Автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю
Розглянуто задачу про поширення ударної хвилі в межах нелінійної моделі геосередовища з просторовою нелокальністю. Проведено якісний та числовий аналіз неавтономної динамічної системи, яка описує автохвильові режими моделі структурованого геосередовища. Рассмотрена задача о движении ударной волны в...
Saved in:
| Published in: | Геоінформатика |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95743 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю / В.А. Даниленко, С.І. Скуратівський // Геоінформатика. — 2010. — № 2. — С. 39-45. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859711643048476672 |
|---|---|
| author | Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. |
| author_facet | Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. |
| citation_txt | Автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю / В.А. Даниленко, С.І. Скуратівський // Геоінформатика. — 2010. — № 2. — С. 39-45. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Геоінформатика |
| description | Розглянуто задачу про поширення ударної хвилі в межах нелінійної моделі геосередовища з просторовою нелокальністю. Проведено якісний та числовий аналіз неавтономної динамічної системи, яка описує автохвильові режими моделі структурованого геосередовища.
Рассмотрена задача о движении ударной волны в рамках нелинейной модели геосреды с пространственной нелокальностью. Проведены качественные и численные исследования неавтономной динамической системы, описывающей автоволновые режимы модели структурированной среды.
Considered in the paper is the problem of the shock wave motion within the framework of nonlinear model of geologic environment of spatially nonlocal. We have carried out qualitative and numerical investigations of the nonautonomous dynamical system describing self-similar regimes of a structured medium.
|
| first_indexed | 2025-12-01T05:05:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
39ISSN 1684-2189 ÃÅβÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2010, ¹ 2
ÓÄÊ 539.182+518.5+517.98.68+517.986.69
ÀÂÒÎÌÎÄÅËÜͲ ÓÄÀÐͲ ÕÂÈ˲  ÃÅÎÑÅÐÅÄÎÂÈÙÀÕ
Ç ÏÐÎÑÒÎÐÎÂÎÞ ÍÅËÎÊÀËÜͲÑÒÞ
© Â.À. Äàíèëåíêî, Ñ.². Ñêóðàò³âñüêèé, 2010
³ää³ëåííÿ ãåîäèíàì³êè âèáóõó ²íñòèòóòó ãåîô³çèêè ³ì. Ñ.². Ñóááîò³íà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Êè¿â, Óêðà¿íà
Considered in the paper is the problem of the shock wave motion within the framework of nonlinear model of geologic
environment of spatially nonlocal. We have carried out qualitative and numerical investigations of the nonautonomous
dynamical system describing self-similar regimes of a structured medium.
Keywords: nonlocal models, self-similarity, shock wave.
Äëÿ îïèñó ô³çè÷íèõ ïðîöåñ³â ó ñòðóêòóðîâà-
íèõ ãåîñåðåäîâèùàõ ó ïóáë³êàö³¿ [1] áóëè çàïðî-
ïîíîâàí³ òàê³ íåë³í³éí³ íåëîêàëüí³ ìàòåìàòè÷í³
ìîäåë³:
ρ 0d u
dt x
ρ ∂
+ =
∂
, ρ γρsdu p
dt x
∂
+ =
∂
,
( )1 1
22 2
1
2 2
1 1 ,
n n n
n
dp d p
dt dt
p p
x x x x x
− −
−
ρ τ − χρ = ρ κρ − +
∂ ∂ ∂ρ ∂ ρ ∂ρ + σ + − χρ − ∂ ρ ∂ ∂ ∂ ρ ∂
(1)
äå p – òèñê; ρ – ãóñòèíà; u – ìàñîâà øâèäê³ñòü;
ργ – ìàñîâà ñèëà; 3 1
2
ns −
= – ïàðàìåòð ïðîñòîðî-
âî¿ íåëîêàëüíîñò³; τ – ÷àñ ðåëàêñàö³¿; κ òà χ –
ïàðàìåòðè, ïðîïîðö³éí³ êâàäðàòàì ð³âíîâàæíî¿ òà
çàìîðîæåíî¿ øâèäêîñò³ çâóêó â ñåðåäîâèù³; n –
ïàðàìåòð íåë³í³éíîñò³.
Âèêîðèñòàâøè ìîäåëü (1), ðîçãëÿíåìî ïîøè-
ðåííÿ óäàðíî¿ õâèë³ â òàêîìó ñåðåäîâèù³. гâíî-
âàæíèé ñòàí ñåðåäîâèùà ïåðåä ôðîíòîì óäàðíî¿
õâèë³ áóäåìî îïèñóâàòè ïîë³òðîïíèì ð³âíÿííÿì
ñòàíó 1
np = κ ρ . Ñòàí ñåðåäîâèùà íà óäàðíîìó
ôðîíò³ ó íàáëèæåíí³, ùî ðåëàêñàö³éí³ ïðîöåñè
çàìîðîæåí³, îïèñóºòüñÿ ð³âíÿííÿì 2
np = κ ρ . Ïà-
ðàìåòðè κ1,2 õàðàêòåðèçóþòü â³äíîñíó çì³íó åíò-
ðîﳿ ó ðàç³ ïåðåõîäó ÷åðåç ôðîíò [4], òîìó
2 1κ > κ .
