Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок

Задача розсіювання Е-поляризованої електромагнітної хвилі системою циліндричних стрічок, поперечний перетин якої є  предфракталом множини Кантора, приведена до системи сингулярних інтегральних рівнянь першого роду відносно густини поверхневих струмів. Отримані рівняння зручні як...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Кошовий, Г.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2007
Теми:	Электродинамика СВЧ
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/9556
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок / Г.І. Кошовий // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 1. — С. 141-147. — Бібліогр.: 12 назв. — укp.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860150846332862464
author	Кошовий, Г.І.
author_facet	Кошовий, Г.І.
citation_txt	Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок / Г.І. Кошовий // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 1. — С. 141-147. — Бібліогр.: 12 назв. — укp.
collection	DSpace DC
description	Задача розсіювання Е-поляризованої електромагнітної хвилі системою циліндричних стрічок, поперечний перетин якої є предфракталом множини Кантора, приведена до системи сингулярних інтегральних рівнянь першого роду відносно густини поверхневих струмів. Отримані рівняння зручні як для застосування методу механічних квадратур, так і для перетворення їх до рівнянь другого роду за методом регуляризації. Окрім загальної динамічної моделі задачі пропонується квазістатична модель, що допускає простий явний розв’язок на утворювачі фракталу. Проводиться чисельний розрахунок та порівняння результатів. Задача рассеивания Е-поляризованной электромагнитной волны системой цилиндрических лент, поперечное сечение которой представляет собой предфрактал множества Кантора, приведена к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода относительно плотности поверхностных токов. Полученные уравнения удобны как для применения метода механических квадратур, так и для преобразования их к уравнениям второго рода методом регуляризации. Кроме общей динамической модели предлагается квазистатическая модель, допускающая простое явное решение. Приводятся численные расчеты и сравнение результатов. Ключевые слова: фракталы, рассеивание, электромагнетизм, численные методы, моделирование. The problem of scattering of the E-polarized electromagnetic wave by systems of cylindrical strips is considered. The cross-section of the system is an pre-fractal of the Cantor set. The problem is reduced to a system of singular integral equations (SIE) of the first kind with respect to surface currents' density. The system of the SIE is convenient both for application of direct numerical method (mechanical quadratures) and for its transformation to a second kind's integral equations by the Vekua-Carleman's method of regularization. Except for common dynamic model of the problem, the quasistatic model (it supposes a simple explicit solution) is presented. The comparison of numerical results of calculations by the indicated methods for the models is carried out.
first_indexed	2025-12-07T17:51:47Z
format	Article
fulltext	__________ ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 12, №1, 2007, с. 141-147 © ИРЭ НАН Украины, 2007 ЭЕКТРОДИНАМИКА СВЧ УДК 535.421 РОЗСІЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ ПРЕДФРАКТАЛЬНИМИ СИСТЕМАМИ ЦИЛІНДРИЧНИХ СТРІЧОК Г. І. Кошовий Національний аерокосмічний університет ім. М. Є. Жуковського Україна, 61070, м. Харків, вул. Чкалова 17 E-mail: gikosh@d4.khai.edu Задача розсіювання Е-поляризованої електромагнітної хвилі системою циліндричних стрічок, поперечний перетин якої є предфракталом множини Кантора, приведена до системи сингулярних інтегральних рівнянь першого роду відносно густини поверхне- вих