Прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов
Проведен спектральный анализ самосопряженного оператора, который является конечномерным возмущением оператора второй производной на конечном отрезке. Описан спектр этого оператора и решена обратная спектральная задача, позволяющая по n+1 спектру восстановить возмущение. Приведена характеристика сп...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95696 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов / В.А. Золотарев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 7-12. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95696 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Золотарев, В.А. 2016-03-02T14:21:48Z 2016-03-02T14:21:48Z 2015 Прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов / В.А. Золотарев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 7-12. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95696 517.927 Проведен спектральный анализ самосопряженного оператора, который является конечномерным возмущением оператора второй производной на конечном отрезке. Описан спектр этого оператора и решена обратная спектральная задача, позволяющая по n+1 спектру восстановить возмущение. Приведена характеристика спектральных данных обратной задачи. Проведено спектральний аналiз самоспряженого оператора, який є скiнченновимiрним збуренням оператора другої похiдної на обмеженому вiдрiзку. Описано спектр цього оператора та розв’язано обернену спектральну задачу, що дає можливiсть за n + 1 спектром вiдновити збурення. Наведено характеристику спектральних даних оберненої задачi. Spectral analysis of a self-adjoint operator, which is a finite-dimensional perturbation of the second derivative operator on a finite segment, is realized. The spectrum of this operator is described, and the inverse spectral problem is solved allowing us to find the corresponding perturbation from the n + 1 spectrum. Spectral data of the inverse problem are described. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов Пряма та обернена задачi для скiнченновимiрних збурень операторiв Direct and inverse problems for finite-dimensional perturbations of operators Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов |
| spellingShingle |
Прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов Золотарев, В.А. Математика |
| title_short |
Прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов |
| title_full |
Прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов |
| title_fullStr |
Прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов |
| title_full_unstemmed |
Прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов |
| title_sort |
прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов |
| author |
Золотарев, В.А. |
| author_facet |
Золотарев, В.А. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Пряма та обернена задачi для скiнченновимiрних збурень операторiв Direct and inverse problems for finite-dimensional perturbations of operators |
| description |
Проведен спектральный анализ самосопряженного оператора, который является конечномерным возмущением оператора второй производной на конечном отрезке. Описан
спектр этого оператора и решена обратная спектральная задача, позволяющая по n+1
спектру восстановить возмущение. Приведена характеристика спектральных данных обратной задачи.
Проведено спектральний аналiз самоспряженого оператора, який є скiнченновимiрним збуренням оператора другої похiдної на обмеженому вiдрiзку. Описано спектр цього оператора
та розв’язано обернену спектральну задачу, що дає можливiсть за n + 1 спектром вiдновити збурення. Наведено характеристику спектральних даних оберненої задачi.
Spectral analysis of a self-adjoint operator, which is a finite-dimensional perturbation of the second
derivative operator on a finite segment, is realized. The spectrum of this operator is described, and
the inverse spectral problem is solved allowing us to find the corresponding perturbation from the
n + 1 spectrum. Spectral data of the inverse problem are described.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95696 |
| citation_txt |
Прямая и обратная задачи для конечномерных возмущений операторов / В.А. Золотарев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 7-12. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zolotarevva prâmaâiobratnaâzadačidlâkonečnomernyhvozmuŝeniioperatorov AT zolotarevva prâmataobernenazadačidlâskinčennovimirnihzburenʹoperatoriv AT zolotarevva directandinverseproblemsforfinitedimensionalperturbationsofoperators |
| first_indexed |
2025-11-25T04:10:35Z |
| last_indexed |
2025-11-25T04:10:35Z |
| _version_ |
1850505932603129856 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2015
МАТЕМАТИКА
УДК 517.927
В.А. Золотарев
Прямая и обратная задачи для конечномерных
возмущений операторов
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Проведен спектральный анализ самосопряженного оператора, который является конеч-
номерным возмущением оператора второй производной на конечном отрезке. Описан
спектр этого оператора и решена обратная спектральная задача, позволяющая по n+1
спектру восстановить возмущение. Приведена характеристика спектральных данных
обратной задачи.
В работе изучаются прямая и обратная задачи для оператора −d2/dx2 +K, где K — про-
извольный конечномерный самосопряженный оператор.
