О свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией
A problem on natural non-axisymmetrical vibrations of hollow piezoceramic cylinders with radial polarization is considered. To solve this problem, the effective numerical-analytical method is proposed. The initial three-dimensional problem of the theory of 
 electroelasticity is reduced to t...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95459 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 20-30. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860243381423177728 |
|---|---|
| author | Григоренко, А.Я. Лоза, И.А. |
| author_facet | Григоренко, А.Я. Лоза, И.А. |
| citation_txt | О свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 20-30. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | A problem on natural non-axisymmetrical vibrations of hollow piezoceramic cylinders with radial polarization is considered. To solve this problem, the effective numerical-analytical method is proposed. The initial three-dimensional problem of the theory of 
electroelasticity is reduced to the twodimensional one by use of representation of vector 
displacement components in the form of standing waves in the circumferential direction. Using the method of spline-collocations in the direction of axial coordinate, the two- dimensional problem in hand is reduced to the boundary value problem in direction of radial coordinate. The last problem is solved by the stable method of discrete orthogonalization together with the step-by-step method. The results of numerical analysis of frequencies of natural vibrations in the wide range of changing the geometrical characteristics of piezoceramic cylinders are given.
Pозглянуто тривимірну задачу про власні неосесиметричні коливання порожнистих п’єзокерамічних циліндрів з осьовою поляризацією. Запропоновано ефективний чисельно-аналітичний метод для розв’язання крайових задач. Початкова тривимірна задача теорії електропружності в частинних похідних зводиться до двовимірної шляхом представлення компонент вектора переміщень у вигляді стоячих хвиль в коловому напрямі. Використовуючи метод сплайн-колокацій в напрямку осьової координати, вказана двовимірна задача зведена до крайової задачі на власні значення в напрямку радіальної координати, яка розв’язується стійким методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Наведені результати чисельного аналізу частот власних коливань в широкому діапазоні зміни геометричних характеристик п’єзокерамічних циліндрів.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:33:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 11
20 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 11
А .Я . Г р и г о р е н к о ¹ , И .А .Л о з а ²
О СВОБОДНЫХ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПОЛЫХ
ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРОВ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
С РАДИАЛЬНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ
¹Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: ayagrigorenko@yandex.ru
²Национальный транспортный университет,
ул. Суворова, 1, 01010, Киев, Украина; e-mail: dukeigor@mail.ru.
Abstract. A problem on natural non-axisymmetrical vibrations of hollow piezoceramic
cylinders with radial polarization is considered. To solve this problem, the effective numeri-
cal-analytical method is proposed. The initial three-dimensional problem of the theory of
electroelasticity is reduced to the two-dimensional one by use of representation of vector
displacement components in the form of standing waves in the circumferential direction.
Using the method of spline-collocations in the direction of axial coordinate, the two-
dimensional problem in hand is reduced to the boundary value problem in direction of radial
coordinate. The last problem is solved by the stable method of discrete orthogonalization
together with the step-by-step method. The results of numerical analysis of frequencies of
natural vibrations in the wide range of changing the geometrical characteristics of piezoce-
ramic cylinders are given.
Key words: natural vibrations, three-dimensional problem of the theory of electroelas-
ticity, hollow piezoceramic cylinder, spline-collocation.
Введение.
Пьезокерамические активные элементы цилиндрической формы являются одними
из наиболее распространенных в акустоэлектронике. Поэтому важное значение имеет
исследование динамических процессов, происходящих в пьезокерамических цилинд-
рах. Решение динамических задач для толстостенных элементов как пространствен-
ных задач теории упругости связано со значительными трудностями, обусловленны-
ми сложностью системы исходных дифференциальных уравнений в частных произ-
водных, а также необходимостью удовлетворять краевым условиям на ограничиваю-
щих тело поверхностях. Эти трудности существенно возрастают в условиях связанно-
сти полей и анизотропии пьезоэлектрических материалов. Несмотря на большое ко-
личество публикаций, посвященных этому вопросу в научной литературе, известны
лишь отдельные работы о колебаниях пьезокерамических цилиндров конечной дли-
ны, выполненные в рамках трехмерной теории упругости [4 – 6, 11, 12]. Как показано
в работах [7 – 10], для исследования механического поведения пластин и оболочек
различной структуры с успехом может применяться метод, основанный на сплайн-
аппроксимации функций. В работах [1 – 3] получил дальнейшее развитие этот метод
для решения задач об осесимметричных продольных и крутильных колебаниях пьезо-
керамических цилиндров. Целью данной работы является решение более общей зада-
чи о неосесимметричных колебаниях пьезокерамических цилиндров, частным случа-
ем которой являются описанные выше осесимметричные задачи.
21
1. Постановка задачи.
