К определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов
A problem is solved on determination of parameters of the fractional- exponential hereditary kernels of nonlinearly viscoelastic materials. The methods of determination of parameters, which are using in the cubically nonlinear theory of viscoelasticity and in the nonlinear theories and wh...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95502 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов / В.П. Голуб, Я.В. Павлюк, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 100-113. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859723542419996672 |
|---|---|
| author | Голуб, В.П. Павлюк, Я.В. Фернати, П.В. |
| author_facet | Голуб, В.П. Павлюк, Я.В. Фернати, П.В. |
| citation_txt | К определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов / В.П. Голуб, Я.В. Павлюк, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 100-113. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | A problem is solved on determination of parameters of the fractional-
exponential hereditary kernels of nonlinearly viscoelastic materials. The methods of determination of parameters, which are using in the cubically nonlinear theory of viscoelasticity and in the nonlinear theories and which are based on conditions of similarity of the initial creep curves and the isochronous creep diagrams, are analyzed. The mentioned parameters are determined and experimentally approved for different materials: the oriented polypropylene, nylon fibers FM 3001 and 10001, microplastic, glass-reinforced plastics TC-8/3250, CBAM and the contact moulding one.
Розв’язано задачу визначення параметрів дробово-експоненційних ядер спадковості нелінійно-в’язкопружних матеріалів. Проаналізовано методи визначення параметрів, що використовуються в кубічній теорії в’язкопружності та в нелінійних теоріях та ґрунтуються на умовах подібності первісних кривих повзучості та ізохронних діаграмах. Визначено та експериментально апробовано параметри дробово-експоненційних ядер спадковості для мікропластику, склопластику ТС-8/3250, склопластику СВАМ. Дано аналіз результатів (таблиці, графіки).
|
| first_indexed | 2025-12-01T10:39:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 2
100 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 2
В .П . Г о л у б , Я .В .П а в лю к , П .В .Ф е р н а т и
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ ДРОБНО-ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ
ЯДЕР НАСЛЕДСТВЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГИХ
МАТЕРИАЛОВ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины
ул. Нестерова, 3, Киев, 03057, Украина; e-mail: creep@inmech.kiev.ua
Abstract. A problem is solved on determination of parameters of the fractional-
exponential hereditary kernels of nonlinearly viscoelastic materials. The methods of deter-
mination of parameters, which are using in the cubically nonlinear theory of viscoelasticity
and in the nonlinear theories and which are based on conditions of similarity of the initial
creep curves and the isochronous creep diagrams, are analyzed. The mentioned parameters
are determined and experimentally approved for different materials: the oriented polypro-
pylene, nylon fibers FM 3001 and 10001, microplastic, glass-reinforced plastics TC-8/3-
250, CBAM and the contact moulding one.
Key words: nonlinear theories of viscoelasticity, fractional-exponential hereditary ker-
nel, parameters of kernel, creep curve, isochronous creep diagram.
Введение.
Одной из основных задач наследственной теории ползучести является выбор ядер ин-
тегральных уравнений, определение их резольвент и достоверное определение парамет-
ров ядер [4, 5, 9, 12, 13]. Вязкоупругое поведение некоторых армированных полимеров,
стеклопластиков и металлов, а также горных пород достаточно хорошо описывается с
помощью резольвентных операторов с ядром наследственности в виде дробно-экспонен-
циальной функции Работнова [9]. Задача определения параметров дробно-экспонен-
циальных ядер наследственности нелинейных вязкоупругих материалов усложнена тем
обстоятельством, что существует несколько вариантов определяющих уравнений и соот-
ветственно несколько методов нахождения параметров ядер наследственности.
В настоящей работе решена задача идентификации дробно-экспоненциальных
ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов в рамках упрощенных
вариантов нелинейной теории, включающих кубичную теорию [4, 5, 6, 9], теорию [11, 14],
отражающую подобие первичных кривых ползучести, и теорию [5, 9], отражающую
подобие изохронных диаграмм ползучести, и полученные решения апробируются на
задачах расчета деформаций ползучести при постоянных напряжениях.
§1. Постановка задачи. Объект исследования.
В одномерном случае связь между деформацией ( )t и напряжением ( )t в соот-
ветствии с кратно-интегральным представлением Вольтерра – Фреше задаем соотно-
шением [9]
1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
1 20 0 0
3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 0 0 0
( ) 1 1
( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )
1
( , , ) ( ) ( ) ( ) ,
t t t
t t t
t
t K t d K t t d d
E E E
K t t t d d d
E
(1.1)
101
где E – модуль упругости материала; 1( )K , 2 ( )K , 3 ( )K – функции интегрирования,
которые являются характеристиками материала и интерпретируются как ядра ползу-
чести; 1E , 2E , 3E – постоянные.
Ограничивая уравнение (1.1) тремя интегральными членами и принимая далее,
что вязкоупругие свойства материала при растяжении и сжатии одинаковы, и исклю-
чая, соответственно, из (1.1) двойной интеграл, получаем нелинейное определяющее
уравнение кубичной теории [4, 5]
3
1 3
30 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
t t K t d K t d
E E
, (1.2)
которое используется для описания ползучести вязкоупругих материалов, когда в за-
висимости от уровня напряжений можно выделить линейную и нелинейную области
вязкоупругих свойств. Здесь 1( )K t и 3 ( )K t – ядра наследственности в линейной
и нелинейной областях, соответственно, а 1E E .