1. Характеристическая функция. Пусть L0 — самосопряженный оператор в L2
(0,l),
0 < l < ∞,
(L0y)(x) = −y′′(x), (1)
где y(x) ∈ W 2
2 (0, l) и y(0) = y(l) = 0. Рассмотрим самосопряженный оператор L, являю-
щийся конечномерным возмущением L0 (1),
Ly = L0y +
n∑
k=1
αk〈y, vk〉vk = −y′′(x) +
l∫
0
y(t)
n∑
k=1
αkvk(t)vk(x) dt, (2)
область определения которого совпадает с областью определения L0 (1), где αk ∈ R, αk 6= 0,
1 6 k 6 n; {vk(x)}n1 — набор комплекснозначных линейно независимых функций из L2
(0,l);
n ∈ N.
Решение уравнения Lu = zu, где z = λ2, для которого справедливо краевое условие
u(0, λ) = 0, удовлетворяет интегральному уравнению
u(x, λ) = a(λ)
sin λx
λ
+
x∫
0
sinλ(x− t)
λ
l∫
0
u(ξ, λ)
∑
k
αkvk(ξ)vk(t) dξdt, (3)
© В. А. Золотарев, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 7
где a(λ) — некоторая функция от λ. Умножив (3) на vk(x) и проинтегрировав от 0 до l,
получим систему уравнений
bk(λ)−
n∑
s=1
αsbs(λ)ϕs,k(λ) = a(λ)
ṽ∗k(λ)− ṽ∗k(−λ)
2iλ
, 1 6 k 6 n, (4)
для функций a(λ) и {bk(λ)}n1 , где
bk(λ)
def
=
l∫
0
u(x, λ)vk(x) dx, 1 6 k 6 n, (5)
а
ṽk(λ)
def
=
l∫
0
e−iλxvk(x)dx; ṽ∗k(λ) = vk(λ), 1 6 k 6 n. (6)
Функции ϕs,k(λ) равны
ϕs,k(λ) =
l∫
0
vs(t)
x∫
0
sinλ(x−t)
λ
vk(x) dxdt =
1
2iλ
(φ∗s,k(λ)− φ∗s,k(−λ)), 1 6 s, k 6 n, (7)
где
φs,k(λ)
def
=
l∫
0
eiλtvs(t)
l∫
t
e−iλxvk(x) dxdt, 1 6 k, s 6 n. (8)
Интегрируя по частям (8), получаем
φs,k(λ) + φ∗k,s(λ) = ṽk(λ)ṽ
∗
s (λ), 1 6 s, k 6 n. (9)
Соотношения (4) и краевое условие u(l, λ) = 0 для u(x, λ) (3) дают систему линейных
уравнений для a(λ) и {bk(λ)}n1 :
a(λ)
sin λl
λ
+
∑
k
αkbk(λ)
1
2iλ
{eiλlṽk(λ)− e−iλlṽk(−λ)} = 0;
a(λ)
1
2iλ
(ṽ∗k(λ)− ṽ∗k(−λ)) +
∑
s
αsbs(λ)ϕs,k(λ)− bk(λ) = 0, 1 6 k 6 n.
(10)
Система уравнений (10) имеет нетривиальное решение (a(λ), {bk(λ)}n1 ) в том и только в том
случае, когда ее определитель ∆(λ) равен нулю. Зададим функции
ψs,k(λ) = ṽs(λ)ṽ
∗
k(−λ)− φ∗s,k(−λ)− φk,s(λ)− δs,k
2iλ
αk
, 1 6 s, k 6 n, (11)
при этом очевидно, что ψ∗
s,k(λ) = ψk,s(−λ), 1 6 s, k 6 n (δs,k — символ Кронекера).
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
Лемма 1. При всех λ ∈ C для функций ψs,k(λ) (11) справедливы равенства
ψs,k(λ) + ψs,k(−λ) = −ωs(λ)ω∗
k(λ), 1 6 s, k 6 n, (12)
где
ωk(λ) = ṽk(−λ)− ṽk(λ), 1 6 k 6 n. (13)
После несложных преобразований получим
∆(λ) =
α1 · · ·αn
(2iλ)n+1
{eiλl detA(λ) + (−1)n−1e−iλl detA(−λ)}, (14)
где матрица A(λ) имеет вид
A(λ)
def
=
ψ1,1(λ) . . . ψ1,n(λ)
. . . . . . . . .
