Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах
Дослiджено континуальну модель блокових геосередовищ, яка враховує розриви швидкостi та напружень мiж структурними елементами. Використовуючи методи редуктивної теорiї збурень, побудовано (1 + 2) амплiтудне рiвняння другого порядку типу
 Бюргерса. Знайдено точнi кiнкоподiбнi хвильовi та авто...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95693 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах / В.А. Даниленко, Т.Б. Даневич, С.I. Скуратiвський // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 80-85. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860214407517175808 |
|---|---|
| author | Даниленко, В.А. Даневич, Т.Б. Скуратiвський, С.I. |
| author_facet | Даниленко, В.А. Даневич, Т.Б. Скуратiвський, С.I. |
| citation_txt | Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах / В.А. Даниленко, Т.Б. Даневич, С.I. Скуратiвський // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 80-85. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено континуальну модель блокових геосередовищ, яка враховує розриви швидкостi та напружень мiж структурними елементами. Використовуючи методи редуктивної теорiї збурень, побудовано (1 + 2) амплiтудне рiвняння другого порядку типу
Бюргерса. Знайдено точнi кiнкоподiбнi хвильовi та автомодельнi розв’язки амплiтудного рiвняння.
Исследована континуальная модель блоковых сред, которая учитывает разрывы скорости
и напряжений между структурными элементами. Используя методы редуктивной теории возмущений, построено (1+2) амплитудное уравнение второго порядка типа Бюргерса. Найдены точные кинкоподобные волновые и автомодельные решения амплитудного уравнения.
A continual model for block media is studied. It takes the discontinuities of velocities and stresses
between structural elements of media into account. Using the methods of the reductive theory of
perturbations, the (1+2) second order amplitude equation of the Burgers type is constructed. Kink-
like wave and self-similar solutions of the amplitude equation are derived.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:15:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2015
НАУКИ ПРО ЗЕМЛЮ
УДК 539.182+518.5+517.986.69
Член-кореспондент НАН України В. А. Даниленко, Т.Б. Даневич,
С. I. Скуратiвський
Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих
середовищах
Дослiджено континуальну модель блокових геосередовищ, яка враховує розриви швид-
костi та напружень мiж структурними елементами. Використовуючи методи редук-
тивної теорiї збурень, побудовано (1 + 2) амплiтудне рiвняння другого порядку типу
Бюргерса. Знайдено точнi кiнкоподiбнi хвильовi та автомодельнi розв’язки амплiтуд-
ного рiвняння.
Природнi геосередовища є iєрархiчними системами структурних елементiв [1], якi, як пра-
вило, перебувають в iстотно нерiвноважних умовах. Рiвень нерiвноважностi вiдповiдає за
мiру прояву iндивiдуальних особливостей внутрiшньої структури середовищ, спричинює
значнi вiдмiнностi мiж характеристиками сусiднiх структурних елементiв [2] та породжує
просторово-часову кореляцiю мiж рiзними частинами континууму [3, 4]. Опис таких явищ
вимагає перегляду та доповнення класичних моделей суцiльних середовищ.
Один iз способiв врахування структури геосередовища та опису фiзичних полiв у його
структурних елементах грунтується на уявленнi про середовище як про дискретну систему
скiнченної кiлькостi деформiвних комiрок-блокiв. Окремий k-й блок характеризується ра-
дiусом-вектором центра мас rk (масою mk) тензором моментiв iнерцiї Jk, а також тензором
напружень σk i швидкiстю uk, якi можуть зазнавати розриви на межi двох блокiв [2–5].
У результатi отримаємо сукупнiсть спiввiдношень, що виражають закони збереження маси,
iмпульсу, моменту iмпульсу та рiвнянь стану для кожного блока. Вивчення такої моделi,
навiть числовими методами, є занадто складним. Тому в публiкацiях [2, 5] було розроблено
процедуру переходу вiд системи рiвнянь для k блокiв до наближеної континуальної гiдроди-
намiчної моделi блокового середовища. Одновимiрну модель такого блокового середовища
було розглянуто в статтi [6], де, зокрема, дослiджувалась структура хвильових розв’яз-
кiв. Однак вивчення явищ, пов’язаних iз обертанням структурних елементiв, здiйснити не
вдається в рамках одновимiрних моделей, а вимагає залучення принаймнi двовимiрних мо-
делей, що є предметом нашого дослiдження.