В качестве частных случаев общего нелинейного уравнения (1.1) рассматриваем
также нелинейное интегральное соотношение [11, 14]
0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
t
t t K t f d (1.3)
отражающие подобие первичных кривых ползучести « t », и нелинейное инте-
гральное соотношение [9]
0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
t
t t K t d (1.4)
отражающее подобие изохронных диаграмм ползучести « ( )t ». Здесь ( )K t –
ядро ползучести; ( )t , ( )f t , ( )t – функции, характеризующие механи-
ческие свойства материала и определяемые экспериментально; – реологический
параметр.
В качестве ядер ползучести ( )K t в нелинейных интегральных уравнениях (1.2)
– (1.4) используем дробно-экспоненциальное ядро [9]
(1 )
0
( ) ( )
( ) ,
(1 )(1 )
n n
n
t
K t
n
(1.5)
где , – параметры ядра, подлежащие определению из экспериментов на ползу-
честь или релаксацию (1 > > 0; > 0); [ ] – гамма-функция.
Параметры и дробно-экспоненциального ядра (1.5), а также реологический
параметр в уравнениях (1.3) и (1.4) определяются по результатам обработки экспе-
риментальных данных на одноосную ползучесть при фиксированной температуре и
нескольких уровнях постоянных напряжений. В этом случае величину напряжения
( )t задаем соотношением
( ) ( ) ( 1, ),kt h t k m (1.6)
где ( )h t – единичная функция Хевисайда ( ( )h t = 0 при 0t и ( )h t = 1 при 0t );
constk .
Методы определения параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственно-
сти в нелинейных интегральных уравнениях (1.2) – (1.4) апробируются в работе экс-
периментально на примере микропластика, стеклопластика ТС 8/3-250 и стеклопла-
стика СВАМ. Экспериментальные данные заимствованы из работ [7, 8, 10].
102
Задача заключается в установлении характера нелинейности вязкоупругих свойств
исследованных материалов, определении параметров дробно-экспоненциальных ядер
наследственности для этих материалов в рамках соответствующих нелинейных тео-
рий и апробации методов определения параметров ядер на задачах расчета деформа-
ций ползучести при постоянных напряжениях.
§2. Кубичная теория.
Область применения кубичной теории ограничена, как известно, вязкоупругими
материалами, обнаруживающими малые отклонения от линейного поведения и обла-
дающие одинаковыми вязкоупругими свойствами на растяжение и на сжатие.
2.1. Методика определения параметров ядер наследственности. Кубичная теория
является частным случаем общей нелинейной теории вязкоупругости Вольтерра –
Фреше, определяющие уравнения которой включают только линейный и кубичный
члены. Ползучесть материала, как собственно и релаксация напряжений, описывается
двумя независимыми ядрами 1( )K t и 3 ( )K t , отражающими, соответственно, линейное
и нелинейное вязкоупругое деформирование материала.
Методика определения коэффициентов и параметров ядер ползучести в кубичной
теории (1.2) реализуется следующим образом [5].
Пусть имеем семейство кривых ползучести « t » при разных уровнях постоянных
напряжений k , каждое из которых достигнуто ступенчатым нагружением согласно
(1.6). Определяющее уравнение ползучести (1.2) с учетом (1.6) записываем в виде
3
1 1 3 3
30 0
( ) 1 ( )) ( ) ( ( ) 1).
t t
k kt K d K d h t
E E
(2.1)
По заданным кривым ползучести (2.1) строим функции ползучести
2
1 1 3 3
30 0
1
( ) 1 ( )) ( )
t t
k
k
k
t
J t K d K d
E E
(2.2)
и определяем область линейности вязкоупругих свойств материала. Полагаем, что
материал обладает линейными вязкоупругими свойствами в некоторой области на-
пряжений *0 k , если в этой области функция ползучести (2.2) не зависит от
уровня напряжений. Аналитически условие линейности с учетом статистической при-
роды вязкоупругих свойств материала сформулировано в [2].
Параметры ядер ползучести и неизвестные коэффициенты в (2.1) определяем в
два этапа. На первом этапе определяем параметры ядра ползучести 1( )K t и параметр
1 , описывающие линейное вязкоупругое деформирование материала. В этом случае
уравнение (2.2) преобразуем к линейному интегральному уравнению
1 1
0
( ) 1
1 ( ) ,
t
k
t
K d
E
(2.3)
неизвестные параметры которого определяются путем минимизации функционала
2
1 1 1
1 1 0
( , ) 1
( , ) 1 ( , ) .
tm n
i k
i i
k j k
t
F p K p d
E
(2.4)
Здесь ip – параметры ядра ползучести 1( )K t ; ( ) – экспериментальные значения
деформаций ползучести в линейной области *( )k .
103
На втором этапе определяем параметры ядра ползучести 3 ( )K t и коэффициент
1
3 3b E , описывающие деформирование материала в нелинейной области. В этом
случае уравнение (2.2) можно представить в виде
2
1 1 3
0 0
( , )
1 ( , ) ( ) ,
t t
k j
i k
k
t
E K p d bE K d
(2.5)
где величина
1 1
0
( , )
( , ) 1 ( , )
t
k j
k j i
k
t
I t E K p d
(2.6)
известна, поскольку величины ( , )k jt измеряются по экспериментальным кривым
ползучести в нелинейной области *( )k , а значения параметров ip определяются
согласно (2.4).
Параметры ядра ползучести 3 ( )K t и величина коэффициента b , исходя из (2.5) и
(2.6), определяются по результатам аппроксимации дискретных значений величины
( , )kI t путем минимизации функционала
2
2
3 1
1 1 0
( , ) ( , ) ( , )
tm n
i k j k
k j
F b p I t bE K p d
, (2.7)
где ip – параметры ядра ползучести 3 ( )K .
