Задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор)
The review of works is given, which are devoted to solving the problems of the statical and dynamical deformation of the elastic shell-like bodies of complex shape made of the isotropic and anisotropic materials in the classical and refined statements. To solve the two-dimensional boundary problem...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95499 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор) / Я.М. Григоренко, А.Я. Григоренко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 3-70. — Бібліогр.: 101 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859602330980188160 |
|---|---|
| author | Григоренко, Я.М. Григоренко, А.Я. |
| author_facet | Григоренко, Я.М. Григоренко, А.Я. |
| citation_txt | Задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор) / Я.М. Григоренко, А.Я. Григоренко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 3-70. — Бібліогр.: 101 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | The review of works is given, which are devoted to solving the problems of the statical and dynamical deformation of the elastic shell-like bodies of complex shape made of the isotropic and anisotropic materials in the classical and refined statements. To solve the
two-dimensional boundary problems and boundary value problems, the nontraditional
discrete-continuum approach is utilized, which is based on the spline-approximation of unknown functions of partial differential equations with variable coefficients. This enables to reduce the initial problem to the system of one-dimensional problems, which are solving by the method of discrete orthogonalization. An analysis of numerical results on the distribution of stress and displacement fields as well as the dynamical characteristics is carried out in dependence on the form of loading and boundary conditions, geometrical and mechanical parameters of elastic bodies under consideration. The special attention is drawn
to the estimating the accuracy of results in hand.
Наведено огляд робіт, що присвячені розв’язанню задач та дослідженню статичного та динамічного деформування пружних оболонкових тіл складної форми із ізотропних та анізотропних матеріалів у класичній та уточненій постановках. Для розв’язання двовимірних крайових задач і задач на власні значення застосовано нетрадиційний дискретно-континуальний підхід, що базується на сплайн-апроксимації невідомих функцій диференціальних рівнянь у частинних похідних з змінними коефіцієнтами, що дає можливість звести висхідну задачу до систем одновимірних рівнянь, які
розв’язуються методом дискретної ортогоналізації. Проведено аналіз отриманих числових результатів розподілу полів напружень, переміщень та динамічних характеристик в залежності від виду навантаження та граничних умов, геометричних та механічних параметрів пружних тіл, що розглядаються. Значну увагу приділено оцінці достовірності отриманих результатів.
|
| first_indexed | 2025-11-28T01:03:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 2
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 2 3
Я .М . Г р и г о р е н к о , А .Я . Г р и г о р е н к о
ЗАДАЧИ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ АНИЗОТРОПНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ
ОБОЛОЧЕК С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
И ИХ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ (ОБЗОР)
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: ayagrigorenko@ yandex.ru
Abstract. The review of works is given, which are devoted to solving the problems of
the statical and dynamical deformation of the elastic shell-like bodies of complex shape
made of the isotropic and anisotropic materials in the classical and refined statements. To
solve the two-dimensional boundary problems and boundary value problems, the nontradi-
tional discrete-continuum approach is utilized, which is based on the spline-approximation
of unknown functions of partial differential equations with variable coefficients. This en-
ables to reduce the initial problem to the system of one-dimensional problems, which are
solving by the method of discrete orthogonalization. An analysis of numerical results on the
distribution of stress and displacement fields as well as the dynamical characteristics is car-
ried out in dependence on the form of loading and boundary conditions, geometrical and
mechanical parameters of elastic bodies under consideration. The special attention is drawn
to the estimating the accuracy of results in hand.
Key words: shell structures, static and dynamic problems, variable parameters, models,
discrete-continuum methods.
Введение.
Многие элементы конструкций современной техники выполнены в виде оболочек
различной формы и сложной структуры и находятся под действием распределенных и
локальных нагрузок при различных видах закрепления их контуров. Широкое исполь-
зование оболочечных элементов объясняется стремлением удовлетворить тем требо-
ваниям, которые обусловлены сложными условиями работы машин, летательных и
транспортных аппаратов, различных промышленных и гражданских сооружений. Ус-
ложнение конструктивных форм и структуры оболочечных элементов приводит к не-
обходимости развития теории и разработки методов решения статических и динами-
ческих задач для оболочек из анизотропных неоднородных материалов.
Характерной особенностью развития теории пластин и оболочек является взаимо-
связь между процессом построения математической модели данного класса задач и
разработкой метода решения задач, описываемых этой моделью. Об этом свидетель-
ствуют теория тонких пластин Кирхгофа [101] и теория тонких оболочек Кирхгофа –
Лява [97], в которых наряду со стремлением дать адекватное описание деформации
пластин и оболочек преследовалась цель сохранить простоту этих моделей настолько,
чтобы получить решение ряда задач с учетом имеющихся вычислительных средств.
Примером такой взаимосвязи также может служить теория оболочек Муштари – До-
нелла – Власова [5, 28, 36], в которой внесенные в основные уравнения упрощения
позволили построить решения некоторых классов задач в довольно широком диапа-
зоне изменения их характеристик, о чем свидетельствуют следующие названия этой
теории: техническая теория оболочек; теория пологих оболочек; теория оболочек с
большим показателем изменяемости напряженного состояния [2, 8, 9, 16, 20, 23, 24,
29, 37]. Эта взаимосвязь еще более проявляется в настоящее время, когда для решения
задач теории оболочек широко используются компьютеры и при построении матема-
тических моделей для определенных классов оболочек следует предусматривать все
особенности и возможности, связанные с решением задачи [63].
4
При решении двумерных краевых задач статики и динамики пластин, оболочек и
пространственных тел, которые описываются дифференциальными уравнениями в
частных производных с переменными коэффициентами, возникают большие вычис-
лительные трудности. Для их решения в ряде случаев применяются подходы, осно-
ванные на разделении переменных каким-либо способом и сведении исходной задачи
к одномерной. Однако в ряде задач этому препятствуют многие факторы, такие как
сложность формы и коэффициентов уравнений, граничные условия на контурах обо-
лочек и др.
В последнее время в задачах вычислительной математики, математической физи-
ки и механики для их решения стали широко использоваться сплайн-функции. Это
объясняется преимуществами аппарата сплайн-приближений по сравнению с други-
ми. К числу основных преимуществ можно отнести следующие: устойчивость сплай-
нов относительно локальных возмущений, т.е. поведение сплайна в окрестности точ-
ки не сказывается на поведении сплайна в целом, как, например, это имеет место при
полиномиальном приближении; хорошая сходимость сплайн-интерполяции в отличие
от многочленной; простота и удобства в реализации алгоритмов построения и вычис-
ления сплайнов на персональных компьютерах [1, 2, 5]. О возможности применения
различных подходов для решения задач теории пластин и оболочек на основе числен-
ного анализа свидетельствуют работы [64, 66, 85, 86, 96, 98, 99].
В данном обзоре для решения указанных задач, описываемых дифференциальны-
ми уравнениями в частных производных, применяется нетрадиционный подход, осно-
ванный на сведении исходных задач к одномерным с применением сплайн-аппрок-
симации, и решении последней устойчивым численным методом дискретной ортого-
нализации [16 – 19]. Некоторые другие численные подходы для решения статического
и динамического поведения оболочечных структур были применены авторами в [38,
43, 45, 51 – 54].
Метод дискретной ортогонализации предложен в статье [6] и монографии[3]; в
монографии [26] указано, что метод дискретной ортогонализации впервые был при-
менен к решению задач статики оболочек в работах [18, 19]. Особенности применения
этого метода в задачах теории оболочек изложены в монографии [16]. Там же показа-
но, что можно существенно сократить объем занимаемой информации за счет некото-
рой модификации алгоритма. Эффективность использования и высокая точность ме-
тода в задачах теории оболочек отмечена в монографиях [4, 26] .Это подтверждено и
в последнее время в монографии [7].
Применение сплайн-аппроксимации для сведения двумерных задач о статическом
и динамическом деформировании пластин и оболочек к системам обыкновенных
дифференциальных уравнений предложено в статьях [10, 17].
§1. О решении краевых задач для дифференциальных уравнений в частных
производных с применением сплайн-функций.
Рассмотрим один подход к решению двумерных краевых задач, которые описыва-
ются дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэф-
фициентами в двух направлениях и характеризуют статическое и динамическое поведе-
ние упругих оболочек с переменными параметрами. Подход основан на применении
сплайн-аппроксимации для сведения двумерных задач к одномерным и решении по-
следних устойчивым численным методом дискретной ортогонализации [10, 17, 72, 73].
Основные сведения о сплайн-функциях. Расширим сетку 0: ...i Na x x x b
вспомогательными точками 1... ,mx x a 1 ...N N mb x x и рассмотрим сетку
1 1 0 1 1 1: ... ... ... .m N N N N mx x x x x x x x
Рассмотрим функцию 1( , ) ( 1) ( 1)( )m m
m x t m x t
и построим разделённую
разность ( 1)m -го порядка по значениям аргумента 1, ...,i i mt x x . В результате
получим функции переменной x в виде
1[ ; ,..., ]i
m m i i mB x x x ; , ...; 1.i m N (1.1)
Эти функции называются базисными сплайнами или В-сплайнами степени m и явля-
ются сплайнами степени m дефекта 1 на расширенной сетке 1 .
5
Если использовать тождество 1( ) ( ) ( 1) ( )m m m mx t x t t x
, то можно полу-
чить другой вид записи (1.1)
1
1,
( )
( ) ( 1)
( )
mi m
pi
m
p i m i p
x x
B x m
x
( ,..., 1)i m N
1
1, ( ) ( ) .
i m
m i j
j i
t t x
(1.2)
При практических вычислениях удобно использовать нормализованные В-сплай-
ны вида
1( ) ( ).
1
i ii m i
m m
x x
B x B x
m
(1.3)
Для нормализованных В-сплайнов имеет место рекуррентная формула
1( ) ( )i ii
m m
i m i
x x
B x B x
x x
11
1
1 1
( ),ii m
m
i m i
x x
B x
x x
(1.4)
которая может использоваться как определение В-сплайнов. При этом
1
0
1
1, [ , );
( )
0, [ , ).
i ii
i i
x x x
B x
x x x
Функции ( )i
mB x являются сплайнами степени m дефекта 1 с конечными носите-
лями минимальной длинны. Кроме этого, система функций ( )i
mB x ( , ..., 1)i m N
является линейно независимой и образует базис в пространстве сплайнов ( )mS . Это
означает, что каждый сплайн ( ) ( )m mS x S может быть единственным способом за-
писан в виде
1
( ) ( ),
N
i
m i m
i m
S x b B x
(1.5)
где ib – некоторые постоянные коэффициенты.
Сплайны ( )i
mB x имеют следующие свойства:
а) ( ) 0i
mB x для 1[ , ),i ix x x ( )i
mB x 0 для 1[ , )i ix x x ;
б) 1( ) .
1
i i m i
m
x x
B x dx
m
Рассмотрим равномерную расширенную сетку
1 0 1: ... ... ...m N N N mx x x x x x 1( k kx x h const)
и построим первых три В-сплайна нечетной степени. При этом нумеруем их по сред-
нему узлу носителей.
Поэтому В-сплайны нечетной степени будем обозначать через ( )i
mB x вместо
( 1) 2 ( )i m
mB x , т. е. нумерация сплайнов сдвигается на ( 1) 2m единиц вправо.
Таким образом, имеем В-сплайны:
первой степени
1
1
1
1
1
;0,
;,
( )
1 , ;
0, ;
i
i ii
i i
i
x x
x x xt
B x
t x x x
x x
(1.6)
третьей степени
6
2
3
2 1
3 2
1
3
3 2 1
3
1 2
2
;0,
;,
;3 3 3 1,1
( )
;6 3 6 4,
(1 ) , ;
0 ;
i
i i
i i
i
i i
i i
i
x x
x x xt
x x xt t t
B x
x x xt t
t x x x
x x
(1.7)
В-сплайны пятой степени
3
3 2
5 4 3 2
2 1
5 4 3 2
1
5
5 4 2
1
5 4 3 2
1 2
5
2 3
0, ;
0, ;
5 5 10 10 5 1, ;
10 20 20 20 50 26, ;1
( )
120 ;10 30 60 66,
;5 20 20 20 50 26,
;(1 ) ,
0
i
i i
i i
i ii
i i
i i
i i
i
x x
x x x
t t t t t x x x
t t t t t x x x
B x
x x xt t t
x x xt t t t t
x x xt
x
3 ,x
(1.8)
где ( ) /kt x x h на интервале
1[ , ],k kx x
1 1
, 1;
2 2
m m
k i i
1 1
1, 1;
2 2
m m
i N
1, 3, 5.m
На рис. 1 – 3 показаны эти В-сплайны, а также соответствующие базисы из В-
сплайнов в пространствах ( )mS ( 1, 3, 5).m
В табл. 1, 2 приведены значения сплайнов 3 ( )iB x и 5 ( )iB x и их производных в уз-
лах, которые принадлежат их носителям.
Рис. 1
Рис. 2
7
Рис. 3
Таблица 1
x
3 ( )iB x 3 ( )iB x 3 ( )iB x
2ix 0 0 0
1ix 1 6 1 2h 1 2h
ix 4 6 0 22 h
1ix 1 6 1 2h 21 h
2ix 0 0 0
Таблица 2
x 5 ( )iB x
5 ( )iB x 5 ( )iB x 5 ( )
IIIiB x 5 ( )
IViB x
3ix 0 0 0 0 0
2ix 1
120
1
24h
2
1
6h
3
1
2h
4
1
h
1ix 26
120
10
24h
2
2
6h
3
1
h
4
4
h
ix 66
120
0 2
1
h
0 4
6
h
1ix 26
120
10
24h
2
2
6h
3
1
h
4
4
h
2ix 1
120
1
24h
2
1
6h
3
1
2h
4
1
h
3ix 0 0 0 0 0
Сведение двумерных задач к одномерным с помощью сплайн-аппроксимации.
Пусть в прямоугольной области 0{ ,NR x x x 1 2}y y y требуется получить ре-
шение ( , )u x y системы линейных дифференциальных уравнений в частных произ-
водных
2 2 2
2 2
, , , , , , , , ... 0,
u u u u u
F x y u
x y x yx y
(1.9)
8
которое удовлетворяет граничным условиям
, , , , 0
Г
u u
G x y u
x y
. (1.10)
Здесь F и G – линейные вектор-функции своих аргументов; Г – граница области R .
Аппроксимацию решения краевой задачи (1.9), (1.10) будем осуществлять в направ-
лении оси Ox . Построим на отрезке 0[ , ]Nx x сетку 0 1: ... Nx x x . Определим
решение краевой задачи в виде
0
( , ) ( ) ( )
N
i i
i
u x y u y x
, (1.11)
где ( )iu y – вектор-функции, подлежащие определению, а компоненты вектор-
функций ( )i x – линейные комбинации В-сплайнов, удовлетворяющие граничным
условиям (1.10) на сторонах 0x x и Nx x прямоугольника R .
Символ a b обозначает вектор, компоненты которого являются произведением
соответствующих компонент векторов a и b . В-сплайны следует выбирать таким
образом, чтобы их степени были больше порядков старших производных компоненты
решения u в уравнениях системы (1.9).
Подставим решение (1.11) в систему уравнений (1.9) и потребуем, чтобы ее не-
вязка была равна нулю на прямых ( 0, 1, 2, ..., )kx k N в прямоугольнике R ,
которые выходят из точек коллокации 1( , )k y на стороне 1y y . Тогда получим сис-
тему обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка
, , ( ) ( ),k i k
i
F y u y
( )
( ) ;i
i
i
d
u y
dx
( )
( ),i
i k
i
du y
dy
2
2
( )
( ) ;i k
i
i
d
u y
dx
( ) ( )
,i i k
i
du y d
dy dx
2
2
( )
( ), ...i
i k
i
d u y
dy
= 0. (1.12)
Граничные условия (1.10) на сторонах 1y y и 2y y прямоугольника R в точ-
ках 1 2( , ), ( , ) ( 0, 1, ..., )k ky y k N с учётом (1.11) запишем в виде
( )
, , ( ) ( ), ( ) i k
k j i j i k i j
i i
d
G y u y u y
dx
;
( )
( ), ... 0i j
i k
i
du y
dy
( 1, 2; 0, 1, ..., )j k N . (1.13)
Одномерную краевую задачу (1.12), (1.13) решаем, например, методом дискретной
ортогонализации, для чего предварительно представим ее в нормальной форме Коши.
Одним из важных этапов применения аппроксимации является построение комбина-
ции вектор-функций ( ),i x удовлетворяющих заданным граничным условиям.
Выше приведены некоторые варианты граничных условий и соответствующих им
линейных комбинаций В-сплайнов третьей степени. В дальнейшем будем использо-
вать также В-сплайны пятой степени. Для простоты принимаем, что решение краевой
задачи является скалярной функцией ( , )u x y .
9
Построим линейные комбинации В-сплайнов пятой степени для некоторых видов
граничных условий на сторонах constx прямоугольника R . Для этого используем
значения 5 ( )iB x в узлах сетки из табл. 2 и свойства В-сплайнов. Рассмотрим сле-
дующие граничные условия:
0
0
( , ) ( , )
( , ) ( , ) 0j N j
j N j
u x y u x y
u x y u x y
x x
;
2 1 0
0 5 5 5
165 33
( ) ( ) ( ) ( );
4 8
x B x B x B x 1 0 1
1 5 5 5
26
( ) ( ) ( ) ( );
33
x B x B x B x (1.14)
2 0 2
2 5 5 5
1
( ) ( ) ( ) ( );
33
x B x B x B x 5( ) ( ) ( 3, 4, ..., 3);i
i x B x i N
2 2
2 5 5 5
1
( ) ( ) ( ) ( );
33
N N N
N x B x B x B x
1 1
1 5 5 5
26
( ) ( ) ( ) ( ) ;
33
N N N
N x B x B x B x
1 2
5 5 5
33 164
( ) ( ) ( ) ( )
8 4
N N N
N x B x B x B x ;
2 2
0
0 0 2 2
( , ) ( , )
( , ) ( , ) 0j N j
j N j
u x y u x y
u x y u x y
x x
;
2 1 0
0 5 5 5( ) 12 ( ) 3 ( ) ( );x B x B x B x 1 1
1 5 5( ) ( ) ( );x B x B x 2 2
2 5 5( ) ( ) ( );x B x B x
5( ) ( ) ( 3, 4,..., 3);i
i x B x i N 2 2
2 5 5( ) ( ) ( );N N
N x B x B x
(1.15)
1 1
1 5 5( ) ( ) ( );N N
N x B x B x
1 2
5 5 5( ) ( ) 3 ( ) 12 ( )N N N
N x B x B x B x ;
3 3
0 0
3 3
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
0j j N j N ju x y u x y u x y u x y
x xx x
;
0
0 5( ) ( );x B x 1 1
1 5 5( ) ( ) ( );x B x B x
2 2
2 5 5( ) ( ) ( );x B x B x 5( ) ( ) ( 3, 4, ..., 3);i
i x B x i N (1.16)
2 2
2 5 5( ) ( ) ( );N N
N x B x B x
1 1
1 5 5( ) ( ) ( );N N
N x B x B x
5( ) ( ).N
N x B x
Комбинируя приведенные условия на разных сторонах x const прямоугольника,
можно расширить число вариантов граничных условий.
Метод дискретной ортогонализации. Изложим суть метода дискретной ортого-
нализации. Рассмотрим линейную краевую задачу
( ) ( ) ( ) ( )
dg
A t g t f t a t b
dt
(1.17)
с граничными условиями
1 1( ) ;B g a b (1.18)
2 2( ) ,B g b b (1.19)
10
где 1 2{ , , ..., }T
ng g g g вектор-столбец; f вектор-столбец правой части; ( )A t –
заданная квадратная матрица порядка n ; 1B , 2B – заданные прямоугольные матрицы,
соответственно, порядков k n и ( )n k n ( )k n ; 1 2,b b – заданные векторы.
Изложим суть метода.
Решение краевой задачи (1.17) – (1.19) представим в виде
1
1
( ) ( ) ( )
m
j j m
j
g t C g t g t
, (1.20)
где min ,m k n k (для определённости принимаем m n k ); jg – решения задач
Коши для системы уравнений (1.17) при 0f с начальными условиями, удовлетво-
ряющими граничным условиям на левом конце интервала (1.18) при 1 10; mb g –
решение задачи Коши для системы (1.17) с начальными условиями, удовлетворяю-
щими граничным условиям (1.19); m – число граничных условий на правом конце
интервала интегрирования.
Метод дискретной ортогонализации даёт возможность получить устойчивый вы-
числительный процесс за счёт ортогонализации векторов-решений задачи Коши в
конечном числе точек интервала изменения аргумента. Разобьём отрезок ,a b на
части точками интегрирования ( 0, 1 , ..., )st s N так, чтобы 0 , Nt a t b . Среди
этих точек выберем точки ортогонализации ( 0, 1, ..., )iT i M . Выбор указанных
точек обычно обусловлен степенью требуемой точности решения задачи, в остальном
он произволен.
Пусть в точке iT каким-либо численным методом, например, методом Рунге – Кут-
та, получены решения задач Коши, которые обозначим через ( ) ( 1, 2,..., 1)r iu T r m .
Таким образом, в точке iT до ортогонализации имеем векторы
1 2 1( ), ( ), ..., ( ), ( ) .i i m i m iu T u T u T u T (1.21)
Проортонормируем векторы ( ) ( 1, 2, ..., )j ju T j m в точке iT и обозначим через
1 2( ), ( ), ... , ( ).i i m iz T z T z T
Векторы iz выражаются через векторы iu следующим образом:
1
1
1
( 1, 2, ..., )
r
r r rj j
jrr
z u w z r m
w
(1.22)
1
2
1
( , ) ( ), ( , ) .
r
rj r j rr r r rj
j
w u z j r w u z w
Вектор 1mz не нормируется и вычисляется по формуле
1 1 1,
1
.
m
m m m j j
j
z u w z
(1.23)
На основании (4.7), (4.8) при it T имеем
11 1 1w z u ; 22 2 2 21 1w z u w z ; 33 3 3 31 1 32 2w z u w z w z ;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1 1 2 2 , 1 1...mm m m m m m m mw z u w z w z w z ;
11
1 1 1,1 1 1,2 2 1, 1 1 1,...m m m m m m m m m mz u w z w z w z w z .
После преобразований получаем матричное равенство
1
2
1
( )
( )
.
.
.
( )
( )
i
i
m i
m i
u T
u T
u T
u T
= i
1
2
1
( )
( )
.
.
.
( )
( )
i
i
m i
m i
z T
z T
z T
z T
;
11
21 22
31 32 33
1 2 3
1, 1 1, 2 1,3
( ) 0 0 . . . 0
( ) ( ) 0 . . . 0
( ) ( ) ( ) . . . 0
Ω Ω( )
. . . .
( ) ( ) ( ) . . . 0
( ) ( ) ( ) . . . 1
i
i i
i i i
i i
m i m i m i
m i m i m i
w T
w T w T
w T w T w T
T
w T w T w T
w T w T w T
.(1.24)
Векторы ( )r iz T являются начальными значениями задач Коши для однородной
( 1, 2, ..., )r m и неоднородной ( 1)r m систем дифференциальных уравнений
(1.17) в интервале 1i iT t T .
