Теоретико-груповий аналіз розв’язків д’Аламбера основного рівняння зовнішньої балістики
Розглянуто основне рiвняння зовнiшньої балiстики та доведено, що всi запропонованi
 д’Аламбером у 1744 р. спецiалiзацiї функцiї аеродинамiчного опору перетворюють це
 рiвняння на таке, яке допускає фундаментальну систему розв’язкiв у сенсi Лi–Шеферса.
 Саме завдяки цiй прихов...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95825 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Теоретико-груповий аналіз розв’язків д’Аламбера основного рівняння зовнішньої балістики / В.І. Легенький // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 14-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860187747332915200 |
|---|---|
| author | Легенький, В.І. |
| author_facet | Легенький, В.І. |
| citation_txt | Теоретико-груповий аналіз розв’язків д’Аламбера основного рівняння зовнішньої балістики / В.І. Легенький // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 14-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто основне рiвняння зовнiшньої балiстики та доведено, що всi запропонованi
д’Аламбером у 1744 р. спецiалiзацiї функцiї аеродинамiчного опору перетворюють це
рiвняння на таке, яке допускає фундаментальну систему розв’язкiв у сенсi Лi–Шеферса.
Саме завдяки цiй прихованiй властивостi воно зводиться до класичних рiвнянь Бернуллi та Рiккатi.
Рассмотрено основное уравнение внешней баллистики и доказано, что все предложенные
д’Аламбером в 1744 г. специализации функции аэродинамического сопротивления превращают указанное уравнение в такое, которое допускает систему фундаментальных решений в смысле Ли–Шефферса. Именно благодаря этому скрытому свойству оно сводится
к классическим уравнениям Бернулли и Риккати.
We consider the basic equation of exterior ballistics and prove that all specializations of the drug
function presented by d’Alembert in 1744 transform this equation to some Lie–Sheffers equation.
Due to this hidden property, it can be converted to the classical Bernoulli or Riccati equations.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:05:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9+514.8
В. I. Легенький
Теоретико-груповий аналiз розв’язкiв д’Аламбера
основного рiвняння зовнiшньої балiстики
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А. Г. Нiкiтiним)
Розглянуто основне рiвняння зовнiшньої балiстики та доведено, що всi запропонованi
д’Аламбером у 1744 р. спецiалiзацiї функцiї аеродинамiчного опору перетворюють це
рiвняння на таке, яке допускає фундаментальну систему розв’язкiв у сенсi Лi–Шеферса.
Саме завдяки цiй прихованiй властивостi воно зводиться до класичних рiвнянь Бернуллi
та Рiккатi.
Основне рiвняння зовнiшньої балiстики вiд початку 18 ст. i дотепер привертає увагу фа-
хiвцiв у галузi диференцiальних рiвнянь. Пошуком його розв’язкiв у рiзнi часи займались
Ж.Л. д’Аламбер (1744) [1], Л. Ейлер (1753) [2], А.-М. Лежандр (1782), К.-Г. Якобi (1842),
Ф. Сiаччi (1901) [3], Ж. Драш (1920) [4], М. Куренський (1931–1934) [5, 6]. Цьому рiвнянню
присвяченi вiдповiднi роздiли в класичних пiдручниках з механiки та балiстики, воно ввi-
йшло у вiдомий довiдник Е. Камке [7, с. 543–544]. Основне рiвняння зовнiшньої балiстики
з’являється при розглядi рiвнянь руху будь-якого тiла, що кинуте у вертикальнiй площинi
пiд деяким кутом до горизонту.
Рiвняння руху можуть бути поданi системою диференцiальних рiвнянь:
dH
dt
= V sin θ,
dL
dt
= V cos θ,
dV
dt
= −F (V )
m
− g sin θ,
dθ
dt
= −g cos θ
V
, (1)
де H — висота, L — дальнiсть, V — швидкiсть, θ — кут нахилу траєкторiї, m — маса тiла,
g — прискорення сили тяжiння, F (V ) — сила аеродинамiчного опору.
Внаслiдок припущення, що (m, g) — константи, якi можуть бути “усунутi” з рiвнянь
перетвореннями еквiвалентностi, та з огляду на те, що правi частини рiвнянь не залежать
вiд H, L, t (система iнварiантна вiдносно зсувiв у часi i просторi), визначальним (“розв’я-
зуючим”) виявляється рiвняння мiж швидкiстю та кутом нахилу траєкторiї, а саме:
dV
dθ
=
V (F (V ) + sin θ)
cos θ
. (2)
Це рiвняння називається основним рiвнянням балiстики, або рiвнянням годографа. Якщо
вдається розв’язати рiвняння (2), решта рiвнянь системи (1) iнтегрується в квадратурах [6].
