О достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале
The conditions of convective stability are established for the dynamical system over the time scale. The obtained conditions are illustrated on a numerical example. Встановлено умови звязної стійкості для динамічної системи на часовій шкалі. Отримані умови звязної стійкості ілюструються на чисельно...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95503 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале / Т.А. Лукьянова, А.А. Мартынюк // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 114-129. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95503 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лукьянова, Т.А. Мартынюк, А.А. 2016-02-27T09:59:44Z 2016-02-27T09:59:44Z 2013 О достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале / Т.А. Лукьянова, А.А. Мартынюк // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 114-129. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95503 The conditions of convective stability are established for the dynamical system over the time scale. The obtained conditions are illustrated on a numerical example. Встановлено умови звязної стійкості для динамічної системи на часовій шкалі. Отримані умови звязної стійкості ілюструються на чисельному прикладі. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале On Sufficient Conditions of Connective Stability of Motion over the Time Scale Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале |
| spellingShingle |
О достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале Лукьянова, Т.А. Мартынюк, А.А. |
| title_short |
О достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале |
| title_full |
О достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале |
| title_fullStr |
О достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале |
| title_full_unstemmed |
О достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале |
| title_sort |
о достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале |
| author |
Лукьянова, Т.А. Мартынюк, А.А. |
| author_facet |
Лукьянова, Т.А. Мартынюк, А.А. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On Sufficient Conditions of Connective Stability of Motion over the Time Scale |
| description |
The conditions of convective stability are established for the dynamical system over the time scale. The obtained conditions are illustrated on a numerical example.
Встановлено умови звязної стійкості для динамічної системи на часовій шкалі.
Отримані умови звязної стійкості ілюструються на чисельному прикладі.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95503 |
| citation_txt |
О достаточных условиях связной устойчивости движения на временной шкале / Т.А. Лукьянова, А.А. Мартынюк // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 114-129. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT lukʹânovata odostatočnyhusloviâhsvâznoiustoičivostidviženiânavremennoiškale AT martynûkaa odostatočnyhusloviâhsvâznoiustoičivostidviženiânavremennoiškale AT lukʹânovata onsufficientconditionsofconnectivestabilityofmotionoverthetimescale AT martynûkaa onsufficientconditionsofconnectivestabilityofmotionoverthetimescale |
| first_indexed |
2025-11-26T04:40:13Z |
| last_indexed |
2025-11-26T04:40:13Z |
| _version_ |
1850612212712865792 |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 2
114 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 2
Т .А .Л у к ь я н о в а , А .А .Ма р ты ню к
О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ СВЯЗНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ДВИЖЕНИЯ НА ВРЕМЕННОЙ ШКАЛЕ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова 3,
03057, Киев, Украина, e-mail: center@inmech.kiev.ua
Abstract. The conditions of convective stability are established for the dynamical sys-
tem over the time scale. The obtained conditions are illustrated on a numerical example.
Key words: dynamic equation, time scale, connective stability, asymptotic stability,
vector Lyapunov function, comparison function.
Введение.
Понятие связной устойчивости введено при исследовании движения крупно-
масштабных систем в работе [14]. В дальнейшем изучению такого рода устойчивости
для различных типов систем уравнений посвящены многие работы. Например, в рабо-
тах [9, 15, 16] рассмотрены непрерывные системы, в [2, 6] – дискретные. Одновре-
менное описание динамики как непрерывных, так и дискретных во времени систем
позволяет теория динамических систем на временной шкале [5]. В настоящее время
такие системы являются предметом многочисленных исследований (см. [1, 3, 12] и
приведенную там библиографию).
Данная работа является продолжением исследований, начатых в работе [1]. При
этом применяется принцип сравнения с векторной функцией Ляпунова и устанав-
ливаются достаточные условия связной устойчивости движения на временной шкале.
1. Основные обозначения и определения.
Временной шкалой называется произвольное непустое замкнутое подмножест-
во множества вещественных чисел . Основные понятия и теоремы математического
анализа на временной шкале, такие как определения производной и интеграла, прави-
ла дифференцирования и интегрированния, определения регрессивной и rd -
непрерывной функции, регрессивной и rd -непрерывной матрицы, подробно изло-
женны в работах [1, 5]. Ниже приведем только некоторые самые необходимые поня-
тия и определения.
Функция n nf называется регрессивной, если при любом kt опе-
ратор n nF , действующий по формуле ( ) ( )Fx x t f t x , обратим.
Функция n mf называется rd -непрерывной, если функция
( ) ( ( ))g t f t x t является покомпонентно rd -непрерывной для любой непрерывной
функции nx .
115
Пусть p – регрессивная и rd -непрерывная функция. Через 0( )pe t t
обозначим экспоненциальную функцию на временной шкале, определение и свойства
которой подробно изложены в работах [1, 5].
Функция : [ ) m mg называется неубывающей по u , если при всех
[ )t верно ( ) ( )g t u g t v как только u v , mu v . Здесь и далее пред-
полагается, что все неравенства для векторов и матриц выполняются покомпонентно,
[ ) { : }t t при .
Функция принадлежит K-классу, если она непрерывна, строго воз-
растает на и (0) 0 . Функция принадлежит KR-классу, если
K-классу и lim ( )r r .
