Об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной
It is obtained the equation of motion of the hybrid model of one mechanical system. The system consists of horizontally situated string and spherical pendulum, which is hung up in some point of the string. The conditions of asymptotic stability of stationary motions of the spherical pendulum, which...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95455 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной / Д.М. Лила // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 101-114. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859613950375624704 |
|---|---|
| author | Лила, Д.М. |
| author_facet | Лила, Д.М. |
| citation_txt | Об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной / Д.М. Лила // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 101-114. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | It is obtained the equation of motion of the hybrid model of one mechanical system. The system consists of horizontally situated string and spherical pendulum, which is hung up in some point of the string. The conditions of asymptotic stability of stationary motions
of the spherical pendulum, which is interacted with elastic string, are established.
Одержано рівняння руху гібридної моделі механічної системи, яка складається з
горизонтально розміщеної струни і підвішеного в деякій її точці сферичного маятника. Встановлено умови асимптотичної стійкості стаціонарних рухів сферичного маятника, що взаємодіє з пружною
струною.
|
| first_indexed | 2025-11-28T17:11:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 11
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 11 101
Д .М . Л и л а
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ
СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО СО СТРУНОЙ
Черкасский национальный университет им. Б. Хмельницкого
б-р Шевченко, 81, 18031, Черкассы, Украина; e-mail: dim_l@ukr.net
Abstract. It is obtained the equation of motion of the hybrid model of one mechanical
system. The system consists of horizontally situated string and spherical pendulum, which is
hung up in some point of the string. The conditions of asymptotic stability of stationary mo-
tions of the spherical pendulum, which is interacted with elastic string, are established.
Key words: spherical pendulum, elastic string, hybrid model, double-mode approxima-
tion, temporal quasi-periodicity, conditions of stability of the stationary motions.
Введение.
Эффективным подходом к построению математической модели движения колеба-
тельной механической системы с бесконечным числом степеней свободы, состоящей из
упругой струны и взаимодействующей с ней посредством подвеса сосредоточенной ос-
циллирующей массой, является поэтапное решение вариационной задачи = 0δS для
действия по Гамильтону S [1] и поиск синхронных колебаний ( ) ( )
n n
q t u y [2],
0
[ , )t t∈ ∞ ,
[0, ]y L∈ , n ∈N , с удовлетворяющими уравнениям Лагранжа (дифференциальным
уравнениям Эйлера для вариационной задачи) независимыми координатами
n
q . Как
показано в работе [4], это дает возможность вначале получить и решить спектральную
задачу для нагруженной струны, а потом (с использованием соответствующего ре-
зультата и условия ортогональности с нагрузкой [2]) нормализовать бесконечную
(« 2( 1)n + -го порядка») систему нелинейных дифференциальных уравнений движения
связанных осцилляторов, аппроксимирующих данную систему. Ввиду практической
важности рассматриваемых систем в работе [4] с помощью предложенного подхода
решена задача устойчивости стационарных движений однозвенного математического
маятника в описанной модели.
В данной статье решается задача устойчивости стационарных движений сфериче-
ского маятника, взаимодействующего со струной. Упрощенная постановка задачи
предполагает вертикальные колебания закрепленной на концах струны, а уточненная
– невертикальные. Используется критерий устойчивости и неустойчивости [5] реше-
ний линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициента-
ми [7 – 13].
§1. Постановка задачи.
Изучим некоторые особенности движений механической системы, моделируемой
горизонтально расположенной в поле тяжести материальной упругой изотропной
струной и материальной точкой, подвешенной в некоторой точке струны на невесо-
мом нерастяжимом стержне (рис. 1). В декартовой прямоугольной системе координат
102
Oxyz положение точек струны, совер-
шающей по предположению вертикаль-
ные колебания, будем определять по ве-
личине их смещения ( , )w t y от горизон-
тали = 0z (здесь
0
[ , )t t∈ ∞ , [0, ]y L∈ ),
а положение колеблющейся сосредото-
ченной массы m – координатами
0
0
= sin cos ; = sin sin ;
= ( , ) cos ,
x l y y l
z w t y l
ϕ ϑ ϕ ϑ
ϕ
+
+
где
0
y , l , ϕ и ϑ ― ордината точки
подвеса маятника, длина стержня, угол
отклонения стержня от вертикали и угол отклонения проекции стержня на плоскость
xOy от оси абсцисс ( [0, 2 )ϑ π∈ ), соответственно.
Предполагается, что угол ϕ достаточно мал (малые нелинейные колебания маят-
ника), чтобы не учитывать смещения точек струны вдоль оси ординат.
