Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах
Проведен анализ особенностей краевого резонанса при симметричных колебаниях полуслоя со свободным торцом для различных значений коэффициента Пуассона. Показано, что с его изменением от 0 до 0.5 частота краевого резонанса We возрастает от 1.99 до 2.61. При этом добротность резонанса резко падает. Рас...
Saved in:
| Date: | 2004 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/941 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах / Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 1. — С. 30-43. — Библиогр.: 12 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860071367193395200 |
|---|---|
| author | Городецкая, Н.С. Гринченко, В.Т. |
| author_facet | Городецкая, Н.С. Гринченко, В.Т. |
| citation_txt | Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах / Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 1. — С. 30-43. — Библиогр.: 12 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | Проведен анализ особенностей краевого резонанса при симметричных колебаниях полуслоя со свободным торцом для различных значений коэффициента Пуассона. Показано, что с его изменением от 0 до 0.5 частота краевого резонанса We возрастает от 1.99 до 2.61. При этом добротность резонанса резко падает. Рассматривая первую распространяющуюся волну как суперпозицию продольных и поперечных волн, отметим, что на частоте краевого резонанса на боковых поверхностях полуслоя поперечная волна является распространяющейся, а продольная - неоднородной. На частоте W2=2.2 практически для всех коэффициентов Пуассона на ширине полуслоя укладывается целое число поперечных (SV) полуволн (syy(±1,0)=0). Для умеренных значений коэффициента Пуассона (0.22<n<0.42) существует диапазон частот, в котором поперечная волна падает на свободный торец под углом, большим критического, и продольная волна (P) является распространяющейся. В этом случае также существует частота We1, на которой syy(±1,0)=0 (с учетом SV- и P-волн). Для умеренных значений коэффициента Пуассона частота краевого резонанса лежит между W2 и We1.
Проведено аналіз особливостей крайового резонансу при симетричних коливаннях півшару з вільним торцем для різних значень коефіцієнта Пуассона. Показано, що з його зміною від 0 до 0.5 частота крайового резонансу We зростає від 1.99 до 2.61. При цьому добротність резонансу різко падає. Розглядаючи першу хвилю, що поширюється, як суперпозицію поздовжніх і поперечних хвиль, відзначимо, що на частоті крайового резонансу на бічних поверхнях півшару поперечна хвиля поширюється, а поздовжня є неоднорідною. На частоті W2=2.2 практично для всіх коефіцієнтів Пуассона на ширині півшару вкладається ціле число поперечних (SV) півхвиль (syy(±1,z)=0). Для помірних значень коефіцієнта Пуассона 0.22<n<0.42 існує частотний діапазон, в якому поперечна хвиля падає на вільний торець під кутом, більшим за критичний, і поздовжня хвиля (P) є такою, що поширюється. У цьому випадку також існує частота We1, на якій syy(±1,0)=0 (з урахуванням SV- та P-хвиль). Для помірних значень коефіцієнта Пуассона частота крайового резонансу лежіть між W2 і We1.
The features of the edge resonance are analyzed for symmetric vibrations of a semi-layer with the free edge at various Poisson's ratios. It is shown that when the Poisson's ratio changes from 0 to 0.5 the frequency of the edge resonance We increases from 1.99 to 2.61. At the same time, the quality factor sharply decreases. Considering the first propagating wave as a superposition on primary and secondary waves, we note that on the edge resonant frequency the secondary wave propagates on lateral surfaces of the semi-layer, while the primary wave is an evanescent one. At frequency W2=2.2 practically for all Poisson's ratios the integer number of the secondary (SV) half-waves confines to width of the semi-layer (syy(±1, z)=0). For moderate values of the Poisson's ratios 0.22<n<0.42 the frequency range exists, for which the secondary wave falls to the free edge under supercritical angle, and the primary wave (P) becomes the propagating one. For this case also the frequency We1 exists, for which syy(±1,0)=0 (accounting for SV- and P-waves). For moderate Poisson's ratios the edge resonant frequency lays between W2 and We1.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:11:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
УДК 539.3
АНАЛИЗ ФИЗИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ ЯВЛЕНИЯ
КРАЕВОГО РЕЗОНАНСА В УПРУГИХ ТЕЛАХ
Н. С. Г О Р ОД ЕЦ К А Я, В. Т. Г Р ИН Ч Е Н К О
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 20.11.2003 � Пересмотрено 6.04.2004
Проведен анализ особенностей краевого резонанса при симметричных колебаниях полуслоя со свободным торцом
для различных значений коэффициента Пуассона. Показано, что с его изменением от 0 до 0.5 частота краевого
резонанса возрастает от 1.99 до 2.61. При этом добротность резонанса резко падает. Рассматривая первую распро-
страняющуюся волну как суперпозицию продольных и поперечных волн, отметим, что на частоте краевого резонанса
на боковых поверхностях полуслоя поперечная волна является распространяющейся, а продольная – неоднородной.
На частоте Ω2=2.2 практически для всех коэффициентов Пуассона на ширине полуслоя укладывается целое чис-
ло поперечных (SV) полуволн (σyy(±1, 0)=0). Для умеренных значений коэффициента Пуассона (0.22≤ν≤0.42)
существует диапазон частот, в котором поперечная волна падает на свободный торец под углом, большим крити-
ческого, и продольная волна (P) является распространяющейся. В этом случае также существует частота Ω1
e, на
которой σyy(±1, 0)=0 (с учетом SV- и P-волн). Для умеренных значений коэффициента Пуассона частота краевого
резонанса лежит между Ω2 и Ω1
e.
Проведено аналiз особливостей крайового резонансу при симетричних коливаннях пiвшару з вiльним торцем для
рiзних значень коефiцiєнта Пуассона. Показано, що з його змiною вiд 0 до 0.5 частота крайового резонансу зростає
вiд 1.99 до 2.61. При цьому добротнiсть резонансу рiзко падає. Розглядаючи першу хвилю, що поширюється, як
суперпозицiю поздовжнiх i поперечних хвиль, вiдзначимо, що на частотi крайового резонансу на бiчних поверх-
нях пiвшару поперечна хвиля поширюється, а поздовжня є неоднорiдною. На частотi Ω2 =2.2 практично для всiх
коефiцiєнтiв Пуассона на ширинi пiвшару вкладається цiле число поперечних (SV) пiвхвиль (σyy(±1, z)=0). Для
помiрних значень коефiцiєнта Пуассона 0.22≤ν≤0.42 iснує частотний дiапазон, в якому поперечна хвиля падає на
вiльний торець пiд кутом, бiльшим за критичний, i поздовжня хвиля (P) є такою, що поширюється. У цьому випадку
також iснує частота Ω1
e, на якiй σyy(±1, 0)=0 (з урахуванням SV- та P-хвиль). Для помiрних значень коефiцiєнта
Пуассона частота крайового резонансу лежiть мiж Ω2 i Ω1
e.
The features of the edge resonance are analyzed for symmetric vibrations of a semi-layer with the free edge at various
Poisson’s ratios. It is shown that when the Poisson’s ratio changes from 0 to 0.5 the frequency of the edge resonance
Ωe increases from 1.99 to 2.61. At the same time, the quality factor sharply decreases. Considering the first propagating
wave as a superposition on primary and secondary waves, we note that on the edge resonant frequency the secondary
wave propagates on lateral surfaces of the semi-layer, while the primary wave is an evanescent one. At frequency Ω2 =2.2
practically for all Poisson’s ratios the integer number of the secondary (SV) half-waves confines to width of the semi-
layer (σyy(±1, z)=0). For moderate values of the Poisson’s ratios 0.22≤ν≤0.42 the frequency range exists, for which
the secondary wave falls to the free edge under supercritical angle, and the primary wave (P) becomes the propagating
one. For this case also the frequency Ω1
e exists, for which σyy(±1, 0)=0 (accounting for SV- and P-waves). For moderate
Poisson’s ratios the edge resonant frequency lays between Ω2 and Ω1
e.
