Собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца
The modes and frequencies of natural vibrations of elastic ring are determined numerically within the framework of the boundary problem for corresponding differential operator of the 6th order. The ring is fixed at one point and models a large ring antenna, which slowly increases in sizes in cond...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95473 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца / А.Е. Закржевский, В.Ф. Ткаченко, В.С. Хорошилов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 100-109. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95473 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Закржевский, А.Е. Ткаченко, В.Ф. Хорошилов, В.С. 2016-02-26T19:17:47Z 2016-02-26T19:17:47Z 2010 Собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца / А.Е. Закржевский, В.Ф. Ткаченко, В.С. Хорошилов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 100-109. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95473 The modes and frequencies of natural vibrations of elastic ring are determined numerically within the framework of the boundary problem for corresponding differential operator of the 6th order. The ring is fixed at one point and models a large ring antenna, which slowly increases in sizes in conditions of weightlessness. The bending vibrations in the ring plane are considered. The numerical results are given. В рамках крайової задачі для відповідного диференційного оператора 6-го порядку чисельно визначено частоти та форми власних коливань пружного кільця, що закріплене в одній точці. Кільце моделює велику кільцеву антену, що повільно збільшує свій розмір у стані невагомості. Розглянуто згинні коливання в площині кільця. Наведено результати розрахунків. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца Natural Modes and Frequencies of Plane Vibrations of Fixed Elastic Ring Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца |
| spellingShingle |
Собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца Закржевский, А.Е. Ткаченко, В.Ф. Хорошилов, В.С. |
| title_short |
Собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца |
| title_full |
Собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца |
| title_fullStr |
Собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца |
| title_full_unstemmed |
Собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца |
| title_sort |
собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца |
| author |
Закржевский, А.Е. Ткаченко, В.Ф. Хорошилов, В.С. |
| author_facet |
Закржевский, А.Е. Ткаченко, В.Ф. Хорошилов, В.С. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Natural Modes and Frequencies of Plane Vibrations of Fixed Elastic Ring |
| description |
The modes and frequencies of natural vibrations of elastic ring are determined
numerically within the framework of the boundary problem for corresponding differential
operator of the 6th order. The ring is fixed at one point and models a large ring antenna,
which slowly increases in sizes in conditions of weightlessness. The bending vibrations
in the ring plane are considered. The numerical results are given.
В рамках крайової задачі для відповідного диференційного оператора 6-го порядку чисельно визначено частоти та форми власних коливань пружного кільця, що закріплене в одній точці. Кільце моделює велику кільцеву антену, що повільно збільшує свій розмір у стані невагомості.
Розглянуто згинні коливання в площині кільця. Наведено результати розрахунків.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95473 |
| citation_txt |
Собственные формы и частоты плоских колебаний закрепленного упругого кольца / А.Е. Закржевский, В.Ф. Ткаченко, В.С. Хорошилов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 100-109. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zakrževskiiae sobstvennyeformyičastotyploskihkolebaniizakreplennogouprugogokolʹca AT tkačenkovf sobstvennyeformyičastotyploskihkolebaniizakreplennogouprugogokolʹca AT horošilovvs sobstvennyeformyičastotyploskihkolebaniizakreplennogouprugogokolʹca AT zakrževskiiae naturalmodesandfrequenciesofplanevibrationsoffixedelasticring AT tkačenkovf naturalmodesandfrequenciesofplanevibrationsoffixedelasticring AT horošilovvs naturalmodesandfrequenciesofplanevibrationsoffixedelasticring |
| first_indexed |
2025-11-25T22:42:40Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:42:40Z |
| _version_ |
1850569670184140800 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 12
100 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 12
А . Е . З а к р ж е в с к и й 1
, В .Ф . Т к а ч е н к о 2
, В .С .Х о р ош и л о в 3
СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ И ЧАСТОТЫ ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЙ
ЗАКРЕПЛЕННОГО УПРУГОГО КОЛЬЦА
1,2
Ин-т механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина;
3
Государственное конструкторское бюро “Южное”,
ул. Криворожская, 3, 490008, Днепропетровск, Украина;
e-mail: 1 alex.zakr@mail.ru; 2 vftkach08@mail.ru; 3 skh@ukr.net
Abstract. The modes and frequencies of natural vibrations of elastic ring are deter-
mined numerically within the framework of the boundary problem for corresponding differ-
ential operator of the 6
th
order. The ring is fixed at one point and models a large ring an-
tenna, which slowly increases in sizes in conditions of weightlessness. The bending vibra-
tions in the ring plane are considered. The numerical results are given.