2.2. Численная реализация методики. При определении коэффициентов и пара-
метров ядер наследственности в кубичной теории методикой предусмотрено выделе-
ние двух областей напряжений, вызывающих линейное и соответственно нелинейное
вязкоупругое деформирование материала. Эту задачу решаем на основе анализа экс-
периментальных функций ползучести. Реализация методики осуществлена в работе на
примере ползучести стеклопластика ТС-8/3-250 при 23,5 С. Исходные экспери-
ментальные данные заимствованы из [10].
На рис. 1 точками представлены экспериментальные значения функций ползуче-
сти ( )k jJ t стеклопластика ТС-8/3-250 при k = 19,9 (○), 39,8 ( ), 59,7 ( ), 79,6 ( ),
99,5 ( ), 119,5 (●) МПа. Тонкая сплошная линия – выборочные средние значения функ-
ции ползучести ( )jJ t для линейной области, а тонкие штриховые линии – границы
интервала, задаваемого величиной 5%.
Из данных, приведенных на рис. 1, следует, что для данного материала можно вы-
делить область напряжений, в которой функции ползучести ( )k jJ t (с погрешностью
max 5% по отношению к величине ( )jJ t ) оказываются инвариантными по отно-
шению к уровню напряжений k , а материал, соответственно, обладает линейными
вязкоупругими свойствами. Для стекло-
пластика ТС-8/3-250 эти напряжения
имеют диапазон k = 10,91 – 39,82 МПа.
Экспериментальные значения дефор-
маций ползучести ( , )k jt , замеренные
по кривым ползучести в области напря-
жений k , которые удовлетворяют усло-
виям линейности вязкоупругих свойств,
используем для определения параметров
дробно-экспоненциальных ядер (1.5).
Рис. 1
104
Минимизируя функционал (2.4) находим значения параметров 1 , 1 и 1 . Здесь
и далее процедуру минимизации функционалов при определении параметров ядер
ползучести проводим с использованием итерационного метода Левенберга – Мар-
кардта [15].
Значения параметров 1 , 1 и 1 , вычисленных согласно (2.4), приведены в табл. 1.
Таблица 1
Подставляя далее (1.5) в (2.6), получаем уравнение
1(1 )(1 )
1
1
0 1
( , ) ( )
( , ) 1
1 (1 )(1 )
nn
k j
k j
nk
t t
I t E
n
, (2.8)
используемое для вычислений значений ( , )k jI t , по которым определяем параметры
ядра ползучести 3 ( )K t в нелинейной области.
Значения ( , )k jI t , рассчитанные по
уравнению (2.8), представлены для стек-
лопластика ТС-8/3-250 на рис. 2 точками.
Расчеты выполнены с использованием
параметров 1 , 1 и 1 , приведенных в
табл. 1, и значений деформаций ползуче-
сти ( , )k jt , замеренных по кривым пол-
зучести в нелинейной области при на-
пряжениях: k = 59,72 ( ), 79,63( ),
99,53 ( ), 119,45 (●) МПа.
Минимизируя функционал (2.7) с
учетом (1.5) находим значения парамет-
ров 3 , 3 и 3 . Значения параметров 3 , 3 и 3 для исследованного материала,
рассчитанных согласно (2.7), приведены в табл. 1, а на рис. 2 тонкими сплошными
линиями показана соответствующая этим значениям параметров аппроксимация дис-
кретных значений величины ( , )k jI t .
2.3. Экспериментальная апробация теории. Экспериментальная апробация дроб-
но-экспоненциального ядра (1.5) в кубичной наследственной теории и параметров
ядра, полученных в предположении существования области линейности и области
нелинейности вязкоупругих свойств материала, для решения задач нелинейной тео-
рии вязкоупругости может быть осуществлена на примере расчета деформаций пол-
зучести при постоянных напряжениях.
Зависимость деформации от времени t при нагружении постоянными напря-
жениями k записываем, исходя из (1.2) с учетом (1.5) и (1.6), в виде
31 (1 )(1 )(1 )(1 )
3 31
0 01 3
( )( )
( ) 1
1 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 )
nn nn
k
k
n n
tt
t b
E n n
, (2.9)
где принято, что = 0, t t , а ( )h t = 1.
Материал E ,
МПа 1 1 ,
час-(1+)
1 ,
час-(1+)
b ,
МПа-3·час-(1+) 3 3 ,
час-(1+)
Стеклопластик
ТС8/3-250
15690 -0,406 0,07965 0,0537 1,78010-3 -0,844 0,3778
Рис. 2
105
Значения деформаций ползучести
( )t , рассчитанных по уравнению (2.9) с
использованием значений параметров 1 ,
1 , 1 , 3 , 3 , 3 , приведенных в табл. 1,
сопоставлены на рис. 3 с эксперимен-
тальными данными для стеклопластика
ТС-8/3-250. Результаты расчетов нанесе-
ны штриховыми линиями, а эксперимен-
тальные данные показаны точками. Обо-
значения уровня приложенных напряже-
ний совпадают с принятыми на рис. 1.
§3. Теория, основанная на подобии первичных кривых ползучести.
Подобие первичных кривых ползучести предполагает, что при постоянных на-
пряжениях любую кривую ползучести можно совместить с другой кривой, если ум-
ножить её ординаты на коэффициент подобия, зависящий от напряжений.
3.1. Методика определения параметров ядер наследственности. Определяющее
уравнение (1.3) теории является частным случаем общей нелинейной теории вязкоуп-
ругости Вольтерра – Фреше и содержит три функции ( ) , ( )f и ( )K , подлежащие
определению из эксперимента. Методика идентификации неизвестных функций в
(1.3) и определения их параметров реализуется следующим образом [5, 11, 14].
