Напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий.
With using the approaches of linearized solid mechanics, the axisymmetric problem on interaction of periodic system of coaxial disc-shaped cracks of radial shear in the infinite pre-stressed material is solved. Two non-classical mechanisms of fracture are considered: fracture of body with initial...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95467 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий. / В.Л. Богданов, А.Н. Гузь, В.М. Назаренко // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 3-16. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859731636450492416 |
|---|---|
| author | Богданов, В.Л. Гузь, А.Н. Назаренко, В.М. |
| author_facet | Богданов, В.Л. Гузь, А.Н. Назаренко, В.М. |
| citation_txt | Напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий. / В.Л. Богданов, А.Н. Гузь, В.М. Назаренко // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 3-16. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | With using the approaches of linearized solid mechanics, the axisymmetric
problem on interaction of periodic system of coaxial disc-shaped cracks of radial shear in
the infinite pre-stressed material is solved. Two non-classical mechanisms of fracture are
considered: fracture of body with initial stresses acting parallel to the crack plane and fracture
under compression along the cracks. For high-elastic materials with different types of
elastic potentials, the numerical values are obtained for fracture parameters and their dependence
on loading conditions, physical-mechanical characteristics of materials, and geometrical
parameters of the problem is studied.
З використанням підходів лінеаризованої механіки деформівного твердого тіла
досліджено осесиметричну задачу про взаємодію періодичної системи співвісних дископодібних тріщин радіального зсуву в нескінченному попередньо напруженому матеріалі. Розглянуто два некласичних механізми руйнування – руйнування тіла з початковими напруженнями, що діють паралельно до площин тріщин, та руйнування при стиску вздовж тріщин. Для високоеластичних матеріалів з різними типами пружних потенціалів отримано числові значення параметрів руйнування
і досліджено їх залежність від умов навантаження, фізико-механічних характеристик матеріалів та геометричних параметрів задачі.
|
| first_indexed | 2025-12-01T13:52:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 12
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 12 3
В .Л . Б о г д а н о в 1
, А .Н . Г у з ь 2
, В .М . Н а з а р е н к о 3
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕРИАЛА
С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ СООСНЫХ КРУГОВЫХ ТРЕЩИН
РАДИАЛЬНОГО СДВИГА ПРИ ДЕЙСТВИИ НАПРАВЛЕННЫХ
ВДОЛЬ НИХ УСИЛИЙ
1-3
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина;
е-mail:
1
bogdanov@nas.gov.ua,
2
guz@carier.kiev.ua;
3
desc@inmech.kiev.ua;
Abstract. With using the approaches of linearized solid mechanics, the axisymmetric
problem on interaction of periodic system of coaxial disc-shaped cracks of radial shear in
the infinite pre-stressed material is solved. Two non-classical mechanisms of fracture are
considered: fracture of body with initial stresses acting parallel to the crack plane and frac-
ture under compression along the cracks. For high-elastic materials with different types of
elastic potentials, the numerical values are obtained for fracture parameters and their de-
pendence on loading conditions, physical-mechanical characteristics of materials, and geo-
metrical parameters of the problem is studied.
Key words: fracture, initial stresses, stress intensity factor, circular crack, high-elastic
material.
Введение.
К актуальным и важным для практики проблемам механики разрушения, исследо-
вание которых невозможно осуществить в рамках классических подходов, относятся
проблемы механики разрушения материалов с начальными (или остаточными) напря-
жениями и разрушения тел в условиях сжатия вдоль трещин. Детальный анализ ре-
зультатов, полученных в последние годы при исследовании указанных проблем, вы-
полнен в работах [6 – 8, 10, 11, 13 – 20, 23]. В частности, в [11] с использованием под-
ходов, предложенных в [2 – 5, 12, 13] в рамках линеаризированной теории упругости,
рассмотрена пространственная осесимметричная задача о разрушении предваритель-
но напряженного неограниченного упругого тела с периодической системой парал-
лельных соосных круговых трещин нормального отрыва.
В данной статье, в развитие работы [11], исследована пространственная задача о
напряженно-деформированном состоянии упругого тела с начальными напряжения-
ми, содержащего периодическую систему соосных дискообразных трещин радиально-
го сдвига. Получены представления коэффициентов интенсивности напряжений в
окрестностях контуров трещин. Для некоторых типов высокоэластических материа-
лов численно исследовано влияние начальных напряжений и взаимодействия трещин
на значения коэффициентов интенсивности напряжений.
Кроме того, с использованием указанного в [11] объединенного подхода к иссле-
дованию задач о разрушении материала с начальными напряжениями, направленными
параллельно плоскостям трещин, и о сжатии тел вдоль расположенных в них трещин
в работе определены критические параметры нагружения, соответствующие анти-
4
симметричным (изгибным) формам ло-
кальной потери устойчивости материала
при сжатии вдоль периодической систе-
мы параллельных соосных трещин (в
[11] были получены критические пара-
метры сжатия, соответствующие сим-
метричной форме локальной потери ус-
тойчивости материала возле трещин).
Указанные критические параметры сжа-
тия вычислены как значения начальных
сжимающих напряжений, при которых
происходит резкое «резонансоподобное»
изменение значений коэффициентов ин-
тенсивности напряжений в окрестности
периодической системы соосных трещин
радиального сдвига.
§1. Постановка задачи.