Key words: eigen frequency; eigen mode; flexible ring; vibrations; differential
operator.
Введение.
Задача определения частот и форм собственных колебаний кругового кольца воз-
никла в связи с исследованием динамики космического аппарата (КА), имеющего в
своем составе несомое тело переменной геометрии, определяемой медленным развер-
тыванием по заданной программе компактно смотанной упругой ленты в кольцевой
элемент типа антенны. Предполагая заранее, что длительность процесса развертыва-
ния значительно превышает период колебаний кольца по первой форме, можно не
учитывать возмущения собственных форм кольца, вызываемые переменностью его
радиуса во времени.
Конструкции, подобные круговой антенне, могут быть схематизированы как тон-
кие криволинейные стержни. При малом удлинении ответ о границах применимости
схемы криволинейного стержня может быть получен только из решения соответст-
вующей задачи теории упругости. При этом в рамках самой схемы необходимо выяс-
нить, какое влияние на колебания оказывают те или иные возмущающие факторы.
Свободные и вынужденные колебания криволинейных стержней в линейной поста-
новке рассматриваются в предположении о малости смещений и углов поворотов. В
этом случае для тонких криволинейных стержней достаточно хорошо выполняется
гипотеза плоских сечений и уравнения колебаний описываются системой дифферен-
циальных уравнений относительно векторов перемещений и угловых скоростей пово-
ротов [1, 3, 7]. Решения получены лишь в случае, когда уравнения колебаний сводятся
к системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Таких
случаев известно три [3]: прямой стержень, круговое кольцо, винтовая линия, причем
первые два являются частными случаями третьего. Для постоянства коэффициентов
уравнений движения необходимо, в частности, постоянство поперечного сечения
стержня. В случае замкнутого кругового кольца векторная система распадается на две
101
скалярные подсистемы, описывающие колебания в плоскости и колебания по нормали
к плоскости кольца. Для замкнутого кольца известны приближенные решения
Р.Хоппе для собственных частот изгибных колебаний в плоскости кольца [7] и такие
же решения Дж. Мичелла для колебаний по нормали к его плоскости [7]. В случае
крутильных колебаний имеются еще два осесимметричных приближенных решения
Р.Хоппе [7] для колебаний в плоскости кольца и К.Бессета [7] для колебаний по нор-
мали к его плоскости.
Аналитическое решение задачи о незамкнутом кольце оказывается настолько
сложным, что большинство авторов, занимавшихся этой задачей, для определения
собственных частот и форм колебаний предпочитали приближенные аналитические и
численные методы [5].
Хотя задача исследования собственных форм и частот кругового кольца рассмат-
ривалась примерно сто лет назад, возможности современной вычислительной техники
позволяют подойти к ней на качественно другом уровне. На данный момент в литера-
туре имеются некоторые числовые данные о нескольких первых собственных часто-
тах и формах колебаний замкнутых круговых колец как в плоскости кольца, так и в
плоскости, перпендикулярной плоскости кольца, при некоторых граничных условиях.
Эти данные были получены, в основном, на основе использования упрощенных мето-
дов, вследствие чего точность их невысока [2, 3, 10]. Случай упругого кольца с одной
закрепленной точкой авторам не удалось найти среди известных работ.