Обозначим через ( )n m
rdC множество всех rd -непрерывных функций
n mf . Кроме того, обозначим через 2 1 2
1
( )n
ii
x x
– евклидову норму
вектора nx ; { }nB x x ; { }nx xB ; T 1 2( ( ))MA A A –
норму матрицы { } n n
ijA a , ( )M A – наибольшее собственное значение матри-
цы A ; { } n n
ijA a , I – единичное отображение в пространстве n ,
{ 0}u u .
Пусть – произвольная временная шкала такая, что sup . Рассмотрим си-
стему динамических уравнений вида
( ) ( ( )) , ,x t f t x t t
(1)
с начальными условиями
0 0 0( ) , ,x t x t 0 ,nx (2)
где nx , [ , ) , , функция : n nf такова, что при всех
0 0( )t x n
существует единственное решение начальной задачи (1), (2) на
0[ )t . Кроме того, предположим, что ( 0) 0f t для всех t и состояние
0x – единственное состояние равновесия системы (1).
Определение 1. Состояние равновесия 0x системы (1) называется:
1) равномерно устойчивым, если для любого 0 существует ( ) 0 та-
кое, что для всех 0x B , 0t и 0[ )t t имеет место неравенство
0 0( )x t t x ;
2) равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчиво и
существует 0 такое, что для любого 0 найдется ( ) 0 такое, что при
всех 0x B , 0t и 0[ )t t имеет место неравенство 0 0( )x t t x ;
3) равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устой-
чиво и для любых 0 , 0 найдется ( ) 0 такое, что при всех
0x B , 0t и 0[ )t t имеет место неравенство 0 0( )x t t x .
Вместе с системой (1) будем рассматривать систему сравнения
( ) ( ( )),u t g t u t (3)
где mu и : m mg . Далее потребуется следующее определение.
116
Определение 2. Решение 0: [ ) nu t системы (3) с начальным условием
0 0( ) mt u называется максимальным решением, если всякое другое решение
0: [ ) mu t , проходящее через 0 0( )t u такое, что ( ) ( )u t u t для всех
0 0[ ) [ )t t t .
2. Постановка задачи.
Декомпозируем систему (1) на m взаимосвязанных подсистем
( ) ( ) ( )i i i ix t f t x h t x 1 2i … m (4)
где T T T T
1 2( )mx x x … x , in
ix , 1 2 mnn nn … , : i in n
if , :ih
inn , а уравнения
( ) ( ) 1 2i i i iS x t f t x i … m (5)
описывают динамику независимых подсистем системы (4) и получаются из уравне-
ний (4), когда связи ih тождественно равны нулю. Предположим, что ( 0) 0if t для
всех t и состояние 0ix – единственное состояние равновесия системы (5).
Известно [15], что функции связи между независимыми подсистемами системы
(4) можно представить в виде
1 21 2( ) ( ) 1 2i i imi i mh t x h t x x … x i … me e e
где 1{ }m
ij i jE e – фундаментальная матрица связей системы (4) с элементами
1, если подсистема взаимодействует с подсистемой ;
0, если подсистема невзаимодействует с подсистемой .
j i
ij
j i
S S
e
S S
Рассмотрим связи вида
1 1 2 2
ˆ ( ) ( ( ) ( ) ( ) ), 1 2i i i i im mh t x h t e t x e t x … e t x i … m
где непрерывные функции : [0,1]ije при всех t удовлетворяют неравенст-
вам
( ) , , 1 2 .ij ije t e i j … m
Матрица E определяет первоначальные связи между независимыми подсистемами
iS , а матричная функция , 1( ) { ( )}m
ij i jE t e t описывает структурные возмущения сис-
темы (4).
Определение 3. Нулевое состояние равновесия системы (4) называется связно
равномерно асимптотически устойчивым, если при любой матрице связей ( )E t E
состояние равновесия 0x системы
1 1 2 2( ) ( ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 2i i i i i i im mx t f t x t h t e t x t e t x t … e t x t i … m (6)
равномерно асимптотически устойчиво.
Аналогичным образом определяются и другие типы связной устойчивости, на-
пример, связная равномерная асимптотическая устойчивость в целом.
Целью данной работы является получение достаточных условий связной устойчи-
вости для системы общего вида (1), а также для нейронной системы типа Хопфилда.
117
3. Предварительные результаты.
Далее в работе потребуется следующий вариант принципа сравнения.
Теорема 1. Предположим, что существуют функции : n mV и
( )m m
rdg C такие, что :
1) функция ( ) ( )u t g t u является неубывающей по u ;
2) функция ( )V t x непрерывна по x , ( 0) 0V t при всех t , функция
( ) ( ( ))m t V t x t является -дифференцируемой на при любой -диффе-
ренцируемой функции : nx и при всех t выполняется неравенство
(1)( ( )) ( , ( ( )));V t x t g t V t x t
3) ( 0) 0g t при всех t и для любых начальных данных 0 0( ) mt u су-
ществует максимальное решение 0ip системы
2( ) 2 ( ) ( )i i i i i iv x p x t p x (7)
при всех 0[ )t t .
Тогда вдоль решений системы (1) при всех 0[ )t t верна оценка
( ( )) ( )V t x t r t (8)
как только 0 0 0( )V t x u .