Используем декартовые координаты начального состояния ( 1,2, 3)jy j = , кото-
рые связаны с координатами естественного (недеформированного) состояния jx со-
отношениями
j j jy xλ= ; 1,3j = , (1.1)
где jλ – коэффициенты удлинений (или укорочений) вдоль координатных осей, вы-
зываемых начальными растягивающими (или сжимающими) напряжениями
0
ijS (здесь
0
ijS – компоненты симметричного тензора напряжений, отнесенные к единице площа-
ди тела в недеформированном (естественном) состоянии).
Дискообразные трещины одинакового радиуса a расположены в параллельных
плоскостях 3 consty = : 3{ , 0 2 , 2 ; 0, 1, 2, ...}r a y hn nθ π< ≤ < = = ± ± , где ( 3, ,r yθ ) –
круговые цилиндрические координаты, получаемые из декартовых координат jy
(рис. 1).
Предполагается, что нормальные начальные напряжения направлены строго вдоль
плоскостей расположения трещин, а их компоненты связаны соотношениями
0 0 0
33 11 22 1 2 30; const 0; const;S S S λ λ λ λ= = = ≠ = = ≠ . (1.2)
В этом случае в теле реализуется однородное начальное напряженно-
деформированное состояние, при котором компоненты вектора перемещений, вызы-
ваемых начальными напряжениями, определяются такими соотношениями:
( ) ( )0 1 1 1j j j j j ju y xλ λ λ−= − = − ; 1,3j = . (1.3)
В последующем также используем такие обозначения: ijQ′ – компоненты несим-
метричного тензора напряжений, отнесенные к единице площади тела в начальном
состоянии; ju – компоненты соответствующего им вектора перемещений.
На берегах трещин действуют антисимметричные относительно плоскостей рас-
положения трещин радиальные сдвиговые нагрузки (рассматривается осесимметрич-
ная задача)
33 3 30; ( ) ( (2 ) ; )rQ Q r y hn r aτ ±′ ′= = − = < , (1.4)
Рис. 1
5
где 0, 1, 2, ...n = ± ± , а нижними индексами «+» и « – » обозначены соответствующие
берега трещин.
Предполагается, что возмущения напряженно-деформированного состояния тела,
вызванные дополнительными нагрузками
( )rτ , значительно меньше таковых для
начального состояния, обусловленного
начальными напряжениями
0
ijS , что по-
зволяет применять для исследования за-
дачи линеаризированные соотношения
[4, 5, 12].
Учитывая, что геометрическая и си-
ловая схемы задачи являются антисим-
метричными относительно плоскости
3 0y = , а также периодичность компо-
нент тензора напряжений и вектора пе-
ремещений (с периодом 2h ) по перемен-
ной 3y , сводим исходную задачу для тела
с периодической системой соосных тре-
щин к задаче для слоя 30 y h≤ ≤ со сле-
дующими условиями на его гранях:
0ru = 3( 0, )y r a= > ;
3 ( )rQ rτ′ = − 3( 0, )y r a= < ;
33 0Q′ = 3( 0, 0 )y r= ≤ < ∞ ; (1.5)
330, 0ru Q′= = 3( , 0 )y h r= ≤ < ∞ .
Отметим, что для постановки задачи о сжатии тела вдоль периодической системы
параллельных соосных трещин (рис. 2) в граничных условиях (1.5) второе соотноше-
ние следует заменить таким:
3 0rQ′ = 3( 0, )y r a= < . (1.6)
Решения задачи (1.5) на основе условий симметрии распространяются на слой
3y h≤ , а на основании условий периодичности строится решение для всего про-
странства.
В [4, 5] для случая однородного начального состояния (1.3) построены представ-
ления общих решений линеаризированных уравнений равновесия через гармониче-
ские потенциальные функции; при этом вид этих представлений зависит от соотно-
шения корней характеристического уравнения. Так, в случае неравных корней
( 1 2n n≠ ) характеристического уравнения указанные преставления в круговой цилин-
дрической системе координат имеют вид
( )1 2ru
r
ϕ ϕ
∂
= +
∂
; 1 1 2 2
3
1 21 2
m m
u
z zn n
ϕ ϕ∂ ∂
= +
∂ ∂
;
2 2
1 2
33 44 1 1 2 22 2
1 2
Q C d l d l
z z
ϕ ϕ ∂ ∂
′ = + ∂ ∂
;
2 2
1 1 2 2
3 44
1 21 2
r
d d
Q C
r z r zn n
ϕ ϕ ∂ ∂ ′ = +
∂ ∂ ∂ ∂
, (1.7)
Рис. 2
6
где 1i id m≡ + ;
1
2
3i iz n y
−
≡ ( 1,2)i = , а , 1,3,j jϕ = – гармонические функции, удовле-
творяющие уравнениям Лапласа
( )
2 2
2 2
1
, 0j i
i
r z
r rr z
ϕ
∂ ∂ ∂
+ + = ∂∂ ∂
, 1,3i = .
Величины ( )44 , , , 1, 2i i iC n m l i = определяются выбором модели материала и за-
висят от величин начальных напряжений [4, 5].
Для случая равных корней ( 1 2n n= ) характеристического уравнения имеем сле-
дующие представления:
1r
F
u z
r r
ϕ∂ ∂
= − −
∂ ∂
; 1 2 1 1
3 1
11 1 1
1m m m m F
u F z
zn n n
− + ∂
= − Φ −
∂
;
( )
2
33 44 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2
1 1 1
F F
Q C d l d l d l d l z
z z z
∂ ∂Φ ∂
′ = − − −
∂ ∂ ∂
; (1.8)
( )
2
1
3 44 1 2 1 1
1
1 1
1
r
d F
Q C d d F d z
r r zn n
∂ ∂ ′ = − − Φ − ∂ ∂ ∂
;
1z
ϕ∂
Φ ≡
∂
,
где , ,Fϕ Φ – гармонические функции.
