Об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем
Basing on the auxiliary matrix-valued function, a way is proposed and developed for construction of the periodic in time Lyapunov function for a linear system with periodic coefficients. The new sufficient conditions of stability of motion are formulated for the large-scale periodic systems, when...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95443 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем / Д.М. Лила // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 121-135. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95443 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лила, Д.М. 2016-02-26T18:08:15Z 2016-02-26T18:08:15Z 2010 Об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем / Д.М. Лила // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 121-135. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95443 Basing on the auxiliary matrix-valued function, a way is proposed and developed for construction of the periodic in time Lyapunov function for a linear system with periodic coefficients. The new sufficient conditions of stability of motion are formulated for the large-scale periodic systems, when they are decomposed on the even number of subsystems. Запропоновано і розвинуто спосіб побудови періодичної за часом функції Ляпунова для лінійної системи з періодичними коефіцієнтами на основі допоміжної матричнозначної функції. Сформульовано нові достатні умови стійкості руху великомасштабних періодичних систем при їх декомпозиції на парну кількість підсистем. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем On Stability of Motion of Linear Large-Scale Vibrational Systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем |
| spellingShingle |
Об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем Лила, Д.М. |
| title_short |
Об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем |
| title_full |
Об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем |
| title_fullStr |
Об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем |
| title_full_unstemmed |
Об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем |
| title_sort |
об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем |
| author |
Лила, Д.М. |
| author_facet |
Лила, Д.М. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On Stability of Motion of Linear Large-Scale Vibrational Systems |
| description |
Basing on the auxiliary matrix-valued function, a way is proposed and developed for construction of the periodic in time Lyapunov function for a linear system with periodic coefficients. The new sufficient conditions of stability of motion are formulated for the
large-scale periodic systems, when they are decomposed on the even number of subsystems.
Запропоновано і розвинуто спосіб побудови періодичної за часом функції Ляпунова для лінійної системи з періодичними коефіцієнтами на основі допоміжної
матричнозначної функції. Сформульовано нові достатні умови стійкості руху великомасштабних періодичних систем при їх декомпозиції на парну кількість підсистем.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95443 |
| citation_txt |
Об устойчивости движения линейных крупномасштабных колебательных систем / Д.М. Лила // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 121-135. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT liladm obustoičivostidviženiâlineinyhkrupnomasštabnyhkolebatelʹnyhsistem AT liladm onstabilityofmotionoflinearlargescalevibrationalsystems |
| first_indexed |
2025-11-26T02:05:48Z |
| last_indexed |
2025-11-26T02:05:48Z |
| _version_ |
1850607468010274816 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 10
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 10 121
Д . М . Л и л а
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ КРУПНОМАСШТАБНЫХ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057 Киев, Украина; e-mail: dim_l@ukr.net
Abstract. Basing on the auxiliary matrix-valued function, a way is proposed and devel-
oped for construction of the periodic in time Lyapunov function for a linear system with
periodic coefficients. The new sufficient conditions of stability of motion are formulated for
the large-scale periodic systems, when they are decomposed on the even number of subsys-
tems.
Key words: large-scale periodic system, linear system with periodic coefficients, block-
diagonal matrix-valued function, periodic in time Lyapunov function, conditions of asymp-
totic stability.
Введение.
Движения, многократно повторяющиеся или приблизительно повторяющиеся че-
рез определенные промежутки времени, связаны с колебательными явлениями в есте-
ствознании и технике [10, 14, 21]. При этом практический интерес, в частности, в ме-
ханике представляют лишь действительно осуществимые движения такого рода. Со-
гласно принципу выбора (во множестве всех теоретически возможных решений соот-
ветствующих уравнений движения) им соответствуют устойчивые решения.
Положительный опыт распространения прямого метода Ляпунова при создании
надежных приемов исследования устойчивости крупномасштабных систем и систем с
бесконечным числом степеней свободы, обоснование универсальности метода функ-
ций Ляпунова [1, 6, 8, 12, 22] с последующими его обобщениями и модификациями [3,
5, 7, 9, 11], используемыми в настоящее время при развитии метода многокомпонент-
ных функций [4, 19, 20] и получении новых условий устойчивости для некоторых
классов систем [13, 15, 16, 18], представляют проблему построения подходящей V -
функции для систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими ко-
эффициентами [2] как актуальную задачу.
В настоящей статье используется результат работы [2, 17] относительно базирую-
щегося на общей теореме об асимптотической устойчивости периодической системы
(на основе матричнозначной вспомогательной функции) способа построения функции
Ляпунова. Путем обобщения этого результата сформулированы достаточные условия
равномерной асимптотической устойчивости движения крупномасштабных периодиче-
ских систем. Проанализирован в общем виде случай системы произвольного порядка с
коэффициентами в форме матричных тригонометрических полиномов, состоящей из
парного числа подсистем. При этом идея построения внедиагональных элементов блоч-
но-диагональной матричнозначной функции на основе решений интегральных уравне-
ний Фредгольма второго рода здесь конкретизирована применительно к рассматривае-
мой системе. Построение диагональных элементов приводится к квадратурам.
122
§1. Построение функции Ляпунова. Условия устойчивости.
Объектом исследования является система
2
2 1
2 1,2 1 2 1 2 1,2 2 2 1, 2 1 0 2 1,0
1
( 2 1,2 )
( ) ( ) ; ( ) ;
r
s
s s s s s s s j j s s
j
j s s
dx
A x A t x A t x x t x
dt
−
− − − − − − −
=
≠ −
= + + =∑
2
2
2 ,2 2 2 ,2 1 2 1 2 , 2 0 2 ,0
1
( 2 1,2 )
( ) ( ) ; ( ) , = 1, , ,
r
s
s s s s s s s j j s s
j
j s s
dx
A x A t x A t x x t x s r
dt
− −
=
≠ −
= + + =∑ K
(1.1)
где
n
j
j
x ∈R ,
2
=1
=
r
j
j
n n∑ ,
n n
j j
jj
A
×
∈R , = 1, , 2j rK , – постоянные матрицы, и
( )
=
( ) = ( , = 1, , 2 , ) ;
N
k i kt
jl jl
k N
A t A e j l r j l
ω
−
≠∑ K
2
=
T
π
ω , > 0T ;
( ) n n
k j l
jl
A
×
∈C ; ( ) ( )=k k
jl jl
A A
− .
Для системы (1.1) построим матричнозначную функцию
1 2 12 1 2 2 1,2 2 1 2( , , , ) = diag ( , , ), , ( , , ) ,
r r r r r
U t x x V t x x V t x x
− −
K K (1.2)
где
2 1,2 1 2 1 2 1,2 2 1 2
2 1,2 2 1 2
2 ,2 1 2 1 2 2 ,2 2
( , ) ( , , )
( , , ) = ,
( , , ) ( , )
s s s s s s s
s s s s
s s s s s s s
v t x v t x x
V t x x
v t x x v t x
− − − − −
− −
− −
(1.3)
2 1,2 1 2 1 2 1 2 1,2 1 2 1
( , ) = ( ) ;
T
s s s s s s s
v t x x P t x
− − − − − − −
2 ,2 2 2 2 ,2 2
( , ) = ( ) ,
T
s s s s s s s
v t x x P t x
а ( )
1 2 1 2 1
2 1,2 1( ) ,
n n
s s
s s
P t C
×
− −
− −
∈ R R , ( )
1 2 2
2 ,2 ( ) ,
n n
s s
s s
P t C
×
∈ R R – T -периодические сим-
метричные матрицы-функции;
2 1,2 2 1 2 2 ,2 1 2 1 2 2 1 2 1,2 2
( , , ) = ( , , ) = ( ) ;
T
s s s s s s s s s s s s
v t x x v t x x x P t x
− − − − − −
( )
1 2 1 2
2 1,2 ( ) ,
n n
s s
s s
P t C
×
−
−
∈ R R ;
2 1,2 2 1,2
( ) = ( )
s s s s
P t T P t
− −
+ ( = 1, , ) .s rK
Ограничиваясь в соответствии с (1.2), (1.3) случаем, когда все r пар подсистем сис-
темы (1.1) независимые, найдем полную производную функции Ляпунова (см. [19]).
