Об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной
The equations of plane vertical motion are obtained for a hybrid model of
 mechanical system consisting of the horizontally placed string and the suspended at some its
 point two-link pendulum. The conditions of asymptotical stability are established for stationary
 motions o...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95474 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной / Д.М. Лила // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 110-122. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860002213778161664 |
|---|---|
| author | Лила, Д.М. |
| author_facet | Лила, Д.М. |
| citation_txt | Об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной / Д.М. Лила // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 110-122. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | The equations of plane vertical motion are obtained for a hybrid model of
mechanical system consisting of the horizontally placed string and the suspended at some its
point two-link pendulum. The conditions of asymptotical stability are established for stationary
motions of two-link pendulum interacting with the elastic string.
Одержано рівняння плоского вертикального руху гібридної моделі механічної системи, яка складається з горизонтально розміщеної струни і підвішеного в деякій її точці дволанкового математичного маятника. Встановлено умови асимптотичної стійкості стаціонарних рухів дволанкового маятника, що взаємодіє з пружною струною.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:37:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 12
110 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 12
Д . М . Л и л а
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ
ДВУХЗВЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО СО СТРУНОЙ
Черкасский национальный университет имени Богдана Хмельницкого,
б-р Шевченко, 81, 18031, Черкассы, Украина; e-mail: dim_l@ukr.net
Abstract. The equations of plane vertical motion are obtained for a hybrid model of
mechanical system consisting of the horizontally placed string and the suspended at some its
point two-link pendulum. The conditions of asymptotical stability are established for sta-
tionary motions of two-link pendulum interacting with the elastic string.
Key words: two-link pendulum; elastic string; hybrid model; conditions of stability of
stationary motion.
Введение.
Обоснование научного интереса к общим моделям колебательных систем с беско-
нечным числом степеней свободы, взаимодействующих посредством подвеса с сосре-
доточенной осциллирующей массой, и практической применимости результатов ре-
шений задач устойчивости соответствующих стационарных движений имеется в ра-
ботах [3, 4 и др.]. В работе [4] построена модель плоского вертикального движения
однозвенного математического маятника, взаимодействующего с упругой струной.
Здесь также дифференциальным уравнениям движения придан вид нормальной сис-
темы. Исходя из уравнений возмущенного движения в окрестности нижнего положе-
ния равновесия, в этой работе с привлечением метода матричнозначных вспомога-
тельных функций [12 – 19] и аcимптотических методов теории нелинейных колебаний
решена в линейной и нелинейной постановках задача устойчивости стационарных
режимов колебаний однозвенного маятника в такой модели.
Настоящая работа посвящена построению математической модели и решению с
использованием критерия устойчивости для линейных дифференциальных уравнений
с квазипериодическими коэффициентами [8, 9] задачи асимптотической устойчивости
положений равновесия двухзвенного математического маятника, взаимодействующе-
го со струной.
§1. Постановка задачи.
Изучим некоторые особенности плоских
движений механической системы, моделируе-
мой горизонтально расположенной в поле тяже-
сти материальной упругой изотропной струной и
совокупностью двух материальных точек, под-
вешенных последовательно в некоторой точке
струны на невесомых нерастяжимых стержнях
(рис. 1). В декартовой прямоугольной системе
координат Ozy положение точек струны опреде-
ляем по величине их смещения ( , )w t y от гори-
Рис. 1
111
зонтали = 0z (здесь
0
[ , )t t∈ ∞ , [0, ]y L∈ ), а положение колеблющейся сосредоточен-
ной массы
1 2
=m m m+ – координатами
1 0 1 1 1 0 1 1
= ( , ) cos ; = sin ;z w t y l y y lϕ ϕ+ +
2 0 1 1 2 2 2 0 1 1 2 2
= ( , ) cos cos ; = sin sin ,z w t y l l y y l lϕ ϕ ϕ ϕ+ + + +
где
0
y ,
j
l и
j
ϕ , = 1, 2j , – ордината точки подвеса маятника, длины стержней и углы
отклонения стержней от вертикали, соответственно.
Предполагается, что углы
1
ϕ и
2
ϕ достаточно малы (малые нелинейные колеба-
ния маятника), чтобы не учитывать смещения точек струны вдоль горизонтали.
Стержни рассматриваем как реономную связь
2 2 2 2 2 2
1 0 1 0 2 1 2 1 1 2
( ( , )) ( ) ( ) ( ) = .z w t y y y z z y y l l− + − + − + − +
Вычисляя производные 1z� ,
1
y� ,
2
z� ,
2
y� и вводя обозначение ( )yρ для линейной
плотности струны, получаем выражение кинетической энергии данной механической
системы в виде
2 2 2 2
1 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 1
1 1
= ( ( , ) 2 sin ( , ) ) ( ( , ) 2( sin
2 2
t t tT m w t y l w t y l m w t y lϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− + + − +� � �
2 2 2 2 2
2 2 2 0 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
0
1
sin ) ( , ) 2 cos( ) ) ( ) ( , ) .
