О решениях уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки
Установлена разрешимость задачи Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки, а также скорость убывания решений в зависимости от гладкости потенциала. Встановлено розв’язнiсть задачi Кошi для рiвняння Кортевега–де Фрiза з початковими
 даними типу сходинки, а тако...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95824 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О решениях уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки / З.Н. Гладкая // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 7-13. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860233495678287872 |
|---|---|
| author | Гладкая, З.Н. |
| author_facet | Гладкая, З.Н. |
| citation_txt | О решениях уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки / З.Н. Гладкая // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 7-13. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Установлена разрешимость задачи Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки, а также скорость убывания решений в зависимости от гладкости потенциала.
Встановлено розв’язнiсть задачi Кошi для рiвняння Кортевега–де Фрiза з початковими
даними типу сходинки, а також швидкiсть спадання розв’язкiв залежно вiд гладкостi потенцiалу.
The solvability of a Cauchy problem for the Korteweg–de Vries equation is established, and the rate
of decrease of solutions as a function of the smoothness of the potential is found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:22:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2015
МАТЕМАТИКА
УДК 517.94
З.Н. Гладкая
О решениях уравнения Кортевега–де Фриза
с начальными данными типа ступеньки
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Установлена разрешимость задачи Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с началь-
ными данными типа ступеньки, а также скорость убывания решений в зависимости
от гладкости потенциала.
Как известно, метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), который был впервые применен
для решения задачи Коши для уравнения Кортевега–де Фриза (КдФ)
qt = −qxxx + 6qqx, (1)
с убывающими начальными данными q(x, 0) = q(x), не позволяет решить данную задачу
в том же классе, каковыми являются начальные данные. Происходят “потери” в гладкости
и скорости убывания решения [1]. В частности, если мы хотим иметь классическое решение
q(x, t) уравнения (1), убывающее в смысле L1(R), то максимально широкий класс началь-
ных данных, обеспечивающих такое решение методом МОЗР — это функции, имеющие
шесть производных, суммируемых со вторым моментом. Методы, используемые в теории
уравнений в частных производных (PDE), позволяют существенно расширить классы на-
чальных данных, например до L2(R), но при этом решение понимается в слабом смысле [2].
Оба указанных подхода позволяют также доказать разрешимость уравнения КдФ в классе
Шварца.
Задача Коши для уравнения (1) с начальными данными типа ступеньки
q(x) → c±, x→ ±∞, c− ̸= c+, c± ∈ R, (2)
исследована меньше, и методы PDE оказываются здесь не эффективными. Для уравнения
КдФ методом МОЗР в работе [3] доказано, что у задачи (1), (2) с начальными данными
+∞∫
0
((1 + |x|N )|q(x)| + (1 + |x|)|q(−x) + c2|) dx <∞ (3)
© З.Н. Гладкая, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 7
при достаточно большом N есть слабое решение из L2(R) при каждом t. Кроме того, для
начальных данных q(x), асимптотически близких к двум разным конечнозонным потен-
циалам p+(x) и p−(x) на разных полуосях, получен следующий результат:
Теорема [4]. Пусть p±(x, t) — это два конечнозонных решения уравнения (1), соот-
ветствующих конечнозонным начальным данным p±(x). Пусть m > 8 и n > m + 5 —
заданные натуральные числа и пусть∫
R±
∣∣∣∣ ∂s∂xs (q(x) − p±(x))
∣∣∣∣ (1 + |x|m) dx <∞, 0 6 s 6 n. (4)
Тогда при всех t ∈ [−T, T ] существует единственное решение q(x, t) задачи (1), (4) такое,
что при 0 6 s 6 n − m − 2∫
R±
(∣∣∣∣ ∂s∂xs (q(x, t) − p±(x, t))
∣∣∣∣+
∣∣∣∣ ∂∂t(q(x, t) − p±(x, t))
∣∣∣∣)(1 + |x|[
m
2
]−2
)
dx <∞. (5)
Нашей целью является уточнение этих результатов на случай начальных данных класса
Lnm(c+, c−).
Определение 1. Пусть c+, c− ∈ R, m > 1, n > 1, m,n ∈ N — это заданные числа.
Функция q(x) принадлежит классу Lnm(c+, c−), если q(n) ∈ Lloc
2 (R) и
+∞∫
0
(|q(x) − c+| + |q(−x) − c−| + |q(i)(x)| + |q(i)(−x)|)(1 + |x|m)dx <∞, i = 1, . . . , n.
Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть m > 3 и n > m + 3 — заданные целые числа. Тогда задача Ко-
ши (1), (2) с начальными данными q(x) ∈ Lnm(c+, c−) при всех t ∈ [−T, T ] имеет един-
ственное решение q(x, t) такое, что q(·, t) ∈ Ln−m
[m+1
2 ]−2
(c+, c−),
∂
∂t
q(·, t) ∈ Ln−m
[m+1
2 ]−2
(0, 0).
Объясним вкратце структуру доказательства, полагая для простоты c+ = 0, c− = −c2.
Известно [5, 6], что спектр оператора Шредингера L = −d2/dx2+q(x) с потенциалом q(x) ∈
∈ Lnm(c+, c−) из абсолютно непрерывного спектра на множестве [−c2,+∞), однократного
на [−c2, 0] и двукратного на R+, и конечного числа собственных значений λ1 < · · · < λp <
< −c2. Введем два новых спектральных параметра k± по формуле λ = k2+ = k2− − c2,
являющихся взаимно однозначными отображениями на множествах λ ∈ clos(C \ [−c2,∞)),
k+ ∈ clos(C+ \ (0, ic)), k− ∈ closC+, где closA означает замыкание множества A. Решения
Йоста уравнения Ly = λy можно представить в виде [7]
ϕ±(λ, x) = e±ik±x ±
±∞∫
x
K±(x, y)e±ik±ydy, (6)
гдеK±(x, y) — ядра операторов преобразования, причемK+(x, x) =
1
2
+∞∫
x
q(y) dy,K−(x, x) =
=
1
2
x∫
−∞
(q(y) + c2) dy. Для каждого собственного значения λs определим нормировочные
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
константы γ±s =
(∫
R
ϕ±
2(λs, x) dx
)−1
и введем матрицу рассеяния S(λ) =
(
T−(λ) R+(λ)
R−(λ) T+(λ)
)
,
где R± и T± — правые и левые коэффициенты отражения и прохождения. Известно, что
при q ∈ Lnm(0,−c2) данные рассеяния
S = {R+(λ), T+(λ), k+ ∈ R; R−(λ), T−(λ), k− ∈ R;λ1, . . . , λp ∈ R \ [−c2,∞),
γ±1 , . . . , γ
±
p ∈ R+} (7)
имеют следующие свойства:
I. S(λ + i0) = S(λ− i0) при λ ∈ [−c2,∞); S(λ) = I + O((λ)−1/2), при λ → ∞;
(T−(λ))−1T−(λ) = R−(λ) при k− ∈ [−c, c];
1 − |R+(λ)|2 = 1 − |R−(λ)|2 = T+(λ)T−(λ),
R+(λ)T+(λ) + R−(λ)T+(λ) = 0, k+ ∈ R.
II. Функции T+(λ) и T−(λ) аналитически продолжаются в область C \ [−c2,∞) и удов-
летворяют там тождеству k+T
−1
+ (λ) = k−T
−1
− (λ) =: W (λ), где функция W (λ) голомор-
фна в области C \ [−c2,∞) и непрерывна вплоть до границы. При этом W (λ) ̸= 0 при
λ ∈ clos(C\ [−c2,∞))\
(
{−c2}
p∪
s=1
{λs}
)
, а в точках λk W (λk) = (γ+k γ
−
k )−2. Если W (−c2) = 0,
то W (λ) = iα
√
λ+ c2(1 + o(1)), где α ∈ R \ {0}. Функция R(λ) непрерывна при k+ ∈ R
и R(0) = −1. Функция R−(λ) непрерывна при k− ∈ R. Если W (−c2) ̸= 0, то R−(−c2) = −1.
Операторы преобразования и данные рассеяния связаны между собой уравнениями
Гельфанда–Левитана–Марченко (ГЛМ)
K±(x, y) + F±(x+ y)±
±∞∫
x
K±(x, s)F±(s+ y) ds = 0, ±x 6 ±y (8)
с ядрами F±(x) = Fc,±(x) + Fd,±(x), где
Fc,+(x) =
1
2πi
∫
R
R+(λ)eik+xdk+ +
1
4π
0∫
−c2
|T−(λ)|2
k−
eik+xdλ, (9)
F−(x) =
1
2πi
∫
R
R−(λ)e−ik−xdk−,
Fd,± =
p∑
s=1
γ±s e±iκ±s x, κ+ =
√
λs, κ− =
√
λs + c2.
