Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi
Пропонується метод побудови операторiв iнтерлiнацiї ермiтового типу функцiй трьох змiнних за допомогою їх слiдiв та слiдiв їх похiдних на вказаних лiнiях у цилiндричнiй системi координат. Метод дозволяє вiдновлювати цi функцiї у точках мiж заданою системою замкнутих неперетинних кривих у цилiндри...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95701 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi / I.В. Сергiєнко, О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 31-35. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859682294249291776 |
|---|---|
| author | Сергiєнко, I.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. |
| author_facet | Сергiєнко, I.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. |
| citation_txt | Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi / I.В. Сергiєнко, О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 31-35. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Пропонується метод побудови операторiв iнтерлiнацiї ермiтового типу функцiй трьох
змiнних за допомогою їх слiдiв та слiдiв їх похiдних на вказаних лiнiях у цилiндричнiй
системi координат. Метод дозволяє вiдновлювати цi функцiї у точках мiж заданою
системою замкнутих неперетинних кривих у цилiндричнiй системi координат, зберiгаючи автоматично клас диференцiйовностi, якому належить наближувана функцiя.
Предлагается метод построения операторов интерлинации эрмитового типа функций трех
переменных с помощью их следов и следов их производных на заданных линиях. Метод позволяет восстанавливать эти функции в точках между заданной системой замкнутых непересекающихся кривых в цилиндрической системе координат, сохраняя автоматически
класс дифференцируемости, которому принадлежит приближаемая функция.
A method of construction of Hermitian-type operators of interlineation of the functions of three
variables with help of traces and traces of derivatives on the given lines is proposed. The method
can recover these functions at points between the given system of closed disjoint lines in a cylindrical
coordinate system, automatically preserving the differentiability class of an approximated function.
|
| first_indexed | 2025-11-30T18:37:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2015
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.6
Академiк НАН України I. В. Сергiєнко, О. М. Литвин, О. О. Литвин,
О.В. Ткаченко, О. Л. Грицай
Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi
неперетинних кривих iз збереженням класу
диференцiйовностi
Пропонується метод побудови операторiв iнтерлiнацiї ермiтового типу функцiй трьох
змiнних за допомогою їх слiдiв та слiдiв їх похiдних на вказаних лiнiях у цилiндричнiй
системi координат. Метод дозволяє вiдновлювати цi функцiї у точках мiж заданою
системою замкнутих неперетинних кривих у цилiндричнiй системi координат, зберi-
гаючи автоматично клас диференцiйовностi, якому належить наближувана функцiя.
В задачах конструювання поверхонь або в задачах вiдновлення просторового розподiлу
деяких характеристик тiла з потрiбними властивостями виникають ситуацiї, коли iнфор-
мацiя про поверхню або про дослiджувану характеристику задається точками на системi
просторових неперетинних або перетинних лiнiй i при цьому математична модель поверхнi
r = f(ϕ, z), 0 6 ϕ 6 2π, a 6 z 6 b або функцiя u = f(r, ϕ, z), 0 6 r 6 R, 0 6 ϕ 6 2π,
a 6 z 6 b, що описує вказану характеристику в цилiндричнiй системi координат, повинна
задовольняти деяку множину вимог. Серед цих вимог вiдмiтимо:
належнiсть функцiй, що беруть участь в описi поверхнi до потрiбного класу диференцi-
йовностi у всiй областi задання змiнних або у деяких її пiдобластях;
належнiсть деяких (або всiх) заданих точок конструйованiй поверхнi;
належнiсть частин деяких вiдомих лiнiй конструйованiй поверхнi;
функцiя r = f(ϕ, z), 0 6 ϕ 6 2π, a 6 z 6 b повинна мати заданi значення проекцiй
криволiнiйних iнтегралiв 1-го роду вздовж заданої системи лiнiй;
належнiсть деяких вiдомих поверхонь конструйованiй поверхнi;
збереження iзогеометричних властивостей конструйованою поверхнею, зокрема, збере-
ження опуклостi, вгнутостi в деяких пiдобластях областi задання параметрiв, збереження
поведiнки градiєнта в деяких пiдобластях областi задання параметрiв тощо.
Вiдзначимо, що одночасне задоволення всiх вимог є дуже складною задачею, яка на да-
ний час не розв’язана повнiстю. Тому актуальною є тема даної роботи, присвяченої побудовi
© I. В. Сергiєнко, О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, О. Л. Грицай, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 31
функцiй u(x, y, z) iз заданими слiдами на довiльнiй системi замкнутих неперетинних кри-
вих у цилiндричнiй системi координат та побудовi з їх допомогою математичних моделей
поверхонь, заданих дискретними наборами точок на вказаних кривих.