2
L
t tl w t y l l l l y w t y dyϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ+ + − + + + ∫� � � � � (1.1)
Потенциальная энергия представляется выражением
1 0 1 1 2 0 1 1 2 2
= ( ( , ) cos ) ( ( , ) cos cos )m g w t y l m g w t y l lϕ ϕ ϕΠ − + − + + +
( )2
0
0,5 ( , ) ( ( , ) ( ) ( , )) ,
L
yw t y p t y y g w t y dyµ ρ+ − +∫ (1.2)
где
2
0,5 ( , )
y
w t y dyµ , ( , ) ( , )p t y w t y dy− и ( ) ( , )y gw t y dyρ− – мгновенная элементарная
потенциальная энергия упругой силы [2, 7], внешней нормальной силы, эквивалент-
ной дополнительному удельному весу ( , )p t y струны, и силы тяжести, соответственно.
Для получения уравнений движения исследуемой системы воспользуемся обоб-
щенным интегральным вариационным принципом Гамильтона – Остроградского [5]
1
0
( ) = 0;
t
t
T W dtδ δ δ− Π +∫
1 0 1 1 2 0 2 1 0 1
( ) = ( ) = 0; ( ) = ( ) = 0; ( , ) = ( , ) = 0,t t t t w t y w t yδϕ δϕ δϕ δϕ δ δ
где
1 2 1 1 1 2 2 2
1 2
= =W Q Q k kϕ ϕδ δϕ δϕ ϕ δϕ ϕ δϕ+ − −� � – виртуальная работа непотенциальной
силы трения в точках подвеса.
§2. Уравнения движения.
После варьирования выражений (1.1), (1.2) и использования при необходимости
интегрирования по частям совместно с граничными условиями
( ,0) = ( , ) = 0,w t w t L
а также определяющих свойств δ -функции получим путем приравнивания к нулю
коэффициентов при независимых вариациях
1
δϕ ,
2
δϕ и wδ следующие уравнения:
112
21 2 2
1 1 0 1 1 2 2 1 2 22
1 11
1
( ( , ))sin (cos( ) sin( ) );tt
k m l
g w t y
l mlml
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + − = − − + −�� � �� �
22 1
2 2 0 2 1 2 1 1 2 12
2 22 2
1
( ( , ))sin (cos( ) sin( ) );tt
k l
g w t y
l lm l
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + − = − − − −�� � �� �
0
[ ( ) ( )] ( , ) ( )
tt yy
y m y y w w p t y y gρ δ µ ρ+ − = + + + (2.1)
( )2 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0( (sin cos )) (sin cos ) ( ).m g l m l y yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ δ+ + + + + −�� � �� �
Обозначив
2
( ) = sin cos
j j j j j
t ϕ ϕ ϕ ϕΦ +�� � , = 1, 2j , и полагая 0p ≡ ; constρ ≡ , на ос-
новании уравнений (2.1) получим систему
21 2 2
1 1 0 1 1 2 2 1 2 22
1 11
1
( ( , )) sin (cos( ) sin( ) ) ;tt
k m l
g w t y
l mlml
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + − = − − + −�� � �� �
22 1
2 2 0 2 1 2 1 1 2 12
2 22 2
1
( ( , )) sin (cos( ) sin( ) ) ;tt
k l
g w t y
l lm l
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + − = − − − −�� � �� �
0
[ ( )]
tt yy
m y y w w gρ δ µ ρ+ − = + + ( )1 1 2 2 2 0
( ( )) ( ) ( ) ;m g l t m l t y yδ+ Φ + Φ − (2.2)
1 0 10
( )tϕ ϕ= ;
1 0 10
( )tϕ ϕ=� � ;
2 0 20
( )tϕ ϕ= ;
2 0 20
( )tϕ ϕ=� � ;
( , 0) ( , ) 0w t w t L= = ;
0 0
( , ) ( )w t y w y= ;
0 0
( , ) ( )
t
w t y w y= � .
Используя идею метода нормальных форм колебаний [6], заключающуюся в дан-
ном случае в возможности представления решения исходного неоднородного уравне-
ния в частных производных в виде
=1
( , ) = ( ) ( ),
n n
n
w t y q t u y
∞
∑ (2.3)
где коэффициенты
n
q выписанной линейной комбинации удовлетворяют уравнениям
Лагранжа второго рода [5, 6]
( ) ( )
= 0, = 1, 2, ,
n n
d T T
n
dt q q
∂ − Π ∂ − Π
−
∂ ∂
…
�
(2.4)
играя вместе с переменными
1
ϕ ,
2
ϕ роль независимых координат, на основании (2.4)
уравнения (2.2) получаем в виде
2 2 2
1 0 1 1 1 1 2 2 0 2 2 2 2
( )[sin cos ] ( )[sin cos ]
s s s s s s
q q ml u y m l u yν β ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ = + + + +�� � �� ���
( 1, 2,s = … );
21 2 2
1 1 0 1 1 2 2 1 2 22
11 11
1
( ) sin (cos( ) sin( ) ) ;n n
n
k m l
g u y q
l mlml
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
∞
=
+ + − = − − + −
∑�� � �� ��� (2.5)
22 1
2 2 0 2 1 2 1 1 2 12
12 22 2
1
( ) sin (cos( ) sin( ) ),n n
n
k l
g u y q
l lm l
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
∞
=
+ + − = − − − −
∑�� � �� ���
где
113
2 0
0 2 2
=1 2 1
(2 1)
4 sin
= ( ) 1 ;
(2 1)( )
s
s s
n n s
n y
Lmgu y
n
π
ν
β
π ω ν
∞
−
−
+
− −
∑
2
j
ω , j ∈� , – собственные числа спектральной задачи для ненагруженной струны, а
2
j
ν и ( )
j
u y , j ∈� , – собственные числа и собственные функции спектральной задачи
для нагруженной струны [3, 4], соответственно. При этом имеем
0 0 0 0 1 0 10 1 0 10 2 0 20 2 0 20
( ) = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = ,
s s s s
q t w q t w t t t tϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ� � � �� � (2.6)
если учесть разложения начальных условий
0 0 0 0
=1 =1
( ) = ( ); ( ) = ( ) .