Вычисляя производные x� , y� , z� и вводя обозначение ( )yρ для линейной плот-
ности струны, получаем выражение кинетической энергии данной механической сис-
темы в виде
2 2 2 2 22
0 0
0
1 1
= ( ( , ) 2 sin ( , ) ( )) ( ) ( , ) .sin
2 2
ϕ ϕ ϕ ϕϑ ρ− + + + ∫�� �
L
t t tT m w t y l w t y l y w t y dy (1.1)
Потенциальная энергия представлена выражением
2
0
0
1
= ( ( , ) cos ) ( , ) ( ( , ) ( ) ( , )) ,
2
ϕ µ ρ
Π − + + − +
∫
L
ymg w t y l w t y p t y y g w t y dy (1.2)
где
2
0, 5 ( , )
y
w t y dyµ , ( , ) ( , )p t y w t y dy− и ( ) ( , )y gw t y dyρ− – мгновенная элементарная
потенциальная энергия упругой силы (см. [2 – 4]), внешней нормальной силы, эквива-
лентной дополнительному удельному весу ( , )p t y струны, и силы тяжести, соответст-
венно.
Для получения уравнений движения исследуемой системы воспользуемся обоб-
щенным интегральным вариационным принципом Гамильтона – Остроградского
1
0
( ) 0δ δ δ− Π + =∫
t
t
T W dt ;
0 1 0 1 0 1
( ) ( ) 0; ( ) ( ) 0; ( , ) ( , ) 0,δϕ δϕ δϑ δϑ δω δω= = = = = =t t t t t y t y
где
1 2
= =W Q Q k kϕ ϑδ δϕ δϑ ϕδϕ ϑδϑ+ − − �� ― виртуальная работа непотенциальной си-
лы трения в точке подвеса, определяемая диссипативной функцией Рэлея
2 2
1 2
= ( ) / 2ϕ ϑ+ ��R k k .
§2. Уравнения движения. Устойчивость стационарных движений. После варь-
ирования выражений (1.1), (1.2) и учета граничных условий ( , 0) = ( , ) = 0w t w t L и оп-
ределяющих свойств δ -функции получим путем приравнивания к нулю коэффициен-
тов при независимых вариациях δϕ , δϑ и wδ следующие уравнения:
21
02
1
( ( , ) cos ) sin = 0;
tt
k
g w t y l
lml
ϕ ϕ ϑ ϕ ϕ+ + − − ��� �
Рис. 1
103
22
2
2 sin cos = 0;sin
k
ml
ϕϑ ϕ ϕϕ ϑ
+ +
�� �� (2.1)
2
0 0
[ ( ) ( )] = ( , ) ( ) ( (sin cos )) ( ).
tt yy
y m y y w w p t y y g m g l y yρ δ µ ρ ϕϕ ϕϕ δ+ − + + + + + −�� �
Обозначив 2( ) = sin cost ϕϕ ϕϕΦ +�� � и полагая 0p ≡ , constρ ≡ , на основании
уравнений (2.1) получаем систему
21
02
1
( ( , ) cos ) sin = 0;
tt
k
g w t y l
lml
ϕ ϕ ϑ ϕ ϕ+ + − − ��� �
2 22 2
0 0 0 02 2
= ;sin sin
k k
c
ml ml
ϕϑ ϑ ϕ ϑ ϑ+ = +� �
0 0
[ ( )] = ( ( )) ( ) ;
tt yy
m y y w w g m g l t y yρ δ µ ρ δ+ − + + + Φ − (2.2)
0 0 0 0 0 0 0 0
( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ;t t t tϕ ϕ ϕ ϕ ϑ ϑ ϑ ϑ= = = =� �� �
0 0 0 0
( , 0) ( , ) 0; ( , ) ( ); ( , ) ( ).
t
w t w t L w t y w y w t y w y= = = = �
Используя идею метода нормальных форм колебаний, заключающуюся в данном
случае в возможности представления решения неоднородного уравнения в частных
производных из системы (2.2) в виде
=1
( , ) = ( ) ( ),
n n
n
w t y q t u y
∞
∑ (2.3)
где коэффициенты
n
q выписанной линейной комбинации удовлетворяют уравнениям
Лагранжа второго рода
( ) ( )
= 0, = 1, 2, ,
n n
d T T
n
dt q q
∂ − Π ∂ − Π
−
∂ ∂
…
�
(2.4)
играя вместе с переменными ϕ , ϑ роль независимых координат, на основании (2.4)
уравнения (2.2) получаем в виде
2 2
0
= ( )[sin cos ] ( = 1, 2, ) ;ν β ϕϕ ϕϕ+ + +�� ��� …
s s s s s
q q mlu y s
21 22
0 02 2
=1
1
( ) cos sin = 0 ; = ,sinn n
n
k k
g u y q l c
lml ml
ϕ ϕ ϑ ϕ ϕ ϕϑ ϑ
∞
+ + − − +
∑ � ��� � ��
(2.5)
где
2 0
0 2 2
=1 2 1
(2 1)
4 sin
= ( ) 1 ;
(2 1)( )
s
s s
n n s
n y
Lmgu y
n
π
ν
β
π ω ν
∞
−
−
+
− −
∑
2
j
ω , j ∈N , – собственные числа спектральной задачи для ненагруженной струны, а
2
j
ν и ( )
j
u y , j ∈N , – собственные числа и собственные функции спектральной задачи
для нагруженной струны [3, 4], соответственно. При этом
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = ,
s s s s
q t w q t w t t t tϕ ϕ ϕ ϕ ϑ ϑ ϑ ϑ� �� �� � (2.6)
если учесть разложения начальных условий
0 0 0 0
=1 =1
( ) = ( ); ( ) = ( ).