струмів. Отримані рівняння зручні як для застосування методу механічних квадратур, так і для перетворення їх до рівнянь другого роду за методом регуляризації. Окрім загальної динамічної моделі задачі пропонується квазістатична модель, що допускає простий явний розв’язок на утворювачі фракталу. Проводиться чисельний розрахунок та порівняння результатів. Іл. 4. Бібліогр.: 12 назв. Ключові слова: фрактали, розсіювання, електромагнетизм, чисельні методи, моделювання. З часу виникнення поняття фракталу пройшло біля трьох десятиліть, але це поняття, а також фрактальні підходи знайшли широке засто- сування у різних галузях науки [1,2]. Не оминули вони і розділів фізики, де вивчаються електромагнітні процеси [3,4]. Оскільки фрактальні об’єкти мають до- сить складну структуру, то дослідження взаємодії електромагнітних хвиль пов’язане з певними труд- нощами як аналітичного, так і обчислювального характеру. Але позитивним тут є те, що самоподіб- ні фрактали утворюються за допомогою досить простого об’єкта (утворювача), який певним чи- ном зменшується і переміщується теж не складним способом. Процес творення проходить нескінчен- ний ряд стадій - поколінь предфракталів і цей гра- ничний перехід вже викликає труднощі, що мо- жуть долатися як тільки є явний розв’язок відпові- дної задачі на утворювачі. Тобто природною є схема, за якою спочатку досконало досліджуються предфрактальні об’єкти, і в першу чергу утворю- вач, а потім при наявності певного аналітичного розв’язку переходити до границі. Краще, щоб цей розв’язок мав явний та достатньо простий вигляд. Цього можна досягти, коли розглянути взаємодію плоскої Е-поляризованої електромагнітної хвилі з найпростішим фрактальним розсіювачем, пов’язаним з досконалою множиною Кантора. 1. Фрактальні системи стрічок. Най- простішим фрактальним розсіювачем у просторі можна вважати класичну систему циліндричних стрічок з паралельними краями (абсолютно тон- ких та ідеально провідних), напрямні яких скла- дають досконалу множину Кантора. Оскільки утворювачем множини Кантора за третинним принципом є два відрізки однакової довжини, що належать одній прямій, та відстанню між ними того ж розміру, то далі будемо називати множину Кантора скорочено МВК (множина відрізків Кан- тора) на відміну від того, коли відрізки будуть замінюватись гладкими дугами. В останньому випадку скорочена назва буде МДК(множина дуг Кантора). Доречно нагадати процес творення МВК з закритого відрізка довжиною 2a за третинним принципом. На першому етапі цей відрізок ділиться на три рівні частини і серед- ня /3; /3a a відкидається. Залишається два відрізки ; /3a a та /3;a a , які складають предфрактал МВК першого покоління і одночасно є його утворювачем. Далі відрізки знову діляться на три частини кожний і середини відкидаються. В результаті отримуємо чотири відрізки ; 7 /9a a , 5 /9; /3a a , /3; 5 /9a a і 7 /9;a a , що є предфракталом другого поколін- ня. Предфрактал n -го покоління складають 2n відрізки, кожний з яких має довжину 2 / 3na . Якщо перейти до границі, коли n , то і утво- риться МВК, топологічна розмірність якої є ну- льовою, а от фрактальна розмірність ln 2 ln 3 є строго додатною. При зміні процесу творення (п'ятірний принцип) - ділити відрізок на п’ять частин і відкидати другий і четвертий відкриті відрізки та залишати три замкнені відрізки, отри- муємо предфрактал n -го покоління складеного з 3n відрізків, кожний з яких має довжину 2 /5na . Граничний перехід тут теж приводить до доско- налоі множини, але вже з іншою фрактальною розмірністю ln 3 ln 5 , більшою від попередньої. Взагалі процес (спосіб) творення МВК можна змінювати так, що фрактальна розмірність буде набувати довільних значень від 0 до 1 [1]. mailto:khai@ai.kharkov.ua Г. И. Кошевой / Рассеивание электромагнитных