Многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании
The nonlinear parametric vibrations of cylindrical shell are described by the Donell-Mushtari-Vlasov equations. The motion is represented in the form of multi-mode expansion by modes. A discretization is carried out by the Bubnov-Galerkin method. By use of harmonic balance method, the motion in...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95405 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании / Р.Е. Кочуров, К.В. Аврамов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 50-59. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859595042541273088 |
|---|---|
| author | Кочуров, Р.Е. Аврамов, К.В. |
| author_facet | Кочуров, Р.Е. Аврамов, К.В. |
| citation_txt | Многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании / Р.Е. Кочуров, К.В. Аврамов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 50-59. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | The nonlinear parametric vibrations of cylindrical shell are described by the
Donell-Mushtari-Vlasov equations. The motion is represented in the form of multi-mode expansion by
modes. A discretization is carried out by the Bubnov-Galerkin method. By use of harmonic balance
method, the motion in regimes of the running waves and the nonlinear
normal modes is studied for the system with dissipation and without one.
Нелінійні параметричні коливання циліндричних оболонок описано рівняннями
Доннелла – Муштарі – Власова. Рухи представлено у вигляді багатомодового розкладу за формами
коливань. Дискретизацію проведено методом Бубнова – Гальоркіна. За допомогою методу гармонічного балансу досліджено рухи в режимі біжучих хвиль та нелінійні нормальні моди в системі з диси пацією та без неї.
|
| first_indexed | 2025-11-27T19:52:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 9
50 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 9
Р . Е . К о ч у р о в 1
, К . В . А в р а м о в 1, 2
МНОГОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ
НЕЛИНЕЙНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ
1Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт»,
ул. Фрунзе 21, 61002, Харьков, Украина;
2 Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины,
ул. Дм. Пожарского, 2/10, 61046, Харьков, Украина; e-mail: kvavr@kharkov.ua
Abstract. The nonlinear parametric vibrations of cylindrical shell are described by the
Donell-Mushtari-Vlasov equations. The motion is represented in the form of multi-mode
expansion by modes. A discretization is carried out by the Bubnov-Galerkin method. By use
of harmonic balance method, the motion in regimes of the running waves and the nonlinear
normal modes is studied for the system with dissipation and without one.
Key words: parametric vibrations, multi-mode shall model, Donell-Mushtari-Vlasov
equations, harmonic balance method.
Введение.
Анализу нелинейных колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек посвя-
щено большое число исследований. В работах [3, 4] рассмотрены модели нелинейных
колебаний цилиндрических оболочек с тремя и четырьмя степенями свободы, кото-
рые описывают свободные, вынужденные и параметрические колебания. Взаимодей-
ствие двух пар сопряженных форм колебаний цилиндрических оболочек рассмотрено
в [9]. Подробный обзор работ по динамике оболочек содержится в статье [8].
Анализ линейных колебаний цилиндрических оболочек показывает, что спектр
собственных частот может быть весьма плотным. В этом случае только многомерны-
ми моделями, которые описывают взаимодействие между модами с плотным спек-
тром, можно описать нелинейную динамику цилиндрических оболочек.
В данной работе для анализа параметрических колебаний цилиндрических оболо-
чек при их геометрически нелинейном деформировании учитываются три пары со-
пряженных форм колебаний, имеющих близкие частоты линейных колебаний. В ста-
тье подробно исследованы два вида движений: нелинейные моды и бегущие волны.
1. Постановка задачи и уравнения колебаний.
Рассмотрим шарнирно опертую цилиндрическую оболочку без начальных непра-
вильностей, сжатую вдоль образующей распределенной периодической нагрузкой
вида 0 1( ) cos 2
x
N t N N tν= + , 0 1, const 0N N = > .
Оболочка совершает колебания с умеренными амплитудами. Тогда деформации
являются малыми, а перемещения – умеренными и связи между деформациями и пе-
ремещениями описываются нелинейными уравнениями. Связь между напряжениями
и деформациями описывается законом Гука. Тогда колебания оболочки моделируют-
ся уравнениями Донелла – Муштари – Власова [3, 4]
2 2 2 2 2 2 2 2
4
2 2 2 2
2 ;
D w F w F w F w F
w
h t x x y x y x y y x
ρ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇ + = + − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
51
2
2 2 2 2
4
2 2 2
1 1 w w w w
F
E x yR x x y
∂ ∂ ∂ ∂
∇ = − + −
∂ ∂∂ ∂ ∂
, (1)
где w − радиальные перемещения точек срединной поверхности оболочки; x − про-
дольная координата; y − окружная координата; R − радиус оболочки; ρ − плот-
ность материала оболочки; ,E µ − модуль Юнга и коэффициент Пуассона; F −
функция напряжений; 3 2( ) 12(1 )D Eh µ= − − цилиндрическая жесткость оболочки.