В каждой точке ортогонализации iT решение системы уравнений (1.17), удовле-
творяющее граничным условиям на левом конце интервала (1.18), можно записать в
виде двух выражений:
до ортогонализации – ( 1)
1
1
( ) ( ) ( );
m
i
i j j i m i
j
g T C u T u T
после ортогонализации – ( )
1
1
( ) ( ) ( ).
m
i
i j j i m i
j
g T C z T z T
Решение системы уравнений (1.17) в интервале 1i iT t T можно представить в виде
( )
1
1
( ) ( ) ( ).
m
i
j j m
j
g t C z t z t
После выполнения интегрирования на последнем участке 1M MT t T и ортого-
нализации в точке MT имеем
( )
1
1
( ) ( ) ( ).
m
M
M j j M m M
j
g T C z T z T
(1.25)
Удовлетворяя граничным условиям на правом конце интервала интегрирования,
т. е. подставляя (1.25) в (1.19), получаем систему m линейных алгебраических урав-
нений для определения неизвестных ( )M
jC ( 1, 2, ..., )j m . После нахождения ( )M
jC
решение краевой задачи (1.17) – (1.19) в точке Mt T даётся формулой (1.25). Это
завершает прямой ход решения задачи.
При обратном ходе по значениям постоянных ( )i
jC ( 1, 2, ..., )j m определяем по-
стоянные ( 1)i
jC , начиная с .i M
Для этого приравняем
( 1) ( 1)
1 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( ).
m m
i i
j j i m i j j i m i
j j
C u T u T C z T z T
(1.26)
Подставляя вместо ju их значения с (1.24) при it T , имеем
( 1) ( 1) ( 1)
1 11 1 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 33 3( ) ( )i i iC w z C w z w z C w z w z w z
( 1)
1 1 2 2( ... )i
m m m mm mC w z w z w z
12
( ) ( ) ( )
1,1 1 1,2 2 1, 1 1 1 2 2 1( ... ) ...i i i
m m m m m m m m mw z w z w z z C z C z C z z .
Приравнивая коэффициенты при векторах ( 1, 2, ..., )jz j m , находим
( 1) ( ) ( 1, 2, ..., )i i
i C C i M или
1( 1) ( )i i
iC C
, (1.27)
где i транспонированная матрица; ( )iC – вектор-столбец с компонентами
( ) ( ) ( )
1 2, ,..., , 1i i i
mC C C .
Таким образом, с помощью равенства (1.27) находим значения постоянных ( )i
jC
во всех точках, начиная с .i M Затем определим решения ( )ig T краевой задачи.
§2. Напряженно-деформированное состояние ортотропных пологих оболочек
(классическая постановка).
Наряду с изотропными пологими оболочками [5] в связи с использованием ком-
позиционных материалов широкое применение в качестве элементов конструкций
находят ортотропные оболочки [2].
Ниже изложен подход к решению двумерных задач статики пологих оболочек из
ортотропных материалов [27], основанный на сведении двумерной задачи к одномер-
ной с помощью сплайн аппроксимации и численном решении последней методом
дискретной ортогонализации. Такой подход к решению задач теории пластин и обо-
лочек применен в работах [81 – 83].
Исходные уравнения деформирования пологих прямоугольных в плане ортотроп-
ных оболочек приведем на основе уравнений теории оболочек Муштари – Донелла –
Власова в следующем виде:
выражения для деформаций
1 2 12
1 2
; ; ;
u w w u
x R y R y x
2 2 2
1 2 122 2
; ;
w w w
x yx y
; (2.1)
уравнения равновесия
1 20; 0;
N NS S
x y y x
1 2
1 2; ;
M MH H
Q Q
x y y x
(2.2)
1 2
1 2
1 2
1 1
0;
Q Q
N N q
x y R R
соотношения упругости
1 11 1 12 2 2 12 1 22 2; ;N C C N C C 66 12 ;S C
1 11 1 12 2 2 12 1 22 2; ;M D D M D D 66 122 ,H C (2.3)
1 1 2 2 1
11 12
1 2 1 2 1 2
; ;
1 1 1
E h E h E h
C C
2
22 66 12
1 2
; ;
1
E h
C C G h
3 3 3
1 1 2 2 1
11 12
1 2 1 2 1 2
; ;
12(1 ) 12(1 ) 12(1 )
E h E h E h
D D
3 3
2
22 66 12
1 2
; .
12(1 ) 12
E h h
D D G
(2.4)
В соотношениях (2.1) – (2.4) ,x y – координаты 0 , 0x a y b , , ,u w – пере-
мещения в плоскости в направлении осей координат и по нормали к ней;
1 2 12 1 2 12, , , , , , – тангенциальные и изгибные деформации; 1 2 1 2, , , , ,N N S Q Q
1 2, ,M M H – усилия и моменты; 1 2 12 1 2, , , , ,E E G – модули упругости, сдвига и коэф-
фициенты Пуассона; 1 2,R R – радиусы кривизны в двух направлениях; ,h h x y –
толщина оболочки.
13
Исключив в уравнениях равновесия (2.2) перерезывающие усилия 1Q и 2Q , выра-
зив в соотношениях упругости (2.3) усилия и моменты с помощью выражений (2.1)
через перемещения и подставив их в уравнения равновесия (2.2), получим три разре-
шающих дифференциальных уравнения в перемещениях
2 2 2
6611
11 66 12 662 2
CCu u u u
C C C C
x y x x y yx y
66 12 11 12 11 12
1 2 1 2
0;
C C C C C C w
w
y x x x R R R R x
2 2 2
6622
22 66 12 662 2
CCu
C C C C
x y y y x xy x
66 12 12 22 12 22
1 2 1 2
0;
C C C C C Cu u w
w
x y y x y R R R R y
(2.5)
3 34 4 4
11 22
11 22 12 664 4 2 2 3 3
2 2 4 2 2
D w D ww w w
D D D D
x y x y x x y y
23 3 2
66 6612 12 11 12
2 2 2 2 2
2 4 2 4
D DD D D Dw w w
y y x xx y x y x y x
22 2 2 2
6612 22 11 12 11 12
2 2 2
1 1 1 1 2
1
4 4
DD D C C C Cw w u
w
x y x y R x R y R R Rx y y
12 22 12 22
2 2 1 1 2
1
0.z
C C C Cu
w q
R x R y R R R
На контурах оболочки constx и consty задаются граничные условия, кото-
рые могут быть выражены через перемещения. Систему дифференциальных уравне-
ний (2.5) представим в виде разрешенной относительно производных
2 2 4
2 2 4
, ,
u
x x x
.
Решение краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (2.5) пред-
ставим в виде разложений
0
,
N
i i
i
u x y u x y
; (2.6)
0
,
N
i i
i
x y x y
;
0
,
N
i i
i
w x y w x y
,
где , , 0,i i iu w i N – неизвестные функции переменной ,x а i и 0, , 6i N N
– функции, построенные с помощью B-сплайнов соответственно третьей и пятой сте-
пени, которые позволяют составить их линейные комбинации таким образом, чтобы
удовлетворить различным условиям на контурах оболочки 0y и y b .
После построения линейных комбинаций В-сплайнов в виде функций i y и
i y , удовлетворяющих определенным граничным условиям на контурах 0y и
y b , подставим выражения (2.6) в разрешающие уравнения (2.5) и потребуем их
14
удовлетворения в точках коллокации 0,ky k N . Тогда получим систему 3 1N
уравнений. Аналогично поступаем с граничными условиями на контурах 0x и x a .
Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений вместе с граничны-
ми условиями образует двухточечную краевую задачу на интервале 0 x a .
Если ввести обозначения
1 2 8, , , , , , , , , ,
T T
Y y y y u u w w w w , (2.7)
где
0 1
, , , 1,8
N
T
m m m my y y y m , то полученную краевую задачу можно записать
в виде
( ) 0
dY
A x Y f x x a
dx
; (2.8)
1 1 2 20 , 0 .B Y b B Y b (2.9)
Краевую задачу для системы уравнений (2.8) с граничными условиями (2.9) реша-
ем устойчивым численным методом дискретной ортогонализации. Подставляя най-
денные значения функций ,i iu x x и 0,iw x i N в выражения (2.6), получа-
ем решение исходной задачи для перемещений, а по ним вычисляются все факторы
напряженно-деформированного состояния оболочки.
Представим результаты решения некоторых задач, полученных на основании
данного подхода. Рассмотрим ортотропные пологие оболочки для пяти вариантов уп-
ругих постоянных материала. При этом принимаем, что модуль упругости xE сохра-
няет постоянное значение constxE E , а изменяются модуль упругости yE E ,
модуль сдвига xyG E и коэффициент Пуассона x . Рассмотрим следующие вари-
анты значений упругих постоянных материала оболочки [2]:
1) 2; 0,3; 0,075;x 2) 1,35; 0,215; 0,122;x
3) 1; 0,385; 0,3;x 4) 0,741; 0,159; 0,165;x (2.10)
5) 0,5; 0,125; 0,15.x
Значения упругих постоянных варианта 3 соответствуют изотропному случаю. Зада-
чу решаем при следующих исходных данных: 112; 10; 0,4; 22,9;a b h R 2 13.R
Рассмотрим задачу о деформации ортотропной оболочки с указанными геометри-
ческими параметрами под действием равномерной поперечной поверхностной на-
грузки 0 const.zq q Все четыре стороны оболочки жестко защемлены, т.е. заданы
следующие граничные условия:
0
w
u w
x
при 0x и x a ; (2.11)
0
w
u w
y
при 0y и y b .
В табл. 3 приведены распределения прогиба при 6x для 0 5y и при 5y
для 0 6x для пяти вариантов ортотропии материала (2.10). Видно, что с уменьше-
нием модуля упругости yE прогиб в центре оболочки 6; 5x y возрастает по
отношению к прогибу оболочки из материала, соответствующего первому варианту
ортотропии, соответственно, в 1,3; 1,4; 2,1; 2,8 раз.
15
Таблица 3
0
E
q
1 2 3 4 5
y
6x
0 0 0 0 0 0
1 40,0 56,7 65,3 98,2 141,7
2 120,9 169,0 188,0 282,0 394.4
3 202,6 279,7 301,9 452,0 614.9
4 259,9 353,9 376.3 562,7 751,1
5 280,2 382,6 401,6 600,4 795.8
x 5y
0,0 0 0 0 0 0
1,2 89,5 105,1 102,4 133,8 156.6
2,4 201,9 251,2 250,4 344,9 422,4
3,6 259,7 339,3 346,7 398,5 635.6
4,8 277,5 374,6 390,2 577,5 757,6
6,0 200,2 382,6 401,6 600,4 795,8
На рис. 4 и 5 показаны распределения напря-
жений , , ,x x y y вдоль оси ОХ при 5y
вдоль оси OY при 6x , соответственно, для пя-
того варианта ортотропии материала оболочки.
Наибольшими напряжениями являются x на
коротких сторонах оболочки. Влияние ортотропии
на характер распределения и величины наиболь-
шего напряжения x показаны на рис. 6.
Цифрами обозначены варианты ортотропии
материала (см. (2.10)). Максимальное значение
напряжения x с уменьшением модуля упруго-
сти yE увеличивается соответственно в 1,16;
1,24; 1,44; 1,64 раз.
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
16
§3. Статика некруговых цилиндрических оболочек сложной формы (классиче-
ская постановка).
Наряду с круговыми цилиндрическими оболочками большой интерес представляет
исследование напряженно-деформированного состояния некруговых цилиндрических
оболочек малой и большой эксцентричности, которые широко используются в аэрокос-
мических и механических инженерных приложениях [100].
В связи с этим возникает необходимость разработки эффективных методов решения
соответствующих краевых задач данного класса, в том числе задач для цилиндрических
оболочек, поперечное сечение которых описывается аналитическими выражениями. К
таким задачам относятся задачи статики цилиндрических оболочек с эллиптическим и
гофрированным поперечными сечениями [ 77 – 79, 92 – 95].
Ниже предложен подход к решению более сложных задач для некруговых цилинд-
рических оболочек с гофрированным эллиптическим поперечным сечением. В качестве
исходных принимаются уравнения теории оболочек Муштари – Доннелла – Власова.
1. Первую квадратичную форму для срединной поверхности некруговой цилин-
дрической оболочки представим в виде
2 2 2 2( )dS ds d , d =dt, (3.1)
где s – длина по образующей; – центральный угол в поперечном сечении; t – длина
дуги по направляющей; () – коэффициент перехода от длины дуги t к углу .
В полярной системе координат направляющую
срединной поверхности (рис. 7) задаем следующим
образом:
2 2 1/ 2
( ) cos
(1 cos )
a
r k
e
(3.2)
( 0 2 );
2
1 / 2 / (1 )e a b
( ( ) / ( )b a b a ), (3.3)
где (b > a), a, b, e – полуоси и эксцентриситет
эллипса; – амплитуда; k – частота гофрировки;
точка О (r = 0) находится на пересечении осей
эллипса. При = 0 кривая (3.2) описывает эллипс, а при a = b – гофрированную
окружность.
В выбранной полярной системе координат радиус кривизны в поперечном
сечении запишем в виде
3/ 22 2
2 2
( )
( )
2( )
r r
R R
r r rr
;
2
2 2 3/2
sin 2
sin
2(1 cos )
ae
r k k
e
; (3.4)
2 2 2
2
2 2 3/ 2 2 2 5/2
2cos 2 3 sin
cos
2 (1 cos ) 2(1 cos )
ae e
r k k
e e
.
Разрешающую систему дифференциальных уравнений в частных производных в
координатах s, представим в следующем виде:
2 2 2
11 12 13 14 15 16 17 182 2
;
u u u u w
a a a a a a a w a
s s s ss
Рис. 7
17
2 2 2
21 22 23 24 25 26 27 282 2
;
u u u v v w
a a a a a a a w a
s s ss
4 2 3 4 2
31 32 33 34 35 36 374 2 3 4
w u v w w w w
a a a w a a a a
ss s s
(3.5)
3 3 4 2 3
38 39 3,10 3,11 3,12 3,13 12 2 2 2 2 3
,
w w w w w w
a a a a a a b
s s s
где u, v, w – перемещения срединной поверхности по образующей, направляющей и
нормали, а коэффициенты aij и b1 приведены в [79].
Торцы оболочки жестко закреплены, т.е. на торцах s = 0 и s = l заданы следующие
граничные условия:
u = v = w = s = 0 при s = 0, l (s – угол поворота нормали). (3.6)
Решение краевой задачи основано на сплайн-аппроксимации решения в
направлении по образующей и сведении двумерной задачи к одномерной, решение
которой c координатным направлением по направляющей осуществляется
устойчивым численным методом дискретной ортогонализации.
Тогда решение краевой задачи (3.5), (3.6) находим в виде
1
0
( , ) ( ) ( );
N
i i
i
u s u s
2
0
( , ) ( ) ( );
N
i i
i
v s v s
3
0
( , ) ( ) ( ),
N
i i
i
w s w s
(3.7)
где ( ), ( ), ( )i i iu v w ( 0, )i N – неизвестные функции, а ( ) ( 1, 2, 3)ni s n –
линейные комбинации B-сплайнов третьей степени для n = 1, 2 и пятой степени для
n = 3, с помощью которых можно точно удовлетворить некоторым граничным
условиям на торцах. Удовлетворяя граничные условия (3.6), для В-сплайнов в
решениях (3.7) строим следующие выражения:
1 0
10 3 3( ) 4 ( ) ( )s B s B s ; 1 0 1
11 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( )s B s B s B s ;
1 3( ) ( ) ( 2, 2)j
j s B s j N ; 1 1
1 1 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( )N N N
N s B s B s B s
;
1
1 3 3( ) 4 ( ) ( )N N
N s B s B s ; 1 0
20 3 3( ) 4 ( ) ( )s B s B s ;
1 0 1
21 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( )s B s B s B s ; 2 3( ) ( ) ( 2, 2)j
j s B s j N ; (3.8)
1 1
2 1 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( )N N N
N s B s B s B s
; 1
2 3 3( ) 4 ( ) ( )N N
N s B s B s ;
2 1 0
30 5 5 5
165 33
( ) ( ) ( ) ( )
4 8
s B s B s B s ; 1 0 1
31 5 5 5
26
( ) ( ) ( ) ( )
33
s B s B s B s ;
2 0 2
32 5 5 5
1
( ) ( ) ( ) ( )
33
s B s B s B s ; 3 5( ) ( ), ( 3, 3)i
i s B s i N ;
3, 2 ( )N s 2 2
5 5 5
1
( ) ( ) ( )
33
N N NB s B s B s ; 3, 1 ( )N s 1 1
5 5 5
26
( ) ( ) ( )
33
N N NB s B s B s ;
3, ( )N s 2 1
5 5 5
165 33
( ) ( ) ( )
4 8
N N NB s B s B s ,
где 3 ( 1, 1)jB j N – кубические В-сплайны; 5 ( 2, 2)jB j N – сплайны пятой
степени, построенные на равномерной сетке.
18
Подставляя выражения (3.7) в дифференциальные уравнения системы (3.5) и тре-
буя их удовлетворения в точках коллокации ( 0, )ms s m N , т.е. в N+1 сечении, по-
сле некоторых преобразований получаем систему обыкновенных дифференциальных
уравнений в виде
( ) ( ) (0 2 )
dU
A U f
d
(3.9)
0 11 2 3 4 5 6 7 8, , , , , , , , , , , , , , ; , ,... ; 1,8 .
N
TT T
p p p pU u u v v w w w w u u u u u u u u u u u u p
В случае замкнутой по направляющей оболочки формулируем условия периодич-
ности или симметрии, а для открытой оболочки задаем граничные условия на прямо-
линейных краях.
Краевую задачу для системы уравнений (3.9) с соответствующими условиями по
решаем методом дискретной ортогонализации. Подставляя найденные значения
функций ( ), ( ), ( )i i iu v w ( 0, )i N в выражения (3.7), получаем решение исходной
краевой задачи для перемещений, а по ним вычисляются все факторы напряженно-
деформированного состояния оболочки.
2. На основании данного подхода решены задачи и проведено исследование на-
пряженно-деформированного состояния некруговых цилиндрических оболочек с гоф-
рированным эллипсом поперечным сечением в зависимости от степени эллиптично-
сти, гофрировки и толщины.
Рассмотрим задачу о напряженно-
деформированном состоянии замкнутой
оболочки под действием равномерного
давления q = q0 с жестко закрепленными
торцами. Для цилиндрических оболочек,
у которых периметр поперечного сече-
ния срединной поверхности равен длине
окружности радиуса R имеют место ра-
венства
( ) 2a b f R ;
2 4 6
1 ...
4 64 256
f
; (1 )
R
a
f
;
(1 )
R
b
f
. (3.10)
Задачу решаем при следующих дан-
ных: R = 20; l = 30; k = 4 ( , и h при-
нимали значения, указанные на рис. 8 –
10 и в табл. 4). На рис.8, а, б, в при =
= 0,1 (b / a = 11/9) для = 0,1; 0,2; 0,3 и
h = 0,4; 0,5; 0,6 дано распределение про-
гиба w в среднем сечении оболочки s = 15
на интервале 0 / 2 . Из приведен-
ных на рис. 8, а графиков следует, что
при небольшой степени эллиптичности и
малой величине амплитуды гофра ( / R =
= 0,005) при = 0 (вершина большой
оси) оболочка прогибается в направле-
нии, противоположном действию при-
ложенной нагрузки, а при 0,28 (в
центре данного интервала) прогиб дости-
гает максимума. По абсолютной величи-
Рис. 8
19
не прогибы при = 0 и 0,28 примерно равны. При / 2 (вершина малой оси
эллипса) за счет эллиптичности прогиб совпадает с направлением действия нагрузки,
но по величине очень мал. Из рис. 8, б следует, что с увеличением амплитуды гофра
до = 0,2 ( / R = 0,010) при тех же значениях и h имеем следующую картину: мак-
симальный прогиб в окрестности 0,28 увеличивается почти в два раза по срав-
нению с прогибом при = 0,1; при = 0 прогиб направлен противоположно прило-
женной нагрузке и по величине несколько меньше, чем при 0,28 ; при / 2
прогиб по величине меньше, чем при = 0, но уже также направлен в противополож-
ном действию нагрузки направлении. В данном случае увеличивается влияние гофри-
ровки. Из рис. 8, в следует, что при = 0,3 ( / R = 0,015) и тех же значениях и h на-
блюдается увеличение максимального прогиба при 0,28 , который почти в полтора
раза больше по сравнению с прогибом при = 0,2; при = 0 и / 2 прогиб направлен
в сторону, противоположную действию нагрузки, и по величине в полтора раза меньше
максимального (при 0,28 ).
Следовательно, с увеличением амплитуды гофра до = 0,3 гофрировка оказывает
большее влияние на деформирование оболочки по сравнению с эллиптичностью, даже
при достаточно малой величине / R.
На рис. 9, а, б, в показаны графики прогиба оболочки в среднем сечении s = l / 2 = 15
при = 0,2 (b / a = 3/2) для = 0,1; 0,2; 0,3 и h = 0,4, 0,5, 0,6 на интервале
0 / 2 .
Из рис. 9, а видно, что при = 0,1
( / R = 0,005) наибольшее значение про-
гиб принимает при 0,28 , а при = 0
он немного меньше по величине, но с
противоположным знаком. При / 2
прогиб направлен в сторону действия
приложенной нагрузки и вдвое меньше
по величине, чем при = 0. Здесь оказы-
вает влияние эллиптичность.
Из рис. 9, б следует, что при = 0,2
( / R = 0,01) максимальный при
0,28 прогиб увеличивается почти в
два раза по сравнению с прогибом при =
= 0,1, а при = 0 – почти вдвое меньше и
направлен в противоположную сторону.
А при / 2 для h = 0,5; 0,6 направ-
ление прогиба еще совпадает с направ-
лением действия нагрузки, но уже для
h = 0,4 прогиб по величине мал, но по
направлению не совпадает с действием
нагрузки, т.е. оболочка прогибается в
сторону против действия нагрузки.
Здесь уже проявляется влияние уве-
личения амплитуды гофра. Из рис. 9, в
имеем, что при = 0,3 ( / R = 0,015)
максимальный прогиб при 0,28
немного больше, а при = 0 – вдвое
меньше, чем при = 0,2.
При = 0 оболочка прогибается в
противоположную сторону. При / 2
прогиб немного отличается от прогиба
при = 0, но совпадает по направлению.
Рис. 9
20
Из рис. 10, а видно, что при = 0,1
( / R = 0,005) максимум прогиба дости-
гается при 0,28 , а при = 0 –
вдвое меньше и направлен в противопо-
ложную сторону, при / 2 – почти
такой же по величине, как при = 0, но
совпадает по направлению с максималь-
ным прогибом.
При = 0,2 ( / R = 0,01) (рис. 10, б)
максимальный прогиб при 0,28 в
лтора раза больше, чем при = 0,1, а при
= 0 – в три раза меньше максимального
и направлен в противоположную сторону.