Íà óäàðíîìó ôðîíò³ õâèë³ âèêîíóþòüñÿ óìî-
âè Ðåíê³íà–Ãþãîí³î [5, 6]:
( ) ( )2 2 1 1u D u Dρ − = ρ − ,
( ) ( )2 2
2 2 2 1 1 2u D p u D pρ − + = ρ − + .
(2)
Ó ñï³ââ³äíîøåííÿõ (2)
1 1 1
np = κ ρ òà 2 2 2
np = κ ρ . (3)
Ó ìåæàõ çðîáëåíèõ ïðèïóùåíü ðîçãëÿíåìî
ñòðóêòóðó àâòîìîäåëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â [2, 4–6]
( )3
12 λu c U
t
= + , ( )1
n
np t P−= λ ,
( )
1
1 nt R−ρ = λ , 32x c t
t
λ = −
(4)
ìîäåë³ (1) ç äîäàòêîâèìè óìîâàìè (2).
Ç âèãëÿäó ³íâàð³àíòíî¿ çì³ííî¿ λ âèïëèâàº, ùî
3
1 2
1
2
c
x c t c t
c
= λ + + . (5)
Âèðàç (5) âèçíà÷ຠòðàºêòîð³þ óäàðíî¿ õâèë³,
ÿêà ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ
31
11 2
2
2
ccdxD
dt cc t c
λ
= = +
+
. (6)
Ïðèéìåìî, ùî ó ñåðåäîâèù³ ïåðåä óäàðíèì
ôðîíòîì u = const = 2c3. ϳäñòàâèâøè ñï³ââ³äíî-
øåííÿ (4) ó ïåðø³ äâà ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (1) òà
âðàõóâàâøè ð³âíÿííÿ ñòàíó (3), îòðèìàºìî äèíà-
ì³÷íó ñèñòåìó
1 0
2 1
RR
n
′− λ + =
−
,
3 1
1 2
1
n
nnR R R
−
− ′κ = γ . (7)
Çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ñèñòåìè (7) ìຠâèãëÿä
2
1 nR A −= λ , äå ïàðàìåòð ( )
2
1
1
1
2
nn
A
n
−− γ
= κ
. Çàóâàæèìî,
ùî çíàéäåí³ àâòîìîäåëüí³ ðîçâ’ÿçêè ó çì³ííèõ
(x, t) ìàòèìóòü âèãëÿä
32u c= ,
( ) ( ) ( )
111 2
1121 1
3 32 2nnn nt A A t A x c t f x c t−−− −ρ = λ = λ = − ≡ − ,
( )1 32np f x c t= κ − ,
ùî â³äïîâ³äຠðîçâ’ÿçêàì âèãëÿäó á³æó÷î¿ õâèë³ ç³
ñòàëîþ øâèäê³ñòþ 2c3. Ó âèïàäêó c3 = 0 ö³ ðîçâ’ÿç-
êè ÿâëÿþòü ñîáîþ ñòàö³îíàðí³ ðåæèìè ìîäåë³.
Òàêèì ÷èíîì, ïåðåä óäàðíèì ôðîíòîì õàðàê-
òåðèñòèêè ñåðåäîâèùà âèçíà÷àþòü àâòîìîäåëüíèì
ðîçâ’ÿçêîì
40 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2010, ¹ 2
1 0U = ,
2
1
1
nR A −= λ , 1 1 1
nP R= κ . (8)
Óìîâè Ðåíê³íà–Ãþãîí³î (2) ç óðàõóâàííÿì
âèðàçó (6) äëÿ øâèäêîñò³ àâòîìîäåëüíî¿ óäàðíî¿
õâèë³ ìîæíà ïîäàòè â ³íâàð³àíòíîìó âèãëÿä³
2 2 1 12 2
R U R U
∗ ∗ λ λ
− = −
,
2 2
2 2 2 1 1 12 2
R U P R U P
∗ ∗ λ λ
− + = − +
,
(9)
äå λ = λ* = const íà óäàðíîìó ôðîíò³.
Íåõàé λ* = 2 òà U1 = 0. Òîä³ ³ç ñï³ââ³äíîøåíü
(9) ³ (3) âèïëèâàº, ùî 1
2
2
1 RU
R
= − , à R2 çàäîâîëüíÿº
àëãåáðè÷íå ð³âíÿííÿ
2
1
2 2 1 1 1
2
n nR R R R
R
+ κ = + κ . (10)
Îòðèìàí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ äàþòü çìîãó îá÷èñ-
ëèòè çíà÷åííÿ âåëè÷èí U2, R2, P2, íà óäàðíîìó
ôðîíò³, ÿê³ îäíî÷àñíî º ïî÷àòêîâèìè óìîâàìè äëÿ
ïðîäîâæåííÿ àâòîìîäåëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â (4) ÷åðåç
óäàðíèé ôðîíò.
Ðîçãëÿíåìî ñïî÷àòêó ÷àñòèííèé âèïàäîê ìî-
äåë³ (1) ç σ = 0, òîáòî ðåëàêñóâàëüíå ñåðåäîâèùå
áåç óðàõóâàííÿ ïðîñòîðîâî¿ íåëîêàëüíîñò³:
( )1 1
2
n n ndp d p
dt dt
− −ρ τ − χρ = ρ κ ρ −
. (11)
Ó ìåæàõ òàêî¿ ìîäåë³ ðîçâ’ÿçêè (4) çàäîâîëü-
íÿþòü äèíàì³÷íó ñèñòåìó:
( )
1 3 0
2 2 1
nR RU R
n
′ − − λ + + + = −
,
3 1
21 1
2 2
n
R U U UU P R
− ′ ′ ′− − λ + + = γ
, (12)
( )11
1 2
n n nnP P UP R U R R P
n
− ′ ′ ′τ − λ + + χ = κ − −
.