В цилиндрических оболочках сопряженные собственные формы колебаний
cos sinsy rx и sin sinsy rx имеют одинаковые частоты. При нелинейных колебаниях
цилиндрических оболочек эти формы, в основном, возбуждаются совместно. В общем
случае, бесконечное число собственных форм свободных колебаний цилиндрических
оболочек при геометрически нелинейном деформировании оказываются связанными.
Однако, в данной работе рассматривается случай основного параметрического резо-
нанса: 1ν ω≈ , где 1ω – первая собственная частота колебаний. При анализе парамет-
рических колебаний учитываются только собственные формы с частотами, близкими
к 1ω . Для широкого класса оболочек – это три первые собственные формы колебаний,
которые рассмотрены ниже. Динамический прогиб оболочки w аппроксимируем раз-
ложением
3
2
2 1 2 7 8
1
( cos sin )sin sin ,
i i i i
i
w f s y f s y rx f r x f
−
=
= + + +∑ (2)
где / ; / ; 1,3;
i i
s n R r m L iπ= = =
i
n – число волн в окружном направлении; m – чис-
ло полуволн вдоль образующей. Слагаемое 2
7 sinf r x отражает несимметричность
прогиба относительно серединной поверхности с преимущественным перемещением
к центру кривизны. Слагаемое 8f описывает радиальные перемещения точек, при-
надлежащих торцевым сечениям оболочки. Это слагаемое не зависит от окружной
координаты y , т. е. предполагается, что торцевые сечения при колебаниях оболочки
могут «дышать» [3].
Функцию напряжений F получим из второго уравнения системы (1). Ее предста-
вим так:
h p
F F F= + . Общее решение второго уравнения системы (1)
h
F определяет-
ся, удовлетворяя условие периодичности окружных перемещений [4], и имеет сле-
дующий вид:
6
2 2 2 2 2
7
1
1 1 1
16 4 2 2
h i i x x
i
E E
F s f x f x N x N y
R
µ
=
= − − −∑ . (3)
Частное решение второго уравнения системы (1)
p
F представим так:
3 3
(0) (0) (0)
1 2 5
1 1
cos 2 cos 2 sin 2
p i i i i
i i
F F r x F s y F s y
+ +
= =
= + + +∑ ∑
* * * *
1 2 4 5sin sin 3 cos 2 ,F r x F r x F F r x+ + + + (4)
где
3
* ( ) ( )
3
1
( cos sin );
k k
k i i i i
i
F F s y F s y
+
=
= +∑
52
* ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2 3 1 3 4 1 3
( ) ( ) ( ) ( )
5 2 3 6 2 3 7 1 2 8 1 2
( ) ( ) ( ) (
9 1 3 10 1 3 11 2 3 12
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
cos( ) cos( ) sin( ) sin( )
sin( ) sin( ) sin( )
l l l l
l
l l l l
l l l l
F F s s y F s s y F s s y F s s y
F s s y F s s y F s s y F s s y
F s s y F s s y F s s y F
= + + − + + + − +
+ + + − + + + − +
+ + + − + + +
)
2 3sin( ) ;
1, 2; 3, 4.
s s y
k l
−
= =
Выражения (2), (4) вводятся во второе уравнение системы (1) и приравниваются
коэффициенты при одинаковых гармониках. В результате приходим к системе линей-
ных алгебраических уравнений относительно параметров
i
F системы (4). Величины
i
F здесь не приводятся для краткости изложения.
