Об одном классе систем уравнений типа Лакса
Исследована нелинейная система уравнений типа Лакса, которая лежит в основе построения треугольных моделей для коммутативных систем линейных несамосопряженных ограниченных операторов. Описаны некоторые ее решения при n = 3, 4. Приводятся примеры представления общего решения в терминах специальных фу...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95700 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном классе систем уравнений типа Лакса / А.А. Лунев, Е.В. Олейник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 25-30. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859619974221398016 |
|---|---|
| author | Лунев, А.А. Олейник, Е.В. |
| author_facet | Лунев, А.А. Олейник, Е.В. |
| citation_txt | Об одном классе систем уравнений типа Лакса / А.А. Лунев, Е.В. Олейник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 25-30. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Исследована нелинейная система уравнений типа Лакса, которая лежит в основе построения треугольных моделей для коммутативных систем линейных несамосопряженных ограниченных операторов. Описаны некоторые ее решения при n = 3, 4. Приводятся примеры представления общего решения в терминах специальных функций (эллиптических).
Дослiджено нелiнiйну систему рiвнянь типу Лакса, яка знаходиться в основi побудови трикутних моделей для комутативних систем лiнiйних несамоспряжених обмежених операторiв. Описано деякi її розв’язки при n = 3, 4. Наведено приклади подання загального
розв’язку в термiнах спецiальних функцiй (елiптичних).
The non-linear system of equations of the Lax type is investigated. It is a basis of the triangular
models for commutative systems of linear non-self-adjoint operators. In some cases, the complete
description of solutions of this system is found.
|
| first_indexed | 2025-11-29T03:18:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.912
А.А. Лунев, Е.В. Олейник
Об одном классе систем уравнений типа Лакса
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Исследована нелинейная система уравнений типа Лакса, которая лежит в основе по-
строения треугольных моделей для коммутативных систем линейных несамосопря-
женных ограниченных операторов. Описаны некоторые ее решения при n = 3, 4. Приво-
дятся примеры представления общего решения в терминах специальных функций (эл-
липтических).
В работе изучаются все пары матриц-функций {a(x), γ(x)} — n×n решений системы урав-
нений типа Лакса в случае n = 4 вида
[a(x), γ(x)] = 0, x ∈ [0, l],
γ′(x) = i[a(x), σ2], x ∈ [0, l],
γ(0) = γ+,
(1)
где a(x) — спектральная матричная мера, σ2, γ+ — самосопряженные n× n матрицы, и
a(x) > 0, tr a(x) ≡ 1, x ∈ [0, l]. (2)
Система (1) возникает в результате продолжения условия сплетаемости [1] для харак-
теристической функции коммутативных систем линейных несамосопряженных операторов
вдоль общей цепочки инвариантных подпространств, на котором основано построение тре-
угольных моделей для коммутативных систем операторов.
Описание решений системы (1).
Предложение 1. Пусть
σ2 = diag(b1, . . . , bn), γ+ = α1σ2 + α0I + iC, (3)
где α1, α0 ∈ R, матрица C = (cjk)
n
j,k=1 = −C∗ и cjj = 0, при j ∈ {1, . . . , n}. Пусть далее κ0,
κ1, κ2 ∈ L1[0, l] — вещественные функции. Тогда пара {a(·), γ(·)}, где a(x) = κ2(x)γ(x)
2 +
+ κ1(x)γ(x) + κ0(x), x ∈ [0, l], и γ(·) = (γjk(·))nj,k=1, является решением системы (1) тогда
и только тогда, когда при x ∈ [0, l] выполнены равенства
γjj(x) = γ+jj, j ∈ {1, . . . , n}, (4)
γjk(x) = iei(bj−bk)(K1(x)+(γ+jj+γ
+
kk)K2(x))yjk(x), j 6= k, (5)
где
Kj(x) :=
x∫
0
κj(t) dt, j ∈ {1, 2}, (6)
© А.А. Лунев, Е.В. Олейник, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 25
а функции yjk(·), j 6= k, удовлетворяют системе
y′jk(x) = (bk − bj)κ2(x)
n∑
s=1,s6=j,k
yjs(x)ysk(x), x ∈ [0, l], j 6= k,
ykj(x) = −yjk(x), x ∈ [0, l], j 6= k,
yjk(0) = cjk, j 6= k.