Ó âèïàäêó n = 3 ç ïåðøîãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè
îòðèìàºìî
1 const
2
S R RU= − λ + = . Çíà÷åííÿ ñòà-
ëî¿ S âèçíà÷èìî ç óìîâ íà ôðîíò³, à ñàìå
( )2 2 2 2 2
1 1
2
S R R U R U∗= − λ + = − . Çì³ííó
2
SU
R
λ
= +
âèêëþ÷èìî ³ç ñèñòåìè (12) òà çâåäåìî ¿¿ äî ñèñòå-
ìè äâîõ ð³âíÿíü:
{ }( )3 3 31 4 4 2 6R R K S R S R P
S
′ = − + τ λ + γ + χ −
τ∆
,
{ }( )3 41 4 6 4 2P R KS PS R R R S′ = − + τ − + χ λ + γ + τ∆
,
(13)
äå ∆ = 4(χR 4 – S 2); K = R 2(κR 3 – P). Çàçíà÷èìî,
ùî ñèíãóëÿðíà ë³í³ÿ χR 4 – S 2 = 0 º çîáðàæåííÿì
â ³íâàð³àíòíèõ çì³ííèõ õàðàêòåðèñòèêàõ
1ndx u
dt
−= ± χρ ìîäåë³ (11). ²íøà õàðàêòåðèñòèêà –
dx u
dt
= ìຠçîáðàæåííÿ 0S
R
= .
Ðîçãëÿíåìî òèïîâèé ôàçîâèé ïîðòðåò äèíà-
ì³÷íî¿ ñèñòåìè (13) çà òàêèõ çíà÷åíü ïàðàìåòð³â:
κ1 = 1,2; κ2 = 0,9; γ = –1,5 (**).
Òîä³ îá÷èñëèìî: A = 2,4; õàðàêòåðèñòèêè ïîòî-
êó ïåðåä ôðîíòîì óäàðíî¿ õâèë³ R1 = 1,2; P1 = 2,7, ç
ð³âíÿííÿ (10) R2 = 1,348; 3
2 2 2 2,206;P R= κ = U2 = 0,11;
çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà S = –1,2. ²íòåãðóºìî ñèñòåìó
(13) ç ïî÷àòêîâèõ óìîâ ( )2 2 2; nR Rκ , ÿê³ íà ðèñ. 1
ïîçíà÷åí³ òî÷êîþ Í ³ â³äïîâ³äàþòü çíà÷åííþ àâòî-
ìîäåëüíî¿ çì³ííî¿ λ = 2. Íà îòðèìàíèõ ³íòåãðàëü-
íèõ êðèâèõ (ðèñ. 1) ñòð³ëêàìè ïîêàçàíî íàïðÿì çðî-
ñòàííÿ ïàðàìåòðà λ. Òî÷êè ç ïîçíà÷êàìè – âèõ³ä
òðàºêòî𳿠íà ñèíãóëÿðíó ë³í³þ χR 4 – S 2.
Îáãîâîðèìî âèïàäîê n ≠ 3. Ñèñòåìó (12) ï³ñëÿ
çàì³íè çì³ííî¿ ( ) 1
2
S R RUλ = − λ + ïîäàìî ó âè-
ãëÿä³
S R′ = β ,
{ }(
{
( ){ }})
2
1 1 2
1 2
1 4 1
2 4 4 4
4 2 1 2 4 4 ,
n m n
n m
R R K n R
S
R RS R S R S
n PR R R S S RS
+ +
+
′ = − − τ×
τ∆
× χ + λ + γ + χβ − β +
+ − χ + β − γ + β − λ
(14)
{ }(
{ }{ })
1 4 1
4 1 4 2n m
P R K n S
nPS n R R R S
′ = − − + τ×
τ∆
× − + χ − λ + γ + ,
äå { }( )1 24 1 nn R S+∆ = − χ − ; ( )1
2
n nK R R P−= κ − ;
3 1
2
nm −
= ;
( )
3
2 1
n
n
−
β =
−
.
Ðèñ. 1. Ôàçîâèé ïîðòðåò äèíàì³÷íî¿ ñèñòåìè (13) ïðè
τ = 0,1. Òðàºêòîð³ÿ 1 â³äïîâ³äຠçíà÷åííþ ïàðàìåòðà χ = 8;
2 – χ = 6; 3 – χ = 4; 4 – χ = 2,8; 5 – χ = 2,7; 6 – χ = 2;
7 – χ = 1; 8 – χ = 0,3
41ISSN 1684-2189 ÃÅβÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2010, ¹ 2
ßê çàçíà÷àëîñü âèùå, 1 2 0nR S+χ − = íà õàðàêòå-
ðèñòèêàõ ñèñòåìè. Çà ÷èñëîâîãî ³íòåãðóâàííÿ ñèñ-
òåìè (14) áóëî âñòàíîâëåíî, ùî çà äåÿêèõ çíà÷åíü
ïàðàìåòðà n ñïîñòåð³ãàºòüñÿ âèõ³ä òðàºêòî𳿠ñèñ-
òåìè íà êâàç³ñòàö³îíàðíèé ðåæèì ç R ≈ const ³
P ≈ const. Äîñë³äèìî äåòàëüí³øå ìîæëèâ³ñòü ³ñíó-
âàííÿ òàêèõ ðåæèì³â.
