Бифуркации Андронова – Хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн
A wave model of torsional vibrations of rotating drill strings is constructed.
 The ranges of values of the corresponding to self-vibrations regimes angular velocities are
 found. In the limiting these ranges states the Andronov – Hopf bifurcations are realizing.
 The main re...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95452 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Бифуркации Андронова – Хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн / В.И. Гуляев, В.В. Гайдайчук, О.В. Глушакова // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 73-83. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860168386841935872 |
|---|---|
| author | Гуляев, В.И. Гайдайчук, В.В. Глушакова, О.В. |
| author_facet | Гуляев, В.И. Гайдайчук, В.В. Глушакова, О.В. |
| citation_txt | Бифуркации Андронова – Хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн / В.И. Гуляев, В.В. Гайдайчук, О.В. Глушакова // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 73-83. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | A wave model of torsional vibrations of rotating drill strings is constructed.
The ranges of values of the corresponding to self-vibrations regimes angular velocities are
found. In the limiting these ranges states the Andronov – Hopf bifurcations are realizing.
The main regularities of appearance and passing the self-vibration processes are established.
Побудовано хвильову модель торсіонних коливань обертових колон глибокого
буріння. Визначено діапазони значень кутових швидкостей обертання, що відповідають режимам
автоколивань. В станах, які обмежують ці діапазони, реалізуються біфуркації Андронова – Хопфа.
Встановлено основні закономірності появи та перебігу автоколивальних процесів.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:57:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 11
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 11 73
В .И . Г у л я е в 1 , В .В . Г а й д а й ч у к 2 , О .В . Г л уш а к о в а 1
БИФУРКАЦИИ АНДРОНОВА – ХОПФА В ВОЛНОВЫХ МОДЕЛЯХ
ТОРСИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ БУРИЛЬНЫХ КОЛОНН
1 Национальный транспортный университет,
ул. Суворова, 1, 01010, Киев, Украина; e-mail:valery@gulyaev.com.ua
2 Киевский национальный университет строительства и архитектуры,
пр. Воздухофлотский, 31, 03037, Киев, Украина; e-mail:viktor_gaydaychuk@bigmir.net
Abstract. A wave model of torsional vibrations of rotating drill strings is constructed.
The ranges of values of the corresponding to self-vibrations regimes angular velocities are
found. In the limiting these ranges states the Andronov – Hopf bifurcations are realizing.
The main regularities of appearance and passing the self-vibration processes are established.
Key words: deep drill string, torsional self-vibrations, wave model, Andronov-Hopf bi-
furcation.
Введение.
В последние годы одним из наиболее актуальных направлений горного дела стало
бурение сверхглубоких нефтяных и газовых скважин. Ведущее положение в техноло-
гии их проходки занимает роторный способ, в котором резание породы осуществля-
ется долотом, закрепленным на нижнем конце колонны, которая подвешена в скважи-
не за верхний конец. В этой технологической схеме вращение долота осуществляется
за счет вращения всей бурильной колонны под действием на её верхний конец при-
водного крутящего момента.
При бурении глубоких скважин довольно сложным динамическим эффектом,
способствующим возникновению аварийных ситуаций, является самовозбуждение
крутильных колебаний вращающейся конструкции бурильной колонны (БК). В этом
случае БК можно представить как торсионный маятник, в нижней части которого за
счет фрикционного взаимодействия между долотом и разрушаемой породой генери-
руется эффект срывного скольжения, в результате чего процесс стационарного оттока
энергии приводного механизма в окружающую среду нарушается и долото переходит
от режима установившегося стационарного вращения в режим крутильных авто-
колебаний.
Так как долото жестко связано с конструкцией БК, при его срывных крутильных
колебаниях от нижнего конца БК к её верхнему концу начинают распространяться
упругие (как правило, негармонические) волны кручения, которые, достигнув верхне-
го конца, отражаются от него и, вернувшись к долоту, воздействуют на него, оказывая
существенное влияние на форму его колебаний. Поэтому движение такой системы
может быть описано только на основе математической модели волнового торсионного
маятника, роль маховика в котором играет долото. Попытки изучения динамики до-
лота с помощью таких моделей предприняты в работах [7, 8, 10, 11], однако они осно-
ваны на представлении бегущих волн кручения гармоническими функциями.