К первому уравнению системы (1) применяется метод Бубнова – Галеркина. В ре-
зультате получаем систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, описывающую колебания цилиндрической оболочки. Эту систему перепишем
относительно безразмерных переменных: 1
0 , ( ) ( )
i i
t t f t h f tω
−
= =
%% . Опуская волну
(знак � ) в обозначениях, модель с конечным числом степеней свободы относительно
безразмерных переменных и параметров представим в следующем виде:
2
1 7 1 6( , ... , ) ( , ... , ) 0 ( 1, 6);
i i i i i i i x i
f f f R f f G f f N f iω χ+ + + + = =
&& (5)
6
2 2 2
7 8 7 7 8 8 7
1
4
0;
3
j j
j
f f f f fω ω γ
=
+ + + + =∑&& && % (6)
6
2 2 2
8 7 8 8 7 7 8
1
1
0,
2
j j
j
f f f f fω ω γ
=
+ + + + =∑&& && % (7)
где
6
2 2
1 7 7 7
1
( , ... , ) , 1, 6;
i ij j i i
j
R f f f f f iγ λ ζ
=
= + + =∑
2 2
1,2 1 6 17 5,6 3,4 4,3 3,4 4,3 6,5( , ... , ) ( ( ) 2 );G f f f f f f f fη= − +
3,4 1 6 37 1,2 3,4 5,6 1,2 4,3 6,5 2,1 4,3 5,6 2,1 3,4 6,5( , ... , ) ( );G f f f f f f f f f f f f f fη= + + −
2 2
5,6 1 6 57 1,2 3,4 4,3 3,4 4,3 2,1( , ... , ) ( ( ) 2 ).G f f f f f f f fη= − +
Величины , ,
ij i ij
γ ς η зависят от параметров оболочки и здесь не приводятся для
краткости. В формулах берутся отдельно первые или вторые индексы, разделенные
запятой. Частоты 7ω , 8ω значительно больше частот 1 6, ... ,ω ω . Поэтому при анализе
уравнений (6), (7) предполагается, что 7 0f =
&& , 8 0f =
&& . В результате из уравнений (6),
(7) получаем
6 6
2 2 1
7 8 8 8 7
1 1
;
j j j j
j j
f f fω γ ω γ η
−
= =
= −
∑ ∑%
6 6
2 2 1
8 7 7 7 8 7 8 7 8
1 1
; .
j j j j
j j
f f fω γ ω γ η η ω ω ω ω
−
= =
= − = −
∑ ∑% % % (8)
Уравнения (8) введем в (5). Тогда функции
i
R , 1, 6,i = системы (5) примут сле-
дующий вид:
53
6
2
1 6
1
( , ... , ) ( 1, 6).
i ij j
j
R f f f iη
=
= =∑ (9)
Итак, параметрические колебания оболочки описываются системой уравнений (5)
с функциями
i
R в виде (9). В дальнейших исследованиях параметрическую нагрузку
примем в виде 1( ) cos 2
x
N t N tν= .
2. Анализ нелинейных колебаний.
Исследуем динамику системы (5). В этой системе существуют две нелинейные
нормальные формы: 2 1 2 ,
i i
f f
−
= ± 1, 3.i = Движения на этих нормальных формах описы-
ваются системой трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (10)
2
1 3 5 1 3 5( , , ) ( , , ) 0 ( 1, 3, 5).
i i i i i i i x i
f f f R f f f G f f f N f iω χ+ + + + = =
&& %% (10)
Итак, получены нелинейные моды, которые являются прямыми линиями в конфи-
гурационном пространстве динамической системы (5). Подчеркнем, что эти прямые
линии являются точным решением системы (5). Теория нелинейных нормальных
форм параметрических колебаний – это неисследованный вопрос теории нелинейных
колебаний [1, 5]. К сожалению, ничего не известно о существовании нелинейных нор-
мальных форм, отличных от исследуемых в системе (5).
Для исследования движений на нормальной форме (10) воспользуемся методом
гармонического баланса и движение представим так:
( ) ( )cos sin ( 1, 3, 5).
