Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве
Исследованы свойства низших нормальных волн в упругом слое на жидком полупространстве. Асимптотический анализ дисперсионного уравнения при больших волновых числах показал, что в этой волноводной структуре существуют две разные поверхностные волны. Первая нормальная волна с увеличением волнового числ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2005
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/926 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 4. — С. 38-45. — Бібліогр.: 14 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859648356250288128 |
|---|---|
| author | Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. |
| author_facet | Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. |
| citation_txt | Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 4. — С. 38-45. — Бібліогр.: 14 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | Исследованы свойства низших нормальных волн в упругом слое на жидком полупространстве. Асимптотический анализ дисперсионного уравнения при больших волновых числах показал, что в этой волноводной структуре существуют две разные поверхностные волны. Первая нормальная волна с увеличением волнового числа формирует волну Стоунли на поверхности контакта упругого слоя и жидкого полупространства. Вторая нормальная волна в пределе формирует волну Рэлея на свободной поверхности слоя. С увеличением волнового числа обе фазовые скорости стремятся к скоростям соответствующих волн для полупространств. Эффекты упруго-жидкостного взаимодействия существенно зависят от механических свойств жидкости и упругого материала. Уменьшение жесткости материала упругого слоя сильно влияет на предельное значение фазовой скорости бегущих волн, не подверженных радиационному демпфированию. В случае податливого материала упругого слоя предельным значением фазовой скорости бегущих волн будет скорость волны сдвига. Для жесткого материала слоя таким предельным значением будет скорость звука в жидкости. Показано, что для податливого слоя в рассматриваемой волноводной системе существуют бегущие волны высоких порядков, фазовая скорость которых с увеличением волнового числа стремится к скорости волны сдвига материала слоя. На конкретных примерах для двух типов материалов упругого слоя (жесткого и податливого) и воды, выбранной в качестве жидкости, показано влияние дисперсии на кинематические характеристики нормальных волн и их фазовые скорости.
Досліджені властивості нижчих нормальних хвиль у пружному шарі на рідинному півпросторі. Асимптотичний аналіз дисперсійного рівняння при великих хвильових числах показав, що у хвилевідній структурі існують дві різні поверхневі хвилі. Перша нормальна хвиля зі збільшенням хвильового числа формує хвилю Стоунлі на поверхні контакту пружного шару і рідинного напівпростору. Друга нормальна хвиля у граничному випадку формує хвилю Релея на вільній поверхні шару. Зі збільшенням хвильового числа обидві фазові швидкості наближаються до швидкостей відповідних хвиль для півпросторів. Ефекти пружно-рідинної взаємодії суттєво залежать від механічних властивостей рідини та пружного матеріалу. Зменшення жорсткості матеріалу пружного шару сильно впливає на граничне значення фазової швидкості біжучих хвиль, які не зазнають впливу радіаційного демпфірування. У випадку піддатливого матеріалу пружного шару граничним значенням фазової швидкості буде швидкість хвилі зсуву. Для жорсткого матеріалу шару таким граничним значенням буде швидкість звуку в рідині. Показано, що для піддатливого шару у розглянутій хвилевідній системі існують біжучі хвилі високих порядків, фазові швидкості яких зі збільшенням хвильового числа наближаються до швидкості хвилі зсуву матеріалу пружного шару. На конкретних прикладах для двох типів пружних матеріалів шару (жорсткого і піддатливого) та води, вибраної у якості рідини, проілюстровано вплив дисперсії на кінематичні характеристики нормальних хвиль та їхні фазові швидкості.
The properties of the lowest normal waves in an elastic layer on a fluid half-space are investigated. The asymptotic analysis of the dispersion equation at large wave numbers shows the existence of two different surface waves in this waveguide structure. The first normal wave, when the wavenumber (frequency) increases, forms the Stoneley wave on the contact interface between the elastic layer and fluid half-space. The second normal wave in its limit tends to Rayleigh wave on the free surface of the layer. As the frequency increases, both phase velocities tend to the velocities of the corresponding waves for half-spaces. The elastic-fluid interaction effect is strongly dependent on the mechanical properties of the fluid and elastic material. Reduction of material rigidity for elastic layer essentially effects the limiting value of that running waves phase velocities, which are independent of the radiation attenuation. In the case of the compliant material of elastic layer the limiting value of propagating wave phase velocity is that of the shear wave. For rigid material of the layer the corresponding limiting value is sound velocity in fluid. It is shown that in the case of the soft layer's material the running waves of high orders exist in the considered waveguide system, which phase velocities tend with a wavenumber to the velocity of the shear wave for layer material. The effect of dispersion on the kinematical characteristics of the normal waves and their phase velocities is illustrated for two types of elastic materials of the layers (rigid and compliant) and water as the fluid using the particular examples.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:30:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 38 – 45
УДК 534.1:534.232
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В СИСТЕМЕ
УПРУГИЙ СЛОЙ НА ЖИДКОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
В. Т. Г РИ Н Ч Е Н К О∗, Г. Л. К О МИ ССА Р ОВ А∗∗
∗Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
∗∗Институт механики НАН Украины им. С. П. Тимошенко, Киев
Получено 06.11.2005
Исследованы свойства низших нормальных волн в упругом слое на жидком полупространстве. Асимптотический
анализ дисперсионного уравнения при больших волновых числах показал, что в этой волноводной структуре су-
ществуют две разные поверхностные волны. Первая нормальная волна с увеличением волнового числа формирует
волну Стоунли на поверхности контакта упругого слоя и жидкого полупространства. Вторая нормальная волна
в пределе формирует волну Рэлея на свободной поверхности слоя. С увеличением волнового числа обе фазовые
скорости стремятся к скоростям соответствующих волн для полупространств. Эффекты упруго-жидкостного вза-
имодействия существенно зависят от механических свойств жидкости и упругого материала. Уменьшение жесткости
материала упругого слоя сильно влияет на предельное значение фазовой скорости бегущих волн, не подверженных
радиационному демпфированию. В случае податливого материала упругого слоя предельным значением фазовой
скорости бегущих волн будет скорость волны сдвига. Для жесткого материала слоя таким предельным значением
будет скорость звука в жидкости. Показано, что для податливого слоя в рассматриваемой волноводной системе
существуют бегущие волны высоких порядков, фазовая скорость которых с увеличением волнового числа стреми-
тся к скорости волны сдвига материала слоя. На конкретных примерах для двух типов материалов упругого слоя
(жесткого и податливого) и воды, выбранной в качестве жидкости, показано влияние дисперсии на кинематические
характеристики нормальных волн и их фазовые скорости.