Подставив представления общих решений (1.7), (1.8) в условия (1.5), получим
граничные условия для гармонических в слое ( 30 y h≤ ≤ ) потенциальных функций на
гранях указанного слоя.
§2. Получение разрешающих интегральных уравнений Фредгольма второго
рода.
Далее сведем задачу к системе парных интегральных уравнений и затем к разре-
шающему интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Выразим гармониче-
ские потенциальные функции, фигурирующие в (1.7), (1.8), в виде интегральных раз-
ложений Ханкеля по координате r :
для неравных корней ( 1 2n n≠ )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 1 1 01
10
,r z A ch h z A sh h z J r
sh h
λ
ϕ λ λ λ λ λ
λ λ
∞ ∂
= − + − ∫ ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 2 2 2 0
20
,r z B ch h z B sh h z J r
sh h
λ
ϕ λ λ λ λ λ
λ λ
∞ ∂
= − + − ∫ ; (2.1)
для равных корней ( 1 2n n= )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 01
10
,r z B sh h z B ch h z J r
sh h
λ
ϕ λ λ λ λ λ
λ λ
∞ ∂
= − − + − ∫ ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 1 1 0
10
,F r z A ch h z A sh h z J r
sh h
λ
λ λ λ λ λ
λ
∞ ∂
= − + − ∫ ; (2.2)
7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 1 1 0
10
,r z B ch h z B sh h z J r
sh h
λ
λ λ λ λ λ
λ
∞ ∂
Φ = − + − ∫ ,
где 1/2 ,i ih n h−= 1, 2i = .
Удовлетворяя тем граничным условиям, которые заданы на всей области
3 consty = (последние три соотношения в (1.5)), получаем такие соотношения между
неизвестными функциями, фигурирующими в (2.1), (2.2):
для неравных корней ( 1 2n n≠ )
1 1
1 1 2 2
2 2
( ) 0, ( ) 0, ( ) ( )
d l
A B B A
d l
λ λ λ λ= = = − ; (2.3)
для равных корней ( 1 2n n= )
( )2 0A λ = ; ( ) ( )2 2
1 1 1 1
1 1
1
d l
B cth A
d l
λ µ µ λ
= − −
; ( ) ( )2 1 1B Aλ µ λ= . (2.4)
Оставшиеся граничные условия приводят к системе парных интегральных урав-
нений
( ) ( ) ( ) ( )1
0
1 g A J r d rλ λ λ λ λ
∞
− = Τ ∫ ; r a< ; (2.5)
( ) ( )1
0
0A J r dλ λ λ
∞
=∫ ; r a> ,
где для неравных корней
2( ) ( )A Aλ λ≡ ; ( )
1 2
2 1
1 2
1 e e
g k k
k sh sh
µ µ
λ
µ µ
− −
= −
; , 1, 2i ih iµ λ≡ = ;
1
1
2
l
k
n
= ; 2
2
1
l
k
n
= ; 1 2k k k= − ; ( ) ( )1 2
44 1
n k
r r
C d k
τΤ = ; (2.6)
для равных корней
( ) ( )1A Aλ λ≡ ; ( )
1
1
2
1 1
1e
g
sh k sh
µ µ
λ
µ µ
−
= − + ;
( )2 1 2
1 1
d l l
k
d l
−
= ; ( ) ( )1
44 1
1n
r r
C d k
τΤ = − . (2.7)
Запись системы парных интегральных уравнений в единой форме позволяет в
дальнейшем проводить решение одновременно для случаев неравных и равных кор-
ней характеристического уравнения. Решение системы уравнений (2.5), следуя [9],
выбираем в виде, который позволяет тождественно удовлетворить второму уравне-
нию в (2.5), а именно:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
2 1 12
3
2
0 0
sin sin
2
a a
d
A t t J t dt a a t t t t d
dt
πλ
λ ω λ λ ω λ λ ω λ− −
= = − −
∫ ∫ , (2.8)
где ( )tω – неизвестная функция, непрерывная вместе со своей первой производной
на интервале [ ]0,a .
Подставив представление (2.8) в первое уравнение (2.5), получим соотношение
8
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2 22 2
3 2
2 2 2
0 0 0 0
2
r a r
dt
t t t t J t dt r g J r d d
r t
π
ω ω λ λ λ λ λ ρ ρ ρ
∞
= + Τ
−
∫ ∫ ∫ ∫ . (2.9)
Сделав замену переменных sint r θ= , после ряда преобразований, аналогичных
тем, которые были сделаны в [11], из (2.9) получаем интегральное уравнение Фред-
гольма второго рода
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
1 2
, sin
a
x t K x t dt x q x d
π
ω ω θ θ
π π
′− =∫ ∫�� � � ; 0 x a≤ ≤ ; (2.10)
где
( ) ( )
d
x x x
dx
ω ω≡ � ; ( ) ( )q r r r≡ Τ� . (2.11)
Ядра в (2.10) имеют вид:
для неравных корней
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 1 1 1,K x t xt R x t R x t xa R x a R x a
− − = − − + − − − +
� � � � � ;
( ) 1 2
1
2 2 1 1
1
Re 1 Re 1
2 2
k kiz iz
R z
k h h h h
ψ ψ
≡ + − +
� ; (2.12)
для равных корней
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
2 2 2 2,K x t xt R x t R x t xa R x a R x a
− − = − − + − − − +
� � � � � ;
( ) ( )2 1
1 1 1 1
1
1 Re 1 Im 1
2 2 2
iz z iz
R z k
kh h h h
ψ ψ
≡ − + + +
� . (2.13)
В (2.12), (2.13) 1Re 1 , Im 1
2 2
iz iz
h h
ψ ψ
+ +
– соответственно, действительная часть
от пси-функции ( ) ln ( )
d
z z
dz
ψ = Γ , где ( )zΓ – гамма-функция, и мнимая часть от ее
производной ( )1 ( )
d
z z
dz
ψ ψ= .