ВВЕДЕНИЕ
Закономерности процесса возбуждения и рас-
пространения волн Рэлея – Лэмба в изотропном
упругом полубесконечном слое являются предме-
том интенсивных исследований [1 – 6], основанных
на аналитических и численных подходах. К насто-
ящему времени накоплен значительный объем ин-
формации о структуре и свойствах волнового по-
ля в таком волноводе при различных способах его
возбуждения. Именно на этой простейшей модель-
ной задаче удается проиллюстрировать специфи-
ческие волновые эффекты, наблюдаемые в упру-
гих телах конечных размеров и не имеющие ана-
логов в акустических и электромагнитных волно-
водах.
Одним из упомянутых эффектов является крае-
вой резонанс [1,2]. Это явление возникает как при
свободных, так и при вынужденных колебаниях
упругих тел. В случае конечных тел речь идет о
наличии специфической собственной формы коле-
баний, образование которой связано с интенсив-
ным возбуждением неоднородных волн. Именно
поэтому изучение механизма, обуславливающего
их возбуждение, можно провести, рассматривая
относительно простую задачу отражения приходя-
щей из бесконечности нормальной волны от торца
полубесконечного волновода.
Следует отметить, что частота, на которой прои-
сходит сильная локализация движения вблизи
торца в полуограниченных телах, найденная чи-
слено, совпадает с частотой краевого резонанса в
конечных упругих телах, полученной эксперимен-
тально. Поэтому для анализа физических причин
значительного возбуждения неоднородных волн
на частоте краевого резонанса можно рассматри-
вать особенности распространения упругих волн
в полуограниченных телах. Такой подход основан
30 c© Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, 2004
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
на предположении о том, что характеристики сто-
ячей волны в конечном упругом теле можно пред-
сказать на основании анализа отражения бегущей
волны от свободной поверхности. При этом суще-
ственно, что частота краевого резонанса лежит в
области частот, для которой в упругом слое суще-
ствует только одна распространяющаяся мода.
Экспериментально краевой резонанс впервые
обнаружен Е. Шоу [1] и Дж. Оливером [2]. Изу-
чению этого явления, которое справедливо свя-
зывают с резонансом на неоднородных волнах [3],
посвящено очень много экспериментальных и те-
оретических работ. В результате проведенных ис-
следований получены достаточно полные данные
о значении собственной частоты и характеристи-
ках соответствующей собственной формы колеба-
ний. Однако накопленный фактический материал
не дает возможности проанализировать физиче-
ский механизм, обуславливающий возможность и
неизбежность возникновения краевого резонанса
как эффекта, характерного для упругих тел.
Традиционно резонансные явления в упругих
телах изучаются при рассмотрении вынужденных
колебаний под действием заданных на границе си-
ловых или кинематических воздействий. В случае
полуслоя появляется возможность рассмотреть до-
полнительный источник возбуждения волнового
процесса – падающую из бесконечности волну. Она
имеет конечную энергию во всем частотном диапа-
зоне. Кроме того, отраженная (уходящая на беско-
нечность) волна формирует в системе специфиче-
ский радиационный механизм затухания. О возни-
кновении при этом резонансных ситуаций можно
говорить, анализируя частотную зависимость си-
ловых или кинематических характеристик отра-
женного волнового поля. В случае его возбужде-
ния падающей из бесконечности волной в диапазо-
не частот, где распространяется только одна вол-
на, существование резонансных явлений на рас-
пространяющихся волнах невозможно. Здесь речь
может идти лишь об особом характере возбужде-
ния неоднородных волн. При этом амплитуда та-
ких волн всегда остается конечной в силу наличия
радиационного демпфирования.
При возбуждении колебаний заданной силовой
нагрузкой ситуация может измениться. Для выну-
жденных колебаний характерна возможность в ря-
де случаев устранить связь между распространяю-
щейся и неоднородными волнами и получить кра-
евой резонанс “в чистом виде”, т. е. обращение в
бесконечность амплитуд смещений на резонансной
частоте. Связь между распространяющейся и нео-
днородными волнами устраняется, например, для
симметричных колебаний полуполосы и полуци-
линдра [4] при коэффициенте Пуассона ν =0. В
этом случае амплитуда неоднородных волн при
возбуждении колебаний самоуравновешенной на-
грузкой стремиться к бесконечности [4, 7].
В случае неосесимметричных колебаний полу-
бесконечного цилиндра резонанс при вынужден-
ных колебаниях наблюдается для произвольных
значений ν [8]. Для неосесимметричных колеба-
ний полуцилиндра наименьшая частота запира-
ния волновода больше нуля при всех возмож-
ных значениях коэффициента Пуассона. Посколь-
ку частота краевого резонанса оказывается мень-
ше значения низшей критической частоты, неогра-
ниченный рост амплитуды неоднородных волн при
вынужденных колебаниях здесь наблюдается при
произвольном ν .
Таким образом, эффективность возбуждения
краевого резонанса существенно зависит как от
параметров среды (коэффициента Пуассона), так
и от способа возбуждения волнового поля в упру-
гом теле. В данном исследовании определена сте-
пень влияния обоих факторов, однако упор дела-
ется на поиск физического механизма, обуславли-
вающего возникновение краевого резонанса. При
этом важную роль играют фундаментальные осо-
бенности процесса отражения упругих волн от сво-
бодной границы упругого тела.
Материал статьи изложен следующим образом.
В первом разделе дана постановка граничной за-
дачи для двух случаев возбуждения волнового по-
ля. Во втором разделе представлена простейшая
волноводная система, для которой процесс отра-
жения от края связан с генерацией неоднородных
волн. Количественные оценки погрешности реше-
ния задачи для полубесконечного слоя при при-
ближенном удовлетворении граничных условий
представлены в третьем разделе. Здесь использо-
вано приближение, аналогичное стержневой мо-
дели, когда граничные условия на торце выпол-
няются только для нормальных напряжений. За-
тем проанализированы результаты точного реше-
ния задачи и проведен анализ механизма форми-
рования волнового поля вблизи торца волновода.
В заключении суммируются результаты проведен-
ного анализа.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим плоскую задачу определения волно-
вого поля в изотропном полубесконечном упругом
слое |Y |≤H, Z≥0, −∞<X <∞ (случай плоской
деформации) с заданными физическими характе-
ристиками: модулем сдвига µ, коэффициентом Пу-
ассона ν и плотностью ρ. Выбор системы коор-
Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко 31
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
Рис. 1. Геометрия задачи
динат и геометрия области показаны на рис. 1.
Волны предполагаются гармоническими с круго-
вой частотой ω. Зависимость от времени кине-
матических и силовых характеристик поля зада-
ется множителем e−iωt, который в последующих
выкладках опущен. Частота ω считается положи-
тельной вещественной величиной. Рассматривае-
тся симметричное относительно плоскости Y =0
волновое поле. При построении решения соотно-
шениями y=Y/H, z=Z/H вводятся безразмерные
координаты.
Рассмотрим два способа возбуждения волнового
поля в волноводе. В первом случае изучается про-
цесс отражения приходящей из бесконечности нор-
мальной волны u
(0)(y, z) от свободного от напря-
жений торца волновода (см. рис. 1). Для нахож-
дения характеристик отраженных волн u
(1)(y, z)
необходимо решить следующую граничную зада-
чу для уравнений движения Ламе [4]:
σ(1)
zz (y, 0)+σ(0)
zz (y, 0)=0, |y|≤1, z=0,
τ
(1)
zy (y, 0)+τ
(0)
zy (y, 0)=0, |y|≤1, z=0,
σ(1)
yy (±1, z)=τ (1)
yz (±1, z)=0, y=±1, z≥0.
(1)
При рассмотрении второго случая – вынужден-
ных колебаний – ограничимся заданием равномер-
но распределенной нормальной нагрузки на тор-
це. Изменение вида распределения напряжений не
приводит к каким-либо качественным изменениям
в характере вынужденных колебаний. Для опре-
деления характеристик генерируемого волнового
поля u
(1)(y, z) следует решить граничную задачу
σ
(1)
zz
2µ
= S0,
τ
(1)
zz
2µ
= 0. (2)
В обоих случаях поверхности y=±1 считаются
свободными от напряжений. Количественные ха-
рактеристики волновых полей будем нормировать
на амплитуду падающей волны или на величину
внешней нагрузки на торце S0.