n n n n
n n
w y w u y w y w u y
∞ ∞
∑ ∑� �
104
Рассматривая бесконечную систему нелинейных связанных осцилляторов, при
0ϕ ≠ , ϕ π≠ в нормальной форме получаем следующую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
; ;
s s
q r ϕ ψ= =�� 2
s s s s
r qβ ν= − +�
2
2 2 20 1
2
12
0 2
( ( , )) cos sin sin
cos ;
1 sin
n n
n
n
s
u kg
a q b
l l ml
mlu
b
ν
ψ χ ϕ ϑ ϕ ϕ ψ ϕ
ψ ϕ
ϕ
∞
=
+ + + − +
+ − +
∑
2
2 20 1
2
1
2
( ( , )) cos sin
;
1 sin
n n
n
n
u kg
a q b
l l ml
b
ν
ψ χ ϕ ϑ ϕ ϕ ψ
ψ
ϕ
∞
=
+ + + − +
= −
+
∑
� ( , )ϑ χ ϕ ϑ=� ; (2.7)
1 0 0 0 1 0 0 0 0
( ( ), , ( ), , ( ), ( ), , ( ), ( ), ( )) =T
s s
q t q t t r t r t t tϕ ψ ϑ… … … …
01 0 0 01 0 0 0
= ( , , , , , , , , , , ) ,T
s s
w w w wϕ ϕ ϑ�� �… … … …
где обозначено
2
0 2
20
0 0 0 2
=1 =1
= ( ) ( = 1, 2, ) ; = ; = ; ( , ) = .
sin
n n
s s n
n n
k
c
u mlu u y s a b m u
l
ϑβ
χ ϕ ϑ
ϕ
∞ ∞ −
− −∑ ∑…
Стационарными решениями бесконечной системы нелинейных дифференциаль-
ных уравнений (2.5) являются
2
01 2
2 2
21 2
, , , 0,
T
c ml
k
β β
ν ν
… и
2
01 2
2 2
21 2
, , , ,
T
c ml
k
β β
π
ν ν
… .
Учитывая цикличность координаты ϑ , линеаризованные уравнения возмущенно-
го движения для каждого из положений равновесия будут содержать только позици-
онные переменные возмущенного движения � �2= / ; = ; = ; =ξ β ν ξ ϕ ρ ρ ψ−
s s s s s s
q r и
� �2= / ; = ; = ; =ξ β ν ξ ϕ π ρ ρ ψ− −
s s s s s s
q r , соответственно. Вследствие этого вид са-
мих уравнений возмущенного движения и условия устойчивости стационарных дви-
жений сферического маятника, взаимодействующего со струной, в рассматриваемой
постановке задачи полностью совпадут с аналогичными для однозвенного математи-
ческого маятника, колеблющегося под влиянием струны [3, 4].
§3. Общая постановка задачи. Уравнения движения.
Предположим, что плоскость колебаний горизонтально закрепленной на концах
струны образует некоторый фиксированный угол ( ]0, / 2α π∈ с вертикальной плос-
костью yOz (рис. 1).
Тогда в соответствии с §§ 1, 2 получим
0 0 0
= ( , ) sin sin cos ; = sin sin ; = ( , ) cos cos ;x w t y l y y l z w t y lα ϕ ϑ ϕ ϑ α ϕ+ + +
2 2 2 22
0 0
1
= ( ( , ) ( ) 2 ( , )[(cos cossin
2
t tT m w t y l lw t yϕ ϕϑ ϕ ϑϕ+ + + −�� �
2
0
1
sin sin ) sin sin cos ]) ( ) ( , ) ;
2
ϕ ϑϑ α ϕϕ α ρ− − + ∫� �
L
ty w t y dy
(3.1)
105
2
0
0
1
= ( ( , ) cos cos ) ( , )
2
L
ymg w t y l w t yα ϕ µ
Π − + + +
∫
( )1 2( ( , ) ( ) ) cos ( , ) sin ,p t y y g p t y dyρ α α
+ − + +
(3.2)
где ( , )w t y ― смещение в данный момент t точки струны с ординатой y от оси Oy
в плоскости колебаний, а
2
( , )p t y – мгновенная удельная горизонтальная составляю-
щая силы внешнего влияния на струну.