Пусть имеется семейство подобных кривых ползучести « t » для разных уров-
ней постоянных напряжений k , заданных согласно (1.6). В этом случае определяю-
щее уравнение (1.3) с учетом (1.6) запишем в виде
0
( , ) ( ) 1 ( ) ,
t
k kt K d
(3.1)
где функция ( )k является функцией подобия и в момент времени t = 0 задает ве-
личину начальной упругой деформации. Здесь принято, что ( )h t = 1, = 0, t t ,
а ( ) ( )k kf . Функция ( )k задается одночленной степенной аппроксимацией
1( ) ( ) q
k k
q
H
, (3.2)
где q , H – экспериментально определяемые коэффициенты.
Условие подобия первичных кривых ползучести задается, как известно, соотно-
шением [5]
0 0
( , )
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ,
( )
k
k k k
k k
t
t t t
(3.3)
которое позволяет, зная коэффициент подобия ( )k k , вычислить деформации пол-
зучести ( , )k t при произвольном напряжении k по характеристикам базисной
кривой ползучести 0( , )t , полученной при напряжении 0 .
В качестве базисного напряжения 0 выбирают, как правило, наибольшее напря-
жение из ряда k , для которого построена экспериментальная кривая ползучести. Для
базисной кривой 0( , )t , решая совместно уравнения (3.1) и (3.3), получаем
0 0 0
0
( , ) ( ) 1 ( ) ;
t
t K d
(3.4)
Рис. 3
106
0 0 0 0
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
k
k k k
k k
. (3.5)
Параметры ядра ползучести (1.5) и неизвестные коэффициенты в (3.2) определяем
в два этапа. На первом этапе определяем реологические параметры , и , а так-
же коэффициент подобия 0 0( ) . Эти параметры вычисляем по результатам аппрок-
симации экспериментальной базисной кривой ползучести 0( , )jt уравнением (3.4).
Задача сводится к минимизации функционала
2
0 0 0 0 0 0
1
( ( ), ) ( , ) , , ( ), ,
n
i j j i
j
F p t t p
(3.6)
где ip – неизвестные реологические параметры ( 3).i
На втором этапе определяем коэффициенты q и H уравнения (3.2). Эти коэффи-
циенты определим по результатам аппроксимации дискретных значений функции
( )k , которые рассчитываем по соотношению (3.5). Коэффициент подобия 0 0( )
в (3.5) определяем в процессе минимизации функционала (3.6). Коэффициент подобия
( )k k определяем из условия наилучшего согласования экспериментальных кривых
ползучести, построенных для нескольких значений k , с экспериментальной базис-
ной кривой ползучести 0( , )jt согласно условию подобия (3.3). Задача сводится к
минимизации функционала
2
0
1
( , )
( ) ( , )
( )
n
k j
k k
j k k
t
F t
2
1
0
1
( , )
( ) ,
( , ) ( , )
n
k j
j
k k n
j k j
j
t
t t
(3.7)
откуда для коэффициента подобия ( )k k получаем соотношение, которое позволяет
рассчитывать дискретные значения величины ( )k k .
Далее, используя полученные значения коэффициентов подобия 0 0( ) и ( )k k ,
по уравнению (3.5) вычислим дискретные значения функции ( )k . Значения коэф-
фициентов q и H определяем по результатам аппроксимации дискретных значений
функции ( )k уравнением (3.2), исходя из минимизации функционала
2
1
( ) ( ) , ,
n
i k k i
k
F p p
(3.8)
где i = 2, причем 1p q , а 2p H .
3.2. Численная реализация методики. Методика определения коэффициентов и пара-
метров ядер наследственности в рассматриваемой нелинейной теории (см. п. 3.1,) по-
строена, исходя из условия подобия первичных кривых ползучести в плоскости « , t ».
Реализация методики осуществлена в данной работе на примере ползучести стек-
лопластика СВАМ при = 20 оС. Экспериментальные данные заимствованы из [8].
На рис. 4 точками представлены приведенные к базисной кривой по уравнению (3.3)
первичные кривые ползучести стеклопластика СВАМ при напряжениях k = 38,25 (○),
50,99 ( ), 63,74 ( ), 76,49 ( ), 89,24 (●) МПа. В качестве базисной кривой ползучести
выбрана кривая ползучести при напряжении 0 = 89,24 (●) МПа. Тонкими сплошны-
ми линиями показана аппроксимация базисных кривых ползучести сглаживающими
кубическими сплайнами [3].
107
Значения коэффициентов подобия
( )k k , рассчитанные в соответствии с
(3.7) и использованные для приведения
первичных кривых ползучести к базисной
кривой согласно (3.3), приведены для
стеклопластика СВАМ в табл. 2. Здесь же
приведены дискретные значения функции
( )k , рассчитанные по уравнению (3.5)
и использованные при определении коэф-
фициентов q и H .
Таблица 2
k , МПа 38,246 50,995 63,743 76,492 89,241
k 0,0447 0,0992 0,2407 0,6556 1,0000
( )k 0,0013 0,0028 0,0068 0,0185 0,0282
Как видно из рис. 4, условие подобия первичных кривых ползучести для исследо-
ванных материалов, в основном, выполняется. Однако, на начальной и конечной ста-
диях нагружения наблюдается некоторое отклонение между приведенными и базис-
ной кривыми ползучести, которым в первом приближении можно пренебречь.