i i i
f A t B t iν ν= + = (11)
Теперь (11) введем в (10) и приравняем амплитуды при cos( )tν и sin( )tν . В ре-
зультате получаем следующую систему нелинейных алгебраических уравнений:
( )
2 2 2 2 2 ( )
1
1,3,5
1 1
3 0;
2 2
A
i i ii i ij j j i i
j
A A A B N Gω ν η η χ
=
− + + + + + =
∑
( )
2 2 2 2 2 ( )
1
1,3,5
1 1
3 0
2 2
B
i i ii i ij j j i i
j
B B B A N Gω ν η η χ
=
− + + + − + =
∑ ( 1, 3, 5),i = (12)
где
( )
( ) 2 2
1 13 3 1 3 15 5 1 5 17 3 3 5 17 5 3 3
1 1
3 ;
2 4
A
G A B B A B B A B B A A Bη η η η= + + + +
( )
( ) 2 2
1 13 3 1 3 15 5 1 5 17 3 3 5 17 5 3 3
1 1
3 ;
2 4
B
G B A A B A A B A A B B Aη η η η= + + + +
( )
( )
3 37 1 3 5 37 1 3 5 37 3 1 5 37 5 1 3
1
3 ;
2
A
G A A A A B B A B B A B Bη η η η= + + +
( )
( )
3 37 1 3 5 37 1 3 5 37 3 1 5 37 5 1 3
1
3 ;
2
B
G B B B B A A B A A B A Aη η η η= + + +
( )
( ) 2 2
5 53 3 3 5 51 1 1 5 57 3 1 3 57 1 3 3
1 1
3 ;
2 4
A
G A B B A B B A B B A A Bη η η η= + + + +
( )
( ) 2 2
5 53 3 3 5 51 1 1 5 57 3 1 3 57 1 3 3
1 1
3 .
2 4
B
G B A A B A A B A A B B Aη η η η= + + + + (13)
54
В системе (12) существуют следующие группы решений:
1.1) 1 3 50; 0; 0;
i
A A A B≠ = = = 1.2). 1 3 50; 0; 0;
i
B B B A≠ = = =
2.1) 3 1 50; 0; 0;
i
A A A B≠ = = = 2.2). 3 1 50; 0; 0;
i
B B B A≠ = = =
3.1) 5 1 30; 0; 0;
i
A A A B≠ = = = 3.2). 5 1 30; 0; 0;
i
B B B A≠ = = =
4.1) 1 5 30; 0; 0; 0;
i
A A A B≠ ≠ = = 4.2). 1 5 30; 0; 0; 0;
i
B B B A≠ ≠ = =
5.1) 1 3 50; 0; 0; 0;
i
A A A B≠ ≠ ≠ = 5.2). 1 3 50; 0; 0; 0
i
B B B A≠ ≠ ≠ = (14)
( 1, 3, 5).i =
Рассмотрим каждую из групп решений в отдельности. Исследуем согласно (14)
решения 1.1), 1.2). Они определяются из системы нелинейных алгебраических урав-
нений (12) при фиксированном значении ν , которое задается с некоторым шагом.
Тогда амплитуды колебаний 1A , 1B определяются так:
2 2 2
1 1 1 1 112 2 3 ;A Nν ω χ η = − −
2 2 2
1 1 1 1 112 2 3B Nν ω χ η = − + . (16)
Решения 2.1), 2.2), 3.1), 3.2) также могут быть определены аналитически. Тогда
амплитуды 3A , 3B , 5A , 5B определяются так:
2 2 2
12 2 3 ;
i i i ii
A Nν ω χ η = − −
2 2 2
12 2 3 ( 3, 5).
i i i ii
B N iν ω χ η = − + = (17)
Исследуем группы решений 4.1), 4.2), варьируя с некоторым шагом частотой ν .
Для каждого значения ν решается система нелинейных алгебраических уравнений
(12). Эта система имеет следующее аналитическое решение:
( ) ( )
2 1 2 2 2 2
1 55 1 1 1 15 5 5 12 2 2 2 3;A N Nθ η ν ω χ η ν ω χ
− = − − − − −
( ) ( )
2 1 2 2 2 2
1 55 1 1 1 15 5 5 12 2 2 2 3;B N Nθ η ν ω χ η ν ω χ
− = − + − − +
( ) ( )
2 1 2 2 2 2
5 11 5 5 1 51 1 1 12 2 2 2 3;A N Nθ η ν ω χ η ν ω χ
− = − − − − −
( ) ( )
2 1 2 2 2 2
5 11 5 5 1 51 1 1 12 2 2 2 3 ,B N Nθ η ν ω χ η ν ω χ
− = − + − − + (18)
где 11 55 15 51θ η η η η= − .
В случаях 5.1), 5.2) амплитуды колебаний определяются из системы нелинейных
алгебраических уравнений (12), которая решается численно методом Ньютона отно-
сительно 1A , 1B , 3A , 3B , 5A , 5B , а параметр ν варьируется с некоторым шагом.