Вводя безразмерные переменные и функции
1 1; ;a x a tξ η− −≡ ≡ ( ) ( )1 d
f a a
d
ξ ξω ξ
ξ
−≡ ; ( ) ( )q q aξ ξ≡ � , (2.14)
приводим интегральное уравнение Фредгольма второго рода (2.10) к безразмерному
виду
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0 0
1 2
, sinf f K d q d
π
ξ η ξ η η ξ ξ θ θ
π π
′− =∫ ∫ ; 0 1ξ≤ ≤ , (2.15)
где ядро имеет вид:
для неравных корней
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 1 1, 1 1K R R R Rξ η ξη ξ η ξ η ξ ξ ξ−= − − + − − − + ; (2.16)
9
где
( ) 1 2
1
2 2 1 1
1
Re 1 Re 1
2 2
k kiz iz
R z
k
ψ ψ
β β β β
≡ + − +
; 1
1 1a hβ −= , 1
2 2a hβ −= ;
для равных корней
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2 2 2 2, 1 1K R R R Rξ η ξη ξ η ξ η ξ ξ ξ−= − − + − − − + , (2.17)
где
( ) ( )2 1
1 1 1 1
1
1 Re 1 Im 1
2 2 2
iz z iz
R z k
k
ψ ψ
β β β β
≡ − + + +
; 1
1 1a hβ −= .
§3. Коэффициенты интенсивности напряжений.
Аналогично тому, как принято в классической механике разрушения материалов
без начальных напряжений [22], определяем коэффициенты интенсивности напряже-
ний как коэффициенты при сингулярностях в распределении соответствующих ком-
понент тензора напряжений в окрестностях контуров трещин:
( ) ( )
1/2
33lim 2 ,0I
r a
K r a Q rπ
→+
′= − , ( ) ( )
1/2
3lim 2 ,0II r
r a
K r a Q rπ
→+
′= − . (3.1)
Из решения уравнения (2.15) с учетом (2.14), (2.11), (2.1), (2.2), (1.7), (1.8) можно
определить распределение напряжений и перемещений в материале. Рассмотрим зна-
чения компонент тензора напряжения в плоскости расположения трещины 3 0y = в
области вне трещины r a> . Для случая неравных корней ( 1 2n n≠ ) из (1.7) с учетом
(2.1), (2.8), применяя интегрирование по частям, получаем
33 ( ,0) 0Q r′ = , ( )
( )1
2
3 44 1 1
2 2
2
,0 (1)r
a ak
Q r C d n O
k r r a
ω−
′ = +
−
, (3.2)
где символом (1)O обозначены слагаемые, которые не имеют особенностей при
r a→ + .
Тогда из (3.1) получаем такие выражения для коэффициентов интенсивности на-
пряжений в окрестностях контуров трещин:
0IK = ; ( )
1
2
44 1 1
2
II
k
K C d n a
k a
π
ω
−
= , (3.3)
где ( )aω определяются из решения интегрального уравнения Фредгольма второго
рода (2.10).
Аналогично, для случая равных корней ( 1 2n n= ) выражения для коэффициентов
интенсивности напряжений получаем в виде
0IK = ; ( )
1
2
44 1 1IIK C d n k a
a
π
ω
−
= − . (3.4)
Переходя в (3.3), (3.4) к безразмерным переменным и функциям, получаем фор-
мулы:
для неравных корней
( 1 2n n≠ ): 0IK = ; ( )
1 1
2
44 1 1
2 0
II
k
K C d n a f d
k
π η η
−
= ∫ ; (3.5)
для равных корней
10
( 1 2n n= ): 0IK = ; ( )
1 1
2
44 1 1
0
IIK C d n k a f dπ η η
−
= − ∫ , (3.6)
где ( )f η определяются из решения интегрального уравнения Фредгольма (2.15).
Как видим, коэффициент интенсивности напряжений IIK зависит как от величин
начальных напряжений (поскольку параметры 44 1 1, , ,C d l k , а также функция f за-
висят от коэффициентов начального удлинения (укорочения) вдоль координатных
осей , 1,3j jλ = ), так и от геометрических параметров задачи (радиуса трещин и рас-
стояния между ними).
Рассмотрим предельный случай расположения трещин, когда расстояние между
ними стремится к бесконечности. Из выражений для ядер интегральных уравнений
(2.16), (2.17) следует, что при 1haβ −≡ → ∞ ядра в пределе обращаются в нуль
( )lim , 0K
β
ξ η
→∞
= .