Ç óìîâè R = R0 = const ³ P = P0 = const ç
ïåðøîãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (14) âèïëèâàº, ùî
0 0S R S= β λ + (S0 = const). ϳñëÿ ï³äñòàíîâêè çíàé-
äåíîãî âèðàçó â ³íø³ äâà ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (14)
îòðèìàºìî äâà êâàäðàòè÷í³ ïî λ ñï³ââ³äíîøåííÿ,
ÿê³ ìàþòü çàäîâîëüíÿòèñü òîòîæíî äëÿ âñ³õ λ.
Ïðèð³âíÿâøè äî íóëÿ êîåô³ö³ºíòè êâàäðàòè÷íèõ
áàãàòî÷ëåí³â, îòðèìàºìî óìîâè ³ñíóâàííÿ êâàç³-
ñòàö³îíàðíîãî ðåæèìó.
Îäí³ºþ ç óìîâ º ð³âíÿííÿ n2 – 5n + 6 = 0, ç
ÿêîãî âèïëèâàº, ùî ñòàö³îíàðíèé ðåæèì òàêîãî
âèãëÿäó ³ñíóº ò³ëüêè ïðè n = 3 ³ n = 2. Äëÿ
îñòàííüîãî âèïàäêó
5
2
0 02S R= γ ,
( )2
0 2 0
0
0 2
R R
P
R
κ − χτ
=
− τ
. (15)
²íàêøå êàæó÷è, íà ïëîùèí³ (R; P) ³ñíóº ö³ëà
ìíîæèíà ñòàö³îíàðíèõ òî÷îê, êîîðäèíàòè ÿêèõ
çâ’ÿçàí³ âèðàçîì (15).
Çàô³êñóºìî ïàðàìåòðè χ = 1,3, τ = 0,1, ³íø³
ïàðàìåòðè (**). ×èñåëüíî çíàéäåíà òðàºêòîð³ÿ ç
ïî÷àòêîâèìè óìîâàìè íà óäàðíîìó ôðîíò³, ÿê³
çîáðàæåíî íà ïëîùèí³ (R; P) òî÷êîþ Í, ó íà-
ïðÿì³ çìåíøåííÿ àâòîìîäåëüíî¿ çì³ííî¿ λ âè-
õîäèòü íà ñòàö³îíàðíèé ðåæèì (15) (ðèñ. 2, à).
Çðîñòàííÿ ïàðàìåòðà χ çà ñòàëèõ óñ³õ ³íøèõ ïà-
ðàìåòð³â íå çì³íþº êîîðäèíàòè òî÷êè Í, àëå
çì³íþº ïîëîæåííÿ êðèâî¿ (15) òàê, ùî òî÷êà Í
ìîæå áóòè íà êðèâ³é (15) (ðèñ. 2, á) àáî ïðàâ³øå
êðèâî¿ (ðèñ. 2, â). Çîêðåìà, ç àíàë³çó ðèñ. 2, á
âèõîäèòü, ùî òðàºêòîð³ÿ äèíàì³÷íî¿ ñèñòåìè
çá³ãàºòüñÿ ç ãðàô³êîì ôóíêö³¿ (15). Òîä³ ÿêùî
óìîâè íà óäàðíîìó ôðîíò³ ï³ä³áðàòè çà äîïîìî-
ãîþ âàð³þâàííÿ ïàðàìåòðà χ â³äïîâ³äíî äî âè-
ðàçó (15), òî äëÿ λ ç äåÿêîãî ³íòåðâàëó öåé çâ’ÿ-
çîê çáåðåæåòüñÿ, òîáòî ( )
( ) ( )( )
( )
2
2
2
R R
P
R
λ κ λ − χτ
λ =
λ − τ
,
ùî äຠçìîãó ïîíèçèòè ïîðÿäîê äèíàì³÷íî¿ ñèñ-
òåìè (14).
Âàð³þâàííÿ ïàðàìåòðà τ ñïðè÷èíþº â³ääàëÿí-
íÿ òî÷îê, ÿê³ â³äïîâ³äàþòü ñòàö³îíàðíîìó ðåæèìó
(15), â³ä òî÷êè H ó íàïðÿì³ çìåíøåííÿ àâòîìî-
äåëüíî¿ çì³ííî¿ λ (ðèñ. 3). Âîäíî÷àñ ó íàïðÿì³ çðî-
ñòàííÿ àâòîìîäåëüíî¿ çì³ííî¿ λ òðàºêòîð³ÿ íå âè-
õîäèòü â îáëàñòü P < 0 (ïîð³âíÿòè ÷àñòèíè
ãðàô³ê³â ó íàïðÿì³ ñòð³ëîê íà ðèñ. 2 òà 3).
Äëÿ çíà÷åíü ïàðàìåòðà n ≠ 2 êâàç³ñòàö³îíàð-
íîãî ðåæèìó (15) íåìàº, àëå òðàºêòîð³ÿ äèíàì³÷-
íî¿ ñèñòåìè (14) äëÿ çíà÷åíü n, áëèçüêèõ 2, äîñ-
òàòíüî äîâãî ïåðåáóâàþòü â îêîë³ ðåæèìó (15).