В настоящей работе исследуем спектр собственных неосесимметричных колеба-
ний полого пьезокерамического цилиндра с радиальным направлением поляризации
пьезокерамики. Боковые поверхности цилиндра свободны от внешних воздействий и
покрыты тонкими короткозамкнутыми электродами. На торцах цилиндра рассматри-
ваются условия жесткой закрепления.
Представим полную систему уравнений, описывающих данную задачу. Уравне-
ния гармонических колебаний в цилиндрической системе координат ( ), ,r zθ имеют
такой вид:
21
0;rr rr r rz
ru
r r r z
θθ θσ σ σ σ σ
ρω
θ
∂ − ∂ ∂
+ + + + =
∂ ∂ ∂
22 1
0;r r z u
r r r z
θ θ θθ θ
θ
σ σ σ σ
ρω
θ
∂ ∂ ∂
+ + + + =
∂ ∂ ∂
(1)
21
0;rz rz z zz
zu
r r r z
θσ σ σ σ
ρω
θ
∂ ∂ ∂
+ + + + =
∂ ∂ ∂
уравнения электростатики:
1
0;r r zD D D D
r r r z
θ
θ
∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂
1
; ; .r zE E E
r r z
θ
ϕ ϕ ϕ
θ
∂ ∂ ∂
= − = − = −
∂ ∂ ∂
(2)
соотношения Коши:
;r
rr
u
s
r
∂
=
∂
1
;ru u
s
r r
θ
θθ
θ
∂
= +
∂
;z
zz
z
u
s
u
∂
=
∂
1
2 ;r
r
u u u
s
r r r
θ θ
θ
θ
∂ ∂
= + −
∂ ∂
2 ;z r
rz
u u
s
r z
∂ ∂
= +
∂ ∂
1
2 .z
z
u u
s
z r
θ
θ
θ
∂ ∂
= +
∂ ∂
(3)
В равенствах (1) – (3) приняты обозначения: ijσ – компоненты тензора напряжений;
ρ – плотность материала; ω – круговая частота; iu – компоненты вектора перемеще-
ний; iD – компоненты вектора электрической индукции; iE – компоненты вектора
напряженности электрического поля; ϕ – электростатический потенциал; ijs – компо-
ненты тензора деформаций.
Материальные соотношения для пьезокерамического материала, поляризованного
в радиальном направлении, имеют вид
33 13 13 33 ;rr rr zz zc s c s c s e Eθθσ = + + − 13 11 12 31 ;rr zz zc s c s c s e Eθθ θθσ = + + −
13 12 11 31 ;zz rr zz zc s c s c s e Eθθσ = + + − 662 ;z zc sθ θσ =
55 152 ;rz rz zc s e Eσ = − 55 152 ;r rc s e Eθ θ θσ = − (4)
33 13 13 33 ;r rr zz zD e s e s e s Eθθ ε= + + + 15 112 ;rD e s Eθ θ θε= + 15 112 ,z rz zD e s Eε= +
где ijc – компоненты тензора модулей упругости; ije – компоненты тензора пьезомо-
дулей; ijε – компоненты тензора диэлектрической проницаемости материала.
Граничные условия на боковых поверхностях цилиндра (при r R h= ± ) задаются
следующие:
22
поверхности свободны от внешних усилий ( 0rr r rzθσ σ σ= = = ) и либо покрыты
тонкими электродами, которые закорочены: 0ϕ = , либо неэлектродированы:
( 0rD = );
торцы цилиндра (при
2
Lz = ± ) свободны от электродов ( 0zD = ) и жестко за-
щемлены ( 0r zu u uθ= = = ).
Здесь введены обозначения: 0R – радиус серединной поверхности цилиндра; h –
половина толщины цилиндра; L – его длина.