Постановка задачi. Вважаємо вiдомими: систему кривих, заданих параметрично,
Γk : {(x, y, z) : x = rk(ϕ) cosϕ, y = rk(ϕ) sinϕ, z = zk(ϕ), 0 6 ϕ 6 2π}, k = 1,M,
z1(ϕ) < z2(ϕ) < · · · < zM (ϕ), 0 6 ϕ 6 2π
та систему слiдiв функцiї f(r, ϕ, z) = u(r cosϕ, r sinϕ, z) i ї ї частинних похiдних
Dsf |Γk =
∂|s|f(r, ϕ, z)
∂rs1∂zs2
∣∣∣∣r=rk(ϕ),
z=zk(ϕ)
= fk,s(ϕ), s = (s1, s2), |s| = s1 + s2; |s| = 0, N,
де u(x, y, z) ∈ Cν(R3), ν > N , — деяка ν разiв неперервно диференцiйовна функцiя, взагалi
кажучи, невiдома. Необхiдно побудувати за допомогою цiєї iнформацiї оператор iнтерлiнацiї
EMNf(r, ϕ, z), що зберiгає клас диферецiйовностi, якому належить наближувана функцiя
f(r, ϕ, z) i дозволить обчислювати наближено f(r, ϕ, z) у довiльнiй точцi (r, ϕ, z) мiж вка-
заними лiнiями.
Аналiз лiтературних джерел. Задача iнтерлiнацiї функцiй двох i бiльше змiнних
виникає при необхiдностi вiдновлювати цi функцiї у точках мiж заданою системою лiнiй
за допомогою їх слiдiв та слiдiв їх нормальних похiдних (або iнших операторiв) на вка-
заних лiнiях. Вона є невiд’ємною частиною формулювання крайових задач для плоских
областей складної форми, границя яких складається з об’єднання кiлькох вiдомих лiнiй
i є невiд’ємною частиною побудови координатних функцiй у варiацiйних та проекцiйних
методах розв’язання крайових задач для областей складної форми. Оператори iнтерлiнацiї
функцiй, якi є природними узагальненнями операторiв iнтерполяцiї, дослiджувалися в ро-
ботах [1–5], звiдки випливає, що сформульована задача розв’язана для випадку системи
неперетинних кривих i перетинних прямих у декартовiй системi координат та на системi
замкнутих лiнiй в цилiндричнiй системi координат, що лежать на горизонтальних площи-
нах z = zk, k = 1,M . Побудова операторiв EMNf(r, ϕ, z) iнтерлiнацiї функцiй f(r, ϕ, z)
на довiльнiй системi замкнутих неперетинних кривих у цилiндричнiй системi координат
дослiджується в данiй роботi вперше i використовує методи, розвинутi в [6, 7].
Основнi твердження роботи. Вважаємо, що функцiя (взагалi кажучи, невiдома)
f(r, ϕ, z) ∈ Cν(D), D ⊂ R
3, задається на системi неперетинних замкнутих кривих Γk =
= {(r, ϕ, z) : r = rk(ϕ) ∈ CN [0, 2π], z = zk(ϕ) ∈ CN [0, 2π]}, k = 1,M , своїми слiдами та
слiдами своїх похiдних fk,s(ϕ), k = 1,M ; s = (s1, s2), |s| = s1 + s2; |s| = 0, N .
Введемо позначення: gk(r, ϕ, z, β1 , β2) = ϕ+ β1(r − rk(ϕ)) + β2(z − zk(ϕ)). Врахуємо, що
gk(rk(ϕ), ϕ, zk(ϕ), β1, β2) = ϕ; gk(rl(ϕ), ϕ, zl(ϕ), β1, β2) = ϕ + β1(rl(ϕ) − rk(ϕ)) + β2(zl(ϕ) −
− zk(ϕ)).
Введемо до розгляду систему функцiй hk,s(r, ϕ, z), Gs1(β1), Ks2(β2), k = 1,M ; s1, s2 =
= 0, N з властивостями
∂p+q
∂rp∂zq
hk,s(r, ϕ, z)
∣∣∣∣
Γl
= δk,lδp,N−s1δq,N−s2 ; k, l = 1,M ; p+ q, s1 + s2 = 0, N, (1)
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
2π∫
0
Gs1(β1)β
m1
1 dβ1 = δ0,m1 ; s1,m1 = 0, N ;
1∫
0
Ks2(β2)β
m2
2 dβ2 = δ0,m2 ; s2,m2 = 0, N.