© В. А. Даниленко, Т.Б. Даневич, С. I. Скуратiвський, 2015
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
Таким чином, у даному повiдомленнi вивчаються хвильовi розв’язки релаксуючого бло-
кового середовища, двовимiрна модель якого у довгохвильовому наближеннi має такий ви-
гляд:
ρt + ρ(1 + 3β) divu+ (u∇)ρ = 0,
vt + (1 + β)vvx + βv divu+ (1 + β)wvy −Aµw + ρ−1px = 0,
wt + (1 + β)vwx + βw divu+ (1 + β)wwy +Aµw + ρ−1py = 0,
ρ−2τ−1
TP ρt + ω2
0ρ
(1−ΓV0 )
0 ρΓV0 − ω2
0ρ0 = b(p − p0) + bτTV pt,
ω2
0 =
bc2S0
α0T0
γ0
, b =
υ0χT∞
τTV τTP
, τTP = τTV
(
χT0
χT∞
)
= τPV
(
α0
α∞
)
,
(1)
де ρ — густина; u = (v,w) — вектор швидкостi; p — тиск; β — параметр, пропорцiйний вiд-
ношенню розмiрiв сусiднiх елементiв; µ — параметр, пов’язаний з коефiцiєнтом зчеплення
блокiв; величина A = wx − vy є z-компонентою вектора rotu; τTP , τTV — часи релаксацiї;
ΓV0 — коефiцiєнт Грюнайзена; cS0 — рiвноважна адiабатична швидкiсть звуку; α0, α∞ —
коефiцiєнти теплового розширення (рiвноважний i заморожений); T0 — температура; γ0 —
показник полiтропи; χT0 , χT∞ — iзотермiчнi коефiцiєнти стиснення.
Модель (1) у лагранжевих координатах X, Y вiдносно змiнних υ = ρ−1, p, V , W запи-
шемо таким чином:
∂υ
∂t
− (1 + 3β)υ0
(
∂V
∂X
+
∂W
∂Y
)
= 0,
υ
∂V
∂t
+ 2βυ0V
∂V
∂X
+ βυ0V
∂W
∂Y
+ βυ0W
∂V
∂Y
− µυ0W
(
∂W
∂X
− ∂V
∂Y
)
+ υ0υ
∂p
∂X
= 0,
υ
∂W
∂t
+ 2βυ0W
∂W
∂Y
+ βυ0V
∂W
∂X
+ βυ0W
∂V
∂X
+ µυ0W
(
∂W
∂X
− ∂V
∂Y
)
+ υ0υ
∂p
∂Y
= 0,
− 1
τTP
∂υ
∂t
+ ω2
0υ
(ΓV0−1)
0 υ−ΓV0 − ω2
0υ
−1
0 = b(p− p0) + bτTV
∂p
∂t
.