Дослiдженi властивостi нижчих нормальних хвиль у пружному шарi на рiдинному пiвпросторi. Асимптотичний
аналiз дисперсiйного рiвняння при великих хвильових числах показав, що у хвилевiднiй структурi iснують двi рiзнi
поверхневi хвилi. Перша нормальна хвиля зi збiльшенням хвильового числа формує хвилю Стоунлi на поверхнi
контакту пружного шару i рiдинного напiвпростору. Друга нормальна хвиля у граничному випадку формує хвилю
Релея на вiльнiй поверхнi шару. Зi збiльшенням хвильового числа обидвi фазовi швидкостi наближаються до швид-
костей вiдповiдних хвиль для пiвпросторiв. Ефекти пружно-рiдинної взаємодiї суттєво залежать вiд механiчних
властивостей рiдини та пружного матерiалу. Зменшення жорсткостi матерiалу пружного шару сильно впливає на
граничне значення фазової швидкостi бiжучих хвиль, якi не зазнають впливу радiацiйного демпфiрування. У ви-
падку пiддатливого матерiалу пружного шару граничним значенням фазової швидкостi буде швидкiсть хвилi зсуву.
Для жорсткого матерiалу шару таким граничним значенням буде швидкiсть звуку в рiдинi. Показано, що для пiд-
датливого шару у розглянутiй хвилевiднiй системi iснують бiжучi хвилi високих порядкiв, фазовi швидкостi яких зi
збiльшенням хвильового числа наближаються до швидкостi хвилi зсуву матерiалу пружного шару. На конкретних
прикладах для двох типiв пружних матерiалiв шару (жорсткого i пiддатливого) та води, вибраної у якостi рiдини,
проiлюстровано вплив дисперсiї на кiнематичнi характеристики нормальних хвиль та їхнi фазовi швидкостi.
The properties of the lowest normal waves in an elastic layer on a fluid half-space are investigated. The asymptotic analysis
of the dispersion equation at large wave numbers shows the existence of two different surface waves in this waveguide
structure. The first normal wave, when the wavenumber (frequency) increases, forms the Stoneley wave on the contact
interface between the elastic layer and fluid half-space. The second normal wave in its limit tends to Rayleigh wave on
the free surface of the layer. As the frequency increases, both phase velocities tend to the velocities of the corresponding
waves for half-spaces. The elastic-fluid interaction effect is strongly dependent on the mechanical properties of the fluid
and elastic material. Reduction of material rigidity for elastic layer essentially effects the limiting value of that running
waves phase velocities, which are independent of the radiation attenuation. In the case of the compliant material of elastic
layer the limiting value of propagating wave phase velocity is that of the shear wave. For rigid material of the layer the
corresponding limiting value is sound velocity in fluid. It is shown that in the case of the soft layer’s material the running
waves of high orders exist in the considered waveguide system, which phase velocities tend with a wavenumber to the
velocity of the shear wave for layer material. The effect of dispersion on the kinematical characteristics of the normal
waves and their phase velocities is illustrated for two types of elastic materials of the layers (rigid and compliant) and
water as the fluid using the particular examples.
ВВЕДЕНИЕ
Наличие гармонических волн, локализованных в
окрестности свободной плоской границы упругого
изотропного полупространства, впервые показано
Рэлеем в 1885 г. [1]. Спустя почти 40 лет Стоунли
обнаружил, что вблизи плоской границы контакта
двух сред также может происходит локализация
волновых движений [2]. В случае жесткого конта-
кта двух упругих сред волна Стоунли существу-
ет только при определенных соотношениях между
их жесткостными характеристиками [3]. Критерий
существования поверхностных волн Стоунли в за-
висимости от значений скоростей продольных и
сдвиговых волн в контактирующих средах полу-
чен в работе [4]. В статьях [5, 6] установлено, что
область параметров контактирующих сред ρ1/ρ2,
G1/G2, при которых существует волна Стоунли,
весьма узка. Здесь ρi – плотности, а Gi – моду-
ли сдвига материалов полупространств (i = 1, 2).