В данной работе приведены результаты определения форм и частот колебаний
кругового кольца, закрепленного в одной точке, полученные при решении соответст-
вующей краевой задачи для дифференциального оператора 6-го порядка прямыми
численными методами, реализация которых не вызывает проблем при использовании
современных компьютеров. Подобные исследования проведены в работах [11 – 14].
1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Рассмотрим задачу определения форм и частот парциальных изгибных колебаний
в плоскости кольца, жестко защемленного в одной точке. Не нарушая общности, по-
лагаем, что кольцо закреплено в точках 0ϕ = и 2ϕ π= , которые совпадают, где ϕ –
угловая координата кольца.
В случае изгибных колебаний в плоскости кольца перемещение центра тяжести
поперечного сечения кольца, определяемого угловой координатой ϕ , можно разло-
жить на радиальную u и окружную v компоненты. Поскольку в разных источниках
используются различные обозначения, приведем здесь кратко вывод уравнений сво-
бодных колебаний кольца в плоскости, используя вариационный подход.
Относительное удлинение осевой линии кольца, вызванное этими перемещения-
ми, равно
u u
e
r r ϕ
∂
= − +
∂
, (1)
где r – радиус кольца.
В случае чисто изгибных колебаний кольца –
0e = и
v
u
ϕ
∂
=
∂
. (2)
Угол поворота поперечного сечения кольца в процессе движения определяется за-
висимостью
v u
r
ϑ
ϕ
∂
= +
∂
, (3)
а изменение кривизны равно производной от ϑ по дуге –
102
2
2 2
1
,
u
u
s r
ϑ
κ
ϕ
∂ ∂
= = + ∂ ∂
(4)
Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении кольца [9, 10]
2
2 2
,
EJ u
M E J u
r
κ
ϑ
∂
= − = − + ∂
(5)
где EJ – изгибная жесткость кольца.
Кинетическая энергия кругового кольца равна
( )
2
2 2
0
1
2
T u v r d
π
µ ϕ= +∫ � � , (6)
где µ – погонная масса ленты, из которой формируется кольцо.
Потенциальная энергия может быть записана в виде
22 2 2
2
2 2
0 0
1
2 2
E J u
Ï M r d u r d
r
π π
ϕ ϕ
ϑ
∂
= = + ∂
∫ ∫ , (7)
а кинетический потенциал –
( )
22 2
2 2
4 2
0
1
2
E J u
L T Ï u v u r d
r
π
µ ϕ
ϕ
∂ = − = + − + ∂
∫ � � . (8)
Действие по Гамильтону [6] принимает вид
( )
1 1
0 0
22 2
2 2
4 2
0
1
2
t t
t t
E J u
S L dt u v u r d dt
r
π
µ ϕ
ϕ
∂ = = + − + ∂
∫ ∫ ∫ � � . (9)
Учитывая, что
v
u
ϕ
∂
= −
∂
и разделив (9) на µ , получим
1
0
2 222 2 3
4 3
0
1
2
t
t
v v E J v v
S r d dt
t t r
π
ϕ
ϕ ϕµ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ = + − + ∂ ∂ ∂ ∂∂
∫ ∫ .
Из условия стационарности действия по Гамильтону 0Sδ = получаем дифферен-
циальное уравнение в частных производных
2
2
2
2 ( ) 0VI IV II IIv v v a v v
t
∂
+ + + − =
∂
, (10)
где
4
2 r
a
EJ
µ
= , римские цифры в положении верхнего индекса обозначают порядок
частной производной по угловой координате ϕ , и шесть краевых условий при
0, 2ϕ ϕ π= = :
2( 2 ) 0I III Va v v v v vδ+ + + =�� ; (11)
( ) 0IV II Iv v vδ+ = ; (12)
( ) 0III I IIv v vδ+ = , (13)
где точки над функцией обозначают дифференцирование по времени.
В рассматриваемом случае жесткого закрепления кольца в одной точке эти выра-
жения сводятся к шести однородным условиям для , ,I IIv v v , что приводит к равенст-
103
ву нулю вариаций , ,I IIv v vδ δ δ и к выполнению условия стационарности действия
по Гамильтону.