74
В данной работе показано, что из-за отсут-
ствия дисперсии указанных волн и возможности
представления решения волнового уравнения в
форме Даламбера, волновое уравнение с систе-
мой краевых условий может быть приведено к
одному обыкновенному дифференциальному
уравнению 2-го порядка с запаздывающим ар-
гументом (временем t ) и с варьируемым пара-
метром угловой скорости ω . В зависимости от
значения этого параметра, построенное уравне-
ние может иметь как стационарное решение
( ) consttϕ = , так и автоколебательное решение в
виде периодической функции ( )tϕ . Смена пер-
вого решения вторым называется бифуркацией
Андронова – Хопфа, а значение параметра ω ,
при котором эта смена происходит, − бифурка-
ционным [2 – 6, 9]. Ниже на основе построенной
математической модели торсионных колебаний
БК найдены бифуркационные значения ω для
различных длин БК и установлены некоторые
закономерности протекания автоколебательных
процессов.
1. Математическая модель волнового торсионного маятника.
Примем, что БК представляет собой торсионный маятник, к нижнему концу кото-
рого прикреплено долото, играющее роль маховика. Верхний конец БК вращается с
заданной постоянной скоростью ω . Введём инерциальную систему координат OXYZ
с началом в центре масс долота, ось OZ которой совпадает с осью БК, и систему ко-
ординат Oxyz , вращающуюся с угловой скоростью ω вокруг оси OZ (рис. 1).
Движение элементов БК и долота относительно системы Oxyz определяется уг-
лом упругого кручения ( ), z tϕ ϕ= .
На нижнем конце на долото действует момент сил резания (трения) frM
( )fr 0,M M tω ϕ= + & , (1)
где точкой обозначено дифференцирование по времени t .
Упругие крутильные движения БК описываются уравнением
2 2
2 2 0z zI GI
t z
ϕ ϕ
ρ
∂ ∂
− =
∂ ∂
, (2)
где ρ – плотность материала БК; G – его модуль упругости при сдвиге; zI ─ поляр-
ный момент инерции площади поперечного сечения трубы БК.
В данной работе рассматривается БК не малой длины, колебания которой, в об-
щем случае, перестают быть синфазными. Поэтому моделирование такой системы на
базе маятникового осциллятора с одной степенью свободы является необоснованными
и для анализа торсионных колебаний элементов БК следует применять волновые ре-
шения уравнения (2). Обозначив /Gβ ρ= , где β − скорость распространения попереч-
ной упругой волны (волны кручения), уравнение (2) приведем к стандартной форме
2 2
2
2 2 0
t z
ϕ ϕ
β
∂ ∂
− =
∂ ∂
. (3)
Рис. 1
75
Дисперсионный анализ этого уравнения показывает [1], что оно имеет решение в
форме Даламбера
( ) ( ) ( ),z t f z t g z tϕ β β= − + + , (4)
где ( )f z tβ− , ( )g z tβ+ – произвольные непрерывные, не обязательно дифференци-
руемые функции, первая из которых определяет волну, распространяющуюся в поло-
жительном направлении оси Oz , вторая – в противоположном направлении. По-
скольку волны являются недиспергирующими, они перемещаются, не изменяя своего
профиля, что существенно упрощает решение задачи.
Действительно, в этом случае указанные функции при 0t > определяются только
начальными
( ) ( ) ( ) ( )0 00 ; 0f z f z g z g z− = + = (5)
и граничными условиями на нижнем конце 0z =
( ) ( )[ 0 ; 0 ] 0F f t g tβ β− + = , (6)
где F – нелинейный дифференциальный оператор, описывающий движение долота, и
на верхнем конце z L= –
( ) ( ) ( ), 0L t f L t g L tϕ β β= − + + = . (7)
Условие (6) формируется с помощью уравнения баланса моментов сил инерции
inM , сил трения frM и сил упругости elM
fr 0in elM M M+ + = , (8)
вытекающего из принципа Даламбера, записанного для долота, условно отделенного
от трубы БК.