Решая вариационную задачу, получаем следующую систему дифференциальных
уравнений:
( )21
0 02
1
( ( , ) cos cos ) sin ( , ) sin cos cos = 0;
tt tt
k
g w t y l w t y
lml
ϕ ϕ α ϑ ϕ ϕ α ϑ ϕ+ + − − +��� �
22
02
1
2sin cos ( , ) sin sin sin = 0;sin tt
k
w t y
lml
ϕϑ ϕ ϕϕ ϑ α ϕ ϑ
+ + −
�� ��
0 1 2
[ ( ) ( )] = ( ( , ) ( ) ) cos ( , ) sin
tt yy
y m y y w w p t y y g p t yρ δ µ ρ α α+ − + + − + (3.3)
( 2( (sin cos )) cos ( cos cos sin sinm g l lϕϕ ϕϕ α ϕ ϑϕ ϕ ϑϑ+ + + + − + +���� � ��
)2 2
0
2 cos sin ( ) sin cos ) sin ( ).y yϕ ϑϕϑ ϕ ϑ ϕ ϑ α δ+ + + −� �� �
Применяя к системе (3.3) метод нормальных форм колебаний и полагая
1
0p ≡ ,
2
0p ≡ , constρ ≡ , имеем
2 2
0
= cos [(sin cos ) cos ( cos cos
s s s s s
q q mluν β α ϕϕ ϕϕ α ϕ ϑϕ+ + + + − +�� � ����
2 2sin sin 2 cos sin sin cos ( )) sin ] ( = 1, 2, ) ;ϕ ϑϑ ϕ ϑϕϑ ϕ ϑ ϕ ϑ α+ + + +�� � �� � …s
21
02
=1
1
cos sin [sin cos cos cos sin ] = 0 ;n n
n
k g
u q
l lml
ϕ ϕ ϑ ϕ ϕ α ϑ ϕ α ϕ
∞
+ + − + −
∑��� � �� (3.4)
22
02
=1
1
2sin cos sin sin sin = 0.sin n n
n
k
u q
lml
ϕϑ ϕ ϕϕ ϑ α ϕ ϑ
∞
+ + −
∑�� �� ��
§4. Устойчивость стационарных движений (общая постановка).
Стационарными решениями бесконечной системы нелинейных дифференциальных урав-
нений (3.4) являются 1 2
02 2
1 2
cos cos
, , , 0,
T
β α β α
ϑ
ν ν
… , 1 2
02 2
1 2
cos cos
, , , ,
T
β α β α
π ϑ
ν ν
… .
Им соответствуют нижнее и верхнее положения равновесия маятника в исследуемой
модели.
Далее рассмотрим вместо (2.3) конечную линейную комбинацию системы «коор-
динатных» функций 2
=1
{ ( )}
n n
q t , аппроксимирующих движение системы с бесконечным
числом степеней свободы.
Исследуя влияние малых колебаний струны на колебания сферического маятника
в окрестности нижнего положения равновесия, исключим из системы (3.4) перемен-
ные
1
q ,
2
q (двухмодовое приближение), проинтегрировав соответствующие линеари-
106
зованные уравнения [3]. Вследствие этого в переменных возмущенного движения
1 2 3= ; = ; =
2
π
ξ ϕ ξ ϑ ξ ϕ− � в нормальной форме получим нелинейную нестационарную
систему третьего порядка, линейное приближение которой имеет вид
2
1
1 3 2 1 3 1 2 32
2
sin
= ; = ( ) ; = cos ( ) sin ( ) ,
kml g
h t h t h t
k l ml
α
ξ ξ ξ ξ ξ α ξ α ξ ξ
− − + − −
� � � � (4.1)
где
2
= 2
( 0)
( ) = ;
i t
j
j
j
j
h t h e
ν
−
≠
∑
1 2
1 14 24 1 1 2 15 25 2 2
1 2
= ( ); = ; = ( ); = ; = ( = 1, 2) ;
2 2
ν ν
ν ν
− − −+ + −j j
d d
h c ic h h h c ic h h j
2 2
1 10 2 20
1 2
= ; = ;
u u
d d
l l
ν ν
− −
1 1
14 01 1 0 1 01 1 0 24 1 01 1 0 01 1 02 2
1 1
cos cos
= sin cos ; = sin cos ,c w t w t c w t w t
β α β α
ν ν ν ν ν ν
ν ν
− − − +
� �
2 2
15 02 2 0 2 02 2 0 25 2 02 2 0 02 2 02 2
2 2
cos cos
= sin cos ; = sin cos .c w t w t c w t w t
β α β α
ν ν ν ν ν ν
ν ν
− − − +
� �
Вводя в рассмотрение малый параметр ε , систему уравнений (4.1) представим в виде
= ( ( )) ,x A F t xε+� (4.2)
где
1 2 3
= ( , , )Tx ξ ξ ξ ;
2
0 0 1
= 0 0 0 ; = ;
0 0
g
A
l
ω
ω
−
2
0 2
1
2
0 0 0
0 0 0
sin
( ) = ( ) 0 0 ;
cos sin
( ) ( )
ml
F t h t
u kk
k
h t h t
u k u k u kml
α
α α
−
− − −
2 2 2 2
0 10 20 1 2
= , = .u u u k k k+ +
Нормальная жорданова форма матрицы A имеет вид
0 0
= 0 0 0 ,
0 0
i
J
i
ω
ω
−
а неосо-
бенная матрица S , производящая преобразование подобия 1=A S JS
− , представляется
в виде
0 1
= 0 1 0 .
0 1
i
S
i
ω
ω
−
Общее решение 1= − Jt
x S e Sc (здесь
1 2 3
= ( , , )Tc C C C ) систе-
мы дифференциальных уравнений =x Ax� принимает вид
107
1 3
2
1 3
1 0 1 ( )
1
= 0 1 0 2 .