(2)
Видiлимо iз системи (2) еволюцiйне рiвняння, що описує довгу хвилю, яка бiжить та по-
вiльно змiнюється, використовуючи метод редуктивної теорiї збурень [7, 8], згiдно якого всi
залежнi змiннi можна шукати у виглядi розкладiв за малим параметром:
υ = υ0 + ευ1 + ε2υ2, p = p0 + εp1 + ε2p2,
V = εV1 + ε2V2, W = εW1 + ε2W2,
(3)
де ε — малий параметр, тодi як масштабне перетворення для незалежних змiнних запишемо
так:
ξ = εδ(X − cξt), ζ = εδ(Y − cζt), θ = aε(δ+1)t (4)
(тут параметри cξ, cζ (компоненти швидкостi поширення малого збурення в середовищi)
та a визначаються пiд час дослiджень).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 81
Пiдстановки виразiв (3) й (4) у систему (2) дають змогу в першому порядку малостi
в методi редуктивної теорiї збурень отримати спiввiдношення для збурених величин:
υ1 = −(1 + 3β)υ0
cξ
V1, W1 =
cζ
cξ
V1, p1 =
c2
cξυ0
V1,
c2 = c2ξ + c2ζ = (1 + 3β)c2S0
(γ0 − 1)
γ0
,
а також визначити швидкостi:
cξ = cS0
√
γ0 − 1
γ0
, cζ =
√
3βcξ;
у другому порядку, — використовуючи попереднi спiввiдношення, отримаємо рiвняння ево-
люцiї для збуреної масової швидкостi V1:
2a
∂V1
∂θ
+ [(ΓV0 + 1)(1 + 3β) + 2β]V1
[
∂V1
∂ξ
+
√
3β
∂V1
∂ζ
]
+
+
εδ−1
b(1 + 3β)τTP
(bτTV τTP c
2 − (1 + 3β)υ20)
(
∂2V1
∂ξ2
+ 2
√
3β
∂2V1
∂ξ∂ζ
+ 3β
∂2V1
∂ζ2
)
+
+
(3β −
√
3β)
(1 + 3β)
µV1
(√
3β
∂V1
∂ξ
− ∂V1
∂ζ
)
= 0.
Якщо прийняти, що
a ≡ [(ΓV0 + 1)(1 + 3β) + 2β]
2
,
то остаточно рiвняння еволюцiї для V1 набуватиме вигляду
∂V1
∂θ
+ V1
[
∂V1
∂ξ
+
√
3β
∂V1
∂ζ
]
+ µV1
(√
3β
∂V1
∂ξ
− ∂V1
∂ζ
)
+
+ α
(
∂2V1
∂ξ2
+ 2
√
3β
∂2V1
∂ξ∂ζ
+ 3β
∂2V1
∂ζ2
)
= 0, (5)
де
α ≡ εδ−1
2ab(1 + 3β)τTP
(bτTV τTP c
2 − (1 + 3β)υ20), µ ≡
(
3β −√
3β
)
2a(1 + 3β)
µ.
Зазначимо також, що при β → 0, тобто коли блочнiстю середовища можна знехтувати,
рiвняння (5) переходить у рiвняння еволюцiї:
∂V1
∂θ
+ V1
∂V1
∂ξ
+ α
∂2V1
∂ξ2
= 0 (6)
(тут α ≡ (εδ−1/(2abτTP ))(bτTV τTP c
2 − υ20); a = (ΓV0 + 1)/2), що ранiше було отримане [8]
для суцiльного одновимiрного середовища та вiдоме як рiвняння Бюргерса. Ця обставина
дозволяє розглядати рiвняння (5) як певне двовимiрне узагальнення рiвняння Бюргерса (6).
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
Розглянемо точнi розв’язки еволюцiйного рiвняння (5): спочатку шляхом лiнiйної замiни
просторових змiнних
s = ζ −
√
3βξ, h = ξ
зведемо рiвняння (5) до спрощеного вигляду
V1θ + V1V1h + µV1(
√
3βV1h − (3β + 1)V1s) + αV1hh = 0. (7)
Виконаємо масштабне перетворення
V1 =
√
α
1 + µ
√
3β
Y, h =
√
αh, s = λ
√
αs, λ = µ
1 + 3β
1 + µ
√
3β
,
тодi, опускаючи риски над змiнними, рiвняння (7) можна записати так:
Yθ + Y (Yh − rYs) + nYhh = 0, (8)
де r = signλ; n = signα.
Для рiвняння (8) легко вказати iнварiантнi частиннi розв’язки, а саме:
хвильовий
Y = Y (ω), ω = Rs+ h−Dθ, R,D = const, (9)
та автомодельний
Y =
Φ(ω)
s
, ω =
h
s
. (10)
Розглянемо хвильовi розв’язки. Пiдставляючи вираз (9) у рiвняння (8), отримаємо таке:
Y =
Y0 + (2D + Y0(rR− 1)) exp qω
1 + (1− rR) exp qω
,
де q = (D+Y0(rR−1))/n. При rR < 1 розв’язок є гетероклiнiчною траєкторiєю, яка з’єднує
два стацiонарнi стани: Y0 й (2D + Y0(rR − 1))/(1 − rR). Легко перевiрити, що параметр n
визначає монотоннiсть профiлю хвилi.