Входящий в уравнение (8) момент inM сил инерции, действующих на долото,
подсчитывается по формуле
inM J ϕ= − ⋅ && , (9)
где J ─ момент инерции долота относительно оси Oz ; ϕ&& – угловое ускорение доло-
та относительно инерциальной системы координат OXYZ .
Момент frM определяется условиями силового взаимодействия долота с разру-
шаемой породой и угловой скоростью ω ϕ+ & их относительного вращательного дви-
жения. Обычно [7, 8] этот момент задается в виде зависимости ( )frM ω ϕ+ & (рис. 2),
которая может быть описана с помощью аппроксимирующей функции
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 5 7 9
1 3 5 7 9fr
2
21
a a a a a
M
a
ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ
ω ϕ
+ + + + + + + + +
=
+ +
& & & & &
&
, (10)
где коэффициенты ( )1,2,...,9ia i = определяются из экспериментов.
Момент elM вычисляется с помощью равенства
el
zM GI
z
ϕ∂
=
∂
. (11)
Угловая деформация / zϕ∂ ∂ подсчитывается так:
76
( ) ( ) 0
0
z
z
f z t g z t
z z
ϕ
β β
=
=
∂ ∂
= − + + ∂ ∂
.
На основании условия (7) имеем ( ) ( )g L t f L tβ β+ = − − .
Это равенство может быть использовано в качестве начального условия для исхо-
дящей от края z L= волны ( ) ( ) ( ), 2g z t g z t f L z tβ β= + = − − − .
Тогда имеем следующее выражение:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 2z t f z t f L z t f u f wϕ β β= − − − − = − , (12)
где ; 2u z t w L z tβ β= − = − − .
При 0z = получим такое равенство:
( ) ( ) ( ) ( ) 20, 2 .Lt f t f L t f t f tϕ β β β β
β
= − − − = − − − −
Таким образом, в точке 0z = присоединения долота к БК угол ( )0, tϕ упругого
закручивания последней определяется текущим значением функции ( )f tβ− и её
«прошлым» значением ( )2f L tβ− , которое имело место в данной точке в момент
времени, сдвинутый в «прошлое» на величину 2 /Lτ β∆ = . Это означает, что угол
( )0,tϕ является функцией не только текущего значения аргумента t , но и аргумента
( )t τ− ∆ с запаздыванием времени.
Из равенства (12) следует
( ) ( ) ( ) ( ) ;
f u f w f u f w
z z z u w
ϕ ∂ ∂ ∂ ∂∂
= − = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( ) .
f u f w f u f w
t t t u w
ϕ
β β
∂ ∂ ∂ ∂∂
= − = − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
В результате сравнения этих соотношений получаем
( ) ( )2f z t f L z t
z t t
β βϕ
β β
∂ − ∂ − −∂
= − −
∂ ∂ ∂
.
Тогда запишем равенство
( ) ( )
0
2el
z
z
f z t f L z t
M GI
t t
β β
β β =
∂ − ∂ − −
= − + = ∂ ∂
( ) ( )
0
2
.z
z
f t f L tGI
t t
β β
β β β =
∂ − ∂ −
= − + ∂ ∂
(13)
Подставляя (10),(11),(13) в (8) и учитывая (5), получаем нелинейное обыкновен-
ное дифференциальное уравнение второго порядка с запаздывающим аргументом
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
2
2
2
1 2
a f t f L t
J f t f L t
a f t f L t
ω β β
β β
ω β β
+ − − − − − − − +
+ + − − −
& &
&& && K
& &
77
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
9
9
2
2
2
2 0.
1 2
z
a f t f L t GI f t f L t
a f t f L t
ω β β
β β
βω β β
+ − − − + + − + − =
+ + − − −
& &
& &K
& &
(14)
Данное уравнение полностью эквивалентно системе волнового уравнения с част-
ными производными (2) и краевых уравнений (6), (7). На нижнем конце краевое урав-
нение (6) вытекает из условия крутильных колебаний долота при 0z = , на верхнем –
уравнение (7) описывает взаимодействие падающей и отраженной волн в жесткой (но
вращающейся) заделке. Можно заметить, что уравнение (14) не содержит функцию
( )f t , а зависит только от её первой и второй производной. Это позволяет понизить
порядок уравнения на единицу, однако на практике методика построения полного
решения данного уравнения не упрощается ввиду его существенной нелинейности. В
таком случае удобнее применить метод Рунге – Кутта.