Складнiсть iнтегрування рiвняння (2) полягає в тому, що функцiя опору F (V ), яка
фiгурує в правiй частинi цього рiвняння, не є апрiорi визначеною функцiєю (вона не має
точної теоретичної спецiалiзацiї). Багато зусиль було докладено балiстиками для з’ясування
цiєї залежностi, але загальноприйнятої отримано не було. Зважаючи на це, д’Аламбер [1]
поставив задачу про знаходження такого вигляду функцiї F (V ), при якому рiвняння (2)
iнтегрується в квадратурах. Вiн встановив чотири спецiалiзацiї, що задовольняють попе-
© В. I. Легенький, 2015
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
редньо висунуту вимогу, а саме:
1) F (V ) = aV n + b,
2) F (V ) = a lnV + b,
3) F (V ) = aV n + bV −n + c,
4) F (V ) = a ln2 V + b lnV + c,
(3)
та для цих випадкiв проiнтегрував рiвняння (2). Вiн також зауважив, що цей перелiк функ-
цiй, можливо, не є вичерпним.
Зазначимо, що довiльнi константи (a, b, c, n), що характеризують вказанi функцiї, мо-
жуть бути використанi при апроксимацiї реальних залежностей, здобутих експерименталь-
ним шляхом.
д’Аламбер не запропонував методу для знаходження таких спецiалiзацiй, тому мета
даної публiкацiї — проiнтерпретувати результат д’Аламбера з сучасних теоретико-групових
позицiй.
Щоб з’ясувати, чи можливi на цьому шляху якiсь iншi спецiалiзацiї, будемо спиратись на
теоретичний доробок С. Лi, а саме на його теорiю фундаментальних розв’язкiв та пов’язану
iз нею теорiю неперервних груп перетворень одновимiрного простору [8, 9]. Як показав Лi,
рiвняння першого порядку
dV
dθ
= f(V, θ)
може допускати систему фундаментальних розв’язкiв, якщо i тiльки якщо його можна по-
дати у виглядi
dV
dθ
= ξ1(V )η1(θ) + ξ2(V )η2(θ) + ξ3(V )η3(θ),
де оператори
Xi = ξi(V )∂V , i = 1, 3, (4)
утворюють алгебру Лi проективних перетворень прямої, яка iзомофна алгебрi Лi sl2(R) або
однiй з її пiдалгебр.
Тому задача знаходження специфiкацiй функцiї F (V ) може бути поставлена таким чи-
ном: з’ясувати, при яких F (V ) оператори (4), якi асоцiйованi з вихiдним рiвнянням (2),
є подiбними до вказаної проективної алгебри Лi проективної групи, та знайти перетворен-
ня подiбностi. Вiдповiдь на останнє запитання дав також С. Лi в роботi [9]. Зокрема, ним
було доведено таке твердження:
Твердження 1 [9, c. 24–26]. Визначальне рiвняння неперервної групи одновимiрного
многовиду завжди має один iз таких виглядiв:
ξ′ + α(V )ξ = 0,
ξ′′ + α(V )ξ′ + α′(V )ξ = 0,
ξ′′′ + 2α(V )ξ′ + α′(V )ξ = 0,
(5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 15
та замiною змiнних (V̂ = Φ(V ), ξ̂ = ξΦ′(V )) завжди може бути спрощено до канонiчного
вигляду:
ξ̂′ = 0, ξ̂′′ = 0, ξ̂′′′ = 0, ( )′ =
d
dV̂
,
а функцiя Φ(V ) задовольняє такi рiвняння: у перших двох випадках
Φ′′ = αΦ′, (6)
а у третьому випадку
Φ′Φ′′′ − 3
2
(Φ′′)2 = α(Φ′)2. (7)
Таким чином, алгоритм побудови належних специфiкацiй пропонується в такому ви-
глядi:
1) задаємося розмiрнiстю r 6 3 пiдалгебри алгебри Лi sl2(R);
2) по одному з фiксованих коефiцiєнтiв операторiв (в даному випадку ξ1 = V ) за допо-
могою вiдповiдного рiвняння системи (5) знаходимо функцiю α(V );
3) за знайденою функцiєю α(V ) знаходимо загальний розв’язок вiдповiдного рiвнян-
ня (5) та, прирiвнiючи його до невiдомого коефiцiєнта ξ2(V ) (у даному випадку — V F (V )),
знаходимо специфiкацiю функцiї F (V );
4) за формулами (6) або (7) знаходимо вiдповiднi перетворення подiбностi (V̂ = Φ(V )),
якi зводять систему (5) та вихiдне рiвняння до канонiчного вигляду.