Частные решения уравнений движения Ламе в
принятой системе координат, соответствующие по
форме бегущим в направлении оси Oz волнам, хо-
рошо известны [4]. При выборе необходимых ком-
бинаций таких решений для удовлетворения гра-
ничных условий следует принимать во внимание
условия излучения. Поскольку рассматриваемый
диапазон частот не включает частоту запирания
второй нормальной волны, знак фазовой скоро-
сти в используемых частных решениях определен
однозначно. Так, компоненты вектора смещений в
падающей из бесконечности волне представляются
в виде
uz(y, z) = −iξ
(
α2
1α2
ch α2y
sh α2
−
−ξ2 + α2
2
2
α1
ch α1y
sh α1
)
e−iξz,
uy(y, z) = α2
1
(
ξ2 sh α2y
sh α2
−
−ξ2 + α2
2
2
sh α1y
sh α1
)
e−iξz ,
(3)
где ξ – волновое число. Приведенные выражения
тождественно удовлетворяют уравнениям движе-
ния упругого тела, если параметры αj связаны с
волновым числом и частотой следующими соотно-
шениями:
αj =
√
ξ2 − Ω2
j , |ξ| ≥ Ωj,
−i
√
Ω2
j − ξ2, |ξ| < Ωj.
(4)
Здесь введены безразмерные частоты Ω1 =ωH/cl и
Ω2 =ωH/cs, привязанные к скоростям продольной
cl и поперечной cs волн.
Для того, чтобы соответствующие выражени-
ям (3) компоненты тензора напряжений σzz и τyz
обращались в нуль на свободных поверхностях
y=±1 при заданном значении частоты, постоян-
ная распространения ξ должна определяться из
32 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
дисперсионного уравнения
∆(ξ) =
(
2ξ2−Ω2
)2
α1cth α1−
−4ξ2α2
1α2cth α2 = 0.
(5)
Это уравнение хорошо изучено, и при фиксиро-
ванном значении частоты имеет конечное чис-
ло вещественных и чисто мнимых корней, а так-
же бесконечное число комплексных корней [4].
Решения уравнений движения для вещественных
корней определяют систему распространяющихся
волн в слое. Решения для мнимых и комплексных
корней характеризуются существенной изменяе-
мостью характеристик по координате z и исполь-
зуются лишь для удовлетворения граничных усло-
вий вблизи торцевых поверхностей. Численные
процедуры определения значений корней также
хорошо отработаны. Отметим, что в рассматрива-
емом диапазоне частот уравнение (5) имеет один
вещественный и ни одного мнимого корня. Это об-
стоятельство учтено при построении общих реше-
ний граничной задачи.
Проведенный анализ дает возможность запи-
сать общее представление для вектора смещений,
позволяющее выполнить граничные условия для
указанных двух вариантов постановки задачи. В
случае возбуждения волнового поля в слое прихо-
дящей из бесконечности нормальной волной общее
представление для вектора смещений имеет вид
u(y, z) = A0u(ξ1, y)e−iξ1z + A1u(ξ1, y)eiξ1z×
×
∞∑
k=2
(
Aku(ξk, y)eiξkz + Bku(ξ∗k , y)e−iξ∗kz
)
.
(6)
Здесь A0 – заданная амплитуда падающей волны.
Неизвестные постоянные Ak и Bk должны опре-
деляться из однородных граничных условий. Ам-
плитудные функции, зависящие от толщинной ко-
ординаты y, находятся в соответствии с выраже-
ниями (3). Для выбранной системы координат при
проведении вычислений следует использовать кор-
ни дисперсионного уравнения (5) с положительной
мнимой частью.
При рассмотрении задачи о вынужденных коле-
баниях в приведенном выражении (6) следует опу-
стить слагаемое с A0, а неизвестные коэффициен-
ты Ak, Bk определять из неоднородных граничных
условий (2).
Для простейших моделей волноводных стру-
ктур (струна, акустический волновод, продольно
деформируемый тонкий упругий стержень) зада-
чи, подобные рассматриваемой, весьма просты. В
них отраженная волна полностью повторяет пада-
ющую и отличается от нее лишь некоторым фа-
зовым сдвигом. В нашей же задаче невозможно
выполнить два граничных условия на торце, со-
храняя в общем решении (6) только слагаемое c
A1 (т. е. только бегущую отраженную волну), хотя
очевидно, что для рассматриваемого частотного
интервала на большом расстоянии от торца в отра-
женном поле будет существовать только первая
бегущая волна. Это рассуждение указывает на ва-
жную роль неоднородных волн при формировании
волнового поля вблизи торца. Прежде чем присту-
пить к анализу решений сформулированных выше
задач, проиллюстрируем роль неоднородных волн
на более простом примере.
2. ИЗГИБНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛУБЕСКОНЕ-
ЧНОЙ БАЛКЕ
Простейшей моделью упругой волноводной
структуры, в которой неоднородные волны игра-
ют важную роль, является модель балки, основан-
ная на гипотезе плоских сечений. В этом случае
распространение гармонических волн описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
d4W
dx4
− η4W = 0 (7)
относительно амплитуды прогиба оси балки W (x).
Здесь волновое число η известным образом [9] свя-
зано с жесткостью, плотностью материала и ча-
стотой волны. Характер зависимости волнового
числа от частоты η∼√
ω указывает на существо-
вание дисперсии изгибных волн.
Общее решение дифференциального уравне-
ния (7) имеет вид
W (x) = A1e
iηx + A2e
−iηx + A3e
ηx + A4e
−ηx. (8)
Частными решениями уравнения являются как бе-
гущие (e±iηz), так и неоднородные (e±ηz) волны.
Рассмотрим процесс отражения изгибных волн
от торца полубесконечной балки x≥0 при различ-
ных типах граничных условий. Волновое поле воз-
буждается приходящей из бесконечности волной
W1 =A0e
−iηx−iωt. При падении этой волны на то-
рец балки будет формироваться отраженное вол-
новое поле. Легко найти представления для него
при различных граничных условиях. Для балки
с шарнирно опертым концом (равны нулю прогиб
и изгибающий момент) отраженное поле опреде-
ляется выражением Wr(x, t)=−A0e
iηx−iωt. В этом
случае оно представляет собой волну того же типа,
что и падающая, но с измененной фазой.
Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко 33
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
Рис. 2. Погрешность выполнения граничных условий
по касательным напряжениям для ν=0.1:
1 – Ω2 =1.7, 2 – Ω2 =1.85, 3 – Ω2=2.0, 4 – Ω2 =2.15
Ситуация принципиально меняется в случае за-
щемленного (равны нулю прогиб и угол поворота
поперечного сечения) или свободного (равны нулю
изгибающий момент и перерезывающая сила) тор-
ца балки. В этих случаях уже невозможно удов-
летворить граничные условия только за счет ра-
спространяющихся волн, а необходимо учитывать
и неоднородные волны, входящие в общее реше-
ние (8).
Рассмотрим случай свободного торца. В этом
случае сумма падающего и отраженного поля
W (x, t)=W1(x, t)+Wr(x, t) должна быть такой,
чтобы вторая и третья производные по x функции
W (x, t) обращались в нуль. Учитывая требование
ограниченности возмущений на бесконечности для
построения отраженного поля, используем следу-
ющую комбинацию частных решений из выраже-
ния (8):
Wr(x, t) = A1e
iηx−iωt + A4e
−ηx−iωt. (9)
Выполнив граничные условия, найдем значения
амплитудных характеристик составляющих отра-
женного поля через амплитуду падающей волны:
Wr(x, t)=
(
− A0
1 − i
1 + i
eiηx+A0
2i
1+i
e−ηx
)
e−iωt. (10)
Видно, что при рассматриваемых граничных усло-
виях в процессе отражения формируются как бе-
гущая волна с амплитудой, равной по модулю ам-
плитуде падающей волны, так и неоднородная вол-
на, модуль амплитуды которой превосходит ам-
плитуду падающей волны. Для случая жесткой за-
делки ситуация аналогична.
Следует отметить, что изгибные волны в бал-
ке – простейший случай, когда волновое движе-
ние в упругом теле формируется при взаимодей-
ствии сдвиговых и продольных волн. Перерезыва-
ющая сила и изгибающий момент являются ин-
тегральными характеристиками нормальных и ка-
сательных напряжений соответственно. Приведен-
ный выше результат указывает, что отражение та-
кого составного волнового движения от свободной
или защемленной границы оказывается сложным
процессом, при котором должны возникать до-
статочно сильно выраженные локальные возмуще-
ния.