Из рис. 10, в видно, что при = 0,3
( / R = 0,015) максимальный прогиб при
0,28 вдвое больше, чем при =
= 0,1, и в 4/3 раза больше, чем при =
= 0,2. При = 0 прогиб в четыре раза
меньше, чем максимальный и направлен
в противоположную сторону. При
/ 2 прогиб при h = 0,5; 0,6 совпада-
ет по направлению с действием нагруз-
ки, а при h = 0,4 направлен в противопо-
ложную сторону. Из рис. 10 следует, что
при = 0 прогибы по величине и на-
правлению почти одинаковы при всех
значениях .
По сравнению с графиками, приве-
денными на рис. 10, величина макси-
мальных прогибов увеличивается в полтора – два раза. Это объясняется тем, что
влияние эллиптичности незначительно по сравнению с влиянием увеличения ампли-
туды гофра.
Решение некоторых задач о напряженно-деформированном состоянии некруговых
цилиндрических оболочек представлено в [77 – 79].
В табл. 4 приведены значения напряжений
и
, соответственно, на внешней
и внутренней поверхностях оболочки для ранее указанных значений и h и для
= 0,1; 0,3 на интервале 0 / 2 . Из таблицы видно, какие значения напряжений
соответствуют приведенным на рис. 8 – 10 величинам прогибов. Отметим, что если
при = 0,1 и = 0 напряжения
минимальны, то уже при 0, 2 они значительно
увеличиваются по абсолютной величине, но с противоположным знаком, что соответ-
ствует сжатию. А при / 2 для = 0,1; 0,2 напряжение
– положительное , что
соответствует растяжению, но уже при 0,3 оно меняет знак на противоположный.
Наибольшее значение
принимает при 0,6 / 2 , что соответствует растяжению.
Подобная картина наблюдается для h = 0,5; 0,6. Напряжения
в большинстве со-
ответствуют растяжению и только для некоторых значений при 0,6 / 2 соответст-
вуют сжатию. По величине напряжения
достигают больших значений, чем
.
Рис. 10
21
Таблица 4
= 0,1 =0,3
h 2 /
= 0,1 = 0,2 = 0,3 = 0,1 = 0,2 = 0,3
0 1,36 -20,54 -55,2 -45,71 -55,82 -86,12
0,2 19,44 3,65 -2,14 -8,11 -33,28 -50,13
0,4 75,83 96,66 146,61 135,21 172,5 261,07
0,6 105,61 149,8 211,2 192,75 279,01 381,79
0,8 57,49 74,26 87,7 38,46 19 -12,16
0,4
1 16,72 8,45 -12,96 -99,34 -179,99 -311,68
0 -2,8 -25,06 -58,22 -44,27 -61,03 -94,31
0,2 15,64 0,08 0,11 -2,24 -17,21 -23,66
0,4 61,07 77,51 115,25 109,07 137,47 199,91
0,6 81,64 114,07 159,97 143,16 196,56 275,76
0,8 47,66 64,04 80,55 22,49 21,79 7,23
0,5
1 19,58 20,82 15,68 -65,48 -111,79 -189,47
0 -3,99 -25,48 -56,52 -38,41 -56,97 -89,34
0,2 12,82 2,5 -0,56 0,4 -10,26 -13,29
0,4 50,12 63,51 93,8 88,54 110,88 158,15
0,6 66,06 91,95 129,13 111,57 150,52 204,53
0,8 41,46 57,42 75,16 21,5 24,37 192,86
0,6
1 21,18 27,23 30,38 -43,43 -71,06 -119,16
0 70,31 72,77 92,86 113,19 104,61 120,71
0,2 62,5 71,68 83,65 92,03 113,41 139,53
0,4 26,47 21,72 8,44 -24,95 -45,25 -97,,36
0,6 12,76 0 -11,02 -70,31 -128,82 -183,33
0,8 69,34 92,26 133,98 84,87 141,16 225,14
0,4
1 112,61 163,23 241,06 221,46 342,56 529,05
0 61,02 67,98 89,8 100,51 102,66 124,96
0,2 50,03 58,16 64,4 69,32 80,48 93
0,4 19,93 15,97 7,01 -23,52 -39,02 -73
0,6 12,47 5,23 -0,61 -46,99 -77,07 -119,34
0,8 54,05 69,46 96,92 76,87 107,49 164,62
0,5
1 84,55 117,16 167,25 165,24 244,05 365,74
0 53,13 62,07 83,91 86,71 93,36 116,84
0,2 42 47,56 53,95 55,49 62,53 69,79
0,4 16,88 13,61 6,78 -18,85 -30,91 -55
0,6 11,98 6,94 2,82 -32,51 -51,91 -74
0,8 43,39 53,79 7,23 61,72 83,89 124,44
0,6
1 65,92 87,92 121,85 127,74 182,42 267,06
22
§4. Свободные колебания прямоугольных пластин переменной толщины
(классическая постановка).
Основные соотношения. Рассмотрим задачу о свободных колебаниях прямо-
угольной ортотропной пластины переменной толщины h(x, y) в прямоугольной систе-
ме координат (координатная плоскость Оxy является срединной плоскостью пласти-
ны) [39].
Задачу формулируем в рамках теории Кирхгофа – Лява. При предположениях
этой теории уравнения колебаний запишем в виде [4]
2
2
yx
QQ w
h
x y t
; xyx
x
MM
Q
x y
; y xy
y
M M
Q
y x
, (4.1)
где x, y – прямоугольные декартовы координаты (0 ,x a 0 y b ); t – время; w –
прогиб пластины; – плотность материала.
Для моментов xM , yM , xyM и перерезывающих усилий xQ и yQ имеем соотношения
2 2
11 122 2x
w w
M D D
x y
;
3 3
11 12 663 2
( 2 )x
w w
Q D D D
x x y
;
2 2
12 222 2y
w w
M D D
x y
;
3 3
22 12 663 2
( 2 )y
w w
Q D D D
y x y
; (4.2)
2
662xy
w
M D
x y
,
в которых жесткостные характеристики пластины D ij определяются по формулам
3 ( , )
12
ij
ij
B h x y
D ; 1
11
1 21
E
B
; 2 1 1 2
12
1 2 1 21 1
E E
B
; 2
22
1 21
E
B
; 66 12B G .
Здесь 1E , 2E , 12G , 1 2, – модули упругости, сдвига и коэффициенты Пуассона.
Из системы уравнений (4.1), (4.2) получаем эквивалентное ей дифференциальное
уравнение относительно прогиба w
11D
4
4
w
x
22D
4
12 224
2 2
w
D D
y
4
2 2
2
w
x y
11D
x
3
3
2
w
x
22D
y
3
3
w
y
+
2
y
(D12 + 2 D66)
3
2
2
w
x y
x
(D12 + 2 D66)
3
2
w
x y
(4.3)
2 2
11 12
2 2
D D
x y
2
2
w
x
2 2
12 22
2 2
D D
x y
2
2
w
y
2
664
D
x y
2w
x y
2
2
0.
w
h
t
На сторонах x 0, x a, y 0, y b задаем граничные условия, выраженные
через прогиб. При y = const задаем такие граничные условия:
1) контуры жестко закреплены
0,w 0
w
y
при 0y , y b ; (4.4)
2) контуры шарнирно оперты
0,w
2
2
0
w
y
при 0y , y b ; (4.5)
23
3) один контур шарнирно опертый, а другой – жестко закреплен
0,w
2
2
0
w
y
при 0y ; 0,w 0
w
y
при y b . (4.6)
Аналогичные условия могут быть заданы и на контурах x const.
Метод решения. Решение уравнения (4.3) представим в виде
0
( ) ( )
N
i i
i
w w x y
, (4.7)
где ( )iw x ( 1, )i N – неизвестные функции; ( )i y – функции, построенные с по-
мощью В-сплайнов пятой степени ( N 6). Выбор функций ( )i y обуславливается
требованием удовлетворения граничным условиям при y const с помощью линей-
ных комбинаций В-сплайнов:
2 1 0
0 11 5 12 5 5( ) ( ) ( ) ( )y B y B y B y ; 1 0 1
1 21 5 22 5 5( ) ( ) ( ) ( )y B y B y B y ;
2 0 2
2 31 5 32 5 5( ) ( ) ( ) ( )y B y B y B y ; )()( 5 yBy i
i , i = 3, 4, …, N – 3; (4.8)
2 2
2 31 5 32 5 5( ) ( ) ( ) ( )N N N
N y B y B y B y
; 1 1
1 21 5 22 5 5( ) ( ) ( ) ( )N N N
N y B y B y B y
;
2 1
11 5 12 5 5( ) ( ) ( ) ( )N N N
N y B y B y B y ,
где 5
iB ( y ) ( i –2, …, 2N , i – номер сплайна) – сплайны, которые построены на
равномерной сетке с шагом yh : 5 4 5 5... ...N N Ny y y y y ; 0 0y ; Ny b :
3
5
3 2
5 4 3 2
2 1
5 4 3 2
1
5
5 4 2
1
5 4 3 2
1 2
5
2 3
0, ;
, ;
5 5 10 10 5 1, ;
;10 20 20 20 50 26,1
( )
120 ;10 30 60 66,
;5 20 20 20 50 26,
;(1 ) ,
0,
i
i i
i i
i ii
i i
i i
i i
i
y y
z y y x
z z z z z y y y
y y yz z z z z
B y
y y yz z z
y y yz z z z z
y y yz
y
3 ,y
где ( ) /k yz y y h на интервале 1[ , ], 3, 2;k ky y k i i 3, 2;i N 1y k kh y y
const ; ij и ij ( 1, 2, 3;i 1, 2j ) – постоянные коэффициенты, которые опреде-
ляются в зависимости от заданных граничных условий на краях пластины 0y и
y b , соответственно.
Обозначим
11 12
21 22
31 32
A
,
11 12
21 22
31 32
A
. Тогда при условиях жесткого за-
крепления на краях 0y , y b имеем
24
165 / 4 33 / 8
1 26 / 33
1 1/ 33
A A
;
при условиях шарнирного опирания на краях 0y , y b –
12 3
1 0
1 0
A A
;
а при условиях (4.6) на краях пластин –
165 / 4 33 / 8
1 26 / 33
1 1/ 33
A
;
12 3
1 0
1 0
A
.
Уравнение (4.3) представим в виде
4 3 4 3 2
1 2 3 44 3 2 2 2 2
w w w w w
a a a a
x x x y x y x
3 2 4 3 2
5 6 7 8 9 102 4 3 2
,
w w w w w
a a a a a a w
x yx y y y y
(4.9)
где ( , )i ia a x y , 1, 2, ... , 9i , 10 10 ( , , )a a x y .
Подставив представление (4.7) в уравнение (4.9), потребуем его удовлетворения в
заданных точках коллокации 0,k b , 0, .k N Рассмотрим случай, когда число
узлов сетки четное, т. е. 2 1N n ( 3n ), а узлы коллокации удовлетворяют усло-
виям 2 2 2 1[ , ],i i iy y 2 1 2 2 1[ , ]i i iy y , ( 0, 1, ... , )i n . Тогда на отрезке 2 2 1[ , ]i iy y
имеем по два узла коллокации, а на соседних отрезках 2 1 2 2[ , ]i iy y узлы коллокации
отсутствуют. На каждом из отрезков 2 2 1[ , ]i iy y точки коллокации выбираем следующим
образом: 2 2 1 ,i i yx z h 2 1 2 2i i yy z h ( 0, 1, 2, ... , )i n , где 1z и 2z – корни поли-
нома Лежандра второго порядка на отрезке [0, 1]: 1 1/ 2 3 / 6,z 2 1 / 2 3 / 6z .
Такой выбор точек коллокации является оптимальным и существенно увеличивает
порядок точности аппроксимации. В результате получаем систему 1N линейных
дифференциальных уравнений относительно iw . Если ввести обозначения
( )[ ( )]j
j i k ( , 0, ... ,k i N ; 0, ... , 4j );
0 1{ , , ... , }T
Nw w w w ; 0 1{ ( , ), ( , ) , ... , ( , )}T
r r r r Na a x a x a x ( 1, ... , 9r );
10 10 0 1{ ( , , ), ( , , ), ... , ( , , )}T
r r Na a x a x a x ,
а также для матрицы [ ]ijA a { , 0, ... , )i j N и вектора обозначить через c A мат-
рицу [ ]i ijc a , то система дифференциальных уравнений примет вид
1
0 7 4 8 3 9 2 10( )IVw a a a a w
1 1
0 5 2 6 1 0 2 3 3 1( ) (a a w a a (4.10)
+ 1
4 0 0 1 0) ( )a w a w .
25
Данную систему можно привести к нормальному виду
( , ) (0 )
dY
A x Y x a
dx
(4.11)
( 1 2 1 1 2 1 1 2 1, , ... , , , , ... , , , , ... , ,N N NY w w w w w w w w w 1 2 1, , ... ,
T
Nw w w ;
( ) ( ) ( , ),I I
K Kw w x 1, ... , 1;K N 1, 2, 3;I ( , )A x – квадратная матрица порядка
( 1) ( 1)).N N
Граничные условия для данной системы запишем в виде
1 1(0) ;B Y b 2 2( )B Y a b ( 1b , 2b – нулевые векторы). (4.12)
Анализ численных результатов. Задачу на собственные значения для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (4.11) с граничными условиями (4.12)
решаем методом дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового
поиска [21, 76].
На основании предлагаемой методики исследован спектр собственных колебаний
квадратной пластины переменной толщины при различных граничных условиях на кра-
ях пластины. Толщина пластины изменялась по закону 2
0( ) (6 6 1) 1h x x x h .
Формы поперечного сечения пластины имеют вид
Материал пластины – ортотропный тканевый стеклопластик с модулями Юнга
4
1 4,76 10E МПа и 4
2 2,07 10E МПа, модулем сдвига 4
12 0,531 10G МПа и ко-
эффициентами Пуассона 1 0,149 и 1 0,0647 . Полученные по методу сплайн-
коллокации безразмерные частоты 1/ 22
0/a h D ; 3 4
0 0( /12) 10D h МПа для
жестко закрепленной пластины при различном числе точек коллокации (N = 10, 12,
14, 16, 18, 20, 22) незначительно отличаются (табл. 5) между собой.
Таблица 5
N
10 12 14 16 18 20 22
0
1 61,139 61,132 61,129 61,127 61,127 61,127 61,127
2 107,188 107,066 107,016 106,994 106,982 106,976 106,972
3 142,550 142,537 142,532 142,530 142,529 142,528 142,528
0,3
1 62,108 62,102 62,099 62,099 62,098 62,098 62,098
2 97,737 97,637 97,598 97,580 97,570 97,566 97,562
3 145,289 145,276 145,271 145,269 145,268 145,268 145,267
26
Таблица 6
Граничные
условия
0,5 0, 4 0,3 0, 2 0,1 0
1 58,375 59,012 59,605 60,159 60,674 61,139
2 121,526 119,010 116,240 113,311 110,281 107,188 A
3 124,339 129,656 134,030 137,585 140,405 142,550
1 50,227 51,605 52,905 54,129 54,270 56,320
2 102,334 100,723 98,953 97,083 95,147 93,166 B
3 121,396 126,863 131,384 135,083 138,045 140,330
1 52,733 52,211 51,624 50,995 50,337 49,659
2 109,151 112,403 110,490 107,334 104,080 100,783 C
3 116,222 113,496 114,497 116,613 117,777 118,403
1 43,939 44,009 43,998 43,923 43,790 43,607
2 97,299 95,178 92,905 90,549 88,155 85,755 D
3 105,958 109,322 111,879 113,750 115,019 115,748
1 48,701 47,412 46,059 4,676 43,289 41,918
2 95,664 97,177 97,994 98,235 97,985 96,671 E
3 113,313 110,306 107,049 103,676 100,170 97,306
1 45,045 46,929 48,698 50,354 51,893 53,306
2 85,738 85,046 84,248 83,378 82,453 81,479 G
3 119,425 124,989 129,605 133,396 136,448 138,819
Таблица 7
Граничные
условия
0,1 0, 2 0,3 0, 4 0,5
1 61,542 61,871 62,108 62,237 62,238
2 104,058 100,904 97,737 94,557 91,364 A
3 144,062 144,968 145,289 145,035 144,212
1 57,266 58,096 58,791 59,339 59,724
2 91,149 89,104 87,026 84,911 82,749 B
3 144,977 143,017 143,469 138,723 131,720
1 48,965 48,257 47,535 46,801 46,051
2 97,477 94,187 90,928 87,713 84,546 C
3 118,535 118,208 117,477 116,269 114,688
1 43,376 43,098 42,744 42,402 41,982
2 83,369 81,013 78,694 76,420 74,190 D
3 115,981 115,752 115,085 113,998 112,506
1 40,583 39,297 38,077 36,933 35,878
2 93,185 89,743 86,364 38,065 79,858 E
3 96,249 94,852 93,149 91,160 88,934
1 54,586 55,718 56,642 57,495 58,109
2 80,460 79,389 78,258 77,055 75,765 G
3 140,291 134,815 129,283 123,717 118,135
27
В табл. 6, 7 приведены безразмерные частоты i ( 1, 2, 3)i (упорядоченные по
значению), соответственно, при 0 и 0 для ортотропной квадратной пластины:
1) жестко закрепленной по всем краям; граничные условия типа А:
0,w 0
w
y
при 0,y y a ; 0,w 0
w
x
при 0,x x a ;
2) жестко закрепленной по трем сторонам и шарнирно опертой по четвертой сто-
роне; граничные условия типа B:
0,w 0
w
y
при ,y a 0,w 0
w
x
при 0,x x a ;
0,w
2
2
0
w
y
при 0y ;
и граничные условия типа C:
0,w 0
w
y
при 0y ,y a 0,w 0
w
x
при 0,x 0,w
2
2
0
w
x
при x a ;
3) жестко закрепленной по двум сторонам и шарнирно опертой по двум другим
сторонам; граничные условия типа D:
0,w 0
w
y
при 0,y 0,w
2
2
0
w
y
при ,y a 0,w 0
w
x
при 0,x 0,w
2
2
0
w
x
при x a ;
граничные условия типа E:
0,w 0
w
y
при 0,y ,y a 0,w
2
2
0
w
x
при 0,x x a ;
и граничные условия типа G:
0,w
2
2
0
w
y
при 0,y ,y a 0,w 0
w
x
при 0,x x a .
Количество точек коллокации 10N . Графи-
ки зависимости безразмерной частоты i колеба-
ний квадратной ортотропной пластины при раз-
личных типах граничных условий и различных
значениях параметра показаны на рис. 11 – 13.
Максимумы и минимумы на графиках частот
2 и 3 соответствуют перестройке форм. Наи-
большей частотой при всех рассмотренных гра-
ничных условиях на торцах пластины и различных
значениях является частота, которая соответст-
Рис. 11
28
Рис. 14
вует жестко закрепленной пластине. Первая частота для граничных условий типа D
мало изменяется по сравнению с другими случаями граничных условий. На рис. 14
показаны формы собственных колебаний пластины с граничными условиями типа G.
Решения задач о свободных колебаниях пластин и пологих оболочек с перемен-
ной толщиной по предложенной методике на основе классической теории представ-
лены в [12, 34, 35, 50].
§5. Свободные колебания конических оболочек с переменными параметрами
(классическая постановка).
Постановка задачи. Рассмотрим задачу о свободных колебаниях изотропной ко-
нической оболочки переменной толщины ( , )h x y в криволинейной ортогональной
системе координат ( , ),s где s – длина дуги меридиана; – центральный угол в
параллельном круге. Параметры Ламе в данном случае равны: 1, .A B r Радиусы
Рис. 12
Рис. 13
29
главных кривизн ,sR R равны, соответственно: 0; / sin ,R R rs где r – радиус в
параллельном круге; – угол, образованный нормалью к срединной поверхности и
осью вращения.
Согласно теории тонких оболочек Кирхгофа – Лява уравнения, описывающие сво-
бодные колебания конических оболочек, имеют вид [8]
2
2
( , , )
( ) cos ;
S u s t
r N N r hss t
2
2
( , , )
( ) cos sin ;
N H v s t
rS S Q r h
s s t
(5.1)
2
2
( , , )
( ) sin ;
w s tQ
r Q N r hss t
( ) cos 0;s s
H
r M M rQ
s
( ) cos 0.
M
rH H r Q
s
В уравнениях (5.1) ,s – криволинейные ортогональные координаты точки средин-
ной поверхности ( 0 as s s , 0 b ); t – время; , ,u v w – перемещения точек сре-
динной поверхности; – плотность материала. Связь между деформациями и пере-
мещениями имеет вид
1 cos sin
; ;s
u v
u w
s r r r
2
2
1 cos
; ;s s
u v w
v
r s r s
2 2
2 2 2
1 cos cos 1
; .s
w w w w
r s r sr r
(5.2)
Для нормальных и сдвигающего усилий sN , N и S , изгибающих и крутящего мо-
ментов sM , M и H при условии изотропного материала оболочек справедливы
такие соотношения упругости
( );s N sN D ( );N sN D
1
;
2 N sS D
( );s M sM D ( );M sM D (1 ) .M sH D (5.3)
Для жесткостных коэффициентов оболочки имеем формулы / (1 )ND Eh ;
3 / 12(1 )MD Eh , где ,E v – соответственно, модуль упругости и коэффициент
Пуассона материала оболочки.
Перемещения ( , , ), ( , , ), ( , , )u s t v s t w s t при рассмотрении малых колебаний
срединной поверхности представим в виде гармонических функций
( , , ) ( , ) ; ( , , ) ( , ) ; ( , , ) ( , ) ,i t i t i tu s t u s e v s t v s e w s t w s e (5.4)
где ω – частота свободных колебаний.
Из системы уравнений (5.1) – (5.3) с учётом (5.4) получим три эквивалентных
дифференциальных уравнения относительно трех перемещений u , v и w для точек
срединной поверхности оболочки
2 2 2
2 2
, , , , , , , , , , ;
u u u u v v v w
F u v wu s s s ss
30
2 2 2 2 2 2 3 3
2 32 2 2 2
, , , , , , , , , , , , , , , , ;v
v u u u v v v w w w w w w w
F u v w
ss s s s ss s
(5.5)
4 2 2 2 3 3 3 3 4 4
2 4 2 24 2 2 3 3 2
,, , , , , , , , , , , , , , ,w
w u v w w w w w w w w w w w
F u w
s s ss s ss s s
где , ,u wF F F – линейные дифференциальные операторы.
На контурах 0 , as s s и 0, b заданы граничные условия в перемещениях. На
контурах consts могут быть заданы такие граничные условия:
1) жестко закрепленный контур
w
u v w
s
при 0s s , as s ; (5.6)
2) шарнирно опертый контур
2
2
u w
v w
s s
при 0s s , .as s (5.7)
Аналогичные условия могут быть заданы и на контурах θ = const:
1) жестко закрепленный контур
w
u v w
при 0 , b ; (5.8)
2) шарнирно опертый контур
2
2
v w
u w
при 0 , .b (5.9)
Метод решения. Решение системы уравнений (5.5) представим в виде
0
( ) ( );
N
i i
i
u u s
0
( ) ( );
N
i i
i
v v s
0
( ) ( ),
N
i i
i
w w s
(5.10)
где ( )iu , ( )iv , ( )iw ( 0, . . . ,i N ) – искомые функции; ( )i s , ( )i s – функции,
построенные с помощью В-сплайнов третьей степени ( 4N ); ( )i s – функции, по-
строенные с помощью В-сплайнов пятой степени ( 6N ). Выбор функций ( )i s ,
( )i s , ( )i s обусловлен требованиями – удовлетворить граничным условиям при
consts с помощью линейных комбинаций B -сплайнов 3-ой и 5-ой степени, соот-
ветственно.