1 2
( , , ) = ( , , , ) ,T
r
v t x U t x xη η ηK (1.4)
где ( )1 2= , ,
T
T T
r
x x xK ,
1 2
= ( , , )T
r
η η ηK , > 0
j
η , = 1, , 2j rK вдоль решений
системы
1
11 1 12 2 1 0 10
2
2 ,2 2 2 ,2 1 2 1 2 0 2 ,0
= ( ) ; ( ) = ;
= ( ) ; ( ) = .r
r r r r r r r r
dx
A x A t x x t x
dt
dx
A x A t x x t x
dt
− −
+
+
L L L (1.5)
Тогда имеем
( )
2 2
2 1,2 1 2 1 2 1 2 1,2 2 1 2 2 1 2 2 ,2 2 2
=1(2.5) (2.5)
= ( , ) 2 ( , , ) ( , )
r
s s s s s s s s s s s s s s
s
dv d
v t x v t x x v t x
dt dt
η η η η
− − − − − − −
+ + =
∑
123
( )(
2 1,2 1
2 1,2 1 2 1 2 1,2 2 2 1,2 1 2 1 2 1 2 1
=1
= ( ) ( )
r
T
s sT
s s s s s s s s s s s
s
dP
A x A t x P t x x x
dt
− −
− − − − − − − − −
+ + +∑
( ) ( )
2
2 1 2 1,2 1 2 1,2 1 2 1 2 1,2 2 2 1 2 ,2 2 2 ,2 1 2 1 2 ,2 2
( ) ( ) ( ) ( )
T
T
s s s s s s s s s s s s s s s s s s s
x P t A x A t x A x A t x P t xη
− − − − − − − − − −
+ + + + +
( )
2 ,2 2
2 2 2 2 ,2 2 ,2 2 2 ,2 1 2 1 2( ) ( )
s sT T
s s s s s s s s s s s s
dP
x x x P t A x A t x
dt
η
− −
+ + + +
( )
2 1,2
2 1,2 1 2 1 2 1,2 2 2 1,2 2 2 1 2( ) ( )
T
s sT
s s s s s s s s s s s
dP
A x A t x P t x x x
dt
−
− − − − − −
+ + + +
( )2 1 2 1,2 2 ,2 2 2 ,2 1 2 1 2 1 2
( ) ( )T
s s s s s s s s s s s
x P t A x A t x η η
− − − − −
+ + +
( )
2 1,2
2 ,2 2 2 ,2 1 2 1 2 1,2 2 1 2 2 1
( ) ( )
T
T
s sT T
s s s s s s s s s s s
dP
A x A t x P t x x x
dt
−
− − − − −
+ + + +
( ) )2 2 1,2 2 1,2 1 2 1 2 1,2 2 2 1 2
( ) ( ) =T T
s s s s s s s s s s s
x P t A x A t x η η
− − − − − −
+ +
2 1,2 1 2
2 1 2 1,2 1 2 1,2 1 2 1,2 1 2 1,2 1 2 1
=1
= ( ) ( )
r
s sT T
s s s s s s s s s s
s
dP
s A P t P t A
dt
η
− −
− − − − − − − − − −
+ + +
∑
( )2 1,2 2 ,2 1 2 ,2 1 2 1,2 2 1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( )T T
s s s s s s s s s s s
P t A t A t P t xη η
− − − − − −
+ + +
2 ,2 2
2 2 ,2 2 ,2 2 ,2 2 ,2 2
( ) ( )
s sT T
s s s s s s s s s s
dP
s A P t P t A
dt
η
+ + + +
( )2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )T T
s s s s s s s s s s s
A t P t P t A t xη η
− − − − −
+ + +
2 2
2 1 2 1,2 1 2 1,2 2 1 2 ,2 1 2 ,2 2( ) ( ) ( ) ( )
T T
s s s s s s s s s s s
x P t A t A t P tη η
− − − − − −
+ + +
2 1,2
2 1,2 1 2 1,2 2 1,2 2 ,2 2 1 2 2
( ) ( )
s sT
s s s s s s s s s s s
dP
A P t P t A x
dt
η η
−
− − − − −
+ + + +
2 2
2 2 1,2 2 1,2 1 2 1 2 ,2 2 ,2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
T T
s s s s s s s s s s s
x A t P t P t A tη η
− − − − −
+ + +
2 1,2
2 ,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2 1 2 1 2 2 1( ) ( ) .
T
s sT T T
s s s s s s s s s s s
dP
A P t P t A x
dt
η η
−
− − − − − −
+ + +
Предположим, что
2 1,2 1
( )
s s
P t
− −
,
2 ,2
( )
s s
P t ,
2 1,2
( )
s s
P t
−
, = 1, ,s rK , удовлетворяют
системe линейных неоднородных дифференциальных матричных уравнений
124
2 1,2 1
2 1,2 1 2 1,2 1 2 1,2 1 2 1,2 1 2 1 2 1,2 2 ,2 1
2 ,2 1 2 1,2
2 ,2
2 ,2 2 ,2 2 ,2 2 ,2 2 2 1,2 2 1,2 2 1,2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( )
s s T
s s s s s s s s s s s s s
T T
s s s s
s s T T T
s s s s s s s s s s s s s s s s
dP
A P P A S t P t C t
dt
C t P t
dP
A P P A S t C t P t P t C
dt
− −
− − − − − − − − − − −
− −
− − −
+ + = − + +
+
+ + = − + +
1,2
2 1,2
2 1,2 1 2 1,2 2 1,2 2 ,2 2 1,2 1 2 1,2 2 ,2 1 2 ,2
( );
( ) ( ) ( ) ( ),
s
s s T T
s s s s s s s s s s s s s s s s
t
dP
A P P A P t C t C t P t
dt
−
−
− − − − − − − −
+ + = +
(1.6)
где 2 1
2 1,2 2 1,2
2
( ) = ( )s
s s s s
s
C t A t
η
η
−
− −
− , 2
2 ,2 1 2 ,2 1
2 1
( ) = ( )s
s s s s
s
C t A t
η
η
− −
−
− , a матрицы
2 1
( )
s
S t
−
,
2
( )
s
S t известны. В этом случае полную производную функции (1.4) вдоль решений
системы (1.5) получим в виде
2
2
(1.5)
=1
= ( ) .