Подставив соотношения (3) и (4) в уравнения (1) и (2) и разрешив их относитель-
но
22 2 2
2 2 2 2
, , ,r zuu u
r r r r
θ ϕ∂∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
, получим систему уравнений
2 2 2
233 11 6 6 13 33
2 2 2 2 2
1 1
1r r r r
r
u c u u e e u
u
r rr r r z
ε
θ
∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∂
= − Ω − − − + +
∆ ∆ ∆ ∆ ∂∂ ∂ ∂
% % % %
2
7 8
2
1 1u u
r rr
θ θ
θ θ
∆ ∂ ∆ ∂
+ + +
∆ ∂ ∆ ∂ ∂
2 2 2
9 8 10 10 13 33
2 2 2
1 1 1
;z zu u e
r z r z r rr z
ϕ ϕ ε ϕ
θ
∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∂
+ + + +
∆ ∂ ∆ ∂ ∂ ∆ ∆ ∆ ∂∂ ∂
%%
2 2 2
11 55 13 55
2 2 2
55 55 55
1 1 1r ru c c u c c u
u
c c r r cr r r
θ
θ
θ θ
∂ + ∂ + ∂ Ω
= − − + − − ∂ ∂ ∂∂
% % % %
% % %
2 2 2 2
11 66 12 66 15 13 15
2 2 2 2
55 55 55 55 55
1 1 1 1 1
;zc u c u u c c u e e e
c c r r c r z c c r rr z r
θ θ θ ϕ ϕ
θ θ θθ
∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂
− − − − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
% % % % % % %
% % % % %
(5)
2 2 2 2
12 55 13 55 12 66
2
55 55 55 55
1 1z r r
z
u c c u c c u c c u
u
c r z c r z c r z cr
θ
θ
∂ + ∂ + ∂ + ∂ Ω
= − − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
% % % % % %
% % %
–
2 2 2
66 11 15 13 15
2 2 2
55 55 55 55
1 1 1
;z z zc u c u u e e e
c c r r c r z c r zr z
ϕ ϕ
θ
∂ ∂ ∂ ∂ + ∂
− − − − −
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
% % % % %
% % % %
2 2 2
233 11 1 1 33 13
2 2 2 2 2
1 1r r r
r
e c u u c e u
u
r rr r r z
ϕ
θ
∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∂
= − Ω + + + −
∆ ∆ ∆ ∆ ∂∂ ∂ ∂
% % % %
2 2 2 2
2 3 4 3 5 5 13 33
2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 .zu u u u e e
r r r z r r rr r z
θ θ θ ϕ ϕ ϕ
θ θ θ θ
∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∂
− + + + − − + −
∆ ∂ ∆ ∂ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∂ ∆ ∆ ∆ ∂∂ ∂
% %
Здесь введены обозначения:
2
55 33 33 ;c eε∆ = +%% % 1 33 15 55 33;c e c e∆ = −% % % % ( )2 33 15 11 55 33;c e c c e∆ = − +% % % % %
( ) ( )3 33 13 15 13 55 33;c e e c c e∆ = + − +% % % % % % ( )4 12 13 33 33 13;c c e c e∆ = − +% % % % %
5 33 11 15 33;c e eε∆ = +%% % % 6 55 33 15 33;c e eε∆ = +%% % %
( ) ( ) ( ) ( )7 11 55 33 15 33 8 13 55 33 13 15 33 9 12 13 33 13 33; ; ;c c e e c c e e e c c e eε ε ε∆ = + + ∆ = + + + ∆ = − −% % %% % % % % % % % % % % % %
10 33 11 15 33 ,e eε ε∆ = −% %% % (6)
23
а также безразмерные величины:
00
; ; ; ,
ij ij ij
ij ij ij
c e
h c e
ερ
ω ε
λ λ εε λ
Ω = = = =%% % (7)
где 1010 aλ = Π ; 0ε – диэлектрическая проницаемость вакуума.
2. Метод решения.
Для решения данной трехмерной задачи предлагается эффективный численно-
аналитический подход. Используя замкнутость цилиндра в окружном направлении,
представим компоненты вектора смещения в виде стоячих волн по окружной коорди-
нате. Полученная двумерная система дифференциальных уравнений в частных произ-
водных после применения метода сплайн-коллокаций по продольной координате сво-
дится к краевой задаче на собственные значения в обыкновенных дифференциальных
уравнениях, которая решается с использованием метода дискретной ортогонализации
в сочетании с методом пошагового поиска.
Для компонент вектора смещения и электростатического потенциала имеем:
( )1 , cos ;ru hu r z mθ=
( )2 , sin ;u hu r z mθ θ= ( )3 , cos ;zu hu r z mθ= ( )4
0
, cosh u r z m
λ
ϕ θ
ε
= . (8)
Подставляя значения компонент вектора перемещений и электростатического по-
тенциала из (8) в систему уравнений (5), получаем следующую систему уравнений:
2 2 2
21 11 33 6 6 1 13 33 1 7 8 2
33 1 22 2 2 2
1 1
1
u c m u e e u m m u
u u
r r r rr r z r
ε
ε
∂ + ∆ ∆ ∂ ∂ ∆ ∆ ∂
= − Ω − − + + + + ∆ ∆ ∆ ∂ ∆ ∆ ∂∂ ∂
%% % %
%
+
2 2 2
9 3 8 3 10 10 4 13 33 4
42 2
1 1
;
u u m u e u
u
r z r z r rr z
ε∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂
+ − + +
∆ ∂ ∆ ∂ ∂ ∆ ∆ ∆ ∂∂
%%
2 2 2
22 11 55 13 55 1 55 11 66 2 2
1 22 2 2 2
55 55 55 55
1 1u c c m c c m u c m c c u u
u u
c c r r c c r rr r r z
∂ + + ∂ + ∂ ∂
= + + − Ω − − + ∂ ∂∂ ∂
% % % % % % %
% % % %
+ 12 66 3 15 13 15 4
42
55 55 55
1
;
c c m u e m e e u
u
c r z c c r rr
+ ∂ + ∂
+ +
∂ ∂
% % % % %
% % %
(9)
2 2
3 12 55 1 13 55 1 12 66 2
2
55 55 55
1u c c u c c u c c m u
c r z c r z c r zr
∂ + ∂ + ∂ + ∂
= − − − +
∂ ∂ ∂ ∂∂
% % % % % %
% % %
2 2
266 11 3 3
32 2
55 55
1 1m c c u u
u
c c r rr z
∂ ∂
+ − Ω − − ∂∂
% %
%
2
15 4 13 15 4
55 55
1
;
e u e e u
c r z c r z
∂ + ∂
− −
∂ ∂ ∂
% % %
% %
2 2 2
24 11 33 1 1 1 33 13 1
33 12 2 2
1 1u c e m u c e u
e u
r rr r z
∂ + ∆ ∆ ∂ ∂
= − Ω + + − ∆ ∆ ∆ ∂∂ ∂
% % % %
%
2 3 2 4 3
22
1m m u u
u
r r r zr
∆ ∆ ∂ ∆ ∂
− + + −
∆ ∆ ∂ ∆ ∂
2 2
3 3 5 5 4 13 33 4
42 2
1
1 .