волн… _________________________________________________________________________________________________________________ 142 Стосовно МДК у випадку третинного способу творення, зокрема, утворювачем може бути дзеркальна пара дуг (рис. 1), яка сама вже є цікавим об’єктом дослідження, і слід чекати під- вищення зацікавленості, коли їх буде два, чотири і більше. Рис. 1. Пара дуг - предфрактал першого покоління (утворю- вач) МДК Коли за основу творення взяти ділення на п’ять частин, тоді у якості утворювача МДК фракталу можна взяти дзеркальну трійку дуг, як показано на рис. 2. Рис. 2. Зразок утворювача МДК фракталу за п’ятірним способом Можна брати і інші способи творення двовимірних фракталів, використовуючи більшу кількість дуг даного класу чи змінюючи їх форму. 2. Загальна постановка задачі. На сис- тему ідеально провідних, нескінченно тонких ци- ліндричних стрічок, напрямні яких являють собою предфрактал МДК n-го покоління, під певним ку- том набігає знизу плоска Е-поляризована електро- магнітна хвиля. Задача про її розсіювання на дано- му об’єкті може бути приведена до крайової задачі Діріхле для однорідного рівняння Гельмгольца 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) 0k x y x y на системі гладких дуг 0( , ) ( , ) k x y x y . Ця задача має єдиний розв’язок при виконанні певних умов на нескінченості та в граничних точках дуг [5]. Використавши фундаментальний роз- в’язок рівняння Гельмгольца для двовимірного вільного простору, перейдемо до системи інтегра- льних рівнянь (ІР) першого роду, яку запишемо у наступному вигляді: (1) 0 0 1 ( ) ( ) ( ). m N m J r H k r r dl r     (1) Тут ( )J r деяка комплекснозначна функ- ція, визначена на контурі m , яку потрібно знай- ти; (1) 0 ( )H z - функція Ханкеля першого роду з нульовим порядком (індексом). Система дуг m розташована так, що утворюється пред-фрактал МДК n-ї генерації. На рис. 3 зображені половини систем дуг, що відповідають другій та третій ста- діям творення фракталу, де використовуються кубічні параболи і третинний спосіб. Рис. 3. Половини предфракталів МДК другого (крапками) та третього поколінь В першу чергу перейдемо від криволіній- них інтегралів у системі (1) до звичайних. Для цьго візьмемо деяку параметризацію дуг ( ( ), ( ))m m mr x t y t . В результаті отримаємо на- ступну систему ІР: 1 (1) 0 1 1 0 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( )). N m m m j t H k r r t dt r    (2) Тут підлягають визначенню функції ( ) ( ( )) ( )m m mj t J r t r t   , а індекс змінюється від 1 до N . Слід також зазначити, що у найпрос- тішому випадку, коли творення фракталу здійсню- ється за третинним принципом, то кількість дуг n -ї стадії 2nN . Коли ж брати інший принцип, то їх кількість буде 3n , 4n чи ще більша. Очевидно ядра системи (2), що не знахо- дяться на діагоналі (κ ≠ m) є регулярними, а от у діагональних ядер (m = κ) виникає логарифмічна особливість при співпаданні змінних з t. Виді- лимо зазначену особливість у найбільш простому вигляді так, як це робиться у випадку з криволі- нійною стрічкою [6]. Для цього розглядаємо пев- ний клас гладких дуг, який можна описати ціли- ми функціями 2 1 ( ) ( 1) ( ) s m my t t t   . При цьому перша координата радіус-вектора змі- нюється лінійно у відповідності з відрізками Г. И. Кошевой / Рассеивание электромагнитных волн… _________________________________________________________________________________________________________________ 143 МВК. Звернемось далі до крайнього правого від- різка предфракталу КДМ n-ї генерації, який мож- на подати рівнянням 1 (3 1 ), 1. 