Введём следующие обозначения:
( ) ( ) ( ) ( )1 2; ;q t f t q t f tβ β= − = −&
( ) ( ) ( ) ( )1 22 ; 2 .p t f L t p t f L tβ β= − = −& (15)
Подставив (15) в (14), получим
1 2;q q=&
( ) ( )
( )
( )
9
1 2 2 9 2 2
2 2 2 22
2 2 2
,
1
za q p a q p GIq q p p
JJ a q p
ω ω
βω
+ − + + + −
= − + +
+ + −
K& & (16)
где переменные ( ) ( )1 2,q t q t являются искомыми; функции ( )1p t , ( )2p t , ( )2p t& из-
вестны, они равны, соответственно, функциям ( )1 2 /q t L β− , ( )2 2 /q t L β− ,
( )2 2 /q t L β−& , подсчитанным ранее в момент времени 2 /t L β− .
Система (16) интегрируется численно при постоянной угловой скорости ω и за-
данных начальных условиях ( ) ( ) ( ) ( )0 0
1 1 2 20 , 0q q q q= = . Если моделируется процесс
начала бурения (когда вращающаяся БК опускается и долото вступает в контакт с
породой на дне скважины), можно положить ( )0
1 0,q = ( )0
2 0,q = ( )1 2 / 0,p L β− =
( )2 2 / 0,p L β− = ( )2 2 / 0p L β− =& . Затем по истечении времени 2 /Lτ β∆ = перемен-
ным ( ) ( )1 2, ,p t p t ( )2p t& следует придавать их найденные значения. Построенные
решения позволяют установить режимы бурения, при которых реализуется самовоз-
буждение крутильных колебаний долота и колонны глубокого бурения, построить
формы этих колебаний и подобрать условия бурения, исключающие автоколебания
системы.
Если во время бурения угловая скорость вращения ω не остается постоянной, то
краевое условие (7) на верхнем конце следует видоизменить, поскольку сумма волн
f и g при z L= перестанет быть равной нулю. Некоторые усложнения задачи по-
лучаются также, если бурильная колонна неоднородна по длине и состыкована, на-
пример, из двух участков с разными диаметрами труб. В этом случае в дополнение к
краевым условиям (6), (7) необходимо добавить ещё условия отражения-преломления
волн в точке сочленения.
78
2. Анализ особенностей волновых торсионных автоколебаний бурильных
колонн.
В зависимости от инерционных и жесткостных свойств БК и выбранного режима
бурения в процессе функционирования она может находиться в состояниях стацио-
нарного вращения или самовозбужденных торсионных колебаний. Вид этих колеба-
ний определяется решениями уравнения (14), зависящими в первую очередь от вида
(10) функции ( )frM ω ϕ+ & , угловой скорости ω и длины L БК. В теории нелинейных
дифференциальных уравнений периодическое решение, соответствующее автоколе-
баниям, называется циклом, а смена стационарного равновесного решения периоди-
ческим при прохождении некоторого характерного параметра через критическое зна-
чение − рождением цикла или бифуркацией Андронова – Хопфа [2 – 4, 6]. В рассмат-
риваемом случае параметром, определяющим стационарные и автоколебательные
режимы БК, является угловая скорость вращения ω .
