
[
eiπz/2h0Li5/3(−eiπz/h0 )
]
dz.
В результате получим следующую конечную сис-
тему уравнений:
−
N
∑
n=0
1
γ1,m
I1
m,nxn + ym − 1
γ1,m
N
∑
n=0
I2
m,nyn−
− a0
γ1,m
R1
m − b0
γ1,m
R2
m = Q1
m,
− 1
ξ1,mγ1,m
N
∑
n=0
I1
m,nξ0,n
J1(ξ0,nr0)
J0(ξ0,nr0)
xn+
+
H
(1)
1 (ξ1,mr0)
H
(1)
0 (ξ1,mr0)
ym − a0
ξ1,mγ1,m
R3
m = Q2
m,
a0 =
1
L
N
∑
j
(−1)jj5/3xj, b0 = −2
(
h1
h0
)2/3
a0,
j = N − L + 1, m = 0, 1, . . . , N,
где интегралы R1
m; R2
m; R3
m можно рассчитать по
квадратурным формулам с любой требуемой точ-
ностью:
R1
m =
h0
∫
0
ϕ1,m
{
Im
[
e
i πz
2h0 Li5/3
(
−e
i πz
h0
)]
−
−
N
∑
n=1
(−1)n sin
π(n + 1/2)z
h0
n5/3
}
dz;
R2
m =
h1
∫
h0
ϕ1,m
1
2
Re
[
e
i(
π(z−h0)
2h1
+π
3 )
Li5/3
(
e
i
π(z−h0 )
h1
)
−
−e
i(
π(z+h0)
2h1
−
π
3 )
Li5/3
(
e
i
π(z+h0)
h1
)]
dz−
−
h1
∫
h0
ϕ1,m
1
2
N
∑
n=1
sin
π(n + 1/2)z
h1
n5/3
×
× sin
[
πh0(n + 1/2)
h1
− π
3
]
dz;
R3
m = − π
h0
h0
∫
0
ϕ1,m
{
Im
[
e
i πz
2h0 Li5/3
(
−e
i πz
h0
)]
−
−
N
∑
n=1
(−1)n sin
π(n + 1/2)z
h0
n5/3
}
dz.
В работе [7] показано, что наихудшая сходи-
мость рядов, входящих в общее решение, наблюда-
ется на границе раздела частичных областей. Из
соотношений (4) и (9) – (11) следует, что в окре-
стности сечения волновода r=rk с ростом номера
n ряды для потенциалов скоростей убывают как
n−5/3, а ряды для колебательных скоростей – как
n−2/3. Сходимость таких рядов можно улучшить
по методу В. И. Крылова [13], используя обоб-
щенную функцию полилогарифма. Ниже приведен
пример улучшения сходимости рядов для потенци-
ала скорости в случае одного выступа на границе
38 С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 32 – 42
Табл. 1. Относительная погрешность выполнения условий непрерывности полей
на границе частичных областей r=r0
Вид редукции N = 10 N = 25 N = 50 N = 100
простая 14.01 6.67 4.48 2.90
улучшенная 1.65 0.77 0.62 0.38
Табл. 2. Относительная погрешность выполнения условий непрерывности в точках zk =kh0/10
Погрешность k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k = 8 k = 9 k = 10
δ1 0 0.006 0.002 0.005 0.004 0.006 0.007 0.005 0.015 0.016 0.615
δ2 0 0.163 0.068 0.217 0.045 0.145 0.231 0.290 0.355 0.510 −
раздела областей r=r0:
Φ0(r0, z) =
∞
∑
n=0
iϕ0,n(z0)
4γ0,n
ϕ0,n(z)H
(1)
0 (ξ0,nr0)+
+
N
∑
n=0
xnϕ0,n(z) + a0
{
Im
[
e
i πz
2h0 Li5/3
(
−e
i πz
h0
)]
−
−
N
∑
n=1
(−1)n sin
π(n + 1/2)z
h0
n5/3
}
,
Φ1(r0, z) =
N
∑
n=0
ynϕ1,n(z)+
+
b0
2
Re
[
e
i(
π(z−h0)
2h1
+π
3 )
Li5/3
(
e
i
π(z−h0)
h1
)
−
−ei(
π(z+h0)
2h1
−
π
3 )Li5/3
(
ei
π(z+h0)
h1
)]
−
−1
2
N
∑
n=0
1
n5/3
sin
π(n + 1/2)z
h1
×
× sin
[
πh0(n + 1/2)
h1
− π
3
]
.
