Устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов
Виконано постановку, наведено методику та дано розв’язок задачі про біфур- каційну стійкість оболонок обертання із зернистих композитних матеріалів при врахуванні довготри- валої пошкоджуваності компонентів. The statement is done, the technique is represented and the solution is given for the prob...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95349 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов / Л.П. Хорошун, Д.В. Бабич // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 4-13. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859827876519477248 |
|---|---|
| author | Хорошун, Л.П. Бабич, Д.В. |
| author_facet | Хорошун, Л.П. Бабич, Д.В. |
| citation_txt | Устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов / Л.П. Хорошун, Д.В. Бабич // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 4-13. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Виконано постановку, наведено методику та дано розв’язок задачі про біфур-
каційну стійкість оболонок обертання із зернистих композитних матеріалів при врахуванні довготри-
валої пошкоджуваності компонентів.
The statement is done, the technique is represented and the solution is given for the problem on bifurcational stability of shells of revolution made of granular composite materials with allowance for the long-term damage of components.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:30:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 9
4 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 9
Л . П . Х о р ош у н , Д . В . Б а б и ч
УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
ИЗ ЗЕРНИСТЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
ПРИ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ КОМПОНЕНТОВ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: stochac@inmech.kiev.ua
Abstract. The statement is done, the technique is represented and the solution is given
for the problem on bifurcational stability of shells of revolution made of granular composite
materials with allowance for the long-term damage of components
Key words: shell of revolution, granular composite material, bifurcational stability,
long-term damage of components.
Введение.
Задачи устойчивости для тонкостенных конструкций с учетом кратковременной
повреждаемости материалов рассмотрены в [5 – 10]. Основы структурной теории дли-
тельной повреждаемости макрооднородных и зернистых композитных материалов
изложены в работах [7, 11]. Особенностью деформирования материалов при длитель-
ной повреждаемости является рост во времени макродеформаций при заданных по-
стоянных значениях макронапряжений и снижение макронапряжений при заданных
деформациях. Эти явления связаны с изменением с течением времени эффективных
упругих характеристик повреждающегося материала. Аналогичные явления наблю-
даются в случае ползучести материалов, описываемой теорией старения [1].
В силу формального сходства в описании процессов деформирования материалов
при ползучести (вариант теории старения) и длительной повреждаемости при поста-
новке и решении задач устойчивости тел во втором случае целесообразно использо-
вать подходы и понятия, применяемые при исследовании устойчивости тонкостенных
конструкций при ползучести [1 – 4].
При ползучести материала понятие «критическое значение нагрузки (напряже-
ния)» теряет определенность, поскольку практически при любом значении нагрузки
по истечении определенного времени («критического времени») возможна смена ос-
новной формы равновесия тонкостенной конструкции в силу самопроизвольного рос-
та деформаций при постоянном значении нагрузки. Исследование устойчивости тон-
костенных конструкций при ползучести, сводящееся к определению критического
времени потери устойчивости, проводится с использованием различных вариантов
критерия выпучивания [1– 4]. Наиболее предпочтительный из них связан с примене-
нием для определения критического времени формул критических напряжений, полу-
чаемых путем решения соответствующих задач устойчивости в нелинейно упругой
области с использованием касательно-модульной модели (концепция продолжающе-
гося нагружения) [6]. Процедура применения указанного подхода для определения
критического времени выпучивания выпуклых оболочек вращения из зернистых ком-
позитных материалов при длительно повреждающихся компонентах показана ниже.
Поскольку зернистый композитный материал моделируется изотропной однородной
средой с некоторыми эффективными параметрами упругости, то при исследовании
устойчивости тонкостенных элементов конструкций из такого материала можно вос-
5
пользоваться уравнениями нейтрального равновесия для пластин и оболочек из одно-
родных изотропных материалов [5, 6].
Целью настоящей работы является постановка и решение задач устойчивости для
выпуклых оболочек вращения из зернистых композитов при длительной повреждае-
мости компонентов материала, приводящей к зависимости нелинейных уравнений
состояния от продолжительности нагружения.