Запишем систему уравнений (5.5) в виде
2 2 2
11 12 13 14 15 16 172 2
u u u u v v v
a a a a u a a a
s s ss
18 19 110 111( ) ;
w
a v a a w a u
s
2 2 2 3
21 22 23 24 25 26 27 28 292 2 3
v u u u v v v w
a a a a u a a a a v a
s s ss
2 3 2 2
210 211 212 213 214 215 216 2172 2 2
( ) ;
w w w w w w
a a a a a a a w a v
s ss s
31
4 3 4 3 2
31 32 33 34 35 36 374 3 2 2 2 2
w u v w w w w
a a u a a a a a
s s s
(5.11)
3 2 4 3 2
38 39 310 311 312 313 314 315 3162 4 3 2
( ) ,
w w w w w w w
a a a a a a a a w a w
s ss s s s
где приняты обозначения: 1 1 ( , )n na a s , 2 2 ( , )m ma a s , 3 3 ( , )k ka a s ; 1, . . . , 10n ,
1, . . . , 16m , 1, . . . , 15k , 111 111( , , )a a s , 217 217 ( , , )a a s , 316 316 ( , , )a a s .
Подставив представление (5.10) в систему уравнений (5.11), требуем, чтобы они
удовлетворялись в заданных точках коллокации ,k a bs s , 0, . . . ,k N . В случае
четного числа узлов сетки ( 2 1N n , 3n ) и при условии, что узлы коллокации
удовлетворяют требованиям: 2 2 2 1,i i is s , 2 1 2 2 1,i i is s , ( 0, . . . ,i n ), на отрезке
сетки 2 2 1,i is s имеем два узла коллокации, а на соседних отрезках 2 1 2 2,i is s узлы
коллокации отсутствуют. На каждом из отрезков сетки 2 2 1,i is s точки коллокации
выбираем следующим образом: 2 2 1i is z h , 2 1 2 2i is z h , ( 0, . . . ,i n ), где h –
шаг сетки; 1z и 2z – корни полинома Лежандра второго порядка на отрезке [0, 1], ко-
торые равняются: 1 1 2 3 6z и 2 1 2 3 6z . Такой выбор точек коллокации
является оптимальным и существенно повышает порядок точности аппроксимации.
После всех преобразований получим систему 1N линейных дифференциальных
уравнений относительно , ,i i iu v w . Если ввести обозначения
( )[ ( )],l
i kl
( )[ ( )]l
i kl
, ( )[ ( )]m
im k
( , 0, ..., , 0, ..., 2, 0, ..., 4);i k N l m
0{ , . . . , };T
Nu u u 0{ , . . ., };T
Nv v v 0{ , . . . , };T
Nw w w
1 1 0 1, , .... , , ( 1, ..., 10);
T
r r r Na a a r
2 2 0 2, , ... , , ( 1, ..., 16);
T
r r r Na a a r
3 3 0 3, , . . . , , ( 1, . . . , 15);
T
r r r Na a a r
111 111 0 111, , , . . . , , , ;
T
Na a a 217 217 2170, , , . . . , , , ;
T
Na a a
316 316 0 111, , , . . . , , , ,
T
Na a a
а также для матрицы [ ]A aij ( , 0, . . . ,i j N ) и вектора 0{ , . . . , }Nc c c обозначить
через c A матрицу ][ i ijc a , то система дифференциальных уравнений (5.11) примет вид
1
0 12 2 13 1 14 0 111 0 11 0 17 1 18 0( ) ( ) ( )u a a a a u a u a a v
15 1 16 0 19 1 110 0( ) ( ) ;a a v a a w
1
0 23 1 24 0 21 1 22 0( ) ( )v a a u a a u
26 2 27 1 28 0 217 0 25 0( ) ( )a a a a v a v
32
214 2 215 1 216 0 2111 2 212 1 213 0
210 0 29 0
( ) ( )
( ) ( ) ;
a a a w a a a w
a w a w
(5.12)
1
0 31 1 32 0 33 0 311 4 312 3 313 2 314 1
315 0 316 0 38 2 39 1 310 0
35 2 36 1 37 0 34 0
( ) ( ) (
) ( )
( ) ( ) ,
IVw a a u a v a a a a
a a w a a a w
a a a w a w
где ( ) ( ) ,k k
i iu u ; ( ) ( ) ,k k
i iv v ; ( ) ( ) ,l l
i iw w ( 0, ..., 1k , 0, ..., 3l ,
0, . . . ,i N ).
Полученную систему обыкновенных дифференциальных уравнений приводим к
нормальному виду
,
dY
A Y
d
(0 ),b (5.13)
где
0 0 0 0 0 0 0 0
{ ,..., , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., }T
N N N N N N N N
Y u u u u v v v v w w w w w w w w ,
( , )A p – квадратная матрица порядка 8( 1) 8( 1).N N
Граничные условия (5.6) – (5.9) для системы (5.13) запишем в виде
1 0 0;B Y 2 0.B Y b (5.14)
Задачу на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (5.13) с граничными условиями (5.14) решаем методом дискретной ортого-
нализации в сочетании с методом пошагового поиска.
С помощью вышеописанной методики исследован спектр свободных колебаний
изотропных конических панелей.
Численные результаты и их анализ. Исследования колебаний проведены для
незамкнутых изотропных конических оболочек (панелей) заданной геометрии
(табл. 8); рассмотрено восемь вариантов, где приняты обозначения: L – длина обра-
зующей; 1 2,R R – радиусы торцевых поверхностей; b – угол раствора конической
панели; k – угол конусности. Толщина оболочек изменялась по следующему закону:
0 (1 cos ) ( 0,5 0,5)h h , (5.15)
где 0h – толщина оболочки постоянной толщины и эквивалентной массы. В качестве
материала рассматриваемых оболочек принята сталь с такими упругими характери-
стиками: 112,14 10 Па,E 0, 2588 , 7850 кг/м3.
Расчеты частот колебаний конических панелей выполнены при следующих гра-
ничных условиях (5.6) – (5.9):
1G : жесткое закрепление по всему контуру – условия (5.6), (5.8);
2G : жесткое закрепление по трем сторонам – условия (5.6) и (5.8) при b и
шарнирное опирание по четвертой стороне – условие (5.7) при 0 ;
3G : жесткое закрепление контуров consts (условия (5.6) и шарнирное опира-
ние контуров const – условия (5.9).
Относительные различия между частотами, полученными с помощью метода
сплайн-коллокации при разном количестве точек коллокации ( 10, 12, 14,N N N
16)N , не превышают 3%. С учетом малого отличия значений частот для числа то-
чек коллокации 12N в работе приведены данные расчетов для 12.N
Проверка достоверности получаемых результатов осуществлена путём сравнения
частот изгибных свободных колебаний цилиндрической оболочки постоянной толщи-
33
ны (геометрические размеры оболочки приведены в табл. 8 и соответствуют обозна-
чению C1) и близких к ней конических оболочек эквивалентной массы (обозначены
как К2,5; К5 в табл. 8) при условиях шарнирного опирания всех контуров. Для цилин-
дрической панели при такой постановке задачи существует возможность получить
аналитические значения частот.
Таблица 8
L , м 1,R м 2 ,R м 0h , м b , рад k , градусы Обозначение
0,12 0,09 0,09 0,004 2 0 C1
0,12 0,0875 0,0925 0,004 2 2,5 К2,5
0,12 0,085 0,095 0,004 2 5 K5
0,12 0,08 0,1 0,004 2 10 K10
0,12 0,075 0,105 0,004 2 15 K15
0,12 0,07 0,11 0,004 2 20 K20
0,12 0,065 0,115 0,004 2 25 K25
0,12 0,06 0,12 0,004 2 30 K30
В табл. 9 приведены значения частот i , Гц изгибных колебаний цилиндрической
оболочки и близких к ней конических оболочек эквивалентной массы при условии
шарнирного опирания всех контуров данных оболочек, полученные аналитически
(обозначены А) и с помощью метода сплайн-коллокации (Б, В, Г). Здесь А – частоты
изгибных колебаний цилиндрической оболочки (C1), полученные аналитически; Б –
частоты для цилиндрической оболочки (C1), полученные методом сплайн-
коллокации; В, Г – частоты изгибных колебаний конических оболочек К2,5 и К5, со-
ответственно, полученные методом сплайн-коллокации; Р – относительное различие
между аналитическими и численными результатами. Как видно, максимальные разли-
чия между численными и аналитическими данными не превышают 0,4%, что свиде-
тельствует о достаточной точности применяемого численного подхода.
Таблица 9
i А Б Р, % В Р, % Г Р, %
1 3501,92 3489,15 0,36 3485,65 0,46 3480,40 0,61
2 5176,39 5167,92 0,16 5166,65 0,19 5162,83 0,26
3 5479,31 5474,13 0,09 5469,52 0,18 5456,79 0,41
4 7082,30 7081,76 0,01 7079,53 0,04 7070,94 0,16
Таблица 10
–0,2 –0,1 i
A B Р, % A B Р, %
1 3146,49 3142,51 0,13 3261,88 3258,22 0,11
2 4464,61 4463,34 0,03 4779,10 4777,83 0,03
3 5107,28 5102,03 0,10 5110,15 5104,74 0,11
4 6553,05 6550,98 0,03 6767,75 6765,68 0,03
0,1 0,2
i
A B Р, % A B Р, %
1 3494,41 3491,22 0,09 3612,02 3609,16 0,08
2 5114,44 5109,19 0,10 5117,15 5111,90 0,10
3 5394,24 5392,81 0,03 5695,68 5694,25 0,03
4 7141,92 7140,17 0,02 7319,22 7317,79 0,02
34
В качестве тестовой задачи также были получены частоты свободных колебаний
цилиндрических и близких к ним конических оболочек переменной толщины с зако-
ном изменения толщины (5.15) при условии шарнирного опирания всех контуров.
Данные расчётов приведены в табл. 10, где А – частоты цилиндрической панели, В –
частоты конической панели, Р – относительное расхождение соответствующих частот
для А и В. Отличия между соответствующими частотами цилиндрических и кониче-
ских панелей не превышают 0,15%.
В табл. 11 приведены значения частот свободных колебаний конических оболочек
переменной толщины: с углом конусности 10° (соответствуют геометрическим пара-
метрам К10 табл. 1); в табл. 5 – с углом конусности 20° (соответствуют геометриче-
ским параметрам К20 в табл. 1); в табл. 6 – с углом конусности 30° (соответствуют
геометрическим параметрам К30 табл. 1). Расчеты проведены при различных гранич-
ных условиях.
Данные табл. 11 – 13 позволяют проследить влияние изменения толщины на ди-
намические характеристики конических оболочек, а также выполнить анализ разли-
чия значений собственных частот конических оболочек с переменной толщиной отно-
сительно оболочек с постоянной толщиной. Различие значений частот возрастает при
увеличении параметра и на более высоких частотах.
Таблица 11
Граничные
условия
i
–0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0
1 4,583 4,821 5,019 5,203 5,380 5,554
2 4,740 5,074 5,410 5,732 6,035 6,317
3 7,063 7,526 7,908 8,249 8,573 8,889
4 7,158 7,620 8,049 8,444 8,789 9,077
i 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0
1 5,726 5,896 6,067 6,237 6,407 –
2 6,577 6,815 7,031 7,225 7,398 –
3 9,197 9,468 9,682 9,890 10,10 –
1G
4 9,308 9,543 9,825 10,07 10,29 –
i –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0
1 3,963 4,074 4,202 4,313 4,425 4,536
2 4,425 4,759 5,061 5,364 5,634 5,889
3 6,127 6,557 6,812 6,971 7,098 7,242
4 6,875 7,226 7,480 7,703 7,910 8,117
i 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0
1 4,647 4,743 4,854 4,966 5,077 –
2 6,096 6,271 6,414 6,525 6,637 –
3 7,417 7,608 7,846 8,101 8,372 –
2G
4 8,308 8,499 8,674 8,849 9,008 –
i –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0
1 3,470 3,629 3,772 3,915 4,058 4,186
2 3,979 4,299 4,617 4,939 5,258 5,523
3 5,379 5,411 5,443 5,459 5,491 5,575
4 5,777 6,382 6,907 7,257 7,576 7,846
i 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0
1 4,313 4,456 4,584 4,711 4,838 –
2 5,539 5,570 5,602 5,634 5,682 –
3 5,890 6,201 6,511 6,818 7,127 –
3G
4 8,101 8,340 8,563 8,769 8,960 –
35
Отметим, что при варьировании параметра α можно получить значительное изме-
нение значений частот. Так, для оболочек с переменной толщиной, соответствующей
значениям | | 0,5, различие в значениях частот относительно частот оболочки эк-
вивалентной массы постоянной толщины составляет от 12% до 25% в зависимости от
типа граничных условий. Таким образом, получено, что незначительное изменение
толщины оболочки может привести к значительным изменениям её динамических
характеристик, сравнимых (по порядку) с влиянием типа граничных условий.
Таблица 12
Граничные
условия
i
–0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0
1 4,498 4,724 4,921 5,107 5,287 5,464
2 4,678 5,019 5,351 5,665 5,958 6,228
3 6,927 7,367 7,745 8,095 8,430 8,713
4 6,995 7,523 7,970 8,321 8,536 8,760
i 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0
1 5,639 5,813 5,987 6,160 6,334 –
2 6,474 6,695 6,893 7,069 7,225 –
3 8,899 9,097 9,308 9,532 9,763 –
1G
4 9,083 9,403 9,685 9,908 10,12 –
i –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0
1 3,883 4,011 4,122 4,234 4,345 4,456
2 4,377 4,711 5,013 5,300 5,570 5,793
3 5,984 6,382 6,605 6,764 6,891 7,051
4 6,812 7,114 7,353 7,576 7,783 7,990
i 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0
1 4,568 4,679 4,791 4,902 5,013 –
2 5,984 6,143 6,271 6,398 6,494 –
3 7,242 7,464 7,703 7,974 8,260 –
2G
4 8,196 8,372 8,563 8,722 8,897 –
i –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0
1 3,390 3,565 3,708 3,852 3,979 4,122
2 3,947 4,265 4,584 4,919 5,239 5,348
3 5,188 5,236 5,268 5,284 5,316 5,556
4 5,682 6,271 6,780 7,130 7,433 7,719
i 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0
1 4,265 4,393 4,536 4,663 4,806 –
2 5,379 5,411 5,443 5,475 5,523 –
3 5,857 6,175 6,478 6,780 7,082 –
3G
4 7,990 8,228 8,451 8,658 8,849 –
Также данные табл. 11 – 13 позволяют проследить характер влияния граничных
условий на изменение спектра собственных частот. Видно, что более высоким значе-
ниям частоты соответствуют более жёсткие граничные условия. Для граничных усло-
вий типа 3G (жесткое закрепление на контурах consts и шарнирное опирание на
контурах const ) характерно сужение интервала между второй и третьей частота-
ми при приближении формы срединной поверхности данной оболочки к конической
оболочке постоянной толщины.
36
Таблица 13
Граничные
условия
i
–0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0
1 4,326 4,543 4,742 4,931 5,116 5,299
2 4,566 4,906 5,226 5,523 5,792 6,035
3 6,631 7,065 7,416 7,669 7,873 8,078
4 6,831 7,346 7,594 7,880 8,211 8,549
i 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0
1 5,480 5,660 5,839 6,018 6,197 –
2 6,249 6,437 6,602 6,747 6,875 –
3 8,296 8,528 8,775 9,031 9,292 –
1G
4 8,885 9,149 9,363 9,573 9,786 –
i –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0
1 3,746 3,868 3,987 4,106 4,225 4,342
2 4,290 4,617 4,920 5,194 5,431 5,626
3 5,748 6,053 6,238 6,388 6,550 6,743
4 6,605 6,872 7,110 7,343 7,566 7,776
i 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0
1 4,458 4,571 4,682 4,788 4,891 –
2 5,782 5,911 6,024 6,128 6,231 –
3 6,971 7,228 7,504 7,790 8,082 –
2G
4 7,972 8,157 8,333 8,504 8,673 –
i –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0
1 3,263 3,422 3,581 3,724 3,867 4,011
2 3,899 4,218 4,552 4,870 4,997 5,029
3 4,854 4,902 4,934 4,966 5,188 5,507
4 5,539 6,112 6,557 6,891 7,210 7,512
i 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0
1 4,154 4,297 4,440 4,584 4,711 –
2 5,061 5,093 5,141 5,188 5,236 –
3 5,825 6,127 6,430 6,732 7,035 –
3G
4 7,799 8,053 8,260 8,451 8,626 –
Для всех типов граничных условий характерно уменьшение значений частот сво-
бодных колебаний оболочки при увеличении её угла конусности. Следует отметить,
что указанные изменения оказывают на порядок меньшее влияние по сравнению с
влиянием характера изменения толщины оболочки и влиянием типа граничных усло-
вий. Различие между значениями частот, соответствующих оболочке с углом конус-
ности 10 градусов, и частотами оболочки с углом конусности 30 градусов составляет
5 – 7%. Причём более высоким значениям угла конусности соответствует более рез-
кое изменение частот свободных колебаний.
На рис. 15 – 18 построены формы, соответствующие четырем частотам свободных
колебаний оболочек, шарнирно опертых по одному контуру и жестко закрепленных
по трем контурам. Как видим, первой собственной частоте соответствует формообра-
зование в виде двух полуволн в окружном направлении и одной полуволны вдоль об-
разующей. Второй частоте свободных колебаний соответствует формообразование в
виде трёх полуволн в окружном направлении и одной полуволны вдоль образующей.
Третьей частоте соответствует одна полуволна вдоль образующей и четыре полувол-
ны в окружном направлении, четвёртой частоте – две полуволны в окружном и мери-
диональном направлениях, соответственно.
37
Представленные результаты расчётов свидетельствуют о высокой эффективности
использования метода сплайн-коллокации для исследования спектра частот свобод-
ных колебаний тонких конических оболочек (панелей) с произвольным законом из-
менения толщины. Более подробный анализ свободных колебаний конических оболо-
чек с переменной в одном или двух направлениях толщиной на основе классической
теории проведен в [13, 14, 46].
§6. Напряженно-деформированное состояние цилиндрических оболочек с не-
круговым поперечным сечением (уточненная постановка).
Рассмотрим нетонкие ортотропные цилиндрические оболочки с некруговым по-
перечным сечением. В качестве исходных принимаем уравнения уточненной теории
оболочек, которая базируется на гипотезе прямой линии [21, 31]. Исходя из общих
уравнений, приведем данные для нетонких ортотропных цилиндрических оболочек с
некруговым поперечным сечением.
Отнесем координатную поверхность оболочки к ортогональной системе коорди-
нат , ,s t где ,s t – длины дуг по образующей и направляющей, а нормаль к этой по-
верхности – . Из общих соотношений, которые приведены в монографии [21] , по-
лучаем выражения для деформаций
s
u
s
; ( )t
v
k t w
t
; st
u v
t s
; s
s s
;
( ) ( )t
t
v
k t k t w
t t
; 2 ( )s t
st
u
k t
t s t
; (6.1)
s s s ; t t t ; s
w
s
; ( )t
w
k t v
t
.
Рис. 15
Рис. 17
Рис. 16
Рис. 18
38
В выражениях (6.1) s, t, st – тангенциальные, а s, t, st – изгибные деформации ко-
ординатной поверхности; , ,u v w перемещения, ,s t полные угли поворота норма-
ли, k(t) – кривизна направляющей; s, t – углы поворота нормали без учета попереч-
ных сдвигов; s, t – углы поворота нормали, обусловленные поперечными сдвигами.
Уравнения равновесия имеют вид
0s ts
s
N N
q
s t
; ( ) 0t st
t t
N N
k t Q q
t s
;
( ) 0s t
t
Q Q
k t N q
s t
; 0s ts
s
M M
Q
s t
; (6.2)
0t st
t
M M
Q
t s
; ( ) 0st ts tsN k t M N ,
где Ns, Nt, Nst, Nts – тангенциальные усилия; Qs, Qt – перерезывающие усилия; Ms, Mt,
Mst, Mts – изгибающие и крутящие моменты; qs, qt, q – компоненты поверхностной
нагрузки.
Соотношения упругости для ортотропных оболочек симметричной структуры по
толщине относительно выбранной координатной поверхности примем в виде
11 12s s tN C C ; 12 22t s tN C C ; 66 662 ( )st st stN C k t D ; 66ts stN C ;
(6.3)
11 12s s tM D D ; 12 22t s tM D D ; 662ts st stM M D ; 1s sQ K , 2t tQ K ,
где
11 1
s
s t
E h
C
, 12 11tC C , 22 1
t
s t
E h
C
, 66 stC G h ;
3
11 12(1 )
s
s t
E h
D
; 12 11tD D ;
3
22 12(1 )
t
s t
E h
D
; (6.4)
3
66 12
stG h
D ; 1
5
6 sK hG ; 2
5
6 tK hG .
В формулах (6.4) sE , tE , s, t – модули упругости и коэффициенты Пуассона в на-
правлениях s и t, , ,st s tG G G – модули сдвига; h = h(s, t) – толщина оболочки.
Для решения рассматриваемого класса двумерных краевых задач применим под-
ход, который основан на аппроксимации решения в одном координатном направле-
нии с помощью сплайн-функций, а для решения полученной при этом одномерной
краевой задачи используем устойчивый численный метод дискретной ортогонализа-
ции. Такой подход позволяет решать задачи для разных граничных условий на каж-
дом контуре оболочки. Согласно этому подходу разрешающую систему уравнений
запишем в виде
2 2
11 12 13 14 15 16 17 18 192 2 s
u u u w v u
a a a a a a v a w a u a q
s s s st s
;
22 2
21 22 23 24 25 26 27 282 2 2
s t
t
v u v
a a v a a w a w a a a
s st s s
29 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15
t
s t
u v
a a a v a u a a a q
s s s
;
39
2 2
31 32 33 34 35 36 37 382 2
s
t t
w u w
a a v a v a w a a a a
s st s
39 3,10 3,11 3,12s
w
a a a w a q
s
; (6.5)
2 22
41 42 43 44 45 46 47 482 2 2
s s t t
s
u v w
a u a a a a a a a
s s s st s s
49 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 4,15 4,16
s
t s s
u v
a a v a w a a a a a q
s s s
;
2 22
51 52 53 54 55 56 57 58 592 2 2
t s t
t
u v
a a v a v a a w a w a a a
s st s s
5,10 5,11 5,12 5,13 5,14 5,15 5,16 5,17
t s
t s t
u v
a a a u a a a a a q
s s s s
.
Коэффициенты aij в системе (6.5) приведены в [87].
Дополняя систему разрешающих уравнений (6.5) граничными условиями для от-
крытых оболочек на всех сторонах, а для замкнутых – граничными условиями на кри-
волинейных сторонах и условиями периодичности по направляющей, приходим к
двумерной краевой задаче.