Аналогичным образом улучшается сходимость
рядов и для колебательной скорости. Теперь ло-
кальная особенность в поведении колебательной
скорости вблизи кромки акустически жесткого те-
ла заключена в аналитически свернутых остатках
рядов, что дает возможность описать звуковое по-
ле в непосредственной близости от ребра.
В табл. 1 представлена относительная погре-
шность выполнения условий непрерывности полей
δ на границе частичных областей r=r0 при ре-
шении бесконечной системы уравнений (12) ме-
тодами простой и улучшенной редукции. При
этом δ определяется как отношение модуля ра-
зности потенциала скорости слева и справа от
границы раздела к наибольшей амплитуде по-
тенциала скорости при r=r0. Расчеты проведе-
ны для c=1450 м/с, h0 =0.5h1, r0 =2h1, z0 =0.1h1,
h1 =1.1λ (λ=91.06 м – длина волны). Из табл. 1
следует, что при использовании метода улучшен-
ной редукции точность выполнения условий со-
пряжения на порядок выше, чем при использова-
нии метода простой редукции.
Оценка качества выполнения условий сопряже-
ния на границе областей r=r0 для N =50 при
решении системы уравнений (12) методом улу-
чшенной редукции представлена в табл. 2. Здесь
δ1 и δ2 – относительные погрешности выполне-
ния условий непрерывности потенциала скорости
и нормальной составляющей колебательной скоро-
сти соответственно.
4. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Обратимся к вопросу о влиянии профиля скоро-
сти звука на звуковое поле в случае “мелкой воды”
(толщина водного слоя составляет порядка длины
волны). На рис. 2 представлены графики изоли-
ний модуля амплитуды потенциала скоростей для
волновода с одним выступом (h0 =0.5h1, r0 =2h1,
z0 =0.1h1, h1 =h=100 м) в зависимости от профи-
ля скорости звука (рис. 3) при частоте ω=100 Гц.
Видно, что различия между графиками, пред-
ставленными на рис. 2, невелики. Это согласуется
С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко 39
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 32 – 42
а
б
в
Рис. 2. Изолинии модуля потенциала
скорости |Φ| при f =100 Гц:
а – для профиля c(z), изображенного на рис. 3, а;
б – для профиля c(z), изображенного на рис. 3, б;
в – для c(z)=1450 м/с (λ=91.06 м)
а б
Рис. 3. Профили скорости звука,
принятые в расчетах
с теоретическим утверждением о том, что в случае
мелкой воды для расчета звукового поля вместо
c(z) можно принять некоторое среднее постоянное
значение [14], позволяющее описать поле в первом
приближении. Отметим, что наибольшие отличия
акустических полей друг от друга наблюдаются в
непосредственной близости от дна.
На рис. 4 показано изменение нулевой моды с
глубиной при тех же параметрах волновода для
частоты ω=1000 Гц. Так как теперь волновая то-
лщина водного слоя возрастает на порядок, дан-
ный случай можно рассматривать как случай “глу-
бокой воды”. Расчет нулевой моды для волновода
с переменным профилем скорости звука проводил-
ся согласно алгоритму, описанному выше. Следует
отметить, что для профиля скорости звука, пред-
ставленного на рис. 3, а, подводный звуковой ка-
нал существует только на высоких частотах. При
этом анализ кривых в частичных областях пока-
зывает, что на оси звукового канала значения ну-
левой моды достигают максимума. Здесь же для
сравнения приведена зависимость, соответствую-
щая случаю волновода с постоянным профилем
скорости звука. Анализ рис. 4 позволяет заклю-
чить, что в случае “глубокой воды” профиль ско-
рости звука существенно влияет на звуковое поле
неоднородного волновода. Что касается волновода
с постоянным профилем скорости звука, для него
наибольшее звуковое давление всегда достигается
у дна. На рис. 5 представлен модуль амплитуды
40 С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 32 – 42
потенциала скорости для волновода с выступом на
оси подводного звукового канала, где достигается
максимум звукового давления. На графике видны
длиннопериодные осцилляции, обусловленные ин-
терференцией нескольких первых мод.