2. Метод решения.
Для решения уравнения (10) применим метод разделения переменных. Предста-
вим решение уравнения движения в виде ( ) ( )v v tϕ ψ= ⋅� . Подставляя это представле-
ние в уравнение изгибных колебаний и разделив на
4
( ) ( ) ,II r
v v t
EJ
µ
ψ−� � придем к тож-
деству
22VI IV II
II
v v v
v v
ψ
λ
ψ
+ +
≡ = −
−
��� � �
� �
,
где 2λ – собственные числа соответствующей краевой задачи. В результате для каж-
дого собственного значения 2
nλ , при котором краевая задача для линейного диффе-
ренциального уравнения с постоянными коэффициентами
6 4 2 2
2
6 4 2 2
2 0
d v d v d v d v
a v
d d d dϕ ϕ ϕ ϕ
+ + − − =
� � � �
� � , (14)
где
4 2
2 r
a
E J
µ λ
=� , и краевых условиях слева и справа от точки закрепления имеет не-
тривиальные решения, построим собственные функции ( )nv ϕ� , которые затем могут
быть использованы для построения полного решения с учетом того, что
sin( )n n n nB tψ λ α= + , где nλ – частоты собственных колебаний.
Краевые условия (11) – (13) после разделения переменных принимают вид
2( 2 ) 0I III Va v v v v vδ− + + + =� ; (15)
( ) 0IV II Iv v vδ+ = ; (16)
( ) 0III I IIv v vδ+ = . (17)
В общем случае, для обыкновенного дифференциального уравнения с постоян-
ными коэффициентами можно найти фундаментальную систему решений, разыскивая
решение уравнения в виде k xv e=� . Характеристическим многочленом дифференци-
ального оператора, стоящего в левой части (14), является бикубический многочлен
6 4 2 2 2 22k k k a k a+ + − +� � , (18)
который тождественно обращается в нуль на решениях уравнения (14) [8]. Все реше-
ния вида ik xv e=� , где ik – любой из шести корней характеристического многочлена
оператора [ ]L v� , будут частным решением уравнения (14), так как при подстановке
любого из этих корней в это уравнение оно тождественно обращается в нуль.
3. Численные результаты.
Программа Mathematica 5.0
©
позволяет получить строгие аналитические выраже-
ния для этих корней. Их можно представить в виде
1,2 1 1 3,4 3 3 5,6 5, ,x i x i x iα β α β β= ± = ± = ± . (19)
Вещественные и мнимые части корней (19) как функции величины a� представле-
ны на рис. 1 – 3.
104
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
На представленных графиках видно, что область значений a� разделена на три ин-
тервала, границы которых определяются значениями 0 0;a =� 1 0,33675;a ≈�
2 4,19959a ≈� . Последний интервал справа не ограничен. Точки 0 1 2, ,a a a� � � обладают
характерными свойствами: в точке 0a� характеристический многочлен (18) оператора
[ ]L v� имеет два кратных нулевых корня и два кратных попарно сопряженных мнимых
корня; в точке 1a� он имеет два кратных попарно сопряженных мнимых корня и еще
два сопряженных мнимых корня; в точке 2a� – две пары кратных вещественных кор-
ней разного знака, равных по абсолютной величине, и еще два сопряженных мнимых
корня.
Представим решение уравнения (14) в виде
105
( ) ik
iv C e ϕϕ =∑� . (20)
Такой вид решения возможен во всей области значений параметра a� кроме трех
упомянутых точек, хотя и как угодно близко к ним.