n n n n
n n
w y w u y w y w u y
∞ ∞
∑ ∑� �
§3. Устойчивость стационарных движений.
Стационарными решениями бесконечной системы нелинейных дифференциаль-
ных уравнений (2.5) являются 2 2
1 1 2 2
( , , , 0, 0)Tβ ν β ν … ; 2 2
1 1 2 2
( , , , 0, )Tβ ν β ν π… ;
2 2
1 1 2 2
( , , , , 0)Tβ ν β ν π… и 2 2
1 1 2 2
( , , , , )Tβ ν β ν π π… . Соответствующие положения
равновесия будем называть первым нижним, вторым нижним, первым верхним и вто-
рым верхним.
Далее рассматриваем вместо (2.3) конечную линейную комбинацию системы «ко-
ординатных» функций 2
=1
{ ( )}
n n
q t , аппроксимирующих движение системы с бесконеч-
ным числом степеней свободы.
Исследуя влияние малых колебаний струны на колебания математического маят-
ника в окрестности первого нижнего положения равновесия, исключим из системы
(2.5) переменные
1
q ,
2
q (двухмодовое приближение), проинтегрировав соответст-
вующие линеаризованные уравнения [4]. Вследствие этого в переменных возмущен-
ного движения
1 1 2 2 3 1 4 2
= ; = ; = ; =χ ϕ χ ϕ χ ϕ χ ϕ� � в нормальной форме получим не-
линейную нестационарную систему четвертого порядка, линейное приближение ко-
торой имеет вид
1 3 2 4
= ; = ;χ χ χ χ� � 2 1 2
3 1 2 3 42
1 1 1 1 21 1
= ( ) ( ) ;
m k km
q t q t
m m m l lm l
χ χ χ χ χ− + − +� (3.1)
1 2
4 1 2 3 42
1 1 1 1 2 1 2 2
= ( ) ( ) ,
k mkm m
r t r t
m m m l l m m l
χ χ χ χ χ− + −�
где
11 12
25 1 15 1 26 2 16 2
1 1 2
( ) = ( sin cos ) ( sin cos ) ;
d dg
q t c t c t c t c t
l
ν ν ν ν
ν ν
+ − + −
21 22
25 1 15 1 26 2 16 2
2 1 2
( ) = ( sin cos ) ( sin cos ) ;
d dg
r t c t c t c t c t
l
ν ν ν ν
ν ν
+ − + −
2 2 2 2
1 10 2 20 1 10 2 20
11 12 21 22 10 1 0 20 2 0
1 1 2 2
= ; = ; = ; = = ( ) ; = ( ) ;
u u u u
d d d d u u y u u y
l l l l
ν ν ν ν
− − − −
1 1
15 01 1 0 1 01 1 0 25 1 01 1 0 01 1 02 2
1 1
= sin cos ; = sin cos ;c w t w t c w t w t
β β
ν ν ν ν ν ν
ν ν
− − − +
� �
114
2 2
16 02 2 0 2 02 2 0 26 2 02 2 0 02 2 02 2
2 2
= sin cos ; = sin cos .c w t w t c w t w t
β β
ν ν ν ν ν ν
ν ν
− − − +
� �
Естественной формой агрегирования [1] системы (3.1) является
1 11 1 12 2 2 22 2 21 1
= ; = ( ) ,x A x A x x A x A t x+ +� � (3.2)
где
1 1 2
= ( , )Tx χ χ ;
2 3 4
= ( , )Tx χ χ ;
2 2
11 12
1 0
= 0 ; = = ;
0 1
A A I
×
∈
�
1 2 2
2 2
1 1 21 1 1 1 (0) ( )
22 21 21 21
= 21 2
( 0)
2
1 11 1 2 1 2 2
( ) ( )
= ; ( ) = = ,
( ) ( )
i tj j
j
j
k k mm
q t q t
m l lm l m m
A A t A A e
k mk m m
r t r t
m mm l l m m l
ν
−
≠
− −
+
−−
∑
причем = ,
j j
ν ν− − = 1, 2j ;
11 2 112
1 11 1 1 1(0) (1) ( 1) (1)15 25
21 21 21 21
21 211
1 2 1 2 1 1
= ; = ; = ;
2
md m dm gmg
m mm l m l c ic
A A A A
md mdmg mg
m l m l m m
ν
−
−− + −
− −
12 2 12
1 1(2) ( 2) (2)16 26
21 21 21
22 222
1 1
= ; = .