(7)
При этом если cjk ∈ R, j 6= k, то любое решение системы (7) является вещественным.
Теорема 1. Пусть n = 3, σ2 = diag(b1, b2, b3), где b1, b2, b3 — различные действитель-
ные числа, и γ+ = (γ+jk)
3
j,k=1, причем
γ+jk = icjk, cjk ∈ R, j 6= k, (8)
c13 > 0, c23 > 0, (9)
(b2 − b3)γ
+
11 + (b3 − b1)γ
+
22 + (b1 − b2)γ
+
33 = 0. (10)
Положим
α1 :=
b3 − b1
b1 − b2
, α2 :=
b2 − b3
b1 − b2
, (11)
ψj(y) :=
√
c2j3 + αj(y2 − c212), j ∈ {1, 2}, (12)
F (y) :=
y∫
c12
du
ψ1(u)ψ2(u)
. (13)
Пусть (y−0 , y
+
0 ) ⊂ R — наибольший по включению интервал, который содержит число c12
и на котором корректно определены функции ψ1(·), ψ2(·), F (·), т. е. выполнено неравенство
c2j3 + αj(y
2 − c212) > 0, y−0 < y < y+0 , j ∈ {1, 2}. (14)
В силу (9) и α1 + α2 = −1 такой интервал непустой и конечный.
Пусть далее κ0, κ1, κ2 ∈ L1[0, l] — вещественные функции и функции K1(·), K2(·) опре-
делены равенством (6), причем
F (y−0 ) < (b1 − b2)K2(x) < F (y+0 ), x ∈ [0, l). (15)
Тогда пара {a(·), γ(·)}, где a(x) = κ2(x)γ(x)
2 + κ1(x)γ(x) + κ0(x), x ∈ [0, l], и γ(·) =
= (γjk(·))3j,k=1, является решением задачи (1) тогда и только тогда, когда при x ∈ [0, l]
выполнены равенства
γjj(x) = γ+jj, j ∈ {1, 2, 3}, (16)
γjk(x) = iei(bj−bk)(K1(x)+(γ+jj+γ
+
kk)K2(x))yjk(x), j 6= k, (17)
где функции yjk(·), j 6= k, определены равенствами
y12(x) = F−1((b1 − b2)K2(x)), (18)
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
yj3(x) = ψj(y12(x)), j ∈ {1, 2}, (19)
ykj(x) = −yjk(x), 1 6 j < k 6 3. (20)
Здесь F−1(·) — функция, обратная к функции F (·) (если F (y±0 ) = ±∞, то F−1(±∞) := y±0 ).
Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 1 c12 = 0 и b1 < b3 < b2. Тогда для функций
y12(·), y13(·), y23(·) справедливы следующие формулы:
y12(x) = c13
√
b2 − b1
b3 − b1
sn(z(x); k), (21)
y13(x) = c13 cn(z(x); k), (22)
y23(x) = c23 dn(z(x); k), (23)
где
z(x) = c23
√
(b2 − b1)(b3 − b1)K2(x), k =
c13
c23
√
b2 − b3
b3 − b1
, (24)
K2(x) =
x∫
0
κ2(t) dt, a(·) = κ2(·)γ(·)2 + κ1(x)γ(·) + κ0(·). (25)
Пример 1. Пусть
γ+ =
0 0 i
0 0 i
−i −i 0
, σ2 =
0 0 0
0 b 0
0 0 1/b
, b > 1. (26)
Тогда пара {a(x), γ(x)}, где a(x) = γ(x)2, является решением системы (1) тогда и только
тогда, когда
γ(x) =
0 ib snx i cn x
−ib snx 0 idnx
−i cnx −idnx 0
, (27)
где snx = sn(x; k), cnx = cn(x; k), dnx = dn(x; k) и k =
√
b2 − 1.