m u m u e e u
u
r r rr z
∆ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂
+ − + −
∆ ∂ ∆ ∆ ∆ ∂∂
% %
24
Граничные условия на боковых поверхностях принимают вид
1 3 4
13 1 33 13 2 13 13
1
0;
u m u u
c u c c u c e
r r r z z
∂ ∂ ∂
+ − + + =
∂ ∂ ∂
% % % % %
2
55 1 55 2 55 15 4
1
0;
m u m
c u c u c e u
r r r r
∂
− − + + =
∂
% % % %
1 3 4
55 55 15 0;
u u u
c c e
z r z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
% % % 3 0u =
в случае, когда боковые поверхности цилиндра покрыты бесконечно тонкими закоро-
ченными электродами. Если боковые поверхности цилиндра свободны от электродов,
последнее из уравнений примет такой вид:
1 3 4
13 1 33 13 2 13 13
1
0.
u m u u
e u e e u e
r r r z z
ε
∂ ∂ ∂
+ − + − =
∂ ∂ ∂
%% % % %
На торцах цилиндра имеют место следующие граничные условия:
шарнирное опирание: 1 2 4
30; 0; 0; 0;
u u u
u
z z z
∂ ∂ ∂
= = = =
∂ ∂ ∂
жесткое закрепление: 4
1 2 30; 0; 0; 0.
u
u u u
z
∂
= = = =
∂
Далее используя метод разделения переменных – функции 1( , ),u r z 2 ( , ),u r z
3 ( , ),u r z 4 ( , )u r z определим:
( ) ( ) ( )1 1 1
0
, ;
N
i
i
u r z v x zϕ
=
=∑ ( ) ( ) ( )2 2 1
0
, ;
N
i
i
u r z v x zϕ
=
=∑
( ) ( ) ( )3 3 2
0
, ;
N
i
i
u r z v x zϕ
=
=∑ ( ) ( ) ( )4 4 2
0
, ,
N
i
i
u r z v x zϕ
=
=∑ (10)
где
r R
x
h
−
= , kv ( 1,4)k = – искомые функции по переменной x ; ( )ij zϕ ( 1,2j = ;
0,1,...,i N= ) – линейные комбинации B -сплайнов на равномерной сетке ∆ ;
02L z− = < 1z <...< 2nz L= . Принимая во внимание граничные условия на торцах
цилиндра при 2z L= ± , можно заметить, что в систему входят производные от ком-
понент вектора решения не выше второго порядка; следовательно, можно ограни-
читься аппроксимацией сплайн-функциями третьего порядка
( )
i-2
3
i-2 i-1
3 2
i-1 i
3
3 2
i i+1
3
i+1 i+2
i+2
0; <z<z ;
; z z<z ;
3 3 3 1; z z<z ;
3 6 4; z z<z ;
1 ; z z<z ;
0; z z< ,
i
z
z z z
B
z z
z
− ∞
≤
− + + + ≤
=
− + ≤
− ≤
≤ ∞
%
% % %
% %
%
(11)
25
где
( )k
z
z z
z
h
−
=% на интервале [ ]1;k kz z + , 2, 1k i i= − + ; 1, 1i N= − + ;
1 constz k kh z z+= − = .