38 c© В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова, 2005
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 38 – 45
Таким образом, количество пар материалов, вбли-
зи поверхности раздела которых может локализо-
ваться волновое движение, весьма мало [3]. При
скользящем контакте класс материалов, допуска-
ющих существования волны типа Стоунли, суще-
ственно расширяется [7]. Однако и здесь поверх-
ностные волны формируются не при любых соо-
тношениях механических характеристик материа-
лов. Физически скользящий контакт, при котором
отсутствуют касательные напряжения на границе
раздела, очень схож со случаем контакта упругого
полупространства с идеальной жидкостью. Одна-
ко в последнем случае поверхностная волна Стоун-
ли существует всегда. Следовательно, способность
сопротивляться сдвигу в упругом теле все-таки
вносит определенные различия.
Знание свойств волн Рэлея и Стоунли оказыва-
ется важным при расшифровке данных сейсмо-
разведки, конструировании приборов в акустоэле-
ктронике. Потребности практики способствовали
появлению большого количества работ, посвящен-
ных исследованию поверхностных волн в упругих
телах. В настоящее время волны типа Рэлея изуче-
ны для упругих сред с различными типами анизо-
тропии [8]. Классификация типов поверхностных
волн в упругом теле и вблизи поверхности конта-
кта тел с разными упругими свойствами проведена
в [9, 10].
Волновые поля в волноводах формируются как
суперпозиция довольно сложных по своим свой-
ствам нормальных волн. Некоторые из них при
увеличении частоты преобразуются в поверхно-
стные волны, с локализацией движения либо вбли-
зи свободных поверхностей, либо вблизи поверхно-
стей раздела материалов. Этот факт хорошо изве-
стен для таких волноводов как упругий слой и
сплошной цилиндр, где поверхностные волны фор-
мируются на основе низших распространяющихся
волн [11 – 13].
В данной статье рассматривается относительно
простая волноводная система в виде упругого слоя
на жидком полупространстве. Интерес к ее изуче-
нию стимулируется тем, что в общем случае де-
формирование упругого слоя не приводит к возни-
кновению на его поверхностях волн Рэлея в клас-
сическом понимании. Общее волновое движение
для слоя характеризуется наличием двух нормаль-
ных волн, распространяющихся при любой часто-
те. В высокочастотной области фазовая скорость
первой продольной волны стремится к скорости
волны Рэлея сверху, а скорость первой изгибной
волны – снизу. С увеличением частоты фазовые
скорости указанных волн сближаются, но остаю-
тся различными. В связи с этим в слое формирую-
тся специфические поверхностные волны. Макси-
мальные амплитуды смещений в них наблюдаются
последовательно то на одной, то на другой поверх-
ности слоя – происходит процесс обмена энергией
между поверхностями. Поэтому возникает интерес
к изучению влияния жидкого нагружения на фор-
мирование поверхностных волн в такой волново-
дной структуре.
1. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ НА ПЛО-
СКОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНТАКТА ДВУХ
СРЕД
1.1. Волна Рэлея на поверхности упругого по-
лупространства
Фазовая скорость поверхностной волны Рэлея
свободного от напряжений упругого полупро-
странства C =CR определяется из уравнения [3]
(
2 −
(
C
VS
)2)2
− 4α∗β∗ = 0,
α∗ =
√
1 −
(
C
VD
)2
;
β∗ =
√
1 −
(
C
VS
)2
.
(1)
Здесь VD и VS – скорости волн расшире-
ния и сдвига. Учитывая соотношение VS/VD =
√
(1−2ν)/2(1−ν), находим, что фазовая скорость
волны Рэлея зависит только от значения коэф-
фициента Пуассона материала полупространства.
Уравнение (1) позволяет отыскать единственный
вещественный корень CR/VS < 1, описывающий
эту поверхностную волну (он принадлежит обла-
сти, в которой α∗ и β∗ вещественны). Волна Рэлея
является бездисперсионной, характеризуется спе-
цифической кинематикой движения частиц по то-
лщине и определенным соотношением продольных
и поперечных компонент вектора смещений [3].
1.2. Поверхностная волна на границе упругого
и жидкого полупространств
Как отмечалось ранее, вблизи поверхности кон-
такта упругого и жидкого полупространств ра-
спространяется поверхностная волна Стоунли.
Уравнение для определения ее фазовой скоро-
сти при контакте упругого изотропного полупро-
странства с идеальной сжимаемой жидкостью C =
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 39
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 38 – 45
CSt имеет вид [14]
[(
2 −
(
C
VS
)2)2
− 4α∗β∗
]
χ∗
0+
+
ρ0
ρ1
α∗
(
C
VS
)4
= 0,
χ∗
0 =
√
1 −
(
C
VS
)2(
VS
C0
)2
.
(2)
Здесь C0 – скорость звука в жидкости; ρ0 и ρ1 –
плотности жидкого и упругого полупространств
соответственно. Из уравнения (2) следует, что зна-
чение его корня зависит не только от коэффициен-
та Пуассона, но и от отношений плотностей ρ0/ρ1 и
скоростей волн VS/C0 материалов упругого и жид-
кого полупространств. Как и для волны Рэлея, фа-
зовая скорость волны Стоунли не зависит от ча-
стоты. Уравнение (2) имеет единственный веще-
ственный корень CSt/VS < 1, лежащий в области
параметров, в которой α∗, β∗ и χ∗
0 вещественны.
При оценке влияния физических параметров со-
ставляющих материалов на характеристики вол-
нового поля упруго-жидкостных волноводов сле-
дует различать два типа упругих материалов:
жесткие и податливые (мягкие). В случае жес-
тких материалов (например, металлов) справедли-
во VS/C0 > 1, ρ0/ρ1 � 1. Для податливых матери-
алов VS/C0 < 1, а плотности жидкости и упругой
среды близки между собой. К податливым матери-
алам относятся мягкие пластмассы, резина, мяг-
кие биологические ткани.