Теперь исследуем нелинейные колебания оболочки с учетом диссипации энергии.
В систему (5) введем слагаемые, которые описывают линейное демпфирование коле-
баний. Тогда эта система преобразуется к виду
( ) ( )
2
1 7 1 6,..., ,..., 0 ( 1, 6).
i i i i i i i i i x i
f f f f R f f G f f N f iξ ω χ+ + + + + = =
&& & (19)
Функции
i
R этой системы определяются из (9).
В системе с диссипацией (19) существуют нелинейные моды 2 1 2 ,
i i
f f
−
= ± 1, 3i = .
Отметим, что эти нелинейные моды существуют и в системе без диссипации (10). Для
55
исследования этих нелинейных мод воспользуемся методом гармонического баланса
и движение системы представим в форме (11). Тогда получим систему нелинейных
алгебраических уравнений относительно амплитуд гармоник (11)
( )
2 2 2 2 2 ( )
1
1,3,5
1 1
3 0;
2 2
A
i i ii i ij j j i i i i
j
A A A B N B Gω ν η η χ ξ ν
=
− + + + + + + =
∑
( )
2 2 2 2 2 ( )
1
1,3,5
1 1
3 0
2 2
B
i i ii i ij j j i i i i
j
B B B A N A Gω ν η η χ ξ ν
=
− + + + − − + =
∑ ( 1, 3, 5).i = (20)
Здесь функции ( )A
i
G , ( )B
i
G определяются по формулам (13). В системе (20) существу-
ют следующие группы решений:
1) 1 1 3 5 3 50; 0; 0; 0;A B A A B B≠ ≠ = = = =
2) 3 3 1 5 1 50; 0; 0; 0;A B A A B B≠ ≠ = = = =
3) 5 5 1 3 1 30; 0; 0; 0;A B A A B B≠ ≠ = = = =
4) 1 5 1 5 3 30; 0; 0; 0; 0; 0;A A B B A B≠ ≠ ≠ ≠ = =
5) 1 3 5 1 3 50; 0; 0; 0; 0; 0.A A A B B B≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ (21)
Решения (21) системы (20) исследуются численно. Задавая параметр ν с некото-
рым шагом, методом Ньютона определяются все неизвестные.
Рассмотрим режим бегущих волн в цилиндрической оболочке, который описыва-
ется системой (19). Для исследования этих движений воспользуемся методом гармо-
нического баланса и колебания системы представим так:
( ) ( )cos sin ,
i i i
f A t B tν ν= + 1 sin( ) cos( )
i i i
f A t B tν ν
+
= + ( 1, 3, 5).i = (22)
Тогда амплитуды гармоник (22) описываются системой нелинейных алгебраиче-
ских уравнений
( )
2 2 2 2 2 ( )
1
1,3,5
1
0;
2
A
i i ii i ij j j i i i i
j
A B A B N B Gω ν η η χ ξ ν
=
− + + + ± ± + =
∑ %
( )
2 2 2 2 2 ( )
1
1,3,5
1
0
2
B
i i ii i ij j j i i i i
j
B A A B N A Gω ν η η χ ξ ν
=
− + + + ± ± + =
∑ % ( 1, 3, 5);i = (23)
( ) 2
1 13 3 1 3 15 5 1 5 17 3 3 5 17 3 5
1
;
2
A
G A B B A B B A B B A Aη η η η= + + +
%
( ) 2
1 13 3 1 3 15 5 1 5 17 3 3 5 17 3 5
1
;
2
B
G B A A B A A B A A B Bη η η η= + + +
%
( )
3 37 1 3 5 37 1 3 5 37 5 1 3 31 1 1 3 35 5 3 5 ;A
G A A A A B B A B B A B B A B Bη η η η η= + + + +
%
( )
3 37 1 3 5 37 1 3 5 37 5 1 3 31 1 1 3 35 5 3 5 ;B
G B B B B A A B A A B A A B A Aη η η η η= + + + +
%
( ) 2
5 51 1 1 5 53 3 3 5 57 3 1 3 57 1 3
1
;
2
A
G A B B A B B A B B A Aη η η η= + + +
%
( ) 2
5 51 1 1 5 53 3 3 5 57 3 1 3 57 1 30,5 .B
G B A A B A A B A A B Bη η η η= + + +
% (24)
56
В системе (23) существуют следующие группы решений:
1). 1 1 3 5 3 50; 0;A B A A B B= ≠ = = = =
2). 1 1 5 5 3 30; 0; 0;A B A B A B= ≠ = ≠ = =
3). 1 1 5 5 3 30; 0; 0 .A B A B A B= ≠ = ≠ = ≠ (25)
Движения (25) исследуются при изменении частоты параметрической нагрузки ν
численным решением системы (23) методом Ньютона.
