Про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп
Доведено, що клас локально скiнченних груп, якi мають скiнченну експоненту, є класом
 Бера. Також знайдено клас груп, для яких фактор-група G/L групи G за її локально
 нiльпотентним резидуалом L буде локально нiльпотентною. Отримано новi автоморфнi аналоги теореми Шура. Доказано, что...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95699 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп / Л.А. Курдаченко, Х. Отал, О.О. Пипка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 20-24. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860118778310819840 |
|---|---|
| author | Курдаченко, Л.А. Отал, Х. Пипка, О.О. |
| author_facet | Курдаченко, Л.А. Отал, Х. Пипка, О.О. |
| citation_txt | Про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп / Л.А. Курдаченко, Х. Отал, О.О. Пипка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 20-24. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доведено, що клас локально скiнченних груп, якi мають скiнченну експоненту, є класом
Бера. Також знайдено клас груп, для яких фактор-група G/L групи G за її локально
нiльпотентним резидуалом L буде локально нiльпотентною. Отримано новi автоморфнi аналоги теореми Шура.
Доказано, что класс локально конечных групп, которые имеют конечную экспоненту, является классом Бэра. Также найден класс групп, для которых фактор-группа G/L группы G
по ее локально нильпотентному резидуалу L будет локально нильпотентной. Получены
новые автоморфные аналоги теоремы Шура.
We prove that the class of locally finite groups having finite exponent is the Baer class. The class of
groups, for which the factor-group G/L of the group G on its locally nilpotent residual L is locally
nilpotent, is found. New automorphic analogs of the Schur theorem are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:38:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.544
Л.А. Курдаченко, Х. Отал, О. О. Пипка
Про деякi властивостi центральних та узагальнено
центральних рядiв груп
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. П. Моторним)
Доведено, що клас локально скiнченних груп, якi мають скiнченну експоненту, є класом
Бера. Також знайдено клас груп, для яких фактор-група G/L групи G за її локально
нiльпотентним резидуалом L буде локально нiльпотентною. Отримано новi автоморф-
нi аналоги теореми Шура.
Нехай G — група. Верхнiм центральним рядом групи G називається ряд
〈1〉 = ζ0(G) 6 ζ1(G) 6 ζ2(G) 6 · · · ζα(G) 6 ζα+1(G) 6 · · · ζγ(G),
де ζ1(G) = ζ(G) — центр групи G, ζα+1(G)/ζα(G) = ζ(G/ζα(G)), для кожного порядкового
числа α, а якщо λ — граничне порядкове число, то ζλ(G) =
⋃
µ<λ
ζµ(G). Останнiй член ряду
ζγ(G) = ζ∞(G) називається верхнiм гiперцентром групи G.
Нижнiм центральним рядом групи G називається ряд
G = γ1(G) > γ2(G) > · · · γα(G) > γα+1(G) > · · · γδ(G),
де γ2(G) = [G,G] — комутант групи G, γα+1(G) = [γα(G), G], для кожного порядкового
числа α, а якщо λ — граничне порядкове число, то γλ(G) =
⋂
µ<λ
γµ(G). Останнiй член ряду
γδ(G) = γ∞(G) називається нижнiм гiпоцентром групи G.
Питання про зв’язки мiж верхнiм та нижнiм центральними рядами досить непросте.
Наприклад, вiльна група, що має вiльний ранг не менше 2, має нескiнченний нижнiй цен-
тральний ряд, останнiм членом якого є одинична пiдгрупа. Але водночас вона має одинич-
ний центр, а тому її верхнiй центральний ряд складається лише з однiєї одиничної пiдгрупи.
З iншого боку, iснують групи (наприклад, чернiковськi p-групи зi скiнченним центром), якi
мають нескiнченний верхнiй центральний ряд, а їх нижнiй центральний ряд є скiнченним.