3 nx t t Тоді останнє діагональне ядро у аргумен- ті буде містити наступний вираз: 2 2 2 ( ( ) ( ) ) 1 3 ( , ) , 3 n nn k r r t ka t w t   де функція ( ) ( ) ( , ) y y t w t t є обмеженою фу- нкцією у квадраті ( , ) 1, 1t t . У випад- ку найпростішої дуги квадратичної параболи w t . Як можна легко пересвідчитись, подібні аргументи мають і інші діагональні ядра. Далі для виділення логарифмічної особливості застосову- ємо відоме розвинення функції Ханкеля в ряд і як результат отримаємо (1) 0 ( ( ) ( ) ) 2 ( , ) ln , m m mm H k r r t i R t t   (3) де ( , )mmR t вже є регулярним ядром. В результаті таких перетворень маємо систему сингулярних ІР 1 1 12 1 1 ( ) ln ( ) ( , ) ( ), n m m m j t t dt j t R t dt (4) де (1) 0( , ) ( ( ) ( ) ), 2 m mR t H k r r t m i   ; права частина ( ) 2 exp( ( ))ikq r   ; 1 2( , )q q q  - напрямний вектор плоскої хвилі. Ця система і буде базовою, як для засто- сування прямих чисельних методів, так і для по- дальшого перетворення за методом регуляризації Карлемана-Векуа [7]. 3. Методи дослідження та розв’язку. Се- ред прямих чисельних методів розв’язку інте- гральних рівнянь найпростішим є метод механічних квадратур (ММК). Застосування його полягає у ви- борі деяких квадратурних формул для інтегрування та системи точок коллокацій, в результаті чого ви- никає система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). У випадку з сингулярними інтегральними рівняннями зазначений вибір повинен бути особли- во коректним [8,9]. Далі будемо притримуватись реалізації ММК, наведеної і обгрунтованої у моног- рафії [8]. Її застосування у випадку однієї дуги об- раного класу приводить до непоганих результатів [6]. Нагадаємо основні моменти в реалізації ММК і відміну, пов’язану з системою таких дуг, що утво- рюють предфрактал. Розв’язок системи (4) розшу- куємо у вигляді 2 ( ) ( ) 1 t y t t , який враховує особливість на кінцях дуг. До звичайних інтегралів застосовуємо відому квадратурну формулу Мелліна [10], яка має найвищу алгебраїчну точність, до нев- ласних інтегралів (з логарифмом) у якості квадрату- рної використовуємо формулу, яка є точною для полінома 1n степеня ( n - кількість квадратур- них вузлів) [8]. Квадратурні вузли та точки колло- кації є коренями поліномів Чебишева першого роду. В результаті виникає СЛАР із блочною матрицею коефіцієнтів. Діагональні блоки, що відповідають окремим дугам, мають майже однакові елементи. Вони визначаються відповідними квадратурними коефіцієнтами та виразом ( , )mmR t , що випливає з формули (3). Слід зазначити, що він у випадку, коли τ = t, визначається формулою 2 2( , ) ln 1 ( , ) 2 mmR t t w t t i . Недіагональні блоки, обумовлені взаєм- ним впливом дуг у системі, розраховуються за більш точними квадратурними формулами з ви- користанням виразів ( , ),mR t m . Шукани- ми у СЛАР є значення функцій ( )t у квадрату- рних вузлів. Після їх знаходження функції ( )j t відновлюються за наступними формулами: 1 2 1 1 ( ) 1 1 2 ( ) ( ) ( ), 1 n n m p m p p m j t T T t n t (5) де ( ) cos( arccos )nT n є поліномом Чебишева першого роду; 2 1 cos 2n - квадратурні вузли. На рис. 4 наведені розрахунки абсолютної величини густини поверхневих струмів для утво- рювача МДК (зображення наведено крапками) і другої стадії генерації того ж самого фракталу (суцільні лінії). Рис. 4. Розподіл густини поверхневих струмів коли хвиля набігає під кутом 300 до горизонтальної осі ( 1 3 / 2q ) та значенні частотного параметра / 2 Г. И. Кошевой / Рассеивание электромагнитных волн… _________________________________________________________________________________________________________________ 144 Безперечно цей метод приваблює своєю простотою, але він має певні вади, що не дозволя- ють далеко просунутись у напрямку творення фра- кталів. Основною з них є неможливість отримати явний аналітичний розв’язок. Формально формула (5) є і явною і аналітичною, але вона містить зна- чення ( )m , які неможливо визначити інакше ніж розрахувати чисельно. Тому звернемось до чисельно-аналітичних методів, а точніше до мето- ду регуляризації Векуа-Карлемана (МРВК). Він успішно застосовується до сингулярних ІР, що виникають у випадку однієї криволінійної