2
0 ( )
i t
i t
i C C e
x i C
i
i i i C C e
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω ω −
+
− −
Отсюда заключаем, что
1 0 1
= 0 1 0 .
0
B
i iω ω
−
(4.3)
Диагональная матрица, элементами которой являются мнимые части собственных
значений матрицы A , имеет вид
0 0
= 0 0 0 .
0 0
ω
ω
Θ
−
(4.4)
С учетом соотношений (4.2) – (4.4) получим равенство
1
0
= = 0.A B AB i− − Θ (4.5)
Для определения матрицы
1
A [5] необходимо знать вид свободного члена квази-
периодической матрицы-функции
1
0
21 1
2 2
2 2
2 2
21 1
2 2
1
( ) =
2
cos ( ) sin ( ) (cos ( ) )
2 sin ( ) 0 2 sin ( ) .
( cos ( ) ) sin ( ) cos ( )
i t i t
i t i t
i t i t
i t i t
e B F t Be
i u k
k k
h t i e h t h t i e
ml ml
ml ml
i h t e i h t e
k k
k k
h t i e e h t h t i
ml ml
ω ω
ω ω
ω ω
ω
α ω α α ω
ω α ω α
α ω α α ω
− Θ − Θ
− −
−
− ×
+ −
×
− − − − +
(4.6)
Предположив, что выполняется одно из нижеуказанных соотношений между величи-
нами собственной частоты ω и частот
1
ν ,
2
ν двухпериодической силы воздействия
колеблющейся струны, получим, соответственно,
1 1
1 2 2
1 1
0
= 0 ( {1, 2}); = 0 ,
0
j
j A
α β
ω ν β β
β α
− + ∈
(4.7)
где
2
1
1 1 22
0 0 0 2
1 1 1
= ; = sin ; = sin ;
2 2
j j
k ml
i h h
u k u k u k kml
α β α β α
ω
−− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
1
1
1
0
2 = 0 ( {1, 2}) ; = 0 0 0 ,
0
j
j A
α γ
ω ν
γ α
− + ∈
(4.8)
где
108
0
1
= cos ;
2
ji h
u k
γ α
ω
⋅
1
1
1
0 0
0; 2 0 ( = 1, 2) ; = 0 0 0 .
0 0
j j
j A
α
ω ν ω ν
α
− + ≠ − + ≠
(4.9)
Ограничиваясь членами первого порядка малости в характеристическом полиноме
0 1
det( ),A A Eε λ+ + −…
где E – единичная матрица третьего порядка, в случае (4.7) приходим к характери-
стическому уравнению
3 2 2
1 2 3
= 0,a a aλ λ λ+ + + (4.10)
где
2 2 3
1 1 2 1 1 2 3 1 1 2
= 2 ; = ( 2Re( )) ; = 2 Re( ) .a a aεα ε α β β ε α β β− + − + +… … …
Положительность старших коэффициентов его определителей Гурвица
1 2 3
, ,∆ ∆ ∆ яв-
ляется условием асимптотической устойчивости [5] исследуемого состояния. По-
скольку
1 2
Re( ) = 0β β , имеем
1
> 0∆ ,
2
> 0∆ ,
3
= 0∆ .
В случае (4.8) отрицательность действительных частей двух корней уравнения
(4.10) при нулевом третьем корне легко проверяется непосредственно и сводится к
единственному условию
1
| |< 0.α γ+ (4.11)
В случае (4.9) положительность коэффициентов трения
1
k ,
2
k также гарантирует
лишь нейтральную устойчивость нижнего положения маятника в изучаемой гибрид-
ной модели. Поэтому во всех трех случаях необходимо учесть слагаемые более высо-
ких порядков малости в разложении определителей Гурвица по малому параметру.
