Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье
Определены точные порядки приближения индивидуальных функций R^d → C классическими методами суммирования интегралов Фурье: Гаусса–Вейерштрасса, Бохнера–Рисса и Марцинкевича–Рисса. Визначено точнi порядки наближення iндивiдуальних функцiй R^d → C класичними методами пiдсумовування iнтегралiв Фур’є: Г...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95697 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье / О.В. Котова, Р.М. Тригуб // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 13-19. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859621894634864640 |
|---|---|
| author | Котова, О.В. Тригуб, Р.М. |
| author_facet | Котова, О.В. Тригуб, Р.М. |
| citation_txt | Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье / О.В. Котова, Р.М. Тригуб // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 13-19. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Определены точные порядки приближения индивидуальных функций R^d → C классическими методами суммирования интегралов Фурье: Гаусса–Вейерштрасса, Бохнера–Рисса и Марцинкевича–Рисса.
Визначено точнi порядки наближення iндивiдуальних функцiй R^d → C класичними методами пiдсумовування iнтегралiв Фур’є: Гаусса–Вейєрштрасса, Бохнера–Рiсса та Марцинкевича–Рiсса.
The exact orders of approximation of individual functions R^d → C by the classical methods of
summability of Fourier integrals (Gauss–Weierstrass, Bochner–Riesz, Marcinkiewicz–Riesz) are
determined.
|
| first_indexed | 2025-11-29T04:46:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
О.В. Котова, Р.М. Тригуб
Аппроксимативные свойства методов суммирования
интегралов Фурье
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
Определены точные порядки приближения индивидуальных функций R
d → C класси-
ческими методами суммирования интегралов Фурье: Гаусса–Вейерштрасса, Бохнера–
Рисса и Марцинкевича–Рисса.
2π–периодические функции приближают на периоде T = [−π, π] тригонометрическими по-
линомами, которые являются обычно линейными средними рядов Фурье. В случае непе-
риодических функций на R С.Н. Бернштейн предложил вместо полиномов использовать
целые функции экспоненциального типа не выше σ (Ц.Ф.Э.Т. 6 σ) при σ → ∞.
Давно известны прямые и обратные теоремы для таких приближений и их применение
к теоремам вложения (см. [1] и, особенно, [2]). Периодические функции — это частный
случай.
Еще в начале 1960-x гг. Р.М. Тригуб нашел точные порядки приближения индивидуаль-
ных функций, а не классов, классическими методами суммирования рядов Фурье [3, 4]. При
этом, особенно в случае функций любого числа переменных [5] (см. также [6]), пришлось
ввести специальные модули гладкости и К-функционалы. В настоящее время такие резуль-
таты называют “strong converse inequality” (см. [7] и приведенный там список литературы).
В настоящей работе некоторые из теорем монографии [6] для периодических функций
обобщены на любые функции из Lp, p > 1, на евклидовом пространстве. Вместо рядов
Фурье — интегралы Фурье. Для определения точного порядка приближения имеются два
метода (см. [6, с. 362]). Первый из них основан на экстремальных свойствах полиномов
(Ц.Ф.Э.Т. 6 σ), а второй — на принципе сравнения мультипликаторов Фурье [4, 8].
Отметим еще, что иногда даже точные неравенства для класса функций можно полу-
чить предельным переходом из периодического случая (см. [6, 5.5.9–5.5.10]).
Преобразование Фурье функции g ∈ L1(R) равно для y ∈ R
ĝ(y) =
∞∫
−∞
g(x)e−ixydx.
Для мультипликаторов Фурье (см. [9]) важно определить принадлежность функции — мно-
жителя пространству
A(R) =
{
f : f(x) = ĝ(x), ‖f‖A = ‖g‖1 =
∞∫
−∞
∣∣g(x)
∣∣dx <∞
}
.
Свойства этой винеровской банаховой алгебры приведены в [10].