Исследование устойчивости оболочек вращения с учетом длительной повреждае-
мости компонентов зернистого композита проводится в два этапа. На первом этапе с
использованием касательно-модульной модели определяются формулы для критичес-
ких напряжений оболочки, полученные в предположении кратковременной повреж-
даемости композита. Затем для заданных напряжений, которые отождествляются с
критическими напряжениями оболочки из длительно повреждающегося материала,
определяются соответствующие значения критического времени с использованием
уравнений баланса пористости для длительно повреждающихся компонентов компо-
зита. Основанием для такого подхода служит то, что cвязь между макронапряжения-
ми и макродеформациями в возмущенном состоянии конструкций для материалов при
кратковременной и длительной повреждаемостях по виду совпадает. Отличие состоит
в форме записи уравнений баланса пористости компонентов зернистого композита, в
которых отражаются особенности накопления поврежденности с течением времени
нагружения.
§1. Постановка задач устойчивости. Основные уравнения.
Основой структурной теории длительной повреждаемости зернистых композит-
ных материалов [7] является представление о неоднородности микропрочности ком-
понентов материала, в результате чего с течением времени при постоянной нагрузке
происходят рассеянные разрушения микрообъемов в компонентах композита, где
предел микропрочности выше определенной комбинации напряжений, соответст-
вующей тому или иному критерию прочности. Путем замены разрушенных микро-
объемов в компонентах композита квазисферическими порами, приходим к модели
изотропного пористого материала стохастической структуры, прогрессирующая по-
вреждаемость которого описывается увеличением пористости во включениях
1
p и
матрице
2
p .
Применительно к постановке и решению задач устойчивости оболочек вращения
при длительной повреждаемости зернистого композитного материала с объемной
концентрацией включений
1
c и матрицы
2
c используются уравнения состояния для
случая плоского напряженного соcтояния, при котором имеют место равенства
33 13 23
0σ σ σ= = = . Для зернистого композита с поврежденностью, характеризуемой
пористостью включений
1
p и матрицы
2
p , зависимости между макронапряжениями
ij
σ и макродеформациями
ij
ε c учетом равенства ( )33 11 22
*
1 *
ν
ε ε ε
ν
= − +
−
имеют вид
( )
2
* * *
, , . 1, 2 .
1 *1 *
ij rr ij ij
E E
i j r
ν
σ ε δ ε
νν
= + =
+−
(1.1)
В (1.1) *, *Eν – эффективные секущие характеристики упругости повреждающегося
зернистого композита, которые определяются соотношениями
* *9 * * 3 * 2 *
; ,
3 * * 6 * 2 *
K K
E
K K
µ µ
ν
µ µ
−
= =
+ +
(1.2)
где эффективные модули *, *K µ через соответствующие модули пористых включе-
ний
1 1
,
p p
K µ и пористой матрицы
2 2
,
p p
K µ выражаются формулами [11]
( )
2
1 2 1 2*
1 1 2 2
1 2 2 1
;
p p
p p
p p c
c c K K
K c K c K
c K c K n
−
= + −
+ +
(1.3)
6
1 1
1
2
1 2 1 2*
2 2
2 2 1
( )
,
p
p p
p
p p c
c c
c c
c c m
µ µ
µ µ µ
µ µ
−
= + −
+ +
где приняты обозначения:
(9 8 )4
; ,
3 6( 2 )
c c c
c c c
c c
K
n m
K
µ µ
µ
µ
+
= =
+
(1.4)
при этом имеем
;
1 1 2 2 1 1 2 2
,
c p p c p p
K c K c K c cµ µ µ= + = + (1.5)
если жесткость пористой матрицы больше жесткости пористых включений, и
1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1
;
p p p p
c
p p p p
K K
K
cc K c K c c
µ µ
µ
µ µ
= =
+ +
(1.6)
– в противном случае.
Эффективные модули пористых включений ,
1 1p p
K µ и матрицы
2 2
,
p p
K µ , со-
гласно [11], определяются формулами
2 24 (1 ) (9 8 ) (1 )
; ( 1, 2).