Для установления вида самовозбуждения торсионных колебаний в бурильной колон-
не и анализа влияния геометрических и инерционных параметров системы на их размахи
D и периоды T выбраны БК длиной 1000, 2000, 4000мL = и долота с моментами
инерции 3,1J = и 21000 кг м⋅ , типичными для нефтяных скважин и угольных стволов,
соответственно. Значения остальных определяющих параметров задавались неизменны-
ми: 108,076 10 Па; G = ⋅ 3218м/с,β = 5 4
zI 3,12 10 м−= ⋅ . Функция момента сил трения
( )frM ω ϕ+ & определялась значениями коэффициентов 1 2400Н м с;a = ⋅ ⋅ 2
2 225с ;a =
3
3 15000Н м с ;a = ⋅ ⋅ 5
5 1Н м с ;a = ⋅ ⋅ 7
7 4Н м с ;a = ⋅ ⋅ 9
9 130Н м сa = − ⋅ ⋅ . Они подбира-
лись таким образом, чтобы её характерные параметры (точки экстремумов и интерва-
лы монотонности) примерно совпадали с соответствующими значениями, приведен-
ными в [7, 8]. График построенной функции показан на рис. 2.
Во всех случаях при выбранном фиксированном значении ω система (16) с началь-
ными условиями ( )1 0 0q = , ( )2 0 0q = интегрировалась методом Рунге – Кутта с шагом
по времени 66,474 10t с−∆ = ⋅ . Вычисления продолжались до тех пор, пока либо ус-
танавливалось стационарное состояние динамического равновесия долота с некото-
рым углом stϕ его поворота, либо оно переходило в режим установившихся периоди-
ческих автоколебаний. Путём варьирования величины ω установлено, что для задан-
ной функции ( )frM ω ϕ+ & существует диапазон bω ≤ dω ω≤ ≤ , вне которого система
из начального положения стремится к
квазистатическому устойчивому равно-
весному состоянию 1 stq ϕ= , ( )2 0q t = без
возбуждения торсионных автоколебаний.
При переходе параметра внутрь диапазо-
на b dω ω ω≤ ≤ через значение bω проис-
ходит бифуркация Андронова – Хопфа и
рождается устойчивый цикл (автоколеба-
тельный процесс), а решение stϕ ϕ= , хотя
и остается, становится неустойчивым.
Это свойство сохраняется для всех
значений b dω ω ω≤ ≤ и при переходе
параметра ω вне этого диапазона через
значение dω ω= происходит бифуркация
утраты цикла, автоколебания перестают
возбуждаться и решение stϕ ϕ= вновь
становится устойчивым.
Рис. 2
79
В таблице приведены величины bω и dω для трёх выбранных значений L и двух
значений J . Как видно, они практически не зависят от этих величин и получают ма-
лые изменения в окрестности бифуркационных угловых скоростей 0,72рад /сbω = ,
3,7рад /сdω = . Однако расчеты при других значениях коэффициентов ia функции
frM показали, что влияние её вида на бифуркационные величины bω , dω является
решающим.
1000 L = 2000 L = 4000
J = 3,1 J = 1000 J = 3,1 J = 1000 J = 3,1 J = 1000
,ω
,stϕ
,avϕ
D, T bω dω bω dω bω dω bω dω bω dω bω dω
,ω
рад / с 0,71 3,775 0,725 3,85 0,725 3,75 0,725 3,825 0,73 3,7 0,725 3,79
– ,stϕ
рад
32,7 33,2 32,7 34 62,6 65,9 65,2 67,5 130,5 130,1 130,3 133,5
– ,avϕ
рад
26,3 26,8 25,28 27 52,6 53,3 51,6 54,1 103,3 104,1 104,2 107,4
,D
рад 12,8 12 14,5 13 25,5 25,3 27,4 27 50,1 48,5 52,5 52,3
,T с 47,5 8,2 49,5 9,33 90,6 15,56 92,67 17,2 170,6 32,25 179,3 35,6
Прокомментируем особенности динамического поведения системы в окрестности
бифуркационного состояния bω ω= на примере БК длиной 4000L = м с моментом
инерции долота 23,1кг мJ = ⋅ . В этом случае левее точки бифуркации
0,73 рад / сbω = (при 0bω ω= − ) долото, начиная двигаться из положения
( ) ( )0 0; 0 0ϕ ϕ= =& , быстро приходит в стационарное состояние 130,5 радstϕ = − ,
0stϕ =& и далее продолжает вращаться с угловой скоростью 0,73 рад / сbω ω= = , не
совершая колебаний. Однако при значении 0bω ω= + долото, двигаясь на начальном
этапе по той же траектории, достигает значения 130,5 рад / сϕ = − (рис. 3) и далее
срывается в колебательный процесс. Эти колебания сразу принимают установивший-
ся характер и происходят с размахом 50,1 радD = и с периодом 170,6 cT = около
среднего положения 103,25 радavϕ = − .