Очевидно, що при R → 1 розв’язок вироджується в експоненцiйну функцiю. Звiдси,
зокрема, бачимо, що параметр R впливає на висоту хвилi. Також зазначимо, що при D = 0
розв’язок (9) вироджується у стацiонарний розв’язок: Y = Y (s, h).
Розглянемо автомодельнi розв’язки. Пiдставляючи вираз (10) у рiвняння (8) при r =
= n = 1, отримаємо неавтономне диференцiальне рiвняння:
Φ′′ = −pΦΦ′ − Φ2, (11)
де (·)′ = d(·)/dp, p = 1 + ω. Загальний розв’язок рiвняння (11) наведений у довiднику [9]
(номер рiвняння 2.6.3.17, с. 319 ). З огляду на складний аналiтичний вираз параметричного
розв’язку, можна також навести частиннi розв’язки простiшого вигляду: Φ = 6p−2 та Φ =
=
∑
i=0
aip
i, де коефiцiєнти ai задовольняють рекурентне спiввiдношення
∑
r+k=i
arak(k + 1) + ai+1(i+ 2)(i+ 1) = 0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 83
a0 = Φ(0), a1 = Φ′(0) є довiльними i визначають початковi умови в задачi Кошi для рiв-
няння (11).
Таким чином, згiдно з результатами застосування редуктивної теорiї збурень, довгохви-
льовий розв’язок моделi блокового середовища в першому наближеннi задовольняє нелi-
нiйне амплiтудне рiвняння другого порядку, що належить до рiвнянь типу Бюргерса. Се-
ред точних розв’язкiв амплiтудного рiвняння знайдено хвильовi розв’язки у виглядi хвиль
перемикання та автомодельнi. З аналiзу хвильових розв’язкiв випливає, що врахування
в моделi геосередовища його дискретностi (параметр β) та обертальної динамiки (пара-
метр µ) структурних елементiв дозволяє не тiльки уточнити характеристики профiлю хви-
лi, а й передбачати змiну типу хвильового режиму, наприклад з хвилi стиску на хвилю
розрiдження.
1. Садовский М.А. Автомодельность геодинамических процессов // Вест. АН СССР. – 1986. – № 8. –
С. 3–11.
2. Вахненко В.А., Даниленко В.А., Кулич В.В. Элементы теории самоорганизации и нелинейных вол-
новых процессов в природных средах со структурой. – Київ, 1991. – 44 c. – (Препр. / НАН Украины.
Ин-т геофизики им. С. И. Субботина).
3. Danylenko V.A., Danevych T. B., Makarenko O. S., Skurativskyi S. I., Vladimirov V.A. Self-organization
in nonlocal non-equilibrium media. – Kyiv: Subbotin Inst. of Geophysics of the NAS of Ukraine, 2011. –
333 p.
4. Филиппов Б. В., Хантулева Т.А. Граничные задачи нелокальной гидродинамики. – Ленинград:
Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. – 86 с.
5. Даниленко В.А. До теорiї руху блочно-iєрархiчних геофiзичних середовищ // Доп. АН України,
1992. – № 2. – С. 86–89.
6. Даниленко В.А. Скуратiвський С. I. Хвильовi розв’язки нелокальної моделi блокового середовища //
Доп. НАН України. – 2011. – № 9. – С. 90–97.
7. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж. и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Пер. с англ. –
Москва: Мир, 1988. – 694 с.
8. Даниленко В.А., Даневич Т.Б. Точнi аналiтичнi розв’язки нелiнiйних рiвнянь динамiки релаксуючих
середовищ з просторовою та часовою нелокальнiстю // Доп. НАН України. – 2004. – № 3. – С. 110–
114.
9. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – Моск-
ва: Физматлит., 2001. – 576 с.
Надiйшло до редакцiї 18.07.2014Вiддiлення геодинамiки вибуху Iнституту геофiзики
iм. С. I. Субботiна НАН України, Київ
Член-корреспондент НАН Украины В.А. Даниленко, Т. Б. Даневич,
С.И. Скуратовский
Эволюция волновых полей в блоковых релаксирующих средах
Исследована континуальная модель блоковых сред, которая учитывает разрывы скорости
и напряжений между структурными элементами. Используя методы редуктивной тео-
рии возмущений, построено (1+2) амплитудное уравнение второго порядка типа Бюргерса.
Найдены точные кинкоподобные волновые и автомодельные решения амплитудного уравне-
ния.
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.A. Danylenko, T. B. Danevych,
S. I. Skurativskyi
Evolution of wave fields in block relaxing media
A continual model for block media is studied. It takes the discontinuities of velocities and stresses
between structural elements of media into account. Using the methods of the reductive theory of
perturbations, the (1+2) second order amplitude equation of the Burgers type is constructed. Kink-
like wave and self-similar solutions of the amplitude equation are derived.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 85
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95693 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:15:54Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Даниленко, В.А. Даневич, Т.Б. Скуратiвський, С.I. 2016-03-02T14:21:05Z 2016-03-02T14:21:05Z 2015 Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах / В.А. Даниленко, Т.Б. Даневич, С.I. Скуратiвський // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 80-85. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95693 539.182+518.5+517.986.69 Дослiджено континуальну модель блокових геосередовищ, яка враховує розриви швидкостi та напружень мiж структурними елементами. Використовуючи методи редуктивної теорiї збурень, побудовано (1 + 2) амплiтудне рiвняння другого порядку типу
 Бюргерса. Знайдено точнi кiнкоподiбнi хвильовi та автомодельнi розв’язки амплiтудного рiвняння. Исследована континуальная модель блоковых сред, которая учитывает разрывы скорости
 и напряжений между структурными элементами. Используя методы редуктивной теории возмущений, построено (1+2) амплитудное уравнение второго порядка типа Бюргерса. Найдены точные кинкоподобные волновые и автомодельные решения амплитудного уравнения. A continual model for block media is studied. It takes the discontinuities of velocities and stresses
 between structural elements of media into account. Using the methods of the reductive theory of
 perturbations, the (1+2) second order amplitude equation of the Burgers type is constructed. Kink-
 like wave and self-similar solutions of the amplitude equation are derived. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Науки про Землю Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах Эволюция волновых полей в блоковых релаксирующих средах Evolution of wave fields in block relaxing media Article published earlier |
| spellingShingle | Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах Даниленко, В.А. Даневич, Т.Б. Скуратiвський, С.I. Науки про Землю |
| title | Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах |
| title_alt | Эволюция волновых полей в блоковых релаксирующих средах Evolution of wave fields in block relaxing media |
| title_full | Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах |
| title_fullStr | Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах |
| title_full_unstemmed | Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах |
| title_short | Еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах |
| title_sort | еволюцiя хвильових полiв у блокових релаксуючих середовищах |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95693 |
| work_keys_str_mv | AT danilenkova evolûciâhvilʹovihpolivublokovihrelaksuûčihseredoviŝah AT danevičtb evolûciâhvilʹovihpolivublokovihrelaksuûčihseredoviŝah AT skurativsʹkiisi evolûciâhvilʹovihpolivublokovihrelaksuûčihseredoviŝah AT danilenkova évolûciâvolnovyhpoleivblokovyhrelaksiruûŝihsredah AT danevičtb évolûciâvolnovyhpoleivblokovyhrelaksiruûŝihsredah AT skurativsʹkiisi évolûciâvolnovyhpoleivblokovyhrelaksiruûŝihsredah AT danilenkova evolutionofwavefieldsinblockrelaxingmedia AT danevičtb evolutionofwavefieldsinblockrelaxingmedia AT skurativsʹkiisi evolutionofwavefieldsinblockrelaxingmedia |