стрічки [6] і може бути узагальнений на систему таких стрічок. Дійсно, систему (4) можна переписати як одне рівняння 1 1 ( ) ln ( ), 1,...,2nj t t dt f , де 12 1 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) n m m m f j t R t dt . Застосовуючи далі формулу обернення Карлема- на [11] 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( )1 , ln 2 1 j x f d tx f d досить просто отримати систему ІР другого роду, яка має наступний вигляд: 12 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) n m m m j x j t x t dt g x . Ядра цієї системи, а також праві частини визна- чаються через ядра та праві частини попередньої системи за допомогою формул подібних до фор- мули Карлемана. Наведемо тут вираз для правої частини 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( )1 . ln 2 1 g x d tx d Отриманими системами ІР другого роду власне і закінчується метод регуляризації, далі застосовують той чи інший метод розв’язку ІР другого роду. Тут для порівняння з попереднім методом обирається проекційний метод із засто- суванням поліномів Чебишева першого роду у якості координатних функцій׃ шукані функції подаються у вигляді розвинення 0 ( ) ( )m m m x T x . Далі їх підставляють до системи, мно- жать на 2( ) / 1mT x x і інтегрують, враховуючи ортогональність зазначених поліномів на відрізку [-1, 1] з множником 21/ 1 x . В результаті ви- никає нескінченна СЛАР відносно m . Нижче ця схема буде застосована при дослідженні взаємодії електромагнітної хвилі з утворювачем МВК фра- кталу у випадку квазі-статичної моделі. 4. Квазі-статична модель. Під час тво- рення МВК чи МДК фракталів за третинним принципом частотний параметр 2 3 3 n n n ka a зменшується утричі при переході від деякої стадії до наступної. Тому, починаючи з певної стадії творення, його можна вважати настільки малим, наскільки це потрібно. Тут почнемо з квазі- статичної моделі взаємодії хвилі з утворювачем МВК фракталу. Ця модель ґрунтується на припущенні, що частотний параметр є невеликим, завдяки чому можна побудувати процес послідовних наближень. При цьому базовою сис- темою ІР буде за виглядом отримана вище систе- ма (4), але із значно простішими ядрами 1 0 1 1 (3 ) 0 1 ln , 1,2; 2 4 ( 1) . 2 mm m m m R u H u u m i R u H u i Праві частини при цьому можна записати у вигляді 1( ) exp[ (( 1) 2 ) ]i q , де 1 cos ,q - кут між напрямним вектором і віссю абсцис. Припущення малості частотного параме- тра 1 приводить до наступних виразів: 0 1 0 1 (3 ) ln ; 2 ln [4 ( 1) ]. 2 mm m m m R i R u i На основі цих виразів та формули обер- нення Карлемана прийдемо до системи ІР другого роду, яку можна при ортогональному падінні хвилі записати у наступному вигляді: 1 0 3 1 0 0 1 2 ( ) ( 1) ( ) ( , ) 2 ln , ln 2 ln 2 2 m m m mx t K x t dt i (6) Г. И. Кошевой / Рассеивание электромагнитных волн… _________________________________________________________________________________________________________________ 145 де 1 0 1 ( )k k x dx , 0 2 1 1 ( , ) ( , ) ( ) ln 21 m m mK x t x t t t . Ядра системи визначаються невласними інтегра- лами залежними від параметрів: 1 2 1 ( ) ln(4 ( 1) ( )) 1 d t t ; 1 2 1 1 ( , ) 4 ( 1) ( ) d x t x t , 1,2 . Для їх дослідження та наближеного обчислення скористаємось з наступних розвинень: 1 0 1 1 1 ( 1) ( ) ; 4 ( 1) ( ) 4 ln 4 ( 1) ( ) ( 1) ln 4 ( 1) ( ) . 