Соотношения между характеристиками жидко-
сти и упругого материала существенно влияют на
относительную величину скорости волны Стоун-
ли, а также на распределение энергии возмуще-
ний между жидкостью и твердым телом. Про-
ведем оценки фазовых скоростей волны Стоунли
для конкретных материалов.
В случае контакта пары сталь – вода (ν = 0.29,
ρ0/ρ1 = 0.13, VS/C0 = 2.14) фазовая скорость вол-
ны Стоунли будет CSt/VS = 0.46715122 (CSt/C0 =
0.99972). Корню уравнения χ∗
0 = 0 соответству-
ет значение Cχ/VS = 0.467289, очень близкое к
CSt/VS . Это указывает на то, что в соответствии с
уравнением (2) фазовая скорость волны Стоунли
существенно отличается от скорости волны Рэлея
CR/VS =0.92584297.
Для пары жесткая резина – вода (ν =0.4, ρ0/ρ1 =
0.909, VS/C0 = 0.3946) фазовая скорость волны
Стоунли будет CSt/VS = 0.81563857 (CSt/C0 =
0.32185), а Cχ/VS = 2.5342. В этом случае вели-
чина χ∗
0 достаточно велика и, следовательно, роль
второго слагаемого в уравнении (2) незначительна.
Следовательно, скорость волны Стоунли близка к
скорости волны Рэлея CR/VS =0.94219543.
Приведенные данные показывают, что при кон-
такте упругого полупространства из жесткого ма-
териала с жидкостью фазовая скорость волны
Стоунли весьма близка к скорости звука в жидко-
сти и значительно меньше скорости волны Рэлея
(CSt/CR =0.5047). Если же материал упругого по-
лупространства является податливым, то скорость
волны Стоунли будет существенно ниже скорости
звука в жидкости и немного меньше скорости вол-
ны Рэлея (CSt/CR =0.85).
Упруго-жидкостное взаимодействие для жес-
тких и податливых материалов характеризуется
существенным различием в распределении потока
энергии между жидкой средой и упругим телом.
Если в случае жесткого материала основная часть
потока энергии сосредоточена в жидкости, то для
мягких материалов характерно более равномер-
ное распределение энергии между упругим телом
и жидкостью. Это подтверждается данными ки-
нематических характеристик поверхностных волн
для двух характерных случаев контакта упруго-
го и жидкого полупространств. На рис. 1 пред-
ставлены зависимости нормированных амплитуд
продольных V ∗
x = Vx/|Vxmax| и поперечных V ∗
z =
Vz/|Vz max| смещений (скоростей) от безразмерной
координаты z/λ для случаев жесткого (сталь) и
податливого (жесткая резина) упругих полупро-
странств (z >0), контактирующих с водой (z <0).
Здесь λ – длина волны. Сплошные линии соо-
тветствуют случаю контакта пары сталь – вода, а
штриховые линии – контакту пары жесткая ре-
зина – вода. Кроме того, следует отметить суще-
ственное отличие соотношений продольных и по-
перечных смещений для жестких и мягких упру-
гих материалов. Так, в случае контакта сталь –
вода uxz = |Ux max|/|Uz max|=40.9, а для пары жест-
кая резина – вода uxz =1.04.
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА СМЕЩЕ-
НИЙ И АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННОГО
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УПРУГОГО СЛОЯ НА
ЖИДКОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
В рассмотренных выше случаях поверхностные
волны были бездисперсионными. Однако, как
только в области распространения появляется бо-
лее чем одна граничная поверхность (или поверх-
ности раздела), образуется волновод, в котором
распространяющиеся волны становятся дисперси-
онными. В таких структурах может формирова-
ться много бегущих мод, и важным становится
40 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 38 – 45
z /
-2 -1 0 1 2
Ux*
-0.5
0
0.5
1
1
2
z /
-2 -1 0 1 2
Uz*
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
1
2
а б
Рис. 1. Влияние жесткости упругого материала на кинематические характеристики волны Стоунли
при контакте упругого и жидкого полупространств (пары: сталь – вода и жесткая резина – вода)
выделение тех из них, которые при определен-
ных условиях обнаруживают свойства, характер-
ные для поверхностных волн.
Рассмотрим структуру волнового поля в систе-
ме, образованной упругим изотропным слоем −h≤
Z≤h, контактирующим с полупространством иде-
альной сжимаемой жидкости Z <−h. Компоненты
вектора смещений в упругом слое выберем в виде
uj = Uj(z) exp[i(ζx − ωt)] , j = x, z,
Ux(z) = iζ
[(
A1 sin αz − A2
β
ζ2
sin βz
)
+
+
(
A3 cosαz − A4
β
ζ2
cos βz
)]
,
Uz(z) = (A1α cos αz + A2 cosβz)−
−(A3α sin αz + A4 sin βz),
α2 = γ2
1 − ζ2, β2 = γ2
2 − ζ2,
γ1 =
ωh
VD
, γ2 =
ωh
VS
, z =
Z
h
.
(3)
Потенциал скорости частиц жидкости, удовлетво-
ряющий уравнению Гельмгольца, имеет вид
ϕ0 = D exp(χ0z) exp[i(ζx − ωt)],
χ2
0 = ζ2 − γ2
2
(
VS
C0
)2
= ζ2χ∗2
0 .