Поскольку матрица-функция (4.6) представима в виде
�
11
(1)
1
= 11
( 0)
,
i ts
s
s
s
A e A
ν
−
≠
+∑
где
1
1 2
(1) (1) (1) 1
1 2 3
2
1
2
0 sin 0
0 0 0 0 0 cos
2 sin
= 0 0 0 ; = 0 0 0 ; = 0 0 ;
0 0 0
0 0 0 0 0
h
h
i ml h
A A A
k
k
i
ml
α
α
ω α
δ δ δ
ω
−
1 2
(1) (1) 1
4 5
2
1
1
0 0 0
cos 0 0
2 sin
= 0 0 0 ; = 0 0 ;
0 0 cos
0 sin 0
h
i ml h
A A
k
h
h
α
ω α
δ δ
α
α
−
−
109
2
2 2
(1) (1) (1) 2
6 7 8
2
1
0 sin 0
0 0 0 0 0 cos
2 sin
= 0 0 0 ; = 0 0 0 ; = 0 0 ;
cos 0 0 0 0 0
0 0 0
α
α
ω α
δ δ δ
α
−
h
h
i ml h
A A A
k
h
2 2
(1) (1) 2
9 10
2
2
2
0 0 0
cos 0 0
2 sin
= 0 0 0 ; = 0 0 ;
0 0 cos
0 sin 0
h
i ml h
A A
k
h
h
α
ω α
δ δ
α
α
−
−
(1) (1) (1)
11
0
2
0 0 0
1
= 0 0 0 ; = ( = 1, ,11; = ) ;
2
cos 0 0
s s
A A A s
i u k
h
δ δ
ω
α
−
−
−
…
� � � � � �
1 2 3 4 5 61 1 1 1 1
= 2 ; = 2 ; = ; = ; = ; = 2 ;ν ω ν ν ω ν ν ω ν ν ν ν ω ν ν ω− − + +
� � � � �
7 8 9 10 112 2 2 2 2
= 2 ; = ; = ; = ; = 2 ;ν ν ω ν ν ω ν ν ν ν ω ν ν ω− − + +
� �= ( = 1, , 11) ,s s sν ν− − …
то после непосредственных вычислений в случаях (4.9), (4.8) при = 1j и (4.8) при
= 2j , соответственно, получаем
�
11
(1) (1) (1) (1) (11) (33)
2 2 2 2
=1
= ( ) = diag[ , , ];
s s s s
ss
i
A A A A A a aα
ν
− −−∑
�
� �
11
(11) (33)(1) (1) (1) (1)
2 22 2
=1
( 2)
= ( ) = diag[ , , ];s s s s
s s
s
i
A A A A A a aα
ν
− −
≠
−∑ (4.12)
�
�� ��
11 (11) (33)
(1) (1) (1) (1)
2 22 2
=1
( 7)
= ( ) = diag[ , , ],s s s s
s s
s
i
A A A A A a aα
ν
− −
≠
−∑
где
2 22 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2
0 2 1 2
| | | |2 sin
= .
h hml
u k k
α
α
ν ω ν ω
− +
− −
Если теперь в случаях (4.8), (4.9) потребовать дополнительно выполнения неравенства
2
< 0,α (4.13)
то будут соблюдены и условия асимптотической устойчивости. При параметрическом
резонансе
1
2 =ω ν (случай (4.8)) соотношение (4.13) очевидно, тогда как при
2
2 =ω ν
является следствием неравенства
1 2
2 > .ν ν (4.14)
Вычисляя матрицу
2
A и ограничиваясь уже членами второго порядка малости в
характеристическом полиноме 2
0 1 2
det( ),A A A Eε ε λ+ + + −… в случае параметричес-
кого резонанса (4.7) условие асимптотической устойчивости получаем в виде нера-
венства
110
2 2 2222 2 2
1 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
| | | | 2, = 1;| | cos | | | |
> 0 =
1, = 22 4 4 4
j js
s
h ml h jhk h h
s
jml
α
ω ν ω ω ν ω ν ω
+ − + − − −
.
Область асимптотической устойчивости системы (4.2) для нижнего положения
равновесия для случая параметрического резонанса (4.8) при = 1j в пространстве
параметров ( ; )m α показана на рис. 2. При этом = 1ρ , = 1L ,
0
= 0, 5y , = 200µ ,
01
= 0, 003w ,
02
= 0, 0003−w ,
01 02
= = 0w w� � (система возбуждается малыми смещения-
ми точек струны от положения равновесия без сообщения им начальной скорости);
0
= 0t ,
1 2
= = 0, 0001k k ,
1
= 1000µ ,
2
= 1273µ .
На рис. 3 представлена область асим-
птотической устойчивости системы (4.2)
(нижнего положения равновесия) для слу-
чая параметрического резонанса (4.8) при
= 2j . При этом
1 2
= = 0, 0002963k k ,
1
= 200µ ,
2
= 5093µ . Значения других па-
раметров соответствуют рис. 2.
Область асимптотической устойчиво-
сти системы (4.2) для нижнего положения
равновесия в нерезонансном случае (4.9)
показана на рис. 4. При этом = 0, 0048l ,
1
= 1000µ ,
2
= 1432µ . Значения других
параметров соответствуют рис. 2.
На рис. 5 показана область асимптоти-
ческой устойчивости нижнего положения
равновесия в случае параметрического ре-
зонанса (4.7) при = 1j ( 6
1
= 3 10k −⋅ ,
1
= 8000µ ,
2
= 637µ ), а на рис. 6 ― при
= 2j ( 5
1
= 10k − ,
1
= 1000µ ,
2
= 637µ ).
Изучая влияние высокочастотных ко-
лебаний струны на колебания сферическо-
го маятника в окрестности верхнего поло-
жения равновесия, перейдем к «быстрому»
времени = ,tτ ν где
2 2
1 2
=ν ν ν+ . Это дает
возможность исключить из системы (3.4)
переменные
1
q ,
2
q после интегрирования
соответствующих линеаризованных урав-
нений. Вследствие этого в переменных
возмущенного движения
1
= ;ξ ϕ π−
2
= / 2;ξ ϑ π−
3
=ξ ϕ� получим нелиней-
ную нестационарную систему дифферен-
циальных уравнений с квазипериодиче-
скими коэффициентами третьего порядка.