Доказательство. При фиксированном 0[ )t t рассмотрим утверждение
( ) : ( ) ( )S t m t r t и применим принцип индукции (см. [5, Theorem 1.7]) на времен-
ной шкале к семейству утверждений 0( ) : [ ){ }S t t t .
I. Утверждение 0( )S t верно, так как в силу условий теоремы 1 0( )m t 0 0( )V t x
0 0( )u r t .
II. Пусть 0[ )t t рассеяно справа и утверждение ( )S t – верно. Согласно
условиям 1) и 2) теоремы 1 имеем
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( ))m t m t t m t m t t V t x t
( ) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) ( , ( ))m t t g t m t r t t g t r t
( ) ( ) ( ) ( ( ))r t t r t r t ,
где 0 ( )t . Отсюда следует, что утверждение ( ( ))S t – верно.
III. Пусть точка 0[ )t t – плотная справа и утверждение ( )S t верно. Так как
m и r – непрерывные функции и ( ) ( )m t r t , то существует 0 такое, что
( ) ( )m s r s при всех ( )s t t , т.е. утверждение S(s) верно при всех
( )s U t , ( )U t t .
IV. Пусть точка 0[ )t t плотная слева и утверждение S(s) верно при всех
0[ )s t t . Тогда имеем ( ) ( )m s r s при всех 0[ )s t t По непрерывности при
0s t получим ( ) ( )m t r t . Отсюда следует, что утверждение ( )S t верно. Теорема
1 доказана.
Пусть – односвязная область в пространстве n , содержащая начало
координат.
118
Теорема 2. Если существуют функция V и функции K та-
кие, что ( , )V t x непрерывна по x , ( ,0) 0V t при всех t , функция ( , ( ))V t x t яв-
ляется -дифференцируемой на при любой -дифференцируемой функции
: nx и при всех ( )t x выполнены неравенства:
1) ( ) ( ) ( )x V t x x ; 2) (1)( ( )) ( ),V t x t x
то состояние равновесия 0x системы (1) равномерно асимптотически устойчиво.
Доказательство. Поскольку функция K-классу, то для любого 0 суще-
ствует постоянная ( ) 0 такая, что для всех 0x B имеет место неравенство
0( ) ( )x . Для решения 0 0( ) ( )x t x t t x при 0[ )t t и 0x B получаем
неравенство
0 0 0( ( ) ) ( ( )) ( ) ( ) ( )x t V t x t V t x x
откуда имеем, что ( )x t . Равномерная устойчивость доказана.
Докажем равномерное притяжение. Выберем постоянную 0 так, чтобы
B , и для любого 0t положим
0
1
0{ ( ) ( )}tV y V t y
.
Ясно, что
0
1
tV B
. Выберем
0
1
0 tx V
.
Для любого 0 существует постоянная ( ) 0 такая, что ( ) ( ) .
Выберем ( ) ( ) ( ) . Предположим, что при всех 0 0[ ]t t t имеет
место неравенство ( )x t . Тогда получим
0
0
0 0 0 0( ( )) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 0
t
t
V t x t V t x x s s
чего быть не может. Значит, существует 1 0 0[ ]t t t такое, что 1( )x t . При
всех 0[ )t t для решения 0 0( ) ( )x t x t t x имеем неравенство
1 1 1( ( ) ) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( )x t V t x t V t x t x t
откуда следует, что ( )x t для всех 0[ )t t .
Итак получено, что для любого
0
1
0 tx V
и для любого 0 существует по-
стоянная ( ) 0 такая, что имеет место неравенство 0 0( )x t t x при всех
0t и 0[ )t t .
Выбирая постоянную 0 так, чтобы ( ) ( ) , получаем
0
1
tB V
. Тео-
рема 2 доказана.
Следствие 1. Если условия теоремы 2 выполняются для n и KR, то со-
стояние равновесия 0x системы (1) равномерно асимптотически устойчиво zв
це-лом.
Доказательство. Поскольку ( )r при r , то для любого 0 все-
гда найдется 0 такое, что выполняется неравенство ( ) ( ) . Далее доказате-
льство проводится как и в предыдущей теореме.
В дальнейшем потребуются также следующие леммы.
119
Лемма 1. Пусть задана матрица { } m m
ijB b . Линейная по u функция
( )G u Bu является неубывающей по u тогда и только тогда, когда 0ijb при
всех 1 2i j … m .
Лемма 2. Пусть постоянная 0p такая, что ( ) 2t p и ( ) 1t p при
всех t T . Тогда имеем:
3) 0( ) 0pe t t при t равномерно по 0t ;
4) 0( ) 1pe t t при всех 0t t .
Доказательство. В силу условий леммы 2 функция 0( )pe t t будет решением
следующей начальной задачи (cм. [5, Theorem 2.33; с. 89]):
( ) ( ) ;y t p y t t
(9)
0 0( ) 1;y t t ( y ). (10)
Исследуем состояние равновесия 0y системы (9) на устойчивость при пo-
мощи функции 2( )v y y . Вычислим -производную этой функции вдоль решений
системы (9)
2 2
(9)( ( )) 2y t y ( ) ( )( ( )) ( ( ) 2) ( )v y t t t y t p p t y t (11)
Поскольку ( ) 2 0p t при всех t , то выполняются условия следствия 1 и сос-
тояние равновесия 0y системы (9) равномерно асимптотически устойчиво в це-
лом. Из определения 1 следует, что любое решение начальной задачи (9, 10), а значит
и функция 0( )pe t t , стремится к 0 при t равномерно по 0t .