Важно отметить форму этих колебаний, для которой каждый период может быть
разделен на разграниченные этапы, соответствующие медленным и быстрым измене-
ниям системы. Эти изменения особенно
чётко заметны на графике зависимости от
времени угловой скорости ( )tϕ& (рис. 4),
которые можно рассматривать как раз-
рывные. В теории автоколебаний такие
движения называются релаксационными,
в отличие от гладких траекторий, назы-
ваемых томсоновскими [5]. Наиболее
полно такие колебания изучены в радио-
технике, электротехнике и автоматике,
благодаря их легкому экспериментально-
му моделированию и наблюдению на ос-
циллографических экранах. В механике
эти явления моделировать сложнее.
Рис. 3
80
Кроме того, в рассматриваемой задаче обнаружен новый эффект, присущий толь-
ко волноводным системам. Установлено, что колебания имеют квантованный во вре-
мени характер. Так, если участок кривой 40 120ct≤ ≤ на рис. 4 рассмотреть в увели-
ченном масштабе (рис. 5), то окажется, что она является кусочно постоянной, причем
длина каждой временной ступеньки во времени составляет 2, 486 cτ∆ = , что равно
времени прохождения волной кручения длины 2L пути снизу от долота вверх до точ-
ки подвеса БК и обратно, т.е. 2 / 2, 486 cLτ β∆ = = .
Отметим, что почти разрывный характер изменения скорости ϕ& упругого поворо-
та долота проявляется в данной модели, несмотря на то, что коэффициенты в системе
(16) и нелинейности в равенстве (10) являются непрерывными, гладкими и дифферен-
цируемыми. По-видимому, это связано с тем, что система самонастраивается на гене-
рирование в торсионном волноводе слабых ударных волн, т.е. волн с разрывами пер-
вых производных, которые порциями (квантами) распространяются вверх от долота,
отражаются от верхнего конца БК, возвращаются, бьют по долоту, вызывают его
квантованное движение и т.д. Поскольку в местах разрывов функции скорости, уско-
рения (а также крутящие моменты) приобретают импульсные значения, такие режимы
автоколебаний долота представляют существенную опасность для динамической
прочности системы и их не следует считать допустимыми.
Релаксационный характер автоколебаний хорошо виден также на их фазовом
портрете (рис. 6). На нём есть участки, где угол ( )tϕ изменяется при постоянной ско-
рости ( )tϕ& и, наоборот, скорость ( )tϕ&
изменяется при неизменной величине
( )tϕ . Такой режим движения является
основным признаком релаксационных
колебаний [5].
Отметим, что на рис. 2 показана
функция ( )frM ω ϕ+ & , соответствующая
заданным коэффициентам ia . На ней
более жирной линией выделен участок, в
пределах которого она изменяется при
установившихся автоколебаниях. Видно,
что frM периодически переходит через
своё экстремальное значение.
Рис. 6
Рис. 5
Рис. 4
81
При исследовании автоколебаний бывает важно также установить тип самовозбуж-
дения. В фазовом пространстве периодическим автоколебаниям соответствует замкну-
тая траектория, к которой стремятся все соседние траектории. Поэтому она носит на-
звание аттрактора [3 – 6]. В случаях, когда для перехода механической системы от не-
которого начального состояния в режим автоколебаний не требуется дополнительного
толчка, такой переход называется мягким самовозбуждением. Если колебания начина-
ют самопроизвольно нарастать только с некоторой предельной амплитуды, то возбуж-
дение называется жестким. Для перехода упругой системы в режим устойчивого жест-
кого генерирования колебаний необходимо начальное возбуждение (импульс) с ампли-
тудой, большей некоторого критического значения. Как показали расчеты при различ-
ных начальных условиях, для сформированной модели режим автоколебаний не зави-
сит от исходных возмущений, поэтому самовозбуждение является мягким.