Ее линейное приближение представимо в
виде
0 1
= ( ( ( ) )) ,
dx
A F F x
d
ε τ ε
τ
+ + (4.15)
где = /ε νk – малый параметр;
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
111
2
0 1
2
21
2
0 0 0
0 0 1 0 0 0
sin
= 0 0 0 ; ( ) = ( ) 0 0 ; = 0 0 0 ;
0 0 0
0 0cos sin
( ) ( )
ml
A F h t F
kk
g
k
k lh t h t
k k kml
α
τ
α α
ν ν
−
− − −
2
1 2
1 14 24 1 1 2 15 25 2 2
= 2 1 2
( 0)
( ) = ; = ( ); = ; = ( ) ; = ;
2 2
i t
j
j
j
j
d d
h h e h c ic h h h c ic h h
ν
τ
ν ν
′
− −
−
≠
− + − +
′ ′
∑
1 0 1 01
14 01 1 01 2
1
cos
= sin cos ;c w w
ν τ ν τβ α
ν
ν νν
′ ′
′− −
�
1 0 1 01
24 1 01 012
1
cos
= sin cos ;c w w
ν τ ν τβ α
ν
ν νν
′ ′
′ − +
�
2 0 2 02
15 02 2 02 2
2
cos
= sin cos ;c w w
ν τ ν τβ α
ν
ν νν
′ ′
′− −
�
2 0 2 02
25 2 02 022
2
cos
= sin cos ;c w w
ν τ ν τβ α
ν
ν νν
′ ′
′ − +
� =
j
j
ν
ν
ν
′ ; =
j j
ν ν−
′ ′− ( = 1, 2j ).
В этом случае нормальная жорданова форма матрицы A имеет вид
0 1 0
= 0 0 0 .
0 0 0
J
Матрица S представлена в виде
1 0 0
= 0 0 1 ,
0 1 0
S
а
1 0 1
= 0 1 0 .
0 0 1
B
(4.16)
Соответственно, имеем
Рис. 5
Рис. 6
112
1
0
= = .A B AB A− (4.17)
Поскольку выполняется равенство
2
1 (1) (1)
0 0
= 2
( 0)
( ) = ,
i
s
s
s
s
B F B A e A
ν τ
τ
′−
−
≠
+∑ (4.18)
где
2 2
(1)
2 2
cos sin cos
sin sin
= 0 ( = 1, 2) ,
cos sin cos
s
s
h ml ml
A s
k k k
α α α
ν α ν α
ν
α α α
− − ± ±
− − −
то получим формулы
(1) 1
1 0 2
0 0 1
= = 0 0 0 ;
0 0 1
−
k
A A
kml
(4.19)
2
2 2
(1)
2 2
1 1 2 2
cos sin 1 cos
sin 1 sin
= 0 ( = 1, 2) .
1
cos sin cos
α α α
ν ν ν ν
ν α ν α
ν ν
α α α
ν
− − + − ′ ′ ′ ′
− + ± ± ′
− +
′
s s s s
s
s
s s
s
i i i
h i ml ml
B i s
k k k
i i i
(4.20)
Учитывая соотношения (4.15), (4.16), (4.18), (4.20), матрицу
2
(1) (1) 1
2 1
= 2
( 0)
= s s
s
s
A A B B F B
−
−
−
≠
+∑
(согласно [5]) получаем в виде
22
2 2 2 2
=1
1 0 1
| |2
= 0 0 0 ;
1 0 1
s
s s
h g
A D
k k lν
− −
+
∑ (4.21)
2 2
2 2
2
2 2 22
2 2 2
2 2
2 2
2
sin
sin coscos cos
sin cos sin cossin
= .
sin
sin coscos cos
ml
k
ml ml ml
D
k k k
ml
k
ν α
α α α α
ν α α ν α ν α α
ν α
α α α α
−
− − −
− − − +
Ограничиваясь членами второго порядка малости в характеристическом полиноме
2
0 1 2
det( ),A A A Eε ε λ+ + + −… к условию неустойчивости рассматриваемого стацио-
нарного решения приходим через отрицательность хотя бы одного из первых неисче-
зающих коэффициентов в разложениях по малому параметру детерминантов Гурвица
113
(13) 1
1 1 1 2
= = = ;
k
a a
kml
ε ε∆ + +… …
22
1 3 (13) (31) 3 1 2
2 1 2 2 2 2
=13 2
1 | |1
= = = 2 ;cos
s
s s
a hk g
a a
a a lkml k
ε ε α
ν
∆ − + − ⋅ − +
∑… …
2 2 22
4 (31) (22) (21) (32) 4
3 2 2 2 2 2 22 2 2
=1 2
| |2 sin
= ( ( ) ) = .s
s s
h ml g
a a a a
kk k l
ν α
ε ε
ν
∆ − + ∆ − + ∆
∑… …
Поскольку очевидно, что
1
> 0∆ и
2 3
< 0∆ ∆ , то верхнее положение равновесия
неустойчиво при всех допустимых значениях параметров.
§5. Заключительные замечания.
Сведение решения задачи об устойчивости нижнего положения равновесия сфе-
рического маятника, взаимодействующего с вертикально колеблющейся с малой ам-
плитудой упругой струной, к решению задачи об устойчивости нижнего положения
математического маятника в такой же модели, объясняет возможность действитель-
ной осуществимости соответствующих устойчивых по отношению к части перемен-
ных движений.