Экспериментальные значения деформаций ползучести 0( , )jt , замеренные по
базисной кривой ползучести, относительно которой обосновывается условие подобия
(3.3), используется в дальнейшем при определении реологического параметра , па-
раметров ядра наследственности и , а также коэффициента подобия 0 0( ) .
В этом случае функционал (3.6) конкретизируется с учетом (1.5) в виде
2
(1 )(1 )
0 0 0 0 0
1 0
( )
, , , ( ) ( , ) ( ) 1 ,
1 (1 )(1 )
n nn
j
j
j n
t
F t
n
(3.9)
минимизируя который определим значения искомых параметров. Значения парамет-
ров , , и 0( ) , рассчитанных согласно (3.9), приведены для исследованного
материала в табл. 3.
Таблица 3
Значения коэффициентов подобия 0 0( ) и дискретные значения функции ( )k ,
приведенные в табл. 2, 3, используются в дальнейшем для определения коэффициен-
тов q и H в уравнении (3.2).
Минимизируя функционал (3.8) с учетом (3.2), находим значения искомых коэф-
фициентов. Значения коэффициентов q и H , вычисленных согласно (3.8), приведе-
ны для исследованных материалов в табл. 3.
3.3. Экспериментальная апробация теории. Экспериментальная апробация дроб-
но-экспоненциального ядра наследственности в нелинейной теории, построенной с ис-
пользованием условия подобия первичных кривых ползучести, также может быть осу-
ществлена на примере расчета деформаций ползучести при постоянных напряжениях.
Зависимость деформации от времени t при нагружении постоянными напря-
жениями k записываем, исходя из (1.3) с учетом (1.5), (1.6) и (3.2), в виде
Рис. 4
Материал 0(0) q H
Стеклопластик
СВАМ
-0,03096 0,30764 мин(1+α) 0,33007 мин(1+α) 0,02820 0,261 2,69108 МПа
108
1 (1 )(1 )
0
( )
( , ) ( ) 1 ,
1 (1 )(1 )
n
q n
k k
n
q
t t
H n
(3.10)
где принято: = 0, t t и (0) 1h .
Значения деформаций ползучести ( )t ,
полученных согласно уравнению (3.10) с
использованием значений параметров ,
, , q и H , приведенных в табл. 3,
сопоставлены на рис. 5 с эксперимен-
тальными данными для стеклопластика
СВАМ. Результаты расчетов нанесены
штриховыми линиями, а эксперименталь-
ные данные показаны точками. Обозна-
чения уровней приложенных напряжений
соответствуют принятым на рис. 4.
§4. Теория, отражающая подобие изохронных диаграмм ползучести.
Подобие изохронных диаграмм ползучести предполагает, что произвольную изо-
хрону можно совместить с другой изохроной, если умножить её ординаты на коэффи-
циент подобия, зависящий от времени.
4.1. Методика определения параметров ядер наследственности. Определяющее
уравнение (1.4) теории является частным случаем общей нелинейной теории вязкоуп-
ругости Вольтерра – Фреше и содержит две функции ( ) и ( ),K подлежащие опре-
делению из эксперимента. Методика идентификации неизвестных функций в (1.4) и
определения их параметров реализуется следующим образом [1, 5, 9].
Пусть имеем семейство подобных изохронных диаграмм ползучести « ( )t »,
построенных по кривым ползучести « t » для разных уровней постоянных напря-
жений k , которые заданы согласно (1.6). Уравнение ползучести (1.4) при ( )t =
constk записываем в виде
0
( ) 1 ( ) ,
t
kt K d
(4.1)
решение которого относительно величины деформации ( )t
1
0
( ) 1 ( )
t
kt K d
(4.2)
устанавливает зависимость между деформацией, напряжением и временем. Здесь
принято, что ( ) 1, 0,h t а ( ) .t t
Выражение в правой части (4.1) задает коэффициент подобия при фиксированных
значениях t ; функция ( )t при 0t описывает мгновенную диаграмму дефор-
мирования, а функция 1( ) – обращение функции ( ) . Функцию (0) задаем
полиномом
2
0 1 2(0) ,n
na a a a (4.3)
а её обращение 1( ) – соответственно, полиномом
21
0 1 2(1 ) (1 ) (1 ) ... (1 )
n
k k k n kK b b K b K b K , (4.4)
Рис. 5
109
где 0 1 2, , , ... , na a a a , 0 1 2, , , ... , nb b b b – коэффициенты полиномов; K – интегральный
оператор Вольтерра.
Параметры ia в (4.3) и ib в (4.4) определяются по результатам аппроксимации
соответствующими полиномами дискретных значений мгновенной, отвечающей ну-
левому времени, изохронной диаграммы ползучести ( , 0)i t и её обращения
( , 0)i t = 1( , 0)i t .
Дискретные значения мгновенной изохронной диаграммы ползучести ( , 0)i t
определяются из соотношения
( )
( , 0) ( , ),
( 0)
j
i j i j
G t
t t
G t
(4.5)
которое получено, исходя из совместного рассмотрения условия подобия изохронных
диаграмм ползучести ( , )j i jt относительно мгновенной изохронной диаграммы
( , 0)i t , т. е.
( , 0) ( ) ( , )i j j i jt G t t , (4.6)
и условия подобия изохронных диаграмм ползучести ( , )j i jt относительно некото-
рой базовой изохронной диаграммы ( , )k i kt вида
( , ) ( ) ( , ).k i k j j i jt G t t (4.7)
Здесь ( )jG t и ( )jG t – дискретные значения функций подобия; ( 0)G t – значение
функции подобия ( )jG t для момента времени 0jt .
Функции ( , )j i jt задают семейство изохронных диаграмм ползучести в виде
таблиц значений { , }i i для нескольких моментов времени jt , которые строят по
экспериментальным кривым ползучести ~ t .