Теперь свяжем параметры полученных колебаний с радиальными прогибами обо-
лочки. Нормальным формам, которые описываются уравнениями 2 1 2 ,
i i
f f
−
= ± 1,3i = ,
отвечают такие радиальные перемещения оболочки:
( ) ( )
3
2 1 2 1
1
, , sin cos ( ) sin ( ) cos sini i
i i
i
n y n ym x
w x y t A t B t
L R R
π
ν ν
− −
=
= + ± +
∑
2
sin ;
m x
C E
L
π
+ + (26)
( ) ( )
1 2 2
8 8 8 1 8 7 7 1
1,3,5
;
j j j j j j
j
C f fη ω γ γ ω γ γ
−
+ +
=
= + − + ∑ %
( ) ( )
1 2 2
7 7 7 1 7 8 8 1
1,3,5
.
j j j j j j
j
E f fη ω γ γ ω γ γ
−
+ +
=
= + − + ∑ %
В случае бегущих волн (22) колебания радиальных перемещений оболочки опре-
деляются так:
( )
3
2 1 2 1
1
, , sin cos sini i
i i
i
n y n ym x
w x y t A t B t
L R R
π
ν ν
− −
=
= − + + +
∑
2
sin ;
m x
C E
L
π
+ +
% % (27)
{ }
1 2 2 2 2
8 8 8 1 1 8 7 7 1 1
1,3,5
,
j j j j j j j j
j
C f f f fη ω γ γ ω γ γ
−
+ + + +
=
= + − + ∑% %
{ }
1 2 2 2 2
7 7 7 1 1 7 8 8 1 1
1,3,5
.
j j j j j j j j
j
E f f f fη ω γ γ ω γ γ
−
+ + + +
=
= + − + ∑% %
Слагаемое ( )2 1 cos ( )
i i
A t n y Rν
−
− уравнения (27) отвечает вращению всей карти-
ны деформаций оболочки вокруг оси симметрии в направлении возрастания y с уг-
ловой скоростью ,
i
nν
∗
Ω = а второе слагаемое ( )2 1 sin ( )
i i
B t n y Rν
−
+ уравнения (27)
соответствует движению волны с той же угловой скоростью, но в противоположном
направлении.
3 Численный анализ колебаний.
Рассмотрим оболочку со следующими численными значениями параметров [6]:
0,002мh = ; 0, 4мL = ; 0, 2мR = ;
11 2
2,1 10 Н/мE = ⋅ ; 0,3µ = ; 37850кг/м ;ρ =
0
0,001 ( 1, 6);i
i
i
ω
ξ
ω
= = 0 3165,03;ω = 1 0,6 ,
cr
N N= (28)
57
где 2 23(1 )
cr
N Eh R ν= − – статическая критическая нагрузка [9], которая для пара-
метров оболочки (28) принимает значение: 62,54 10 Н/м
cr
N = ⋅ . Собственные частоты
линейных колебаний оболочки с параметрами (28), в рад/с, таковы: 1,3 5636,32;ω =
1,4 3745,32;ω = 1,5 3165,03;ω = 1,6 3437,18;ω = 1,7 4214,28;ω = 1,8 5289,51,ω = где пер-
вый индекс показывает число полуволн вдоль образующей, а второй индекс – число
волн в окружном направлении. Из анализа частот следует, что в дальнейшем исследо-
вании будут учитываться моды колебаний, имеющие такие параметры волнообразо-
вания: 1 4n = ; 2 5n = ; 3 6n = ; 1m = .