2
md m d
m mc ic
A A A
md md
m m
ν
−
−
+ −
−
Вводя в рассмотрение малый параметр ε , систему уравнений (3.2) перепишем в
виде
= ( ( )) ,x A F t xε+� (3.3)
где
1 2
= ( , )T T Tx x x ;
1
1 22
2 1 1 1 2
00
; ; = ; = ;
00
I mg mg
A
m l m l
ω
ω ω
ω
= Ω = −Ω
0 0
( ) = ;
( )
F t
Q t P
− −
2
2
1 1
0 22 0
= 2 0 0
( 0)
1 2
0
1 1
( ) = ; = ; = ;
0
i t
j
j
j
j
m g
m l
Q t Q Q e P A Q
mgu k u k
m l
ν
−
≠
+ − −
∑
(1) (2)
1 21 1 1 2 21 2 2
0 0
1 1
= ; = ; = ; = ;Q A Q Q Q A Q Q
u k u k
− −− −
2 2 2 2
0 10 20 1 2
= ; = .u u u k k k+ +
Исследуем случай
1 2
,l l≠ когда матрица A имеет две пары комплексно сопря-
женных характеристических чисел
1
iω± ,
2
iω± . Тогда нормальная жорданова форма
матрицы A имеет вид
0
= ,
0
i
J
i
Ω
− Ω
а неособенная матрица S , производящая пре-
115
образование подобия 1=A S JS
− , представляется в виде = .
i I
S
i I
Ω
− Ω
Общее реше-
ние
1
= ,
Jt
x S e Sc
−
где
1 4
= ( , , )Tc C C… , системы дифференциальных уравнений =x Ax�
запишется так:
1
1 2 1 2 3
2
1 2 2 1 4
1
1 11 2 1 2 1 2 3
22 2
1 2 2 1 4
( )1 0 1 0
0 1 0 1 ( )1
= .
0 02 ( )
0 0
( )
i t
i t
i t
i t
C i C e
C i C e
x
i i C i C e
i i
C i C e
ω
ω
ω
ω
ω ω ω
ω ω ω
ω ωω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
−
−
− + − + − ⋅ − − − − − −
Отсюда заключаем [8], что
= .
I I
B
i i
Ω − Ω
(3.4)
Диагональная матрица, элементами которой являются мнимые части собственных
значений матрицы A , имеет вид
0
= .
0
Ω
Θ −Ω
(3.5)
С учетом соотношений (3.3) – (3.5) получаем
1
0
= = 0.A B AB i− − Θ (3.6)
Для определения матрицы
1
A [8] необходимо знать вид свободного члена квазипе-
риодической матрицы-функции
11 121
21 220 1 2
( ) ( )1
( ) = ,
( ) ( )2
i t i t
t t
e B F t Be
t tu kω ω
− Θ − Θ
Γ Γ
− Γ Γ
(3.7)
где
(1) (2)
11 11 11
( ) = ( ) ( );t t tΓ Γ + Γ
2 2
( )( ) ( ) 2 1
2 21,11 2 21,12
= 2( 0) = 2(1)
11 2 2
( )( ) ( )1 2
1 21,21 1 21,22
= 2 = 2( 0)
( ) = ;
i t i tj jj j
j j j
i t i tj jj j
j j j
i a e i a e
t
i a e i a e
ν ω ω ν
ω ω ν ν
ω ω
ω ω
− +
− ≠ −
− +
− − ≠
Γ −
∑ ∑
∑ ∑
( )21 2 2 1
1 2 22
1 1 1 1 2(2)
11
( )2 1 21 2
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2
( )
( ) = ;
( )
i t
i t
k k
e
m l m l l
t
k mk
e
m l l m m l
ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω ω
−
−
−
Γ −
−
(1) (2)
12 12 12
( ) = ( ) ( ) ;t t tΓ Γ + Γ
2 2
( 2 ) ( )( ) ( )1 1 2
2 21,11 2 21,12
= 2( 0) = 2(1)
12 2 2
( ) ( 2 )( ) ( )1 2 2
1 21,21 1 21,22
= 2 = 2( 0)
( ) = ;
i t i tj jj j
j j j
i t i tj jj j
j j j
i a e i a e
t
i a e i a e
ω ν ω ω ν
ω ω ν ω ν
ω ω
ω ω
− + − − +
− ≠ −
− − + − +
− − ≠
Γ −
∑ ∑
∑ ∑
116
2 ( )21 21 1 2
1 2 22
1 1 21 1(2)
12
( ) 22 1 21 2 2
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2
( )
( ) = ;
( )
i t i t
i t i t
k k
e e
m l lm l
t
k mk
e e
m l l m m l
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
− − +
− + −
−
Γ
−
(1) (2)
21 21 21
( ) = ( ) ( ) ;t t tΓ Γ + Γ
2 2
(2 ) ( )( ) ( )1 1 2
2 21,11 2 21,12
= 2( 0) = 2(1)
21 2 2
( ) (2 )( ) ( )1 2 2
1 21,21 1 21,22
= 2 = 2( 0)
( ) = ;
i t i tj jj j
j j j
i t i tj jj j
j j j
i a e i a e
t
i a e i a e
ω ν ω ω ν
ω ω ν ω ν
ω ω
ω ω
+ + +
− ≠ −
+ + +
− − ≠
Γ
∑ ∑
∑ ∑
2 ( )21 21 1 2
1 2 22
1 1 21 1(2)
21
( ) 22 1 21 2 2
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2
( )
( ) = ;
( )
i t i t
i t i t
k k
e e
m l lm l
t
k mk