4 (3 4 ) 9 8 (3 4 )
i i i i i i i
ip ip
i i i i i i i i i
K p K p
K i
K p K K p
µ µ µ
µ
µ µ µ µ
− + −
= = =
+ − + − −
(1.7)
В дальнейшем используется также связь между интенсивностями макронапряже-
ний и макродеформаций
( )
1/ 2
2 2 2
11 22 11 22 122 / 3 3 ;I
σ
σ σ σ σ σ= + − + (1.8)
( )
1/ 2
22 2 2
11 22 11 22 12 11 222
*
2 / 3 3 ,
(1 *)
I
ε
ν
ε ε ε ε ε ε ε
ν
= + − + + +
−
(1.9)
которая имеет вид
2 *I I
σ ε
µ= . (1.10)
Зависимость между приращениями интенсивностей определяется соотношением
2
k
dI dI
σ ε
µ= , (1.11)
где
*
*
k
d
I
dI
ε
ε
µ
µ µ= + (1.12)
– касательный модуль сдвига.
Из (1.12) следует приближенное (в пренебрежении зависимостью коэффициента
Пуассона от пористости [6]) выражение для касательного модуля упругости
1 2
1 2
* *
*
k
p pE E
E E I
p I p I
ε
ε ε
∂ ∂∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
. (1.13)
Уравнения баланса разрушенных микрообъемов или пористости во включени-
ях
1
p и матрице
2
p при длительной повреждаемости для заданных макронапряжений
ij
σ представляются в виде [11]
0 0
(1 ) ( ) ,i
i i i i i i
p p p F I t
σ
ψ
= + − (1.14)
7
где
1
1
1
1
1
( )
1
i
i
n
i
i i
n
i i
t
t
t
ψ
γ
+
=
+
. (1.15)
В (1.14) также обозначено:
0i
p – начальная пористость в компонентах композита;
( )
( )
*
31
*
1
1 2
( )
( 1)
( )
i
ip i pi i
p
i p p
I I
c
σ σ
µ µ µ
µ µ µ
−+
< >
−
−
= −
−
– второй инвариант девиатора тензора средних
напряжений по неповрежденной части материала i - компонента; I
σ< >
– второй инва-
риант девиатора тензора макронапряжений;
0 0
/ ,
i i i
t t τ τ= – соответственно, безраз-
мерное и некоторое характерное время; показатель
1i
n и коэффициент
i
γ определя-
ются из экспериментальных кривых долговечности i -компонента.
Функцию ( )i i
F k предельного значения
i
k ( ( )
i i i
k I t
σ
ψ= ) для i -компонента
можно аппроксиммировать степенным законом на некотором отрезке
( )
0
0
0 1
1 0
1
0, ;
( ) , ;
1,
i
i i
i i
i i i i i
i i
i i
k k
k k
F k k k k
k k
k k
α
<
−
= ≤ ≤
−
>
(1.16)
или распределением Вейбулла
[ ]
0
0 0
0, ;
( )
1 exp ( ) , .i
i i
i i
i i i i i
k k
F k
m k k k k
α
<
=
− − − ≥
(1.17)
Здесь
0i
k – минимальная величина предельного значения
i
k , с которого начинается
разрушение в некоторых объемах i -компонента; , ,
1i i i
k m α – постоянные, выбирае-
мые из условия аппроксимации разброса прочности в i -компоненте.