Эти ядра обладают следующим свойством:
III. F (n+1)
± ∈ Lloc
2 (R) и xmF
(s)
± (x) ∈ L1(R±), s = 1, . . . , n + 1.
Как показано в [8], условия I–III являются необходимыми и достаточными, чтобы мно-
жество S было множеством данных рассеяния для оператора Шредингера с потенциалом
из класса Lnm(0,−c2), где n > 0 и m > 1 — фиксированные числа.
Доказательство достаточности состоит в решении обратной задачи рассеяния. Выберем
множество S, которое удовлетворяет свойствам I–III. Тогда уравнения ГЛМ имеют един-
ственные решения K±(x, y) такие, что функции q±(x) = ∓2
d
dx
K±(x, x) убывают в следую-
щем смысле: q(n)± ∈ Lloc
2 (R) и xmq±(i)(x) ∈ L1(R±). Имеет место следующее утверждение [8]:
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 9
при условиях I–III на множество S функции q−(x) − c2 и q+(x) совпадают. Более того,
эта теорема единственности обратной задачи допускает следующее обобщение:
Лемма 1. Пусть множество S удовлетворяет свойствам I и II, а функции F±, F ′
± ∈
∈ L1(R±)
∪
Lloc
2 (R), тогда уравнения ГЛМ имеют единственные решения такие, что q± ∈
∈ L1(R±)
∪
Lloc
2 (R), и q+ ≡ q− − c2.
Эти результаты являются основой МОЗР для задачи Коши для уравнения (1), форма-
лизм которого состоит в следующем. Рассмотрим начальные данные задачи Коши q(x, 0) ∈
∈ Lnm(c+, c−) как потенциал ассоциированного оператора Шредингера и решим прямую
задачу рассеяния. Мы получим множество данных рассеяния S(0). Предположим, что ре-
шение задачи Коши существует и является функцией класса Ln1
m1
(с+, с−) при каждом t
и при возможно меньших, чем m и n, величинах m1 и n1. Тогда можно посчитать эволю-
цию данных рассеяния [9] (например, R+(λ, t) = R+(λ)e8ik
3
+t при k+ ∈ R) и естественным
образом возникает множество
S(t) = {R+(λ, t), T+(λ, t), R−(λ, t), T−(λ, t), λ1, . . . , λp, γ
±
1 , . . . , γ
±
p (t) ∈ R+},
которое трактуется как множество данных рассеяния для некоторого потенциала q(x, t).
Как правило, в приложениях, связанных с методом обратной задачи рассеяния, автомати-
чески считается, что решение задачи (1), (2) найдено, как только написана эволюция дан-
ных рассеяния. На самом деле множество S(t) появилось в предположении существования
решения класса Ln1
m1
(c+, c−), поэтому, чтобы обосновать применение МОЗР, нужно прове-
рить, что полученное множество S(t) действительно удовлетворяет условиям I–III хотя
бы при каких-то m1 и n1. Условия I и II проверяются элементарно. Основную сложность
составляет проверка того факта, что ядра F±(x, t) = Fc,±(x, t) + Fd,±(x, t) зависящего от
времени уравнения ГЛМ с
Fc,+(x, t) =
1
π
Re
+∞∫
0
R+(λ)ψ(−ik+, t)e
ik+xdk+ +
1
4π
0∫
−c2
|T−(λ)|2ψ(−ik+, t)e
ik+x dλ
k−
, (10)
Fc,−(x, t) =
1
π
Re
+∞∫
0
R−(λ)e−ik−xψ(ik−, t) dk−, (11)
F±,d(x, t) =
p∑
s=1
γ±s e±iκ±xψ(±iκ±, t),
где ψ(h, t) := e8h
3t, удовлетворяют условию III.
Прежде всего заметим, что слагаемые Fd,±(x, t), соответствующие дискретному спектру,
являются гладкими функциями по x и t и при t ∈ [−T, T ] и x→ ±∞ допускают оценки∣∣∣∣ ∂s+1
∂xs∂t
F±,d(x, t)
∣∣∣∣ 6 C(T )
√
(|λ0| + 1)3+se8
√
|λ0|3T e−
√
λp+c2|x|, (12)
т. е. условие III для этих слагаемых выполнено.