(2)
Пропонується такий вигляд шуканого оператора iнтерлiнацiї:
EM,Nf(r, ϕ, z) =
M∑
k=1
hk,0,0(r, ϕ, z)
2π∫
0
G0(β1)
1∫
0
K0(β2)fk,0,0(gk(r, ϕ, z, β1 , β2)) dβ1dβ2 +
+
M∑
k=1
N∑
|s|=1
hk,s(r, ϕ, z)
2π∫
0
Gs1(β1)
1∫
0
Ks2(β2)×
×
gk(r,ϕ,z,β1,β2)∫
0
fk,s(u)
(gk(r, ϕ, z, β1 , β2)− u)|s|−1
(|s| − 1)!
dudβ1dβ2.
Теорема 1. Якщо fk,s(ϕ) ∈ Cν−|s|[0, 2π], |s| = s1 + s2 = 0, N , N 6 ν, то ∀ β1 ∈ [0, 2π],
β2 ∈ [0, 1],
Uk,0,0(r, ϕ, z, β1 , β2)=fk,0,0(gk(r, ϕ, z, β1, β2)) ∈ Cν(D), D=R+×[0, 2π]×R; R+=[0,∞),
Uk,s(r, ϕ, z) =
gk(r,ϕ,z,β1,β2)∫
0
fk,s(u)
(gk(r, ϕ, z, β1 , β2)− u)|s|−1
(|s| − 1)!
du ∈ Cν(D).
Теорема 2. Якщо виконуються спiввiдношення (1), (2), то функцiї
Vk,0,0(r, ϕ, z) =
2π∫
0
G0(β1)
1∫
0
K0(β2)fk,0,0(gk(r, ϕ, z, β1, β2)) dβ1dβ2 ∈ Cν(D),
Vk,s(r, ϕ, z) =
2π∫
0
Gs1(β1)
1∫
0
Ks2(β2)
gk(r,ϕ,z,β1,β2)∫
0
fk,s(u)
(gk(r, ϕ, z, β1 , β2)− u)|s|−1
(|s| − 1)!
dudβ1dβ2
мають властивостi
∂p+q
∂rp∂zq
Vk,0,0(r, ϕ, z)
∣∣∣∣
Γk
=
{
fk,0,0(ϕ), p = 0, q = 0,
0, 1 6 p+ q 6 N,
(3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 33
∂p+q
∂rp∂zq
Vk,s(r, ϕ, z)
∣∣∣∣
Γk
=
=
0, 0 6 p 6 s1 − 1; 0 6 q 6 s2 − 1,
fk,s(ϕ), p = s1, q = s2,
2π∫
0
Gs1(β1)
1∫
0
Ks2(β2)
∂p−s1+q−s2
∂rp−s1∂zq−s2
fk,s(gk(r, ϕ, z, β1 , β2))dβ1dβ2
∣∣∣∣
Γk
= 0,
s1 < p 6 N, s2 < q 6 N ; p+ q, s1 + s2 6 N.
(4)
Теорема 3. Якщо виконуються умови (1), (2), то оператор EM,Nf(r, ϕ, z) задовольняє
умови
∂p+q
∂rp∂zq
EM,Nf(r, ϕ, z)
∣∣∣∣
Γl
= fl,p,q(ϕ), l = 1,M, p+ q = 0, N ; 0 6 ϕ 6 2π. (5)
Теорема 4. Функцiї hk,s(r, ϕ, z) можна подати у виглядi
hk,s(r, ϕ, z) = sN,k,s1(r, ϕ)sN,k,s2(z, ϕ),
де sN,k,s1(r, ϕ) ∈ Cν [R+ × [0, 2π]], sN,k,s2(z, ϕ) ∈ Cν [R+ × [0, 2π]] — базиснi сплайни степеня
N + 1 з властивостями
∂psN,k,s1
∂rp
(rl, ϕ) = δk,lδp,s1 ; k, l = 0,M ; p, s1 = 0, N ;
∂qsN,k,s2
∂zq
(zl, ϕ) = δk,lδq,s2 ; k, l = 0,M ; q, s2 = 0, N.