Ðèñ. 2. Ôàçîâ³ ïîðòðåòè äèíàì³÷íî¿ ñèñòåìè (14) ïðè n = 2,
τ = 0,1: à – χ = 1,3; á – χ = 1,8; â – χ = 2,8. Òî÷êà H
â³äïîâ³äຠóäàðíîìó ôðîíòó
à
á
â
Ó âèïàäêó ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³ (1) ³ç σ ≠ 0
àâòîìîäåëüí³ ðåæèìè îïèñóºìî äèíàì³÷íîþ ñèñ-
òåìîþ
R W′ = ,
2
24
m R S WP R S
R
λ′ = γ − β + + ,
S R′ = β , ( ) 3
1 2
1 1W n R
R
′ = − Ψ + Ψ ∆ σ
,
(16)
42 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2010, ¹ 2
Ðèñ. 3. Ôàçîâ³ ïîðòðåòè äèíàì³÷íî¿ ñèñòåìè (14) òà ãðàô³êè
êðèâî¿ (15) ïðè n = 2, χ = 1,3: à – τ = 0,2; á – τ = 0,3; â –
τ = 0,4. Òî÷êà H â³äïîâ³äຠóäàðíîìó ôðîíòó
à
á
â
äå
( ) ( ) ( )
( ) { }( )
3 4 2 3
1
2 1 2 2
4 1 4 2 1 2
4 4 4 4 1 ,
n
n m
KR R R S W
R S R W S W R S m W
+
+ +
Ψ = + σ − β − χ + β τ + τ + σ ×
× β + χ − − γ τ − + σ
( )( )2 4 1 2nP n S WΨ = τ − − τ − σ λ ,
{ }( )1 24 1 nn R S+∆ = − χ − , ( )1
2
n nK R R P−= κ − ,
3 1
2
nm −
= ,
( )
3
2 1
n
n
−
β =
−
.
Ïî÷àòêîâ³ óìîâè äëÿ ³íòåãðóâàííÿ äèíàì³÷íî¿
ñèñòåìè (16) º óìîâàìè íà óäàðíîìó ôðîíò³ ïðè
λ = λ* = 0:
( ) ( )
1
2
2 2 2 2 1
1
; , , ; ; 1 ;
n
R P S W R P R U R
n
+ γ
= − κ
.
Ïðè ïîáóäîâ³ ïî÷àòêîâî¿ óìîâè äëÿ W ïðî-
äîâæèìî ÷åðåç ðîçðèâ âåëè÷èíó W = R', ÿêó
çã³äíî ç ñèñòåìîþ (6) âèçíà÷àºìî ³ç ð³âíÿííÿ
( )
1 12
1
1
2
1
n RR R
n n
+
∗
γ′ = =
κ − λ
(ðèñ. 4). Çàô³êñóºìî çíà-
÷åííÿ ïàðàìåòð³â κ1 = 1,3; κ2 = 0,9; γ = –1,5; n = 4;
σ = 8; τ = 5 òà äîñë³äèìî âïëèâ âàð³þâàííÿ ïàðà-
ìåòðà χ íà ñòðóêòóðó ðîçâ’ÿçêó, ÿêèé ïðîõîäèòü
÷åðåç âèùå âêàçàíó òî÷êó ôàçîâîãî ïðîñòîðó.
³äïîâ³äíî äî ðåçóëüòàò³â ÷èñëîâîãî ³íòåãðó-
âàííÿ ñèñòåìè (16), çà íåâåëèêèõ χ ö³ ðîçâ’ÿçêè º
ìîíîòîííèìè (ïðèíàéìí³ íà ïðîì³æêó ³íòåãðó-
âàííÿ). Çà çíà÷åíü ïàðàìåòðà χ > 50 íà ãðàô³êó
òðàºêòî𳿠â îáëàñò³ λ < λ* = 2 ç’ÿâëÿþòüñÿ ëî-
êàëüí³ îñîáëèâîñò³ (ðèñ. 5, à), ê³ëüê³ñòü ÿêèõ
çá³ëüøóºòüñÿ ³ç çðîñòàííÿì χ (ðèñ. 5, á). Àíàë³ç
çàëåæíîñòåé R(λ) òà P(λ) (íèæí³ ãðàô³êè íà ðèñ. 5)
ïîêàçóº, ùî çðîñòàííÿ χ ñïðè÷èíþº ðîçâèòîê îñ-
öèëÿö³é ó ðîçâ’ÿçêó çà óäàðíèì ôðîíòîì.