Полученные по линейному приближению условия и построенные области асим-
птотической устойчивости нижнего положения равновесия сферического маятника в
общей постановке задачи свидетельствуют о существовании соответствующего ста-
ционарного режима колебаний маятника при обращении обобщенной координатой ϑ
из циклической в позиционную.
Потеря в последнем случае стабилизируемости верхнего положения равновесия
маятника [6] имеет следующее физическое содержание: стабилизация одной из степе-
ней свободы («широты» ϕ ) высокочастотными и (или) значительными по амплитуде
вертикальными составляющими вибраций точки подвеса за счет взаимодействия с
достаточно натянутой струной непременно сопровождается разрушением «устойчи-
вости» горизонтальными составляющими вибраций в полуплоскостях «долготы» ϑ .
Р Е З ЮМ Е . Одержано рівняння руху гібридної моделі механічної системи, яка складається з
горизонтально розміщеної струни і підвішеного в деякій її точці сферичного маятника. Встановлено
умови асимптотичної стійкості стаціонарних рухів сферичного маятника, що взаємодіє з пружною
струною.
1. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – М.: Наука, 1966. – 300 с.
2. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. I. – М.: Гостехиздат, 1951. – 476 с.
3. Лила Д.М. Достатні умови стійкості великомасштабних нестаціонарних механічних систем: авто-
реф. дис. … канд. фіз.-матем. наук: спец. 01.02.01 «Теоретична механіка». – К., 2009. – 19 с.
4. Лила Д.М. Достаточные условия устойчивости крупномасштабных нестационарных механических
систем: дис. ... канд. физ.-матем. наук: 01.02.01. – К., 2009. – 150 с.
5. Штокало И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных урав-
нений с квази-периодическими коэффициентами // Матем. сб. – 1946. – 19(61), № 2. – С. 263 – 286.
6. Leung A.Y.T., Kuang J.L. On the Chaotic Dynamics of a Spherical Pendulum with a Harmonically Vibrat-
ing Suspension // Nonlinear Dynamics. – 2006. – 43, N 3. – P. 213 – 238.
114
7. Lila D.M. Stability of Motion of Quasiperiodic Systems in Critical Cases // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46,
N 2. – P. 229 – 240.
8. Lila D.M. Stability of Some Solutions of Phase-Matched Generation Equations for OpticallyCcoupled
Lasers // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 3. – P. 317 – 318.
9. Lila D.M., Martynyuk A.A. Construction and Applications of the Matrix-Valued Liapunov Functions for
Some Quasi-Periodic Systems // Differential Equations and Dynamical Systems. – 2009. – 17, N 1 – 2.
– P. 91 – 104.
10. Lila D.M., Martynyuk A.A. On stability of some solutions for equations of locked lasing of optically
coupled lasers with periodic pumping // Nonlinear Oscillations. – 2009. – 12, N 4. – P. 464 – 473.
11. Lila D.M., Martynyuk A.A. On the theory of stability of matrix differential equations // Ukr. Math. Journ.
– 2009. – 61, N 4. – P. 556 – 565.
12. Lila D.M., Martynyuk A.A. Setting up Lyapunov Functions for the Class of Systems with Quasiperiodic
Coefficients // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 12. – P. 1421 – 1429.
13. Lila D.M., Martynyuk A.A. Stability of Periodic Motions of Quasilinear Systems // Int. Appl. Mech. –
2008. – 44, N 10. – P. 1161 – 1172.
Поступила 05.10.2009 Утверждена в печать 21.10.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95455 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T17:11:46Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лила, Д.М. 2016-02-26T18:33:55Z 2016-02-26T18:33:55Z 2010 Об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной / Д.М. Лила // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 101-114. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95455 It is obtained the equation of motion of the hybrid model of one mechanical system. The system consists of horizontally situated string and spherical pendulum, which is hung up in some point of the string. The conditions of asymptotic stability of stationary motions of the spherical pendulum, which is interacted with elastic string, are established. Одержано рівняння руху гібридної моделі механічної системи, яка складається з горизонтально розміщеної струни і підвішеного в деякій її точці сферичного маятника. Встановлено умови асимптотичної стійкості стаціонарних рухів сферичного маятника, що взаємодіє з пружною струною. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной On Stability of Stationary Motions of a Spherical Pendulum Interacting with String Article published earlier |
| spellingShingle | Об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной Лила, Д.М. |
| title | Об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_alt | On Stability of Stationary Motions of a Spherical Pendulum Interacting with String |
| title_full | Об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_fullStr | Об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_full_unstemmed | Об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_short | Об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_sort | об устойчивости стационарных движений сферического маятника, взаимодействующего со струной |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95455 |
| work_keys_str_mv | AT liladm obustoičivostistacionarnyhdviženiisferičeskogomaâtnikavzaimodeistvuûŝegosostrunoi AT liladm onstabilityofstationarymotionsofasphericalpenduluminteractingwithstring |