Для представленных выше параметров оболочки проведен численный анализ не-
линейных нормальных форм. На рис. 1 представлена амплитудно-частотная характе-
ристика (АЧХ), которая выражает зависимость амплитуд колебаний 1A , 1B от часто-
ты параметрической силы ν . На этом рисунке приняты следующие обозначения: бук-
вами (1)
1A , (1)
1B обозначены ветви АЧХ для случая 1.1), 1.2), которые представлены в
(14). В этом случае в колебаниях участвует только одна из трех сопряженных форм
колебаний из разложения (2). На рис. 1 показаны ветви (2)
1A , (2)
1B , которые отвечают
случаю возбуждения двух сопряженных форм колебаний. Эти решения отражают
случаи 4.1) и 4.2), представленные в формулах (14). Ветви АЧХ (3)
1A , (3)
1B отражают
случай возбуждения трех сопряженных форм колебаний, что отвечает случаям 5.1) и 5.2)
в формулах (14).
Рис. 1
Для подтверждения результатов аналитического анализа проводилось прямое
численное интегрирование системы (10) при различных значениях частот гармониче-
ского воздействия ν . Результаты расчетов представлены на рис. 1 точками. Эти ре-
зультаты свидетельствуют об очень хорошем совпадении результатов прямого чис-
ленного интегрирования и данных метода гармонического баланса.
Для исследования устойчивости параметрических колебаний производилось пря-
мое численное интегрирование системы дифференциальных уравнений (5) на интер-
валах времени t порядка 1000 периодов колебаний. Начальные условия определялись
из уравнений (11), (22). На рис. 1 устойчивые движения представлены сплошной ли-
нией, а неустойчивые – пунктирной линией.
Исследовано также поведение динамической системы (5) при потере устойчивости
нормальных форм. Для этого проведено прямое численное интегрирование системы (5).
Результаты расчета представлены на рис. 2. Данные, представленные на рис. 2, a со-
ответствуют группе решений 1.1), которые описываются формулой (14), при таких пара-
метрах: 1,18,ν = 1 0,3694.A = На рис. 2, б представлена динамика системы (5) после
потери устойчивости решений из группы 4.1), которые описываются формулой (14).
Эти решения имеют следующие параметры: 1,43,ν = 1 2,8494,A = 5 2,6091.A =
58
а б
Рис. 2
На рис. 3 представлена АЧХ, описывающая динамику системы (19) на нелиней-
ных модах; здесь показана зависимость амплитуд колебаний 1A , 1B от частоты воз-
мущающей силы ν . Здесь ветви АЧХ, соответствующие группам решений (21), для
случая 1) обозначены буквами (1)
1 ,A (1)
1 .B При этом в колебаниях участвует только
одна из трех сопряженных форм колебаний разложения (2). На рис. 3 показаны ветви
(2)
1 ,A (2)
1 ,B которые отвечают случаю возбуждения двух пар сопряженных форм коле-
баний и соответствуют группе 4), представленной в формулах (21). Ветви АЧХ (3)
1 ,A (3)
1B
отражают случай возбуждения трех пар сопряженных форм колебаний, что отвечает
случаю 5) в формулах (21).
Произведен численный анализ режимов типа бегущих волн на основании методи-
ки, представленной выше. Результаты анализа представлены в виде АЧХ на рис. 4, где
показана зависимость амплитуд колебаний 1A от частоты возмущающей силы ν .
Здесь ветви АЧХ, соответствующие группам решений (25) для случая 1), обозначены
буквами (1)
1A . При этом в колебаниях участвует только одна из трех пар сопряженных
форм колебаний из разложения (2). На рис. 4 показаны ветви (2)
1A , которые отвечают
случаю возбуждения двух пар сопряженных форм колебаний и соответствуют группе
2), представленной в формулах (25). Ветви АЧХ (3)
1A отражают случай возбуждения
трех пар сопряженных форм колебаний, что отвечает случаю 3) в формулах (25).
Рис. 4
Рис. 3
59
Выводы.
Существует большой класс цилиндрических оболочек, для которых двух и трех-
модовые аппроксимации колебаний не достаточны для адекватного описания дина-
мики. Это объясняется близостью собственных частот различных мод колебаний.
В этом случае только многомодовые модели адекватно описывают колебания.
При многомодовом режиме колебаний оболочки обнаружено, что существуют не-
линейные моды, которые описываются прямыми линиями в конфигурационном про-
странстве. Отметим, что одинаковые нелинейные моды существуют как в системе без
диссипации, так и в системе с диссипацией. Существование таких нормальных форм
объясняется циклической симметрией цилиндрических оболочек.