r
T
j j j j
j
dv x S t x
dt
η−∑ (1.7)
Исключая из первых двух уравнений каждой из r независимых подсистем систе-
мы (1.6) переменные
2 1,2 1
( )
s s
P t
− −
,
2 ,2
( )
s s
P t по формулам
( )
( )
2 1,2 1 2 1 2 1 2 1,2 2 ,2 1 2 ,2 1 2 1,2
0
2 ,2 2 2 2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
0
( ) = ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
( ) = ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
T
T T
s s s s s s s s s s s s
T
T T
s s s s s s s s s s s s
P t G t S P C C P d
P t G t S C P P C d
τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ
− − − − − − − −
− − − −
− + +
− + +
∫
∫
(1.8)
где
(1)
(2)
( , ), 0 ,
( , ) =
( , ), 0 < ,
i
i
i
G t t T
G t
G t t T
τ τ
τ
τ τ
≤ ≤ ≤
≤ ≤
(1.9)
причем
(1) 1 1( , ) = ( )( ( )) ( );
i i i i
G t t Tτ τ
− −
−P I P P (2) 1 1( , ) = ( )( ( )) ( ) ;
i i i i
G t t T Tτ τ
− −
+ −P I P P
( )
i
tP , = 2 1, 2i s s− – нормированный при = 0t фундаментальный оператор соответ-
ствующего однородного уравнения; I – тождественный оператор; после некоторых
преобразований приходим к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
0
( ) = ( ) ( , ) ( )
T
s s s s s s s s
P t F t N t P dτ τ τ
− − − −
+ ∫ (1.10)
относительно периодических матриц-функций
2 1,2
( )
s s
P t
−
, = 1, ,s rK . Действительно,
( )
( )
(1)
2 1,2 1 2 1 2 1 2 1,2 2 ,2 1 2 ,2 1 2 1,2
0
(2)
2 1 2 1,2 2 ,2 1 2 ,2 1 2 1,2
( ) = ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
t
T T
s s s s s s s s s s s s
T
T T
s s s s s s s s s
t
P t F t G t P C C P d
G t P C C P d
τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ
− − − − − − − −
− − − − −
+ + +
+ +
∫
∫
(1) (2)
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
0
( ) = ( , ) ( ) ( , ) ( ) ;
t T
s s s s s
t
F t G t S d G t S dτ τ τ τ τ τ
− − − − −
− −∫ ∫
125
( )
( )
(1)
2 ,2 2 2 2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
0
(2)
2 2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
( ) = ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
t
T T
s s s s s s s s s s s s
T
T T
s s s s s s s s s
t
P t F t G t C P P C d
G t C P P C d
τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ
− − − −
− − − −
+ + +
+ +
∫
∫
(1) (2)
2 2 2 2 2
0
( ) = ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
t T
s s s s s
t
F t G t S d G t S dτ τ τ τ τ τ− −∫ ∫
поэтому последнее уравнение соответствующей подсистемы принимает вид
2 1,2
2 1,2 1 2 1,2 2 1,2 2 ,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
0
= ( ) ( , ) ( )
T
s s T
s s s s s s s s s s s s s s
dP
A P P A t K t P d
dt
τ τ τ
−
− − − − − − −
+ + Φ + ∫
с учетом таких равенств:
2 1,2 2 1 2 1,2 2 ,2 1 2
( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ;
T
s s s s s s s s
t F t C t C t F t
− − − −
Φ +
( )
(1)
2 1,2 2 1,2 2 1 2 1,2 2 ,2 1 2 ,2 1 2 1,2 2 1,2
0 0
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T t
T T
s s s s s s s s s s s s s s s
K t P d G t P C C P C t dτ τ τ τ τ τ τ τ τ
− − − − − − − −
= + +∫ ∫
( )
( )
(2)
2 1 2 1,2 2 ,2 1 2 ,2 1 2 1,2 2 1,2
(1)
2 ,2 1 2 2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
0
(2)
2 ,2 1 2 2 1,2 2 1,
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( , ) ( )
T
T T
s s s s s s s s s s s
t
t
T T T
s s s s s s s s s s s
T
T T
s s s s s s
t
G t P C C P C t d
C t G t C P P C d
C t G t C P
τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ
τ τ
− − − − − −
− − − − −
− − −
+ + +
+ + +
+
∫
∫
∫ ( )2 2 1,2 2 1,2
(1) (2)
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
0
( ) ( ) ( ) =
= ( , ) ( ) ( , ) ( ) .
T
s s s s s
t T
s s s s s s s s
t
P C d
K t P d K t P d
τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ
− −
− − − −
+
+∫ ∫
T -периодическое решение
2 1,2
( )
s s
P t
−
этого уравнения принимает вид (1.10), где
2 1,2 2 1,2 2 1,2
0
= ( , ) ( ) ;
T
s s s s s s
F t dτ τ τ
− − −
Γ Φ∫ (1.11)
(1)
2 1,2
2 1,2 (2)
2 1,2
( , ), 0 ;
( , ) =
( , ), 0 < ,
s s
s s
s s
t t T
t
t t T
τ τ
τ
τ τ
−
−
−
Γ ≤ ≤ ≤
Γ
Γ ≤ ≤
(1.12)
причем
(1) 1 1
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
( , ) = ( )( ( )) ( ) ;
s s s s s s s s
t t Tτ τ
− −
− − − −
Γ −P I P P
(2) 1 1
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
( , ) = ( )( ( )) ( ),
s s s s s s s s
t t T Tτ τ
− −
− − − −
Γ + −P I P P
2 1,2
( )
s s
t
−
P – нормированный при = 0t фундаментальный оператор соответствующего
однородного уравнения;
(1)
2 1,2
2 1,2 (2)
2 1,2
( , ), 0 ;
( , ) =
( , ), 0 < ,
s s
s s
s s
N t t T
N t
N t t T
τ τ
τ
τ τ
−
−
−
≤ ≤ ≤
≤ ≤
(1.13)
126
где
(1) (1) (2)
2 1,2 2 1,2 2 1,2
0
(1) (1) (2) (1)
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
( , ) = ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
s s s s s s
t T
s s s s s s s s
t
N t t K d
t K d t K d
τ
τ
τ ξ ξ τ ξ
ξ ξ τ ξ ξ ξ τ ξ
− − −
− − − −
Γ +
+ Γ + Γ
∫
∫ ∫
(2) (1) (2)
2 1,2 2 1,2 2 1,2
0
(2) (2) (2) (1)
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
( , ) = ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
t
s s s s s s
T
s s s s s s s s
t
N t t K d
t K d t K d
τ
τ
τ ξ ξ τ ξ
ξ ξ τ ξ ξ ξ τ ξ
− − −
− − − −
Γ +
+ Γ + Γ
∫
∫ ∫
В предположении, что постоянные матрицы
jj
A , = 1, , 2j rK , в исходной систе-
ме (1.1) такие, что ни одно из соответствующих линейных однородных дифференци-
альных уравнений системы (1.6) не имеет нетривиальных T -периодических решений,
последовательно будем иметь
( )
1
[2] [2] [2]( , ) = ( ) ( ) ( ) ;
T T T
ii ii ii
A t A T A
i
g t e I e e
τ
τ
−
− − −
− (1.14)
( )
[2]
0
( ) = ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
T
ii
t T
A T
i i i i i
t
f t g t s d e g t s dτ τ τ τ τ τ
−
− −∫ ∫
где
1 1
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) = ; ( ) = ; = 2 1, 2
( ) ( )
T T
i i
T T
n ni i
i i
i i
T T
i n i n
i i
F t S t
F t S t
f t s t i s s
F t S t
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∈ ∈ −
M M
R R ;
( ) ( ) ( )
2 1,2 1 2 ,2 2 1,2 1 2 ,2 2 1,2 1 2 ,2
1
2 1,2
( , ) = ;
T T T T T T
s s s s s s s s s s s s
A t A t A T A T A A
s s
t e e I e e e e
τ τ
γ τ
− − − − − −
−
− − − −
−
⊗ − ⊗ ⊗ (1.15)
( )
2 1,2 1 2 ,2
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
0
( ) = ( , ) ( ) ( , ) ( ) ;
T T
s s s s
t T
A T A T
s s s s s s s s s s
t
f t t d e e t dγ τ ϕ τ τ γ τ ϕ τ τ
− −
− −
− − − − −
+ ⊗∫ ∫ (1.16)
2 1 2
2 1,2 2 1,2( ), ( ) s s
n n
s s s s
f tϕ τ
−
− −
∈R ;
2 1,2 2 1,2
( ) = ( )
s s s s
f t T f t
− −
+ – соответствующие матрицам
2 1,2
( )
s s
τ
−
Φ и
2 1,2
( )
s s
F t
−
вектор-функции [17] замечание относительно прямого произ-
ведения матриц).