4 m m m m m m m m m t t t t m Збіжність цих розвинень забезпечується нерівніс- тю 2t і є досить високою. Таким чином, невласні інтеграли можна подати у вигляді на- ступних рядів: 1 1 1 0 ( 1) ( ) ln 4 ( 1) ( ); 4 ( 1) ( , ) ( , ), 4 m m mm m m mm m t I t m x t I x t що містять більш прості невласні інтеграли: 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ; 1 1 ( , ) ( ) . m m m m t I t d I x t t d x Для того, щоб їх знайти, використовуємо біном Ньютона 0 ( ) ( ) . m m k k m k m k t C t В результаті приходимо до інтегралів 1 2 1 1 k k d I , 1 2 1 1 k kI x d x , які до- сить просто беруться у квадратурах. Покажемо це на прикладі найскладнішого з них 1 2 0 1 1 I x d x , який є інтегралом типу Коші, і тут розглядається його головне значення. Функція 21 на проміжку [-1,1] задовольняє умові Гельдера, тому головне значення існує. Знайдемо його 1 2 22 0 2 2 2 2 0 0 2 2 22 2 2 0 2 2 12 2 0 1 cos 2 2 sin 1 sin 2 sin 1 2 ( ). sin d I x x d x x x x x x d x x d x x T x x Інші інтеграли типу Коші I x обчис- люються за допомогою 0I x . Так, наприклад, 1 2 1 0 2 1 1 2 2 2 0 1 3 1 ( ); 2 1 . 2 I x d xI x T x I x x d x I x x x ; Таким чином, коли обмежитись тільки трьома доданками для інтегралів, що визнача- ють ядра системи (5), отримаємо наступні роз- винення: 1 2 11 1 ln 4 ( ) ( ) ; 32 4 64 t T t T t _______________________________________________________ 1 2 1 1 1 2 1 2 1 3 11 1 1 3 1 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 16 2 2 4 4 64 x t T x T x T t T x T t T x T x T t T x T x . ___________________________________________ Для завершення проекційного методу підставимо ці розвинення до системи (5) і проінтегруємо за змінною t, а далі множимо на 2/ 1T x x з = 3, 2, 1, 0 і інтегруємо за зовнішньою змінною x. В результаті виникають співвідно- шення: з 0 0 3 32 1 1 23: 0, 0 256 256 ; Г. И. Кошевой / Рассеивание электромагнитных волн… _________________________________________________________________________________________________________________ 146 з 0 1 0 1 2 22 2 1 1 1 2 4 4 2 : , 128 128 . Для 1,0 маємо наступні СЛАР: з 1 2 1 0 2 2 1 2 67 1: 0; 256 32 256 1 2 1 0 1 1 2 1 67 0; 256 32 256 з 0 0 0 1 1 20: ln 2 ( )ln 2i 1 2 0 1 1 1 1 (ln 4 ) 2 32 8 128 . Очевидно, що останні доданки у лівих частин цих співвідношень для 0,1,2 слід відкинути і скористатись правилом Крамера для обчислення коефіцієнтів к m . В результаті отримуємо 0 0 0 1 2 2/(2ln ln8); 4i 1 1 1 2 0 67 ; 256 2 2 0 1 2 . 32 Таким чином, маємо наступний вираз для шука- ної функції: 0 1 2 67 1 ( ) (1 ( 1) ( ) ( )). 256 32 m m x T x T x Слід нагадати, що він є асимптотичним по відно- шенню до частотного параметру 2 3 q , по- хибка визначається величиною 20( ln ) . Чи- сельні розрахунки виконаних за різними метода- ми - ММК та МРВК - співпадають з графічною точністю до значень частотного параметру, що не перевищують /30 . Висновки. Розглядаються нові розсіювачі електромагнітних хвиль у вигляді предфракталь- них систем циліндричних стрічок з паралельними краями. При цьому поперечний перетин розсіювача може бути як предфракталом звичайної множини Кантора з різною фракталь- ною розмірністю, так і фрактальною множиною дуг з досить складною формою. Дослідження задачі проведено на основі досить загального і відомого методу інтегральних рівнянь з використанням чисельного методу ме- ханічних квадратур і чисельно-аналітичного ме- тоду регуляризації, які досить часто застосову- ються до розв’язку подібних задач. Наведені чи- сельні розрахунки абсолютної величини густини поверхневих струмів на елементах утворювача МДК з використанням поліномів четвертого по- рядку, а також відповідного предфракталу другої стадії творення. Запропонована квазістатична модель, що може бути використана, і це доведено у роботі при утворенні фрактальних розсіювачів. Асимп- тотичний підхід, що запропоновано, може бути узагальнений на системи передфракталів будь- якої фрактальної розмірності. У роботі головна увага приділена тому, щоб знайти густину повер- хневих струмів, бо інші характеристики знахо- дяться без особливих труднощів [12]. Якщо роз- винути далі асимптотичний підхід, то його можна буде застосовувати і при дослідженні задач взає- модії між кількома фрактальними об’єктами, за- нуреними у діелектричний шар. Наявність фрак- талів може змінити електромагнітні характерис- тики цього шару, тобто можна буде моделювати метаматеріали. 