(4)
В последних двух формулах использованы обозна-
чения, имеющие следующий смысл: ζ – безразмер-
ное волновое число (получено умножением его ра-
змерной величины на h); ω – круговая частота; γ1,
γ2 – безразмерные частоты; 2h – толщина слоя; A1,
A2, A3, A4, D – произвольные постоянные. Здесь и
далее все линейные величины отнесены к h. Потен-
циал скорости нормирован к произведению hC0.
На свободной поверхности слоя (z = 1) должны
выполняться условия равенства нулю нормальных
и касательных напряжений. На границе контакта
упругого слоя и жидкости (z = −1) предполагаю-
тся равными нормальные скорости, а также нор-
мальные напряжения и давление в жидкости; при
этом касательные напряжения на границе слоя
равны нулю:
σzz(x, 1, t)
2µ
=
σxz(x, 1, t)
2µ
= 0,
∂uz(x,−1, t)
∂t
= −
C0
VS
∂ϕ0(x,−1, t)
∂z
,
σzz(x,−1, t)
2µ
= −
ρ0C0
ρ1VS
∂ϕ0(x,−1, t)
∂t
,
σxz(x,−1, t)
2µ
= 0.
(5)
Здесь µ – модуль сдвига.
Граничные условия (5) при использовании ре-
шений (3) и (4) порождают дисперсионное урав-
нение. Удовлетворяя условия для касательных на-
пряжений, получаем следующие соотношения ме-
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 41
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 38 – 45
жду неизвестными величинами:
A1 = −A2
2ζ2 − γ2
2
2αζ2
cosβ
cos α
,
A3 = −A4
2ζ2 − γ2
2
2αζ2
sin β
sin α
.
(6)
Выполнив оставшиеся граничные условия из ра-
венств (5), с учетом соотношений (6) получим дис-
персионное уравнение
∆3 = ‖aij‖ = 0, i, j = 1, 2, 3. (7)
Определитель ‖aij‖ имеет следующие коэффици-
енты:
a11 =
ζ2 cosβ
4α
{
[
2 −
(
γ2
ζ
)2 ]2
tg α+
+4
αβ
ζ2
tg β
}
,
a12 =
ζ2 sin β
4α
{
[
2 −
(
γ2
ζ
)2 ]2
ctg α+
+4
αβ
ζ2
ctg β
}
,
a13 = 0, a21 = a11, a22 = −a12,
a23 = −
i
2
C0
VS
ρ0
ρ1
γ2 exp(−χ0),
a31 =
γ2
2
2ζ2
cos β, a32 =
γ2
2
2ζ2
sin β,
a33 = i
C0
VS
χ0
γ2
exp(−χ0),
(8)
Уравнение (7) сводится к выражению
∆3 = −2a11
[
a12a33+
+
1
2
a23a32
(
1 −
a12
a11
a31
a32
)]
= 0.
(9)
Вещественные корни уравнения (9) ищем для тех
частот и волновых чисел, для которых α и β яв-
ляются мнимыми величинами. Другие области ча-
стот не представляют интереса при поиске локали-
зованных поверхностных волн, поскольку соответ-
ствующие им волновые движения связаны с излу-
чением энергии в жидкое полупространство.
Выражения (3) описывают бегущую вдоль оси
Ox волну с убывающей по толщине слоя амплиту-
дой при условии, что ее фазовая скорость меньше
скорости волны сдвига: C <VS . В этой области ча-
стот и волновых чисел уравнение (9) сводится к
двум следующим соотношениям:
a∗
11 =
[
2−
(
C
VS
)2 ]2
th α∗ζ−4α∗β∗th β∗ζ = 0, (10)
a∗
12χ
∗
0 +
1
2
ρ0
ρ1
α∗
(
C
VS
)4(
1 +
a∗
12
a∗
11
)
= 0,
a∗
12 =
[
2 −
(
C
VS
)2 ]2
cth α∗ζ − 4α∗β∗cth β∗ζ.
(11)
Здесь учтено, что γ2/ζ = C/VS; α = iα∗ζ; β =
iβ∗ζ. При ζ →∞ формула (10) переходит в урав-
нение для определения фазовой скорости волны
Рэлея (1), а формула (11) – в уравнение для опре-
деления скорости волны Стоунли (2). Следова-
тельно, при контакте упругого изотропного слоя
с идеальной сжимаемой жидкостью существуют
две поверхностные волны: волна Рэлея на свобо-
дной поверхности слоя (z = 1) и волна Стоунли
на поверхности контакта слоя с жидкостью (z =
−1). Упруго-жидкостное взаимодействие устраня-
ет обмен энергией между поверхностями слоя,
отмеченный для слоя со свободными поверхностя-
ми.
В табл. 1 и 2 приведены дисперсионные характе-
ристики первых двух распространяющихся волн
для случаев контакта слоя из стали (жесткий мате-
риал) и слоя из жесткой резины (податливый ма-
териал) с водой. Из табл. 1 видно, что при кон-
такте стального слоя с водой фазовая скорость
первой нормальной волны уже при ζ = 10 прак-
тически совпадает со скоростью волны Стоунли.