Поскольку рассматривается случай жесткого защемления кольца в точках 0ϕ = и
2ϕ π= , которые физически совпадают, из (11) – (13) следуют шесть краевых условий
( )0 0v =� ; ( )0 0v′ =� ; ( )0 0v′′ =� ;
( )2 0v π =� ; ( )2 0v π′ =� ; ( )2 0v π′′ = . (21)
С учетом (20) они дают систему однородных алгебраических уравнений
6
1
0j
j
c
=
=∑ ;
6
1
0j j
j
c k
=
=∑ ;
6
2
1
0i j
j
c k
=
=∑ ;
6
2
1
0jk
j
j
c e
π
=
=∑ ;
6
2
1
0jk
ji j
j
c e k
π
=
=∑ ;
6
2 2
1
0j
j
k
ji
j
c e k
π
=
=∑ . (22)
Значения параметра a� , при которых определитель системы (22) обращается в
ноль, когда решение представлено в виде (20), показаны на рис. 4. Здесь по оси абс-
цисс отложены значения a� , а по оси ординат – либо значение определителя в точке,
если оно не превышает 10, либо 10 со знаком определителя.
Рис. 4
Тот факт, что в точках 0 1 2, ,a a a� � � определитель системы уравнений (22) обраща-
ется в ноль на рис. 4, не свидетельствует о том, что система будет иметь в этих точках
нетривиальные решения. Ввиду наличия в них кратных корней характеристического
полинома дифференциального оператора, стоящего в левой части уравнения (14), ре-
шение (20) не удовлетворяет уравнению (14) в этих точках. Из-за кратности корней
здесь в матрице системы (22) появляются одинаковые столбцы и ее ранг уменьшается
на количество кратных корней. Отсюда – и нулевые значения ее определителя. Одна-
ко такое объяснение не позволяет сразу исключить возможность обращения указанно-
го определителя в ноль на решениях, удовлетворяющих (14) в этих точках. Поэтому
указанные точки должны быть рассмотрены отдельно.
106
В точке 0a� характеристическое уравнение имеет кратный нулевой корень и две
пары одинаковых сопряженных чисто мнимых корней. Фундаментальная система
решений уравнения (14) в этой точке имеет вид
1 2 3( ) 1; ( ) ; ( ) cos ;v v vϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =� � �
4 5 6( ) sin ; ( ) cos ; ( ) sin .v v vϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =� � �
В результате несложных вычислений находим, что при такой фундаментальной
системе искомый определитель отличен от нуля и равен 38π , т.е. можно утверждать,
что в этой точке отсутствует нетривиальное решение системы (22), а следовательно,
для закрепленного кольца, как и следовало ожидать, отсутствует и нулевое собствен-
ное число, в отличие от случая свободного кругового кольца, где, как показал
С.П.Тимошенко [9], есть нулевое собственное число, соответствующее перемещению
свободного кольца как твердого тела.
Точка 1a� , так же, как и точка 2a� , более сложна для изучения, так как их положе-
ние можно вычислить лишь приближенно, в отличие от положения точки 0a� . Фунда-
ментальную систему решений в точке 1a� можно выбрать в виде
1 1 2 1 3 1( ) cos( ); ( ) sin( ); ( ) cos( );v v vϕ β ϕ ϕ β ϕ ϕ ϕ β ϕ= = =� � �
4 1 5 5 6 5( ) sin( ); ( ) cos( ); ( ) sin( ) .v v vϕ ϕ β ϕ ϕ β ϕ ϕ β ϕ= = =� � � (23)
Она удовлетворяет уравнению (14) только в точке 1a� , положение которой точно не
известно, но не в ее окрестности. Для исследования поведения значения определителя
системы (22) в окрестностях точки 1a� целесообразно выбрать такую фундаменталь-
ную систему решений, которая удовлетворяет уравнению (14) как в самой точке, так и
в ее окрестностях.
Если выбрать
1 1 2 1( ) cos( ); ( ) sin( );v vϕ β ϕ ϕ β ϕ= =� � 3 3 1 3 1( ) (sin( ) sin( )) / ( );v ϕ β ϕ β ϕ β β= − −�
4 3 1 1 3( ) (cos( ) cos( )) / ( );v ϕ β ϕ β ϕ β β= − −�
5 5 6 5( ) cos( ); ( ) sin( ) ,v vϕ β ϕ ϕ β ϕ= =� � (24)
то используя правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0 / 0 , можно
убедиться, что при 3 1β β→ система решений (24) стремится к системе решений (23).