1. Mandelbrot B. B. The Fractal geometry of Nature. - New York: W. H. Freeman & Co, 1983. - 600 p. 2. Barnsley M. F. Fractals everywhery. - New York: Academic Press Proffessional, 1993. - 400 p. 3. Jaggard D. L. Fractal Electrodynamics:Wave interactions with discretely self - similar structure // C. Baum and H. Kritikos Electromagnetic Symmetry. - Washington DC: Taylor and Francis Publishers - 1995. - P.231-261. 4. Werner D. H. An overview of Fractal electrodynamics Re- search // Proceedings of the11th. Annual review of progress in Applied Comp. Electromagnetics - 1995. - 2 - P.964-969. 5. Шестопалов В. П., Тучкин Ю. А., Поединчук А. Е., Сирен- ко Ю. К. Новые методы решения прямых и обратных за- дач теории дифракции. - Харьков: Основа, 1997. - 283с. 6. Кошовий Г. І. Поверхневі струми збуджені Е-поля- ризованою хвилею на криволінійних стрічках // Радиофи- зика и электроника.-Харьков: Ин-т радиофизики и элект- рон. НАН Украины. - 2004. - 9, №3. - С.509-514. 7. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральнные уравне- ния. - М.: Гос. Изд-во физ-мат лит, 1962. - 600 с. 8. Назарчук З. Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. - Киев: Наук. думка, 1989. - 256 с. 9. Лифанов И. К. Метод сингулярних интегральних уравне- ний и численний эксперимент. - М.: ТОО “Янус”, 1995. - 520 с. 10. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. - М.: Наука, 1967. - 500 с. 11. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с. 12. Koshovy G. I. Electromagnetic characteristics of the simplest strip system // Радиофизика и радиоастрономия. - 2003. - №1. - С. 45-51. SCATTERING OF ELECTROMAGNETIC WAVES BY PREFRACTAL STRIPS SYSTEM G. I. Koshovy The problem of scattering of the E-polarized electromagnetic wave by systems of cylindrical strips is considered. The cross-section of the system is an pre-fractal of the Cantor set. The problem is re- duced to a system of singular integral equations (SIE) of the first kind with respect to surface currents' density. The system of the SIE is convenient both for application of direct numerical method (mechanical quadratures) and for its transformation to a second kind's integral equations by the Vekua-Carleman's method of regu- larization. Except for common dynamic model of the problem, the quasistatic model (it supposes a simple explicit solution) is pre- sented. The comparison of numerical results of calculations by the indicated methods for the models is carried out. Г. И. Кошевой / Рассеивание электромагнитных волн… _________________________________________________________________________________________________________________ 147 Key words: fractals, scattering, electromagnetic, numerical me- thods, modeling. РАССЕИВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ПРЕДФРАКТАЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ ЛЕНТ Г. И. Кошевой Задача рассеивания Е-поляризованной электромаг- нитной волны системой цилиндрических лент, поперечное сечение которой представляет собой предфрактал множества Кантора, приведена к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода относительно плотности поверхност- ных токов. Полученные уравнения удобны как для примене- ния метода механических квадратур, так и для преобразова- ния их к уравнениям второго рода методом регуляризации. Кроме общей динамической модели предлагается квазистати- ческая модель, допускающая простое явное решение. Приво- дятся численные расчеты и сравнение результатов. Ключевые слова: фракталы, рассеивание, элек- тромагнетизм, численные методы, моделирование. Рукопис надійшов 10 липня 2006 р.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-9556
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-821X
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T17:51:47Z
publishDate	2007