Важно отметить, что определенная с использо-
ванием такой простейшей модели амплитуда не-
однородной волны не зависит от частоты. Это
обусловлено тем, что в рамках балочной теории
для произвольной частоты сохраняется постоян-
ное соотношение между сдвиговыми и нормаль-
ными напряжениями, описываемое выражением
dM(x)/dx=Q(x). Здесь M(x) и Q(x) – изгибаю-
щий момент и перерезывающая сила в некотором
сечении балки соответственно. При отсутствии по-
перечной нагрузки это соотношение между инте-
гральными характеристиками продольных и сдви-
говых напряжений в балке остается постоянным
для всех частот.
В представляющей для нас основной интерес за-
даче об отражении нормальной волны от свобод-
ного торца полубесконечного упругого слоя суще-
ственно усложняются как сама процедура полу-
чения количественных оценок отраженного поля,
так и структура отраженного поля, в формиро-
вании которого теперь участвует неограниченное
число неоднородных волн. Однако, прежде чем пе-
рейти к анализу полного решения граничных за-
дач, целесообразно рассмотреть простое прибли-
женное решение задачи об отражении первой нор-
мальной волны от свободного торца. Данные, по-
лученные в результате такого приближенного ре-
шения, весьма полезны для более полного понима-
ния возможностей приближенных теорий и возни-
кающих при их использовании погрешностей.
Этот упрощенный анализ необходимо допол-
нить комментарием по поводу принципиальных
различий в процессах отражения для шарнирного
опирания и двух других типов граничных условий.
В случае шарнирного опирания граничными усло-
виями налагаются ограничения на касательные к
торцу смещения и нормальные напряжения. Усло-
вия такого типа часто используются при рассмо-
трении статических и динамических задач теории
упругости для тел конечных размеров. При этом
решение существенно упрощается. Однако из при-
34 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
а б
Рис. 3. Погрешность выполнения граничных условий по касательным напряжениям для ν =0.3:
1 – Ω2=1.7, 2 – Ω2=1.85, 3 – Ω2 =2.0, 4 – Ω2=2.15, 5 – Ω2 =2.2, 6 – Ω2 =2.35, 7 – Ω2 =2.4, 8 – Ω2 =2.5, 9 – Ω2 =2.6
веденного примера видно, что такие постановки не
дают возможности учесть некоторые важные осо-
бенности волновых процессов в упругих телах.
3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
О ВОЛНОВОМ ПОЛЕ В ПОЛУОГРАНИЧЕН-
НОМ СЛОЕ
Приближенное решение, о котором будет идти
речь ниже, строится по аналогии с решением за-
дачи в рамках стержневой модели. При падении на
торец волновода нормальной волны в отраженном
поле учитывается только бегущая волна. При этом
имеется возможность выполнить только одно гра-
ничное условие (например, для нормального на-
пряжения). Оценка величины касательных напря-
жений на торце дает представление о точности
решения задачи. При анализе результатов будем
использовать данные о частотах краевого резонан-
са, полученные на основе строгого решения дву-
мерной граничной задачи.
Проанализируем изменение по частоте погре-
шности выполнения граничных условий по каса-
тельным напряжениям (модуль амплитуды отра-
женной распространяющейся волны при этом
определялся из граничных условий по нормаль-
ным напряжениям). На рис. 2 приведены распре-
деления по торцу волновода касательных напря-
жений при представлении волнового поля в слое
как суммы только падающей и отраженной бегу-
щих волн. Здесь вычисления выполнены для коэф-
фициента Пуассона ν =0.1. Отметим, что краевой
резонанс для материала слоя с ν=0.1 возникает на
частоте Ωe =2.08.
Как видно из рисунка, с ростом частоты в ди-
апазоне Ω2≤Ωe погрешность выполнения грани-
чных условий по касательным напряжениям по
всей торцевой поверхности увеличивается, а для
Ω2≥Ωe – падает вплоть до частоты Ω2 =2.2. Та-
кое поведение погрешности необычно в свете усто-
явшегося представления о ее росте с уменьше-
нием длины волны. При дальнейшем росте ча-
стоты, вплоть до частоты, на которой появляю-
тся распространяющиеся волны высших порядков
(для ν =0.1 это Ω∗=2.27), погрешность выполне-
ния граничных условий по касательным напряже-
ниям растет. На частоте Ωe эта погрешность до-
стигает максимального значения по всему торцу
полуслоя. Как уже отмечалось, волновое движе-
ние в нормальной волне является суперпозици-
ей сдвиговых и продольных волн. В свете этого
рост погрешности выполнения граничных условий
на частоте краевого резонанса можно истолковать
в том смысле, что именно здесь сдвиговые ком-
поненты нормальной волны оказываются особен-
но существенными. Можно также отметить, что
устранение этой погрешности при решении грани-
чной задачи достигается за счет включения в об-
щее решение неоднородных волн, локализованных
вблизи торца. Полученные данные позволяют за-
ключить, что именно на частоте краевого резонан-
са вклад неоднородных волн должен быть наибо-
лее значимым.
На рис. 3 приведены данные о частотной зависи-
Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко 35
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
мости величины касательных напряжений на тор-
це для слоя с ν =0.3. На рис. 3, а представлены
данные для частот, меньших частоты краевого ре-
зонанса, а на рис. 3, б – для частот, превышающих
ее. Краевой резонанс для ν =0.3 наблюдается на
частоте Ωe =2.315, а распространяющиеся волны
высших порядков появляются при Ω∗=2.75.
При сравнении данных, представленных на
рис. 2 и 3, прежде всего следует отметить суще-
ственные различия в физической картине процес-
са отражения первой распространяющейся волны
для разных значений коэффициентов Пуассона.
Оставив на некоторое время в стороне детальный
анализ этих различий, отметим здесь, что погре-
шность выполнения граничных условий по каса-
тельным напряжениям для ν =0.3 имеет несколь-
ко экстремумов. С ростом частоты она возрастает
до частоты Ω2 =1.85, далее – уменьшается, дости-
гая минимального значения на частоте Ω2 =2.2,
а затем опять увеличивается, достигая максиму-
ма на частоте краевого резонанса Ωe =2.315. Для
более высоких частот погрешность уменьшается
на отрезке до Ωe =2.45 и затем вновь возрастает
вплоть до Ω∗=2.75. Как видим, здесь также име-
ется локальный максимум погрешности выполне-
ния граничных условий по касательным напряже-
ниям на частоте краевого резонанса. Заметим, что
на рис. 2 и 3, по сути, приведены относительные
величины касательных напряжений, отнесенные к
максимальному значению нормального напряже-
ния в падающей волне.
Следует также отметить, что характер измене-
ния погрешности выполнения граничного условия
по касательным напряжениям на торце для раз-
личных коэффициентов Пуассона подобен до ча-
стоты Ω2 =2.2. Для более высоких частот наблю-
даются принципиальные отличия, которые в зна-
чительной мере обусловлены зависимостью дис-
персионных свойств нормальных волн волновода
от коэффициента Пуассона.
Данные о погрешности выполнения граничных
условий указывают на особую роль частоты
Ω2 =2.2, которая уже отмечалась в [6]. В этой ра-
боте рассматривались некоторые характерные осо-
бенности волнового поля в полуслое в окрестности
частоты краевого резонанса при возбуждении сим-
метричных волновых движений первой нормаль-
ной волной. В падающей волне выделялись нео-
днородная продольная (P) и распространяющаяся
поперечная (SV) волны. При этом рассматрива-
лось отражение только распространяющейся SV-
компоненты. Было показано, что при ее отраже-
нии от свободного торца на частоте Ω2∼2.2 для
всех значений коэффициента Пуассона на высоте
полуслоя укладывается целое число SV-полуволн и
наблюдается резонанс на поперечной распростра-
няющейся волне.