Из равенства (11) следует, что функция ( ( ))v y t является невозрастающей на
вдоль любого решения системы (9). Значит, для решения 0( )pe t t верно неравенство
2 2
0 0 0( ) ( ) 1p pe t t e t t , откуда следует, что 0( ) 1pe t t при всех 0t t . Лемма 2
доказана.
4. Связная устойчивость на временной шкале.
Как и в теории связной устойчивости непрерывных систем [15], для динамичес-
ких уравнений (4) эффективным является применение метода векторных функций
Ляпунова. Покажем, что имеет место следующее общее утверждение.
Теорема 3. Предположим, что для системы (4) существуют функции :V
n m
и ( )m m
rdg C такие, что :
1) для функции T : nd V при всех ( ) nt x выполняется оценка
T( ) ( ) ( )x d V t x x где функции K-классу Хана, md , 0d ;
2) функция ( ) ( )u t g t u является неубывающей по u при всех t ;
3) функция ( )V t x непрерывна по x , ( 0) 0V t при всех t , функция
( ( ))V t x t является -дифференцируемой на при любой -дифференцируемой
функции : nx и при всех t и E E выполняется неравенство
(6)( ( )) ( ( ( )));V t x t g t V t x t
120
4) ( 0) 0g t при всех t и для любых начальных данных 0 0( ) mt u су-
ществует максимальное решение 0 0( ) ( )r t r t t u системы сравнения
0 0( ) ( ( )) ( ) 0u t g t u t u t u (12)
при всех 0[ )t t .
Тогда из равномерной асимптотической устойчивости состояния равновесия
0u системы (12) следует связная равномерная асимптотическая устойчивость
состояния равновесия 0x системы (4).
Доказательство. Поскольку состояние 0u системы (12) равномерно устой-
чиво, то для любого 0 существует 1 1( ) 0 такое, что при всех
10u B ,
0t и 0[ )t t верна оценка T
0 0( )d u t t u . При 0 0u имеем
22 2 2 2 2 2 2
1 2 0 1 2 0
1
min{ } min{ }
m
m m i
i
d d … d u d d … d u
2
2 2 2 2 T 2
0 0 0 0 0 0
1 1 1
( )
m m m m
i i i i i j i j i i
i i i j i
d u d u d d u u d u d u
откуда следует, что T
0 0 1 2min{ }mu d u d d … d . Выберем 2 1 1 2min{d d …
2} ( )md и рассмотрим 0 0u такие, что T
0 2d u . Тогда получим
T
0 0 1 2 2 1 2 1min{ } min{ }s su d u d d … d d d … d
и T
0 0( )d u t t u при всех 0[ )t t . Таким образом, для любого 0 сущест-
вует 2 2 ( ) 0 такое, что T
0 0( )d u t t u при всех T
0 2d u , 0t и
0[ )t t . Далее выберем 1
2( ) 0 . Для 0x B имеем
T T
0 0 0 0 2( ) ( ) ( )d u d V t x x
и, следовательно, T
0 0( )d u t t u , т.е. для любого 0 существует ( ) 0
такое, что при всех 0x B , 0t и 0[ )t t верна оценка T
0 0( )d u t t u , где
0 0 0( ) 0u V t x .
Обозначим решение системы (6) с начальным условием 0 0( )t x через
0 0( )Ex t t x . Покажем, что для любого 0 существует ( ) 0 такое, что
0 0( )Ex t t x при всех 0x B , 0t , 0[ )t t и E E . От противного,
пусть существует 0 такое, что для любого 0 существуют 0x B , 0t ,
0[ )t t и E E такие, что
0 0( )
E
x t t x .
В силу теоремы 1 при 0 0 0( )u V t x будем иметь оценку
0 0 0 0( ( )) ( )
E
V t x t t x r t t u (13)
Из условия (1) и неравенства (13) следует
T T
0 0 0 0 0 0( ) ( ( ) ) ( ( )) ( )E Ex t t x d V t x t t x d r t t u
121
Выше показано, что для любого 0 существует ( ) 0 такое, что при всех
0x B , 0t , 0[ )t t и E E верна оценка T
0 0( )d r t t u , где
0 0 0( ) 0u V t x . Выберем min{ } , тогда существует 0x B такое, что
T
0 0( ) ( )d r t t u
Если выбрать ( ) , то приходим к противоречию. Связная равномерная
устойчивость доказана. Связная равномерная асимптотическая устойчивость доказы-
вается аналогично.
Следствие 2. Если выполняются условия теоремы 3 и KR, то из равномерной
асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия 0u системы (12)
следует связная равномерной асимптотической устойчивость в целом состояния
равновесия 0x системы (4).
Пусть заданы положительно определенные симметрические матрицы i in n
iP и
постоянные 0ii i ic , 0ij ija b , 1 2i j … m . Определим матрицу
m m с компонентами
22 2 2 2 2 2 2 1
22 2 2 1
( ( ) ( ) ( ( )) ( );
( ( )) ( ) .
ii i i ii M i i i M i ii M iii
ii
iji i M i ij m i
c b P m P a Pe
m P a P i je
Относительно временной шкалы и системы (4) введем следующие предположения.