Фазовая скорость второй волны становится рав-
ной скорости волны Рэлея при ζ = 20. Для слоя
из жесткой резины фазовые скорости первых двух
нормальных волн приближаются к асимптотикам,
соответствующим волнам Стоунли и Рэлея, при
ζ = 20. Следует отметить, что значения фазовых
скоростей поверхностных волн Рэлея и Стоунли,
полученные из классических уравнений (1), (2) и
из формул (10), (11), отличаются весьма незначи-
тельно. Так, для ζ =5 различие составляет поряд-
ка 0.5 %.
Общий качественный анализ свойств волновых
полей в композитной системе упругий слой на
жидком полупространстве позволяет сделать важ-
ный вывод о принципиальном различии в структу-
ре волновых полей для случаев мягкого и жесткого
42 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 38 – 45
Табл 1. Дисперсионные характеристики поверхностных волн для слоя,
контактирующего c жидким полупространством (сталь – вода)
волна Стоунли волна Рэлея
ζ γ
(1)
2 C/VS ζ γ
(2)
2 C/VS
5 2.335769 0.4671519 5 4.574545 0.9149090
10 4.671512 0.4671512 10 9.255569 0.9255569
20 9.343024 0.4671512 20 18.51686 0.92584297
50 23.357561 0.4671512 50 46.292148 0.92584297
100 46.715122 0.4671512 100 92.584297 0.92584297
Табл 2. Дисперсионные характеристики поверхностных волн для слоя,
контактирующего c жидким полупространством (жесткая резина –вода)
волна Стоунли волна Рэлея
ζ γ
(1)
2 C/VS ζ γ
(2)
2 C/VS
5 4.099082 0.81981648 5 4.722171 0.9444342
10 8.156512 0.81565121 10 9.421980 0.9421980
20 16.312771 0.81563857 20 18.843909 0.9421954
30 24.469157 0.81563857 30 28.265863 0.9421954
100 81.563857 0.81563857 100 94.219543 0.9421954
Табл 3. Дисперсионные характеристики бегущих волн высокого порядка
для волноводной системы жесткая резина – вода
ζ γ2,1 C1/VS γ2,2 C2/VS γ2,3 C3/VS
40 40.332146 1.0083 40.561679 1.0140 40.871004 1.0218
50 50.110442 1.0022 50.256759 1.0051 50.439019 1.0088
100 100.11948 1.0012 100.20854 1.0021 100.32557 1.0033
материалов слоя. Предельными значениями фазо-
вых скоростей для волн высокого порядка в упру-
гом слоя будет скорость сдвиговых волн. Посколь-
ку для жесткого слоя последняя превышает ско-
рость звука в жидкости, то в системе могут суще-
ствовать только две волны, бегущие без радиаци-
онного затухания. В случае же мягкого слоя пре-
дельная скорость существующих в нем нормаль-
ных волн оказывается меньшей, чем скорость зву-
ка в жидкости. Следовательно, для каждой нор-
мальной волны существует диапазон частот и вол-
новых чисел, в котором ее фазовая скорость бу-
дет меньше C0. В связи с этим, в системе без ра-
диационного демпфирования могут распространя-
ться связанные упруго-жидкостные волны, фазо-
вая скорость которых имеет в пределе скорость
сдвиговых волн.
Расчеты показали, что в случае податливого ма-
териала слоя в рассматриваемой волноводной си-
стеме, помимо волн Стоунли и Рэлея, на высоких
частотах действительно существуют бегущие вол-
ны, распространяющиеся без радиационного дем-
пфирования. Их фазовые скорости с увеличением
волнового числа стремятся сверху к скорости вол-
ны сдвига материала слоя. В области частот и вол-
новых чисел, для которых существуют эти бегу-
щие волны, величины α∗ и χ∗
0 являются веществен-
ными, а β∗ – мнимым. В связи с этим, в диспер-
сионных уравнениях (10) и (11) необходимо заме-
нить гиперболические функции th β∗ζ и cth β∗ζ на
соответствующие им тригонометрические функ-
ции tg β∗
1ζ и ctg β∗
1 ζ, где β∗
1 =
√
(γ2/ζ)2−1. При
определении корней модифицированных уравне-
ний (10) и (11) возникают вычислительные труд-
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 43
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 38 – 45
ности, обусловленные тем, что тригонометриче-
ские функции имеют бесконечные разрывы, при-
чем корни дисперсионных уравнений находятся
вблизи точек разрыва. Поэтому соответствующие
вычисления следует проводить с малым шагом
по ζ (или γ2). Различать точки разрыва и корни
уравнения удается, контролируя точность удовле-
творения исходных равенств. Например, для ζ =
100 первой точке разрыва дисперсионного урав-
нения (11) соответствует γ2 = 100.1972. Для этих
значений волнового числа ∆3 =1.58·1012. В то же
время, при γ2 =100.2085, являющемся корнем это-
го уравнения, ∆3 =3·10−7.
В табл. 3 для заданных значений волновых чи-
сел приведены значения частот и относительных
фазовых скоростей первых трех бегущих волн
высоких порядков. Представленные данные пока-
зывают, что с увеличением волнового числа фазо-
вые скорости этих волн, не излучающих энергию в
жидкую среду, стремятся к скорости волны сдвига
материала слоя.
3. АНАЛИЗ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРА-
КТЕРИСТИК ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
Рассмотрим кинематические характеристики
первых двух распространяющихся волн для дан-
ных из табл. 1 и 2. На последующих графиках
представлены распределения нормированных ам-
плитуд продольных (U∗
x ) и поперечных (U∗
z ) сме-
щений по поперечной координате z для ζ = 20 и
100. Такие значения волнового числа позволяют
рассмотреть процесс перехода нормальных волн в
поверхностные.