Тогда из уравнений (2.15), используя замену переменных sinη ξ θ= , получаем
граничное значение функции f
( ) ( ) ( )
2
0
2
lim sinf f q d
π
β
ξ ξ ξ ξ θ θ
π
∞
→∞
′≡ = ∫ . (3.7)
Поскольку ( )
( )2
2 2
0 0
sin
qd
q d d
d
π
ξ η η
ξ ξ θ θ η
ξ ξ η
′ =
−
∫ ∫ , из (3.7) имеем
( )
( )
2 2
0
2 qd
f d
d
ξ η η
ξ η
π ξ ξ η
∞ =
−
∫ , (3.8)
откуда следует, что
( )
( )1 1
2
0 0
2
1
q
f d d
η η
η η η
π η
∞ =
−
∫ ∫ . (3.9)
Подставляя выражение (3.9) в (3.5), (3.6), получаем следующие значения коэффи-
циентов интенсивности напряжений для предельного случая расположения трещин
при β → ∞ ( h → ∞ ) для неравных и равных корней характеристического уравнения:
0IK ∞ = ;
( )21 2
2 2 2
0 0
( ) 2
2
1
a
II
t ta q
K d dt
a a a t
τη η
η
π πη
∞ = =
− −
∫ ∫ . (3.10)
Из (3.10) видим, что в указанном предельном случае расположения трещин коэф-
фициенты интенсивности напряжений не зависят от начальных напряжений, а их зна-
чения полностью совпадают (с точностью до обозначений) со значениями коэффици-
ентов интенсивности напряжений, полученными в задаче об изолированной трещине
радиального сдвига в бесконечном материале с начальными напряжениями [4, 5] и в
задаче о трещине радиального сдвига в бесконечном теле в рамках классической ме-
ханики разрушения материалов без начальных напряжений [22].
В частности, когда на берегах трещин задано равномерное сдвиговое нагружение
вида
11
( ) 0 constrτ τ= = , (3.11)
из (3.10) получаем равенства
0IK ∞ = ,
2
IIK a
τ
π∞ = . (3.12)
§4. Результаты численного исследования.
Для численного исследования интегрального уравнения Фредгольма второго рода
(2.15) и определения значений коэффициентов интенсивности напряжений (3.5), (3.6)
использован метод Бубнова – Галеркина с выбором в качестве системы координатных
функций системы степенных функций. Численное интегрирование осуществлялось по
квадратурным формулам Гаусса. Ниже приведены численные значения для высоко-
эластических сжимаемых и несжимаемых материалов с разными типами упругих по-
тенциалов, когда к берегам трещин приложена равномерная сдвиговая нагрузка вида
(3.11).
4.1. Потенциал Трелоара [24] (случай неравных корней, несжимаемое тело). Для
указанного потенциала параметры, входящие в (1.7), имеют значения:
2
3 1λ λ−= ; 6
1 1n λ−= ; 2 1n = ; 6
1 1m λ−= ; 2 1m = ;
6
1
1 6
1
2
1
l
λ
λ
=
+
; ( )6
2 1
1
1
2
l λ= + ;
6
1 11d λ−= + ; 2 2d = ;
6
1
1 6
1
2
1
k
λ
λ
=
+
; ( )3 6
2 1 1
1
1
2
k λ λ= + ;
4
44 10 12C C λ−= ; ( )0 2 2 2
11 10 1 1 32S c λ λ λ−= − . (4.1)
На рис. 3 показана зависимость отношения коэффициентов интенсивности на-
пряжений II II
K K
∞
( IIK ∞ – коэффициент интенсивности напряжений для изолирован-
ной трещины радиального сдвига в бесконечном материале, определяемый из (3.12))
от значений параметра начального укорочения (удлинения) 1λ , обусловленного дей-
ствием начальных напряжений сжатия-растяжения 0
11S ( 1 1λ < – начальное сжатие;
1 1λ > – начальное растяжение; 1 1λ = – начальные напряжения отсутствуют), для
различных значений безразмерного полурасстояния между трещинами 1haβ −= . Как
видим, начальные напряжения оказывают существенное влияние на коэффициенты
интенсивности напряжений.
На рис. 4 для этого же материала проиллюстрирована зависимость II II
K K
∞
от
безразмерного полурасстояния между трещинами β для разных значений параметра
Рис. 3
Рис. 4
12
1λ . Видим, что взаимовлияние трещин радиального сдвига приводит к увеличению
значения коэффициента интенсивности напряжений IIK по сравнению со случаем
изолированной трещины в неограниченном теле. При увеличении расстояния между
трещинами значения IIK уменьшаются и стремятся к значениям коэффициента ин-
тенсивности напряжений IIK ∞ . При этом, при значениях 3β > взаимным влиянием
трещин для практических расчетов можно пренебрегать, поскольку в этом случае от-
личие значений коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности трещин
для случая периодической системы трещин отличается от значений КИН для одной
трещины в бесконечном теле менее, чем на 3%.
Следует отметить, что приведенные на рис. 3 кривые зависимостей II II
K K
∞
от
параметра 1λ имеют вертикальные асимптоты, соответствующие резкому «резонан-
соподобному» изменению коэффициентов интенсивности напряжений при стремле-
нии начальных сжимающих усилий к значениям, при которых происходит локальная
потеря устойчивости материала в окрестности трещин (по антисимметричной (или
изгибной) форме) в условиях сжатия тела вдоль периодической системы параллель-
ных соосных трещин.