Предположение 1.
1. Существует постоянная 0 такая, что ( )t при всех t .
2. Для функций T
i i i iv x P x при всех in
ix верна оценка
2
( )
ii i S ii iv x c x ,
1 2i … m .
3. ( )i i ii if t x b x при всех in
ix , t , 1 2i … m .
4.
1
( )
m
i ij jj
h t x a x при всех nx , t , 1 2i … m .
Tеорема 4. Предположим, что сушествуют положительно определенные сим-
метрические матрицы i in n
iP и постоянные 0ii i ic , 0ij ija b ,
1 2i j … m , такие, что выполняются условия предположения 1 и верны неравен-
ства 0 1 1ii , 1 2i … m . Предположим, кроме того, что для любых началь-
ных данных 0 0( ) mt u существует максимальное решение системы
( ) ( )u t u t (14)
при всех 0[ )t t .
Тогда из равномерной асимптотической устойчивости (в целом) состояния рав-
новесия 0u системы (14) следует связная асимптотическая устойчивость (в це-
лом) состояния равновесия 0x системы (4).
Доказательство. Используя формулу
T T T( ) ( ) ( )( )i i i i i i i i i i iv x x P x x P x t x P x , для -производной функции iv вдоль
решения системы (6) получаем выражение
T T TT T
(6)
ˆ ˆ ˆ ˆ( ( )) ( ) ( ) ( )( ) ( )i i i i i i i i i i i i i i iv x t x P f h f h P x t f h P f h
122
T TT T Tˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( )) ( ) ( )( ) ( ) ,
ii i S i i i i i i i i i i i i i i iv x t x Ph h P x t f Ph h P f t h Ph
где производная функции iv вдоль решений независимых подсистем (5) имеет вид
T T T( ( )) ( )
ii i S i i i i i i i i iv x t x P f f P x t f P f
Из очевидных оценок
21 1 T 1ˆ ˆ ˆ0 ( ) ( )i i i i i i i i i i i i i i ih P x h P x h P x
T T T2 T 2 Tˆ ˆ ˆ ˆ( )i i i i i i i i i i i i i ih h x P P x x Ph h P x
где 0i , следует неравенство
T T TT 2 T 2ˆ ˆ ˆ ˆ
i i i i i i i i i i i i i ix Ph h P x h h x P P x (15)
которое позволяет оценить -производную функции iv вдоль решений системы (6)
следующим образом:
T T T2 T 2 2 2 T 2 2
(6)
ˆ ˆ ˆ ˆ( ( )) ( )[ ]i i ii i i i i i i i i i i i i i iv x t c x x h h x P x t h h f P f
T T TT 2 T 2 2 2 T 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [ ]i i ii i i i i i i i i i i i i i it h Ph c x x h h x P x h h f P f
2 22T 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ( )i i ii i i i i M i i i ih Ph c x h P x h (16)
22 22 2 2 2ˆ( ) ( ) [ ( )]i M i i M i i ii i M i iP f P h c P x
222 2 2 2 ˆ( ) [ ( )]i M i i i i M i iP f P h
Воспользуемся известным неравенством
2 2
1
( ) 0 1 2
m m
i i i
i i
m i … m
и при любом ( )E t E оценим связи 1 1 2 2( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))i i i im mh t e t x t e t x t … e t x t :
2
2 2T 2 2 2 2
1 1 1
ˆ ˆ ( ) ( ) .
m m m
iji i ij ij j ij ij j ij j
j j j
h h a e t x m a e t x m a xe
Учитывая вышеполученное неравенство, продолжим оценку (16)
2 22 2 2 2 2
(6)( ( )) ( ( )) ( )i i ii i M i i i M i ii iv x t c P x P b x
22 2 2 2
1
( ( ))
m
i i M i ij ij jj
m P a e x
22 2 2 2 2 2 2 2{ ) ( ) ( ( )) }ii i i ii M i i i M i ii ii ic b P m P a e x
22 2 2 2
1
( ( ))
m
i i M i ij ij jj j i
m P a e x
123
Поскольку по условиям теоремы 4
2 * 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ( )) 0,ii i i ii M i i i M i ii iic b P m P a e
то далее получаем
2 2 2 2
(6)( ( )) [ ( ) ( )i i ii i i ii M iv x t c b P
2 2 2 2 1( ( )) ] ( ) ( )i i M i ii ii M i i im P a e P v x
2 2 1 2 2 1
1
{ ( )} ( ) ( )
m
i i M i ij ij m i j ij j i
m P a e P v x
1
( ) ( )
m
ii i i ij j jj j i
v x v x
Для -производной функции T
1 2( )mV v v … v вдоль решений системы (6) по-
лучим выражение (6)( ( )) ( ( ))V x t V x t Поскольку 0 1 1 ( )ii iit и
( ) 0ijt при всех t , то функция u ( ) ( ) ( )t g t u u t u – неубывающая
по u .
Таким образом, выполняются все условия теоремы 3 (следствия 2) и, следо-
вательно, из равномерной асимптотической устойчивости (в целом) состояния равно-
весия 0u системы (14) следует связная равномерная асимптотическая устойчивость
(в целом) состояния равновесия 0x системы (4). Теорема 4 доказана.