e e
m l l m m l
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
+
+
−
Γ
−
(1) (2)
22 22 22
( ) = ( ) ( ) ;t t tΓ Γ + Γ
2 2
( )( ) ( ) 1 2
2 21,11 2 21,12
= 2( 0) = 2(1)
22 2 2
( )( ) ( )2 1
1 21,21 1 21,22
= 2 = 2( 0)
( ) = ;
i t i tj jj j
j j j
i t i tj jj j
j j j
i a e i a e
t
i a e i a e
ν ω ω ν
ω ω ν ν
ω ω
ω ω
− +
− ≠ −
− +
− − ≠
Γ
∑ ∑
∑ ∑
( )21 2 1 2
1 2 22
1 1 21 1(2)
22
( )2 1 22 1
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2
( )
( ) =
( )
i t
i t
k k
e
m l lm l
t
k mk
e
m l l m m l
ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω ω
−
−
−
Γ −
−
(для сокращения записи условимся полагать
0
= 0ν ). Предположив, что выполняется
одно из нижеуказанных соотношений между величинами собственных частот
1
ω ,
2
ω
и частот
1
ν ,
2
ν двухпериодической силы воздействия колеблющейся струны, полу-
чим, соответственно:
1)
1 1
2 2
2 1 1
1 1
2 2
0 0
0 0
= 0; { 2, 1, 1, 2}; = ,
0 0
0 0
j
j A
α β
β α
ω ω ν
α β
β α
− + ∈ − −
(3.8)
где
( ) ( )1 2
1 2 1 21,12 2 21,212 2
0 1 1 0 1 2 2 0 1 0 2
1 1 1 1
= ; = ; = ; = ;
2 2 2 2
j jk mk
ia ia
u k m l u k m m l u k u k
α α β β
ω ω
−− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
2)
1
2
1 1
1
2
0 0
0 0 0
2 = 0; {1, 2}; = ;
0 0
0 0 0
j
j A
α γ
α
ω ν
γ α
α
− + ∈
(3.9)
где
117
( )
21,11
0 1
1
= ;
2
j
ia
u k
γ
ω
⋅
3)
1
2
2 1
1
2
0 0 0
0 0
2 = 0, {1, 2}, = ,
0 0 0
0 0
j
j A
α
α δ
ω ν
α
δ α
− + ∈
(3.10)
где
( )
21,22
0 2
1
= ;
2
j
ia
u k
δ
ω
⋅
4)
1 1
2 2
1 2 1
1 1
2 2
0 0
0 0
= 0; {1, 2}; = ;
0 0
0 0
j
j A
α β
α β
ω ω ν
β α
β α
− − − + ∈
−
(3.11)
5)
2 1
0; = 2, 1, 1, 2;
j
jω ω ν− + ≠ − −
1 2 1 2
2 0; 2 0; 0 ; = 1, 2;
j j j
jω ν ω ν ω ω ν− + ≠ − + ≠ − − + ≠
1
2
1
1
2
0 0 0
0 0 0
= .
0 0 0
0 0 0
A
α
α
α
α
(3.12)
Ограничиваясь членами первого порядка малости в характеристическом полино-
ме
0 1
det( ),A A Eε λ+ + −… где E ― единичная матрица четвертого порядка, в случае
(3.8) приходим к характеристическому уравнению
4 3 2
1 2 3 4
= 0,a a a aλ λ λ λ+ + + + (3.13)
где
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
= 2 ( ) ; = [( ) 2( Re( ))] ;a aε α α ε α α α α β β− + + + + − +… …
3 4 2 2 2 2
3 1 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2
= 2 ( )(Re( ) ) ; = ( | | | | 2 Re( )) .a aε α α β β α α ε α α β β α α β β+ − + + − +… …
Положительность старших коэффициентов его определителей Гурвица
1 4
, ,∆ ∆…
является условием асимптотической устойчивости [8] исследуемого состояния.
В случае (3.9) отрицательность действительных частей корней уравнения (3.13)
легко проверяется непосредственно и сводится к единственному условию
1
| |< 0.α γ+ (3.14)
Аналогом неравенства (3.14) в случае (3.10) является условие
2
| |< 0.α δ+ (3.15)
Для случая (3.11) коэффициенты характеристического уравнения (3.13) имеют вид
118
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
= 2 ( ) ; = [( ) 2( Re( ))] ;a aε α α ε α α α α β β− + + + + + +… …
3 4 2 2 2 2
3 1 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2
= 2 ( )( ( ) ) ; = ( | | | | 2 Re( )) .a Re aε α α β β α α ε α α β β α α β β− + + + + + +… …
И, наконец, в случае (3.12) асимптотическая устойчивость первого нижнего положе-
ния двухзвенного маятника в изучаемой гибридной модели сводится к положительно-
сти коэффициентов трения
1
k ,
2
k , что и предполагается априори.