Таким чином, у роботi запропоновано формули для операторiв iнтерлiнацiї функцiй
трьох змiнних у цилiндричнiй системi координат Orϕz, заданих своїми слiдами i слiдами
своїх похiдних за змiнними r i z на системi неперетинних лiнiй в параметричнiй формi.
Вiдмiтимо основнi властивостi запропонованого в данiй роботi методу:
1) оператор EM,Nf(r, ϕ, z) має властивостi EM,Nf(r, ϕ, z) ∈ Cν(D) та (5), навiть якщо
fk,s(ϕ) ∈ Cν−|s|[0, 2π], |s| = 0, N , N 6 ν i fk,s(ϕ) не належать класу Cν[0, 2π];
2) метод дозволяє використовувати замiсть слiдiв fk,s(ϕ) ∈ Cν−|s|[0, 2π], |s| = 0, N ,N 6 ν
їх наближення iнтерполяцiйними сплайнами, побудованi на основi використання дискретних
наборiв значень fk,s(ϕj), k = 1,M , |s| = 0, N , N 6 ν; j = 1, N ; зауважимо, що метод мож-
на узагальнити на випадок, коли замiсть слiдiв використовуються також апроксимацiйнi
сплайни.
Тому в подальшому автори планують присвятити окрему публiкацiю щодо побудо-
ви операторiв iнтерполяцiї функцiй трьох змiнних, основаних на операторах iнтерлiнацiї
EM,Nf(r, ϕ, z), придiляючи особливу увагу випадку, коли лiнiї iнтерлiнацiї задаються дис-
кретними наборами точок, а не формулами. Така постановка задачi виникає, зокрема, в ма-
шинобудуваннi при конструюваннi поверхонь пера лопатки компресорiв авiадвигунiв.
1. Сергiєнко I. В., Задiрака В.К., Литвин О.М. Елементи загальної теорiї оптимальних алгоритмiв i
сумiжнi питання. – Київ: Наук. думка, 2012. – 404 с.
2. Литвин О.М. Iнтерполяцiя функцiй та їх нормальних похiдних на гладких лiнiях в R
n // Доп. АН
УРСР. Сер. А. – 1984. – № 7. – С. 15–19.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №1
3. Литвин О.М. Точний розв’язок задачi Кошi для рiвняння
n
∏
i−0
(
∂
∂t
− a2
i
∂2
∂x2
)
u(x, t) = g(x, t) // Там
само. – 1991. – № 3. – С. 12–17.
4. Литвин О.М. Побудова функцiй n змiнних iз заданими нормальними похiдними на R
m (16m6n−1)
iз збереженням класу Cr(Rn) // Там само. – 1987. – № 5. – С. 13–17.
5. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
6. Литвин О.М., Литвин О.О., Ткаченко О.В., Грицай О.Л. Вiдновлення функцiй двох змiнних iз
збереженням класу Cr(R2) за допомогою їх слiдiв та слiдiв їх похiдних до фiксованого порядку на
заданiй лiнiї // Доп. НАН України. – 2014. – № 2. – С. 45–50.
7. Сергiєнко I. В., Литвин О.М., Литвин О.О., Ткаченко О.В., Грицай О.Л. Ермiтова iнтерлiнацiя
функцiй двох змiнних на заданiй системi неперетинних лiнiй iз збереженням класу Cr(R2) // Там
само. – 2014. – № 4. – С. 35–39.
Надiйшло до редакцiї 25.12.2014Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова
НАН України, Київ
Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
ДП “Iвченко-Прогрес”, Запорiжжя
Академик НАН Ураины И.В. Сергиенко, О. Н. Литвин, О.О. Литвин,
A.В. Ткаченко, О. Л. Грицай
Интерлинация функций трех переменных на системе
непересекающихся кривых с сохранением класса
дифференцируемости
Предлагается метод построения операторов интерлинации эрмитового типа функций трех
переменных с помощью их следов и следов их производных на заданных линиях. Метод поз-
воляет восстанавливать эти функции в точках между заданной системой замкнутых
непересекающихся кривых в цилиндрической системе координат, сохраняя автоматически
класс дифференцируемости, которому принадлежит приближаемая функция.