Теорема 2. Пусть n = 4,
b4 < b1 < b2 < b3, b1 + b2 = b3 + b4, (28)
α3 :=
b3 − b2
b3 − b1
, α4 :=
b4 − b2
b4 − b1
. (29)
Пусть далее
cjk ∈ R, cjk = −ckj, j, k ∈ {1, 2, 3, 4}, (30)
c1k > 0, k ∈ {2, 3, 4}, (31)
c23 =
√
α3c13, c24 = −√
α4c14, c34 = 0. (32)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 27
Далее, положим
β3 :=
b2 − b1
b3 − b1
, β4 :=
b2 − b1
b4 − b1
, (33)
α :=
c14
c13
, β := β3 + β4α
2, (34)
F (y) :=
y∫
c13
du
u
√
c212 + β(u2 − c213)
, (35)
ρ :=
√
(b3 − b1)(b3 − b2), (36)
v(x) := F−1(ρK2(x)), (37)
где F−1(·) — функция, обратная к функции F (·). Пусть (y−0 , y
+
0 ) ⊂ R — наибольший по
включению интервал, который содержит число c13, и выполнено неравенство
c212 + β(y2 − c213) > 0, y−0 < y < y+0 . (38)
Пусть далее κ0, κ1κ2 ∈ L1[0, l] — вещественные функции и функции K1(x), K2(x) опреде-
лены равенствами Kj(x) :=
x∫
0
κj(t) dt, j = 1, 2, и
F (y−0 ) < ρK2(x) < F (y+0 ), x ∈ [0, l). (39)
Тогда пара {a(·), γ(·)}, где a(x) = κ2(x)γ(x)
2 + κ1(x)γ(x) + κ0(x), x ∈ [0, l], является
решением системы (1) тогда и только тогда, когда при x ∈ [0, l] выполнены равенства
γjj(x) = γ+jj, j ∈ {1, . . . , n}, (40)
γjk(x) = iei(bj−bk)(K1(x)+(γ+jj+γ
+
kk)K2(x))yjk(x), j 6= k, (41)
где функции yjk, j 6= k имеют вид
y12(x) =
√
c212 + β(v2(x)− c213), (42)
y13(x) = v(x), (43)
y14(x) = αv(x), (44)
y23(x) =
√
α3v(x), (45)
y24(x) = −√
α4αv(x), (46)
y34(x) = 0, (47)
ykj(x) = yjk(x), 1 6 j < k 6 4. (48)
Следствие 2. В условиях теоремы (3) положим c12 = 0, что определяет вид матри-
цы C в (3) таким образом:
iC =
0 0 c13 c14
0 0 c23 c24
c13 c23 0 0
c14 c24 0 0
.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
Тогда для функций y12(·), y13(·) справедливы представления
y12(x) = c13
√
βtan(z(x)), β > 0; (49)
y13(x) =
c13
cos(z(x))
, β > 0; (50)
или
y12(x) = c13
√
β, β < 0; (51)
y13(x) = 0; (52)
или
y12(x) = c13
√
βth(z(x)), β < 0; (53)
y13(x) =
c13
ch(z(x))
, β < 0; (54)
где
z(x) = c13ρ
√
βK2(x). (55)
Пример 2. Пусть
γ+ =
0 0 2i i
0 0
√
2i −
√
2i
−2i −
√
2i 0 0
−i
√
2i 0 0
, σ2 =
0 0 0 0
0 b 0 0
0 0 2b 0
0 0 0 −b
, b > 0. (56)
Тогда пара {a(x), γ(x)}, где a(x) = γ2(x) является решением системы (1) тогда и только
тогда, когда
γ(x) =
0
√
2 tg(2bx)
2
cos(2bx)
1
cos(2bx)
−
√
2 tg(2bx) 0
√
2
cos(2bx)
−
√
2
cos(2bx)
− 2
cos(2bx)
−
√
2
cos(2bx)
0 0
− 1
cos(2bx)
√
2
cos(2bx)
0 0
. (57)
1. Золотарев В.А. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряженных и неуни-
тарных операторов. – Харьков: Изд-во ХНУ им. В.Н. Каразина, 2003. – 342 с.