У випадках, коли верхнiй центральний ряд є скiнченним, ситуацiя бiльш визначена. Розгля-
немо це питання бiльш детально. Нагадаємо про такий вiдомий факт: якщо для групи G має
мiсце рiвнiсть G = ζk(G) для деякого натурального числа k, то γk+1(G) = 〈1〉. Р. Бер у ро-
ботi [1] отримав узагальнення цього результату, довiвши, що якщо фактор-група G/ζk(G)
скiнченна, то γk+1(G) також скiнченна. З цього результату природно постає таке загаль-
не питання: для яких класiв груп X з умови G/ζk(G) ∈ X завжди випливає включення
γk+1(G) ∈ X? Клас груп, який задовольняє цю умову, називається класом Бера [2]. Наслiд-
ком результату Р. Бера є теорема: якщо центр ζ(G) групи G має скiнченний iндекс, то її
комутант [G,G] буде скiнченним. Цей результат також наведений в статтi [1]. Але пiзнiше
Ф. Холл назвав його теоремою Шура [3]. Пiсля Ф. Холла ця назва закрiпилася за даним
результатом. I. Шур дiйсно був першим, хто почав вивчати зв’язок мiж властивостями
© Л.А. Курдаченко, Х. Отал, О.О. Пипка, 2015
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
фактор-групи G/ζ(G) та комутанта [G,G] [4]. Але I. Шур мав справу тiльки зi скiнченни-
ми групами. Теорема Шура стала джерелом для багатьох подальших цiкавих дослiджень
зв’язкiв мiж властивостями G/ζ(G) та [G,G]. Вона та її численнi узагальнення природно
приводять до питання: для яких класiв груп X умова G/ζ(G) ∈ X завжди тягне за собою
включення [G,G] ∈ X? Клас груп, який задовольняє таку умову, називається класом Шу-
ра [5]. З теореми Шура випливає, що клас скiнченних груп є класом Шура. Зараз знайдено
багато iнших класiв Шура, серед яких клас локально скiнченних π-груп (π — довiльна
множина простих чисел), клас чернiковських груп та iн.
Очевидно, що кожен клас Бера є також одночасно i класом Шура. Тому досить природно
постає iнше питання: якi класи Шура є класами Бера? Нещодавно А. Манн [6] довiв, що клас
локально скiнченних груп, якi мають скiнченну експоненту, є класом Шура. Бiльш того, вiн
довiв, що якщо фактор-група G/ζ(G) має скiнченну експоненту e, то iснує функцiя m(e),
для якої exp([G,G]) 6 m(e). Питання про те, чи буде клас таких груп класом Бера, до цього
залишалося вiдкритим. Нижченаведена теорема дає позитивну вiдповiдь на це питання.
Теорема 1. Нехай G — група. Припустимо, що фактор-група G/ζk(G) є локально скiн-
ченною групою, яка має скiнченну експоненту e. Тодi γk+1(G) також локально скiнченна
i має скiнченну експоненту. Бiльш того, iснує функцiя β1(e, k), для якої виконується не-
рiвнiсть exp(γk+1(G)) 6 β1(e, k).
Для груп, якi були розглянутi в попереднiй теоремi, було дослiджено також iнше питан-
ня. Нагадаємо, що локально нiльпотентним резидуалом L групи G називається перетин
всiх нормальних пiдгруп H, для яких фактор-група G/H локально нiльпотентна. У загаль-
ному випадку фактор-група G/L вже не обов’язково буде локально нiльпотентною. Тому
питання про пошук груп, для яких фактор-група G/L буде гарантовано локально нiльпо-
тентною, є актуальним. Подана нижче теорема показує нам клас груп, якi мають вказану
властивiсть.
Теорема 2. Нехай G — група. Припустимо, що фактор-група G/ζk(G) є локально
скiнченною групою, яка має скiнченну експоненту e. Тодi локально нiльпотентний ре-
зидуал L групи G також є локально скiнченною групою, яка має скiнченну експоненту,
а фактор-група G/L локально нiльпотентна. Бiльш того, iснує функцiя β2(e), для якої
виконується нерiвнiсть exp(L) 6 β2(e).
Слiд вiдзначити, що експонента локально нiльпотентного резидуалу залежить лише вiд
експоненти фактор-групи G/ζk(G) i не залежить вiд k.