Поскольку такая система решений не удовлетворяет уравнению (14) на интервале
1 2( , )a a a∈� � � , здесь необходима уже другая фундаментальная система, которая соответ-
ствовала бы уравнению (14) как в самой точке 1a� , так и в ее правой окрестности. Не-
трудно убедиться, что этому условию удовлетворяет система
1 1
1 1 2 1( ) cos( ); ( ) sin( );v e v eα ϕ α ϕϕ β ϕ ϕ β ϕ= =� � 1 1
3 1 1( ) ( )cos( ) / (2 );v e eα ϕ α ϕϕ β ϕ α−= −�
1 1
4 1 1( ) ( )sin( ) / (2 );v e eα ϕ α ϕϕ β ϕ α−= −�
5 5 6 5( ) cos( ); ( ) sin( ) ,v vϕ β ϕ ϕ β ϕ= =� � (25)
которая при 1 0α → стремится к фундаментальной системе решений (23).
107
На рис. 5. показано поведение
значений определителя системы
(22) слева и справа от точки 1a� .
Ввиду того, что в знаменателях
решений (24) и (25) содержатся
величины, стремящиеся к нулю по
мере приближения a� к точке 1a�
как слева, так и справа, из этих
решений невозможно строго полу-
чить значение 1( )Det a� , а можно
только как угодно близко подойти
численно к этой точке.
Окончательно утверждать, что
1( ) 0Det a ≠� , можно, вычислив
( )Det a� на малом интервале вокруг
точки 1a� с использованием фунда-
ментальной системы решений (23),
не имеющей особенностей в точке
1a� . Значения ( )Det a� на интервале
[0,336747555; 0,336747556]a ∈� ,
который включает точку 1a� , за-
полняют на графике область на
перекрестке пунктирных линий,
соединяя левую и правую ветви кривой. Отсутствие нулевых значений среди вычис-
ленных величин позволяет утверждать, что точка 1a� не добавляет к рассматриваемой
краевой задаче дополнительных собственных значений.
Аналогично было исследовано поведение ( )Det a� в окрестности точки 2a� . Фун-
даментальная система решений в самой точке может быть записана в виде
1 1
1 2( ) ; ( ) ;v e v eα ϕ α ϕϕ ϕ ϕ− −= =� � 1 1
3 4( ) ; ( ) ;v e v eα ϕ α ϕϕ ϕ ϕ= =� �
5 5 6 5( ) cos( ); ( ) sin( ) ,v vϕ β ϕ ϕ β ϕ= =� � (26)
для интервала 1 2( , ]a a a∈� � � – в виде
1 1
1 1 2 1 1( ) cos( ); ( ) sin( ) / ;v e v eα ϕ α ϕϕ β ϕ ϕ β ϕ β− −= =� �
1 1
3 1 4 1( ) cos( ); ( ) sin( );v e v eα ϕ α ϕϕ β ϕ ϕ β ϕ= =� �
5 5 6 5( ) cos( ); ( ) sin( ) ,v vϕ β ϕ ϕ β ϕ= =� � (27)
а для интервала 2[ , )a a∈ ∞� � – в виде
31 1
1 2 3 1( ) ; ( ) ( ) / ( );v e v e e α ϕα ϕ α ϕϕ ϕ α α−− −= = − −� �
31 1
3 4 1 3( ) ; ( ) ( ) /( );v e v e e α ϕα ϕ α ϕϕ ϕ α α−= = − −� �
5 5 6 5( ) cos( ); ( ) sin( ) .v vϕ β ϕ ϕ β ϕ= =� � (28)
Результаты численного исследования представлены на рис.6. Они могут быть
прокомментированы по аналогии с результатами для точки 1a� .