Особая роль частоты Ω2 определяется тем, что
в этом случае сдвиговая составляющая в первой
нормальной волне падает на границу слоя под
углом, близким к 45◦. При отражении такой сдви-
говой волны от свободной поверхности продоль-
ные волны практически не генерируются. Для та-
кой частоты решение граничной задачи об отраже-
нии нормальной волны от свободного торца дол-
жно быть достаточно простым, а для удовлетворе-
ния граничных условий не требуется привлекать
неоднородные волны. Это подтверждается дан-
ными конкретных расчетов. На рис. 4 представ-
лены частотные зависимости амплитуды первой
неоднородной волны, нормированные на амплиту-
ду падающей волны (A1/A
(0)). Рис. 4, б иллюстри-
рует поведение амплитуды первой неоднородной
волны в увеличенном масштабе. Видно, что ее зна-
чение практически равно нулю. Поскольку такая
ситуация имеет место для произвольного значения
коэффициента Пуассона, частота Ω2 =2.2 всегда
будет определять одну из границ диапазона ча-
стот, в котором может наблюдаться явление крае-
вого резонанса.
Напомним, что до сих пор рассмотрение прово-
дилось в рамках приближенного решения дина-
мических задач теории упругости для балочной
модели и модели, которую можно рассматривать
как некоторое уточнение стержневой модели. В
последнем случае использовалось точное решение
уравнений движения, но в совокупности с прибли-
женным выполнением граничных условий на тор-
це. При таком подходе имеется возможность более
глубоко понять ряд физических особенностей про-
цесса распространения и отражения волн в вол-
новодных структурах. Так, при анализе волново-
го поля в балке указывалось на то, что в рам-
ках этой модели соотношение между сдвиговыми
и нормальными напряжениями остается постоян-
ным при любой частоте. В рассматриваемом же
случае это не так. Однако при использовании то-
чных решений уравнений движения лучше гово-
рить об относительных вкладах продольных (P) и
поперечных (SV) волн (они будут оценены ниже
в результате решения граничной задачи с полным
выполнением граничных условий).
При общей характеристике данных приближен-
ного расчета волнового поля в полубесконечном
слое следует обратить внимание на достаточно ши-
рокий диапазон частот, в котором погрешность
выполнения граничных условий по касательным
напряжениям относительно невелика. Для частот,
36 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
а б
Рис. 4. Модуль амплитуды первой неоднородной волны, нормированный на амплитуду падающей
(волновое поле возбуждается распространяющейся волной):
1 – ν = 0.24, 2 – ν = 0.3, 3 – ν = 0.4, 4 – ν = 0.48
соответствующих рис. 2 и 3, а, можно говорить о
погрешности порядка 15 %. Вместе с тем, погре-
шность определения собственных частот конечно-
го по направлению оси Oz упругого тела может
быть гораздо более существенной.
Для частот, лежащих выше частоты краевого
резонанса, и типичного для многих материалов ко-
эффициента Пуассона ν=0.3 величина погрешно-
сти по касательным напряжениям становится зна-
чительной. Как видно из рис. 3, б, касательные
напряжения могут на порядок превосходить нор-
мальные напряжения в падающей волне. Эти ре-
зультаты указывают на существенное изменение
роли продольных и сдвиговых компонент в нор-
мальной волне при изменении частоты.
4. АНАЛИЗ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Перейдем к анализу численных результатов, ха-
рактеризующих краевой резонанс в полуслое. В
данной работе не будем останавливаться на методе
решения поставленной граничной задачи. Отме-
тим только, что как метод однородных решений,
который использовался в [3,10,11], так и метод су-
перпозиций [4,6] дают практически одинаковые ве-
личины комплексных амплитуд нормальных волн.
В рамках обоих подходов определение амплитуд
возбуждения нормальных волн связано с числен-
ным решением бесконечных систем. Детали этой
процедуры и оценки точности результатов приве-
дены в [4, 6]. Дальнейший анализ основан на ре-
зультатах решения бесконечных систем для раз-
личных типов нагрузки и различных значений ча-
стоты.
При анализе резонансных ситуаций необходимо
следить за изменением фазовых характеристик и
увеличением модуля коэффициентов Aj . Как уже
отмечалось, основное внимание в работе уделяе-
тся частотному диапазону, в котором существует
только одна распространяющаяся волна. Наличие
волны, уносящей энергию от торца, обуславлива-
ет существование радиационного демпфирования.
За счет этого при симметричных волновых движе-
ниях (продольные колебания) в слое из материала
с ν 6=0 амплитуды смещений на резонансной ча-
стоте остаются конечными, а интенсивность про-
явления резонанса зависит от ряда факторов. По-
скольку известно [4], что форма колебаний на ча-
стоте краевого резонанса практически совпадает
с формой первой неоднородной волны, будем рас-
сматривать только частотные зависимости ампли-
туды первой неоднородной волны. Прежде всего,
исследуем особенности проявления краевого резо-
нанса при различных способах возбуждения вол-
нового поля.
Вначале обратимся к характеристикам волново-
го поля, генерируемого заданной нормальной на-
грузкой на торце. Естественно, что в этом случае
будет наблюдаться некоторая частотная зависи-
мость амплитуд как для распространяющихся, так
и для неоднородных волн. Очевидно, что для ам-
плитуды бегущей волны она непосредственно свя-
Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко 37
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
а б
Рис. 5. Модули амплитуд отраженных волн (волновое поле возбуждается нормальной нагрузкой на торце):
1 – неоднородная волна, 2 – распространяющаяся волна;
а – ν = 0.3, б – ν = 0.4
зана с характером распределения нормальных на-
пряжений по толщине слоя в этой волне.
На рис. 5 представлены частотные зависимо-
сти модуля амплитуд единственной распростра-
няющейся (кривые 2 и 4) и первой неоднородной
волн (кривые 1 и 3) для различных коэффициен-
тов Пуассона. Представленные на рисунках кри-
вые имеют типичный резонансный характер. Это
отражается и на поведении фазовой характери-
стики амплитудных коэффициентов: вблизи опре-
деленной частоты мнимая часть комплексной ам-
плитуды Im (A0) меняет знак. Частоту, на кото-
рой Im (A0)=0 естественно считать резонансной
(заметим, что ее величина зависит от коэффици-
ента Пуассона).
Интересно отметить, что в случае вынужденных
колебаний при заданной нагрузке на торце наблю-
дается резонансное возбуждение бегущей и нео-
днородной волн на одной и той же частоте. При
этом амплитуда первой неоднородной волны зна-
чительно превышает амплитуду распространяю-
щейся волны, а соотношение между амплитудами
существенно зависит от коэффициента Пуассона
упругого материала. Для случая ν =0.3 оно равно
10.2. В слое из материала с ν =0.4 это отношение
уменьшается до 5.7.
Упомянутые данные получены для случая рав-
номерного распределения нормального напряже-
ния на торце слоя. При изменении характера на-
грузки отношения амплитуд могут измениться, и
все же с качественной стороны их можно рассма-
тривать как указание на различную степень свя-
занности движений в бегущей и в неоднородных
волнах для разных значений коэффициента Пу-
ассона. Чем он больше, тем больше резонансные
колебания демпфируются убегающей волной. Как
будет показано ниже, этот вывод находит свое под-
тверждение и при анализе характера отражения
первой нормальной волны от свободного торца:
амплитуды неоднородных волн высших порядков
на резонансной частоте остаются меньше ампли-
туды распространяющейся волны.
С изменением коэффициента Пуассона меняется
степень возбуждения неоднородной волны и поло-
са частот ее эффективного возбуждения. Эффе-
ктивной характеристикой таких резонансных за-
висимостей является добротность, показывающая
во сколько раз амплитуда вынужденных колеба-
ний на резонансе превышает амплитуду выну-
жденных колебаний на частоте, лежащей мно-
го ниже резонанса (при одинаковой амплитуде
вынуждающей силы). Количественно добротность
вычисляют как отношение резонансной частоты к
ширине частотной полосы, на границах которой
энергия, поступающая в систему, равна половине
энергии на резонансной частоте [12]. Тем не менее,
прямое использование такого определения добро-
тности для краевого резонанса нецелесообразно,
поскольку частотная зависимость энергии возбу-
ждаемого вынужденными колебаниями волнового
поля довольно сложна.
Для рассматриваемого случая симметричных
волновых движений и постоянной амплитуды
вынуждающей силы поток мощности через попе-
38 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
речное сечение слоя z=const определяется соотно-
шением
Ev = 2µωS0
(
Ω2
1 −
Ω2
2
2
)
Im i
∞∑
k=1
ξkAk. (11)
Здесь Ak – комплексные амплитуды нормальных
волн; ξk – корни дисперсионного уравнения (5).