Понятие критической нагрузки (напряжения) в задачах устойчивости оболочек
при длительной повреждаемости зернистого композитного материала, как и в случае
ползучести материала, теряет определенность. Смена основной формы равновесия
оболочки вращения по истечении некоторого времени возможна при значениях зада-
ваемых макронапряжений
0
ij
σ , меньших критического значения для оболочки из
сплошного (неповрежденного) зернистого композита. Поэтому в качестве характерис-
тики, определяющей смену основной формы равновесия оболочки, по аналогии с тео-
рией устойчивости при ползучести, вводится понятие критического времени, изме-
ряемое промежутком времени от момента начала нагружения до момента смены ос-
новной формы равновесия оболочки. Поскольку повреждающийся зернистый компо-
зитный материал моделируется однородной изотропной средой с некоторыми эффек-
тивными характеристиками упругости, то для решения задач устойчивости оболочек в
этом случае можно воспользоваться уравнениями устойчивости оболочек вращения
из повреждающихся однородных изотропных материалов [5]. Уравнения нейтрально-
го равновесия для оболочки вращения при длительной повреждаемости зернистого
композитного материала при заданных напряжениях по виду совпадает с таковыми
для оболочек из кратковременно повреждающегося материала. Различие состоит
лишь в том, что при исследовании устойчивости оболочек из длительно повреждаю-
щегося материала параметры основного напряженного состояния задаются, а при
8
кратковременной повреждаемости – определяются. В случае длительной повреждае-
мости материала определению подлежит критическое время. Совпадение вида урав-
нений устойчивости оболочек при кратковременной и длительной повреждаемости
является следствием аналогии нелинейных уравнений состояния для рассматривае-
мых материалов в возмущенном состоянии (1.1).
C учетом изложенного при исследовании бифуркационной устойчивости одно-
родного основного безмоментного напряженного состояния выпуклой оболочки вра-
щения при длительной повреждаемости зернистого композитного материала можно
воспользоваться уравнениями вида [5]
[ ]1 1111 2 1122 3 2222 4 1112 5 1222
, , , 2 , 2 ,D a w a w a w a w a w+ + + + −
( )
0 0 0
11 11 22 22 12 12 1 22 2 11
, , 2 , , , 0;T w T w T w h k k− − − − Φ + Φ = (1.18)
( )1 1111 2 1122 3 2222 4 1112 5 1222 1 22 2 11
, , , , , ,A A A A A Eh k w k wΦ + Φ + Φ − Φ − Φ = − +
где
/ ; ;
ij ij ij ij
a a E A EA= = (1.19)
1 11 2 12 21 33 3 22 4 13 31 5 23 32
; 2 ; ; ; ;a a a a a a a a a a a a a a= = + + = = + = +
1 22 2 12 21 33 3 11 4 32 23 5 13 31
; 2 ; ; ; .A A A A A A A A A A A A A A= = + + = = + = +
( ) ( ) ( )
( ) 0
0 0 0
11 22 11
11 2 2 2
* 2 * 2 * 1*
;
1 * 3 1 *
k
E EE
a
I
σ
ν σ ν σ σ
ν ν
− − + −
= +
− −
(1.20)
( ) ( ) ( )
( ) 0
0 0 0
22 11 11
12 2 2 2
* 2 * 2 * 1* *
;
1 * 3 1 *
k
E EE
a
I
σ
ν σ ν σ σν
ν ν
− − + −
= +
− −
( )
( ) 0
0 0
11 12
13 2
2 * ;
1 *
k
a E E
I
σ
σ σ
ν
= −
+
( ) ( ) ( )
( ) 0
0 0 0
11 22 22
21 2 2 2
* 2 * 2 * 1* *
;
1 * 3 1 *
k
E EE
a
I
σ
ν σ ν σ σν
ν ν
− − + −
= +
− −
( ) ( ) ( )
( ) 0
0 0 0
22 11 22
22 2 2 2
* 2 * 2 * 1*
;
1 * 3 1 *
k
E EE
a
I
σ
ν σ ν σ σ
ν ν
− − + −
= +
− −
( )
( ) 0
0 0
22 12
23 2
2 * ;
1 *
k
a E E
I
σ
σ σ
ν
= −
+
( ) ( ) ( )
( ) 0
0 0 0
11 22 12
31 2 2
* * 2 * 2 * 1
;
3 1 *
k c c c
c
E E
a
I
σ
ν σ ν σ σ
ν
− − + −
=
−
9
( ) ( ) ( )
( ) 0
0 0 0
11 22 12
32 2 2
* 2 * 1 2 *
;
3 1 *
k
E E
a
I
σ
ν σ ν σ σ
ν
− − + −
=
−
( )
( )
( ) 0
2
0
12
33 2
*
2 *
1 * 1 *
k
E
a E E
I
σ
σ
ν ν
= + −
+ +
.