Iснують рiзноманiтнi пiдходи щодо узагальнень та аналогiв теореми Шура. I серед них
виник пiдхiд, який пов’язаний з узагальненнями центра, верхнiх та нижнiх центральних
рядiв. Природнi їх узагальнення пов’язанi з групами автоморфiзмiв. Нехай G — група.
Припустимо, що A — довiльна пiдгрупа групи автоморфiзмiв Aut(G). Покладемо
CG(A) = {g ∈ G | α(g) = g, ∀α ∈ A},
[G,A] = 〈g−1α(g) | g ∈ G, α ∈ A〉.
Пiдгрупу CG(A) будемо називати A-центром групи G, а [G,A] — A-комутаторною
пiдгрупою групи G. Вiдзначимо, що якщо A = Aut(G), то CG(A) називається абсолютним
центром групи G, а [G,A] — автокомутаторною пiдгрупою групи G.
П. Хегартi довiв [7], що якщо фактор-група G/CG(Aut(G)) скiнченна, то взаємний кому-
тант [G,Aut(G)] також скiнченний. Проте скiнченнiсть фактор-групи G/CG(Aut(G)) є до-
сить сильною умовою. Зокрема, звiдси випливає, що група автоморфiзмiв Aut(G) є скiнчен-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 21
ною. Нескiнченнi групи зi скiнченною групою автоморфiзмiв вивчались багатьма дослiдни-
ками протягом довгого перiоду часу. В роботi [8] було розглянуто бiльш загальну ситуацiю:
Inn(G) 6 A, A/ Inn(G) — скiнченна група. Для цього випадку були отриманi автоморфнi
аналоги теорем Шура, Бера та Холла.
Слiд зауважити, що для довiльної групи автоморфiзмiв аналог теореми Шура може
i не виконуватись. Нижченаведений приклад iлюструє це. Нехай p — просте число i нехай
G = 〈a〉 × K, де |a| = p, K = Drn∈N〈bn〉 — нескiнченна елементарна абелева p-пiдгрупа.
Тодi група G має автоморфiзм αj , який дiє таким чином: αj(a) = abj, αj(x) = x, для всiх
x ∈ K. Неважко перевiрити, що кожен автоморфiзм αj має порядок p, а пiдгрупа A групи
автоморфiзмiв Aut(G), яка породжена {αj , j ∈ N}, є елементарною абелевою p-групою.
Крiм того, CG(A) = K = [G,A], а тому фактор-група G/CG(A) скiнченна, але пiдгрупа
[G,A] нескiнченна.
Таким чином, цiлком природним є питання: для яких груп автоморфiзмiв автоморф-
ний аналог теореми Шура має мiсце? У попередньому прикладi група автоморфiзмiв A
є нескiнченною елементарною абелевою групою. А тому вона має нескiнченний спецiаль-
ний ранг. У зв’язку з цим природно розглянути випадок, коли група автоморфiзмiв A має
скiнченний спецiальний ранг.
Нагадаємо, що група G має скiнченний спецiальний ранг r(G) = r, якщо кожна скiн-
ченно породжена пiдгрупа групи G може бути породжена r елементами i r — найменше
натуральне число з такою властивiстю.
Поняття спецiального рангу та сам термiн був введений A. I. Мальцевим [9].
Нижчеподаний результат є одним з автоморфних аналогiв теореми Шура.
Теорема 3. Нехай G — група i нехай A — пiдгрупа групи автоморфiзмiв Aut(G). Бiльш
того, нехай Inn(G) 6 A та |G/CG(A)| = t. Якщо A/ Inn(G) має скiнченний спецiальний
ранг r, то пiдгрупа [G,A] скiнченна. Бiльш того, iснує функцiя β3(t, r), для якої |[G,A]| 6
6 β3(t, r).
Якщо Inn(G) 6 A, то CG(A) 6 ζ(G), звiдки отримуємо, що група Inn(G) ∼= G/ζ(G) скiн-
ченна. Таким чином, зi скiнченностi спецiального рангу фактор-групи A/ Inn(G) випливає
скiнченнiсть спецiального рангу пiдгрупи A.
Твердження теореми 3 можна сформулювати в бiльш загальнiй формi.