ϳä ÷àñ âèâ÷åííÿ çàëåæíîñò³ ñòðóêòóðè ôàçî-
âîãî ïðîñòîðó â³ä ïàðàìåòðà σ (ðèñ. 6) âèÿâëåíî,
ùî ïðè σ < 4 â îáëàñò³ λ < λ* = 2 ðîçâ’ÿçêè
ìîíîòîíí³, òîä³ ÿê ç³ çðîñòàííÿì ïàðàìåòðà σ íà
Ðèñ. 4. Ãðàô³êè ôóíêö³é ïîáëèçó óäàðíîãî ôðîíòó (òî÷êè
ðîçðèâó) λ = 2: à – R(λ), P(λ), á – W(λ). Ïàðàìåòðè κ1 = 1,3;
κ2 = 0,9; γ = –1,5; n = 4; σ = 8; τ = 5; χ = 60; R1 = 1,101;
R2 = 1,224; P1 = 1,912; P2 = 2,022. Øòðèõîâà ë³í³ÿ – ãðàô³ê
ñòàö³îíàðíîãî ðîçâ’ÿçêó (8) òà éîãî ïîõ³äíî¿
à
á
43ISSN 1684-2189 ÃÅβÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2010, ¹ 2
à á
Ðèñ. 5. Ôàçîâ³ ïîðòðåòè òà â³äïîâ³äí³ ïðîòîêîëè ôàçîâèõ çì³ííèõ äèíàì³÷íî¿ ñèñòåìè (16) ïðè χ = 50 (à) òà χ = 60 (á)
Ðèñ. 6. Çàëåæí³ñòü ôàçîâîãî ïîðòðåòà â³ä çì³íè ïàðàìåòðà σ. Òóò χ = 60, ë³í³ÿ L – ãðàô³ê ôóíêö³¿ P = κ2R
n
44 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2010, ¹ 2
ãðàô³êàõ ç’ÿâëÿþòüñÿ îñîáëèâîñò³. Ãðàô³êè çàëåæ-
íîñòåé R(λ) òà Ð(λ) (ïîä³áí³ äî çîáðàæåíèõ íà
ðèñ. 5) ñâ³ä÷àòü ïðî òå, ùî ö³ îñîáëèâîñò³ ïîâ’ÿ-
çàí³ ç îñöèëþâàëüíèì õàðàêòåðîì ðîçâ’ÿçê³â. Ç
àíàë³çó ðèñ. 6 âèïëèâàº, ùî ç³ çðîñòàííÿì σ àìï-
ë³òóäà îñöèëÿö³é òà ¿õ ê³ëüê³ñòü çì³íþþòüñÿ íå
ìîíîòîííî, àëå â óñ³õ âèïàäêàõ ï³ñëÿ êîëèâíî¿
ôàçè ðåæèì âèõîäèòü íà êâàç³ñòàòè÷íèé.
Ðåçóëüòàòè ÷èñëîâèõ äîñë³äæåíü ñèñòåìè
(16) ìîæíà äîïîâíèòè ïîøóêîì ÷àñòèííèõ ðîç-
â’ÿçê³â. Çîêðåìà, âñòàíîâèìî óìîâè ³ñíóâàííÿ
ðîçâ’ÿçêó âèäó R(λ) = R0 = const. Òîä³ W(λ) = 0 ³
S(λ) = βR0(λ – λ0) + S0. Ç äðóãîãî ð³âíÿííÿ ñèñ-
òåìè (16)
( )
( ) ( )( )
0 0
2
0 0 0 0 0 0
1
8
8 8 4m
P P
R S R R
= − λ − λ ×
× − γ + β + β λ − λ − λ + λ .
ϳäñòàâèìî çíàéäåí³ âèðàçè ó òðåòº ð³âíÿííÿ
ñèñòåìè (16) òà ïðèâåäåìî éîãî äî êâàäðàòè÷íîãî
ð³âíÿííÿ â³äíîñíî λ. Ïðèð³âíÿºìî äî íóëÿ êîå-
ô³ö³ºíòè ð³âíÿííÿ:
ïðè λ2:
( ) { } ( ){ }( )2 3
0 0 0
1 4 1 1 2 1 2 0
2
nR R n R nβ − − + τ β − − β = ; (17)
ïðè λ1:
{ } ( ){ }( )
( ) ( ) { }( )( )
[ ]
3
0 0 0
2
0 0 0 0
0 0 0
4 1 1
1 8 1 4 1
0.
m
n
R n R n R
n R n R R n nR
R S
γ − + β − − β τ +
+ − τ + − β τ + β − − τ ×
× β λ − =
(18)
Êîåô³ö³ºíò ïðè λ0 äîñèòü ãðîì³çäêèé, òîìó
àíàë³òè÷íèé âèðàç íå íàâîäèìî. Çóïèíèìîñü íà
âèïàäêó, êîëè â ð³âíÿíí³ (17) 4β2 – 1 = 0 òà
1 2
2
nβ = ⇒ = . Îäèí ³ç ðîçâ’ÿçê³â ð³âíÿííÿ (18) çà-
äîâîëüíÿº ñï³ââ³äíîøåííÿ
0 0 0 04 0mR S Rγ − + λ = . (19)
Ç óðàõóâàííÿì (19), êîåô³ö³ºíò ïðè λ0 çâîäè-
ìî äî ð³âíÿííÿ
( )2 3 1
0 2 0 0 02 0n nR R R R+−χ τ + κ − + τ = . (20)
Ç íüîãî âèçíà÷èìî, íàïðèêëàä, êîåô³ö³ºíò
( )3 1
2 0 0 0
2
0
2n nR R R
R
+κ − + τ
χ =
τ
. (21)
Äëÿ ÷èñëîâî¿ ðåàë³çàö³¿ òàêîãî ðîçâ’ÿçêó ñèñ-
òåìè (16) çàô³êñóºìî çíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â,
κ1 = 0,8; κ1 = 0,9; σ = 8; n = 2; τ = 5. Ðîçãëÿíåìî
âèïàäîê, êîëè λ0 = 2, òà â³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ âå-
ëè÷èí ç íóëüîâèìè ³íäåêñàìè. Äîäàòêîâî ïðèé-
ìåìî, ùî W ≈ 0. Äëÿ ïîáóäîâè ðîçâ’ÿçêó ñèñòåìè
(16) ñë³ä ðîçâ’ÿçàòè àëãåáðè÷íó ñèñòåìó
2
1
1 2 0nR A −− = ,
2
1
2 2 1 1 1
2
n nR R R R
R
+ κ = + κ , 1 1 1 0nP R− κ = ,
( )
2
1
1
1
2
nn
A
n
−− γ
= κ
, 0 0 0 04 0mR S Rγ − + λ = (22)
â³äíîñíî íåâ³äîìèõ R1,2 òà γ, Ð1. Ñèñòåìà (22) º
íåë³í³éíîþ, òîìó ðîçâ’ÿçóâàëè ³òåðàö³éíèì ìåòî-
äîì ç ïî÷àòêîâèìè óìîâàìè (R1, R2, γ, Ð1) = (0, 1, 1–
1,5, 1). Òîä³ ðîçâ’ÿçîê ñèñòåìè (22) òàêèé:
R1 = 0,244 757; R2 = 0,396 811; γ = –3,234 095;
P1 = 0,047 925.