При этом функции jiϕ формируются таким образом:
а) если соответствующий компонент вектора решения равняется нулю при
2
Lz = ± , то
1 0 1 0 1
0 3 3 1 3 3 3 3
1
( ) 4 ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( );
2
i
j j jiz B z B z z B z B z B z z B zϕ ϕ ϕ− −= − + = − + =
1 1 1
1 3 3 3 3 3
1
( ) ( ) ( ) ( ); ( ) 4 ( ) ( );
2
N N N N N
jN jNz B z B z B z z B z B zϕ ϕ− + +
− = − + = − + (12)
( )2, 2i N= − ;
б) если производная по z от соответствующего компонента вектора решения рав-
няется нулю при
2
Lz = ± , то
0 1 0 1
0 3 1 3 3 3 3
1
( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( );
2
i
j j jiz B z z B z B z B z z B zϕ ϕ ϕ−= = − + =
1 1
1 3 3 3 3
1
( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( );
2
N N N N
jN jNz B z B z B z z B zϕ ϕ− +
− = − + = (13)
( )2, 2i N= − ;
в) если соответствующий компонент вектора решения равняется нулю при
2
Lz = − , а при
2
Lz = + производная по z от соответствующего компонента вектора
решения равняется нулю, то
1 0 1 0 1
0 3 3 1 3 3 3 3
1
( ) 4 ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( );
2
i
j j jiz B z B z z B z B z B z z B zϕ ϕ ϕ− −= − + = − + =
1 1
1 3 3 3 3
1
( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( )
2
N N N N
jN jNz B z B z B z z B zϕ ϕ− +
− = − + = ( )2, 2i N= − . (14)
Подставим решение (10) в систему (9) и потребуем, чтобы уравнения удовлетво-
рялись в заданных точках коллокаций ; ,
2 2k
L Lξ ∈ −
0,k N= . Рассмотрим случай,
когда количество узлов сетки четное, т. е. ( )2 1 3N n n= + ≥ (учитывается 0z ), в точ-
ках коллокаций они удовлетворяют условиям [ ]2 2 2 1, ,i i iz zξ +∈ [ ]2 1 2 2 1,i i iz zξ = +∈
( )1,i n= . Тогда на отрезке [ ]2 2 1,i iz z + имеем по два узла коллокаций, а на соседних
отрезках [ ]2 1 2 2,i iz z+ + узлов коллокаций нет. На каждом из отрезков [ ]2 1 2 2,i iz z+ + точки
коллокаций выбираются следующим образом:
( )2 2 1 2 1 2 2, , 1,i i z i i zz w h z w h i nξ ξ += + = + = , где 1w та 2w – корни полинома Лежандра
второго порядка на отрезке [ ]0,1 , которые равняются: 1
1 3
2 6
w = − , 2
1 3
2 6
w = + . Та-
26
кой выбор точек коллокаций является оптимальным и существенно увеличивает по-
рядок точности аппроксимации. Число точек коллокаций при этом – 1N N= + . В
результате получаем систему ( )8 1N + линейных дифференциальных уравнений от-
носительно функций ,i iv v% 1,4i = .
Если ввести обозначения
( ) [ ]0 1; , , , ;j ji k n n n nNv u u uϕ ξ
Τ Φ = = K
( ) ( ) ( ){ }2 2 2
0 1, , , , , , , , , ;
T
kl kl kl kl Na a x a x a xξ ξ ξ= Ω Ω ΩK
( ) ( ){ }, 0, ; 1,2; , , , 1,6; 1,4 ,k i N j k l k l k l n= = ∈ = = (15)
тогда приходим к системе уравнений следующего вида:
i
i
dv
v
dx
= % ( )1,4 ;i =
11
1
dv
dx
−= Φ
%
( )18 1 19 1 4 110 1 4 ;a a v a v′′ Φ + Φ + Φ %
( )12
2 21 1 1 22 1 1 23 2 24 2 2[
dv
a v a v a a v
dx
− ′′= Φ Φ + Φ + Φ + Φ +
%
%
25 2 2 26 1 3 27 1 4 28 1 4 ]a v a v a v a v′+ Φ + Φ + Φ + Φ% % ; (16)
13
1
dv
dx
−= Φ ×
%
( )31 1 1 32 1 1 33 2 2 34 1 35 1 3 36 1 3 37 1 4 38 1 4a v a v a v a a v a v a v a v′ ′ ′ ′′ ′ ′× Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ % % % .
( )14
1 41 1 42 1 1 43 2 1 44 2 2 45 2 2
dv
a a v a v a v a v
dx
− ′′= Φ Φ + Φ + Φ + Φ + Φ +
%
% %
( )46 1 3 47 1 3 48 1 49 1 4 410 1 4 ]a v a v a a v a v′ ′′+ Φ + Φ + Φ + Φ + Φ% % ,
где принято:
2
26 11 33
11 332
1
;
m c
a
x
ε
ε
∆ +
= − Ω ∆
%%
% 6
12 ;a
∆
= −
∆
13 33
13
1
1 ;
e e
a
x
= − +
∆
% %
7
14 2
;
m
a
x
∆
=
∆
8
15 ;
m
a
x
∆
=
∆
9
16 ;a
x
∆
=
∆
8
17 ;a
∆
=
∆
2
10
18 2
;
m
a
x
∆
= −
∆
10
19 ;a
∆
=
∆
13 33
110
1
;
e e
a
x
=
∆
% %
11 55
21 2
11
;
c c m
a
c x
+
=
% %
%
13 55
22
11
;
c c m
a
c x
+
=
% %
%
2
211 55
23 2
55
1
;
m c c
a
cx
+
= − Ω
% %
%
66
24
55
;
c
a
c
= −
%
%
27
25
1
;a
x
= − 12 66
26
11
;
c c m
a
c x
+
=
% %
%
15
27 2
55
;
e m
a
c x
=
%
%
13 15
28
55
;
e e m
a
c x
+
=
% %
%
12 55
31
55
1
;
c c
a
c x
+
= −
% %
%
13 55
32
11
;
c c
a
c
+
= −
% %
%
12 66
33
55
;
c c m
a
c x
+
= −
% %
%
2
266
34 2
55
1
;
m c
a
cx
= − Ω
%
%
11
35
55
;
c
a
c
= −
%
%
36
1
;a
x
= − 15
37
55
1
;
e
a
c x
= −
%
%
13 15
38
55
;
e e
a
c
+
= −
% %
%
2
211 33 1
41 332
1
;
c e m
a e
x
− ∆
= − Ω ∆
% %
% 1
42 ;a
∆
=
∆
33 33
43
1
;
e c
a
x
=
∆
% %
2
44 2
;
m
a
x
∆
= −
∆
3
45 ;
m
a
x
∆
=
∆
4
46 ;a
x
∆
=
∆
3
47 ;a
∆
=
∆
2
5
48 2
;
m
a
x
∆
=
∆
5
49 ;a
∆
= −
∆
13 33
410
1
1 .
e e
a
x
= −
∆
% %
Эту систему можно привести к виду
( ),
dR
A x R
dx
= Ω , (17)
где вектор { }1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , , ,R v v v v v v v v= % % % % , а ненулевые элементы матрицы A равны:
( )1 1
12 21 1 11 1 12 1 22 1 13 11; ; ;A A a a A a− −′′= = Φ Φ + Φ = Φ Φ
1 1 1
23 1 14 2 24 1 15 2 25 1 16 1; ; ;A a A a A a− − − ′= Φ Φ = Φ Φ = Φ Φ
( )1 1 1
26 1 17 1 27 1 18 1 19 1 28 1 110 1; ; ;A a A a a A a− − −′ ′′= Φ Φ = Φ Φ + Φ = Φ Φ
1 1
34 41 2 21 1 42 2 22 11; ; ;A A a A a− −= = Φ Φ = Φ Φ
( )1 1
43 2 23 2 24 2 44 2 23 2; ;A a a A a− −′′ ′= Φ Φ + Φ = Φ Φ
1 1 1
45 2 26 1 47 2 27 1 48 2 28 1 56; ; ; 1;A a A a A a A− − −′= Φ Φ = Φ Φ = Φ Φ =
1 1 1
61 1 31 1 62 1 32 1 63 1 33 2; ; ;A a A a A a− − −′ ′ ′= Φ Φ = Φ Φ = Φ Φ
( )1 1
65 1 34 1 35 1 66 1 36 1; ;A a a A a− −′′= Φ Φ + Φ = Φ Φ
1 1
67 1 37 1 68 1 38 1 78; ; 1;A a A a A− −′ ′= Φ Φ = Φ Φ =
( )1 1 1
81 1 41 2 42 2 82 1 43 1 83 1 44 2; ; ;A a a A a A a− − −′′= Φ Φ + Φ = Φ Φ = Φ Φ
1 1 1
84 2 45 2 85 1 46 1 86 1 47 1; ; ;A a A a A a− − −′ ′= Φ Φ = Φ Φ = Φ Φ
( )1 1
87 1 48 1 49 1 88 1 410 1; .A a a A a− −′′= Φ Φ + Φ = Φ Φ
Граничные условия будут иметь вид: 1 2( 1) 0, (1) 0B R B R− = = . Здесь ненулевые эле-
менты матриц 1B и 2B будут равны:
28
11 13 1
1
;b c
x
= Φ% 12 33 1;b c= Φ% 13 13 1;
m
b c
x
= Φ% 15 13 2;b c ′= Φ% 18 33 1;b e= Φ% 21 55 1;
m
b c
x
= − Φ%
23 55 1
1
;b c
x
= − Φ% 24 55 1;b c= Φ% 28 15 1
1
;b e
x
= Φ% 31 55 1;b c ′= Φ%
36 55 2;b c= Φ% 37 15 1;b e ′= Φ% 47 1b = Φ
для случая, когда торцы цилиндра покрыты тонкими короткозамкнутыми электрода-
ми; если же торцы цилиндра неэлектродированы, то последняя строка матрицы будет
иметь такой вид:
41 15 1;b e ′= Φ% 46 15 2;b e= Φ% 47 11b ε ′= − Φ% .
3. Анализ результатов.