Распределения нормированных амплитуд сме-
щений, соответствующих волне Стоунли, для слу-
чая контакта стального слоя с водой показаны на
рис. 2, а для контакта слоя из жесткой резины с
водой – на рис. 3. Штриховые линии соответству-
ют значению волнового числа ζ =20, а сплошные –
ζ=100. Из графиков видно, что жесткость матери-
ала упругого слоя оказывает существенное влия-
ние на характер локализации волновых движений
вблизи контакта. В случае пары сталь – вода вол-
новое движение сосредоточено в жидкости и ме-
дленно убывает с удалением от поверхности кон-
такта (z = −1). С ростом волнового числа (ча-
стоты) скорость убывания волнового возмущения
в жидкости возрастает. Поперечные смещения в
слое быстро убывают с удалением от поверхности
контакта, а продольные весьма малы по сравне-
нию со смещениями в жидкости даже на самой
этой поверхности. Для пары жесткая резина – вода
в окрестности поверхности контакта волновое во-
змущение в равной мере захватывает и жидкость,
и упругое тело.
Заметим, что для одинаковых пар материа-
лов отношения продольных и поперечных ком-
понент вектора смещений для волны Стоунли
в волноводной структуре упругий слой – жидкое
полупространство и системе полупространство –
полупространство при ζ = 100 совпадают. Как и
следовало ожидать, жесткость материала упруго-
го слоя не оказывает существенного влияния на
характер локализации волновых движений в окре-
стности свободной поверхности слоя, соответству-
ющих волне Рэлея.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изучены поверхностные волны для случая кон-
такта упругого изотропного слоя и идеальной сжи-
маемой жидкости. В области больших волновых
чисел анализ дисперсионного уравнения позволил
выделить два уравнения для определения фазо-
вых скоростей поверхностных волн. Одно из них
описывает волну Рэлея на свободной поверхности
упругого слоя, а второе – поверхностную волну
Стоунли на поверхности контакта упругой и жид-
кой сред.
На конкретных примерах проанализировано
влияние жесткости упругого материала на харак-
тер локализации волновых движений вблизи по-
верхности контакта жидкого и упругого полупро-
странств, а также упругого слоя и жидкого полу-
пространства. Уменьшение жесткости материала
упругого слоя способствует формированию волно-
вого возмущения в окрестности контакта, в рав-
ной мере охватывающего упругую и жидкостную
составляющие волновода. Упруго-жидкостное вза-
имодействие существенно изменяет свойства по-
верхностных волн в упругом слое, которые форми-
руются в общем случае несимметричных волновых
движений.
1. Rayleigh J. W. On waves propagated along the plane
surface of an elastic solid // Proc. Lond. Math. Soc.–
1885/1886.– 17, N 253.– P. 4–11.
2. Stoneley R. The elastic waves at the interface of
seperation of two solids // Proc. Roy. Soc. Lond.–
1924.– A106, N 732.– P. 416–429.
3. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко-
лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. дум-
ка, 1981.– 283 с.
4. Гоголадзе В. Г. Отражение и переломление упру-
гих волн.Общая теория граничных волн Рэлея //
Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР.– 1947.– 125.– С. 1–
43.
5. Sholte J. G. The range of existence of Rayleigh and
Stoneley waves // Roy. Astron. Soc. Lond., Month.
Not. Geophys. Suppl.– 1947.– 5, N 3.– P. 120–126.
44 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 38 – 45
z
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8
Ux*
-0.5
0
0.5
1
1
2
z
-2 -1.5 -1 -0.5
Uz*
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
1
2
а б
Рис. 2. Кинематические характеристики волны Стоунли для волноводной структуры
упругий слой на жидком полупространстве (пара сталь – вода)
z
-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6
Ux*
-0.5
0
0.5
1
1
2
z
-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4
Uz*
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
1
2
а б
Рис. 3. Кинематические характеристики волны Стоунли для волноводной структуры
упругий слой на жидком полупространстве (пара жесткая резина – вода)
6. Thurston R. N. Elastic waves in rods and clad rods //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1978.– 64, N 1.– P. 1–37.
7. Achenbach J. D., Epstein H. I. Dynamic interaction
of a layer and a half-space // Proc. Amer. Soc. Civil
Engng, J. Engng Mech.– 1967.– 93, N 5.– P. 27–42.
8. Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных
волн // Физическая акустика: Принципы и мето-
ды, том 6.– М.: Мир, 1973.– С. 137–202.
9. Викторов И. А. Типы звуковых поверхностных
волн в твердых телах // Акуст. ж.– 1979.– 25, N 1.–
С. 1–17.
10. Überal H. Surface waves in acoustics // Physical
acoustics: Principles and metods, vol. 10.– New York:
Academic Press, 1973.– P. 1–60.
11. Mindlin R. D. Waves and vibrations in isotropic
elastic plates // Structural mechanics.– New York:
Pergamon Press, 1960.– P. 199–232.
12. Onoe M., McNiven H. D., Mindlin R. D. Dispersion of
axially symmetric waves in elastic rods // ASME J.
Appl. Mech.– 1962.– 29.– P. 729–734.
13. Zemanek J. An experimental and theoretical investi-
gation of elastic waves propagation in a cylinder //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1972.– 51, N 1.– P. 265–283.