( ) ( )
0
0 0 0 0
11 22 11 22
11 2
* 21 1 1
;
* * 3
k
A
E E E I
σ
σ ν σ σ σ− −
= + −
(1.21)
( ) ( )
0
0 0 0 0
11 22 22 11
12 2
* 2* 1 1
;
* * 3
k
A
E E E I
σ
σ ν σ σ σν − −
= − + −
( )
0
0 0 0
11 22 12
13 2
*1 1
2 ;
*
k
A
E E I
σ
σ ν σ σ−
= −
( ) ( )
0
0 0 0 0
22 11 22 11
22 2
* 21 1 1
;
* * 3
k
A
E E E I
σ
σ ν σ σ σ− −
= + −
( ) ( )
0
0 0 0 0
22 11 11 22
21 2
* 2* 1 1
;
* * 3
k
A
E E E I
σ
σ ν σ σ σν − −
= − + −
( )
0
0 0 0
22 11 12
23 2
*1 1
2 ;
*
k
A
E E I
σ
σ ν σ σ−
= −
( ) ( )
0
0 0 0
11 22 12
31 2
1 * 21 1
;
* 3
k
A
E E I
σ
ν σ σ σ+ −
= −
( ) ( )
0
0 0 0
22 11 12
32 2
1 * 21 1
;
* 3
k
A
E E I
σ
ν σ σ σ+ −
= −
( ) ( )
0
2
0
12
33 2
1 *1 * 1 1
2 .
* *
k
A
E E E I
σ
ν σν + +
= + −
В (1.18 – 1.21) обозначено: 3 /12D E h= ; E – модуль упругости неповрежденного
зернистого композитного материала;
0
ij ij
T hσ= , 0I
σ
– соответственно, тангенциальные
усилия в основном безмоментном напряженном состоянии и интенсивность напряже-
ний в оболочке вращения при основной форме равновесия; Φ − функция напряжений
в мембранном напряженном состоянии оболочки;
1 1 2 2
1/ , 1/k R k R= = − главные кри-
визны срединной поверхности оболочки в меридиональном и окружном направлени-
ях; w – прогиб оболочки.
К уравнениям (1.18) необходимо присоединить краевые условия, соответствую-
щие характеру закрепления торцов оболочки вращения.
10
§2. Всестороннее равномерное обжатие оболочки.
В качестве иллюстративного примера рассмотрим местную потерю устойчивости
замкнутой оболочки вращения при действии внешнего равномерного давления интен-
сивности q . В этом случае усилия в основном напряженном состоянии определяются
соотношениями
( )
0 0 0 02 2 1
11 11 22 22
2
; 2 .
2 2
qR qR k
T h T h
k
σ σ χ χ
= = − = = − − =
(2.1)
Решение системы уравнений (1.18) представляется в виде [1]
2 1 2 2
sin ( ) sin ( )w A k x k nxλ= ( mλ χ= ), (2.2)
где ,m n − количество волн в меридиональном и окружном направлениях.
Критическое давление q
∗
определяется формулой
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 22
2 1 2 3 2 2
1 2 3
12
1 2
Ehk
q Dk a a a
A A A
γχ
λ γ γ
χ γ λ γ γ
∗
+
= + + +
+ − + +
. (2.3)
При 2 2/ 1nγ λ= >> для определения минимального значения критического дав-
ления имеем такое равенство:
( )
2 2
31 2
32 1
2
3 2
aEh k k
q
Ak k
∗
=
−
. (2.4)
В формуле (2.4)
1 2
,k k – некоторые средние значения главных кривизн участков обо-
лочки, ограниченных узловыми линиями локальных форм потери устойчивости. Из
бесчисленного множества значений q
∗
, определяемых формулой (2.4), искомым являет-
ся минимальное. В случае замкнутых выпуклых оболочек наиболее слабыми в смысле
локальной устойчивости участками будут области поверхности оболочки, содержащие
касательные к образующей, параллельные либо перпендикулярные к оси вращения. В
частности, в эллипсоидальных оболочках такие области расположены на экваторе и в по-
люсах. Кривизны в полюсах (индекс p ) и экваториальных точках (индекс e ) в оболоч-
ке с полуосями a (радиус экватора) и b определяются выражениями
2 2 2
1 2 1 2
/ , / ; / , 1 /
p p e e
k b a k b a k a b k a= = = = . (2.5)
Из формулы (2.4) с учетом выражений (2.5) следует, что критические значения давле-
ния для эллипсоидальных оболочек при внешнем воздействии в зависимости от со-
отношения полуосей определяются формулами
( )
1
2 2
0
2 2
2 / 1 , ;
/ , ;
b a a b
q q
b a a b
−
∗ ∗
− <
= ⋅
>
2
0 3
2
3
2
3
ah E
q
Aa
∗
= . (2.6)
При a b R= = из (2.6) с учетом выражений (1.20), (2.21), вычисленных при
0 0
11 22
σ σ= , следует выражение критического давления для равномерно обжатой сфе-
рической оболочки
( )
2
*
2 2
2
*.