© О.В. Котова, Р.М. Тригуб, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 13
Через Wp,σ = Wp,σ(R)(W∞,σ = Bσ) обозначим множество Ц.Ф.Э.Т. 6 σ, сужение ко-
торых на R принадлежит Lp(R). По теореме Винера–Пэли преобразование Фурье функций
из W2,σ равно нулю почти всюду вне [−σ, σ] на R (см. [11]).
И наконец,
∆hf(x) = f(x)− f(x+ h), ∆̇hf(x) = f(x+ h)− f(x− h),
а модуль гладкости в Lp порядка r и шага h > 0
ωr(f, h)p = sup
0<δ6h
‖∆r
δf(·)‖p.
c(. . .) — положительная величина, зависящая только от аргументов, стоящих в скобках.
Теперь сформулируем полученные результаты.
Теорема 1. Пусть Gσ — линейный непрерывный оператор Lp(R) → Wp,σ(R), p > 1.
Для того чтобы при некотором r ∈ N для всех f ∈ Lp(R) и σ > 0 было
‖f −Gσ(f)‖p 6 c1(r)ωr
(
f ;
1
σ
)
p
,
необходимо и достаточно
sup
σ
‖Gσ‖Lp→Lp <∞, ‖g −Gσ(g)‖p 6 c2(r)
1
σr
‖g(r)‖p
для любой функции g ∈ Wp,σ(R).
Теорема 2. Пусть Gσ — линейный непрерывный оператор Lp(R) → Wp,σ(R), p > 1.
Для того чтобы при некотором r ∈ N для всех f ∈ Lp(R) и σ > 0 было
‖f −Gσ(f)‖p > c3(r)ωr
(
f ;
1
σ
)
p
,
необходимо, а если sup
σ
‖Gσ‖Lp→Lp < ∞, то и достаточно
‖g −Gσ(g)‖p > c4(r)
1
σr
‖g(r)‖p
для любой функции g ∈ Wp,σ(R).
Пример 1. При p ∈ [1, 2] положим
Sσ(f, x) =
1
2π
σ∫
−σ
f̂(y)eixydy,
а
Gσ(f) = Sσ(f) + µ∆r
α
σ
Sσ(f).
Тогда при α ∈ (0, π) и µ 6= 0 для всех g ∈ Wp,σ и σ > 0
‖g −Gσ(g)‖p ≍
1
σr
‖g(r)‖p
(двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими только от r, α и µ).
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
При p ∈ (1, 2], α ∈ (0, π) и µ 6= 0 для всех f ∈ Lp(R) и σ > 0
‖f −Gσ(f)‖p ≍ ωr
(
f ;
α
σ
)
p
,
а при p = 1 оценка приближения сверху и снизу не имеет место уже при µ = 1 и любом α
(см. также [6, 8.5.1]).
Теорема 3. Для того чтобы для данной функции f ∈ Lp(R) при некотором r ∈ N
и σ → ∞
Aσ(f)p = inf
g∈Wp,σ
‖f − g‖p ≍ ωr
(
f ;
1
σ
)
p
,
необходимо и достаточно, чтобы при h → +0
ωr(f, h)p = O(ωr+1(f, h)p).
Для периодических функций эта теорема доказана, по сути, в [12].
Рассмотрим теперь удобный для применения принципа сравнения линеаризованный мо-
дуль гладкости, введенный для периодических функций еще в [4] (см. также [6, с. 362]).
Для f ∈ Lp(R) и h > 0
ω̃r(f, h)p =
∥∥∥∥
1
h
h∫
0
∆r
δf(·) dδ
∥∥∥∥
p
(точная верхняя грань по δ ∈ (0, h] заменена интегральным средним).
Теорема 4. Для любого r ∈ N и p > 1 существует такое положительное число c(r),
что для любой функции f ∈ Lp(R) и h ∈ (0, 1]
c(r)ωr(f, h)p 6 ω̃r(f, h)p 6 ωr(f, h)p.
Переходим к приближению функций f : R → C линейными методами суммирования
интегралов Фурье.