Для наглядности на рис. 6 представлен модуль
амплитуды потенциала скорости для волноводов с
выступом и с ровным дном при относительно не-
больших изменениях расстояния. При данном про-
филе скорости звука (см. рис. 3, а) наличие высту-
па не влияет на факт существования подводного
звукового канала (ср. с рис. 5). Несмотря на это,
в звуковом канале происходит смещение максиму-
мов и минимумов амплитуды потенциала и изме-
нение их по абсолютной величине.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Численно-аналитический алгоритм расчета
звукового поля неоднородного гидроакустиче-
ского волновода со ступенчатым дном дает
возможность получить решение с требуемой
точностью в достаточно широком диапазоне
частот (λ≥0.1h).
2. Найденные асимптотические оценки для не-
известных в бесконечной системе линейных
алгебраических уравнений позволяют приме-
нить метод улучшенной редукции, сходимость
которого на порядок выше, чем метода про-
стой редукции.
3. Проведено улучшение сходимости рядов на
границе частичных областей, что позволило
аналитически выделить особенность в пове-
дении колебательной скорости вблизи кромки
акустически жесткого дна.
4. Численные исследования показали, что на
длинах волн, соизмеримых с глубиной волно-
вода, профиль скорости звука слабо влияет на
звуковое поле, определяемое, главным обра-
зом, формой дна.
5. В случае “глубокой воды” (λ≈0.1h) на зву-
ковое поле существенное влияние оказывают
как профиль скорости звука, так и форма дна.
При этом наличие подводного выступа не вли-
яет на существование звукового канала для
рассмотренного профиля скорости звука (ме-
няется лишь структура акустического поля).
1. Бреховских Л. М., Лысанов Ю. П. Теоретические
основы акустики океана.– Л.: Гидрометеоиздат,
1982.– 264 с.
Рис. 4. Нулевая нормальная мода при f =1000 Гц:
сплошная – на глубине h1 для профиля c(z),
изображенного на рис. 3,а;
штрих-пунктирная – на глубине h0 для профиля c(z),
изображенного на рис. 3,а;
штриховая – на глубине h1 для c(z)=1450 м/с
(λ=91.06 м)
Рис. 5. Модуль амплитуды потенциала на оси
звукового канала для волновода с выступом
Рис. 6. Зависимость модуля амплитуды
потенциала скорости |Φ| на оси звукового
канала (z=0.2h) от формы дна:
сплошная – волновод с выступом,
штриховая – волновод с ровным дном
С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко 41
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 32 – 42
2. Акустика океана / Под ред. Дж. Де Санто.– М.:
Мир, 1982.– 318 с.
3. Шендеров Е. Л. Дифракция звуковой волны на
открытом конце волновода с импедансными стен-
ками и импедансными фланцами // Акуст. ж.–
2000.– 46, N 6.– С. 816–828.
4. Barton P. G., Rawlins A. D. Acoustic diffraction by
semi-infinite plane with different face impedances //
Quart. J. Mech. Appl. Math.– 1999.– 52, N 3.–
P. 469–487.
5. Завадский В. Ю. Алгоритм быстрого вычисления
волновых полей и его применение в задачах аку-
стики океана // Акустические волны в океане /
Под ред. Л. М. Бреховских, И. Б. Андреевой.– М.:
Наука, 1987.– С. 52–62.
6. Распространение волн и подводная акустика / Под
ред. Дж. Б. Келлера и Дж. Пападакиса.– М.: Мир,
1980.– 229 с.