Из соотношения (11) видно, что частотная зави-
симость энергии определяется как частотной зави-
симостью амплитуд всех нормальных волны, так и
кубом частоты (ωΩ2
1,2), а также дисперсионными
свойствами, отраженными в сложной зависимости
волновых чисел от частоты (ξk =f(ω)).
Поскольку простой связи между частотными за-
висимостями амплитудных характеристик и пото-
ком мощности не существует, то для количествен-
ной оценки краевого резонанса в данной работе
введем параметр Qj , равный отношению часто-
ты краевого резонанса к ширине частотного ди-
апазона, на границах которого модуль амплитуды
j-ой нормальной волны уменьшается в два раза.
Для приведенных на рис. 5 кривых введенный па-
раметр оказывается приблизительно одинаковым
для первой распространяющейся и первой неодно-
родной волн: Q0 =Q1. Абсолютная величина вве-
денной таким образом добротности Q для фикси-
рованной моды уменьшается с ростом коэффици-
ента Пуассона. Этот важный факт требует физи-
ческого объяснения и будет обсужден ниже.
Рассмотрим теперь особенности проявления
краевого резонанса при возбуждении волново-
го поля первой нормальной волной, приходящей
из бесконечности. В рассматриваемой частотной
области амплитуда отраженной бегущей волны
равна амплитуде падающей (|A0|= |A(0)|=1), что
непосредственно следует из закона сохранения
энергии. Теперь резонансные эффекты могут про-
явиться лишь за счет перераспределения ампли-
туд неоднородных волн. Возвращаясь к обсужде-
нию рис. 4, обратим внимание на два эффекта. С
уменьшением коэффициента Пуассона материала
слоя параметр Q для первой неоднородной волны
увеличивается и резонансные кривые становятся
более острыми. Вместе с тем, возрастает уровень
возбуждения неоднородных волн.
Сравнение амплитуд первой неоднородной вол-
ны для коэффициента Пуассона ν =0.3 при воз-
буждении полуслоя нормальной нагрузкой с по-
стоянной амплитудой (σ
(0)
zz =1) и при возбуждении
первой распространяющейся волной с постоянной
амплитудой (A(0) = 1), см. кривую 1 на рис. 5, а и
кривую 2 на рис. 4, а, показало, что в обоих слу-
чаях величина добротности Q1 одинакова. Одна-
ко, как видно из рисунков, значения амплитуд для
этих двух случаев возбуждения волнового поля ра-
зличаются. Чтобы более корректно сравнивать ве-
личины модулей амплитуды первой неоднородной
волны при различных способах возбуждения вол-
нового поля, следует оценить эти амплитуды при
условии, что для обоих способов возбуждения оди-
накова энергия, поступающая в полуслой.
Энергия, переносимая падающей волной, опре-
деляется соотношением
E0 = µω|A(0)|2Ω2
2(ξ
2 − Ω2
1)
∆′(ξ)
2
. (12)
Зададим на частоте краевого резонанса ампли-
туду падающей волны A(0) таким образом, что-
бы Ev =E0. Тогда для коэффициента Пуассона
ν =0.3 при падении первой распространяющей-
ся волны на свободный торец амплитуда пер-
вой отраженной неоднородной волны равнялась
A1 =10.18. При возбуждении волновых движений
постоянной нормальной нагрузкой (для Ev =E0 и
ν =0.3) амплитуда первой неоднородной волны бу-
дет A1 =28.71, т. е. в 2.8 раз больше.
Таким образом, для фиксированного коэффици-
ента Пуассона величина максимальной амплиту-
ды неоднородных волн существенно зависит от на-
грузки, т. е. от согласования формы краевой моды
и характера распределения вынуждающей нагруз-
ки. При этом величина добротности Q остается по-
стоянной. Эта ситуация типична для резонансных
явлений в распределенных системах.
Сам факт значительного возбуждения неодно-
родных волн вблизи торца волновода на часто-
те краевого резонанса хорошо известен. Он сви-
детельствует о сложном механизме трансформа-
ции энергии, поступающей в волновод, в энер-
гию, которую переносит первая распространяю-
щаяся нормальная волна. При попытке дать бо-
лее глубокую трактовку этого механизма, по на-
шему мнению, следует принять во внимание сло-
жность структуры распространяющейся нормаль-
ной волны. Такая волна формируется как супер-
позиция продольных и сдвиговых волновых дви-
жений, взаимно подпитывающих друг друга при
отражении от границ волновода y=±1. При отра-
жении таких волн от торца волновода z=0 меня-
ются углы падения и отражения волн, что может
приводить к нарушению баланса между сдвиго-
выми и продольными составляющими. Поскольку
речь идет о резонансном явлении, следует также
исследовать возможность формирования стоячей
по толщине волны вблизи торца.
Для дальнейшего анализа особенностей возбуж-
Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко 39
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
Рис. 6. Отношение амплитуд
отраженной P волны к SV волне:
1 – ν = 0.2, 2 – ν = 0.3, 3 – ν = 0.4
дения краевого резонанса рассмотрим более по-
дробно структуру падающей нормальной волны.
Представим распространяющуюся волну в виде
суперпозиции продольной (P) поперечной (SV)
волн. Такое разложение не является искусствен-
ным, поскольку в силу выражений (3) для ком-
понент вектора смещения в суммах явно выде-
ляются слагаемые, соответствующие продольным
(индекс (1)) и поперечным (индекс (2)) волнам.
Трудность физического анализа поля в упру-
гом волноводе при таком разделении обусловлена
особыми свойствами первой распространяющейся
волны в нем. В частности, в отличие от акусти-
ческого волновода, здесь первая нормальная вол-
на не может быть представлена как суперпози-
ция продольных и поперечных волн, распростра-
няющихся под некоторыми углами к оси. Для ча-
стот, близких к частоте краевого резонанса, сдви-
говая компонента нормальной волны всегда являе-
тся суммой двух бегущих плоских волн (α2 – мни-
мая величина). В то же время, продольная вол-
новая компонента есть не что иное, как совоку-
пность двух неоднородных (поверхностных) волн,
распространяющихся вдоль граничных поверхно-
стей слоя (α1 – вещественная величина). Следова-
тельно, при распространении первой нормальной
волны в полубесконечном слое на торец падают не-
однородная продольная (P) и бегущая поперечная
(SV) волны.
Естественно, для качественного анализа процес-
са отражения нормальной волны от свободного
торца следовало бы рассмотреть особенности отра-
жения P- и SV-компонент. К сожалению, в настоя-
щее время нет возможности подробно рассмотреть
задачу отражения неоднородной волны от угла.
Однако приведенные выше данные о характере
частотных зависимостей погрешности выполнения
граничных условий по касательным напряжениям
дают основание предполагать, что в окрестности
частоты краевого резонанса SV-компонента нор-
мальной волны является доминирующей. Поэтому
здесь мы остановимся на рассмотрении особенно-
стей отражения именно этой компоненты.
В общем случае при отражении от свободной по-
верхности SV-волна порождает в отраженном по-
ле как SV-, так и P-волны [4]. Соотношение между
их амплитудами существенно зависит от угла па-
дения SV-волны и коэффициента Пуассона мате-
риала слоя. Для компонент нормальной волны в
волноводе эти углы, в свою очередь, существен-
но зависят от частоты. Такой качественный ана-
лиз указывает на возможную связь возникновения
краевого резонанса именно с особенностями отра-
жения SV-волны от свободной поверхности.
При падении SV-волны на свободную поверх-
ность под углами, соответствующими частотам,
близким к частоте краевого резонанса, отражен-
ная SV-волна всегда является распространяющей-
ся, а P-волна может быть как распространяющей-
ся, так и неоднородной, в зависимости от коэффи-
циента Пуассона [4]. Для значений коэффициента
Пуассона 0.22≤ν≤0.42 частота краевого резонан-
са превышает величину Ω2 =2.2. В этой частотной
области при отражении SV-волны от свободного
торца генерируется распространяющаяся P-волна.
В то же время, как отмечалось выше, в отражен-
ной нормальной волне продольная компонента мо-
жет существовать только в форме поверхностной
волны. Для ее формирования используется меха-
низм генерации неоднородных волн вблизи торца
волновода.