²ç ð³âíÿííÿ (21) χ = 1,8, ùî äຠçìîãó ïî-
âí³ñòþ âêàçàòè âñ³ âåëè÷èíè, ùî âõîäÿòü äî àíà-
ë³òè÷íîãî âèðàçó ðîçâ’ÿçêó ñèñòåìè (16).
Íàâåäåíèé àíàë³ç ïîêàçàâ, ùî ìîäåëü ç ïðî-
ñòîðîâîþ íåëîêàëüí³ñòþ (1) ñåðåä àâòîìîäåëüíèõ
ðåæèì³â çà óäàðíèì ôðîíòîì âîëî䳺 êîëèâíèìè
ðîçâ’ÿçêàìè, ÿê³ ó ðàç³ â³äñóòíîñò³ ïðîñòîðîâî¿
íåëîêàëüíîñò³ íå ñïîñòåð³ãàþòüñÿ. Çàçíà÷èìî, ùî
ðîçâ’ÿçêàì ç êîëèâàííÿìè çà óäàðíèì ôðîíòîì
â³äïîâ³äàþòü ðåàëüí³ ÿâèùà, âèÿâëåí³ åêñïåðè-
ìåíòàëüíî, íàïðèêëàä îñöèëÿòîðí³ óäàðí³ õâèë³
[7]. Òàêèì ÷èíîì, äëÿ àäåêâàòíîãî îïèñó ñèëüíî-
íåð³âíîâàæíèõ ñåðåäîâèù óðàõîâóâàííÿ äèíàì³êè
âíóòð³øí³õ ïðîöåñ³â ñåðåäîâèùà º ïðèíöèïîâèì.
Òîìó ðîçðîáêà òà âèâ÷åííÿ íåëîêàëüíèõ ìîäåëåé
º ïð³îðèòåòíèì çàâäàííÿì ìàòåìàòè÷íîãî ìîäå-
ëþâàííÿ ñêëàäíèõ ñèñòåì.
1. Äàíèëåíêî Â.À., Äàíåâè÷ Ò.Á., Ñêóðàò³âñüêèé Ñ.².
Íåë³í³éí³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ñåðåäîâèù ç ÷àñîâîþ òà
ïðîñòîðîâîþ íåëîêàëüíîñòÿìè. – Ê.: ²í-ò ãåîô³çèêè
³ì. Ñ.². Ñóááîò³íà ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2008. – 86 ñ.
2. Äàíèëåíêî Â.À., Ñêóðàò³âñüêèé Ñ.². Àâòîìîäåëüí³ ðîç-
â’ÿçêè ð³âíÿíü íåë³í³éíî¿ ìîäåë³ ñåðåäîâèùà ³ç âíóò-
ð³øí³ìè çì³ííèìè ïðè âðàõóâàíí³ ÷àñîâî¿ òà ïðîñòî-
ðîâî¿ íåëîêàëüíîñò³ // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. – 2004. –
¹ 5. – Ñ. 113–116.
3. Ìåíøèêîâ Â.Ì. Î ïðîäîëæåíèè èíâàðèàíòíûõ ðåøå-
íèé óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè ÷åðåç óäàðíóþ âîë-
íó //Äèíàìèêà ñïëîøíîé ñðåäû. – Íîâîñèáèðñê,
1970. – Âûï. 4. – Ñ. 163–169.
4. Ñòàíþêîâè÷ Ê.Ï. Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ
ñïëîøíîé ñðåäû. – Ì.:Íàóêà, 1971. – 856 ñ.
5. Ñåäîâ Ë.È. Ìåòîäû ïîäîáèÿ è ðàçìåðíîñòè â ìåõàíè-
êå. – Ì.:Íàóêà, 1977. – 440 ñ.
6. Îâñÿííèêîâ Ë.Â. Ëåêöèè ïî îñíîâàì ãàçîâîé äèíàìè-
êè. – Ìîñêâà; Èæåâñê: Èí-ò êîìïüþòåðíûõ èññëåäî-
âàíèé, 2003. – 336 ñ.