В систему (6.5) входят производные от разрешающих функций по координате s не
выше второго порядка. Исходя из этого, при аппроксимации решения по координате s
ограничимся сплайн-функциями третьей степени. Тогда искомое решение краевой
задачи для системы уравнений (6.5) с соответствующими граничными условиями
представим в виде
1( , ) ( ) ( )
N
i i
i o
u s t u t s
; 2( , ) ( ) ( )
N
i i
i o
v s t v t s
; 3( , ) ( ) ( )
N
i i
i o
w s t w t s
;
4( , ) ( ) ( )
N
s si i
i o
s t t s
; 5( , ) ( ) ( )
N
t ti i
i o
s t t s
,
(6.6)
где ui(t), vi(t), wi(t), si(t), ti(t) – искомые функции переменной t; ji(s) (j = 1, 5 ) – ли-
нейные комбинации B-сплайнов третьей степени на равномерной сетке :
Lsss N 100 , которые удовлетворяют граничным условиям на криво-
линейных контурах 0s и s L .
На криволинейных контурах s = const рассмотрим следующие граничные условия:
1) контур жестко закреплен
0s tu v w ; (6.7)
2) контур шарнирно оперт и свободный в направлении образующей
0s s tN v w M или 0s
t
u
v w
s s
; (6.8)
3) контур закреплен и свободный в нормальном направлении
0st s s stu N Q M или 0t
s
v w
u
s s s
; (6.9)
4) контур шарнирно закреплен
0s tu v w M Q или 0s
tu v w
s
. (6.10)
40
Поскольку граничные условия (6.7) – (6.10) содержат только значение разрешающих
функций и их первых производных, которые приравниваются нулю, на контуре
consts их можно представить через B-сплайны таким образом:
а) если разрешающая функция равняется нулю, то
1 0
0 3 3( ) 4 ( ) ( )j s B s B s ; 1 0 1
1 3 3 3
1
( ) ( ) ( ) ( )
2j s B s B s B s ; (6.11)
3( ) ( ) ( 2, 3, ... , 2)i
ji s B s i N ;
б) если производная по s от разрешающей функции равняется нулю, то
0
0 3( ) ( )j s B s , 1 0 1
1 3 3 3
1
( ) ( ) ( ) ( )
2j s B s B s B s ; (6.12)
3( ) ( ) ( 2, 3, ... , 2)i
ji s B s i N .
Аналогично представляются функции j,N-1(s) и j,N (s).
Подставляя решение (6.6) в разрешающую систему уравнений (6.5) и в соответст-
вии с методом сплайн-коллокации требуя их удовлетворения на N+1 линии s=i
(i=1, 1N ), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка
10 (N +1), которую представим в виде
dR
AR f
dt
, (6.13)
( 0 0 0 0 0 0{ , ... , , , ... , , , ... , , , ... , , , ... , , , ... , ,N N N N N NR u u u u v v v v w w w w
0 0 0 0, ... , , , ... , , , ... , , , ... , }T
s sN s sN t tN t tN );
R – вектор-функция от t; f – вектор правых частей; А – квадратная матрица, эле-
менты которой зависят от t).
В случае незамкнутых оболочек по образующей граничные условия на прямоли-
нейных контурах t1 и t2 запишем в следующем виде:
1 1 1( )A R t a ; 2 2 2( )A R t a . (6.14)
Полученную одномерную краевую задачу (6.13), (6.14) решаем устойчивым числен-
ным методом дискретной ортогонализации.
На основе данного подхода рассмотрим задачу о напряженно-деформированном со-
стоянии незамкнутой трансверсально-изотропной цилиндрической оболочки перемен-
ной вдоль образующей толщины с эллиптическим поперечным сечением координатной
поверхности под действием равномерной нормальной нагрузки 0q q const. Обо-
лочка жестко закреплена по всему контуру. Поперечное сечение координатной по-
верхности оболочки параметрично задано в виде
cosx b ; sinz a / 2 / 2 , (6.15)
где b, a – полуоси эллипса; – угловой параметр. При этом переход от координаты t
к координате для функции v t осуществляется следующим образом:
2 2
1
; ;
dt dx dz v v v v t
d d d t t
. (6.16)
При этом предполагаем, что площадь эллипса остается неизменной и равняется пло-
щади круга радиуса R, т.е. ab = R2 = const. Толщина оболочки изменяется вдоль на-
правляющей по закону 0( ) (1 cos 2 )h h , так что с изменением вес оболочки
остается постоянным. Материал оболочки имеет модуль поперечного сдвига G = E / d,
где E – модуль упругости в плоскости изотропии.
41
Для исследования влияния изменения толщины оболочки при сохранении веса на
распределение прогиба и напряжения по направляющей при решении задачи приняты
параметры оболочки: L 30; h0 1; R 10; a 5; 20; d 40; 0,3; 0; 0,3; 0,5.
Отметим, что эта задача описывается системой дифференциальных уравнений в
частных производных с переменными коэффициентами (6.5). На краях оболочки за-
даются граничные условия (6.7) – (6.10).
На рис. 19 – 21 приведены графики распределения прогибов и напряжений на бо-
ковых поверхностях оболочки в сечении s L / 2 в зависимости от изменения толщи-
ны. Из рис.19, а следует, что для эллипса при 5a максимум прогиба имеет место
возле прямолинейного края и с увеличением , т.е. толщины в зоне вершины большей
полуоси эллипса, его значение увеличивается (при 0,5 – более чем в полтора
раза). При уменьшении толщины в этой зоне его значение незначительно уменьшает-
ся. В области более жесткой вершины наблюдается смещение вершины в направле-
нии, противоположному действию приложенной нагрузки. При а 20, как следует из
рис. 19, б, картина значительно меняется: максимальный прогиб находится на верши-
не малой полуоси эллипса и с уменьшением , т.е. толщины оболочки в зоне этой
вершины, его значения увеличиваются; в частности, при – 0,5 – больше чем в два
раза. С увеличением толщины в этой зоне, т.е. при 0,3; 0,5, прогиб незначительно
уменьшается.
Рис. 19
Рис. 20
42
На рис. 20 показано как изменяются напряжения на внешней поверхности обо-
лочки в зависимости от изменения толщины оболочки. Из рис. 20, а видно, что с уве-
личением максимальное значение t
+ возрастает и при 0,5 почти вдвое превы-
шает его значение при 0. С изменением конфигурации эллипса в поперечном се-
чении оболочки, как видно из рис. 20, б, максимальные напряжения имеют место в
вершине малой полуоси. При = – 0,5 напряжение превышает его значение при = 0
больше, чем в два раза.
Из рис.21, а видно, что для напряжений на внутренней поверхности оболочки при
а 5 имеем качественно близкую картину к изображению на рис. 20, а, но с проти-
воположным знаком. В количественном отношении максимальные напряжения t
–
превышают напряжения t
+ больше, чем в два раза. Как видно из рис. 21, б, величина
напряжений t
– при а = 20 почти вдвое меньшая, чем t
+. Максимальные напряжения
t
имеют место в оболочке при а = 5 возле прямолинейного края.
Рис. 21
Таким образом, за счет изменения толщины оболочки можно влиять на распреде-
ление перемещений и напряжений при сохранении ее веса.
Также решены задачи о статическом поведении нетонких некруговых оболочек
в [88 – 91].
§7. Напряженное состояние конических оболочек переменной толщины
(уточненная постановка).
Рассмотрим напряженное состояние нетонких ортотропных конических оболочек
под действием распределенных поверхностных и локальных нагрузок, исходя из
уточненной теории, которая базируется на гипотезе прямой линии [21]. Оболочку от-
несем к ортогональной системе координат s, , γ, где s= const, = const – линии глав-
ных кривизн координатной поверхности, а γ – нормальная координата к координатной
поверхности.
Координатная поверхность конической оболочки описывается первой квадратич-
ной формой 2 2 2 2dS ds r d , где радиус r определяется формулой 0 cosr r s ;
r0 – радиус круга в плоскости отсчета; φ – угол между нормалью к оболочке и осью
вращения; радиус кривизны / sinR r .
Из общих соотношений, приведенных в [24], получаем выражения для деформаций
1 1
cos sins s
u v u v
u w r
s r r s r
43
1 sin
cos cos sin ;s
s s
v
u w
s r r
2
1 sin
2 cos ;s
s
u
r v
r s r r
(7.1)
1 sin
s s s s
w w v
s r r
В выражениях (7.1) s, , s – тангенциальные, а s, , s – изгибные деформации
координатной поверхности; s, – углы поворота нормали без учета поперечных
сдвигов; s, – углы поворота нормали, обусловленные поперечными сдвигами;
, ,u v w – перемещения; ,s – полные углы поворота нормали.
Уравнения равновесия имеют вид
cos cos 0s s
s s
N N
N r N rq
s
cos cos sin 0s
s s
N N
N r N Q rq
s
(7.2)
cos sin 0s
s
Q Q
Q r N rq
s
cos cos 0s s
s s
M M
r M M rQ
s
( ) cos 0,s
s s
M M
M M r rQ
s
где sN , N , sN , sN – тангенциальные усилия; sQ , Q – перерезывающие усилия;
sM , M , sM , sM – изгибающие и крутящие моменты; qs, q, q – компоненты по-
верхностной нагрузки.
Соотношения упругости имеют вид
11 12 12 22s s sN C C N C C 66 66
2sin
s s sN C D
r
66s sN C 11 12 12 22s s sM D D M D D (7.3)
66 1 22 ; ;s s s s sM M D Q K Q K
11 1
s
s
E h
C
; 12 11C C ; 22 1 s
E h
C
; 66 sC G h ;
3
11 12(1 )
s
s
E h
D
;
12 11 ;D D
3
22 12(1 )s
E h
D
;
3
66 12
sG h
D ; 1
5
6 sK hG ; 2
5
6
K hG
. (7.4)
В формулах (7.4) sE , E , s, – модули упругости и коэффициенты Пуассона в на-
правлениях s и ; Gs, sG , G – модули сдвига; h = h(s,) – толщина оболочки.
Исходя из соотношений (7.1) – (7.4), после ряда преобразований получаем разре-
шающую систему дифференциальных уравнений в частных производных в переме-
щениях, описывающую напряженно-деформированное состояние конических оболо-
чек переменной толщины, которую представим в такой форме:
44
2 2 2
11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 10 1 112 2 s
u u u u v v v w
b u b b b b v b b b b w b b q
s s s ss
2 2 2
21 22 23 24 25 26 27 282 2
v u u u v v v
b u b b b b v b b b
s s s s
2 2
29 2 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 162
s sw
b w b b b b b b b q
s s s
2
31 32 33 34 35 36 372
w u v w w
b u b b v b b w b b
s s
2
38 39 3 10 3 11 3 12 3 132
s
s
w
b b b b b b q
ss
(7.5)
2 2 2
41 42 43 44 45 46 47 482 2
s u u u v v v
b u b b b b v b b b
s s ss
2
49 4 10 4 11 4 12 4 13 4 14 4 152
s s s
s
w
b w b b b b b b
s s s
2
4 16 4 17 4 18 4 19 sb b b b q
s s
2 2 2
51 52 53 54 55 56 57 58 2
u u u v v v
b u b b b b v b b b
s s s s
2
59 5 10 5 11 5 12 5 13 5 14 5 15
s s s
s
w
b w b b b b b b
s s
2
5 16 5 17 5 18 5 192
(0 ,0 2 ).b b b b q s L
s s
Коэффициенты bij в системе (7.5) приведены в [69]:
Для решения данного класса задач применим подход, основанный на аппрокси-
мации решения в одном координатном направлении с помощью сплайн-функций
третьей степени, а для решения полученной при этом одномерной краевой задачи ис-
пользуем устойчивый численный метод дискретной ортогонализации.
Для определения произволов в общем решении системы (7.4), следует задавать по
5 граничных условий на каждом контуре оболочки. На прямолинейных и криволи-
нейных контурах могут быть заданы условия жесткого закрепления, шарнирного за-
крепления, шарнирного опирания, условия симметрии и прочие.
Таким образом, краевая задача о напряженно-деформированном состоянии нетон-
ких конических оболочек переменной толщины описывается системой дифференци-
альных уравнений в частных производных (7.5) при соответствующих граничных ус-
ловиях на контурах.
В частности, на торцах и прямолинейных краях оболочки граничные условия
имеют такой вид:
а) при жестком закреплении
0; 0su v w ; (7.6)
45
б) при шарнирном опирании
0, ,
u
v w
s
0, 0s
s
(на торцах); (7.7)
0, 0; 0; 0
v
u w
(на прямолинейных контурах). (7.8)
На основании изложенного выше подхода проведем анализ полей перемещений и
напряжений нетонких конических оболочек переменной в окружном направлении
толщины при сохранении веса. Рассмотрим конические оболочки, толщина которых
изменяется по закону (5.15), т.е. 0( ) (1 cos )h h .
Покажем, что при этом вес оболочки остается постоянным при изменении пара-
метра .
Величина
2
0 0
( , )
L
h h s dsd
сохраняет постоянное значение, так как выражение
1 cos не зависит от s, т.е.
2
0
(1 cos ) 2 constd
.
Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном состоянии изотропных замк-
нутых нетонких конических оболочек переменной вдоль направляющей толщины под
действием равномерного нормального давления qγ = q0 = const. Оболочка жестко за-
креплена по контурам s = 0 и s = L. Исходные данные: L = 30; r0 = 12,5; Es = E = E;
= 0,3. Значение половины угла раствора конуса ψ = π / 6.
Исследуем влияние параметров изменения толщины h0 и α на напряженно-
деформированное состояние конических оболочек постоянного веса. Так как механи-
ческие и геометрические характеристики оболочки симметричные относительно кон-
туров 0 и , то рассмотрим 1/ 2 часть оболочки: 0, . На контурах
0 и зададим условия симметрии
0; 0; 0; 0s
t
u w
v
t t t
.
Согласно методу сплайн-аппроксимации искомое решение представим в форме
1
0
( , ) ( ) ( )
N
i i
i
u s u s
; 2
0
( , ) ( ) ( )
N
i i
i
v s v s
; 3
0
( , ) ( ) ( )
N
i i
i
w s w s
;
4
0
( , ) ( ) ( )
N
s si i
i
s s
; 5
0
( , ) ( ) ( ).
N
i i
i
s s
(7.9)
При жестко закрепленных торцах по координате s имеем
1 0
10 3 3( ) 4 ( ) ( );s B s B s ; 1 0 1
11 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( );s B s B s B s
1 3( ) ( ) ( 2, 3,..., 2);i
i s B s i N
1 1
1, 1 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( );N N N
N s B s B s B s
1
1 3 3( ) 4 ( ) ( ) ;N N
N s B s B s
1 0
20 3 3( ) 4 ( ) ( );s B s B s 1 0 1
21 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( );s B s B s B s
2 3( ) ( ) ( 2, 3,..., 2)i
i s B s i N ;
1 1
2, 1 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( );N N N
N s B s B s B s
1
2 3 3( ) 4 ( ) ( );N N
N s B s B s
46
1 0
30 3 3( ) 4 ( ) ( );s B s B s 1 0 1
31 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( ) ;s B s B s B s
3 3( ) ( ) ( 2, 3,..., 2)i
i s B s i N ;
1 1
3, 1 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( );N N N
N s B s B s B s
1
3 3 3( ) 4 ( ) ( ) ;N N
N s B s B s
1 0
40 3 3( ) 4 ( ) ( );s B s B s 1 0 1
41 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( );s B s B s B s
4 3( ) ( ) ( 2, 3,..., 2)i
i s B s i N ; (7.10)
1 1
4, 1 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( );N N N
N s B s B s B s
1
4 3 3( ) 4 ( ) ( ) ;N N
N s B s B s
1 0
50 3 3( ) 4 ( ) ( );s B s B s 1 0 1
51 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( ) ;s B s B s B s
5 3( ) ( ) ( 2, 3,..., 2);i
i s B s i N
1 1
5, 1 3 3 3( ) ( ) 0,5 ( ) ( );N N N
N s B s B s B s
1
5 3 3( ) 4 ( ) ( ) .N N
N s B s B s
Подставляя решение (7.4) в разрешающую систему уравнений (7.2) и в соответствии с
методом сплайн-коллокации требуя их удовлетворения на N + 1 линии s=i (i=1, 1 ) ,N
получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 10 (N +1),
которую представим в виде
dR
AR f
d
, (7.11)
( 0 0 0 0 0 0{ , ... , , , ... , , , ... , , , ... , , , ... , , , ... , ,N N N N N NR u u u u v v v v w w w w
0 0 0 0, ... , , , ... , , , ... , , , ... , }T
s sN s sN t N N –
вектор-функция от ; f – вектор правых частей; А – квадратная матрица, элементы
которой зависят от ). Условия симметрии на прямолинейных контурах имеют сле-
дующий вид:
1 1 1( )A R a 2 2 2( )A R a . (7.12)
Полученную одномерную краевую задачу (7.11), (7.12) решаем устойчивым чис-
ленным методом дискретной ортогонализации.
На рис. 22, а, б показано распределение прогибов w по направляющей в сечении
s = L/2 на интервале 0 ≤ θ ≤ π при h0 = 1 (а) и h0 = 1,5 (б) для α = 0; 0,3; 0,5; 0,7. Значе-
ние параметра α приведены на рисунках. Пунктирная линия соответствует оболочке
постоянной толщины при α = 0. Видно, что с увеличением h0 от 1 до 1,5 максималь-
ные прогибы уменьшаются в 1, 5 раза. При изменении параметра α от 0 до 0,3; 0,5; 0,7
максимальные прогибы находятся в соотношении 1: 2: 3: 5.
Рис. 22
47
На рис. 23, а, б, в, г показаны распределения напряжений
на боковых поверх-
ностях оболочек по направляющей в сечении s = L/2 на интервале 0 ≤ θ ≤ π при h0 = 1
(а, в) и h0 = 1,5 (б, г) для α = 0; 0,3; 0,5; 0,7. Пунктирная линия соответствует оболочке
постоянной толщины при α = 0. Из рисунков видно, что графики для напряжений по
своему характеру аналогичные графикам для прогибов.
в г
Рис. 23
Таким образом, из результатов, приведенных на рис. 22, 23 следует, что варьируя
коэффициентами h0 и α в законе изменения толщины вида (5.15), можно при сохране-
нии веса оболочки выбрать определенные их значения, чтобы получить наиболее ра-
циональное распределение прогиба и напряжений.
Проведем анализ напряженно-деформированного состояния замкнутых конических
оболочек под действием локализованной нагрузки, которая задается соотношениями:
0
0
0
(cos cos ), 0 , / 2 / 2 ;
0, ;
(cos cos ), , / 2 / 2 ;
2 ;0,
2 2 , / 2 / 2 .(cos cos ),
q L a s L a
q q L a s L a
L a s L aq
48
Исследования проведены при разных значениях угла конусности ψ и параметров
локализации нагрузки и для трансверсально-изотропных и ортотропных оболо-
чек жестко закрепленных на торцах, при этом значение q0 выбиралось таким образом,
чтобы общая нагрузка оставалась одинаковой при различных значениях и и рав-
нялась нагрузке, соответствующей значению q *= q0( / 12). Показано, что увеличение
интервала приложения нагрузки приводит к уменьшению значений перемещений w и
напряжений в зоне наибольшей нагрузки при θ = 0.
В табл. 14 приведены значения максимальных прогибов при θ=0 и различных сте-
пенях локализации нагрузки для разных углов конусности. Для расчетов выбраны
такие исходные данные: 0,2sG G E ; 0,4 ; 5s sG E E E ; E =1,25Е;s =0,45;
= 0,18; L = 30; 0 0 2 sinr R L ; R0 = 20. Расчеты проведены для оболочек по-
стоянной толщины (h=1; 5).
Таблица 14
Ew/q0
a
ψ=0 Ψ=π/6 Ψ=π/4
2 -0,8818 -1,0053 -1,1963
4 -0,812 -0,92993 -1,1127 π / 4
8 -0,6542 -0,75287 -0,90693
2 -1,3308 -1,4723 -1,6891
4 -1,2269 -1,3619 -1,5691 π / 6
8 -0,99073 -1,1029 -1,2768
2 -1,9601 -2,112 -2,3441
4 -1,7863 -1,9311 -2,1527 π / 12
8 -1,4213 -1,5417 -1,7277
Таким образом, за счет изменения параметров локализации нагрузки на оболочку
можно влиять на распределение перемещений и напряжений.
Полученные результаты и выявленные закономерности распределения полей пе-
ремещений и напряжений в нетонких конических оболочках переменной толщины
представляют теоретический интерес и имеют практическое значение при оценке
прочности и надежности элементов конструкций. Также отметим, что анализ напря-
женно-деформированного состояния пологих конических и сферических оболочек с
переменной толщиной на основе уточненной теории проведен в [32, 55 – 62, 70, 71].
§8. Численное решение задач. О свободных колебаниях пологих оболочек с
переменными параметрами (уточненная постановка).
Исходные соотношения. Рассмотрим задачу о свободных колебаниях прямо-
угольной в плане, пологой ортотропной оболочки, переменной в двух координатных
направлениях толщины ( , )h x y , в уточненной постановке, основанной на гипотезе
прямолинейного элемента. Геометрия плана оболочки приближенно отождествляется
с геометрией срединной поверхности оболочки, а главные кривизны удовлетворяют
соотношению
1 2
0k k .
Согласно принятой гипотезе прямолинейного элемента, перемещения оболочки
представим в виде
( , , , ) ( , , ) ( , , );x xu x v z t u x y t z x y t ( , , , ) ( , , ) ( , , );y yu x v z t v x y t z x y t (8.1)
( , , , ) ( , , ),zu x v z t w x y t
где , ,x y z – координаты точек оболочки; , ,x y zu u u – соответствующие перемещения;
, ,u v w – перемещения точек координатной поверхности в направлениях , ,x y z ;
,x y – полные углы поворота прямолинейного элемента.
49
В соответствии с (8.1) выражения для деформаций запишем в виде
( , , , ) ( , , ) ( , , );x x xe x y z t x y t z x y t
( , , , ) ( , , ) ( , , );y y ye x y z t x y t z x y t
( , , , ) ( , , ) 2 ( , , );xy xy xye x y z t x y t z x y t (8.2)
( , , , ) ( , , );xz xe x y z t x y t ( , , , ) ( , , ),yz xe x y z t x y t
где ,x y – углы поворота, вызванные поперечными сдвигами; , ,x y xy – компо-
ненты тангенциальной деформации, определяющие внутреннюю геометрию коорди-
натной поверхности; , , 2x y xy – компоненты изгибной деформации, характери-
зующие изгиб и кручение координатной поверхности.
Соотношения, устанавливающие связь между деформациями и перемещениями,
принимают вид
1x
u
k w
x
;
2y
v
k w
y
; xy
u v
y x
;
2
1
x
x k w
x
; 2
2
y
y k w
y
; 2 yx
xy y x
; (8.3)
x x x ; y y y ; 1x
w
k u
x
; y
w
kv
y
,
где ,x y – углы поворота нормали без учета поперечных сдвигов; 1 2,k k – кривизны.
Уравнения, описывающие свободные поперечные колебания пологих оболочек в
уточненной постановке, имеют вид
0yxx
NN
x y
; 0xy yN N
x y
;
2
1 2 2
0;yx
x y
QQ w
k N k N h
x y t
23
2
0;
12
yxx x
x
MM h
Q
x y t
23
2
0.