3 1 *
k
h
q E E
Rν
=
−
(2.7)
Соответствующие критические напряжения определяются соотношением
11
( )
0 0
11 22
2
*.
3 1 *
k
h
E E
R
σ σ
ν
= =
−
(2.8)
В случае неповрежденного (
1 2
0p p= = ) зернистого композита формула (2.8) имеет вид
( )
0 0
11 22
2
.
3 1
Eh
R
σ σ
ν
= =
−
(2.9)
§3.Числовой пример.
Cоотношения (2.6) – (2.8) являются нелинейными выражениями относительно
критического времени t . Значения секущих и касательных характеристик упругости
при заданных значениях напряжений 0 ( 1, 2)
ii
iσ = определяются формулами (1.2) –
(1.7), (1.13), (1.16), (1.17). При задаваемых значениях напряжений 0 ( 1, 2)
ii
iσ = , ото-
ждествляемых с критическими напряжениями, прямое решение нелинейного уравне-
ния типа (2.8) относительно критического времени t для оболочек с заданными пара-
метрами материала и геометрическими размерами осуществляется с помощью итера-
ционных методов. В случаях, когда в процессе нагружения повреждается один из
двух компонентов зернистого композита, целесообразно применение обратного спо-
соба решения указанного уравнения.
Процедура применения обратного способа решения уравнения (2.8) иллюстриру-
ется на примере определения критического времени для сферической оболочки из
зернистого композитного материала при длительной повреждаемости включений
1 2
( 0, 0)p p≠ = . Относительная толщина оболочки /h R предполагается заданной.
Зависимость значений критического времени от величины критических напряжений
определяется с использованием соотношения (2.8), а также уравнения баланса порис-
тости для включений зернистого композита (1.14) и функции долговечности (1.15).
Следует отметить, что потеря устойчивости оболочки при длительной повреж-
даемости зернистого композита возможна не при всех значениях напряжений, мень-
ших по величине верхнего критического значения для оболочки из неповрежденного
материала, определяемого формулой (2.9). Способ определения границ диапазона из-
менения значений нагрузки в указанном смысле изложен ниже.
Значения постоянных упругости неповрежденных компонентов зернистого ком-
позита принимаются равными: 10 10
1 1 2 2
7 10 Па; 0, 2; 0, 3 10 Па; 0, 35.E Eν ν= ⋅ = = ⋅ =
Распределение микропрочности во включениях зернистого композита описывается
степенным законом (1.16) с параметрами 10
11 01 1
0 87682 10 Па; 0; 1k , k .α= ⋅ = = Для
определения долговечности используется функция ( )1 1
tψ в виде (1.15) с параметрами
11 1
1, 0, 01.n γ= =
При
01
0p = уравнение (1.15) для определения пористости включений композита
в рассматриваемом случае имеет вид
( )
( )
( )
( )
0
1 2 11 1 1
1 1 1
1 2 11
*
1 ,
* 3
p
p
t
c p p
k
µ µ µ σ ψ
µ µ µ
−
− =
−
(3.1)
где 0
11
σ – заданное напряжение.