Это явление, в соответствии с подходом, изложенным в [11], позволяет опреде-
лять критические параметры сжатия в задаче о сжатии материала вдоль периодиче-
ской системы соосных параллельных трещин. Из результатов рис. 5 видим, что полу-
ченные таким образом критические значения параметров начального укорочения за-
висят от расстояния между трещинами, но для всех значений β эти значения 1λ вы-
ше, чем значения, полученные в [11] в задаче о трещинах нормального отрыва (они
приведены пунктирной линией).
Таким образом, в случае материала с потенциалом Трелоара локальная потеря ус-
тойчивости при сжатии тела вдоль периодической системы соосных трещин происхо-
дит по изгибной форме.
4.2. Потенциал Бартенева – Хазановича [1] (случай равных корней, несжимае-
мое тело). Параметры, входящие в (1.8), для этого материала определяются следую-
щим образом:
2
3 1λ λ−= ; 3
1 2 1n n λ−= = ; 3
1 1m λ−= ; 2 1m = ; 3
1 1l λ= ;
( )3
2 1
1
1
2
l λ= − ; 3
1 1 1d λ−= + ;
2 2d = ;
3
1
3
1
3 1
1
k
λ
λ
−
=
+
; ( )
1
1 3
44 1 12 1C µλ λ
−
−= + ; ( )0 1 3
11 1 12 1S µλ λ− −= − . (4.2)
На рис. 6 показан зависимость отношения коэффициентов интенсивности напря-
Рис. 5
Рис. 6
13
жений II II
K K
∞
от параметра начальных напряжений 1λ для разных значений относи-
тельного полурасстояния между трещинами β .
Из данных рис. 6 следует, что приведенные кривые имеют вертикальные асимпто-
ты, соответствующие значениям начальных сжимающих усилий, при которых проис-
ходит локальная потеря устойчивости материала в окрестности трещин (по изгибной
форме) при сжатии материала вдоль периодической системы трещин. В табл. 1 приве-
дены полученные таким образом значения критических параметров сжатия для раз-
ных значений относительного полурасстояния между трещинами β ; видно, что на
всем диапазоне изменения β критические значения параметра 1λ , соответствующие
изгибной форме потери устойчивости, превышают значение 1 0,6934λ = , при кото-
ром происходит потеря устойчивости материала по симметричной форме [11]. Таким
образом, в случае материала с потенциалом Бартенева – Хазановича локальная потеря
устойчивости при сжатии материала вдоль трещин происходит по изгибной форме.
Также видим, что при малых расстояниях между трещинами их взаимовлияние при-
водит к существенному уменьшению критических параметров сжатия.
Таблица 1
β 0,0625 0,125 0,25 0,5 1,0 2,0
4,0 10,0
1λ 0,9885 0,9618 0,9015 0,8150 0,7372 0,7000
0,6938 0,6935
4.3. Потенциал гармонического типа [21] (случай равных корней, сжимаемый
материал). Параметры, входящие в выражения (1.8), для указанного потенциала опре-
деляются следующим образом:
2
1 3
3 1 2 2
1
1 2 (1 ) ; ;n n
λ
λ ν ν
λ
−= − − = = 3 1 3
1 2
1 1 3
(3 1)
; ;
(1 )
m m
λ νλ ν λ
λ νλ ν λ
+ −
= =
+ −
1
1
3
;l
λ
λ
= 1
2
3
1 ( 2)
;
2
l
ν ν λ
νλ
+ + −
= 3
1
1
1 ;d
λ
λ
= + 1 3
2
1 3
2 ( )
;
(1 )
d
ν λ λ
νλ ν λ
+
=
+ −
1
1 3
(4 ) 1
;
(1 )
k
ν ν λ
νλ ν λ
− −
=
+ −
3
44
1 1 3
2
;
( )
C
µλ
λ λ λ
=
+
( )
0 1 3
11
1
2
2 1
E
S
λ λ
ν λ
−
=
+
. (4.3)
Результаты вычисления относительных коэффициентов интенсивности напряже-
ний II II
K K
∞
для этого материала приведены на рис. 7 – 9.
Из анализа результатов рис. 7, 8 сле-
дует, что начальные напряжения, осо-
бенно сжимающие, оказывают заметное
влияние на значения коэффициентов
интенсивности напряжений.
Влияние сжимаемости предвари-
тельно напряженного материала с потен-
циалом гармонического типа на коэффи-
циенты интенсивности напряжений ил-
люстрирует рис. 9, на котором приведена
зависимость соотношений II II
K K
∞
от
параметра 1λ (при 0,5β = ) для различ-
ных значений коэффициента Пуассона
ν .
Рис. 7
14
В табл. 2 приведены значения критических параметров укорочения 1 1λ < ,
соответствующих изгибной форме потери устойчивости материала с потенциалом
гармонического типа при сжатии вдоль периодической системы параллельных
соосных трещин для разных значений безразмерного полурасстояния между трещи-
нами β и коэффициента Пуассона ν .
Таблица 2
β
ν
0,0625 0,125 0,25 0,50 0,75 1,00 2,00 5,00 10,00
0,1 0,9841 0,9471 0,8623 0,7369 0,6620 0,6158 0,5435 0,5244 0,5238
0,2 0,9855 0,9519 0,8753 0,7601 0,6893 0,6438 0,5688 0,5462 0,5455
0,3 0,9867 0,9561 0,887 0,7818 0,7151 0,6709 0,5933 0,5663 0,5653
0,4 0,9877 0,9599 0,8980 0,8026 0,7403 0,6977 0,6178 0,5849 0,5834
0,5 0,9886 0,9635 0,9084 0,8231 0,7657 0,7251 0,6433 0,6025 0,6001
При достаточно больших значениях β получаем значения 1λ , совпадающие с
критическими значениями * 1
1 (1 )(2 )λ ν ν −= + + , полученными в задаче об изолирован-
ной трещине в бесконечном материале [4, 5].