В этом утверждении содержится качественное
объяснение причин возникновения краевого ре-
зонанса. Дальнейшее уточнение представлений о
нем можно получить с использованием простой
приближенной модели описания волнового поля
вблизи торца (она подробно описана в [6]). В ее
рамках при рассмотрении волнового поля вблизи
торца учитываются только бегущие в направле-
нии толщины продольные и поперечные волны. Из
условия равенства нулю нормальных напряжений
на поверхностях слоя (σyy(±1, 0)=0) определяю-
тся собственные частоты для движений типа то-
лщинного резонанса. Значения этих частот, коне-
чно, не совпадают с частотой краевого резонанса
(это следует из принятой степени приближенно-
сти описания поля). Тем не менее, зависимость их
40 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
а б
Рис. 7. Распределение энергии распространяющейся волны по отдельным составляющим:
1 – энергия, соответствующая P волне, 2 – энергия, соответствующая SV волне,
3 – энергия, соответствующая перекрестному слагаемому;
а – ν =0.1, б – ν =0.3
значений от коэффициента Пуассона достаточно
хорошо согласуется с зависимостью частоты крае-
вого резонанса от этой характеристики материала
слоя.
Для коэффициента Пуассона ν =0.32 с учетом
распространяющихся SV- и P-волн нормальное на-
пряжение σyy(±1, 0) обращается в нуль на частоте
Ω2 =2.67. Для коэффициента Пуассона ν =0.4 это
происходит при Ω2 =2.82. С увеличением коэффи-
циента Пуассона резонансная частота смещается в
область более высоких частот, как это и характер-
но для частоты краевого резонанса.
Для коэффициентов Пуассона ν≤0.22 и ν≥0.42
наблюдается существенно иная ситуация. Здесь
при отражении SV-компоненты падающей волны
от свободного торца распространяющиеся волны
высших порядков появляются раньше, чем угол
отражения сдвиговой SV-волны достигнет крити-
ческого значения и в отраженном поле на тор-
цевой поверхности появится распространяющаяся
продольная (P) волна. Это ведет к необходимости
проведения отдельного анализа для указанных ди-
апазонов значений коэффициента Пуассона.
Для качественного объяснения зависимости па-
раметра Q от коэффициента Пуассона следует
рассмотреть количественные соотношения между
SV- и P-компонентами при отражении нормаль-
ной волны от свободного торца. Естественно, что
в диапазоне частот, где существует только одна
бегущая волна, в дальнем отраженном поле ба-
ланс между продольными и поперечными состав-
ляющими движения должен быть таким же, как
и в падающей волне. В то же время, при отраже-
нии SV-компоненты падающей нормальной волны
от свободного торца в отраженном поле в зависи-
мости от частоты и коэффициента Пуассона ме-
няется не только характер отраженной P-волны
(бегущая или неоднородная), но и ее амплитуда.
Для того, чтобы сохранить необходимый баланс
между продольными и сдвиговыми компонентами
в дальнем поле, т. е. трансформировать продоль-
ные движения на торце в сдвиговые, необходимо
интенсивно возбудить неоднородные волны. Каче-
ственно такая трансформация может быть описа-
на частотной зависимостью амплитуды отражен-
ной P-волны.
На рис. 6 показана частотная зависимость моду-
ля амплитуды отраженной P-волны для различ-
ных значений коэффициента Пуассона, нормиро-
ванная к амплитуде падающей SV-волны. Резо-
нансный характер приведенных кривых подтвер-
ждает предположение о резонансном характере
возбуждения неоднородных нормальных волн в
полуслое. Кроме того, сохраняются качественные
особенности возбуждения неоднородных волн в
полуслое. Как видно из рисунка, с ростом ν наблю-
дается смещение максимального значения ампли-
туд в более высокочастотную область и уменьше-
ние добротности резонансных кривых. Такое по-
ведение амплитудных характеристик отраженной
P-волны хорошо согласуется с особенностями кра-
евого резонанса, описанными выше (см. рис. 3).
Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко 41
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
Рассмотрим еще один аспект, характеризующий
несогласованность движений, генерируемых при
отражении падающей волны от свободного тор-
ца, и движений в нормальной волне. Предметом
анализа являются количественные оценки распре-
деление потока энергии между отдельными ком-
понентами распространяющейся волны (SV и P).
Энергия, переносимая распространяющейся вол-
ной, может быть представлена в следующем виде:
Ẽ0 = α2
1ξ
2cth α2
(
α2 +
ξ2 + α2
2
2α2
)
−
−ξ2α2
1Ω
2
2
2sh 2α2
+
(ξ2 + α2
2)
2
4
(
2α2
1 +
Ω2
2
2
)
cth α1
α1
+
+
Ω2
2(ξ
2 + α2
2)
8sh 2α1
−
[
(ξ2 + α2
2)×
×
(
α2
1α2cth α2 +
(
ξ2 +
Ω2
2
2
)
α1cth α1
)]
,
E0 = µω|A0|2ξα2
1Ẽ0.
(13)
В выражении для Ẽ0 первые для слагаемых
соответствуют энергии, которую переносит SV-
составляющая нормальной распространяющейся
волны, вторые два слагаемых – энергии P-волны,
а последнее слагаемое – энергии взаимодействия.
На рис. 7, а представлено распределение энергии
распространяющейся волны по отдельным состав-
ляющим для коэффициента Пуассона ν =0.1. Кри-
вая 1 описывает энергию, переносимую P-волной,
кривая 2 – SV-волной, а кривая 3 отвечает за
перекрестное слагаемое с SV- и P-компонентами.
На том графике примечательной является частота
Ω2 =2.1, на которой энергия взаимодействия волн
минимальна и много меньше энергии, переносимой
SV- и P-компонентами. Эта частота близка к ча-
стоте краевого резонанса для ν=0.1 (Ωe =2.108).
Вторая характерная частота – Ω2 =2.2, на ней
энергия, переносимая P-волной, достигает мини-
мума. Здесь по высоте волновода укладывается це-
лое число полуволн.
На рис. 7, б представлено распределение энер-
гии распространяющейся волны по компонентам
для ν =0.3. Нумерация кривых сохранена. Об-
щим для обоих графиков является характер ча-
стотной зависимости энергии, переносимой P- и
SV-волнами при Ω2≤2.3. Энергия P-волны па-
дает, достигая минимума в окрестности частоты
Ω2 =2.2, и при дальнейшем росте частоты воз-
растает. Энергия SV-волны монотонно возрастает.
Частотная зависимость энергии, соответствующей
взаимодействию волн для разных коэффициентов
Пуассона, изменяется качественным образом. Для
ν =0.3 энергия взаимодействия (кривая 3) не име-
ет локальных минимумов, а возрастает монотонно
с ростом частоты.
Еще одной отличительной особенностью распре-
деления энергии распространяющейся волны ме-
жду разными компонентами для разных ν яв-
ляется существенно различное процентное содер-
жание энергии в них для фиксированной часто-
ты. Так, в области низких частот (Ω2 =1.7) для
ν =0.1 справедливо Esv/Ep =0.03, а для ν =0.3 –
Esv/Ep =0.3, т. е. наблюдается отличие на поря-
док. Такое существенное изменение распределе-
ния энергии распространяющейся волны между ее
компонентами для разных ν подтверждает вывод
о том, что волновая картина на торце волново-
да перестраивается с изменением коэффициента
Пуассона. Кроме того, можно говорить, что для
ν≤0.2 значительное возбуждение неоднородных
волн связано с перестройкой волнового поля на
торце от движений, характерных для P-волн, к
SV-волнам. В то же время, для 0.22≤ν≤0.42 крае-
вой резонанс, как было показано выше, обусловлен
возникновением распространяющейся P-волны на
торце волновода.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Явление краевого резонанса в упругих телах –
важная иллюстрация фундаментальных особен-
ностей процесса распространения упругих волн
в телах конечных размеров. В работе представ-
лены данные, позволяющие углубить представле-
ния о механизме формирования волновых движе-
ний, определяемых как краевой резонанс. Важной
особенностью полученных результатов является
то, что причину возникновения такого сложного
волнового движения удается качественно объяс-
нить, основываясь на свойствах отражения пло-
ских упругих волн от свободной границы упругого
тела. Показано, что интенсивное возбуждение не-
однородных упругих волн свойственно также про-
стейшим упругим волноводным системам.