Эффективные касательный и секущий модули упругости зернистого композита
на основании (1.13), (1.2) определяются с учетом (1.2) формулами
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1 1 1 2
1
1 212
1 1 2 1 1
1 1 2 1
2 1 1 *
* ;
*
1 2 1
*
p
p
k
pp
p
p
p p
p
E E
p p p
p p
µ
ν µ µ
µ µµµ µ
µ µ
µ µ µ
∂
− + −
∂
= +
−∂ ∂
− − + − −
∂ − ∂
(3.2)
12
где
( ) ( )1 2 1 21 1 11 1
1
1 1 1 1 1 2 2 1 1
21 *
;
1
pp p p
p c
c cE p
c
p p p c c m p
µ µµ µ µµ
ν µ µ
−∂ ∂ ∂− ∂
= − = − +
∂ + ∂ ∂ + + ∂
( )
( )
2 1
1 2 1 2 2
1 1
2
1 2 2 1
.
p c
p
p c
m
c c c
p p
c c m
µ
µ µ
µ µ
∂ ∂
− +
∂ ∂
+
+ +
(3.3)
Зависимость критического времени от величины задаваемых напряжений опреде-
ляется следующим способом. Задается последовательность значений пористости
включений
1
( 1, 2, 3, ...)
i
p i = . Затем на основании уравнения (2.8) определяется по-
следовательность значений напряжения ( )
0
11
i
σ , отождествляемых с критическими
напряжениями оболочки в некоторые моменты критического времени
1i
t , соответст-
вующими последовательности
1
( 1, 2, 3, ...)
i
p i = . Далее с учетом уравнения (3.1) вы-
числяется последовательность значений функции ( )1 1i i
tψ , которыми в соответствии с
(1.15) определяются значения критического времени
1i
t .
Для рассматриваемой задачи диапазон возможных значений задаваемого напря-
жения 0
11
σ определяется следующим образом. Верхнее значение напряжения 0
11
σ свя-
зано с мгновенным микроразрушением
1
( 0t = , ( )1 1
1).tψ = Уравнения для вычисления
пористости
1
p и соответствующего значения 0
11
σ в этом случае вытекают из совокуп-
ности соотношений (2.8) и (3.1) при ( )1 1
1tψ = . Аналогично вычисляется нижнее зна-
чение задаваемых напряжений при условии ( )
1
1 1 1lim 1/
t
tψ γ
→∞
=
По указанной схеме вычислены значения критического времени для сферических
оболочек с относительными толщинами / 1 / 60; 1/100h R = при различных допус-
каемых значениях задаваемых напряжений. Результаты вычисления зависимостей
безразмерного параметра критического времени (
1
t ) от безразмерного параметра за-
даваемых напряжений ( 0
11 11
/ kσ ) для оболочек из зернистого композита с объемными
содержаниями компонентов
1 2
0, 5c c= = представлены на рисунке.
Значения безразмерных параметров критических напряжений для указанных оболо-
чек без учета повреждаемости зернистого композита, соответственно, составляли:
0 2 2
11 11
/ 1,16798 10 ; 0, 70080 10 .kσ
− −
= ⋅ ⋅
Отметим, что в силу совпадения выражений критических напряжений для шарнирно
опертой цилиндрической оболочки при осевом сжатии и критических напряжений для
замкнутой сферической оболочки при равномерном внешнем давлении кривые длитель-
ной потери устойчивости типа изображенных на рисyнке совпадают.
13
Заключение.
Таким образом, в данной работе предложена методика определения критического
времени длительной потери устойчивости для оболочек вращения из длительно по-
вреждающихся зернистых композитных материалов. Решена задача о бифуркацион-
ной устойчивости для оболочек вращения из длительно повреждающегося зернистого
композитного материала при равномерном внешнем давлении. Представлены резуль-
таты числового примера и дан их анализ.
Р Е З ЮМ Е . Виконано постановку, наведено методику та дано розв’язок задачі про біфур-
каційну стійкість оболонок обертання із зернистих композитних матеріалів при врахуванні довготри-
валої пошкоджуваності компонентів.
1. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. – М.: Физматгиз, 1963.– 879 c.