12
xy y y
y
M M h
Q
x y t
(8.4)
В уравнениях (8.4) ,x y – прямоугольные декартовы координаты точки средин-
ной поверхности (0 , 0 )x a y b ; t – время; w – прогиб; – плотность мате-
риала.
Для нормальных и сдвигающих усилий ,x yN N и ,xy yxN N , изгибающих и крутя-
щих моментов ,x yM M и ,xy yxM M , перерезывающих усилий ,x yQ Q справедливы
такие соотношения упругости:
11 12x x yN С C ;
12 22y x yN С C ;
66 2 66
2 ;xy xy xyN С k D
66 1 66
2 ;yx xy xyN С k D (8.5)
11 12
;x x yM D D
12 22
;y x yM D D
66
2xy yx xyM M D ;
1x xQ K ;
2y yQ K ,
где введены следующие обозначения:
11 1
x
x y
E h
C
;
12 11yC C ;
22 1
y
x y
E h
C
;
66 xyC G h ;
50
3
11 12(1 )
x
x y
E h
D
;
12 11yD D ;
3
22 12(1 )
y
x y
E h
D
;
3
66 12
xyG h
D ; (8.6)
1
5
6 xzK hG ;
2
5
6 yzK hG .
В уравнениях (8.5) ,x yE E – модули упругости; , ,xy xz yzG G G – модули сдвига; ,x y –
коэффициенты Пуассона; ( , )h h x y – толщина.
Из системы уравнений (8.4) – (8.5) получим пять эквивалентных дифференциаль-
ных уравнений относительно трех перемещений ,u v и w точек срединной поверхно-
сти и двух полных углов поворота прямолинейного элемента ,x y , т.е.
2 2
66 6611 12
11 662 2
C CC Cu u u u v v
C C
x x x y y y y x x y
2
11 12
12 66 1 2 1 11 2 12
C Cv w
C C k k w k C k C
x y x x x
22
66 66
1 1 66 1 1 662
0;y yx xD D
k k D k k D
y y y y x x y
2 2
266 6612 22
66 12 66 2 22
C CC Cv u u u v v
C C C k K v
x y x x y x y x x y y
2
2 312 22 12 22
22 1 2 1 2 22
C C D Dv
C k k k k k w
y y y y y
2 3
1 12 2 22 2 2 1 2 12 2 22
w
k C k C k K k k D k D
y
22
12 22
2 2 12 2 2 2 2 22 2
0;y yx x
y
D D
k k D k K k k D
y x x y y y y
(8.7)
2
1 2
1 1 1 1 2 11 2 12 22
K Kw u
K k u K k k C k C k v
x x x y
2 2 2
2 2 1 12 2 22 1 11 1 2 12 2 22
2
v
K k k C k C k C k k C k C h w
y
2
1 2 1 2
2 1 22
0;yx
x y
K K K Kw w w
K K K
x x y y y x x y y
2
2 2 2 211 12
11 1 1 1 2 1 11 2 12 12
x D D w
D K k u k k w k D k D K
x x x x
23
2 6611
1 66 212
x x x
x
DDh
K D
x x y y y
2
66 12
12 66
0;y y yD D
D D
y x x y x y
51
2
2 2 2 212 22
66 2 2 1 2 1 12 2 22 22
y D D w
D K k v k k w k D k D K
x y y y
2
6612
12 66
x x xDD
D D
y x x y x y
23
2 66 22
2 22 2
0.
12
y y y
y
D Dh
K D
x x y y y
На контурах оболочки 0,x a и 0,y b задаем граничные условия, которые оп-
ределяются через перемещения и углы поворота. При constx задаем такие гранич-
ные условия:
1) жестко закрепленный контур
0x yu v w при 0x , x a ; (8.8)
2) шарнирно закрепленный контур
0x
y
u
v w
x x
при 0x , x a ; (8.9)
3) один контур жестко закреплен, а второй – шарнирно закреплен
0x yu v w при 0x ;
0x
y
u
v w
x x
при x a ;
(8.10)
Аналогичные условия могут быть заданы и на контурах consty . Для этого в
уравнениях (8.8) – (8.10) следует произвести замену x y , u v , x y .
Методика решения. Решение системы уравнений (8.7) представим в виде
1,
0
( , ) ( ) ( );
i i
N
i
u x y u x y
2,
0
( , ) ( ) ( );
i i
N
i
v x y v x y
3,
0
( , ) ( ) ( );
i i
N
i
w x y w x y
4,
0
( , ) ( ) ( )
i i
N
x x
i
x y x y
;
5,
0
( , ) ( ) ( )
i i
N
y y
i
x y x y
,
(8.11)
где ( ), ( ), ( ), ( ), ( )
i i i i ix yu x v x w x x x ( 0, ... , )i N – искомые функции; ( )
ji
y ( 1, ..., 5)j
– функции, построенные с помощью В-сплайнов третьей степени 4N , удовлетво-
ряющие граничным условиям на контурах 0y и y b с помощью линейных ком-
бинаций В-сплайнов 3-й степени.
Запишем систему уравнений (8.7) в виде
2 2 2
1 2 3 4 5 6 72 2
22
8 9 10 11 122
;y yx x
u u u u v v v
a a a a a a a w
x x y y x y x y
w
a a a a a
x y y x x y
2 2 2
1 2 3 4 5 6 72 2
22
8 9 10 11 12 13 14 2
;y yx x
y
v u u u v v v
b b b b v b b b
x x y x y x y y
w
b w b b b b b b
y x x y y y
52
2
1 2 3 4 5 6 72
2
8 9 10 11 122
;yx
x y
w u v w w
c u c c v c c w c c
x x y x y
w
c c c c c
y x y
(8.12)
2 2
1 2 3 4 5 6 72 2
2
8 9 10
;
x x x x
x
y y y
w
d u d w d d d d d
x x x y y
d d d
x y x y
2 2
1 2 3 4 5 6 72
2
8 9 10 2
y x x x
y
y y y
w
g v g w g g g g g
x y x y x y
g g g
x y y
( ( , )
m m
a a x y ( 1, ... , 12);m ( , )
p p
b b x y ( 1, ... , 14);p
( , )
q q
c c x y ( 1, ... , 4, 6, ... , 12);q
5 5
( , , );c c x y
( , )
r r
d d x y ( 1, ... , 3, 5, ... , 10);r
4 4
( , , );d d x y (8.13)
( , )
s s
g g x y ( 1, ... , 6, 8, 9, 10);s
7 7
( , , )g g x y ).
Подставив (8.11) в уравнения (8.12), требуем, чтобы они были удовлетворены в
заданных точках коллокации [0, ]
k
b , 0, ... ,k N .
Полученную систему обыкновенных дифференциальных уравнений приводим к
нормальному виду
( , )
dY
A x Y
dx
(0 )x a , (8.14)
где
0 0 0 0 0
[ , ', , ', , ', , ' , , ' ]
[ , ... , , , ... , , , ... , , , ... , , , ... , ]
T
T
N N N N N
x x y y
x x y y
Y u u v v w w
u u v v w w
– вектор-столбец искомых функций и их производных размерностью 10( 1)N ;
( , )A x – квадратная матрица порядка 10( 1) 10( 1)N N .
Граничные условия (8.8) – (8.10) для системы (8.14) запишем в виде
1
(0) 0BY ;
2
( ) 0B Y a . (8.15)
Задача на собственные значения для сис-
темы обыкновенных дифференциальных урав-
нений (8.14) с граничными условиями (8.15)
решена методом дискретной ортогонализации
в сочетании с методом пошагового поиска.
Результаты расчетов.
На основе изложенной методики проведе-
но исследование спектра собственных колеба-
ний изотропной пологой оболочки переменной
толщины с квадратным планом ( 0,5a b м).
Рис. 24
53
Толщина оболочки изменялась по следующему закону:
2
0
1 6 6 1h h , (8.16)
где 0 1 , 1 ; x a ;
0
h – толщина оболочки постоянной толщины и экви-
валентной массы (при расчетах принято
0
0,04h м). Для пологой цилиндрической
оболочки –
1
1 xk R ,
2
1 0yk R .
При расчетах количество точек коллокации принято 14N . Физические пара-
метры оболочки: 112,016 10E Па; 0,3 ; 7800 кг/м3. Исследования проведены
для трех вариантов значений кривизны оболочки: 6, 26000xr ; 1,60250xr и
0,86125xr , где x xr R a – безразмерный радиус кривизны.
Решения задач получены при таких граничных условиях:
1) жесткое закрепление по всему контуру (ТГ=1)
0x yu v w при 0x , x a ;
0x yu v w при 0y , y b ;
2) жесткое закрепление по трем сторонам и шарнирное опирание по четвертой
стороне (ТГ = 2)
0x yu v w при 0x , x a ;
0y
x
v
u w
y y
при 0y ; y b ;
3) жесткое закрепление двух противоположных сторон и шарнирное опирание
двух других сторон (ТГ = 3)
0x yu v w при 0x , x a ;
0y
x
v
u w
y y
при 0y , y b ;
4) жесткое закрепление двух смежных сторон и шарнирное опирание двух других
сторон (ТГ=4)
0x yu v w при 0x , 0y ;
0x
y
u
v w
x x
при x a ; 0y
x
v
u w
y y
при y b ;
5) шарнирное опирание всех сторон оболочки (ТГ=5)
0x
y
u
v w
x x
при 0x , x a ;
0y
x
v
u w
y y
при 0y , y b .
Расчеты, проведенные при разном количестве точек коллокации N , дают не-
большое расхождение. Наблюдается тенденция увеличения абсолютного значения
частоты и, соответственно, точности вычислений при увеличении количества точек
коллокации, однако при 16N различие становится практически незаметным. Исхо-
дя из этого, все расчеты проведены при 18N , что дало возможность получать ре-
зультаты с погрешностью менее 1% (погрешность – в расхождении между вычис-
ленными частотами и полученными аналитически, путем разложения функций в
ряды Фурье).
54
В табл. 15 представлена зависимость безразмерных значений резонансных частот
от количества точек коллокации N для оболочек с разной кривизной срединной по-
верхности при шарнирном опирании всех краев и постоянной толщине ( 0 ).
Для проверки достоверности получаемых результатов проведено сравнение зна-
чений собственных частот колебаний пологой изотропной оболочки с квадратным
планом, вычисленных с помощью описанной методики при шарнирном опирании
всех сторон с соответствующими частотами, рассчитанными аналитически, путем
разложения функций в ряды Фурье. При этом использовано следующее разложение:
, ...1, 3 1, 3, ...
cos sin ;mn
m n
m x n y
u a
a b
1,3,... 1,3,...
sin cos ;
m
mn
n
m x n y
v b
a b
1, 3, ... 1, 3, ...
sin sin ;
m
mn
n
m x n y
w c
a b
(8.17)
1, 3, ... 1, 3, ...
cos sin ;
m
x mn
n
m x n y
d
a b
1,3,... 1,3,...
sin cos .
m
mn
n
m x n y
ey a b
Таблица 15
2(1 )i ia E
N xr i
8 10 12 14 16 18 20 22
1 0,4606 0,4557 0,4537 0,4528 0,4523 0,4520 0,4518 0,4517
2 1,0829 1,0810 1,0802 1,0799 1,0797 1,0796 1,0795 1,0795
3 1,0829 1,0810 1,0802 1,0799 1,0797 1,0796 1,0795 1,0795
6, 26000
4 1,1817 1,1294 1,1085 1,0986 1,0937 1,0908 1,0891 1,0881
1 1,7392 1,7056 1,6926 1,6866 1,6835 1,6818 1,6808 1,6801
2 0,5364 0,5322 0,5305 0,5297 0,5292 0,5290 0,5289 0,5289
3 1,0810 1,0791 1,0783 1,0779 1,0777 1,0776 1,0775 1,0775
1,60250
4 1,2631 1,2140 1,1945 1,1854 1,1807 1,1781 1,1766 1,1757
1 1,7559 1,7225 1,7095 1,7036 1,7005 1,6988 1,6978 1,6972
2 0,6980 0,6947 0,6934 0,6928 0,6925 0,6923 0,6921 0,6921
3 1,0760 1,0740 1,0732 1,0728 1,0726 1,0725 1,0724 1,0724
0,86125
4 1,4558 1,4131 1,3962 1,3883 1,3843 1,3821 1,3808 1,3800
В табл. 16 приведены результаты расчетов безразмерных частот исследуемой
оболочки, полученные с помощью разложения (8.17) (А) и с использованием изло-
женной методики при 18N (В), а также определено расхождение между аналитиче-
скими и вычисленными частотами, выраженное в процентах (П). Согласно табл. 16,
максимальное расхождение не превышает 0,5%, что свидетельствует о высокой точ-
ности применяемого метода, основанного на сплайн-аппроксимации неизвестных
функций.
55
Таблица 16
2(1 )i ia E
6, 26000xr 1,60250xr 0,86125xr i
А В П, % А В П, % А В П, %
1 0,4516 0,4519 0,08 0,5287 0,5290 0,07 0,6920 0,6923 0,04
2 1,0794 1,0796 0,02 1,0775 1,0776 0,01 1,0724 1,0725 0,01
3 1,0860 1,0908 0,45 1,1737 1,1781 0,38 1,3783 1,3821 0,28
4 1,6788 1,6818 0,18 1,6959 1,6988 0,17 1,7400 1,7429 0,17
В табл. 17, 18 приведены безразмерные значения первых четырех резонансных
частот колебаний оболочек переменной ( | | 0 ) и постоянной толщин ( 0 ) с ра-
диусами кривизны срединной поверхности 6, 26000xr ; 1,60250xr , соответствен-
но, для рассматриваемых граничных условий (ТГ).
Таблица 17
2(1 )
ii a E
ТГ i
– 0,5 – 0,4 – 0,3 – 0,2 – 0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
1 0,7514 0,7591 0,7665 0,7739 0,7813 0,7889 0,7967 0,8048 0,8131 0,8218 0,8308
2 1,3567 1,3969 1,4317 1,4620 1,4884 1,5116 1,5060 1,4866 1,4661 1,4447 1,4225
3 1,5921 1,5827 1,5709 1,5570 1,5414 1,5244 1,5318 1,5491 1,5640 1,5764 1,5865
1
4 2,0631 2,0911 2,1130 2,1297 2,1420 2,1503 2,1551 2,1566 2,1549 2,1502 2,1426
1 0,6370 0,6513 0,6652 0,6788 0,6924 0,7060 0,7196 0,7334 0,7473 0,7613 0,7754
2 1,3080 1,3500 1,3766 1,3681 1,3581 1,3472 1,3352 1,3226 1,3092 1,2954 1,2810
3 1,3884 1,3836 1,3863 1,4182 1,4461 1,4707 1,4923 1,5111 1,5273 1,5411 1,5526
2
4 1,9362 1,9660 1,9896 2,0082 2,0226 2,0331 2,0402 2,0440 2,0450 2,0430 2,0381
1 0,5538 0,5733 0,5922 0,6107 0,6289 0,6470 0,6649 0,6828 0,7006 0,7185 0,7363
2 1,1981 1,1987 1,1975 1,1950 1,1914 1,1870 1,1819 1,1763 1,1702 1,1637 1,1571
3 1,2698 1,3132 1,3509 1,3839 1,4131 1,4388 1,4615 1,4815 1,4989 1,5138 1,5263
3
4 1,8231 1,8547 1,8802 1,9009 1,9172 1,9299 1,9392 1,9453 1,9487 1,9493 1,9422
1 0,5847 0,5897 0,5943 0,5983 0,6022 0,6060 0,6098 0,6138 0,6179 0,6223 0,6271
2 1,1978 1,2244 1,2460 1,2636 1,2774 1,2879 1,2854 1,2722 1,2580 1,2435 1,2287
3 1,3532 1,3454 1,3359 1,3251 1,3133 1,3013 1,2987 1,3040 1,3077 1,3095 1,3094
4
4 1,8469 1,8683 1,8845 1,8963 1,9045 1,9096 1,9119 1,9114 1,9085 1,9032 1,8957
1 0,4467 0,4485 0,4496 0,4503 0,4511 0,4519 0,4532 0,4551 0,4577 0,4610 0,4654
2 1,0512 1,0649 1,0737 1,0786 1,0805 1,0796 1,0762 1,0707 1,0632 1,0540 1,0431
3 1,1289 1,1229 1,1158 1,1078 1,0995 1,0908 1,0820 1,0733 1,0648 1,0564 1,0484
5
4 1,6422 1,6569 1,6676 1,6750 1,6796 1,6818 1,6819 1,6802 1,6766 1,6716 1,6649
56
Таблица 18
2(1 )i ia E
ТГ i
– 0,5 – 0,4 – 0,3 – 0,2 – 0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
1 0,8914 0,9009 0,9098 0,9184 0,9269 0,9355 0,9440 0,9528 0,9617 0,9709 0,9804
2 1,3757 1,4143 1,4479 1,4772 1,5028 1,5252 1,5448 1,5617 1,5554 1,5361 1,5159
3 1,6692 1,6611 1,6505 1,6380 1,6239 1,6084 1,5917 1,5740 1,5762 1,5883 1,5980
1
4 2,0956 2,1226 2,1434 2,1593 2,1708 2,1785 2,1827 2,1836 2,1816 2,1764 2,1683
1 0,7943 0,8092 0,8235 0,8373 0,8509 0,8645 0,8779 0,8914 0,9049 0,9185 0,9323
2 1,3257 1,3662 1,4014 1,4322 1,4505 1,4412 1,4308 1,4200 1,4083 1,3963 1,3839
3 1,4752 1,4717 1,4660 1,4589 1,4595 1,4834 1,5045 1,5228 1,5387 1,5523 1,5635
2
4 1,9702 1,9987 2,0214 2,0391 2,0527 2,0624 2,0689 2,0723 2,0727 2,0702 2,0649
1 0,7272 0,7461 0,7641 0,7815 0,7987 0,8156 0,8324 0,8491 0,8657 0,8824 0,8990
2 1,2858 1,2982 1,2983 1,2971 1,2949 1,2919 1,2883 1,2842 1,2796 1,2748 1,2698
3 1,2963 1,3277 1,3644 1,3966 1,4251 1,4503 1,4725 1,4921 1,5092 1,5239 1,5363
3
4 1,8586 1,8889 1,9133 1,9329 1,9483 1,9603 1,9689 1,9745 1,9773 1,9773 1,9748
1 0,6773 0,6842 0,6904 0,6962 0,7017 0,7069 0,7122 0,7174 0,7229 0,7284 0,7342
2 1,2127 1,2387 1,2598 1,2770 1,2909 1,3019 1,3104 1,3165 1,3203 1,3218 1,3192
3 1,4248 1,4193 1,4119 1,4033 1,3936 1,3832 1,3721 1,3608 1,3491 1,3378 1,3286
4
4 1,8739 1,8945 1,9101 1,9214 1,9292 1,9339 1,9359 1,9351 1,9320 1,9266 1,9189
1 0,5082 0,5133 0,5175 0,5214 0,5251 0,5290 0,5332 0,5378 0,5430 0,5489 0,5557
2 1,0496 1,0629 1,0716 1,0767 1,0785 1,0776 1,0744 1,0690 1,0618 1,0527 1,0421
3 1,2014 1,1984 1,1942 1,1893 1,1839 1,1781 1,1723 1,1665 1,1608 1,1555 1,1504
5
4 1,6582 1,6732 1,6840 1,6916 1,6963 1,6988 1,6992 1,6977 1,6944 1,6896 1,6832
На рис. 25 приведены первые четыре формы колебаний изотропной оболочки пе-
ременной толщины при разном значении кривизны срединной поверхности для слу-
чая 0,1 для граничный условий ТГ = 1.
Рис. 25
57
Анализируя данные табл. 17, 18 заключаем, что собственные частоты колебаний
изотропных оболочек изменяются быстрее при изменении жесткости закрепления
контуров, чем при изменении параметра . С уменьшением жесткости закрепления
уменьшаются значения частот колебаний. Значительное влияние на поведение собст-
венных частот оказывает также и геометрическая форма ограничивающих оболочку
поверхностей, которые являются симметричными относительно срединной поверхно-
сти. Вследствие этого, чем больше отличаются кривизны ограничивающих и средин-
ной поверхностей оболочки, тем значительнее отличаются значения ее частот для
переменной и постоянной толщин. Во всех случаях кривизны срединной поверхности
оболочки наблюдается практически линейная зависимость первой частоты колебаний
от параметра при разных граничных условиях. Для высших частот во всех случаях
зависимость )( f – нелинейна. Скорость изменения частоты при изменении па-
раметра для низших частот меньше, чем для высших. Анализируя формулу изме-
нения толщины оболочки (8.16), отметим, что минимальная толщина будет в точках
( / 2; )a y ; это отражается на формах колебаний оболочек (рис. 25) в виде незначитель-
ного смещения максимальных амплитуд к центру в случае нечетного числа полуволн
в направлении оси ОХ.
С помощью изложенной методики
проведено исследование спектра частот
собственных колебаний ортотропной по-
логой оболочки двоякой кривизны пере-
менной толщины с квадратным планом
( 0,5a b м). Количество точек колло-
кации – 18N . Материал оболочки –
ортогонально армированный (2:1) стекло-
пластик со следующими физическими па-
раметрами: 10
1
3,68 10E Па; 10
2
2,68 10E Па;
12
G 100,50 10 Па; 10
23
0, 41 10G Па;
10
31
0, 45 10G Па;
1
0,077 ;
2
0,105 ; 1870 кг/м3.
Рассмотрено три случая кривизны оболочки: 12,5x yr r ; 3,125 ; 1,5625 , где
x xr R a и y yr R b – безразмерные радиусы кривизны.
Таблица 19
2
0 11
/
i i
a h D
N x yr r i
8 10 12 14 16 18 20 22
1 15,6808 15,6128 15,5885 15,5788 15,5739 15,5690 15,5690 15,5690
2 38,9396 38,2883 37,9577 37,8168 37,7439 37,7098 37,6855 37,6758
3 39,1875 38,9153 38,9056 38,9007 38,8959 38,8959 38,8959 38,8959
12,5
4 55,0336 54,4163 54,1878 54,0906 54,0420 54,0177 54,0031 53,9934
1 17,3967 17,3384 17,3141 17,3043 17,2995 17,2995 17,2946 17,2946
2 39,8583 39,2312 38,9007 38,7598 38,6917 38,6577 38,6334 38,6237
3 40,1256 39,8291 39,8194 39,8194 39,8145 39,8145 39,8145 39,8145
3,125
4 55,5537 54,9364 54,7079 54,6107 54,5621 54,5378 54,5232 54,5135
1 22,0193 21,9658 21,9464 21,9415 21,9366 21,9318 21,9318 21,9318
2 42,6629 42,1040 41,7831 41,6470 41,5790 41,5450 41,5207 41,5109
3 42,9789 42,6338 42,6289 42,6241 42,6192 42,6192 42,6192 42,6192
1,5625
4 57,1869 56,5647 56,3363 56,2391 56,1905 56,1662 56,1516 56,1419
Рис. 26
58
С помощью метода сплайн-аппроксимации получены безразмерные частоты ко-
лебаний оболочек при разном количестве точек коллокации ( N 8, 10, 12, 14, 16, 18,
20, 22). В табл. 19 приведены соответствующие частоты для исследуемых оболочек
при шарнирном опирании всех сторон и значении параметра 0, 4 , а в табл. 20 –
аналогичные данные при жестком закреплении всех сторон и 0, 4 . При 16N
значения частот мало отличаются с увеличением числа точек коллокации при всех
типах граничных условий и кривизнах срединной поверхности оболочки.