Р Е З ЮМ Е . Нелінійні параметричні коливання циліндричних оболонок описано рівняннями
Доннелла – Муштарі – Власова. Рухи представлено у вигляді багатомодового розкладу за формами
коливань. Дискретизацію проведено методом Бубнова – Гальоркіна. За допомогою методу гармоніч-
ного балансу досліджено рухи в режимі біжучих хвиль та нелінійні нормальні моди в системі з диси-
пацією та без неї.
1. Аврамов К.В. Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний // ДНАНУ. – 2008. –
№ 11. – C. 41 – 47.
2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.: Наука, 1972. – 423 с.
3. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных
колебаний цилиндрических оболочек. − К.: Наук. думка, 1984. − 218 с.
4. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Подчасов Н.П. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек. −
К.: Выща шк., 1989. − 207 с.
5. Avramov K. Nonlinear modes of parametric vibrations and their applications to beams dynamics // J.
Sound and Vibrations. – 2009. – 322. – P. 476 – 489.
6. Gonçalves P.B., Del Prado Z.J.G.N. Nonlinear Oscillations and Stability of Parametrically Excited Cylin-
drical Shells // Meccanica – 2002. − 36. − P. 105 – 116.
7. Koval’chuk P.S., Kruk L.A. Forced nonlinear oscillations of cylindrical shells interacting with fluid flow //
J. Sound and Vibration. – 2003. – 265. − P. 245 – 268.
8. Kubenko V.D., Kovalchuk P.S. Nonlinear Problems of Oscillations of Thin Shells // Int. Appl. Mech. –
1998. − 34, N 8. − P. 703 – 728.
9. Kubenko V.D., Koval'chuk P.S., Kruk L.A. Non-linear interaction of bending deformations of free-
oscillating cylindrical shells // J. Sound and Vibration. – 2003. − 265. − P. 245 –268.
10. Pellicano F., Amabili M. Stability and vibration of empty and fluid-fillet circular cylindrical shells under
static and periodic axial loads // Int. J. Solid and Struct. – 2003. – 40. − P. 3229 – 3251.
11. Yamaki N. Elastic Stability of Circular Cylindrical Shells. – North-Holland, Amsterdam, 1984.
Поступила 15.05.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95405 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T19:52:21Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кочуров, Р.Е. Аврамов, К.В. 2016-02-25T19:58:05Z 2016-02-25T19:58:05Z 2010 Многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании / Р.Е. Кочуров, К.В. Аврамов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 50-59. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95405 The nonlinear parametric vibrations of cylindrical shell are described by the Donell-Mushtari-Vlasov equations. The motion is represented in the form of multi-mode expansion by modes. A discretization is carried out by the Bubnov-Galerkin method. By use of harmonic balance method, the motion in regimes of the running waves and the nonlinear normal modes is studied for the system with dissipation and without one. Нелінійні параметричні коливання циліндричних оболонок описано рівняннями Доннелла – Муштарі – Власова. Рухи представлено у вигляді багатомодового розкладу за формами коливань. Дискретизацію проведено методом Бубнова – Гальоркіна. За допомогою методу гармонічного балансу досліджено рухи в режимі біжучих хвиль та нелінійні нормальні моди в системі з диси пацією та без неї. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании Multi-Dimensional Models of Parametric Vibra- tions of Cylindrical Shells under Geometrically Nonlinear Deformation Article published earlier |
| spellingShingle | Многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании Кочуров, Р.Е. Аврамов, К.В. |
| title | Многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании |
| title_alt | Multi-Dimensional Models of Parametric Vibra- tions of Cylindrical Shells under Geometrically Nonlinear Deformation |
| title_full | Многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании |
| title_fullStr | Многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании |
| title_full_unstemmed | Многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании |
| title_short | Многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании |
| title_sort | многомерные модели параметрических колебаний цилиндрических оболочек при геометрически нелинейном деформировании |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95405 |
| work_keys_str_mv | AT kočurovre mnogomernyemodeliparametričeskihkolebaniicilindričeskihoboločekprigeometričeskinelineinomdeformirovanii AT avramovkv mnogomernyemodeliparametričeskihkolebaniicilindričeskihoboločekprigeometričeskinelineinomdeformirovanii AT kočurovre multidimensionalmodelsofparametricvibrationsofcylindricalshellsundergeometricallynonlineardeformation AT avramovkv multidimensionalmodelsofparametricvibrationsofcylindricalshellsundergeometricallynonlineardeformation |