Введем в рассмотрение операторы
2
2 2 1 2 1 2 1 2
2 1 : s s s s s
n n n n n
s
− − −
× ×
−
→R RA и
2
2 1 2 2 2 1 2
2 : s s s s s
n n n n n
s
− −
× ×
→R RA , определенные таким образом, что в парах
2 1,2 2 ,2 1 2 ,2 1 2 1,2 2 1 2 ,2 1 2 1,2
( ) ( ) ( ) ( ) и ( ) ( ) ,
T T
s s s s s s s s s s s s s
P t C t C t P t C t p t
− − − − − − −
+ A
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 2 1,2 2 1,2
( ) ( ) ( ) ( ) и ( ) ( )
T T
s s s s s s s s s s s s s
C t P t P t C t C t p t
− − − − − −
+ A
матрица и вектор соответствуют друг другу, если 2 1 2
2 1,2 ( )
n n
s s
s s
p t
−
−
∈R соответствует
искомой матрице
2 1,2
( )
s s
P t
−
. Тогда имеем
127
2 1s
X
−
A =
2
2 2
2 2
2 1 2 1 2 2 1 2
2 2
11 21 1
12 22 2 11 21 1
13 23 3 11 21 1
1 2 11 21 1
12 22 2 11 21 1
12
2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 2 2
s
s s
s s
s s s s s
s s
n
n n
n n
n n n n n
n n
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
− − −
=
K K K K K
K K K K K
K K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K K
K K K K K
K
2
2 2
2 1 2 1 2 2 1 2
2 2
2 2
2
22 2
13 23 3 12 22 2
1 2 12 22 2
13 23 3 11 21 1
13 23 3 12 22 2
13 23
2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 2 2
s
s s
s s s s s
s s
s s
n
n n
n n n n n
n n
n n
n
x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x
− − −
K K K K
K K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K K
K K K K K
K K K K K
K K K
2 1 2 1 2 2 1 2
2 1 2 1 2 2 1 2
2 1 2 1 2 2 1 2
2 1 2 1
3
1 2 13 23 3
1 2 11 21 1
1 2 12 22 2
1 2
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
s
s s s s s
s s s s s
s s s s s
s s
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x
− − −
− − −
− − −
− −
K K
K K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K K
K K K K K
K K K
2 2 1 2
2 1 2 1 2 2 1
13 23 3
1 2
;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2
s s s
s s s s
n n n
n n n n
x x x
x x x
−
− − −
K K
K K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K K
2s
YA =
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1
11 21 1
12 11 22 21 2 1
13 11 23 21 3 1
1 11 2 21 1
12 11 22 21 2 1
1
2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 2
s
s s
s s
s s s s s
s s
n
n n
n n
n n n n n
n n
y y y
y y y y y y
y y y y y y
y y y y y y
y y y y y y
y
−
− −
− −
− −
− −
=
K K K K
K K K K
K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K
K K K K
2 1
2 1 2 1
2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
2 22 2
13 12 23 22 3 2
1 12 2 22 2
13 11 23 21 3 1
13 12 23 22 3 2
13
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 2 0 0
s
s s
s s s s s
s s
s s
n
n n
n n n n n
n n
n n
y y
y y y y y y
y y y y y y
y y y y y y
y y y y y y
y
−
− −
− −
− −
− −
K K K K
K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K
K K K K
K K K K
K
2 1
2 2 2 1 2 2 1
2 2 2 1 2 2 1
2 2 2 1 2 2 1
2 2
23 3
1 13 2 23 3
1 11 2 21 1
1 12 2 22 2
1 13 2 23
0 2 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
s
s s s s s
s s s s s
s s s s s
s s
n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n
y y
y y y y y y
y y y y y y
y y y y y y
y y y y
−
− −
− −
− −
K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K
K K K K
K K
2 1 2 2 1
2 2 2 1 2
3
1 2
.
0 0
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
s s s
s s s s
n n n
n n n n
y y
y y y
− −
−
K K
K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K
128
Полагая
2 1 2 1 2 1 2 ,2 1 2 2 2 2 1,2
( , ) = ( , ) ( ); ( , ) = ( , ) ( ),
s s s s s s s s s s
g C g Cψ ξ τ ξ τ τ ψ ξ τ ξ τ τ
− − − − −
A A
ядра (1.13) интегральных уравнений (1.10) представим в виде
( ) ( )
2 1,2 1
[2]
(1)
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1
0
( , ) ( , ) ( ) ( , )
T
s s
A TT
s s s s s s s
N t t I C e
τ
τ γ ξ ξ ψ ξ τ
− −
−
− − − −
= ⊗ +
∫
( ) ( )
2 ,2
[2]
2 ,2 1 2
( ) ( , )
T
s s
A TT
s s s
C I e dξ ψ ξ τ ξ
−
−
+ ⊗ +
( )( ( ) )2 1,2 2 1,2 2 1 2 ,2 1 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
t
T T
s s s s s s s s
t I C C I d
τ
γ ξ ξ ψ ξ τ ξ ψ ξ τ ξ
− − − −
+ ⊗ + ⊗ +∫
( ) ( )(
2 1,2 1 2 ,2
2 1,2 2 1,2 2 1( , ) ( ) ( , )
T T
s s s s
T
A T A T T
s s s s s
t
e e t I Cγ ξ ξ ψ ξ τ
− −
− −
− − −
+ ⊗ ⊗ +∫ (1.17)
( ) )2 ,2 1 2( ) ( , ) ;T
s s s
C I dξ ψ ξ τ ξ
−
+ ⊗
( ) ( )
2 1,2 1
[2]
(2)
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1
0
( , ) ( , ) ( ) ( , )
T
s s
t
A TT
s s s s s s s
N t t I C eτ γ ξ ξ ψ ξ τ
− −
−
− − − −
= ⊗ +
∫
( ) ( )
2 ,2
[2]
2 ,2 1 2
( ) ( , )
T
s s
A TT
s s s
C I e dξ ψ ξ τ ξ
−
−
+ ⊗ +
( ) ( ) ( )
2 1,2 1 2 ,2 2 1,2 1
[2]
2 1,2 2 1,2 2 1( , ) ( ) ( , )
T T T
s s s s s s
A T A T A TT
s s s s s
t
e e t I C e
τ
γ ξ ξ ψ ξ τ
− − − −
− − −
− − −
+ ⊗ ⊗ +
∫
( ) ( )
2 ,2
2
2 ,2 1 2
( ) ( , )
T
s s
A TT
s s s
C I e dξ ψ ξ τ ξ
−
−
+ ⊗ +
(1.18)
( ) ( )(
2 1,2 1 2 ,2
2 1,2 2 1,2 2 1( , ) ( ) ( , )
T T
s s s s
T
A T A T T
s s s s s
e e t I C
τ
γ ξ ξ ψ ξ τ
− −
− −
− − −
+ ⊗ ⊗ +∫
( ) )2 ,2 1 2
( ) ( , ) .T
s s s
C I dξ ψ ξ τ ξ
−
+ ⊗
В предположении разрешимости уравнений (1.10) относительно периодических
вектор-функций
2 1,2
( )
s s
p t
−
с учетом равенств (1.8), (1.9) и сделанных соглашений по
обозначениям получаем явный вид периодических функций
2 1,2 1
( )
s s
p t
− −
,
2 ,2
( )
s s
p t
( )
[2]
2 1,2 2 1,2
0
( ) = ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
T
ii
t T
A T
ii i i s s i s s
t
p t f t t p d e t p dψ τ τ τ ψ τ τ τ
−
− −
+ +∫ ∫ (1.19)
где = 2 1, 2i s s− , = 1, ,s rK .