Представим результаты численного анализа решений конкретных задач. В качест-
ве материала цилиндра принята пьезокерамика PZT 4. На рис. 1 показана зависимость
первых пяти частот собственных колебаний от относительной длины цилиндра /L h
( 5; 3R R+ −= = ). Здесь R+ – внешний радиус цилиндра, R− – внутренний. Сплошны-
ми линиями показано изменение значений первых пяти собственных частот ( Ω ) в
зависимости от изменения безразмерной длины цилиндра ( L
h
) с учетом пьезоэффек-
та, пунктирными – без учета пьезоэффекта ( 0ije = ). Из приведенных результатов
видно, что влияние пьезоэффекта приводит к «ужесточению» материала, т. е. к повы-
шению значения собственных частот. В этом случае при определении первой и вто-
рой собственных частот влиянием пьезоэффекта можно пренебречь для всех длин
цилиндрических оболочек, вплоть до относительной длины ( 5L ≥ ). Для более высо-
ких частот это влияние заметно для более длинных цилиндров.
Рис. 1 Рис.2
На рис. 2 представлены графики зависимостей первых пяти собственных частот
от внутреннего диаметра цилиндра ( R− ), при этом длина цилиндра ( 5L = ) и внешний
диаметр ( 5R− = ) остаются фиксированными. Анализ приведенных результатов пока-
зывает, что влияние пьезоэффекта является довольно существенным во всем рассмат-
риваемом диапазоне. Наименьшее его влияние заметно лишь для первой собственной
частоты. Для более высоких частот наблюдается существенная перестройка спектра
собственных частот колебаний.
29
На рис. 3 показана зависимость первых
шести частот собственных колебаний от
числа m полуволн в окружном направле-
нии. Хотя промежуточные значения собст-
венных частот между целыми значениями
числа полуволн не имеют физического
смысла, они соединены линией для большей
наглядности зависимости. Сплошной лини-
ей соединены значения частот собственных
колебаний для случая пьезокерамического
цилиндра, пунктирной – для случая упруго-
го цилиндра ( 0ije = ). Из представленных
данных можно заметить, что наименьшее
влияние пьезоэффект оказывает на первые
две частоты для малых значений m . С рос-
том числа полуволн в окружном направле-
нии наблюдается усиление влияния пьезо-
эффекта на спектр собственных частот.
4. Заключение.
В данной работе предложен эффективный численно-аналитический подход для
исследования свободных колебаний пьезокерамических цилиндров с различной поля-
ризацией в пространственной постановке. Трехмерная задача теории электроупруго-
сти для тел цилиндрической формы в частных производных сводится к двумерной
путем представления компонент вектора перемещений и электростатического потен-
циала в виде стоячих волн в окружном направлении. Применение метода сплайн-
коллокации по осевой координате дает возможность перейти от двумерной к краевой
задаче на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных урав-
нений высокого порядка, которая решается устойчивым численным методом дискрет-
ной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска. Были проведены
расчеты по предложенной методике в случае радиальной поляризации для конкретно-
го пьезоэлектического материала. Показано влияние пьезоэффекта на характер рас-
пределения динамических характеристик для различных геометрических параметров
цилиндра.
Р Е З ЮМ Е . Pозглянуто тривимірну задачу про власні неосесиметричні коливання порожнис-
тих п’єзокерамічних циліндрів з осьовою поляризацією. Запропоновано ефективний чисельно-
аналітичний метод для розв’язання крайових задач. Початкова тривимірна задача теорії електропру-
жності в частинних похідних зводиться до двовимірної шляхом представлення компонент вектора
переміщень у вигляді стоячих хвиль в коловому напрямі. Використовуючи метод сплайн-колокацій в
напрямку осьової координати, вказана двовимірна задача зведена до крайової задачі на власні зна-
чення в напрямку радіальної координати, яка розв’язується стійким методом дискретної ортогоналі-
зації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Наведені результати чисельного аналізу частот
власних коливань в широкому діапазоні зміни геометричних характеристик п’єзокерамічних циліндрів.
1. Григоренко О.Я. Єфімова Т.Л., Лоза І.А. Розв’язання осесимметричной задачі про вільні коливання
п’єзокерамічних порожнистих циліндрів скінченної довжини методом сплайн-колокацій // Мат.
методи та фіз.-мех. поля. – 2008. – 51, № 3. – С. 112 – 119.
2. Григоренко О.Я. Ефимова Т.Л., Лоза И.А. Применение сплайн-апроксимации и метода дискретной
ортогонализации для решения задач о свободных колебаниях полых пьезокерамических цилин-
дров // Теорет. и прикл. механика. – 2008. – 44. – С. 133 – 137.
3. Григоренко О.Я. Ефимова Т.Л., Лоза И.А. Об одном подходе к исследованию колебаний полых
пьезокерамических цилиндров конечной длины // Доп. НАН України. – 2009. – № 6. – С. 61 – 67.