Выводы.
Полученные в работе результаты позволяют сделать следующие выводы:
в рассмотренной задаче о периодической системе соосных параллельных трещин
радиального сдвига в материале с начальными напряжениями отличным от нуля явля-
ется только коэффициент интенсивности напряжений IIK ;
для всех рассмотренных материалов начальные напряжения оказывают сущест-
венное влияние на коэффициенты интенсивности напряжений. При этом обнаружива-
ется резкое «резонансоподобное» изменение значений коэффициентов интенсивности
напряжений при приближении начальных сжимающих усилий к значениям, соответ-
ствующим локальной потере устойчивости материала в окрестности трещин, что по-
Рис. 8
Рис. 9
15
зволяет определять критические параметры сжатия непосредственно из решения со-
ответствующей неоднородной задачи механики разрушения материалов с начальными
напряжениями;
взаимовлияние трещин радиального сдвига в теле с начальными напряжениями
приводит к увеличению (особенно существенному для малых значений расстояния
между трещинами) значений коэффициента интенсивности напряжений IIK по срав-
нению со значением IIK ∞ , получаемым для изолированной трещины в бесконечном
материале;
при увеличении расстояния между трещинами взаимовлияние трещин постепенно
ослабевает, а значения коэффициентов интенсивности напряжений в окрестностях
контуров трещин стремятся к соответствующим значениям, полученным в случае
изолированной трещины в бесконечном материале. При этом для практических расче-
тов указанным взаимным влиянием трещин можно пренебречь при значениях рас-
стояния между трещинами, превышающих 6 радиусов трещин;
для сжимаемого материала с упругим потенциалом гармонического типа коэффи-
циенты интенсивности напряжений существенно зависят от значений коэффициента
Пуассона;
при сжатии тела усилиями, направленными вдоль периодической системы парал-
лельных трещин, для всех рассмотренных в работе моделей материалов локальная
потеря устойчивости происходит по антисимметричной (изгибной) форме;
значения критических параметров сжатия, соответствующих локальной потери
устойчивости, зависят от геометрических параметров задачи (расстояния между тре-
щинами и радиуса трещин) и от механических характеристик материалов.
Р Е З ЮМ Е . З використанням підходів лінеаризованої механіки деформівного твердого тіла
досліджено осесиметричну задачу про взаємодію періодичної системи співвісних дископодібних
тріщин радіального зсуву в нескінченному попередньо напруженому матеріалі. Розглянуто два не-
класичних механізми руйнування – руйнування тіла з початковими напруженнями, що діють пара-
лельно до площин тріщин, та руйнування при стиску вздовж тріщин. Для високоеластичних
матеріалів з різними типами пружних потенціалів отримано числові значення параметрів руйнування
і досліджено їх залежність від умов навантаження, фізико-механічних характеристик матеріалів та
геометричних параметрів задачі.
1. Бартенев Г.Н., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластических деформаций сеточных полимеров //
Высокомолекулярные соединения. – 1960. – С. 21 – 28.
2. Гузь А.Н. К линеаризированной теории разрушения хрупких тел с начальными напряжениями //
Докл. АН СССР. – 1980. – 252, № 5. – С. 1085 – 1088.
3. Гузь А.Н. Об одном критерии разрушения твердых тел при сжатии вдоль трещин. Пространствен-
ная задача // Докл. АН СССР. – 1981. – 261, № 1. – С. 42 – 45.
4. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. – К.: Наук.
думка, 1983. – 296 с.
5. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями. – К.: Наук. думка, 1991. –
288 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4-х т., 5-ти кн. / Под общ. ред.
А.Н.Гузя. Т.2).
6. Гузь А.Н. Основы механики разрушения композитов при сжатии: В 2-х т.; Т.2. Родственные меха-
низмы разрушения. – К.: Литера, 2008. – 736 с.
7. Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Назаренко В.М. Разрушение и устойчивость материалов с трещинами. –
К.: Наук. думка, 1992. – 456 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4-х т., 5-ти
кн. / Под общ. ред. А.Н.Гузя. Т.4, Кн.1).
8. Гузь А.Н. Об описании и исследовании некоторых неклассических проблем механики разрушения
и соответствующих механизмов // Прикл. механика. – 2000. – 36, № 12. – С. 3 – 37.
9. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. – Л.: Наука, 1977. –
220 с.
16
10. Bogdanov V.L.,Guz A.N., Nazarenko V.M. Nonaxisymmetric compressive failure of a circular crack
parallel to a surface of halfspace // Theor. Appl. Fract. Mech. – 1995. – 22. – Р. 239 – 247.
11. Bogdanov V.L., Guz A.N., Nazarenko V.M. Axisymmetric Problem on Fracture of a Solid Containing the
Periodic System of Coaxial Cracks under Action of the Directed Along Them Forces // Int. Appl. Mech.
– 2009. – 45, N 2. – P. 111 – 124.
12. Guz A.N. Fundamentals of the three-dimensional theory of stability of deformable bodies. – Berlin:
Springer-Verlag, 1999. – 555 p.