7. Êóòàòåëàäçå Ñ.Ñ., Íàêîðÿêîâ Â.Å. Òåïëîìàññîîáìåí
è âîëíû â ïàðîæèäêîñòíûõ ñðåäàõ. – Íîâîñèáèðñê:
Íàóêà, 1984. – 302 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 01.02.2010 ð.
45ISSN 1684-2189 ÃÅβÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2010, ¹ 2
Â.À. Äàíèëåíêî, Ñ.². Ñêóðàò³âñüêèé
ÀÂÒÎÌÎÄÅËÜͲ ÓÄÀÐͲ ÕÂÈ˲  ÃÅÎÑÅÐÅÄÎÂÈÙÀÕ Ç ÏÐÎÑÒÎÐÎÂÎÞ ÍÅËÎÊÀËÜͲÑÒÞ
Ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó ïðî ïîøèðåííÿ óäàðíî¿ õâèë³ â ìåæàõ íåë³í³éíî¿ ìîäåë³ ãåîñåðåäîâèùà ç ïðîñòîðîâîþ
íåëîêàëüí³ñòþ. Ïðîâåäåíî ÿê³ñíèé òà ÷èñëîâèé àíàë³ç íåàâòîíîìíî¿ äèíàì³÷íî¿ ñèñòåìè, ÿêà îïèñóº àâòîõâè-
ëüîâ³ ðåæèìè ìîäåë³ ñòðóêòóðîâàíîãî ãåîñåðåäîâèùà.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: íåëîêàëüí³ ìîäåë³, àâòîìîäåëüí³ñòü, óäàðíà õâèëÿ.
Â.À. Äàíèëåíêî, Ñ.È. Ñêóðàòîâñêèé
ÀÂÒÎÌÎÄÅËÜÍÛÅ ÓÄÀÐÍÛÅ ÂÎËÍÛ Â ÃÅÎÑÐÅÄÀÕ Ñ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎÉ
ÍÅËÎÊÀËÜÍÎÑÒÜÞ
Ðàññìîòðåíà çàäà÷à î äâèæåíèè óäàðíîé âîëíû â ðàìêàõ íåëèíåéíîé ìîäåëè ãåîñðåäû ñ ïðîñòðàíñòâåííîé
íåëîêàëüíîñòüþ. Ïðîâåäåíû êà÷åñòâåííûå è ÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ íåàâòîíîìíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû,
îïèñûâàþùåé àâòîâîëíîâûå ðåæèìû ìîäåëè ñòðóêòóðèðîâàííîé ñðåäû.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íåëîêàëüíûå ìîäåëè, àâòîìîäåëüíîñòü, óäàðíàÿ âîëíà.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95743 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1684-2189 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T05:05:54Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. 2016-03-03T11:25:45Z 2016-03-03T11:25:45Z 2010 Автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю / В.А. Даниленко, С.І. Скуратівський // Геоінформатика. — 2010. — № 2. — С. 39-45. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1684-2189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95743 539.182+518.5+517.98.68+517.986.69 Розглянуто задачу про поширення ударної хвилі в межах нелінійної моделі геосередовища з просторовою нелокальністю. Проведено якісний та числовий аналіз неавтономної динамічної системи, яка описує автохвильові режими моделі структурованого геосередовища. Рассмотрена задача о движении ударной волны в рамках нелинейной модели геосреды с пространственной нелокальностью. Проведены качественные и численные исследования неавтономной динамической системы, описывающей автоволновые режимы модели структурированной среды. Considered in the paper is the problem of the shock wave motion within the framework of nonlinear model of geologic environment of spatially nonlocal. We have carried out qualitative and numerical investigations of the nonautonomous dynamical system describing self-similar regimes of a structured medium. uk Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України Геоінформатика Фізико-математичні методи розв'язку геофізичних задач Автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю Автомодельные ударные волны в геосредах с пространственной нелокальностью Self-similar schock waves in geomedia with spatial nonlocality Article published earlier |
| spellingShingle | Автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. Фізико-математичні методи розв'язку геофізичних задач |
| title | Автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю |
| title_alt | Автомодельные ударные волны в геосредах с пространственной нелокальностью Self-similar schock waves in geomedia with spatial nonlocality |
| title_full | Автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю |
| title_fullStr | Автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю |
| title_full_unstemmed | Автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю |
| title_short | Автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю |
| title_sort | автомодельні ударні хвилі в геосередовищах з просторовою нелокальністю |
| topic | Фізико-математичні методи розв'язку геофізичних задач |
| topic_facet | Фізико-математичні методи розв'язку геофізичних задач |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95743 |
| work_keys_str_mv | AT danilenkova avtomodelʹníudarníhvilívgeoseredoviŝahzprostorovoûnelokalʹnístû AT skuratívsʹkiisí avtomodelʹníudarníhvilívgeoseredoviŝahzprostorovoûnelokalʹnístû AT danilenkova avtomodelʹnyeudarnyevolnyvgeosredahsprostranstvennoinelokalʹnostʹû AT skuratívsʹkiisí avtomodelʹnyeudarnyevolnyvgeosredahsprostranstvennoinelokalʹnostʹû AT danilenkova selfsimilarschockwavesingeomediawithspatialnonlocality AT skuratívsʹkiisí selfsimilarschockwavesingeomediawithspatialnonlocality |