В случае для существования максимального решения системы (14) доста-
точно, чтобы матрица была матрицей Мецлера [15]. Для случая общей временной
шкалы аналогичных достаточных условий на данный момент нет. Для практического
применения можно воспользоваться более сильными условиями и потребовать, чтобы
матрица была регрессивной и непрерывной, что обеспечит существование единст-
венного решения начальной задачи для системы (14) на 0[ )t при всех
0 0( ) nt x [5]. Поэтому имеет смысл исследование связной устойчивости пря-
мым методом Ляпунова.
Определим матрицу m mQ с элементами
2 2 2 2 2 2 2 2
1
2 2
1
( ( ) ( )) ( ( )) ;
( ( )) .
m
i ii i i ii M i k k k M k ki kik
ij m
k k k M k ki kj ki kjk
d c b P d P a i je
q
d P a a e e i j
Теорема 5. Предположим, что существуют положительно определенные сим-
метрические матрицы in
iP и постоянные 0ii i i ic d , 0ij ija b ,
1 2i j … m , такие, что выполняются условия предположения 1. Если матрица
m mQ отрицательно определенна, тогда состояние равновесия 0x системы
(4) связно равномерно асимптотически устойчиво в целом.
Доказательство. Пусть 2 2
1
ˆ ( )m
i i i ij jj
v y y , где 0iy , i ij R ,
1 2i j … m ;
2 2 2 2 2
1 1 1
;ˆ ( )
m m m
i i i ij j i i ij j ij ij j k
j j j k j k
y y y y y yv
124
2 2 2
1 1 1 1 1
ˆ ( )
m m m m m
i i i i i i ij j ij ik j k
i i i j j k j k
d v d y d y y y
2 2 2
1 1 1 1 1
( ) ( ) .
m m m m m
i i i i ij j i ij ik j k
i j i j k j k i
d y d y d y y
Поменяем во втором слагаемом местами индексы i и j , а в последней сумме i и k
2 2 2
1 1 1 1 1 1
ˆ ( ) ( )
m m m m m m
i i i i i j ji i k kj ki j i
i i i j j i j i k
d v d y d y d y y
=
2
1 1 1 1
( ) ( )[ ]
m m m m
i i i j ji i k ki kj j
i j j j i k
y d d y d y
2
1 1 1 1
( ) ( )[ ]
m m m m
i i i k ki i k ki kj j
i k j j i k
y d d y d y
T
1 1
[ ]
m m
i ii i ij j
i j j i
y q y q y y Qy
;
2
1
;
m
ii i i k kik
q d d
1
m
ij i i k ki kjk
q d d i j
Продолжим неравенство (16)
22 22 2 2 2 2 2
( )
ˆ[ ( )] ( ) [ ( )]
i
i ii i M i i i M i i i i M i iSv c P x P f P h
2 22 2 2 2 2[ ( )] ( )ii i M i i i M i ii ic P x P b x
2
2 2
1
[ ( )] .
m
i i M i ij ij j
j
P a e x
Если введем обозначения
,i iy x
2 2 2 2( ) ( ),i ii i i ii M ic b P (17)
2 2 ( ) ,ij i i M i ij ijP a e
тогда имеем
2 2 2 2 2 2 2 2
1
2 2
1
( ( ) ( )) ( ( )) ;
( ( )) .
m
i ii i i ii M i k k k M k ki kik
ij m
k k k M k ki kj ki kjk
d c b P d P a i je
q
d P a a e e i j
(18)
125
Таким образом, для -производной функции v вдоль решений системы (6) при лю-
бой ( )E t E получили оценку ( ) Sv x T ( )x ( )Q x где ( )x
T
1 2( )mx x … x mR ; m mQ R – матрица с элементами вида (18). Поскольку
матрица Q отрицательно определенная, то выполняются условия следствия 1 и при
всех ( )E t E состояние равновесия 0x системы (6) равномерно асимптотически
устойчиво в целом. Следовательно, состояние равновесия 0x системы (4) равно-
мерно связно асимптотически устойчиво в целом. Таким образом, теорема 5 доказана.
5. Связная устойчивость нейронной системы.
Рассмотрим нейронную сеть на временной шкале, динамика которой описывается
уравнениями вида
( ) ( ) ( ( ))x t Bx t Ts x t t
(19)
Решение 0 0( )x t t x при 0t t принимает значение 0x , т.е.
0 0 0 0 0 0( ) nx t t x x t x (20)
В системе (19) вектор nx характеризует состояние нейронов, { } n n
ijT t ,
компоненты ijt описывают связи между i -ым и j -тым нейронами, n ns ,
1 1( ) ( )(s x s x 2 2( )s x … T( ))n ns x , функция is описывает ответ i -го нейрона,
n nB , B diag 1{b 2 }nb … b , 0ib , 1 2i … n .
Если , тогда x d dt и начальная задача (19) – (20) эквивалентна нача-
льной задаче для непрерывной нейронной системы типа Хопфилда [8]
( )
( ) ( ( ))
dx t
Bx t Ts x t t
dt
(21)
0 0 0 0 0 0( ) nx t t x x t x (22)
Если и 0 2ib , тогда ( ) ( 1) ( ) ( )x k x k x k x k ,
{ 1 2 }… и начальная задача (19) – (20) эквивалентна следующей [7]:
( ) ( ) ( ( ))x k Bx k Ts x k t (23)
0 0 0 0 0 0( ) nx k k x x k x (24)
О системе (19) введем следующие предположения:
H 1 : вектор-функция ( ) ( )f x Bx Ts x является регрессивной;
H 2 : существуеют положительные постоянные 0il , 1 2i … n , такие, что
( ) ( )i i is u s v l u v при всех u v ;
H 3 : ( ) 0s x тогда и только тогда, когда 0x .