Academician of the NAS of Ukraine I.V. Sergienko, O. N. Lytvyn, O.O. Lytvyn,
A.V. Tkachenko, O. L. Gritcai
Interlineation of the functions of the three variables on a system of
disjoint lines preserving the differentiability class
A method of construction of Hermitian-type operators of interlineation of the functions of three
variables with help of traces and traces of derivatives on the given lines is proposed. The method
can recover these functions at points between the given system of closed disjoint lines in a cylindrical
coordinate system, automatically preserving the differentiability class of an approximated function.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №1 35
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95701 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T18:37:55Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергiєнко, I.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. 2016-03-02T14:23:01Z 2016-03-02T14:23:01Z 2015 Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi / I.В. Сергiєнко, О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 1. — С. 31-35. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95701 519.6 Пропонується метод побудови операторiв iнтерлiнацiї ермiтового типу функцiй трьох змiнних за допомогою їх слiдiв та слiдiв їх похiдних на вказаних лiнiях у цилiндричнiй системi координат. Метод дозволяє вiдновлювати цi функцiї у точках мiж заданою системою замкнутих неперетинних кривих у цилiндричнiй системi координат, зберiгаючи автоматично клас диференцiйовностi, якому належить наближувана функцiя. Предлагается метод построения операторов интерлинации эрмитового типа функций трех переменных с помощью их следов и следов их производных на заданных линиях. Метод позволяет восстанавливать эти функции в точках между заданной системой замкнутых непересекающихся кривых в цилиндрической системе координат, сохраняя автоматически класс дифференцируемости, которому принадлежит приближаемая функция. A method of construction of Hermitian-type operators of interlineation of the functions of three variables with help of traces and traces of derivatives on the given lines is proposed. The method can recover these functions at points between the given system of closed disjoint lines in a cylindrical coordinate system, automatically preserving the differentiability class of an approximated function. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi Интерлинация функций трех переменных на системе непересекающихся кривых с сохранением класса дифференцируемости Interlineation of the functions of the three variables on a system of disjoint lines preserving the differentiability class Article published earlier |
| spellingShingle | Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi Сергiєнко, I.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. Інформатика та кібернетика |
| title | Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi |
| title_alt | Интерлинация функций трех переменных на системе непересекающихся кривых с сохранением класса дифференцируемости Interlineation of the functions of the three variables on a system of disjoint lines preserving the differentiability class |
| title_full | Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi |
| title_fullStr | Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi |
| title_full_unstemmed | Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi |
| title_short | Iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi |
| title_sort | iнтерлiнацiя функцiй трьох змiнних на системi неперетинних кривих iз збереженням класу диференцiйовностi |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95701 |
| work_keys_str_mv | AT sergiênkoiv interlinaciâfunkciitrʹohzminnihnasistemineperetinnihkrivihizzberežennâmklasudiferenciiovnosti AT litvinom interlinaciâfunkciitrʹohzminnihnasistemineperetinnihkrivihizzberežennâmklasudiferenciiovnosti AT litvinoo interlinaciâfunkciitrʹohzminnihnasistemineperetinnihkrivihizzberežennâmklasudiferenciiovnosti AT tkačenkoov interlinaciâfunkciitrʹohzminnihnasistemineperetinnihkrivihizzberežennâmklasudiferenciiovnosti AT gricaiol interlinaciâfunkciitrʹohzminnihnasistemineperetinnihkrivihizzberežennâmklasudiferenciiovnosti AT sergiênkoiv interlinaciâfunkciitrehperemennyhnasistemeneperesekaûŝihsâkrivyhssohraneniemklassadifferenciruemosti AT litvinom interlinaciâfunkciitrehperemennyhnasistemeneperesekaûŝihsâkrivyhssohraneniemklassadifferenciruemosti AT litvinoo interlinaciâfunkciitrehperemennyhnasistemeneperesekaûŝihsâkrivyhssohraneniemklassadifferenciruemosti AT tkačenkoov interlinaciâfunkciitrehperemennyhnasistemeneperesekaûŝihsâkrivyhssohraneniemklassadifferenciruemosti AT gricaiol interlinaciâfunkciitrehperemennyhnasistemeneperesekaûŝihsâkrivyhssohraneniemklassadifferenciruemosti AT sergiênkoiv interlineationofthefunctionsofthethreevariablesonasystemofdisjointlinespreservingthedifferentiabilityclass AT litvinom interlineationofthefunctionsofthethreevariablesonasystemofdisjointlinespreservingthedifferentiabilityclass AT litvinoo interlineationofthefunctionsofthethreevariablesonasystemofdisjointlinespreservingthedifferentiabilityclass AT tkačenkoov interlineationofthefunctionsofthethreevariablesonasystemofdisjointlinespreservingthedifferentiabilityclass AT gricaiol interlineationofthefunctionsofthethreevariablesonasystemofdisjointlinespreservingthedifferentiabilityclass |