Оценим элементы матричнозначной функции (1.2) и приведем оценки функции
Ляпунова (1.4) в виде
2 2
2 1,2 1 2 1 2 1,2 1 2 1 2 1,2 1 2 1
( ( )) || || ( , ) ( ( )) || || ;
m s s s s s s M s s s
P t x v t x P t xλ λ
− − − − − − − − −
≤ ≤
129
2 2
2 ,2 2 2 ,2 2 2 ,2 2
( ( )) || || ( , ) ( ( )) || || ;
m s s s s s s M s s s
P t x v t x P t xλ λ≤ ≤
2 1,2 2 1 2 2 1,2 2 1 2 2 1,2 2 1 2
|| ( ) |||| |||| || ( , , ) || ( ) |||| |||| || ;
s s s s s s s s s s s s
P t x x v t x x P t x x
− − − − − −
− ≤ ≤
2 1 2 1
( ) ( , , ) = ( , , , ) ( ) ,T T T T T
r
u H Q t Hu v t x U t x x u H Q t Huη η η≤ ≤K (1.20)
где ( )
m
λ ⋅ и ( )
M
λ ⋅ ― минимальное и максимальное собственные значения матрицы,
соответственно:
1 2
= (|| ||, ,|| ||)T
r
u x xK ;
1 2
= diag[ , , ]
r
H η ηK ;
(1) (1)
1 1( ) = diag ( ), , ( ) ;
r
Q t Q t Q t K
2 1,2 1 2 1,2(1)
2 1,2 2 ,2
( ( )) || ( ) ||
( ) = ;
|| ( ) || ( ( ))
M s s s s
s
s s M s s
P t P t
Q t
P t P t
λ
λ
− − −
−
(2) (2)
2 1( ) = diag ( ), , ( ) ;
r
Q t Q t Q t K
2 1,2 1 2 1,2(2)
2 1,2 2 ,2
( ( )) || ( ) ||
( ) = ;
|| ( ) || ( ( ))
m s s s s
s
s s m s s
P t P t
Q t
P t P t
λ
λ
− − −
−
−
−
= 1, ,s rK .
Условия положительной определенности матриц
1
( )Q t ,
2
( )Q t выглядят так:
2
2 1,2 1 2 1,2 1 2 ,2 2 1,2( ( )) > 0; ( ( )) ( ( )) || ( ) || > 0 при всех .
m s s m s s m s s s s
P t P t P t P t tλ λ λ
− − − − −
− ∈R (1.21)
Для полной производной по времени функции (1.4) вдоль решений системы
(1.1) с учетом равенства (1.7) имеем
(1.1) (1.5)
= ( , ),dv dv t
dt dt
δ η+ (1.22)
где введены обозначения:
2
2 2
2 1 2 1,2 1 2 1, 2 1 2 2 ,2 2 , 2
1 1
( 2 1,2 )
( , ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
r r
T T
s s s s j j s s s s s j j s
s j
j s s
t x P t A t x x P t A t xδ η η η
− − − − −
= =
≠ −
= + +∑ ∑
( )2 1 2 1,2 2 , 2 2 1,2 2 1, 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
T T T
s s s s j j s s s s j j s s
x P t A t x x P t A t x η η
− − − − −
+ + =
2
2 1,2 2 1,2 , 2 1 2 2 1,2
1 1
( 2 1,2 )
2 ( , , , ) ;
r r
T
s s s s j s s j s s
s j
j s s
t x x xη η
− − − −
= =
≠ −
= ∆∑ ∑
2 1,2 2 1 2
= ( , )
T
s s s s
η η η
− −
;
2 1 2 1,2 1 2 1, 2 1 2 1,2 2 ,
2 1,2 , 2 1 2
2 2 1,2 2 1, 2 2 ,2 2 ,
( ) ( ) ( ) ( )
( , , , ) =
( ) ( ) ( ) ( )
T T
s s s s j j s s s s j j
s s j s s j T T T
s s s s j j s s s s j j
x P t A t x x P t A t x
t x x x
x P t A t x x P t A t x
− − − − − −
− −
− −
∆
и при всех t ∈R имеем
*
(1.5)
( ) ,
T Tdv u H S t Hu
dt
≤ (1.23)
где [ ]
*
1 2
( ) = diag ( ( )), , ( ( ))
m m r
S t S t S tλ λ− −K ,
2
*
2 1,2 2 1,2 2 1,2 , 2 1,2
=1=1
( 2 1,2 )
2 ( ) ;
r r
T T
s s s s s s j s s jj
js
j s s
u H t H uδ
− − − −
≠ −
≤ ∆∑ ∑ (1.24)
2 1,2 2 1 2
= (|| ||,|| ||)
T
s s s s
u x x
− −
, = (|| ||,|| ||)
T
jj j j
u x x ;
2 1,2 2 1 2
= diag [ , ]
s s s s
H η η
− −
;
130
( ) ( )
2 1,2 1 2 1, 2 1,2 2 ,
= =*
2 1,2 ,
( ) ( )
2 1,2 2 1, 2 ,2 2 ,
= =
( ( )) || || || ( ) || || ||
( ) = .
|| ( ) || || || ( ( )) || ||
N N
k k
M s s s j s s s j
k N k N
s s j
N N
k k
s s s j M s s s j
k N k N
P t A P t A
t
P t A P t A
λ
λ
− − − −
− −
−
− −
− −
∆
∑ ∑
∑ ∑
Полученные соотношения (1.20) – (1.24) позволяют установить следующий ре-
зультат.