Рис. 3
30
4. Лазуткин В.Н., Михайлов А.И. Колебания пьзокерамических цилиндров конечных размеров с по-
ляризацией по высоте // Акуст. журн. – 1976. – 22, № 3. – С. 393 – 399.
5. Шульга Н.А., Борисенко Л.В. Колебания пьезокерамического цилиндра с осевой поляризацией при
электрическом нагружении // Прикл. механика. – 1990. – 25, № 10. – С. 41 – 47.
6. Шульга Н.А., Борисенко Л.В. Электроупругие колебания радиально поляризованного пьезокерами-
ческого цилиндра с частично электродированными боковыми поверхностями боковыми поверх-
ностям // Прикл. механика. – 1990. – 26, № 1. – С. 43 – 47
7. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Free Axisymmetric Vibrations of Solid Cylinders: Numerical Problem
Solving // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 5. – P. 499 – 508.
8. Grigorenko A.Ya., Maltsev S.A. On Natural Vibrations on Thin Conical Shells of Variable Thickness //
Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 11. – P. 1152 – 1163.
9. Grigorenko A.Ya., Parkhomenko A.Yu. Free Vibrations of Shallow Non Thin Shells with Variable Thick-
ness and Rectangular Planform // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 7. – P. 776 – 789.
10. Grigorenko A.Ya., Parkhomenko A.Yu. Free Vibrations of Shallow Rectangular in Plane Non-Thin Orto-
tropic Shells of Variable Thickness // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 8. – P. 834 – 846.
11. Hussein M., Heyliger P.R. Discrete layer Analysis of Axisymmetric Vibrations of Laminated Piezoelec-
tric Cylinders // J. Sound and Vibr., Volume May. – 1996. – 192, N 5. – P. 995 – 1013.
12. Kharouf N., Heyliger P.R. Axisymmetric Free Vibrations of Homogeneous and Laminated Piezoelectric
Cylinders // J. Sound and Vibr. – 1994. – 174. – N 4. – P. 539 – 561.
Поступила 25.11.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95459 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:33:01Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Григоренко, А.Я. Лоза, И.А. 2016-02-26T19:03:45Z 2016-02-26T19:03:45Z 2010 О свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 20-30. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95459 A problem on natural non-axisymmetrical vibrations of hollow piezoceramic cylinders with radial polarization is considered. To solve this problem, the effective numerical-analytical method is proposed. The initial three-dimensional problem of the theory of 
 electroelasticity is reduced to the twodimensional one by use of representation of vector 
 displacement components in the form of standing waves in the circumferential direction. Using the method of spline-collocations in the direction of axial coordinate, the two- dimensional problem in hand is reduced to the boundary value problem in direction of radial coordinate. The last problem is solved by the stable method of discrete orthogonalization together with the step-by-step method. The results of numerical analysis of frequencies of natural vibrations in the wide range of changing the geometrical characteristics of piezoceramic cylinders are given. Pозглянуто тривимірну задачу про власні неосесиметричні коливання порожнистих п’єзокерамічних циліндрів з осьовою поляризацією. Запропоновано ефективний чисельно-аналітичний метод для розв’язання крайових задач. Початкова тривимірна задача теорії електропружності в частинних похідних зводиться до двовимірної шляхом представлення компонент вектора переміщень у вигляді стоячих хвиль в коловому напрямі. Використовуючи метод сплайн-колокацій в напрямку осьової координати, вказана двовимірна задача зведена до крайової задачі на власні значення в напрямку радіальної координати, яка розв’язується стійким методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Наведені результати чисельного аналізу частот власних коливань в широкому діапазоні зміни геометричних характеристик п’єзокерамічних циліндрів. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией On Natural Non-Axisymmetrical Vibrations of Hollow Piezoceramic Cylinders of Finite Length with Radial Polarization Article published earlier |
| spellingShingle | О свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией Григоренко, А.Я. Лоза, И.А. |
| title | О свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией |
| title_alt | On Natural Non-Axisymmetrical Vibrations of Hollow Piezoceramic Cylinders of Finite Length with Radial Polarization |
| title_full | О свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией |
| title_fullStr | О свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией |
| title_full_unstemmed | О свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией |
| title_short | О свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией |
| title_sort | о свободных неосесимметричных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95459 |
| work_keys_str_mv | AT grigorenkoaâ osvobodnyhneosesimmetričnyhkolebaniâhpolyhpʹezokeramičeskihcilindrovkonečnoidlinysradialʹnoipolârizaciei AT lozaia osvobodnyhneosesimmetričnyhkolebaniâhpolyhpʹezokeramičeskihcilindrovkonečnoidlinysradialʹnoipolârizaciei AT grigorenkoaâ onnaturalnonaxisymmetricalvibrationsofhollowpiezoceramiccylindersoffinitelengthwithradialpolarization AT lozaia onnaturalnonaxisymmetricalvibrationsofhollowpiezoceramiccylindersoffinitelengthwithradialpolarization |