Рис. 5
Рис. 6
108
Рис. 7
Рис. 8
К сожалению, авторам не уда-
лось доказать строго аналитически,
что точки 1 2,a a� � не добавляют новых
собственных чисел в систему (для
точки 0a� это сделать удалось), тем
не менее представляется, что чис-
ленные исследования достаточно
убедительно это показали. Вычисле-
ния проведены с помощью
FORTRAN программы и выполнены
с двойной точностью.
Собственные формы задачи для первых четырех собственных чисел при радиусе
кольца 15 м показаны на рис. 7, 8.
Вычисленные значения параметров 1 2,a a� � составляют: 1a� =0,336747555555558;
2a� =4,19959644444441. Эти значения не зависят от краевых условий.
№ Параметр a�
1 0,566421286973558
2 1,59520327216156
3 3,38458553846141
4 5,75492472167226
5 8,68973107421024
6 12,1327525627694
7 16,1061285023346
8 20,5736260151381
109
Значения параметра a� , соответствующие первым восьми собственным числам
рассмотренной краевой задачи, приведены в таблице, где № – порядковый номер, a� –
параметр.
Заключение.
Таким образом, в данной статье рассмотрена краевая задача для дифференциаль-
ного оператора 6-го порядка, соответствующего колебаниям упругого кругового
кольца постоянного сечения, закрепленного в одной точке, в его плоскости. Решение
проведено прямыми численными методами с вычислением определителя шестого по-
рядка на каждом шаге. Разработанная методика и написанная программа вычислений
может быть использована для произвольных краевых условий.
Р Е З ЮМ Е . В рамках крайової задачі для відповідного диференційного оператора 6-го поряд-
ку чисельно визначено частоти та форми власних коливань пружного кільця, що закріплене в одній
точці. Кільце моделює велику кільцеву антену, що повільно збільшує свій розмір у стані невагомості.
Розглянуто згинні коливання в площині кільця. Наведено результати розрахунків.
1. Алешин А.Я. О собственных частотах колебаний пространственных криволинейных стержней про-
извольного сечения // Тр. ВНИИФТРИ. – 1971. – 8 (38). – С.55 – 66.
2. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. – М.: Высш. шк., 1980. - 408 с.
3. Вибрации в технике: Справочник: В 6-ти т. / Ред. В.Н.Челомей (пред). Т.3. – Колебания машин,
конструкций и их элементов / Под ред. Ф.М.Диментберга и К.С.Колесникова. – М.: Машино-
строение, 1980. – 544 с
4. Грудев И.Д. О больших прогибах пространственных тонких стержней // Тр. ВНИИФТРИ. – 1971. –
8 (38). – С. 17 – 37.
5. Ден - Гартог Дж.П. Механические колебания. – М.: Физматгиз, 1960. – 580 с.
6. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
7. Ляв А.Э.Х. Математическая теория упругости. – М.; Л.: ОНТИ, 1935. – 674 с.
8. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1953. –
468 с.
9. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. – М.: Наука, 1967. – 444 с.
10. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т. I. – М.: Гос. изд-во физ.-матем. лит-ры, 1960. –
379 с.
11. Abramovich H., Zarutskii V. A. Stability and vibrations of nonclosed circular cylindrical shells reinforced with
discrete longitudinal ribs // Int. App. Mech. – 2008. – 44, N 1. – P.16 – 22.
12. Avramov K. V. Using nonlinear normal modes to analyze forced vibrations // Int. App. Mech. – 2008. – 44,
N 12. – P.1405 – 1412.
13. Gavrilenko G. D., Matsner V. I., Kutenkova O. A. Free Vibrations of Ribbed Cylindrical Shells with Local
Axisymmetric Deflections // Int. App. Mec. – 2008.– 44, N 9. – P.1006 – 1014.
14. Grigorenko A. Ya., Mal’tsev S. A. Natural Vibrations of Thin Conical Panels of Variable Thickness // Int Appl.
Mech. – 2009. – 45, N 11. – P. 1221 – 1231.
Поступила 29.01.2010 Утверждена в печать 21.10.2010
|