Таблица 20
2
0 11
/
i i
a h D
N x yr r i
8 10 12 14 16 18 20 22
1 29,8111 29,6507 29,5826 29,5535 29,5389 29,5340 29,5292 29,5292
2 50,3770 48,8993 48,3209 48,0584 47,9272 47,8542 47,8154 47,7911
3 56,2099 56,1564 56,1370 56,1273 56,1224 56,1175 56,1175 56,1175
12,5
4 71,9734 71,0936 70,7533 70,5978 70,5249 70,4811 70,4617 70,4471
1 33,8601 33,6851 33,6171 33,5879 33,5685 33,5636 33,5587 33,5539
2 52,0539 50,5811 50,0076 49,7451 49,6138 49,5458 49,5020 49,4777
3 57,2404 57,1821 57,1578 57,1432 57,1383 57,1383 57,1383 57,1334
3,125
4 72,6587 71,7595 71,4144 71,2540 71,1762 71,1373 71,1130 71,1033
1 44,2524 44,0337 43,9462 43,9073 43,8879 43,8781 43,8733 43,8684
2 57,0654 55,5974 55,0287 54,7711 54,6447 54,5718 54,5329 54,5086
3 60,4145 60,3270 60,2929 60,2784 60,2686 60,2686 60,2638 60,2638
1,5625
4 74,8023 73,8496 73,4802 73,3149 73,2372 73,1934 73,1691 73,1545
Таблица 21
2
0 11
/
i i
a h D
Граничные
условия
i
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1
1 25,9322 26,2919 26,6516 27,0259 27,4050
2 47,9612 49,4243 50,6832 50,5034 50,1339
3 51,3491 51,1158 50,8339 51,7866 52,7539
ТГ-1
4 66,0967 67,1126 67,9438 68,6292 69,1833
1 22,1797 22,7387 23,3025 23,8712 24,4497
2 45,8273 45,6523 45,4287 45,1760 44,9038
3 46,4786 47,9903 49,2930 50,4402 51,4464
ТГ-2
4 62,5143 63,5740 64,4489 65,1732 65,7759
1 20,3277 20,4881 20,6242 20,7458 20,8624
2 42,9886 44,0094 43,9851 43,5622 43,1101
3 44,7336 44,3934 44,8600 45,5357 46,0801
ТГ-3
4 59,7972 60,5360 61,1047 61,5324 61,8435
1 19,4382 20,1819 20,9159 21,6547 22,3887
2 40,2763 40,1985 40,0867 39,9604 39,8194
3 45,3801 46,9307 48,2771 49,4534 50,4985
ТГ-4
4 59,1847 60,2929 61,2165 61,9942 62,6456
1 15,6225 15,5690 15,4864 15,3795 15,2628
2 38,1327 37,7098 37,2529 36,7766 36,2905
3 38,3271 38,8959 39,2653 39,4743 39,5375
ТГ-5
4 53,5656 54,0177 54,3142 54,4892 54,5572
59
В табл. 21, 22 приведены безразмерные значения первых четырех резонансных
частот колебаний ортотропной оболочки переменной ( 0 ) и постоянной ( 0 )
толщин с радиусом кривизны срединной поверхности 12,5x yr r .
Таблица 22
2
0 11
/
i i
a h D
Граничные условия i
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
1 27,7987 28,2070 28,6348 29,0722 29,5340 30,0104
2 49,7354 49,3028 48,8410 48,3598 47,8542 47,3341
3 53,6094 54,3628 55,0287 55,6120 56,1175 56,5550
ТГ-1
4 69,6305 69,9756 70,2284 70,3985 70,4811 70,4860
1 25,0329 25,6357 26,2433 26,8655 27,5022 28,1536
2 44,6073 44,2962 43,9754 43,6448 43,3143 42,9886
3 52,3407 53,1330 53,8379 54,4600 55,0044 55,4808
ТГ-2
4 66,2668 66,6654 66,9716 67,1952 67,3459 67,4188
1 20,9693 21,0763 21,1735 21,2756 21,3728 21,4700
2 42,6386 42,1526 41,6519 41,1512 40,6506 40,1548
3 46,5175 46,8529 47,1057 47,2758 47,3730 47,4022
ТГ-3
4 62,0525 62,1692 62,2032 62,1546 62,0331 61,8387
1 23,1324 23,8761 24,6246 25,3829 26,1461 26,9141
2 39,6736 39,5229 39,3819 39,2458 39,1194 39,0125
3 51,4220 52,2484 52,9775 53,6288 54,2073 54,7128
ТГ-4
4 63,1900 63,6420 64,0114 64,2982 64,5170 64,6579
1 15,1413 15,0198 14,9128 14,8156 14,7427 14,6990
2 35,7947 35,3037 34,8225 34,3608 33,9136 33,5004
3 39,4791 39,3042 39,0271 38,6528 38,1910 37,6369
ТГ-5
4 54,5281 54,4211 54,2413 53,9934 53,6823 53,3129
На рис. 27 показаны первые четыре собственные формы колебаний ортотропных
пологих оболочек двоякой кривизны с переменной толщиной для граничных условий
ТГ=1; 0,1 .
Рис. 27
60
Из данных табл. 21, 22 следует, что собственные частоты колебаний ортотропных
оболочек изменяются быстрее с изменением граничных условий на контурах, чем при
изменении параметра . Значения частот колебаний возрастают с увеличением жест-
кости закрепления. Первая частота колебаний во всех случаях кривизны срединной
поверхности оболочки имеет почти линейную зависимость от параметра при раз-
ных граничных условиях. Однако, для высших частот зависимость )( f является
нелинейной. Для высших частот при изменении параметра наблюдается большая
скорость изменения частот, чем для низших. Из рис. 27 видно, что при разных значе-
ниях кривизны срединной поверхности оболочек формы свободных колебаний имеют
одинаковый порядок следования и соответствуют формам колебания пластины с ана-
логичными размерами в плане.
Результаты расчетов подтверждают возможность использования предложенной
методики для определения собственных частот колебаний пологих ортотропных обо-
лочек двоякой кривизны с различными механическими и геометрическими парамет-
рами при разных граничных условиях на контурах. Это позволяет вычислять необхо-
димые динамические характеристики конструкций данной формы с целью определе-
ния несущей способности и обеспечения запаса прочности.
Решение данного класса задач проведено в [15, 48, 49, 58 – 62].
§9. Свободные колебания замкнутых цилиндрических оболочек с перемен-
ными параметрами (уточненная постановка).
Постановка задачи. Рассмотрим свободные колебания круговых замкнутых ци-
линдрических оболочек переменной толщины. Для определения частот и форм собст-
венных колебаний таких оболочек необходимо использовать уточненную теорию. В
работе используется уточненная теория Тимошенко – Миндлина, которая базируется
на гипотезе прямой линии.
Согласно принятой гипотезе в системе координат z ( – координата в направ-
лении нормали к срединной поверхности), связанной со срединной поверхностью
оболочки, малые перемещения оболочки можно записать в виде
( , , ) ( , )ru r z w z ; ( , , ) ( , ) ( , )u r z v z z ;
( , , ) ( , ) ( , )z zu r z u z z ,
(9.1)
где ( , )u z , ( , )v z , ( , )w z – перемещения координатной поверхности; ( , ),z z
( , )z – функции, характеризующие полный поворот нормали ( / 2 / 2,H H
0 2 , 0 )z L .
Геометрические соотношения имеют вид
, , , ,e r z z z ; , , , ,z z ze r z z z ;
, , , 2 ,z z ze r z z z ; , , ,e r z z ; , , ,z ze r z z ;
z
u
z
;
1 1v
w
R R
;
1
z
u v
R z
;
z
z z
;
1 1 1 1v
w
R R R R
;
2
1 1
2 z
z
u
R z R
; (9.2)
1 1w
v
R R
; z z
w
z
,
61
где , z , z – тангенциальные деформации срединной поверхности; , z , z –
компоненты изгибной деформации; , z – углы поворота нормали, обусловленные
поперечными сдвигами. Соотношения упругости для ортотропных цилиндрических
оболочек переменной толщины имеют вид
11 12z zN C C ; 12 22zN C C ; 66 66
1
2z z zN C D
R ;
11 12z zM D D ; 12 22zM D D ; 662z z zM M D ;
2Q K ; 1z zQ K ; 66z zN C ( 1 135 , 6K h z G ; 2 235 , 6K h z G ; (9.3)
;ij ijC B h z ; 3 , 12ij ijD B h z ;
2
11 22 1B B E ; 66 / 2 1B E ; 2
12 E 1B ;
13G , 23G – модули поперечных сдвигов; E – модуль упругости, – коэффициент Пуассона).
Уравнения движения элемента срединной поверхности имеют вид
2
2
1 zz NN u
h
z R t
;
2
2
1 1zN N v
Q h
R z R t
;
2
2
1 1z QQ w
N h
z R R t
;
23
2
1
12
zz z
z
MM h
Q
z R t
; (9.4)
23
2
1
12
zM M h
Q
R z t
;
1
0z z zN M N
R .
Здесь zN , N , zN , zN и zQ , Q – тангенциальные и перерезывающие усилия; zM ,
M , zM , zM – изгибающие и крутящие моменты; и ( , )h h z – плотность ма-
териала и толщина оболочки.
Предполагая, что все точки оболочки совершают гармонические колебания с кру-
говой частотой , учитывая представления
, , , i tu z t u z e ; , , , i tv z t v z e ; , , , i tw z t w z e ;
, , , i tz t z e
; , , , i t
zz z t z e
(далее знак ~ опускается), уравнения движения представим так:
21
0zz NN
h u
z R
; 21 1
0zN N
Q h v
R z R
;
21 1
0z QQ
N h w
z R R
;
3
21
0
12
zz
z z
MM h
Q
z R
; (9.5)
3
21
0
12
zM M h
Q
R z
.
62
Подставляя соотношения (9.2) – (9.3) в (9.5), получаем разрешающую систему
дифференциальных уравнений относительно функций ( , )u z , ( , )v z , ( , )w z ,
( , )z z , ( , )z и их производных
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
, , , , , ; , , , , , ;i
u u u u u v v v v v
L u v
z z z zz z
2 2 22 2 2
2 2 2 2
, , , , , ; , , , , , ;
w w w w w
w
z z z zz z
(9.6)
2 2 2
2
2 2
, , , , , , 0z z z z z
z z zz
,
где iL ( 1, 5)i – линейные операторы.
Добавляя к системе (9.6) граничные условия на контурах оболочки, получаем
двумерную краевую задачу.
Методика решения. Для решения поставленной задачи использована и развита
численно-аналитическая методика, основанная на сведении двумерной краевой задачи
к одномерной методом сплайн-коллокации и последующим ее решением методом
дискретной ортогонализации с применением метода пошагового поиска [1 – 5].
Решение системы (9.6) определим в виде
1
0
; ( ) ( )
N
i i
i
u z u z
; 2
0
; ( ) ( )
N
i i
i
v z v z
; 3
0
; ( ) ( )
N
i i
i
w z w z
;
4
0
; ( ) ( )
N
z zi i
i
z z
; 5
0
; ( ) ( )
N
i i
i
z z
,
(9.7)
где ( )iu , ( )iv , ( )iw , ( )i , ( )zi функции переменной , ( )ji z ( 1,...,5j ,
0,...,i N ) линейные комбинации В-сплайнов третьей степени на равномерной сет-
ке 0 1{ : 0 ... }Nz z z L с учетом граничных условий при 0z и z L .
Систему дифференциальных уравнений (6) приводим к виду
,Y A Y , (9.8)
где , , , , , , , , ,
T
z zY u u v v w w ; ( , )A квадратная матрица порядка
10( 1) 10( 1)N N . Граничные условия имеют такой вид:
1 (0) 0B Y ; 2 ( ) 0B Y , (9.9)
Здесь 1B и 2B – прямоугольные матрицы порядка 5( 1) 10( 1)N N .
Краевая задача (9.8) – (9.9) на собственные значения решена методом дискретной
ортогонализации совместно с методом пошагового поиска.
Исследован спектр частот свободных колебаний круговой цилиндрической оболоч-
ки переменной в круговом направлении толщины, изменяющейся по закону
0 (1 cos )H H p , 0 2, 2 , H p , для 0 ; 0,1; 0, 2; 0,3 . Торцы оболочки
жестко закреплены. Рис. 28 иллюстрирует характер изменения толщины оболочки в
круговом направлении в зависимости от параметра p ( 2, 4, 6, 8p , соответственно)
при 0,3 .
63
Рис. 28
В табл. 23 для этого случая представлены результаты вычислений первых трех зна-
чений безразмерного частотного параметра 0m m H G / ( m – номер частоты).
Таблица 23
p 0 0,1 0, 2 0,3
1 0,0899 0,0900 0,0901 0,0905
2 0,1083 0,1071 0,1060 0,1048 2
3 0,1089 0,1087 0,1083 0,1077
1 0,0899 0,0905 0,0909 0,0910
2 0,1083 0,1063 0,1039 0,1013 4
3 0,1089 0,1089 0,1089 0,1088
1 0,0899 0,0898 0,0895 0,0890
2 0,1083 0,1057 0,1030 0,1001 6
3 0,1089 0,1084 0,1080 0,1076
1 0,0899 0,0898 0,0894 0,0888
2 0,1083 0,1059 0,1033 0,1005 8
3 0,1089 0,1091 0,1092 0,1089
Отметим, что в случаях 2, 4p первая частота возрастает при увеличении пара-
метра , а вторая и третья частоты уменьшаются. При 6, 8p все три частоты
уменьшаются при увеличении параметра .
Также исследована зависимость от параметра p частоты свободных колебаний
круговой цилиндрической оболочки переменной в круговом направлении толщины,
изменяющейся по закону 0 (1 cos )H H p . Расчеты проведены при 0 2H ,
2 , 1, , 20p и 0,3 . Результаты вычислений представлены в табл. 24.
64
Таблица 24
p
1 2 3
2 0,0905 0,1048 0,1077
4 0,0910 0,1013 0,1088
6 0,0890 0,1001 0,1076
8 0,0888 0,1005 0,1089
10 0,0887 0,1004 0,1085
12 0,0885 0,1003 0,1083
14 0,0884 0,1002 0,1082
16 0,0882 0,1001 0,1080
18 0,0881 0,1000 0,1079
20 0,0880 0,0999 0,1077
22 0,0879 0,0998 0,1076
24 0,0878 0,0997 0,1075
26 0,0877 0,0997 0,1075
28 0,0877 0,0996 0,1074
30 0,0876 0,0996 0,1073
32 0,0876 0,0996 0,1073
34 0,0875 0,0995 0,1072
36 0,0875 0,0995 0,1072
38 0,0874 0,0995 0,1072
40 0,0874 0,0994 0,1071
Анализ полученных результатов показывает, что влияние параметра p на собствен-
ные частоты колебаний оболочки более выражено при значениях 2 8p . Начиная со
значения 8p при увеличении параметра p первые три частоты монотонно убывают.
Таблица 25
Жесткое закрепление Шарнирное опирание
L L R/
0 0, 2 0 0, 2
15 1,5 0,1256 0,1257 0,0987 0,0902
20 2,0 0,0899 0,0901 0,0707 0,0706
25 2,5 0,0703 0,0704 0,0547 0,0546
30 3,0 0,0579 0,0581 0,0450 0,0449
35 3,5 0,0497 0,0498 0,0389 0,0389
40 4,0 0,0439 0,0439 0,0350 0,0350
45 4,5 0,0397 0,0397 0,0325 0,0324
50 5,0 0,0366 0,0366 0,0307 0,0307
55 5,5 0,0343 0,0343 0,0273 0,0273
60 6,0 0,0325 0,0325 0,0238 0,0239
65 6,5 0,0303 0,0296 0,0209 0,0211
70 7,0 0,0276 0,0270 0,0185 0,0187
75 7,5 0,0252 0,0247 0,0165 0,0167
80 8,0 0,0231 0,0227 0,0148 0,0150
85 8,5 0,0213 0,0210 0,0133 0,0136
90 9,0 0,0197 0,0194 0,0120 0,0123
95 9,5 0,0182 0,0180 0,0109 0,0112
100 10,0 0,0169 0,0167 0,0100 0,0103
105 10,5 0,0157 0,0156 0,0091 0,0094
110 11,0 0,0146 0,0146 0,0084 0,0086
115 11,5 0,0137 0,0136 0,0078 0,0080
120 12,0 0,0128 0,0128 0,0072 0,0074
125 12,5 0,0120 0,0120 0,0066 0,0069
130 13,0 0,0112 0,0113 0,0062 0,0064
135 13,5 0,0106 0,0106 0,0057 0,0059
140 14,0 0,0099 0,0100 0,0054 0,0056
145 14,5 0,0094 0,0094 0,0050 0,0052
150 15 0,0088 0,0089 0,0047 0,0049
65
Изучено влияние изменения длины оболочки 15 150L на распределение час-
тот свободных колебаний круговой замкнутой цилиндрической оболочки при посто-
янном радиусе срединной поверхности оболочки ( 10R ). Рассмотрены оболочки с
толщиной, изменяющейся в окружном направлении по закону 0 (1 cos )H H p
при 2p , 0 2H , 0, 2 , и оболочки постоянной толщины ( 0) для различных
условий закрепления торцов. Результаты вычислений частотного параметра пред-
ставлены в табл. 25.
Проведено сравнение первых частот свободных колебаний рассматриваемых обо-
лочек. Влияние параметра на частоты колебаний существенно для коротких обо-
лочек при шарнирном закреплении торцов (до 8%) и менее существенно при жестком
закреплении (до 2%) для достаточно коротких оболочек 15 20L .
При увеличении длины цилиндра влияние параметра незначительно. Первая
частота стремится к нулю при увеличении длины цилиндра, что соответствует резуль-
татам, полученным для тонких оболочек [13, 14].
Рассмотрена зависимость влияния изменения радиуса срединной поверхности
10 20R при постоянной длине 20L на распределение собственных частот колеба-
ний оболочки при различных условиях закрепления торцов. Исследованы случаи оболоч-
ки с толщиной, изменяющейся в окружном направлении по закону 0 (1 cos )H H p
при 2p , 0 2H , 0, 2 , и оболочки постоянной толщины ( 0) для различных
условий закрепления торцов. Результаты вычислений частотного параметра пред-
ставлены в табл. 26.
Таблица 26
Жесткое закрепление Шарнирное опирание
R R L/
0 0, 2 0 0, 2
10,0 0,5000 0,0899 0,0901 0,0707 0,0706
10,5 0,525 0,0888 0,0890 0,0701 0,0700
11,0 0,550 0,0878 0,0880 0,0697 0,0696
11,5 0,575 0,0869 0,0871 0,0693 0,0692
12,0 0,600 0,0861 0,0863 0,0689 0,0688
12,5 0,625 0,0853 0,0855 0,0686 0,0685
13,0 0,650 0,0846 0,0847 0,0683 0,0682
13,5 0,675 0,0839 0,0840 0,0679 0,0668
14,0 0,700 0,0833 0,0833 0,0676 0,0644
14,5 0,725 0,0827 0,0826 0,0670 0,0622
15,0 0,750 0,0821 0,0819 0,0655 0,0601
15,5 0,775 0,0815 0,0808 0,0643 0,0581
16,0 0,800 0,0805 0,0796 0,0625 0,0563
16,5 0,825 0,0795 0,0786 0,0606 0,0546
17,0 0,850 0,0786 0,0776 0,0588 0,0531
17,5 0,875 0,0777 0,0767 0,0571 0,0515
18,0 0,900 0,0769 0,0758 0,0555 0,0501
18,5 0,925 0,0762 0,0750 0,0540 0,0487
19,0 0,950 0,0755 0,0743 0,0526 0,0474
19,5 0,975 0,0748 0,0736 0,0513 0,0462
20,0 1,000 0,0742 0,0729 0,0500 0,0451
66
При увеличении отношения R L/ параметр оказывает более существенное
влияние на характер распределения спектра собственных частот колебаний оболочки.
Во всех случаях первая частота убывает при увеличении радиуса срединной поверх-
ности оболочки. Увеличивается расхождение между соответствующими частотами
при жестком закреплении торцов до 2% и до 10% при шарнирном закреплении.
Получены также результаты исследования спектра частот свободных колебаний
круговых замкнутых цилиндрических оболочек переменной толщины в окружном
направлении, изменяющейся по закону 0 (1 cos )H H p . Проведенные вычисле-
ния при последовательном применении метода сплайн-коллокации и метода дискрет-
ной ортогонализации дают возможность проанализировать влияние значений пара-
метров p и на распределение спектра частот свободных колебаний оболочки при
изменении геометрических параметров оболочки R и L и провести сравнение с ре-
зультатами расчетов для цилиндрической оболочки постоянной толщины при различ-
ных условиях закрепления торцов. Следовательно, подбирая соответствующим обра-
зом параметры p и , можно управлять спектром частот свободных колебаний обо-
лочек переменной толщины. Решение задач о свободных колебаниях цилиндрических
оболочек с переменной толщиной в двух направлениях приведено в [11, 42].
Следует отметить что в статье [81] получены решения задачи о напряженном со-
стоянии полых круговых изотропных и ортотропных цилиндров конечной длины при
жестком закреплении торцов.
Заключение. В настоящей статье представлен обзор публикаций и дано обобще-
ние результатов по исследованию статического и динамического деформирования
широкого класса оболочек с переменными параметрами в классической и уточненной
постановках. Решение задач статики и динамики указанных оболочек сопряжено с
трудностями вычислительного характера. В связи с этим разработан эффективный
дискретно-континуальный численно-аналитический подход. Исходная система диф-
ференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами с
помощью метода сплайн-коллокациии сведена к краевым задачам для систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений высокого порядка. Полученные одномерные
задачи решены устойчивым численным методом дискретной ортогонализации (для
динамических задач – в сочетании с методом пошагового поиска). На основании
предложенного подхода проведено решение задач о напряженно-деформированном
состоянии и свободных колебаниях прямоугольных пластин, пологих цилиндриче-
ских (с круговым и некруговым поперечными сечениями) и конических оболочек с
учетом переменной толщины и анизотропии упругих свойств их материалов в класси-
ческой и уточненной постановках.
Большое внимание уделено оценке достоверности полученных численных резуль-
татов. Проанализировано влияния механических и геометрических параметров, гра-
ничных условий, вида нагрузки на распределения полей перемещений, напряжений и
динамических характеристик исследуемых оболочек. Результаты проведенных иссле-
дований свидетельствуют о широких возможностях применения предложенного дис-
кретно-континуального подхода к решению задач механики оболочек наряду с такими
универсальными подходами, как конечноразностные и конечноэлементные методы.