13. Guz A.N. Construction of the Three-Dimensional Theory of Stability of Deformable Bodies // Int. Appl.
Mech. – 2001. – 37, N 1. – P. 1 – 37.
14. Guz A.N. On Non-Classical Problems of Fracture Mechanics Taking into Account the Stresses Along
Cracks // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 8. – P. 937 – 942.
15. Guz A.N. Pascal Medal Lecture (written presentation) // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 1. – P. 3 – 7.
16. Guz A.N. On Study of Nonclassical Problems of Fracture and Failure Mechanics and Related Mecha-
nisms // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 1. – P. 1 – 31.
17. Guz A.N. On Constructing the Theory of Stability of Fibrous and Laminated Composite Materials // Int.
Appl. Mech. – 2009. – 45, N 6. – P. 587 – 612.
18. Guz A.N., Dyshel’ M.Sh., Nazarenko V.M. Fracture and Stability of Materials and Structural Members
with Cracks: Approaches and Results // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 12. – P. 1323 – 1359.
19. Guz A.N., Nazarenko V.M., Bogdanov V.L. Fracture under initial stresses acting along cracks: Approach,
concept and results // Theor. And Appl. Fract. Mech. – 2007. – 48. – P. 285 – 303.
20. Guz I.A., Guz A.N. Stability of Two Different Half-Planes in Compression Along Interfacial Cracks:
Analytical Solution // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N 7. – P. 906 – 912.
21. John F. Plane strain problems for a perfectly elastic material of harmonic type // Commun. Pure and
Appl. Math. –1960. – 13, N 2. – P. 239 – 296.
22. Kassir M.K., Sih G.C. Mechanics of Fracture.-Vol.2. Three – dimensional crack problems. – Leyden:
Noordhoff Int. Publ., 1975. – 452 p.
23. Nazarenko V.M., Bogdanov V.L., Altenbach H. Influence of initial stress on fracture of a halfspace con-
taining a penny-shaped crack under radial shear // Int. J. Frac. – 2000. – 104. – P. 275 – 289.
24. Treloar L.R.C. Large elastic deformations in rubber-like materials // Madrid IUTAM Colloqium, 1955. –
P. 208 – 217.
Поступила 15.12.2009 Утверждена в печать 21.10.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95467 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T13:52:34Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Богданов, В.Л. Гузь, А.Н. Назаренко, В.М. 2016-02-26T19:12:15Z 2016-02-26T19:12:15Z 2010 Напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий. / В.Л. Богданов, А.Н. Гузь, В.М. Назаренко // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 3-16. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95467 With using the approaches of linearized solid mechanics, the axisymmetric problem on interaction of periodic system of coaxial disc-shaped cracks of radial shear in the infinite pre-stressed material is solved. Two non-classical mechanisms of fracture are considered: fracture of body with initial stresses acting parallel to the crack plane and fracture under compression along the cracks. For high-elastic materials with different types of elastic potentials, the numerical values are obtained for fracture parameters and their dependence on loading conditions, physical-mechanical characteristics of materials, and geometrical parameters of the problem is studied. З використанням підходів лінеаризованої механіки деформівного твердого тіла досліджено осесиметричну задачу про взаємодію періодичної системи співвісних дископодібних тріщин радіального зсуву в нескінченному попередньо напруженому матеріалі. Розглянуто два некласичних механізми руйнування – руйнування тіла з початковими напруженнями, що діють паралельно до площин тріщин, та руйнування при стиску вздовж тріщин. Для високоеластичних матеріалів з різними типами пружних потенціалів отримано числові значення параметрів руйнування і досліджено їх залежність від умов навантаження, фізико-механічних характеристик матеріалів та геометричних параметрів задачі. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий. Stress-Strain State of Material with Periodic System of Co-Axial Circular Cracks of Radial Shear under Action of Forces Directed along Them Article published earlier |
| spellingShingle | Напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий. Богданов, В.Л. Гузь, А.Н. Назаренко, В.М. |
| title | Напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий. |
| title_alt | Stress-Strain State of Material with Periodic System of Co-Axial Circular Cracks of Radial Shear under Action of Forces Directed along Them |
| title_full | Напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий. |
| title_fullStr | Напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий. |
| title_full_unstemmed | Напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий. |
| title_short | Напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий. |
| title_sort | напряженно-деформированное состояние материала с периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направленных вдоль них усилий. |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95467 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanovvl naprâžennodeformirovannoesostoâniematerialasperiodičeskoisistemoisoosnyhkrugovyhtreŝinradialʹnogosdvigaprideistviinapravlennyhvdolʹnihusilii AT guzʹan naprâžennodeformirovannoesostoâniematerialasperiodičeskoisistemoisoosnyhkrugovyhtreŝinradialʹnogosdvigaprideistviinapravlennyhvdolʹnihusilii AT nazarenkovm naprâžennodeformirovannoesostoâniematerialasperiodičeskoisistemoisoosnyhkrugovyhtreŝinradialʹnogosdvigaprideistviinapravlennyhvdolʹnihusilii AT bogdanovvl stressstrainstateofmaterialwithperiodicsystemofcoaxialcircularcracksofradialshearunderactionofforcesdirectedalongthem AT guzʹan stressstrainstateofmaterialwithperiodicsystemofcoaxialcircularcracksofradialshearunderactionofforcesdirectedalongthem AT nazarenkovm stressstrainstateofmaterialwithperiodicsystemofcoaxialcircularcracksofradialshearunderactionofforcesdirectedalongthem |