Если выполняются предположения H 1 H 3 , то при любых начальных данных
0 0( ) nt x задача (19), (20) имеет точно одно решение на 0[ , )t [5]. Обозна-
чим diag 1 1 1
1 2{ , , , }.nl l l Условие регрессивности функции ( ) ( )f x Bx Ts x
получено в работе [4] и имеет следующий вид.
126
Теорема 6. Пусть выполнено предположение 2H . Если при каждом фиксирован-
ном t T матрица 1( ( ) ) ( )I t B t T является M -матрицей, то функция
( )f x ( )Bx Ts x – регрессивна.
Декомпозируем систему (19) таким образом:
1
( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 1 2
n
i i i ii i i ij j j
j j i
x t b x t t s x t t s x t i … n
(25)
и введем обозначения
( ) ( )i i i i ii i if t x b x t s x
1
( ) ( ) 1 2
n
i ij j j
j j i
h t x t s x i … n
Элементы фундаментальной матрицы связей E имеют вид
0,
0, 0
1, 0.
ii
ij ij
ij ij
e
i j te
i j te
При 0E система (25) распадается на n невзаимодействующих друг с другом
нейронов
( ) ( ) ( ( )) 1 2i i i ii i ix t b x t t s x t i … n (26)
Далее используем функции 2( )i i i iv x p x , где 0ip , 1 2i … n , для которых
верно 2( ) 2 ( ) ( )i i i i i iv x p x t p x и
2
(26)( ) 2 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ))( ) ( )i i i i i ii i i i i i ii i iv x p b x t t s x t t p b x t t s x t
2 2 2 2 22 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )i i i i ii i i i i i i i i ii i i i i ii i ip b x p t x s x t p b x t p b t x s x t p t s x
2 2 * 2 2 * 2 * 2 2 22 2 2i i i i ii i i i i i i i ii i i i ii i ip b x p t l x p b x p b t l x p t l x
* 2 2 2 22 2 2 .( )( )i i i ii i i i i i ii i ii ip b p t l p b l b t l t x
Кроме того, ( , ) ,i i i i i ii if t x b x l t x поэтому имеем равенства
0, , ,ii ij ija a t i j
,ii i i iib b l t
* 22 2 ,( )ii i i i i ii i i i iic p b p l t p b l t
* 2 2 * 2 2 22 2 ( ) ,( )ii i i i i ii i i i ii i i ii ip b p l t p b l t b p
2 * 2 * 2 2 1( ) , ,ij i i i ij ij in p t e p i j
127
* 2 2 * 2 2 22 2 ( ) )( )(ii i i i i i ii i i i ii i i ii iq d p b p l t p b l t b p +
2 * 2 * 2 2
1
( ) ;n
k k k k ki kik
d p a e
2 * 2 *
1
( ) , .
n
ij k k k k ki kj ki kjk
q d p a a e e i j (27)
Таким образом, достаточные условия связной устойчивости для нейронной систе-
мы (19) даются теоремами 4 и 5 в случае, когда матрицы и Q имеют коэффициен-
ты вида (27).
6. Пример.
В качестве численного примера рассмотрим двухкомпонентную нейронную сеть
1 1 1 11 2 12 2( ) ( )x b x t s x t s x
2 2 1 21 1 22 2( ) ( )x b x t s x t s x (28)
где 1 2x x ; 1 2 0 7b b ;
0 1 0 1
0 1 0 1
T
; ( ) ths r r .
Фундаментальная матрица связей E имеют вид
0 1
1 0
E
Выберем 1 2 1p p , 1 2 1 2 1 и вычислим постоянные, фигурирующие в
условиях теорем 4 и 6:
1 20 1414 1;T l l
11 22 1 2 0 64 ;c c
11 22 0 2 1 28 ;
12 21 0 02 0 04
Теорема 6 дает такое условие регрессивности: ( ) 1,1111t . Из условия
0 1 1ii теоремы 4 получаем еще одно ограничение на зернистость временной
шкалы 0 1562 . Выберем 0 1 . Матрица
0 072 0 024
0 024 0 072
имеет собственные числа 1( ) 0 096 , 2 ( ) 0 048 , собственные векторы
1 T(0 7071 0 7071) , T
2 (0 7071 0 7071) и будет регрессивна, если
( ) 1 0 096t 10 4167 , ( ) 1 0 048 20 8333t .
Общее решение системы (14) имеет вид
1 0 096 0 2 0 048 0
0 7071 0 7071
( ) ( ) ( )
0 7071 0 7071
u t C e t t C e t t
где 1 2C C – произвольные постоянные.