При оценке остальных слагаемых мы используем интегрирование по частям, где инте-
грируется множитель e±ik±x, при этом возникают множители x−s перед интегралами. Для
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
того чтобы удовлетворить условию III, нужно, чтобы внеинтегральные члены взаимно со-
кращали друг друга. Кроме того, при интегрировании по частям функция ψ(h, t) диффе-
ренцируется некоторое число раз и для того, чтобы последующие интегралы существовали,
нужно, чтобы функции R± и их производные убывали на бесконечности быстрее, чем это
обеспечивается условием I. Здесь используется следующий результат, полученный в рабо-
те [10]: пусть q ∈ Lnm(0,−c2) m > 2, n > 1. Тогда при любом ε > 0, s 6 m − 1
∂sR±(λ)
∂k±s
=
Q±,s(k±)
k±n+1
, Q+(·) ∈ L2(R), Q−(·) ∈ L2(R \ (Ωε,− ∪ Ωε,+),
где Ωε,± =
(
±
√
c2 − ε2,±
√
c2 + ε2
)
. Заметим, что области Ωε,± возникли из-за отсутствия
производных по параметру k− у функции R− в точках k− = ±c. Поэтому при интегрирова-
нии по частям формулы (11) мы используем следующие обрезающие функции: B±
ε (k−) =
= B
(
±
√
k2− − c2, ε
)
, где
B(ξ, ε) =
e−( ξε)
2
(
1 −
(
ξ
ε
)2m
)m+3
при |ξ| 6 ε,
0 при |ξ| > ε,
(13)
и представляем Fc,−(x, t) в виде
Fc,−(x, t) =
∫
R\{Ωε,+∪Ωε,−}
Φ(k−)e−ik−xdk− + I+(x, t, ε) + I−(x, t, ε), (14)
где
I±(x, t, ε) =
∫
Ωε,±
Φ(k−)e−ik−x(1 −B±
ε (k−)) dk− +
∫
Ωε,±
Φ(k−)e−ik−xB±
ε (k−) dk− (15)
и Φ(k−) := R−(λ(k−))ψ(ik−, t). Первые слагаемые в формулах (14) и (15) интегрируются
обычным образом, причем их внеинтегральные члены взаимно сокращают друг друга. Что
касается последнего слагаемого в формуле (15), то для его оценки используется следующая
лемма.
Лемма 2. Пусть q ∈ Lnm(0,−c2), m > 3, n > 1. Тогда в области Ωε,± функция Φ(k−)
допускает следующее разложение по параметру ξ = ±
√
k2− + c2:
Φ(k−) = a±0 + a±1 ξ + · · · + ξ[
m+1
2 ]g±(ξ),
где g±(ξ) ∈ C[m+1
2
−1](Ωε,±).
Тем самым функция ξ[
m+1
2 ]g±(ξ) может быть [m+ 1/2] − 1 раз продифференцирована
по переменной k−, при этом внеинтегральные члены исчезают за счет функции B±
ε (k−).
Оставшаяся степенная функция может быть выражена через функции параболического
цилиндра, причем оценки имеют экспоненциальный характер убывания при x → −∞.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 11
Нам остается оценить функцию Fc,+(x, t). Представим второе слагаемое в формуле (10)
в виде
1
4π
0∫
−c2
|T−(λ)|2ψ
(
i
√
λ
)
ei
√
λx dλ√
λ+ c2
=
1
π
0∫
c
P (h)ψ(h)e−hxdh, (16)
где
√
λ = k+ = ih и
P (h) = ihW(ϕ−, ϕ−)
/
(W(ϕ−, ϕ+)W(ϕ−, ϕ+)), (17)
где W(f, g) — вронскиан двух функций. Очевидно, что при интегрировании по частям пра-
вой части (16) внеинтегральные члены, соответствующие точке c, будут экспоненциально
малы при x→ +∞. Поэтому при интегрировании по частям обоих слагаемых в (10) должны
взаимно сокращаться внеинтегральные члены, соответствующие точкам 0. Элементарный
подсчет показывает, что это достигается, если выполнена следующая лемма.
Лемма 3. Пусть q ∈ Lnm(0,−c2), m > 3, n > 0. Тогда имеет место тождество
lim
k+→+0
Re
{
is+1 ∂s
∂ks+
R+(λ)
}
= lim
h→+0
∂s
∂hs
P (h), s = 0, 1, . . . ,m− 1. (18)
Эта лемма доказывается с помощью тождества Плюккера.
Работа выполнена при частичной поддержке гранта “Мережа математичних дослiджень
2013–2015”.