Нехай p — просте число. Будемо говорити, що група G має скiнченний секцiйний p-ранг
rp(G) = r, якщо кожна елементарна абелева p-секцiя групи G скiнченна i має порядок не
бiльше нiж pr, а також iснує елементарна абелева p-секцiя A/B групи G, для якої |A/B| =
= pr.
Вiдзначимо, що якщо група G має скiнченний спецiальний ранг r, то G має скiнченний
секцiйний p-ранг для всiх простих чисел p. Обернене твердження в загальному випадку не
має мiсця.
Теорема 4. Нехай G — група i нехай A — пiдгрупа групи автоморфiзмiв Aut(G). Бiльш
того, нехай Inn(G) 6 A та |G/CG(A)| = t. Якщо для кожного p ∈ Π(G/CG(A)) фактор-гру-
па A/ Inn(G) має скiнченний секцiйний p-ранг, то пiдгрупа [G,A] скiнченна. Бiльш того,
|[G,A]| 6 β3(t, r), де r = max{rp(A)|p ∈ Π(G/CG(A))}.
Я.Д. Половицький у роботi [10] отримав таке узагальнення теореми Шура: якщо цент-
ральна фактор-група G/ζ(G) групи G чернiковська, то комутант групи G також є чер-
нiковською групою. Нагадаємо, що група G називається чернiковською, якщо вона мiстить
нормальну абелеву пiдгрупу Div(G) = Q1 × · · · × Qm (Qj — квазiциклiчнi пiдгрупи), для
якої фактор-група G/Div(G) скiнченна. Пiдгрупа Div(G) називається подiльною частиною
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
групи G. Число m, яке є iнварiантом групи G, називається мiнiмаксним рангом групи G,
i позначається mm(G). Iншою характеристикою чернiковскої групи G є множина Π(Div(G)).
Ми будемо використовувати для цiєї множини спецiальний символ Sp(G). Iншим числовим
iнварiантом чернiковської групи G є порядок o(G) = |G/Div(G)|.
Автоморфним аналогом теореми Половицького є така теорема.
Теорема 5. Нехай G — група i нехай A — пiдгрупа групи автоморфiзмiв Aut(G), H =
= G/CG(A). Припустимо, що виконуються такi умови:
(i) Inn(G) 6 A;
(ii) H — чернiковська група;
(iii) якщо H не є подiльною, то ранг rq(A) скiнченний для кожного простого дiльника
числа o(H);
(iv) якщо H подiльна, то iснує просте число q, для якого ранг rq(A) скiнченний.
Тодi пiдгрупа [G,A] чернiковська. Бiльш того, Sp([G,A]) ⊆ Sp(H), mm([G,A]) 6
6 β4(mm(H), r, p), o([G,A]) 6 β5(o(H), r), для деяких функцiй β4 та β5, де p — найбiльше
просте число з множини Sp(H), r = max{rp(A) | p — дiльник o(H)} або r = rq(A), кож-
ного разу, коли H подiльна.
1. Baer R. Endlichkeitskriterien fur Kommutatorgruppen // Math. Ann. – 1952. – 124. – P. 161–177.
2. Kurdachenko L.A., Otal J., Pypka A.A. Relationships between the factors of the upper and the lower
central series of a group // Bull. Malaysian Math. Sci. Soc. – 2015, to appear.
3. Hall P. Nilpotent groups. – London: Queen Mary College, 1969. – 76 p.
4. Schur I. Über die Darstellungen der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare substitutionen // J. Reine
Angew. Math. – 1904. – 127. – P. 20–50.
5. Franciosi S., de Giovanni F., Kurdachenko L.A. The Schur property and groups with uniform conjugate
classes // J. Algebra. – 1995. – 174. – P. 823–847.
6. Mann A. The exponents of central factor and commutator groups // J. Group Theory. – 2007. – 10. –
P. 435–436.
7. Hegarty P. The absolute centre of a group // Proc. J. Algebra. – 1994. – 169. – P. 929–935.
8. Dixon M.R., Kurdachenko L.A., Pypka A.A. On some variant of theorems of Schur and Baer // Milan. J.
Math. – 2014. – 82, No. 2. – P. 233–241.