Характеристики формы колебаний, соответ-
ствующих краевому резонансу, и добротность ко-
лебаний существенно зависят от коэффициента
Пуассона упругого материала. Такая зависимость
отражает влияние коэффициента Пуассона на сте-
пень преобразования сдвиговых движений в про-
дольные при отражении упругих волн от свобо-
дной границы. Для характеристики резонанса вве-
ден параметр добротности Q, описывающий сте-
пень возбуждения первой неоднородной волны.
42 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 1. С. 30 – 43
Показано, что величина добротности не зависит от
способа возбуждения волнового поля в полуслое.
Установлено, что эффективность проявления
краевого резонанса и соответствующая собствен-
ная частота Ωe существенно зависят от коэффици-
ента Пуассона. При изменении коэффициента Пу-
ассона от 0 до 0.5 частота краевого резонанса уве-
личивается, а степень возбуждения первой неодно-
родной волны падает. Качественный анализ осо-
бенностей краевого резонанса для относительно
малых (ν <0.22) и относительно больших (ν>0.42)
значений коэффициента Пуассона требует допол-
нительного рассмотрения.
Основные черты полученных количественных
зависимостей удается качественно объяснить не-
сколькими причинами. Прежде всего, существен-
ным является то, что низшая нормальная волна
в волноводе формируется суперпозицией бегущей
сдвиговой волны и неоднородной продольной. В
данной работе всесторонне исследован относитель-
ный вклад сдвиговых и продольных компонент и
показано, что сдвиговые компоненты оказываю-
тся определяющими в области частот, близких к
частоте краевого резонанса. Отсюда следует, что
вторым определяющим фактором для возникнове-
ния краевого резонанса является то, что в упругих
телах при отражении волн от свободной границы
сильно выражено преобразование сдвиговых дви-
жений в продольные.
1. Shaw E. A. G. On the resonant vibration of thin bari-
um titanate disks // J. Acoust. Soc. Amer.– 1956.–
20, N 1.– С. 38–50.
2. Oliver J. Elastic wave dispersion in a cylindrical rod
by a wide-band, short-duration pulse technique //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1957.– 29, N 2.– С. 189–194.
3. Gazis D. C., Mindlin R. D. Extentional vibration and
waves in a circular disk and semi-infinite plate //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1960.– 27, N 3.– С. 541–547.
4. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук.
думка, 1981.– 284 с.
5. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Wilde M. V. Free
localized vibration of semi-infinite cylindrical shell //
J. Acoust. Soc. Amer.– 2000.– 107, N 3.– С. 1383–
1393.
6. Городецкая Н. С. Еще раз о краевом резонансе //
Акуст. вiсн.– 2000.– 3, N 4.– С. 35–44.
7. Roitberg J., Vassiliev D., Wilde M. V Edge
resonance in an elastic semi-strip // Quart. J.
Mech. Appl. Math.– 1998.– 51.– С. 1–13.
8. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Неосесимме-
тричные колебания полубесконечного цилиндра.–
Изв. АН СССР, Мех. тверд. тела: 1982, 17, N 6.–
81–89 с.
9. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле.–
М.: Наука, 1986.– 444 с.
10. Torvik P. J. Reflection of wave trains in semi-infinite
plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 1967.– 41, N 2.–
С. 346–353.
11. Auld B. A., Tsao E. J. A variational analysis of edge
resonance in semi-infinite plate // IEEE Trans. SU.–
1977.– 24, N 5.– С. 317–326.
12. Ультразвук. Маленькая энциклопедия / Под ред.
И. П. Голяминой.– М.: Сов. энцикл, 1979.– 400 с.
Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко 43
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-941 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:11:16Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Городецкая, Н.С. Гринченко, В.Т. 2008-07-09T11:42:55Z 2008-07-09T11:42:55Z 2004 Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах / Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 1. — С. 30-43. — Библиогр.: 12 назв. — рус. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/941 539.3 Проведен анализ особенностей краевого резонанса при симметричных колебаниях полуслоя со свободным торцом для различных значений коэффициента Пуассона. Показано, что с его изменением от 0 до 0.5 частота краевого резонанса We возрастает от 1.99 до 2.61. При этом добротность резонанса резко падает. Рассматривая первую распространяющуюся волну как суперпозицию продольных и поперечных волн, отметим, что на частоте краевого резонанса на боковых поверхностях полуслоя поперечная волна является распространяющейся, а продольная - неоднородной. На частоте W2=2.2 практически для всех коэффициентов Пуассона на ширине полуслоя укладывается целое число поперечных (SV) полуволн (syy(±1,0)=0). Для умеренных значений коэффициента Пуассона (0.22<n<0.42) существует диапазон частот, в котором поперечная волна падает на свободный торец под углом, большим критического, и продольная волна (P) является распространяющейся. В этом случае также существует частота We1, на которой syy(±1,0)=0 (с учетом SV- и P-волн). Для умеренных значений коэффициента Пуассона частота краевого резонанса лежит между W2 и We1. Проведено аналіз особливостей крайового резонансу при симетричних коливаннях півшару з вільним торцем для різних значень коефіцієнта Пуассона. Показано, що з його зміною від 0 до 0.5 частота крайового резонансу We зростає від 1.99 до 2.61. При цьому добротність резонансу різко падає. Розглядаючи першу хвилю, що поширюється, як суперпозицію поздовжніх і поперечних хвиль, відзначимо, що на частоті крайового резонансу на бічних поверхнях півшару поперечна хвиля поширюється, а поздовжня є неоднорідною. На частоті W2=2.2 практично для всіх коефіцієнтів Пуассона на ширині півшару вкладається ціле число поперечних (SV) півхвиль (syy(±1,z)=0). Для помірних значень коефіцієнта Пуассона 0.22<n<0.42 існує частотний діапазон, в якому поперечна хвиля падає на вільний торець під кутом, більшим за критичний, і поздовжня хвиля (P) є такою, що поширюється. У цьому випадку також існує частота We1, на якій syy(±1,0)=0 (з урахуванням SV- та P-хвиль). Для помірних значень коефіцієнта Пуассона частота крайового резонансу лежіть між W2 і We1. The features of the edge resonance are analyzed for symmetric vibrations of a semi-layer with the free edge at various Poisson's ratios. It is shown that when the Poisson's ratio changes from 0 to 0.5 the frequency of the edge resonance We increases from 1.99 to 2.61. At the same time, the quality factor sharply decreases. Considering the first propagating wave as a superposition on primary and secondary waves, we note that on the edge resonant frequency the secondary wave propagates on lateral surfaces of the semi-layer, while the primary wave is an evanescent one. At frequency W2=2.2 practically for all Poisson's ratios the integer number of the secondary (SV) half-waves confines to width of the semi-layer (syy(±1, z)=0). For moderate values of the Poisson's ratios 0.22<n<0.42 the frequency range exists, for which the secondary wave falls to the free edge under supercritical angle, and the primary wave (P) becomes the propagating one. For this case also the frequency We1 exists, for which syy(±1,0)=0 (accounting for SV- and P-waves). For moderate Poisson's ratios the edge resonant frequency lays between W2 and We1. ru Інститут гідромеханіки НАН України Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах Analysis of physical features of the edge resonance phenomenon in elastic bodies Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах Городецкая, Н.С. Гринченко, В.Т. |
| title | Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах |
| title_alt | Analysis of physical features of the edge resonance phenomenon in elastic bodies |
| title_full | Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах |
| title_fullStr | Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах |
| title_full_unstemmed | Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах |
| title_short | Анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах |
| title_sort | анализ физических особенностей явления краевого резонанса в упругих телах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/941 |
| work_keys_str_mv | AT gorodeckaâns analizfizičeskihosobennosteiâvleniâkraevogorezonansavuprugihtelah AT grinčenkovt analizfizičeskihosobennosteiâvleniâkraevogorezonansavuprugihtelah AT gorodeckaâns analysisofphysicalfeaturesoftheedgeresonancephenomenoninelasticbodies AT grinčenkovt analysisofphysicalfeaturesoftheedgeresonancephenomenoninelasticbodies |