При
1 2
= =l l l матрица A в системе (3.3) имеет двукратный корень iω± , которо-
му в нормальной жордановой форме J отвечают простые блоки. Следовательно, все
предыдущие соображения по вычислению постоянных матриц
0
A и
1
A будут иметь
место и в этом случае, если учесть, что
1 2
= =ω ω ω . При условии, что частота ω не
комбинирует ни с одной из частот
j
ν , = 1, 2j ,
1 1
2 2
1
1 1
2 2
0 0
0 0
= ,
0 0
0 0
A
α ξ
ξ α
α ξ
ξ α
(3.16)
где
(0) (0)2 1
1 21,12 2 21,212 2
0 1 0 1
1 1
= ( ) ; = ( ) ;
2 2
k k
ia ia
u k m l u k m l
ξ ω ξ ω
ω ω
+ +
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
= 2 ( ) ; = [( ) 2( Re( ))] ;a aε α α ε α α α α ξ ξ− + + + + − +… …
3 4 2 2 2 2
3 1 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2
= 2 ( )(Re( ) ) ; = ( | | | | 2 Re( )) .a aε α α ξ ξ α α ε α α ξ ξ α α ξ ξ+ − + + − +… …
В случае параметрического резонанса имеем
1 1 1
2 2 2
1
1 1 1
2 2 2
2 = 0, {1, 2}; = ;j j A
α ξ γ β
ξ α β δ
ω ν
γ β α ξ
β δ ξ α
−
− + ∈
−
(3.17)
1 1 2
= 2 ( ) ;a ε α α− + +…
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2
= [( ) | | | | 2( Re( ) Re( ))] ;a ε α α γ δ α α β β ξ ξ+ − − + + − +…
3 2 2
3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
= 2 [( )(Re( ) Re( ) ) | | | |a ε α α ξ ξ β β α α α δ α γ+ − − + + +
1 2 1 2 2 1 2 1
Re( ) Re( ) Re( ) Re( )] ;ξ β δ ξ β γ ξ β γ ξ β δ+ + − − +…
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1= [ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |a ε α α β β γ δ ξ ξ α δ α γ ξ β ξ β+ + + − − − − −
119
1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
2 (Re( ) Re( )) 2 (Re( ) Re( ))α α ξ ξ β β α β ξ δ ξ β δ− − + − +
2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 (Re( ) Re( )) 2Re( ) 2 Re( )] .α β ξ γ ξ β γ ξ ξ γδ β β γδ+ − − + +…
Область асимптотической устойчивости
системы (3.3) в случае параметрического резо-
нанса (первого нижнего положения равновесия
для случая (3.17) при = 1j в пространстве па-
раметров
1 2
( ; )m m ) изображена на рис. 2. При
этом = 1ρ ; = 1L ;
0
= 0, 5y ; = 200µ ;
01
= 0, 03w ;
02
= 0, 003w − ;
01 02
= = 0w w� � (сис-
тема возбуждается малыми смещениями точек
струны от положения равновесия без сообще-
ния им начальной скорости);
0
= 0t ;
1 2
= = 0, 025k k ;
1 2
= = 1111µ µ .
Изучая влияние высокочастотных колеба-
ний струны на колебания математического
маятника в окрестности второго нижнего положения равновесия, переходим к «быст-
рому» времени = ,tτ ν где
2 2
1 2
=ν ν ν+ . Это дает возможность исключить из системы
(2.5) переменные
1
q ,
2
q после интегрирования соответствующих линеаризованных
уравнений. Вследствие этого в переменных возмущенного движения
1 1 2 2
= , = ,χ ϕ χ ϕ π−
3 1 4 2
= , =χ ϕ χ ϕ� � получим нелинейную нестационарную систему
дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами четвертого
порядка. Ее линейное приближение представимо в виде
0 1
= ( ( ( ) )) ,
dx
A F F x
d
ε τ ε
τ
+ + (3.18)
где
1 2 3 4
= ( , , , )Tx χ χ χ χ ; = kε ν – малый параметр;
0 1
0
0 00 0 0
= ; ( ) = ; = ;
00 0 ( )
I
A F F
RQ C
τ
τ
−− −
1 2 2
2
1 1 21 1 1 1 1 1
0 2
1 2
2
1 2 1 21 1 2 1 2 2
1 1
= ; = ;
k k mm g g
m l lm l m l m l
C R
k mk m g m gk k
m l m lm l l m m l
−
−
( ) ( )2
1 12
1 1
= 2 ( ) ( )
( 0) 2 2
1 1
1
( ) = ; = ; = , = 1, 2;
j j
i
j
j j j j
j j j
j
mm
p p
m m
Q Q e Q Q Q j
m mk
p p
m m
ν τ
τ
ν
′
−
−
≠
−
−
∑
(1) (2) (1) (2)11 12 21 22
1 15 25 1 16 26 2 15 25 2 16 26
1 2 1 2
= ( ), = ( ), = ( ), = ( ) ;
2 2 2 2
d d d d
p c ic p c ic p c ic p c ic
ν ν ν ν
+ + + +
′ ′ ′ ′
Рис. 2
120
1 0 1 0 1 0 1 01 1
15 01 1 01 25 1 01 012 2
1 1
= sin cos , = sin cos ;c w w c w w
ν τ ν τ ν τ ν τβ β
ν ν
ν ν ν νν ν
′ ′ ′ ′
′ ′− − − +
� �
2 0 2 0 2 0 2 02 2
16 02 2 02 26 2 02 022 2
2 2
= sin cos , = sin cos ;c w w c w w
ν τ ν τ ν τ ν τβ β
ν ν
ν ν ν νν ν
′ ′ ′ ′
′ ′− − − +
� �
= ;
j
j
ν
ν
ν
′ , =
j j
ν ν−
′ ′− ( = 1, 2j ).