Дискретные значения функции подобия ( )jG t определяют из условия наилучшего
согласования базовой изохронной диаграммы ползучести ( , )k i kt с приведенными
на ней согласно (4.7) изохронными диаграммами ползучести ( , )j i jt . Задача сво-
дится к минимизации функционала
2
1
( ) ( , ) ( ) ( , ) ,
n
j k i k j i j
i
G t t G t t
(4.8)
где индекс j задает дискретизацию первичных кривых ползучести по t , а индекс i –
дискретизацию изохронных диаграмм ползучести по .
Значение функции подобия ( 0)G t удовлетворяет условию подобия мгновенной
изохронной диаграммы ползучести ( , 0)i t и базовой изохронной диаграммы пол-
зучести ( , )k i kt , т. е.
( , ) ( 0) ( , 0)k i k it G t t , (4.9)
и вычисляется по результатам экстраполяции функции подобия ( )jG t , определяемой
согласно (4.8), на нулевое значение времени t .
Параметры и ядра ползучести ( )K t в (1.4), задаваемого дробно-экспонен-
циальной функцией (1.5), определяются по результатам аппроксимации дискретных
значений функции подобия ( )jG t . Дискретные значения функции ( )jG t рассчитыва-
ем, исходя из (4.5) и (4.6), согласно уравнению
110
( )
( )
( 0)
j
j
G t
G t
G t
, (4.10)
а аппроксимирующую функцию ( )G t задаем, исходя из (1.5) и (4.2), в виде
(1 )(1 )
0
( ) ( )
( ) 1
1 (1 )(1 )
n n
n
t
G t
n
, (4.11)
позволяющем определить также и реологический параметр .
4.2. Численная реализация методики. Методика определения коэффициентов и
параметров ядер наследственности в рассматриваемой нелинейной теории вязкоупру-
гости, изложенная в п. 4.1, построена, исходя из условия подобия изохронных диа-
грамм ползучести в плоскости « , ».
Реализация методики осуществлена в работе на примере ползучести микроплас-
тика при 20 C . Исходные экспериментальные данные, заимствованные из [7],
показывают, что подобие первичных кривых ползучести для этого материала отсутст-
вует. Подобными являются изохронные диаграммы ползучести.
Дискретные значения функций подобия
( )jG t изохронных диаграмм ползучести,
рассчитанные исходя из минимизации
функционала (4.8), нанесены на рис. 6
светлыми точками для микропластика. В
качестве базовой изохронной диаграммы
ползучести ( , )k i kt выбрана изохронна
при *t = 8800 часов. Тонкими сплошными
линиями показана аппроксимация дис-
кретных значений функции подобия ( )jG t
сглаживающими кубическими сплайнами
[3]. Экстраполяция аппроксимирующих
функций на нулевое время дает для микропластика – ( 0)G t = 0,65.
Базовая изохронная диаграмма ползучести ( , )k i kt и значение функции подобия
( 0)G t использованы в дальнейшем для построения мгновенной изохронной диа-
граммы ( , 0)t и функции подобия ( )jG t , также определения на этой основе па-
раметров дробно-экспоненциального ядра наследственности (1.5) и коэффициента .
Дискретные значения функции ( , 0)i t вычисляем, исходя из (4.6) с учетом
(4.10), согласно уравнению
1
( , 0) ( , ),
( 0)i k i kt t
G t
(4.12)
где принято ( ) 1.jG t
Значения коэффициентов аппроксимирующих полиномов (4.3) и (4.4) приведены
в табл. 4.
Таблица 4
Материал
0a
0b
1a
1b
2a
2b
3a
3b
4a
4b
5a
5b
6a
6b
Микропластик
0
0
0
0
0
0
-6,355107
1,92410-18
-6,370106
8,42910-14
5,208105
-5,42210-10
9,443104
1,05610-5
Рис. 6
111
Дискретные значения функции подобия ( )jG t , рассчитанные по уравнению
(4.10), нанесены на рис. 6 темными точками, а тонкими сплошными линиями – ап-
проксимация дискретных значений функции ( )jG t уравнением (4.11). Значения пара-
метров , и аппроксимирующей функции, полученные из условия минимиза-
ции функционала
2
(1 )(1 )
1 0
( )
( , , ) ( ) 1 ,
1 (1 )(1 )
n nn
j
j
j n
t
G t
n
(4.13)
приведены для исследованных материалов в табл. 5.
Таблица 5
Материал , час-1
Микропластик -0,866 3,628410-3 0,1440
4.3. Экспериментальная апробация теории. Экспериментальная апробация дроб-
но-экспоненциального ядра наследственности в нелинейной теории вязкоупругости,
построенной исходя из условия подобия изохронных диаграмм ползучести, осуществ-
лена на примере расчета деформаций ползучести микропластика при постоянных на-
пряжениях.
Зависимость деформации от времени t при нагружении постоянными напря-
жениями k записана, исходя из (4.2) с учетом (1.5), (1.6) и (4.4), в виде
(1 )(1 )
1
0 0
( )
( ) 1
,1 (1 )(1 )
s
nH
n
k
s n
t b t
n
(4.14)
где принято 0, t t и ( ) 1.h t
Значения деформаций ползучести ( )t , рассчитанных по уравнению (4.14) с исполь-
зованием значений коэффициентов ib , приведенных в табл. 4, и параметров , и ,
приведенных в табл. 5, сопоставлены на рис. 7 с экспериментальными данными для
микропластика при напряжениях k = 331 (○), 1000 ( ), 1660 ( ), 2330 (●) МПа.