ψn,1(λ) . . . ψn,n(λ)
. (15)
Теорема 1. Определитель ∆(λ) системы уравнений (10) имеет вид (14), где матрица
A(λ) выражается через функции ψs,k(λ) (11) формулой (15), при этом
∆(λ) = ∆(−λ), ∆∗(λ) = ∆(λ), ∀λ ∈ C.
Функцию ∆(λ) будем называть характеристической функцией оператора L (2), так как
если λ является нулем ∆(λ), то z = λ2 есть собственное значение оператора L.
2. Резольвента оператора L. Обозначим через R0(z) = (L0 − zI)−1 резольвенту опе-
ратора L0 (1) и пусть
F (z, f)
def
= [F1(z, f), . . . , Fn(z, f)]; B(z)
def
= [Bs,k(z)]
n
1 ; α
def
= diag[αk], (16)
где
Bs,k(z) = 〈R0(z)vs, vk〉; Fk(z, f) = 〈R0(z)f, vk〉 (17)
1 6 s, k 6 n. Тогда справедливо следующие утверждение.
Теорема 2. Резольвента R(z) = (L − zI)−1 оператора L (2) равна
R(z)f = R0(z)f − F (z, f)(I + αB(z))−1αV T (z), (18)
где F (z, f) и B(z), α имеют вид (16), при этом
V (z)
def
= [R0(z)v1, . . . , R0(z)vn], (19)
а R0(z) = (L0 − zI)−1 — резольвента оператора L0 (1).
Используя известное [1, 2] представление резольвенты R0(λ
2), после несложных пре-
образований приходим к следующему утверждению.
Теорема 3. Для характеристической функции ∆(λ) справедливо представление
∆(λ) = (−1)n
sinλl
λ
det(I + αB(λ2)), (20)
где матрицы α и B(z) имеют вид (16).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 9
Чтобы дать описание спектра оператора L (2), сформулируем общие утверждения без
относительной реализации L0 (1) и L (2).
Определение 1. Самосопряженный оператор A, заданный в гильбертовом пространс-
тве H, будем относить к классу DSm,d, где m ∈ N, а 0 < d < ∞, если:
1) спектр σ(A) = {λk : k ∈ N} оператора A состоит из не более чем счетного мно-
жества изолированных точек, занумерованных в порядке возрастания. Соответствующие
подпространства, отвечающие λk, одномерны, за исключением конечного числа λk, которым
отвечают конечномерные подпространства размерности nk 6 m (∀k ∈ N);
2) справедливо соотношение
d = inf
k 6=s
|λk − λs|.
Рассмотрим оператор B:
Bh
def
= Ah+ α〈h, v〉v, α ∈ R. (21)
Теорема 4. Пусть A ∈ DSm,d, тогда оператор B (21) принадлежит классу DSm+1,d1,
0 < d1 6 d.
Отсюда вытекает следующее утверждение.
Следствие 1. Оператор L (2) имеет простой дискретный спектр, кроме, быть
может, конечного числа точек, которым отвечают конечномерные собственные под-
пространства размерности не выше n + 1.
Зададим функцию
d(z) = det(1 + αB(z)). (22)
Учитывая вид B(z) (16), нетрудно установить, что
d(z) = 1 +
∑ cp
zp − z
, (23)
где zk — точки спектра L0 (1), а числа cp вещественны и сходится ряд
∑
p
|cp| <∞. (24)
Из теоремы 3 следует такое утверждение.
Теорема 5. Характеристическая функция ∆(λ) допускает представление
∆(λ) = (−1)n
sinλl
λ
(
1 +
∑
p
cp
zp − λ2
)
(25)
и является целой функцией экспоненциального типа.
3. Мультипликативное разложение d(z). Зададим операторы Lk,
Lkf
def
= L0f +
k∑
s=1
αs〈f, vs〉vs, 0 6 k 6 n, (26)
где L0 имеет вид (1).
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
Теорема 6. Для функции d(z) (22) справедливо мультипликативное разложение
d(z) = d1(z) · · · dn(z), (27)
где
dk(z)
def
= 1 + αk〈Rk−1(z)vk, vk〉, 1 6 k 6 n, (28)
при этом Rk(z) = (Lk − zI)−1 — резольвента оператора Lk (26).
Из (27) следует, что точки спектра оператора L (2) обладают частичной перемежаемос-
тью (n − 1)-го порядка.