7. Гринченко В. Т., Вовк И. В. Волновые задачи
рассеяния звука на упругих оболочках.– К.: На-
ук. думка, 1986.– 240 с.
8. Федорюк М. В. Асимптотика: интегралы и ряды.–
М.: Наука, 1987.– 544 с.
9. Камке Э. Справочник по обыкновенным диф-
ференциальным уравнениям.– М.: Наука, 1976.–
576 с.
10. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Марычев О. И.
Интегралы и ряды. Элементарные функции.– М.:
Наука, 1981.– 800 с.
11. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специ-
альным функциям с формулами, графиками и
математическими таблицами.– М.: Наука, 1979.–
832 с.
12. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: На-
ук. думка, 1981.– 284 с.
13. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные
методы высшего анализа.– М.–Л.: ГИТТЛ, 1952.–
695 с.
14. Толстой И., Клей К. С. Акустика океана. Теория
и эксперимент в подводной акустике.– М.: Мир,
1969.– 301 с.
42 С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-924 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:44:06Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Папков, С.О. Папкова, Ю.И. Ярошенко, А.А. 2008-07-08T17:02:31Z 2008-07-08T17:02:31Z 2003 Звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном / С.О. Папков, Ю.И. Папкова, А.А. Ярошенко // Акустичний вісник. — 2003. — Т. 6, N 1. — С. 32-42. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/924 534.231 Для модели волновода c жестким ступенчатым дном и меняющимся по глубине профилем скорости звука исследовано асимптотическое поведение неизвестных в бесконечной системе линейных уравнений, определяющей весовые коэффициенты в Фурье-разложении акустического потенциала. Знание асимптотики неизвестных позволило применить метод улучшенной редукции при вычислении коэффициентов для нормальных мод. Проведено численное исследование звуковых полей при варьировании параметров задачи. Для моделі хвилеводу з твердим східчастим дном і змінним по глибині профілем швидкості звуку досліджено асимптотичне поводження невідомих у нескінченній системі, яка визначає вагові коефіцієнти у Фур'є-розкладі акустичного потенціалу. Знання асимптотики невідомих дозволило застосувати метод поліпшеної редукції при обчисленні коефіцієнтів для нормальних мод. Проведено чисельне дослідження звукових полів при варіюванні параметрів задачі. For the model of waveguide with a rigid stepwise bottom the asymptotic behavior of unknown variables in the infinite system of linear equations, yielding the weighting coefficients in the Fourier decomposition of an acoustic potential, is studied. Knowledge of asymptotics of the variables allowed to use the method of enhanced reduction when determining the coefficients for the normal modes. Numerical investigation of the sound fields is carried out varying the parameters of the problem. ru Інститут гідромеханіки НАН України Звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном Sound field in an inhomogeneous hydroacoustical waveguide with stepwise bottom Article published earlier |
| spellingShingle | Звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном Папков, С.О. Папкова, Ю.И. Ярошенко, А.А. |
| title | Звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном |
| title_alt | Sound field in an inhomogeneous hydroacoustical waveguide with stepwise bottom |
| title_full | Звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном |
| title_fullStr | Звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном |
| title_full_unstemmed | Звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном |
| title_short | Звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном |
| title_sort | звуковое поле в неоднородном гидроакустическом волноводе со ступенчатым дном |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/924 |
| work_keys_str_mv | AT papkovso zvukovoepolevneodnorodnomgidroakustičeskomvolnovodesostupenčatymdnom AT papkovaûi zvukovoepolevneodnorodnomgidroakustičeskomvolnovodesostupenčatymdnom AT ârošenkoaa zvukovoepolevneodnorodnomgidroakustičeskomvolnovodesostupenčatymdnom AT papkovso soundfieldinaninhomogeneoushydroacousticalwaveguidewithstepwisebottom AT papkovaûi soundfieldinaninhomogeneoushydroacousticalwaveguidewithstepwisebottom AT ârošenkoaa soundfieldinaninhomogeneoushydroacousticalwaveguidewithstepwisebottom |