1. Marchenko V.A. The inverse scattering problem and its applications to NLPDE // Scattering and Inverse
Scattering in Pure and Applied Science / Ed. by R. Pike, P. Sabatier. – San Diego: Academic Press, 2002. –
P. 1695–1706.
2. Кружков С.Н., Фаминский А.В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Кортевега–де
Фриза // Матем. сб. – 1983. – 120(162), № 3. – С. 396–425.
3. Kappeler T. Solutions of the Korteweg–de Vries equation with steplike initial data // J. Different. Equat. –
1986. – 63, No 3. – P. 306–331.
4. Egorova I., Teschl G. On the Cauchy problem for the Korteweg–de Vries equation with steplike finite-gap
initial data II. Perturbations with finite moments // J. Anal. Math. – 2011. – 115. – P. 71–101.
5. Буслаев В.С., Фомин В.Н. К обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения Шредингера
на всей оси // Вестн. Ленингр. ун-та. – 1962. – 17, № 1. – С. 56–64.
6. Cohen A., Kappeler T. Scattering and inverse scattering for steplike potentials in the Schrödinger equa-
tion // Indiana Univ. Math. J. – 1985. – 34, No 1. – P. 127–180.
7. Marchenko V.A. Sturm–Liouville operators and applications. – Basel: Birkhäuser, 1986. – 395 p.
8. Egorova I., Gladka Z., Lange T.-L., Teschl G. On the inverse scattering transform method for the Korteweg–
de Vries equation with steplike initial data / University of Vienna. – Prepr. – Wien, 2014.
9. Хруслов Е.Я. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с начальными
данными типа ступеньки // Матем. сб. – 1976. – 99, № 2. – С. 261–281.
10. Гладкая З.Н. О коэффициенте отражения оператора Шредингера с гладким потенциалом // Доп.
НАН України. – 2014. – № 9. – P. 7–9.
Поступило в редакцию 22.09.2014Физико-технический институт низких температур
им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
З.М. Гладка
Про розв’язок рiвняння Кортевега–де Фрiза з початковими даними
типу сходинки
Встановлено розв’язнiсть задачi Кошi для рiвняння Кортевега–де Фрiза з початковими
даними типу сходинки, а також швидкiсть спадання розв’язкiв залежно вiд гладкостi по-
тенцiалу.
Z.M. Gladka
About solving the Korteweg–de Vries equation with step-like initial data
The solvability of a Cauchy problem for the Korteweg–de Vries equation is established, and the rate
of decrease of solutions as a function of the smoothness of the potential is found.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 13
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95824 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:22:12Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гладкая, З.Н. 2016-03-06T10:42:02Z 2016-03-06T10:42:02Z 2015 О решениях уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки / З.Н. Гладкая // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 7-13. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95824 517.94 Установлена разрешимость задачи Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки, а также скорость убывания решений в зависимости от гладкости потенциала. Встановлено розв’язнiсть задачi Кошi для рiвняння Кортевега–де Фрiза з початковими
 даними типу сходинки, а також швидкiсть спадання розв’язкiв залежно вiд гладкостi потенцiалу. The solvability of a Cauchy problem for the Korteweg–de Vries equation is established, and the rate
 of decrease of solutions as a function of the smoothness of the potential is found. Работа выполнена при частичной поддержке гранта “Мережа математичних дослiджень 2013–2015”. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О решениях уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки Про розв’язок рiвняння Кортевега–де Фрiза з початковими даними типу сходинки About solving the Korteweg–de Vries equation with step-like initial data Article published earlier |
| spellingShingle | О решениях уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки Гладкая, З.Н. Математика |
| title | О решениях уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки |
| title_alt | Про розв’язок рiвняння Кортевега–де Фрiза з початковими даними типу сходинки About solving the Korteweg–de Vries equation with step-like initial data |
| title_full | О решениях уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки |
| title_fullStr | О решениях уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки |
| title_full_unstemmed | О решениях уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки |
| title_short | О решениях уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки |
| title_sort | о решениях уравнения кортевега–де фриза с начальными данными типа ступеньки |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95824 |
| work_keys_str_mv | AT gladkaâzn orešeniâhuravneniâkortevegadefrizasnačalʹnymidannymitipastupenʹki AT gladkaâzn prorozvâzokrivnânnâkortevegadefrizazpočatkovimidanimitipushodinki AT gladkaâzn aboutsolvingthekortewegdevriesequationwithsteplikeinitialdata |