Нормальная жорданова форма матрицы A имеет вид
0
= ,
0
H
J
H
где
0 1
=
0 0
H
. Неособенная матрица S представляется в виде
0 1 0 0
0 0 0 1
= .
1 0 0 0
0 0 1 0
S
Об-
щее решение системы дифференциальных уравнений =
dx
Ax
dτ
принимает вид
1 3 3
2 4 4
3
4
1 0 1 0
0 1 0 1
= ,
0 0 1 0
0 0 0 1
C C C
C C C
x
C
C
τ
τ
− +
− + ⋅
откуда заключаем, что
= .
0
I I
B
I
(3.19)
Соответственно, имеем
1
0
= = .A B AB A− (3.20)
Поскольку
2
1 (1) (1)
0 0
= 2
( 0)
( ) = ;
i
s
s
s
s
B F B A e A
ν τ
τ
′−
−
≠
+∑
(1)
=
s s
s
s s
Q Q
A
Q Q
− −
, (3.21)
то
(1)
1 0
0
= = ,
0
C
A A
C
−
(3.22)
а матрицы (1)
s
B , = 2, 1,1, 2s − − , удовлетворяющие линейным уравнениям
(1) (1)
0
= ,
0 0 0
s s s
s s
s s s
i I I Q QI
B B
i I Q Q
ν
ν
′ −
+ ′ − −
имеют вид
2
(1)
1 2 2
1
1
= .
1
s s
s s s
s
s
s s
s
i Q i Q
B
iQ i Q
ν ν ν
ν
ν
− + − ′ ′ ′
′ − + ′
(3.23)
121
Учитывая соотношения (3.18), (3.19), (3.21), (3.23), матрицу
2
(1) (1) 1
2 1
= 2
( 0)
= s s
s
s
A A B B F B
−
−
−
≠
+∑
получаем в виде
2
0 0
2 2
=1 0 0
1
= 2 ,
jj jj
j jj jjj
Q Q R R
A
Q Q R Rν
− −
− + ′ − −
∑ (3.24)
где
2 22 2 2
11 11 21 11 11 212 2
1 1 1 115 25
11 2 2
2 221 1
11 21 21 11 21 21
1 1 1 1
= ;
4
m m mm
d d d d d d
m m m mc cm
Q
mm m m mk
d d d d d d
m m m m
ν
− − +
+ ⋅
− − +
2 22 2 2
12 12 22 12 12 222 2
1 1 1 116 26
22 2 2
2 221 2
12 22 22 12 22 22
1 1 1 1
= .
4
m m mm
d d d d d d
m m m mc cm
Q
mm m m mk
d d d d d d
m m m m
ν
− − +
+ ⋅
− − +
Ограничиваясь членами второго порядка малости в характеристическом полиноме
2
0 1 2
det( ),A A A Eε ε λ+ + + −…
к условию асимптотической устойчивости рассматриваемого стационарного решения
приходим через положительность первых неисчезающих коэффициентов в разложе-
ниях по малому параметру соответствующих детерминантов Гурвица.
Область асимптотической устойчивости систе-
мы (3.18) (второго нижнего положения равновесия)
изображена на рис. 3. При этом = 22500µ ;
0
= 0τ ;
1
= 3, 5l ;
2
= 0, 2l ;
1 2
= = 0, 001k k ;
1 2
= = 1000µ µ ,
а значения других параметров соответствуют рис. 2.
Возвращаясь к системе уравнений (2.5), убе-
ждаемся, что в переменных возмущенного дви-
жения
1 1 2 2
= ; = ;χ ϕ π χ ϕ−
3 1 4 2
= , = ,χ ϕ χ ϕ� � со-
ответствующих первому верхнему положению
равновесия маятника в исследуемой модели, со-
ответствующая система уравнений возмущенного
движения получается из системы уравнений
(3.18) для второго нижнего положения формаль-
ной заменой параметров
1
l ,
2
l на
1
l− и
2
l− . Это
относится и к условиям асимптотической устой-
чивости соответствующего невозмущенного ре-
шения.
Заменив в (3.18)
1
l на
1
l− , таким же образом
получим в переменных
1 1 2 2
= ; = ;χ ϕ π χ ϕ π− −
3 1 4 2
= ; =χ ϕ χ ϕ� � систему уравнений возмущенно-
го движения для второго верхнего положения
равновесия. Соответствующая область асимпто-
тической устойчивости изображена на рис. 4. При
этом
1 2
= = 0, 4l l ,
1
= 2000µ ,
2
= 2857µ . Значения
других параметров соответствуют рис. 3.
Рис. 3
Рис. 4
122
§4. Заключение.