Когда для любой функции f ∈ Lp(R), p > 1, при ε → +0
Φε(f ;x) =
1
2π
∞∫
−∞
f(x+ εt)ϕ̂(t) dt → f(x)?
Предполагаем здесь и далее, что ϕ(0) = 1, ϕ ∈ C
⋂
L1(R) и ϕ̂ ∈ L1(R). Тогда Φε ∈
∈ C0(R)
⋂
Lp(R), а если supp ϕ ⊂ [−1, 1], то Φε ∈ Wp, 1
ε
(R).
При f ∈ L1(R)
Φε(f ;x) =
1
2π
∞∫
−∞
ϕ(εt)f̂ (t)eixtdt.
Сравним аппроксимативные свойства разных методов суммирования.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 15
Теорема 5. Если после устранения особенностей по непрерывности
1− ϕ
1− ψ
− 1 ∈ A(R),
то при любом p > 1 для любой функции f ∈ Lp(R) при ε ∈ (0, 1]
‖f − Φε(f)‖p 6
(
1 +
∥∥∥∥
ψ − ϕ
1− ϕ
∥∥∥∥
A
)
‖f −Ψε(f)‖p.
Переходим к определению скорости сходимости через модули гладкости и K-функцио-
налы (иногда специальные).
Теорема 6 (ускорение сходимости). Пусть дополнительно suppϕ ⊂ [−1, 1].
Если для всех f ∈ Lp(R), p > 1, и ε ∈ (0, 1]
‖f − Φε(f)‖p 6 K1ωr(f ; ε)p,
то при любом m ∈ N для всех f ∈ Lp(R) и ε ∈ (0, 1]
‖f −Ψε(f)‖p 6 Km
1 ωrm(f ; ε)p,
где ψ = 1 − (1 − ϕ)m.
Пример 2 (стандартный пример для сравнения). Определим ϕ при четном и нечетном r,
соответственно:
ϕ(x) = (1− |x|r)+, ϕ(x) = (1− |x|r+1)+ + i(1 − |x|)+|x|r signx.
Тогда для любой функции f ∈ Lp(R) и ε ∈ (0, 1]
‖f − Φε(f)‖p ≍ ωr(f ; ε)p.
Определим теперь точный порядок приближения классическими методами суммирова-
ния Рисса–Марцинкевича, Гаусса–Вейерштрасса и Бохнера–Рисса.
Но сначала рассмотрим итегральный оператор Lp → Wp,σ.
Br,ε(f, x) = γ
∞∫
−∞
(f(x)−∆r
εtf(x))
sin
t
r + 2
t
r+2
dt, Br,ε(1, x) ≡ 1.
В [13] введены более общие средние, а общая оценка приближения средними Br,ε через ωr
доказана в [14] (см. также [1]).
Особенность Br,ε, как оказалось, в том, что ϕ = ϕε (зависит от ε) и ϕε(x) = 1 не
только при x = 0. Поэтому в [15] для определения точного порядка приближения введен
специальный модуль гладкости, так как ωr не подходит.
Положим при t 6= 2mπ (m ∈ Z \ {0})
∆h,tf(x) =
1∫
0
[
f(x)− it
eit − 1
f(x+ hu)
]
du.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
Теорема 7. Пусть r > 6, 2 6 s 6 r− 2 и s1 = 2[(s+ 1)/2] (целая часть), а {xk,ε}qk=1 —
все положительные корни уравнения ϕε(x)−1 = 0. Тогда существует δ(r) > 0 такое, что
при ε < δ(r) число q постоянное, q 6 s1 и для всех f ∈ Lp(R), p > 1,
‖f −Br,ε(f)‖p ≍ ‖∆s1
ε,0 ◦
q∏
k=1
∆ε,xk,ε ◦∆ε,−xk,εf(·)‖p
(двустороннее неравенство с положительными константами, не зависящими от f и ε).
При доказательстве теорем 4–7, как и следующих, используются принцип сравнения
и некоторые леммы из доказательства аналогичных теорем для периодических функций.