Пусть заданы два множества A и B, элементы которых имеют конечную кратность
(число повторов). Операцией +-объединение,
C = A
⊎
B,
мы будем называть такое объединение множеств A и B, в котором элементы a ∈ A
⋂
B будут
повторяться в C суммарное число раз, которое равно сумме кратностей a ∈ A и a ∈ B.
Пусть даны два множества
A = {ak ∈ R : k ∈ N}, B = {bk ∈ R : k ∈ N} (29)
такие, что каждый элемент ak ∈ A (bk ∈ B) имеет конечную кратность mk(a) (mk(b))
иmk(a) 6 m(A) <∞ (mk(b) 6 m(B) <∞) для всех k ∈ N. Будем говорить, что множества A
и B частично перемежаются, если существуют такие разбиения
A = A0
⋃
A1 (A0
⋂
A1 = ∅), B = B0
⋃
B1 (B0
⋂
B1 = ∅),
что подмножества A1 и B1 перемежаются, причем B = A0
⊎
B1 и количество элементов из
A0
⋂
B1 не более чем конечно.
Определение 2. Будем говорить, что эти последовательности обладают свойством час-
тичной перемежаемости n-го порядка, если существуют такие n + 2 последовательности
Cp = {µk(p) ∈ R : k ∈ N}, 0 6 p 6 n + 1, что:
a) µk(0) = ak, ∀k ∈ N; µk(n + 1) = bk, ∀k ∈ N, с учетом кратностей;
b) для каждого p, 0 6 p 6 n, соседние последовательности Cp и Cp+1 частично пере-
межаются.
Теорема 7. Точки спектра σ(Ln) = {µk(n) : k ∈ N} оператора Ln (= L (2)) и точки
спектра σ(L0) = {zk : k ∈ N} оператора L0 (1) обладают свойством частичной переме-
жаемости (n − 1)-го порядка.
Для каждого p, 0 6 p 6 n, точки спектра σ(Lp) = {µk(p) : k ∈ N} оператора Lp (26),
которые являются нулями мероморфной функции dp(z) (28), частично перемежаются
с точками спектра σ(Lp+1) = {µk(p + 1): k ∈ N} оператора Lp+1, где µk(p + 1) — корни
функции dp+1(z).
4. Обратная задача. Из приведенных выше рассмотрений следует справедливость
следующего утверждения.
Теорема 8. Пусть известны n+1 последовательности: a) спектр σ(L0) = {zk : k ∈ N}
оператора L0; b) спектры σ(Lk) = {µp(k) : p ∈ N} операторов Lk (26), 1 6 k 6 n. Тогда
по σ(Lk), 0 6 k 6 n, однозначно определяются числа αk ∈ R, 1 6 k 6 n, и квадраты
модулей |vsk(s − 1)|2, 1 6 s 6 n коэффициентов Фурье {vsk(s − 1)}∞1 , 1 6 s 6 n, функций
vs(x), 1 6 s 6 n (‖vs(x)‖L2 = 1, 1 6 s 6 n), взятые в базисах собственных функций
операторов Ls−1, 1 6 s 6 n.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 11
1. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма–Лиувилля. – Москва: Наука, 1984. – 240 с.
2. Золотарев В.А. Обратная задача для оператора Штурма–Лиувилля с нелокальным потенциалом //
Доп. НАН України. – 2012. – № 8. – С. 7–12.
3. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. – Москва: Мир, 1973. – 557 с.
Поступило в редакцию 15.07.2014Физико-технический институт низких температур
им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков
Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
В.О. Золотарьов
Пряма та обернена задачi для скiнченновимiрних збурень операторiв
Проведено спектральний аналiз самоспряженого оператора, який є скiнченновимiрним збу-
ренням оператора другої похiдної на обмеженому вiдрiзку. Описано спектр цього оператора
та розв’язано обернену спектральну задачу, що дає можливiсть за n + 1 спектром вiдно-
вити збурення. Наведено характеристику спектральних даних оберненої задачi.
V.A. Zolotarev
Direct and inverse problems for finite-dimensional perturbations
of operators
Spectral analysis of a self-adjoint operator, which is a finite-dimensional perturbation of the second
derivative operator on a finite segment, is realized. The spectrum of this operator is described, and
the inverse spectral problem is solved allowing us to find the corresponding perturbation from the
n + 1 spectrum. Spectral data of the inverse problem are described.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
|