В данной статье получены уравнения плоского вертикального движения гибрид-
ной модели механической системы, состоящей из горизонтальной упругой струны и
подвешенного на ней двухзвенного математического маятника. Найдены условия
асимптотической устойчивости стационарных движений (положений равновесия)
двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной.
РЕЗЮМЕ . Одержано рівняння плоского вертикального руху гібридної моделі механічної сис-
теми, яка складається з горизонтально розміщеної струни і підвішеного в деякій її точці дволанково-
го математичного маятника. Встановлено умови асимптотичної стійкості стаціонарних рухів дволан-
кового маятника, що взаємодіє з пружною струною.
1. Груйич Л. Т., Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при
структурных и сингулярных возмущениях. – К.: Наук. думка, 1984. – 308 с.
2. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. I. – М.: Гостехиздат, 1951. – 476 с.
3. Лила Д.М. Достатні умови стійкості великомасштабних нестаціонарних механічних систем: авто-
реф. дис. … канд. наук: спец. 01.02.01 «Теоретична механіка». – К., 2009. – 19 с.
4. Лила Д.М. Достаточные условия устойчивости крупномасштабных нестационарных механических
систем: дис. ... кандидата наук: 01.02.01. – К., 2009. – 150 с.
5. Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990. – 416 с.
6. Парс Л.А. Аналитическая динамика. – М.: Наука, 1971. – 636 с.
7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004.
– 798 с.
8. Штокало И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных
уравнений с квази-периодическими коэффициентами // Матем. сб. – 1946. – 19(61), № 2. –
С. 263 – 286.
9. Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. – К.:
Изд-во АН УССР, 1960. – 78 с.
10. Burov A.A. Planar Motion of an Orbital Pendulum with Periodically Oscillating Point of Suspension //
Cosmic Research. – 2007. – 45, N. 2. – P. 167 – 169.
11. Leung A. Y. T., Kuang J. L. On the Chaotic Dynamics of a Spherical Pendulum with a Harmonically
Vibrating Suspension // Nonlin. Dynamics. – 2006. – 43, N 3. – P. 213 – 238.
12. Lila D.M. Stability of Motion of Quasiperiodic Systems in Critical Cases // Int. Appl. Mech. – 2010. –
46, N 2. – P. 229 – 240.
13. Lila D.M. Stability of Some Solutions of Phase-Matched Generation Equations for Optically Coupled
Lasers // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 3. – P. 317 – 318.
14. Lila D.M., Martynyuk A.A. Construction and Applications of the Matrix-Valued Liapunov Functions for
Some Quasi-Periodic Systems // Differential Equations and Dynamical Systems. – 2009. – 17, N 1 – 2.
– P. 91 – 104.
15. Lila D.M., Martynyuk A.A. On stability of some solutions for equations of locked lasing of optically
coupled lasers with periodic pumping // Nonlinear Oscillations. – 2009. – 12, N 4. – P. 464 – 473.
16. Lila D.M., Martynyuk A.A. On the theory of stability of matrix differential equations // Ukr. Math. Journ.
– 2009. – 61, N 4. – P. 556 – 565.
17. Lila D.M., Martynyuk A.A. Setting up Lyapunov Functions for the Class of Systems with Quasiperiodic
Coefficients // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 12. – P. 1421 – 1429.
18. Lila D.M., Martynyuk A.A. Stability of Periodic Motions of Quasilinear Systems // Int. Appl. Mech. –
2008. – 44, N 10. – P. 1161 – 1172.
19. Martynyuk A.A. Stability of Motion. The Role of Multicomponent Liapunov Functions. – Cambridge:
Cambridge Scientific Publishers, 2007. – 322 p.
Поступила 05.10.2009 Утверждена в печать 21.10.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95474 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:37:04Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лила, Д.М. 2016-02-26T19:30:36Z 2016-02-26T19:30:36Z 2010 Об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной / Д.М. Лила // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 110-122. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95474 The equations of plane vertical motion are obtained for a hybrid model of
 mechanical system consisting of the horizontally placed string and the suspended at some its
 point two-link pendulum. The conditions of asymptotical stability are established for stationary
 motions of two-link pendulum interacting with the elastic string. Одержано рівняння плоского вертикального руху гібридної моделі механічної системи, яка складається з горизонтально розміщеної струни і підвішеного в деякій її точці дволанкового математичного маятника. Встановлено умови асимптотичної стійкості стаціонарних рухів дволанкового маятника, що взаємодіє з пружною струною. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной On Stability of Stationary Motions of Two-Link Pendulum Interacting with String Article published earlier |
| spellingShingle | Об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной Лила, Д.М. |
| title | Об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_alt | On Stability of Stationary Motions of Two-Link Pendulum Interacting with String |
| title_full | Об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_fullStr | Об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_full_unstemmed | Об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_short | Об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной |
| title_sort | об устойчивости стационарных движений двухзвенного математического маятника, взаимодействующего со струной |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95474 |
| work_keys_str_mv | AT liladm obustoičivostistacionarnyhdviženiidvuhzvennogomatematičeskogomaâtnikavzaimodeistvuûŝegosostrunoi AT liladm onstabilityofstationarymotionsoftwolinkpenduluminteractingwithstring |