2. Золотарев В.А. Спектральный анализ несамосопряженных коммутативных систем операторов и не-
линейные дифференциальные уравнения // Теория функций, функцион. анализ и их приложения.
Респ. сб. – 1983. – Вып. 40. – P. 68–71.
3. Золотарев В.А. Временные конусы и функциональная модель на римановой поверхности // Мат.
сб. – 1990. – 181, № 7. – С. 965–994.
4. Лившиц М.С., Янцевич А.А. Теория операторных узлов в гильбертовых пространствах. – Харьков:
Изд-во Харьк. ун-та, 1971. – 160 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 29
5. Лунев А.А., Олейник Е.В. Об одном классе систем уравнений типа Лакса // Укр. мат. вiсн. – 2013. –
10, № 4. – С. 507–531.
Поступило в редакцию 15.07.2014Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
А.А. Луньов, О. В. Олiйник
Про один клас систем рiвнянь типу Лакса
Дослiджено нелiнiйну систему рiвнянь типу Лакса, яка знаходиться в основi побудови три-
кутних моделей для комутативних систем лiнiйних несамоспряжених обмежених опе-
раторiв. Описано деякi її розв’язки при n = 3, 4. Наведено приклади подання загального
розв’язку в термiнах спецiальних функцiй (елiптичних).
A.A. Lunyov, E. V. Oliynyk
On a class of systems of equations of the Lax type
The non-linear system of equations of the Lax type is investigated. It is a basis of the triangular
models for commutative systems of linear non-self-adjoint operators. In some cases, the complete
description of solutions of this system is found.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95700 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T03:18:22Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лунев, А.А. Олейник, Е.В. 2016-03-02T14:22:47Z 2016-03-02T14:22:47Z 2015 Об одном классе систем уравнений типа Лакса / А.А. Лунев, Е.В. Олейник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 25-30. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95700 517.912 Исследована нелинейная система уравнений типа Лакса, которая лежит в основе построения треугольных моделей для коммутативных систем линейных несамосопряженных ограниченных операторов. Описаны некоторые ее решения при n = 3, 4. Приводятся примеры представления общего решения в терминах специальных функций (эллиптических). Дослiджено нелiнiйну систему рiвнянь типу Лакса, яка знаходиться в основi побудови трикутних моделей для комутативних систем лiнiйних несамоспряжених обмежених операторiв. Описано деякi її розв’язки при n = 3, 4. Наведено приклади подання загального розв’язку в термiнах спецiальних функцiй (елiптичних). The non-linear system of equations of the Lax type is investigated. It is a basis of the triangular models for commutative systems of linear non-self-adjoint operators. In some cases, the complete description of solutions of this system is found. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Об одном классе систем уравнений типа Лакса Про один клас систем рiвнянь типу Лакса On a class of systems of equations of the Lax type Article published earlier |
| spellingShingle | Об одном классе систем уравнений типа Лакса Лунев, А.А. Олейник, Е.В. Математика |
| title | Об одном классе систем уравнений типа Лакса |
| title_alt | Про один клас систем рiвнянь типу Лакса On a class of systems of equations of the Lax type |
| title_full | Об одном классе систем уравнений типа Лакса |
| title_fullStr | Об одном классе систем уравнений типа Лакса |
| title_full_unstemmed | Об одном классе систем уравнений типа Лакса |
| title_short | Об одном классе систем уравнений типа Лакса |
| title_sort | об одном классе систем уравнений типа лакса |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95700 |
| work_keys_str_mv | AT lunevaa obodnomklassesistemuravneniitipalaksa AT oleinikev obodnomklassesistemuravneniitipalaksa AT lunevaa proodinklassistemrivnânʹtipulaksa AT oleinikev proodinklassistemrivnânʹtipulaksa AT lunevaa onaclassofsystemsofequationsofthelaxtype AT oleinikev onaclassofsystemsofequationsofthelaxtype |