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
record_format	dspace
spelling	Кошовий, Г.І. 2010-07-02T13:10:23Z 2010-07-02T13:10:23Z 2007 Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок / Г.І. Кошовий // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 1. — С. 141-147. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/9556 535.421 Задача розсіювання Е-поляризованої електромагнітної хвилі системою циліндричних стрічок, поперечний перетин якої є предфракталом множини Кантора, приведена до системи сингулярних інтегральних рівнянь першого роду відносно густини поверхневих струмів. Отримані рівняння зручні як для застосування методу механічних квадратур, так і для перетворення їх до рівнянь другого роду за методом регуляризації. Окрім загальної динамічної моделі задачі пропонується квазістатична модель, що допускає простий явний розв’язок на утворювачі фракталу. Проводиться чисельний розрахунок та порівняння результатів. Задача рассеивания Е-поляризованной электромагнитной волны системой цилиндрических лент, поперечное сечение которой представляет собой предфрактал множества Кантора, приведена к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода относительно плотности поверхностных токов. Полученные уравнения удобны как для применения метода механических квадратур, так и для преобразования их к уравнениям второго рода методом регуляризации. Кроме общей динамической модели предлагается квазистатическая модель, допускающая простое явное решение. Приводятся численные расчеты и сравнение результатов. Ключевые слова: фракталы, рассеивание, электромагнетизм, численные методы, моделирование. The problem of scattering of the E-polarized electromagnetic wave by systems of cylindrical strips is considered. The cross-section of the system is an pre-fractal of the Cantor set. The problem is reduced to a system of singular integral equations (SIE) of the first kind with respect to surface currents' density. The system of the SIE is convenient both for application of direct numerical method (mechanical quadratures) and for its transformation to a second kind's integral equations by the Vekua-Carleman's method of regularization. Except for common dynamic model of the problem, the quasistatic model (it supposes a simple explicit solution) is presented. The comparison of numerical results of calculations by the indicated methods for the models is carried out. uk Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Электродинамика СВЧ Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок Рассеивание электромагнитных волн предфрактальными системами лент Scattering of electromagnetic waves by prefractal strips system Article published earlier
spellingShingle	Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок Кошовий, Г.І. Электродинамика СВЧ
title	Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок
title_alt	Рассеивание электромагнитных волн предфрактальными системами лент Scattering of electromagnetic waves by prefractal strips system
title_full	Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок
title_fullStr	Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок
title_full_unstemmed	Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок
title_short	Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок
title_sort	розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок
topic	Электродинамика СВЧ
topic_facet	Электродинамика СВЧ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/9556
work_keys_str_mv	AT košoviigí rozsíûvannâelektromagnítnihhvilʹpredfraktalʹnimisistemamicilíndričnihstríčok AT košoviigí rasseivanieélektromagnitnyhvolnpredfraktalʹnymisistemamilent AT košoviigí scatteringofelectromagneticwavesbyprefractalstripssystem

Розсіювання електромагнітних хвиль предфрактальними системами циліндричних стрічок

Репозитарії

Схожі ресурси