2. Джерард Дж., Гильберт А. Метод критической деформации для выпучивания пластин и оболочек
при ползучести // Механика. Сб. переводов и обзоров иностранной периодической литературы. –
1959. – № 2. – C. 113 – 125.
3. Хофф Н. Обзор теорий выпучивания при ползучести // Механика. Сб. переводов и обзоров ино-
странной периодической литературы. – 1960. – № 1. – C. 63 – 96.
4. Хофф Н. Продольный изгиб при ползучести // Механика. Сб. переводов и обзоров иностранной
периодической литературы. – 1956. – № 6. – C. 118 – 134.
5. Babich D.V., Khoroshun L.P. Dispersed Damages in Stability Problems for Doubly Curved Shells of
Revolution // Int. Appl. Mech. – 2003. – 39, N 1. – P. 70 – 76.
6. Khoroshun L.P., Babich D.V. Problems of Plate Stability in Short – Term Damaging of a Material // Int.
Appl. Mech. – 2001. – 37, N 2. – P. 898 – 905.
7. Khoroshun L.P. Principles of the Micromechanics of Material Damage. 2. Long-Term Damage // Int.
Appl. Mech. – 2007. – 43, N 2. – P. 217 – 227.
8. Khoroshun L.P., Babich D.V., Shikula E.N. Stability of Plates Made of a Particulate Composite with Non-
linear Elastic Matrix and Damaged Inclusions // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 7. – P. 772 – 779.
9. Khoroshun L.P., Babich D.V., Shikula E.N. Stability of Cylindrical Shells Made of a Particulate Compos-
ite with Nonlinear Elastic Matrix and Damaged Inclusions // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 8. –
P. 893 – 902.
10. Khoroshun L.P., Babich D.V., Shikula E.N. Stability of Coonvex Sells of Revolution Made of a Particu-
late Composites with Physically Nonlinear Matrix and Damageable Inclusions // Int. Appl. Mech. –
2008. – 44, N 6. – P. 653 – 661.
11. Khoroshun L.P., Shikula E.N. Deformation and Long – Term Damage of Particulate Composites with
Stress – Rupture Microstrength Described by a Fractional-Power Function // Int. Appl. Mech. – 2008. –
44, N 10. – P. 1075 – 1083.
Поступила 10.09.2008 Утверждена в печать 15.06.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95349 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:30:03Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хорошун, Л.П. Бабич, Д.В. 2016-02-25T12:07:15Z 2016-02-25T12:07:15Z 2010 Устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов / Л.П. Хорошун, Д.В. Бабич // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 4-13. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95349 Виконано постановку, наведено методику та дано розв’язок задачі про біфур- каційну стійкість оболонок обертання із зернистих композитних матеріалів при врахуванні довготри- валої пошкоджуваності компонентів. The statement is done, the technique is represented and the solution is given for the problem on bifurcational stability of shells of revolution made of granular composite materials with allowance for the long-term damage of components. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов Stability of Shells of Revolution Made of Granular Composite Materials under a Long-Term Damage of Components Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов Хорошун, Л.П. Бабич, Д.В. |
| title | Устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов |
| title_alt | Stability of Shells of Revolution Made of Granular Composite Materials under a Long-Term Damage of Components |
| title_full | Устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов |
| title_fullStr | Устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов |
| title_full_unstemmed | Устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов |
| title_short | Устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов |
| title_sort | устойчивость оболочек вращения из зернистых композитных материалов при длительной повреждаемости компонентов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95349 |
| work_keys_str_mv | AT horošunlp ustoičivostʹoboločekvraŝeniâizzernistyhkompozitnyhmaterialovpridlitelʹnoipovreždaemostikomponentov AT babičdv ustoičivostʹoboločekvraŝeniâizzernistyhkompozitnyhmaterialovpridlitelʹnoipovreždaemostikomponentov AT horošunlp stabilityofshellsofrevolutionmadeofgranularcompositematerialsunderalongtermdamageofcomponents AT babičdv stabilityofshellsofrevolutionmadeofgranularcompositematerialsunderalongtermdamageofcomponents |