Результаты расчетов нанесены штриховыми линиями, а экспериментальные данные
показаны точками.
§5. Анализ результатов.
Основные трудности, возникающие при решении задачи определения параметров
дробно-экспоненциальных ядер наследственности по результатам аппроксимации
дискретных экспериментальных данных, имеют, преимущественно, вычислительный
характер. Это связано с тем, что ряд, входящий в аналитическое выражение ядра (1.5),
является знакопеременным и плохо сходящимся, так что в случае больших длитель-
ностей достоверно определить значения параметров ядер путем прямой аппроксима-
ции экспериментальных данных не представляется возможным.
Отмеченные трудности преодолеваются, как правило, с привлечением дополни-
тельных процедур, таких как аппроксимация ядра экспоненциальной функцией, уп-
рощение структуры ядра с использованием преобразования Лапласа – Карсона, нор-
мирование экспериментальных данных по шкале времени. В случае линейно-
вязкоупругих материалов наиболее эффективным является метод прямой обработки
нормированных экспериментальных данных.
На точность определения параметров дробно-экспоненциальных ядер наследст-
венности и, следовательно, на точность расчетов деформаций ползучести при реали-
зации основных процедур в рамках рассмотренных нелинейных моделей могут ока-
112
зывать влияние различные факторы. В
теориях, основанных на условии подобия,
существенное влияние оказывает выбор
диаграммы ползучести, по отношению к
которой обосновывается подобие.
На рис. 7, в качестве примера, штрих-
пунктирными линиями нанесены результаты
расчетов по уравнению (4.14) с использова-
нием значений параметров 0,8655,
– 0,0194 и 1– 0,0925 час . В ка-
честве базовой изохронной диаграммы
ползучести использована диаграмма для
момента времени 77t часов, что примерно на 2 порядка меньше, чем в случае рас-
четов, показанных штриховыми линиями. Видно, что с уменьшением длительности
базовой изохронной диаграммы отличие результатов расчетов с экспериментальными
данными увеличивается. Это свидетельствует о зависимости параметров , и
дробно-экспоненциального ядра наследственности от выбора базовой изохронной
диаграммы.
В целом же, как видно из результатов сопоставления, расчетные данные вполне
удовлетворительно согласуются с экспериментом. Максимальная погрешность по
величине деформации в рамках всех рассмотренных теорий изменяется в пределах от
5 до 15%, практически не зависит от типа нелинейности теории и возникает только на
начальной стадии ползучести. Это, возможно, связано с неточностями измерений на
начальной стадии испытаний, когда проявляются динамические эффекты, вызванные
практически мгновенным приложением нагрузки.
Наиболее общим является, по-видимому, нелинейное определяющее уравнение
(1.4), построенное исходя из условия подобия изохронных диаграмм ползучести. Это
условие выполняется для широкого класса нелинейно-вязкоупругих материалов [1, 5,
9], в том числе и для материалов, для которых можно выделить область линейности, а
также для материалов, для которых выполняется условие подобия первичных кривых
ползучести. На рис. 3 и 5, в качестве примера, штрих-пунктирными линиями нанесе-
ны результаты расчетов, выполненных по уравнению (4.14), как альтернатива расче-
там по уравнениям (2.9) и (3.10). Совпадение результатов расчетов, как видно, вполне
удовлетворительное.
Область применимости нелинейных определяющих уравнений (1.2) и (1.3) огра-
ничивается классами материалов и уровнями напряжений, для которых выполняются
условия линейности и подобия первичных кривых ползучести.
Заключение.
Задача определения параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственно-
сти нелинейно-вязкоупругих материалов решена в рамках кубической теории вязко-
упругости, а также теорий вязкоупругости, основанных на подобии первичных и изо-
хронных диаграмм ползучести. При определении параметров ядер, независимо от ха-
рактера нелинейности вязкоупругих свойств материалов, использованы частные ре-
шения, полученные экспериментально в опытах на одноосную ползучесть при посто-
янных напряжениях и представленные в виде таблиц нормированных по шкале вре-
мени исходных или преобразованных данных.
Методы определения параметров дробно-экспоненциальных ядер ползучести,
рассмотренные в данной статье, позволяют определить параметры ядер для широкого
класса нелинейно-вязкоупругих материалов с различным характером нелинейности.
Методы апробированы экспериментально на задачах определения деформаций ползу-
чести ряда полимерных и композитных материалов при постоянных напряжениях.
Апробация проведена в диапазоне изменения напряжений примерно на порядок, а
длительностей нагружения – примерно на три порядка.
Рис. 7
113
Наиболее эффективной является нелинейная теория вязкоупругости, основанная
на подобии изохронных диаграмм ползучести, с ядром наследственности в форме
дробно-экспоненциальной функции. Теория и метод определения параметров ядер
ползучести обеспечивают удовлетворительное согласование результатов расчетов с
экспериментов для нелинейно-вязкоупругих материалов с различным характером не-
линейности.
Р Е ЗЮМ Е . Розв’язано задачу визначення параметрів дробово-експоненційних ядер спадково-
сті нелінійно-в’язкопружних матеріалів. Проаналізовано методи визначення параметрів, що викорис-
товуються в кубічній теорії в’язкопружності та в нелінійних теоріях та ґрунтуються на умовах подіб-
ності первісних кривих повзучості та ізохронних діаграмах. Визначено та експериментально апробо-
вано параметри дробово-експоненційних ядер спадковості для мікропластику, склопластику ТС-8/3-
250, склопластику СВАМ. Дано аналіз результатів (таблиці, графіки).