9. Мальцев А.И. О группах конечного ранга // Мат. сб. – 1948. – 22. – C. 351–352.
10. Половицкий Я.Д. Группы с экстремальными классами сопряженных элементов // Сиб. мат. журн. –
1964. – 5. – C. 891–895.
Надiйшло до редакцiї 24.03.2014Днiпропетровський нацiональний унiверситет
iм. Олеся Гончара
Л.А. Курдаченко, X. Отал, А. А. Пыпка
О некоторых свойствах центральных и обобщенно центральных
рядов групп
Доказано, что класс локально конечных групп, которые имеют конечную экспоненту, яв-
ляется классом Бэра. Также найден класс групп, для которых фактор-группа G/L группы G
по ее локально нильпотентному резидуалу L будет локально нильпотентной. Получены
новые автоморфные аналоги теоремы Шура.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 23
L.A. Kurdachenko, J. Otal, A.A. Pypka
On some properties of the central and generalized central series of
groups
We prove that the class of locally finite groups having finite exponent is the Baer class. The class of
groups, for which the factor-group G/L of the group G on its locally nilpotent residual L is locally
nilpotent, is found. New automorphic analogs of the Schur theorem are obtained.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95699 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:38:31Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Курдаченко, Л.А. Отал, Х. Пипка, О.О. 2016-03-02T14:22:31Z 2016-03-02T14:22:31Z 2015 Про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп / Л.А. Курдаченко, Х. Отал, О.О. Пипка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 20-24. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95699 512.544 Доведено, що клас локально скiнченних груп, якi мають скiнченну експоненту, є класом
 Бера. Також знайдено клас груп, для яких фактор-група G/L групи G за її локально
 нiльпотентним резидуалом L буде локально нiльпотентною. Отримано новi автоморфнi аналоги теореми Шура. Доказано, что класс локально конечных групп, которые имеют конечную экспоненту, является классом Бэра. Также найден класс групп, для которых фактор-группа G/L группы G
 по ее локально нильпотентному резидуалу L будет локально нильпотентной. Получены
 новые автоморфные аналоги теоремы Шура. We prove that the class of locally finite groups having finite exponent is the Baer class. The class of
 groups, for which the factor-group G/L of the group G on its locally nilpotent residual L is locally
 nilpotent, is found. New automorphic analogs of the Schur theorem are obtained. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп О некоторых свойствах центральных и обобщенно центральных рядов групп On some properties of the central and generalized central series of groups Article published earlier |
| spellingShingle | Про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп Курдаченко, Л.А. Отал, Х. Пипка, О.О. Математика |
| title | Про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп |
| title_alt | О некоторых свойствах центральных и обобщенно центральных рядов групп On some properties of the central and generalized central series of groups |
| title_full | Про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп |
| title_fullStr | Про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп |
| title_full_unstemmed | Про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп |
| title_short | Про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп |
| title_sort | про деякi властивостi центральних та узагальнено центральних рядiв груп |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95699 |
| work_keys_str_mv | AT kurdačenkola prodeâkivlastivosticentralʹnihtauzagalʹnenocentralʹnihrâdivgrup AT otalh prodeâkivlastivosticentralʹnihtauzagalʹnenocentralʹnihrâdivgrup AT pipkaoo prodeâkivlastivosticentralʹnihtauzagalʹnenocentralʹnihrâdivgrup AT kurdačenkola onekotoryhsvoistvahcentralʹnyhiobobŝennocentralʹnyhrâdovgrupp AT otalh onekotoryhsvoistvahcentralʹnyhiobobŝennocentralʹnyhrâdovgrupp AT pipkaoo onekotoryhsvoistvahcentralʹnyhiobobŝennocentralʹnyhrâdovgrupp AT kurdačenkola onsomepropertiesofthecentralandgeneralizedcentralseriesofgroups AT otalh onsomepropertiesofthecentralandgeneralizedcentralseriesofgroups AT pipkaoo onsomepropertiesofthecentralandgeneralizedcentralseriesofgroups |