14. Комиссарова Г. Л. Обобщенные волны Стоунли в
составном упруго-жидкостном волноводе // Допо-
вiдi АН УРСР, Сер. А.– 1977.– N 9.– С. 66–73.
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 45
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-926 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:30:50Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. 2008-07-09T10:33:29Z 2008-07-09T10:33:29Z 2005 Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 4. — С. 38-45. — Бібліогр.: 14 назв. — рус. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/926 534.1:534.232 Исследованы свойства низших нормальных волн в упругом слое на жидком полупространстве. Асимптотический анализ дисперсионного уравнения при больших волновых числах показал, что в этой волноводной структуре существуют две разные поверхностные волны. Первая нормальная волна с увеличением волнового числа формирует волну Стоунли на поверхности контакта упругого слоя и жидкого полупространства. Вторая нормальная волна в пределе формирует волну Рэлея на свободной поверхности слоя. С увеличением волнового числа обе фазовые скорости стремятся к скоростям соответствующих волн для полупространств. Эффекты упруго-жидкостного взаимодействия существенно зависят от механических свойств жидкости и упругого материала. Уменьшение жесткости материала упругого слоя сильно влияет на предельное значение фазовой скорости бегущих волн, не подверженных радиационному демпфированию. В случае податливого материала упругого слоя предельным значением фазовой скорости бегущих волн будет скорость волны сдвига. Для жесткого материала слоя таким предельным значением будет скорость звука в жидкости. Показано, что для податливого слоя в рассматриваемой волноводной системе существуют бегущие волны высоких порядков, фазовая скорость которых с увеличением волнового числа стремится к скорости волны сдвига материала слоя. На конкретных примерах для двух типов материалов упругого слоя (жесткого и податливого) и воды, выбранной в качестве жидкости, показано влияние дисперсии на кинематические характеристики нормальных волн и их фазовые скорости. Досліджені властивості нижчих нормальних хвиль у пружному шарі на рідинному півпросторі. Асимптотичний аналіз дисперсійного рівняння при великих хвильових числах показав, що у хвилевідній структурі існують дві різні поверхневі хвилі. Перша нормальна хвиля зі збільшенням хвильового числа формує хвилю Стоунлі на поверхні контакту пружного шару і рідинного напівпростору. Друга нормальна хвиля у граничному випадку формує хвилю Релея на вільній поверхні шару. Зі збільшенням хвильового числа обидві фазові швидкості наближаються до швидкостей відповідних хвиль для півпросторів. Ефекти пружно-рідинної взаємодії суттєво залежать від механічних властивостей рідини та пружного матеріалу. Зменшення жорсткості матеріалу пружного шару сильно впливає на граничне значення фазової швидкості біжучих хвиль, які не зазнають впливу радіаційного демпфірування. У випадку піддатливого матеріалу пружного шару граничним значенням фазової швидкості буде швидкість хвилі зсуву. Для жорсткого матеріалу шару таким граничним значенням буде швидкість звуку в рідині. Показано, що для піддатливого шару у розглянутій хвилевідній системі існують біжучі хвилі високих порядків, фазові швидкості яких зі збільшенням хвильового числа наближаються до швидкості хвилі зсуву матеріалу пружного шару. На конкретних прикладах для двох типів пружних матеріалів шару (жорсткого і піддатливого) та води, вибраної у якості рідини, проілюстровано вплив дисперсії на кінематичні характеристики нормальних хвиль та їхні фазові швидкості. The properties of the lowest normal waves in an elastic layer on a fluid half-space are investigated. The asymptotic analysis of the dispersion equation at large wave numbers shows the existence of two different surface waves in this waveguide structure. The first normal wave, when the wavenumber (frequency) increases, forms the Stoneley wave on the contact interface between the elastic layer and fluid half-space. The second normal wave in its limit tends to Rayleigh wave on the free surface of the layer. As the frequency increases, both phase velocities tend to the velocities of the corresponding waves for half-spaces. The elastic-fluid interaction effect is strongly dependent on the mechanical properties of the fluid and elastic material. Reduction of material rigidity for elastic layer essentially effects the limiting value of that running waves phase velocities, which are independent of the radiation attenuation. In the case of the compliant material of elastic layer the limiting value of propagating wave phase velocity is that of the shear wave. For rigid material of the layer the corresponding limiting value is sound velocity in fluid. It is shown that in the case of the soft layer's material the running waves of high orders exist in the considered waveguide system, which phase velocities tend with a wavenumber to the velocity of the shear wave for layer material. The effect of dispersion on the kinematical characteristics of the normal waves and their phase velocities is illustrated for two types of elastic materials of the layers (rigid and compliant) and water as the fluid using the particular examples. ru Інститут гідромеханіки НАН України Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве Surface waves in a system: an elastic layer on a fluid half-space Article published earlier |
| spellingShingle | Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. |
| title | Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве |
| title_alt | Surface waves in a system: an elastic layer on a fluid half-space |
| title_full | Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве |
| title_fullStr | Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве |
| title_full_unstemmed | Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве |
| title_short | Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве |
| title_sort | поверхностные волны в системе упругий слой на жидком полупространстве |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/926 |
| work_keys_str_mv | AT grinčenkovt poverhnostnyevolnyvsistemeuprugiisloinažidkompoluprostranstve AT komissarovagl poverhnostnyevolnyvsistemeuprugiisloinažidkompoluprostranstve AT grinčenkovt surfacewavesinasystemanelasticlayeronafluidhalfspace AT komissarovagl surfacewavesinasystemanelasticlayeronafluidhalfspace |