Р Е ЗЮМ Е . Наведено огляд робіт, що присвячені розв’язанню задач та дослідженню статич-
ного та динамічного деформування пружних оболонкових тіл складної форми із ізотропних та анізо-
тропних матеріалів у класичній та уточненій постановках. Для розв’язання двовимірних крайових
задач і задач на власні значення застосовано нетрадиційний дискретно-континуальний підхід, що
базується на сплайн-апроксимації невідомих функцій диференціальних рівнянь у частинних похідних
з змінними коефіцієнтами, що дає можливість звести висхідну задачу до систем одновимірних рів-
нянь, які розв’язуються методом дискретної ортогоналізації. Проведено аналіз отриманих числових
результатів розподілу полів напружень, переміщень та динамічних характеристик в залежності від
виду навантаження та граничних умов, геометричних та механічних параметрів пружних тіл, що
розглядаються. Значну увагу приділено оцінці достовірності отриманих результатів.
67
1 .Алберг Д., Нильсон Э., Уолш Д. Теория сплайнов и ее приложения. – М.: Мир, 1972. – 318 с.
2. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – М.: Наука, 1974. – 448 с.
3.Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. – М.: Мир, 1968. – 184 с.
4. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных контрукций. – М.: Машиностроение, 1977. – 488с.
5. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. – М.; Л.: Гостехиздат, 1949. – 784 с.
6. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений // Успехи мат. наук. – 1961. – 16, № 3. – С. 171 – 174.
7. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пла-
стин и оболочек. – М.: Физ.-мат. лит, 2008. – 432с.
8. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. – М.: Наука, 1976. – 512 с.
9. Григолюк Э.И., Коган Е.А. Статика упругих слоистых оболочек. – М.: НИИ механики Моск. ун-та,
1999. – 215 с.
10. Григоренко А.Я. Расчет собственных колебаний прямоугольных пластин переменной толщины
методом сплайн-коллокации // Прикл. механика – 1990. – 27, № 2. – C. 123 – 126.
11. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л., Соколова Л.В. Свободные колебания незамкнутых ортотропных
оболочек переменной толщины // Методи розв’язування прикладних задач механіки деформів-
ного твердого тіла. – 2012. – 13. – С. 99 – 105.
12. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л., Пузырев С.В. Анализ свободных колебаний ортотропных прямо-
угольных пластин с линейно-переменной толщиной // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 2006. –
49, № 3. – С. 153 – 161.
13. Григоренко А.Я., Мальцев С.А. Решение задач о свободных колебаниях конических оболочек пе-
ременной величины // Доп. НАН України. – 2009. – № 7. – С. 63 – 69.
14. Григоренко А.Я., Мальцев С.А. О свободных колебаниях конических оболочек переменной в двух
направлениях толщины // Доп. НАН України. – 2009. – № 11. – С. 60 – 66.
15. Григоренко А.Я., Пархоменко А.Ю. Численное решение задачи о свободных колебаниях пологих
оболочек переменной толщины в уточненной постановке // Доп. НАН України. – 2009. – № 12. –
С.50 – 54.
16. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жестко-
сти. – К.: Наук. думка, 1973. – 228 с.
17. Григоренко Я. М., Беренов М.Н. Решение двумерных задач об изгибе прямоугольных пластин на
основе сплайн-аппроксимации // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1987. – № 8. – С. 22 – 25.
18. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Василенко А.Т., Петрова Л.Н. О решении на ЭЦВМ задач ста-
тики оболочек вращения при произвольном нагружении // Тр. IV Всесоюз. конф. по применению
ЭЦВМ в строит. механике. – 1965. – К.: Наук. думка, 1968. – С. 46 – 51.
19. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Численное решение на ЭЦВМ краевых задач о напряженном
состоянии оболочек вращения: Аннот. докл. V Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. –
М.: Наука, 1965. – C. 18 – 19.
20. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. – М.:
Наука, 1992. – 336 с.
21. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г..П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиго-
вой жесткостью. – К.: Наук. думка, 1987. – 216 с.
22. Григоренко Я.М., Влайков Г.Г., Григоренко А.Я. Численно-аналитическое решение задач механики
оболочек на основе различных моделей. – К.: Академпериодика, 2006. – 472 с.
23. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. – К.: Наук. думка, 1971. – 276 с.
24. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов Вал.Н. и др. Теория тонких оболочек, ослабленных отвер-
стиями. – К.: Наук. думка, 1980. – 636 с. – (Методы расчета оболочек: В 5-ти т.; Т. 1).
25. Завьялов Ю.С., Квасов Ю.И., Мирошниченко В.М. Методы сплайн-функций. – М.: Наука, 1980. – 352 с.
26. КармишинА.В., ЛясковецВ.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных
оболочечных конструкций. – М.: Машиностроение, 1975. – 376 с.
27. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 416 с.
28. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с применением к решению задач
устойчивости упругого равновесия // Прикл. математика и механика. – 1939. – 2, № 14. –
С. 439 – 456.
29. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. – Казань: Таткнигоиздат,
1957. – 43 с.
30. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. – Л.: Судостроение, 1962. – 324 с.
31. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. – К.: Наук. думка, 1973. – 246 с.
32. Avramenko O.A. Stress–strain analysis of nonthin conical shells with thickness varying in two coordinate
directions // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 3. – P. 332 – 342.
68
33. Birman V. Plate Sructures. In Series “Solids Mechanics and Applications” – Berlin: Spinger, 2011. – 346 p.
34. Budak V.D., Grigorenko A.Ya., Puzyrev S. V. Solution describing the natural vibrations of rectangular
shallow shells with varying thickness // Int. Appl. Mech. –2007. –43, N4. – P. 432 – 441.
35. Budak V.D., Grigorenko A.Ya., Puzyrev S. V. Free vibrations of rectangular orthotropic shallow shells
with varying thickness // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 6. – P. 670 – 682.
36. Donnel, L.H.. Beams, Plates, and Shells. –New York: McGraw-Hill, 1976. – 466 p.
37. Flugge W. Stresses in Shells. – Berlin etc.: Springer, 1967. – 499 p.
38. Grigorenko A.Ya. Investigation of the dynamical characteristics of anisotropic in homogeneous cylin-
ders with circular and non-circular cross section on the base of the numerical research // Full Paper on
Enclosed CD-ROM 2 -nd Eur. Conf. Comput. Mech. (Cracow, Poland, June 26-29, 2001): Abst. – 1. –
P. 846 – 847.
39. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Spline-approximation method applied to solve natural-vibration prob-
lems for rectangular plates of varying thickness // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 10. – P. 1161–1168.
40. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Application of the spline-approximation method for solving the prob-
lems on axisymmetric natural vibrations of thick-wall orthotropic cylinders // Int. Appl. Mech. – 2008.
– 44, N.10. – P. 1137 – 1147.
41. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Free axisymmetric vibrations of solids cylinders: numerical problem
solving // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N.5. – P. 499 – 508.
42. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L., Sokolova L.V. On the approach to studying free vibrations of cylindrical
shells of variable thickness in the circumferential direction within a refined statement // J. Math. Sci. –
2010. – 181, N 4. – P. 548 – 563.
43. Grigorenko A.Ya., Dyyak I.I. Makar V.M. Influence anisotropic on dynamic characteristics of free vibra-
tions of finite cylinders // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N 5. – P. 628 – 637.
44. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Axisymmetric waves in layered hollow cylinders with axially polarized
piezoceramics // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 6. – P.707 – 713.
45. Grigorenko A., Makar V. Free vibrations of the thick hollow anisotropic cylinders // Abst. 8 -th Int.
Conf. Modern Building Materials, Structures and Techniques (19–21 May 2004): Selected Papers. –
Vilnius: Technika, 2004. – Р. 759 – 764.
46. Grigorenko A. Ya, Maltsev S.A. Natural vibrations on thin conical panels of variable thickness // Int.
Appl. Mech. – 2009. – 45, N.11. – P. 1221 – 1231.
47. Grigorenko A.Ya., Muller W.H., Wille R., Yaremchenko S.N. Numerical solution of the problem on the
stress-strain state in hollow cylinders using spline –approximations // J. Math. Sci. – 2012. – 180, N 2. –
P. 135 – 145.
48. Grigorenko A.Ya., Parkhomenko A.Yu. Free vibrations of shallow nothin shells with variable thickness
and rectangular planform // Int. Appl. Mech. –2010. – 46, N 7, – P. 776 – 789.
49. Grigorenko A.Ya., Parkhomenko A.Yu. Free vibrations of orthotropic shallow shells with variable thick-
ness and rectangular planform // Int. Appl. Mech. – 2010. –46, N 8.–P. 877 – 889.
50. Grigorenko A.Ya.,TregubenkoT.V. Numerical and experimental analysis of natural vibration of rectangu-
lar plates with variable thickness // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 2. – Р. 268 – 271.
51. Grigorenko A.Ya., Vlaikov G.G. Some problems of the theory of elasticity for anisotropic shells of non-
circular cross-section // The 7 -th Conf. “Shell Structures, Theory and Applications”. – Golansk-Jurata
(Poland), 2002. – P. 97 – 98.
52 . Grigorenko A.Ya., Vlaikov G.G. Some problems of the theory of elasticity for anisotropic bodies of
cylindrical form. – Kyiv: Inst. Mech. NAS Ukraine and Techn. Center NAS Ukraine, 2002. – 217 p.
53 . GrigorenkoA.Ya.,Vlaikov G.G. Numerical analysis of anisotropic circular and non-circular cylinder //
CMM-2003-Computer Methods in Mechanics (June 3–6, 2003, Gliwice, Poland): Abst. and Full Paper
on Enclosed CD-ROM. – P. 141 – 142.
54 .Grigorenko A.Ya.,Vlaikov G.G. Investigation of the static and dynamic behaviour of anisotropic cylin-
drical bodies with noncircular cross-section // Int. J. Solids and Struct. – 2004. – 41. – P. 2781 – 2798.
55. Grigorenko A.Ya., Vovkodav O.V, Yaremchenko S.N.. Stress-strain state of nothing orthotropic spherical
shells of variable thickness // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 1.– P. 80 – 93 .
56. Grigorenko A Ya., Yaremchenko N.P. Stress-strain state of shallow shells with rectangular planform
varying thickness: refined formulation // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 10. – P. 1132 – 1141.
57. Grigorenko A Ya., Yaremchenko N.P. Stress-state of nothin orthotropic shells with varying thickness and
rectangular planform // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 8. – P. 905 – 915.
58. Grigorenko A., Yaremchenko N, Yaremchenko S., Spline–based investigation of stress–strain of anisot-
ropic rectangular shallow shells of variable thickness in refined formulation // Proc. Int. Symp. on
Advances in Applied Mechanics and Modern Information Technology. – Baku: Azerbaijan, 2011 –
P.171 – 175.
69
59. Grigorenko A., Yaremchenko S. Spline-approximation method for investigation of mechanical behavior
of anisotropic inhomogeneous shells // The 9th international conference “Modern Building Materials,
Strucruct. and Techniques”: Selected Papers. – Vilnius: Technika, 2007. – Р. 918 – 924.
60. Grigorenko A., Yaremchenko S. Investigation of static and dynamic behaviour of anisotropic inhomoge-
neous shallow shells by spline approximation method // J. of Civ. Eng. and Manag. – 2009. – 15, N 1. –
P.87 – 93.
61. Grigorenko A., Yaremchenko S. Static problems for noncircular cylindrical shells: Classical and refined
theories // Proceedings of the 9th conference “Shell Structures and Applications”, 2, Gdansk-Jurata.,
2009, Taylor and Francis Group, London, UK. – Р. 241 – 244.
62. Grigorenko A., Yaremchenko S. Solution of stress-strain problems for noncircular cylindrical shells
based upon different models // The 10th international conference “Modern Building Materials
Structures and Techniques”: Selected papers. –II. Lithuania, 2010, VGTV leidyklos, Technika. –
P.885 – 889.
63. Grigorenko Ya.M. Solution of problems in the theory of shells by numerical-analysis methods // Int.
Appl. Mech. – 1984. – 20, N 10. – P. 881 – 897.
64. Grigorenko Ya.M. Some approaches to modelling and numerical solution of the deformation problems
of the flexible shells of revolution // Eur. Mech. Colloq. EUROMECH 292, Modelling of Shells with
Nonlinear Behaviour (Germany, Sept. 2–4, 1992). – P. 12.1 – 12.2.
65. Grigorenko Ya.M. Influence of anistropy and non-homogeneity on the deformation of flexible shells //
Euromech Colloq. 317, Buckling Strength of Imperfection-Sensitive Shells (21–23 March 1994). – Liv-
erpool, 1994. – P. 44.
66. Grigorenko Ya.M. Some approaches to the numerical solution of linear and nonlinear problems on de-
forming of elastic shell systems // The 3rd Int. Congr. Industr. and Appl. Math. (Germany, Hamburg, 3 –
7 July 1995). – P. 294.
67. Grigorenko Ya. M. Nonconvential approaches static problems for noncircular cylindrical shells in differ-
ent formulations // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 1. – P.35 – 53.
68. Grigorenko Ya. M. Using discrete Fourier series to solve boundary-value stress problems for elastic
bodies with complex geometry and structures // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 5. – P. 470 – 513.
69. Grigorenko Ya.M., Avramenko O.A. Stress–strain analysis of closed nonthin orthotropic conical shells of
varying thickness // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 6. – P. 635 – 643.
70. Grigorenko Ya. M., Avramenko O. A. Influence of geometrical and mechanical parameters on the stress-
strain state of closed nothin conical shells stress–strain analysis of closed nonthin orthotropic conical
shells of varying thickness // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 10. – P. 1119 – 1127.
71. Grigorenko Ya. M., Avramenko O. A., Yaremchenko S. N. Spline-approximations solution of two –
dimensional problems of static for orthotropic conical shells in a refined formulations // Int. Appl.
Mech. – 2007. – 43, N 6. – P. 1218 – 1227.
72. Grigorenko Ya. M., Berenov M. N. Numerical solution of problems in the statics of flattened shells on
the basis of the spline collocation method // Int. Appl. Mech. – 1988. – 24, N 5. – P. 458 – 463.
73. Grigorenko Ya. M., Berenov M. N. Solution of problems of the statics of shallow shells and plates with
hinged and rigidly–fastened opposing edges // Int. Appl. Mech. – 1990. – 26, N 1. – P.25 – 31.
74. Grigorenko Ya. M., Grigorenko A. Ya., Efimova T.L. Spline-based investigation of natural vibrations of
orthotropic rectangular plates of variable thickness within classical and refined theories // J. of Mech.
and Struct. – 2008. – 3, N.5. – P. 929 – 952.
75. Grigorenko Ya. M., Grigorenko A. Ya., Rozhok L.S. Solving the stress problems for solid cylinders with
different end conditions // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 6. – P. 629 – 635.
76. Grigorenko Ya. M., Grigorenko A. Ya., Vlaikov G.G. Problems of Mechanics for Anisotropic Inhomoge-
neous Shells on the Basis of Different Models. – K.: Akademperiodika, 2009. – 550 p.
77. Grigorenko Ya. M., Grigorenko A. Ya., Zakhariichenko L. I. Stress-strain analysis of orthotropic closed
and open noncircular cylindrical shells // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 7. – P.778 – 785.
78. Grigorenko Ya. M., Grigorenko A. Ya., Zakhariichenko L. I. Stress analysis of noncircular cylindrical
shells with cross-section in the form of convex half-corrugations // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 4.
– P. 431 – 438.
79. Grigorenko Ya. M., Grigorenko A. Ya., Zakhariichenko L. I. Influence of geometrical parameters on the
stress-strain of .longitudinally corrugated cylindrical shells // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 2. –
P. 778 – 785.
80. Grigorenko Ya. M., Kryukov N. N. Solution of problems of the theory of plates and shells with spline
functions (survey) // Int. Appl. Mech. – 1995. – 31, N 6. – P. 413 – 434.
81. Grigorenko Ya. M., Kryukov N. N. Investigation of the asymmetric stressed-strained state of transversely
isotropic cylinders under different boundary conditions at the ends // Int. Appl. Mech. – 1998. – 34,
N 7. – P. 607 – 614.
70
82. Grigorenko Ya. M., Kryukov N. N., Ivanova Yu. I. Solution of two-dimensional problems of the statics of
flexible shallow shells by spline approximation // Int. Appl. Mech. – 1995. – 31, N 4. – P. 255 – 261.
83. Grigorenko Ya. M., Kryukov N. N., Ivanova Yu. I. Spline-approximation solution of problems of the
statics of orthotropic shallow shells with variable parameters // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 7. –
P. 888 – 897.
84. Grigorenko Ya. M., Kryukov N. N., Yakovenko N. S. Using spline-functions to solve boundary-value
problems for laminated orthotropic trapezoidal plates of variable thickness // Int. Appl. Mech. – 2005. –
41, N 4. – P. 413 – 420.
85. Grigorenko Ya. M., Tumashova O. V. Stress-strain state of flexible cylindrical panels with variable geo-
metric parameters // Int. Appl. Mech. – 1989. – 25, N 5. – P. 454 – 461.
86. Grigorenko Ya. M., Tumashova O. V. Computation of flexible finite-size cylindrical panels of noncircu-
lar cross section // Int. Appl. Mech. – 1992. – 28, N 12. – P. 839 – 842.
87. Grigorenko Ya. M., Yaremchenko S. N. Stress analysis of orthotropic noncircular cylindrical shells of
variable thickness in a refined formulation // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 3. – P. 266 – 274.
88. Grigorenko Ya. M., Yaremchenko S. N. Influence of variable thickness on displacements and stresses in
nonthin cylindrical orthotropic shells with elliptic cross-section // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 8. –
P. 900 – 907.
89. Grigorenko Ya. M., Yaremchenko S. N. Refined design of corrugated noncircular сylindrical shells // Int.
Appl. Mech. – 2005. – 41, N 1. – P.7 – 13.
90. Grigorenko Ya.M., Yaremchenko S.N. Influence of orthotropy on displacements and stresses in nonthin
cylindrical shells with elliptic cross section // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 11. – P. 1218 –1 226.
91. Grigorenko Ya. M., Yaremchenko S. N. Refined design of longitudinally corrugated cylindrical shells //
Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 2. – P. 205 – 211.
92. Grigorenko Ya. M., Zakhariichenko L. I. Solution of the problem of the stress state of noncircular cylin-
drical shells of variable thickness // Int. Appl. Mech. – 1998. – 34, N 12. – P.1196 – 203.
93. Grigorenko Ya. M., Zakhariichenko L. I. Analysis of the stress-strain state of non-circular cylindrical shells
subject to thickness variation and weight retention // Int. Appl. Mech. – 1999. – 35, N 6. – P. 567 – 576.
94. Grigorenko Ya. M., Zakhariichenko L. I. Design of corrugated cylindrical shells under different end
conditions // Int. Appl. Mech. – 1999. – 35, N 9. – P. 897 – 905.
95. Grigorenko Ya. M., Zakhariichenko L. I. Studying the effect of the spatial frequency and amplitude of
corrugation on the stress-strain state of cylindrical shells // Int. Appl. Mech. – 2003. – 39, N 12. –
P. 1429 – 1435.
96. Librescu L., Elastostatics and Kinetics of Anisotropic and Heterogeneous Shell-Type Structures. Noord-
hoff Inter. Publishing. – Leyden, Netherlands, 1975. – 598 p.
97. Love A.E.H. Mathematical Theory of Elasticity. – Cambridge at the Univer. Press, repr in USA 1952. – 643 p.
98. Ramm E., Wall W.A. Shell structures – a sensitive interrelation between physics and numerics // Int. J. for
Numerical Methods in Engineering. – 2002. –60. – P. 381 – 427.
99. Ramm E., Wall W.A. Computational methods for shells // Special Issue of Comput. Methods Appl. Mech.
Eng. .–2005. – 184. – P. 2285 – 2707.
100. Soldatos K .P . Mechanics of cylindrical shells with non-circular cross-section. A survey // Appl. Mech.
Rev. – 1999. – 52, N 8. – P. 237 – 274.
101. Timoshenko S.P. History of the Strength of Materials. – New York: McGraw-Hill Book Company,
1953. – 480 p.
Поступила 05.06.2012 Утверждена в печать 26.06.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95499 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T01:03:32Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Григоренко, Я.М. Григоренко, А.Я. 2016-02-27T09:55:11Z 2016-02-27T09:55:11Z 2013 Задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор) / Я.М. Григоренко, А.Я. Григоренко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 3-70. — Бібліогр.: 101 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95499 The review of works is given, which are devoted to solving the problems of the statical and dynamical deformation of the elastic shell-like bodies of complex shape made of the isotropic and anisotropic materials in the classical and refined statements. To solve the two-dimensional boundary problems and boundary value problems, the nontraditional discrete-continuum approach is utilized, which is based on the spline-approximation of unknown functions of partial differential equations with variable coefficients. This enables to reduce the initial problem to the system of one-dimensional problems, which are solving by the method of discrete orthogonalization. An analysis of numerical results on the distribution of stress and displacement fields as well as the dynamical characteristics is carried out in dependence on the form of loading and boundary conditions, geometrical and mechanical parameters of elastic bodies under consideration. The special attention is drawn to the estimating the accuracy of results in hand. Наведено огляд робіт, що присвячені розв’язанню задач та дослідженню статичного та динамічного деформування пружних оболонкових тіл складної форми із ізотропних та анізотропних матеріалів у класичній та уточненій постановках. Для розв’язання двовимірних крайових задач і задач на власні значення застосовано нетрадиційний дискретно-континуальний підхід, що базується на сплайн-апроксимації невідомих функцій диференціальних рівнянь у частинних похідних з змінними коефіцієнтами, що дає можливість звести висхідну задачу до систем одновимірних рівнянь, які розв’язуються методом дискретної ортогоналізації. Проведено аналіз отриманих числових результатів розподілу полів напружень, переміщень та динамічних характеристик в залежності від виду навантаження та граничних умов, геометричних та механічних параметрів пружних тіл, що розглядаються. Значну увагу приділено оцінці достовірності отриманих результатів. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор) The Problems of Statical and Dynamical Deformation of Anisotropic Inhomogeneous Shells with Variable Parameters and Their Numerical Solution (Review) Article published earlier |
| spellingShingle | Задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор) Григоренко, Я.М. Григоренко, А.Я. |
| title | Задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор) |
| title_alt | The Problems of Statical and Dynamical Deformation of Anisotropic Inhomogeneous Shells with Variable Parameters and Their Numerical Solution (Review) |
| title_full | Задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор) |
| title_fullStr | Задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор) |
| title_full_unstemmed | Задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор) |
| title_short | Задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор) |
| title_sort | задачи статики и динамики анизотропных неоднородных оболочек с переменными параметрами и их численное решение (обзор) |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95499 |
| work_keys_str_mv | AT grigorenkoâm zadačistatikiidinamikianizotropnyhneodnorodnyhoboločeksperemennymiparametramiiihčislennoerešenieobzor AT grigorenkoaâ zadačistatikiidinamikianizotropnyhneodnorodnyhoboločeksperemennymiparametramiiihčislennoerešenieobzor AT grigorenkoâm theproblemsofstaticalanddynamicaldeformationofanisotropicinhomogeneousshellswithvariableparametersandtheirnumericalsolutionreview AT grigorenkoaâ theproblemsofstaticalanddynamicaldeformationofanisotropicinhomogeneousshellswithvariableparametersandtheirnumericalsolutionreview |