1. Воротников Г.С., Паперник Л.Х. Применение нелинейной наследственной теории к описанию ре-
лаксации напряжений в металлах и пересчету данных релаксации на ползучесть // Журнал
прикл. механики и техн. физики. – 1970. – № 6. – С. 94 – 97.
2. Голуб В.П., Кобзарь Ю.М., Фернати П.В. К расчету деформаций линейной ползучести вязкоупру-
гих армирующих волокон при растяжении // Прикл. механика. – 2005. – 41, № 5. – С. 97 – 106.
3. Голуб В.П., Погребняк А.Д., Романенко И.Б. О применении сглаживающих сплайн-аппроксимаций
в задачах идентификации параметров ползучести // Прикл. механика. – 1997. – 33, № 6. – С. 52 – 61.
4. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. – М.: Наука,
1970. – 240 с.
5. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. – М.: Высш. школа, 1976. – 277 с.
6. Кучер Н.К., Земцов М.П., Данильчук Е.Л. Кратковременная ползучесть и прочность полипропиле-
новых волокнистых структур // Пробл. прочности. – 2007. – № 6. – С. 77 – 90.
7. Максимов Р.Д., Плумэ Э. Длительная ползучесть органостеклопластика // Механика композитных
материалов. – 2001. – 37, № 4. – С. 435 – 450.
8. Мартиросян М.М. О кратковременной ползучести стеклопластика СВАМ // Механика полимеров.
– 1965. – № 2. – С. 47 – 54.
9. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. – М.: Наука, 1977. – 384 с.
10. Работнов Ю.Н., Паперник А.Х., Степанычев Е.И. Нелинейная ползучесть стеклопластика ТС8/3-
250 // Механика полимеров. – 1971. – № 3. – С. 391 – 397.
11. Розовский М.И. Ползучесть и длительное разрушение материалов // Журнал техн. физики. – 1951.
– 21, № 11. – С. 1311 – 1318.
12. Golub V.P., Kobzar’ Yu.M., Ragulina V.S. A Method for Determining of the Parameters of the
Hereditary Kernels in the Nonlinear Theory of Viscoelasticity // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 3. –
Р. 290 – 301.
13. Golub V.P. Application of Fractional Exponential Hereditary Kernels in the Nonlinear Theory of
Viscoelasticity // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 6. – Р. 727 – 734.
14. Leaderman H. Elastic and creep properties of filaments materials and other high polymers. – Washing-
ton: Textile Foundation, 1943. – 278 p.
15. More J.J., Garbow B.S., Hillstrom K.E. Users Guide to Minipack // Argone National Laboratory Publica-
tion ANL-80-74. – 1980. – P. 238.
Поступила 20.10.2010 Утверждена в печать 26.06.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95502 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T10:39:10Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Голуб, В.П. Павлюк, Я.В. Фернати, П.В. 2016-02-27T09:57:48Z 2016-02-27T09:57:48Z 2013 К определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов / В.П. Голуб, Я.В. Павлюк, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 100-113. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95502 A problem is solved on determination of parameters of the fractional- exponential hereditary kernels of nonlinearly viscoelastic materials. The methods of determination of parameters, which are using in the cubically nonlinear theory of viscoelasticity and in the nonlinear theories and which are based on conditions of similarity of the initial creep curves and the isochronous creep diagrams, are analyzed. The mentioned parameters are determined and experimentally approved for different materials: the oriented polypropylene, nylon fibers FM 3001 and 10001, microplastic, glass-reinforced plastics TC-8/3250, CBAM and the contact moulding one. Розв’язано задачу визначення параметрів дробово-експоненційних ядер спадковості нелінійно-в’язкопружних матеріалів. Проаналізовано методи визначення параметрів, що використовуються в кубічній теорії в’язкопружності та в нелінійних теоріях та ґрунтуються на умовах подібності первісних кривих повзучості та ізохронних діаграмах. Визначено та експериментально апробовано параметри дробово-експоненційних ядер спадковості для мікропластику, склопластику ТС-8/3250, склопластику СВАМ. Дано аналіз результатів (таблиці, графіки). ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика К определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов To Determination of Parameters of the Fractional-Exponential Heredity Kernels of Nonlinearly Viscoelastic Materials Article published earlier |
| spellingShingle | К определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов Голуб, В.П. Павлюк, Я.В. Фернати, П.В. |
| title | К определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов |
| title_alt | To Determination of Parameters of the Fractional-Exponential Heredity Kernels of Nonlinearly Viscoelastic Materials |
| title_full | К определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов |
| title_fullStr | К определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов |
| title_full_unstemmed | К определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов |
| title_short | К определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов |
| title_sort | к определению параметров дробно-экспоненциальных ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих материалов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95502 |
| work_keys_str_mv | AT golubvp kopredeleniûparametrovdrobnoéksponencialʹnyhâdernasledstvennostinelineinovâzkouprugihmaterialov AT pavlûkâv kopredeleniûparametrovdrobnoéksponencialʹnyhâdernasledstvennostinelineinovâzkouprugihmaterialov AT fernatipv kopredeleniûparametrovdrobnoéksponencialʹnyhâdernasledstvennostinelineinovâzkouprugihmaterialov AT golubvp todeterminationofparametersofthefractionalexponentialhereditykernelsofnonlinearlyviscoelasticmaterials AT pavlûkâv todeterminationofparametersofthefractionalexponentialhereditykernelsofnonlinearlyviscoelasticmaterials AT fernatipv todeterminationofparametersofthefractionalexponentialhereditykernelsofnonlinearlyviscoelasticmaterials |