Теорема 1. Предположим, что для системы уравнений (1.1) существуют посто-
янные
1 2
, , > 0
r
η ηK , постоянная > 0µ и периодические симметричные матрицы
1 2
( ), , ( )
r
S t S tK , для которых при всех t ∈R выполняются следующие условия:
(1) все последовательные главные миноры периодических симметричных матриц
11 2 ,2
( ), , ( )
r r
P t P tK положительные;
(2)
2
2 1,2 1 2 ,2 2 1,2
( ( )) ( ( )) || ( ) || > 0
m s s m s s s s
P t P t P tλ λ
− − −
− , = 1, ,s rK ;
(3) ( ( )) >
k j
S t µ∆ , = 1, , 2j rK , = 1, ,
j
k nK , где ( )
k
∆ ⋅ – k -ый последовательный
главный минор соответствующей матрицы. Тогда решение = 0x системы (1.1) рав-
номерно асимптотически устойчиво.
Доказательство. Из условий (1), (2) теоремы 1 и оценки (1.20) следует положи-
тельная определенность функции ( , , )v t x η , а из условия (3) и оценок (1.23), (1.24) –
отрицательная определенность ее производной
(1.1)
dv
dt
в виде (1.22). Таким образом,
выполнены все условия общей теоремы [17] и, как следствие, решение = 0x системы
(1.1) равномерно асимптотически устойчиво.
§2. Пример.
В качестве приложения изложенного способа построения вспомогательной функ-
ции со специальными свойствами рассмотрим систему седьмого порядка
1 2
11 1 12 2 14 4 22 2 21 1
= ( ) ( ) ; = ( ) ;
dx dx
A x A t x A t x A x A t x
dt dt
+ + +
3 4
33 3 34 4 32 2 44 4 43 3
= ( ) ( ) ; = ( ) ,
dx dx
A x A t x A t x A x A t x
dt dt
+ + + (2.1)
где
1x ∈R ; 2
2
x ∈R ; 2
3
x ∈R ; 2
4
x ∈R ;
11
1, 2905A = − ; 22
1, 6399 0, 5539
0,1263 0, 6645
A
− −
=
−
;
33
1, 4033 0,8283
1,1989 1, 4662
A
−
=
−
, 44
2, 3957 0,1406
1, 5434 2,3597
A
−
=
− −
;
( 1) 20 (0) ( 1) 20
12 12 12 12
( ) ;ti ti
A t A e A A e
− − −
= + + ( 1) 20 (0) ( 1) 20
21 21 21 21
( ) ;ti ti
A t A e A A e
− − −
= + +
( 1) 20 (0) ( 1) 20
34 34 34 34
( ) ;ti ti
A t A e A A e
− − −
= + + ( 1) 20 (0) ( 1) 20
43 43 43 43
( ) ;ti ti
A t A e A A e
− − −
= + +
( 1) 20 (0) ( 1) 20
14 14 14 14
( ) ( ) ;ti ti
A t A e A A eα β α α
− − −
= + − +
( 1) 20 (0) ( 1) 20
32 32 32 32
( ) ( ) ,ti ti
A t A e A A eβ α β β
− − −
= + − +
131
причем
( 1) (0)
12 12
= [ 1, 2765 1, 9842 0, 4396 1, 9119 ]; = [1, 6954 0,1655];A i i A
−
− + − +
( 1) (0)
21 21
1,8899 2,1645 1,8880
= ; = ;
0, 5437 1, 2416 1,9235
i
A A
i
−
+ −
− + −
( 1) (0)
34 34
1, 2666 1,3668 0, 5132 2,1912 0, 3334 2, 2518
= ; = ;
1, 7810 1,9014 1,1702 1, 3048 0, 6280 1, 4686
i i
A A
i i
−
+ − − −
− + − + −
( 1) (0)
43 43
1, 6445 0, 5107 1, 6687 0, 9893 0, 3823 1, 6621
= ; = ;
1, 5110 1,8257 0, 5305 0, 3570 0, 0812 2,3561
i i
A A
i i
−
+ − +
+ − +
( 1) (0)
14 14
= [0,1661 0,1063 0, 0083 0,1613 ]; = [0, 2497 0,1393];A i i A
−
− − −
( 1) (0)
32 32
0,1657 0,1370 0, 0707 0, 0862 0,1993 0, 2295
= ; = ,
0, 0782 0, 2354 0, 2133 0,1659 0, 2000 0, 0222
i i
A A
i i
−
+ −
− − + −
,α β ∈R .
В этом случае = 2r , = 20ω , = 0,1T π . Положим
1 2 3 4
= 0, 7055; = 3, 4552; = 4,1534; = 3, 4233;η η η η
1
0.8405S = ; 2
2,1464 1, 0588
1, 0588 2, 0094
S
−
=
−
; 3
1, 2839 0, 6781
0, 6781 1, 5079
S
−
=
−
;
4
0,8841 0, 5012
0, 5012 1, 7432
S
−
=
−
.
Следуя работе [17], для определения коэффициентов ( )
12
m
h , ( )
34
m
h уравнений Фредголь-
ма второго рода с вырожденными ядрами
( ) ( )
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
, =
( ) = ( ) , = 1, 2,
mn m i nt
s s s s s s s s
m n
p t f t N h e s
ω
∞
− − − −
−∞
+ ∑ (2.2)
где
( )
2 1,2 2 1,2
0
= ( ) ,
T
m i m
s s s s
h e p d
ω τ
τ τ
− −∫
а
( )
2 1,2
mn
s s
N
−
– коэффициенты Фурье соответствующих ядер (табл. 1, 2), получаем алгеб-
раические системы
( ) ( ) ( , ) ( )
2 1,2 2 1,2 2 1,2 2 1,2
=
= , ,
m m j m j
s s s s s s s s
j
h b T N h m
∞
−
− − − −
−∞
+ ∈∑ Z (2.3)
где
( )
2 1,2 2 1,2
0
= ( ) .