Рассмотренный пример относится к случаю сравнительно малого долота с момен-
том инерции J , намного меньшим момента инерции самой БК. При таких соотноше-
ниях их масс можно принять, что на нижнем конце БК реализуются условия свобод-
ного края, вследствие чего и осуществляются квантованные во времени колебания.
Однако можно ожидать, что если момент инерции J существенно увеличить, то до-
лото будет играть роль поглотителя ударных импульсов и функция ( )tϕ& перестанет
быть кусочно-постоянной. Для проверки этого предположения выполнены расчеты
автоколебаний системы при 21000кг мJ = ⋅ . Построенные в состоянии бифуркации
рождения цикла при 10,725b cω −= функции ( )tϕ и ( )tϕ& для БК длиной 4000мL =
внешне качественно не изменились по сравнению со случаем малого момента инер-
ции долота, проиллюстрированного на рис. 3, 4, поэтому их графики здесь не приве-
дены. Однако функция ( )tϕ& в более крупном масштабе перестала быть ступенчатой и
приобрела характер осциллирующей кривой (рис. 7). При этом более сглаженную
форму принял и фазовый портрет (рис. 8).
Численное исследование автоколебаний БК при различных значениях L , J и ω по-
зволило установить некоторые закономерности их возникновения и протекания (таблица).
Самая важная особенность заключается в том, что бифуркационные значения уг-
ловой скорости рождения ( bω ) и утраты ( dω ) цикла практически не зависят от длины
L БК и от значения J момента инерции долота и, по-видимому, определяется только
видом функции ( )frM ω ϕ+ & . Поэтому представляется возможным вначале экспери-
ментально определять на малых глубинах L значения bω , dω и затем использовать
их при проектировании технологии проходки всей скважины.
Рис. 8
Рис. 7
82
Интересно также то, что угол stϕ закручивания долота при стационарном вращении,
среднее значение угла avϕ , относительно которого происходят автоколебания, и размах
D колебаний мало зависят от J , bω и dω , но изменяются линейно с изменением L .
Из общей теории автоколебаний известно [2, 3, 5], что их амплитуда и период T
определяются только параметрами системы. Это отличает их как от собственных ко-
лебаний, период которых определяется параметрами системы, а амплитуда и фаза –
начальными условиями, так и от вынужденных колебаний, амплитуда, период и фаза
которых определяется внешней силой. В связи с этим имеет смысл сопоставить най-
денные значения периодов T автоколебаний с периодами 1T собственных колебаний
БК по наинизшей частоте. Как следует из таблицы, значения T мало изменяются с
увеличением J , поэтому будем вычислять 1T при 0J = . Уравнение крутильных ко-
лебаний БК выбираем в виде (3).
При граничных условиях 0/ 0zzϕ =∂ ∂ = и ( ) 0Lϕ = решение строим в форме
( ) ( ) 1, sin sin
2
z t A L z k t
L
π
ϕ = − ⋅ , (17)
где 1k − первая круговая частота свободных колебаний.
Подставляя (17) в (3), получаем 1 / 2k Lπβ= , откуда 1
1
2 4LT
k
π
β
= = .
Как видим, 1T также линейно зависит от L , однако при заданных
1000, 2000, 4000мL = соответствующие им величины 1 1,243T = ; 2,486 ; 4,972c
существенно отличаются от бифуркационных значений bT , dT .
Заключение.
В данной статье построена волновая модель торсионных колебаний вращающихся
колонн глубокого бурения. Найдены диапазоны значений угловых скоростей враще-
ния, соответствующие режимам автоколебаний. В состояниях, ограничивающих эти
диапазоны, реализуются бифуркации Андронова – Хопфа. Установлены основные
закономерности наступления и протекания автоколебательных процессов.
Р Е З ЮМ Е . Побудовано хвильову модель торсіонних коливань обертових колон глибокого
буріння. Визначено діапазони значень кутових швидкостей обертання, що відповідають режимам
автоколивань. В станах, які обмежують ці діапазони, реалізуються біфуркації Андронова – Хопфа.
Встановлено основні закономірності появи та перебігу автоколивальних процесів.
1. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. – М.: Наука,
1966. – 367 с.
2. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. – М.: Нау-
ка, 1987. – 382 с.
3. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. – М.: Наука, 1980. –
364 с.
4. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. – М.: Наука, 1980. –
368 с.
5. Рабинович М.К., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн – М.: Наука, 1984. – 432 с.
6. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн Н. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. − М.: Мир,
1985. − 280 с.
83
7. Ford B. J. The genesis of torsional drill string vibrations // SPE Drill. Eng. – 1992. – 7, N 9. –
P. 168 – 174.
8. Jansen J.D., Van den Steen L. Active damping of self-excited torsional vibrations in oil well drillstings //
J. Sound and Vibr. – 1995. – 179, N 4. – P. 647 – 668.
9. Lobas L.G., Khrebet V.G. Bifurcated formation of a limit cycle from a stable focus and evaluation of the
region of attraction in two-unit pendulum systems with oscillation // Int. Appl. Mech. – 1993. – 29, N 9.
– P. 731 – 737.
10. Mihailovic N., Van de Wow N. Hendriks M.P., Nijmeijer H. Friction-induced limit cycling in flexible
rotor systems: An experimental drill-string set-up // Nonlin. Dynamics. – 2006. – 46. – P. 273 – 291.
11. Tucker R.W., Wang C. An intergated model for drill-string dynamics // J. Sound and Vibr. – 1999. – 224,
N1. – P. 101 – 122.
Поступила 03.06.2009 Утверждена в печать 15.06.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95452 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:57:23Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гуляев, В.И. Гайдайчук, В.В. Глушакова, О.В. 2016-02-26T18:28:32Z 2016-02-26T18:28:32Z 2010 Бифуркации Андронова – Хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн / В.И. Гуляев, В.В. Гайдайчук, О.В. Глушакова // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 73-83. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95452 A wave model of torsional vibrations of rotating drill strings is constructed.
 The ranges of values of the corresponding to self-vibrations regimes angular velocities are
 found. In the limiting these ranges states the Andronov – Hopf bifurcations are realizing.
 The main regularities of appearance and passing the self-vibration processes are established. Побудовано хвильову модель торсіонних коливань обертових колон глибокого
 буріння. Визначено діапазони значень кутових швидкостей обертання, що відповідають режимам
 автоколивань. В станах, які обмежують ці діапазони, реалізуються біфуркації Андронова – Хопфа.
 Встановлено основні закономірності появи та перебігу автоколивальних процесів. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Бифуркации Андронова – Хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн Andronov – Hopf Bifurcations in Wave Models of Torsional Vibrations of Drill Strings Article published earlier |
| spellingShingle | Бифуркации Андронова – Хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн Гуляев, В.И. Гайдайчук, В.В. Глушакова, О.В. |
| title | Бифуркации Андронова – Хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн |
| title_alt | Andronov – Hopf Bifurcations in Wave Models of Torsional Vibrations of Drill Strings |
| title_full | Бифуркации Андронова – Хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн |
| title_fullStr | Бифуркации Андронова – Хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн |
| title_full_unstemmed | Бифуркации Андронова – Хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн |
| title_short | Бифуркации Андронова – Хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн |
| title_sort | бифуркации андронова – хопфа в волновых моделях торсионных колебаний бурильных колонн |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95452 |
| work_keys_str_mv | AT gulâevvi bifurkaciiandronovahopfavvolnovyhmodelâhtorsionnyhkolebaniiburilʹnyhkolonn AT gaidaičukvv bifurkaciiandronovahopfavvolnovyhmodelâhtorsionnyhkolebaniiburilʹnyhkolonn AT glušakovaov bifurkaciiandronovahopfavvolnovyhmodelâhtorsionnyhkolebaniiburilʹnyhkolonn AT gulâevvi andronovhopfbifurcationsinwavemodelsoftorsionalvibrationsofdrillstrings AT gaidaičukvv andronovhopfbifurcationsinwavemodelsoftorsionalvibrationsofdrillstrings AT glušakovaov andronovhopfbifurcationsinwavemodelsoftorsionalvibrationsofdrillstrings |