Хорошо известно, что принцип сравнения мультипликаторов применим и в случае функ-
ций d переменных (d > 2).
В пространстве R
d x = (x1, . . . , xd), (x, y) =
d∑
k=1
xkyk, |x| =
√
(x, x).
Рассмотрим следующие средние двойных интегралов Фурье (α > 0):
Mε,α(f) = Φε(f), ϕ(x1, x2) = (1−max{|x1|, |x2|})α+.
При α = 1 этот метод суммирования двойных рядов Фурье изучал Марцинкевич (это
средние арифметические квадратных частных сумм), а точный порядок приближения най-
ден О.И. Кузнецовой (см. [6, 8.5.13]).
Теорема 8. При любом α > 0 для любой f ∈ Lp(R
2), p > 1, ε ∈ (0, 1]
‖f −Mε,α(f)‖p ≍
∥∥∥∥∥
∞∫
1
1
u2
(∆̇2
ε(e◦1+e
◦
2)
+ ∆̇2
ε(e◦1−e
◦
2)
)f(·) du
∥∥∥∥∥
p
.
Здесь ∆̇hf(x) = f(x + h) − f(x − h), e◦1 и e◦2 — орты осей в R
2.
Теперь рассмотрим метод типа Гаусса–Вейерштрасса (d > 1, α > 0)
Gε,α(f) = Φε(f), ϕ(x) = e−|x|α .
Вопросы сходимости при α = 1 и α = 2 изучены в [9, гл. I].
Найдем точный порядок приближения.
Теорема 9. При любом α > 0 и натуральном r > (d + α − 1)/2 для любой функции
f ∈ Lp(R
d) и ε ∈ (0, 1]
‖f −Gε,α(f)‖p ≍
∥∥∥∥∥
∫
|u|>1
1
|u|r+α ∆̇
2r
ε
1
α ·u
f(·) du
∥∥∥∥∥
p
(двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими лишь от α
и r).
И наконец, рассмотрим в том же смысле метод Бохнера–Рисса (r ∈ N, δ > (d − 1)/2,
ε ∈ (0, 1])
Rε,r,δ(f) = Φε(f), ϕ(x) = (1− |x|2r)δ+.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 17
Теорема 10. 1. При p ∈ (1,+∞) для любой функции f ∈ Lp(R
d) и ε ∈ (0, 1]
‖f −Rε,r,δ(f)‖p ≍ sup
|u|61
‖∆̇2r
εuf(·)‖p.
2. Для любой функции f ∈ L1(R
d) или C(Rd) (∆ — оператор Лапласа)
‖f −Rε,r,δ(f)‖ ≍
∥∥∥∥∥
∫
|u|61
∆̇2r
εuf(·) du
∥∥∥∥∥ ≍ inf
g∈C2r
(‖f − g‖+ ε2r‖∆rg‖)
(двусторонние неравенства с положительными константами, не зависящими от ε и f).
1. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – Москва: Физматгиз,
1960. – 624 с.
2. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – Москва: Наука,
1977. – 456 с.
3. Тригуб Р.М. Конструктивные характеристики некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1965. – 29, № 3. – С. 615–630.
4. Тригуб Р.М. Линейные методы суммирования и абсолютная сходимость рядов Фурье // Там же. –
1968. – 32, № 1. – С. 24–49.
5. Тригуб Р.М. Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и приближение
полиномами функций на торе // Там же. – 1980. – 44, № 6. – С. 1378–1409.
6. Trigub R.M., Belinsky E. S. Fourier analysis and approximation of functions. – Dordrecht: Kluwer, 2004. –
585 p.
7. Draganov B.R. Exact estimates of the rate of approximation of convolution operators // J. Approxim.
Theory. – 2010. – 162. – P. 952–979.
8. Shapiro H. S. Some Tauberian theorem with applications to approximation theory // Bull. Amer. Math.
Soc. – 1968. – 74, No 3. – P. 500–504.
9. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – Москва: Мир,
1974. – 332 с.
10. Liflyand E., Samko S., Trigub R. The Wiener algebra of absolutely convergent Fourier integrals: an over-
view // Analysis and Math. Physics. – 2012. – 2, No 1. – P. 1–68.
11. Levin B.Ya. Lectures on entire functions // Transl. Math. Monogr. Vol. 150. – Providence, R. I.: Amer.
Math. Soc., 1996. – 248 p.
12. Rathore R.K. S. The problem of A.F. Timan on the precise order of decrease of the best approximation //
J. Approxim. Theory. – 1994. – 77. – P. 153–166.
13. Бернштейн С.Н. О свойствах однородных функциональных классов // Докл. АН СССР. – 1947. –
57, № 2. – С. 111–114.
14. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1951. – 15, № 3. – С. 219–242.
15. Тригуб Р.М. Точный порядок приближения периодических функций полиномами Бернштейна–Стеч-
кина // Матем. сб. – 2013. – 204, № 12. – С. 127–146.
Поступило в редакцию 16.09.2014Донбасская национальная академия
строительства и архитектуры, Макеевка
Донецкий национальный университет
Сумской государственный университет
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
О.В. Котова, Р. М. Тригуб
Апроксимативнi властивостi методiв пiдсумовування iнтегралiв
Фур’є
Визначено точнi порядки наближення iндивiдуальних функцiй R
d → C класичними мето-
дами пiдсумовування iнтегралiв Фур’є: Гаусса–Вейєрштрасса, Бохнера–Рiсса та Марцинке-
вича–Рiсса.
O.V. Kotova, R.M. Trigub
Approximate properties of methods of summability of Fourier integrals
The exact orders of approximation of individual functions R
d → C by the classical methods of
summability of Fourier integrals (Gauss–Weierstrass, Bochner–Riesz, Marcinkiewicz–Riesz) are
determined.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 19
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95697 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T04:46:28Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Котова, О.В. Тригуб, Р.М. 2016-03-02T14:22:04Z 2016-03-02T14:22:04Z 2015 Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье / О.В. Котова, Р.М. Тригуб // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 13-19. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95697 517.5 Определены точные порядки приближения индивидуальных функций R^d → C классическими методами суммирования интегралов Фурье: Гаусса–Вейерштрасса, Бохнера–Рисса и Марцинкевича–Рисса. Визначено точнi порядки наближення iндивiдуальних функцiй R^d → C класичними методами пiдсумовування iнтегралiв Фур’є: Гаусса–Вейєрштрасса, Бохнера–Рiсса та Марцинкевича–Рiсса. The exact orders of approximation of individual functions R^d → C by the classical methods of summability of Fourier integrals (Gauss–Weierstrass, Bochner–Riesz, Marcinkiewicz–Riesz) are determined. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье Апроксимативнi властивостi методiв пiдсумовування iнтегралiв Фур’є Approximate properties of methods of summability of Fourier integrals Article published earlier |
| spellingShingle | Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье Котова, О.В. Тригуб, Р.М. Математика |
| title | Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье |
| title_alt | Апроксимативнi властивостi методiв пiдсумовування iнтегралiв Фур’є Approximate properties of methods of summability of Fourier integrals |
| title_full | Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье |
| title_fullStr | Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье |
| title_full_unstemmed | Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье |
| title_short | Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье |
| title_sort | аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов фурье |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95697 |
| work_keys_str_mv | AT kotovaov approksimativnyesvoistvametodovsummirovaniâintegralovfurʹe AT trigubrm approksimativnyesvoistvametodovsummirovaniâintegralovfurʹe AT kotovaov aproksimativnivlastivostimetodivpidsumovuvannâintegralivfurê AT trigubrm aproksimativnivlastivostimetodivpidsumovuvannâintegralivfurê AT kotovaov approximatepropertiesofmethodsofsummabilityoffourierintegrals AT trigubrm approximatepropertiesofmethodsofsummabilityoffourierintegrals |