T
m i m
s s s s
b e f d
ω τ
τ τ
− −∫
132
Таблица 1
m ( , 1)
12
m
N
− ( ,0)
12
m
N ( ,1)
12
m
N
1
0, 4413 0, 5284 0,1032 0, 6655
0, 4532 0, 4027 0,1506 1, 2494
i i
i i
+ +
+ − +
0, 2640 0, 5524 0, 0701 0, 2267
0, 2940 0, 0622 0, 0223 0, 3312
i i
i i
+ − +
− + +
0, 0519 1,6377i 0, 5847 0, 2981i
0, 4053 0, 7597i 0, 4256 1,1396i
− − − −
− − −
0
3, 5782 2, 4273 1, 2466 2,1961
1, 3575 0,8554 2, 4580 10, 8072
i i
i i
− −
− − −
4, 7515 4,1393
0,8440 0, 6869
− −
−
3, 5782 2, 4273 1, 2466 2,1961
1, 3575 0, 8554 2, 4580 10,8072
i i
i i
+ +
− + +
-1
0, 0519 1, 6377 0, 5847 0, 2981
0, 4053 0, 7597 0, 4256 1,1396
i i
i i
− + − +
+ − +
0, 2640 0, 5524 0, 0701 0, 2267
0, 2940 0, 0622 0, 0223 0, 3312
i i
i i
− − −
− − −
0, 4413 0, 5284 0,1032 0, 6655
0, 4532 0, 4027 0,1506 1, 2494
i i
i i
− −
− − −
Таблица 2
m ( , 1)
34
m
N
−
1
0,0965 0,9896 0,5598 1,1615 0,0645 0,3381 0,7517 0,6209
0,0891 0, 2563 0,1369 0,8116 0,0510 0, 2041 0,0204 0, 2596
0, 2429 0, 2604 0,0518 0,3983 0, 2530 1,3652 0,5623 0,8643
0,0657 0,1255 0,3897 0,3370 0,
i i i i
i i i i
i i i i
i i
+ + + +
− − − − − −
+ + + +
− −
1097 0, 2472 0,0572 0,1955i i
+ −
0
1,7499 0.0684 0,1923 0,1194 0, 4977 1,0720 0,3168 2,3895
1,6265 2,0296 1, 4208 2,8402 0,9749 0,1271 1,3687 0,6162
0,7850 0,1924 0, 4246 1,5056 0,9833 1,0073 0, 2639 2, 2328
0,1140 1,7058 0,8280 3,3
i i i i
i i i i
i i i i
i
+ − − − − − −
− − − − − − − −
+ + − −
− − −
198 1,8510 0, 2090 2,6423 0,0074i i i
− − − −
-1
0,1195 0,0444 0, 4704 0,9552 0,0541 1,0361 0,0451 1,0648
0,7940 0, 2929 0,7953 0,7482 0, 2264 0,0825 0,5179 0, 4064
0,3922 0,6871 0,1230 0,3694 0,8082 0,0062 0,0221 0,7490
0,0768 0,3628 0,3806 0,
i i i i
i i i i
i i i i
i
+ + − + − +
− − − − − + − +
− + + − + +
− − +
0375 0,6919 0,3570 0,6766 0,3230i i i
− − − −
( ,0)
34
m
N
1
0,6592 0,1475 1,1095 0,3725 0,7962 0.3644 0,8218 0, 4702
0,3330 0,6599 0,7224 0,5785 0,1002 0,1971 0,0438 0,3407
0,6708 0, 2681 0,6626 0,0187 0,9374 0,5068 1, 2135 0,8207
0,3729 0,0064 0, 2800 0, 4672
i i i i
i i i i
i i i i
i
− − − −
− − − − − − −
− − − −
− − − − 0,0477 0,6353 0,1348 0,6052i i i
− − − −
0
0,6105 1,5060 2, 2276 3,3698
2,0221 1,8276 0,1076 0,1089
0,8502 0,9118 2,6445 4,8008
2, 2291 4,3219 0, 4474 1,0645
− − − −
− − − −
− − −
− −
-1
0,6592 0,1475 1,1095 0,3725 0,7962 0,3644 0,8218 0, 4702
0,3330 0,6599 0,7224 0,5785 0,1002 0,1971 0,0438 0,3407
0,6708 0, 2681 0,6626 0,0187 0,9374 0,5068 1, 2135 0,8207
0,3729 0,0064 0, 2800 0, 4672
i i i i
i i i i
i i i i
i
+ + + +
− + − + − + +
+ + + +
− + − +
0,0477 0,6353 0,1348 0,6052i i i
− + − +
( ,1)
34
m
N
1
0,1195 0,0444 0, 4704 0,9552 0,0541 1,0361 0,0451 1,0648
0,7940 0, 2929 0,7953 0,7482 0, 2264 0,0825 0,5179 0, 4064
0,3922 0,6871 0,1230 0,3694 0,8082 0,0062 0,0221 0,7490
0,0768 0,3628 0,3806 0,
i i i i
i i i i
i i i i
i
− − − − − −
− + − + − − − −
− − − − − −
+ − −
0375 0,6919 0,3570 0,6766 0,3230i i i
− + − +
0
1,7499 0,0684 0,1923 0,1194 0, 4977 1,0720 0,3168 2,3895
1,6265 2,0296 1, 4208 2,8402 0,9749 0,1271 1,3687 0,6162
0,7850 0,1924 0, 4246 1,5056 0,9833 1,0073 0, 2639 2, 2328
0,1140 1,7058 0,8280 3,3
i i i i
i i i i
i i i i
i
− − + − + − +
− + − + − + − +
− − + +
+ − +
198 1,8510 0, 2090 2,6423 0,0074i i i
− + − +
-1
0,0965 0,9896 0,5598 1,1615 0,0645 0,3381 0,7517 0,6209
0,0891 0, 2563 0,1369 0,8116 0,0510 0, 2041 0,0204 0, 2596
0, 2429 0, 2604 0,0518 0,3983 0, 2530 1,3652 0,5623 0,8643
0,0657 0,1255 0,3897 0,3370 0,
i i i i
i i i i
i i i i
i i
− − − −
+ − + + − +
− − − −
+ +
1097 0, 2472 0,0572 0,1955i i
− +
133
Ограничиваясь отрезками вышеуказанных рядов Фурье ( , = 1, 0,1m n − ) и соответ-
ствующими частичными суммами в системах (2.3), находим коэффициенты ( )
12
m
h , ( )
34
m
h
периодических вектор-функций (табл. 3).
Таблица 3
m -1 0 1
( )
12
m
h
0,0729 0,4119
0,1118 0,4183
i
i
− −
+
1,5367
1,5302
−
0,0729 0,4119
0,1118 0,4183
i
i
− +
−
( )
34
m
h
0,1031 0,0586
0,0415 0,0075
0,1124 0,2030
0,0496 0,1353
i
i
i
i
− +
+
−
− +
0,1581
0,0734
0,0887
0,0160
−
−
0,1031 0,0586
0,0415 0,0075
0,1124 0,2030
0,0496 0,1353
i
i
i
i
− −
−
+
− −
Возвращаясь к уравнениям (2.2), получаем периодические вектор-функции
12
( )p t ,
34
( )p t . Вместе с ними строим ненулевые внедиагональные элементы матричнознач-
ной функции
12 1 2 21 1 2 1 12 2
( , , ) = ( , , ) = ( ) ;T
v t x x v t x x x P t x
34 3 4 43 3 4 3 34 4
( , , ) = ( , , ) = ( ) ,T
v t x x v t x x x P t x
где матрицы-функции
12
( )P t ,
34
( )P t соответствуют одноименным векторам согласно
свойств прямого произведения матриц. Диагональные элементы
11 1 1 11 1
( , ) = ( ) ;T
v t x x P t x
22 2 2 22 2
( , ) = ( ) ,T
v t x x P t x
33 3 3 33 3 44 4 4 44 4
( , ) = ( ) , ( , ) = ( )T T
v t x x P t x v t x x P t x матричнозначной
вспомогательной функции для системы (2.1) определяются на основе равенств (1.19)
по уже найденным
12
( )P t ,
34
( )P t . Коэффициенты функций
12
( )P t ,
11
( )P t ,
22
( )P t ,
34
( )P t ,
33
( )P t ,
44
( )P t представлены в табл. 4.