128
Выберем произвольное 0 , положим и рассмотрим начальные значения
2
0u такие, что 0 1 1 2 2u C C . Тогда, учитывая лемму 2 и то, что
1 2 0T , имеем
22
1 0 096 0 1 2 0 048 0 2( ) ( ) ( )u t C e t t C e t t
T
1 0 096 0 1 2 0 048 0 2 1 0 096 0 1 2 0 048 0 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )C e t t C e t t C e t t C e t t
T T T T2 2 2 2 2 2
1 0 096 0 1 2 0 048 0 2 1 1 2 21 2 1 2( ) ( )C e t t C e t t C C
T 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )C C C C
откуда следует равномерная устойчивость нулевого состояния равновесия системы
сравнения (14).
В силу леммы 2 для любого 0 найдется ( ) 0 такое, что 0( )
i
e t t
при всех 0t , 0[ )t t и 1 2i . Теперь для любых 0 и начальных
значений 2
0u таких, что 0 1 1 2 2u C C , будем иметь
2 T T2 2 2 2
1 0 096 0 1 2 0 048 0 21 2( ) ( ) ( )u t C e t t C e t t
T T2 2 2 T 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 21 2( ) ( ) ( )C C C C C C
откуда следует равномерная асимптотическая устойчивость нулевого состояния рав-
новесия системы сравнения (14). На основании теоремы 4 делаем вывод о связной
равномернoй асимптотической устойчивости в целом нулевого состояния равновесия
нейронной системы (28) при условии ( ) 0 1t .
Заключение.
В настоящей работе исследование связной устойчивости нулевого состояния рав-
новесия нелинейной системы на временной шкале проведено в рамках метода сравне-
ния и прямым методом Ляпунова на основе векторной функции. Полученные доста-
точные условия связной равномерной асимптотической устойчивости (в целом) испо-
льзованы при исследовании на устойчивость нейронной системы типа Хопфилда на
временной шкале. При этом требования на активаторные функции is ослаблены по
сравнению с требованиями работы [16].
Получены также предварительные результаты, а именно достаточные условия ра-
вномерной асимптотической устойчивости (в целом) нулевого состояния равновесия
нелинейной системы на временной шкале и один вариант принципа сравнения для
таких систем.
Эффективность полученных достаточных условий проверена на конкретном чис-
ловом примере.
В дальнейшем имеет смысл провести предложенным в работе способом иссле-
дование поведения неточных систем [10, 13] на временной шкале, а также получить
для временной шкалы результаты, аналогичные результатам работы [11].
Р Е ЗЮМ Е . Встановлено умови звязної стійкості для динамічної системи на часовій шкалі.
Отримані умови звязної стійкості ілюструються на чисельному прикладі.
129
1. Бохнер М., Мартынюк А.А. Элементы теории устойчивости А.М.Ляпунова для динамических ура-
внений на временной шкале // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 9. – С. 3 – 27.
2. Лукьянова Т.А., Мартынюк А.А. Анализ связной устойчивости дискретной системы // Прикл. меха-
ника. – 2002. – 38, № 9. – С. 102 – 110.
3. Мартынюк А.А. Об неустойчивости решений динамических уравнений на временной шкале // Доп.
НАН України. – 2009. – № 10. – С. 21 – 26.
4. Мартынюк А.А., Лукьянова Т.А. Об устойчивости нейронной сети на временной шкале // Доп.
НАН України. – 2010. – № 1. – С. 21 – 26.
5. Bohner M., Peterson A. Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications. –
Boston: Birkhäuser, 2001. – 358 p.
6. Grujic Lj.T., Siljak D.D. Exponential stability of Large-scale discrete systems // Int. J. Control. – 1974. –
19, N 3. – P. 481 – 491.
7. Feng Z., Michel A.N. Robustness analysis of a class of discrete-time systems with applications to neural
networks // IEEE Trans. on Circuits and Systems. – 2003. – 46, N 12. – 1482 – 1486.
8. Hopfield J.J. Neurons with graded response have collective computational properties like those of two
state neurons // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 81 – 1984. – P. 3088 – 3092.
9. Ikeda M., Siljak D.D. Hierarchical Liapunov function // J. Math. Anal. Appl. – 1985. – 112, N 1. – P. 110
– 128.
10. Khoroshun A.S. Global Parametric Quadratic Stabilizability оf Nonlinear Systems with Uncertainty //
Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 6. – Р. 703 – 709.
11. Lukyanova T.A. On Certain Variant of Stability Conditions and Finiteness of Equilibrium States of
Descrete in Time Mechanical Systems // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 8. – Р. 917 – 922.
12. Martynyuk-Chernienko Yu.A., Chernetskaya L.N. Analysis of Exponential Stability of Motion on Times
Scale // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 4. – Р. 461 – 466.
13. Martynyuk A.A., Khoroshun A.S. On Parametric Asymptotic Stability of Large-Scale Systems // Int.
Appl. Mech. – 2008. – 44, N 5. – Р. 565 – 574.
14. Siljak D.D. Stability of Large-Scale Systems Under Structural Perturbations // IEEE Transactions. –
1972. – SMC-2. – P. 657 – 663.
15. Siljak D.D. Large-Scale Dynamic Systems: Stability and Structure. – New-York: North Holand, 1978. –
416 p.
16. Tseng H.C., Siljak D.D. A Learning Scheme for Dynamic Neural Networks: Equilibrium Manifold and
Connective Stability // Neural Networks. – 1995. – 8, N. 6. – P. 853 – 864.
Поступила 07.10.2010 Утверждена в печать 26.06.2012
|