Таблица 4
m 20ti
e
− 1 20ti
e
12 ( )P t [ ]0,1233 0,0213 0,1246 0,0195i i− − [ ]0,0190 0,0228− − [ ]0,1233 0, 0213 0,1246 0, 0195i i+ +
11( )P t 0,0626 0,0002i− + 1,6424 0,0626 0,0002i− −
22 ( )P t
0,0052 0,0045 0,0038 0,0037
0,0038 0,0037 0,0024 0,0028
i i
i i
− −
− −
0,5523 0,5481
0,5481 1,9063
−
−
0,0052 0,0045 0,0038 0,0037
0,0038 0,0037 0,0024 0,0028
i i
i i
+ +
+ +
34 ( )P t
0,0038 0,0049 0,0040 0,0053
0,0039 0,0049 0,0039 0,0051
i i
i i
+ +
+ +
0,0383 0,0376
0,0383 0,0379
0,0038 0,0049 0,0040 0,0053
0,0039 0,0049 0,0039 0,0051
i i
i i
− −
− −
33 ( )P t
0,0097 0,0108 0,0081 0,0015
0,0081 0,0015 0,0062 0,0075
i i
i i
− −
− +
0,8573 0,4209
0, 4209 0,8336
0,0097 0,0108 0,0081 0,0015
0,0081 0,0015 0,0062 0,0075
i i
i i
+ +
+ −
44 ( )P t
0,0158 0,0083 0,0047 0,0071
0,0047 0,0071 0,0067 0,0075
i i
i i
+ +
+ − +
0,3244 0,2142
0,2142 0,3298
−
−
0,0158 0,0083 0,0047 0,0071
0,0047 0,0071 0,0067 0,0075
i i
i i
− −
− − −
Таким образом, для системы (2.1) получаем функцию Ляпунова в виде
2 2
1 1 11 1 2 2 22 2 1 2 1 12 2
( , , ) = ( ) ( ) 2 ( )T T T
v t x x P t x x P t x x P t xη η η η η+ + +
2 2
3 3 33 3 4 4 44 4 3 4 3 34 4
( ) ( ) 2 ( ) ;T T T
x P t x x P t x x P t xη η η η+ + +
7
0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4
[ , 0.1 ], ; = ( , , , ) , = ( , , , ) ,T T T T T
t t t t x x x x xπ η η η η η∈ + ∈ ∈R R
положительная определенность которой непосредственно следует из условий (1), (2)
теоремы 1. Полная производная по времени этой функции, найденная вдоль решений
системы (2.1), имеет вид
134
(
4
2
1 14 4 2 24 4
(2.1)
=1
= 2 ( ) ( )
T T T
j j j j
j
dv x S x x S t x x S t x
dt
η− + + +∑
)3 32 2 4 42 2( ) ( ) = ( ) ,
T T T
x S t x x S t x x S t x+
где
2
, 1, 2, 3, 4
jj j j
S S jη= − = ;
2
14 11 14 1
( ) ( ) ( )S t P t A t η= ;
24 12 14 1 2
( ) ( ) ( )T
S t P t A t η η= ; 2
32 33 32 3
( ) ( ) ( )S t P t A t η= ;
42 34 32 3 4
( ) ( ) ( )T
S t P t A t η η= .
Соответственно, условие (3) теоремы 1
сводится к положительной определенности
матрицы ( )S t− .
Область равномерной асимптотической ус-
тойчивости нулевого решения системы (2.1) в
пространстве параметров ( ; )α β , построенная
предложенным методом, показана на рисунке
(знаком « ′ » обозначено умножение соответст-
вующей величины на 200).
Заключение.
В данной работе рассмотрен пример крупномасштабной нестационарной системы,
демонстрирующий конструктивность функции Ляпунова, полученной с привлечением
гармоник более высоких порядков при отыскании периодических элементов вспомо-
гательной матричнозначной функции. Предложенная периодическая V -функция со
специальными свойствами позволяет установить условия сохранения устойчивости
решений системы при наличии периодических возмущений ее устойчивой стационар-
ной части.
Р Е З ЮМ Е . Запропоновано і розвинуто спосіб побудови періодичної за часом функції Ляпу-
нова для лінійної системи з періодичними коефіцієнтами на основі допоміжної матричнозначної
функції. Сформульовано нові достатні умови стійкості руху великомасштабних періодичних систем
при їх декомпозиції на парну кількість підсистем.
1. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. О существовании функций Ляпунова в случае асимптотической
устойчивости в целом // Прикл. математика и механика. – 1954. – 18, № 3. – С. 345―350.
2. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и
квазипериодическими коэффициентами. – Минск: Изд-во АН БССР, 1963. – 273 с.
3. Зубов В.И. К теории второго метода А. М. Ляпунова // Докл. АН СССР. – 1955. – 100, № 5. – С. 857
– 859.
4. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А.А. Устойчивость движения: метод сравнения. – К.: Наук.
думка, 1991. – 248 с.
135
5. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. – М.: Мир, 1964.
– 168 с.
6. Малкин И.Г. К вопросу об обратимости теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости //
Прикл. математика и механика. – 1954. – 18, № 2. – С. 129 – 138.
7. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю. Вектор-функции Ляпунова и их построение. – Новосибирск:
Наука, 1980. – 286 с.
8. Персидский К.П. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений // Усп. матем.
наук. – 1946. – 1, № 5–6(15–16). – С. 250 – 255.
9. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. – М. – Л.: Наука, 1964. – 368 с.
10. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные
торы. – М.: Наука, 1987. ― 304 с.
11. Тузов А.П. Об устойчивости в целом одной системы регулирования // Вестн. ЛГУ. – 1957. – № 1. –
С. 57 – 75.
12. Kurzweil J. On Inversion of the Second Lyapunov Theorem on Stability of Motion // Czechoslovak
Math. J. – 1956. – 6, N 4. – Р. 455 – 484.
13. Lila D.M. Stability of Motion of Quasiperiodic Systems in Critical Cases // Int. Appl. Mech. – 2010. –
46, N 2. – P. 229 – 240.
14. Lila D.M., Martynyuk A.A. On Stability of Some Solutions for Equations of Locked Lasing of Optically
Coupled Lasera with Periodic Pumping // Nonlinear Oscillations. – 2009. – 12, N 4. – P. 464 – 473.
15. Lila D.M., Martynyuk A.A.On the theory of stability of matrix differential equations // Ukr. Math. J. –
2009. – 61, N 4. – P. 556 – 565.
16. Lila D.M., Martynyuk A.A. Setting up Lyapunov Functions for the Class of Systems with Quasiperiodic
Coefficients // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 12. – P. 1412 – 1429.
17. Lila D.M., Martynyuk A.A. Stability of Periodic Motions of Quasilinear Systems // Int. Appl. Mech. –
2008. – 44, N 10. – P. 1161 – 1172.
18. Martynyuk A.A. Block-Diagonal Matrix-Valued Lyapunov Function and Stability of an Uncertain Impul-
sive System // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 3. – P. 322 – 327.
19. Martynyuk A.A. Stability by Liapunov's Matrix Function Method with Applications. – N. Y.: Marcel
Dekker, 1998. – 276 p.
20. Martynyuk A.A. Stability of Motion. The Role of Multicomponent Liapunov Functions. – Cambridge:
Cambridge Scientific Publishers, 2007. – 322 p.
21. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Oscillations of Conservative Systems with Complex Trajectories // Int.
Appl. Mech. – 2008. – 44, N 7. – P. 721 – 738.
22. Massera J.L. Contributions to Stability Theory // Ann. of Math. – 1956. – 64, N 2. – P. 182 – 206.
23. Siljak D.D. Large Scale Dynamic Systems. Stability and Structure. – Amsterdam: North-Holland, 1978.
– 416 p.
Поступила 05.10.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|