Розглянемо послiдовно асоцiйованi з вихiдним рiвнянням рiвняння, що мають фунда-
ментальну систему розв’язкiв з розмiрнiстю пiдалгебри r = 1, 2, 3 алгебри Лi sl2(R).
Випадок r = 1. Пiдстановка ξ = V у перше рiвняння системи (5) дає
1 + α(V )V = 0 ⇒ α(V ) = − 1
V
.
Загальний розв’язок першого рiвняння системи (5)
ξ′ − 1
V
ξ = 0
є ξ = C1V . З рiвностi V F (V ) = C1V знаходимо F (V ) = C1 = const. Додаткових перетворень
змiнної V для цього випадку непотрiбно.
Випадок r = 2. З другого рiвняння системи (5) для ξ = V знаходимо рiвняння на α(V ):
α(V ) + α′(V )V = 0, звiдки α(V ) =
C1
V
.
Доцiльно обрати сталу C1 = −n, тодi для загального розв’язку (5) отримаємо рiвняння
V 2ξ′′ − nV ξ′ + nξ = 0,
яке, вiдповiдно, має своїм розв’язком функцiю
ξ(V ) =
{
C1V + C2V
n, n ̸= 1,
C1V + C2V lnV, n = 1.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
Вiдповiдно, розв’язуючи рiвняння ξ(V ) = V F (V ), маємо
F (V ) =
{
C1 + C2V
n−1,
C1 + C2 lnV.
Перетворення, що зводять рiвняння (2) до лiнiйного вiдносно V̂ вигляду, є такими:
V̂ = Φ(V ) =
{
V 1−n, n ̸= 1,
lnV, n = 1.
Випадок r = 3. Третє рiвняння системи (5) при ξ(V ) = V дає
2α(V ) + α′(V )V = 0, звiдки α(V ) =
C1
V 2
.
Так само, для спрощення подальших перетворень приймаємо C1 = 1 − n2. Вiдповiдно, для
ξ(V ) отримуємо рiвняння
V 3ξ′′′ + (1 − n2)V ξ′ − (1 − n2)ξ = 0,
яке має загальний розв’язок
ξ(V ) =
{
C1V + C2V
1+n + C3V
1−n, n ̸= 0,
C1V + C2V lnV + C3V ln2 V, n = 0.
Вiдповiдно, для F (V ) отримуємо:
F (V ) =
{
C1 + C2V
n + C3V
−n,
C1 + C2 lnV + C3 ln2 V.
Розв’язки рiвняння (7), вiдповiдно, дають
V̂ = Φ(V ) =
2n(1 + V n)
(1 − V n)
, n ̸= 0,
(lnV )−1, n = 0.
Таким чином, ми довели нижченаведений результат.
Твердження 2. Спецiалiзацiї д’Аламбера (3) довiльної функцiї F (V ) i тiльки вони
перетворюють основне рiвняння зовнiшньої балiстики на таке, яке допускає фундамен-
тальну систему розв’язкiв.
Отже, базуючись на фундаментальних результатах Лi, ми запропонували алгоритм зна-
ходження специфiкацiй довiльної функцiї F (V ), при яких вихiдне рiвняння є таким, яке
допускає фундаментальну систему розв’язкiв. Ми також знайшли вiдповiднi перетворення,
що редукують вихiдне рiвняння до лiнiйного рiвняння (випадки r = 1, 2) або рiвняння Рiк-
катi (випадок r = 3). Знайденi специфiкацiї збiгаються (з точнiстю до позначень) з тими,
якi знайшов д’Аламбер у 1744 р. Отриманий результат має не тiльки теоретичне, а й мето-
дологiчне значення, вiдкриваючи шлях до часткової групової класифiкацiї рiвнянь першого
порядку з довiльною функцiєю одного аргументу.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 17
1. d’Alembert J. L. Traite de l’équilibre et du mouvement des fluides. – Paris, 1744. – 458 p.
2. Эйлер Л. Исследования по баллистике. – Москва: Физматгиз, 1961. – 590 с.
3. Siacci F. Sur un probléme de d’Alembert // C. r. Acad. Sci. – 1901. – 132. – P. 1175–1178; 133. –
P. 381–382.
4. Drach J. L’équation différentielle de la balistique extériure et son intégration par quadratures // Ann. sci.
École Norm. Supér. Sér. 3. – 1920. – 37. – P. 1–94.
5. Kourensky M. Sur l’équation fondamentale de la balistiqe extérieure // C. r. Acad. Sci. – 1931. – 193. –
P. 571–572.
6. Куренський M.K. Лiт снаряда: Основна задача зовнiшньої балiстики про лiт снаряда. – Київ: Вид-во
ВУАН, 1934. – 139 с.
7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 4-е изд., испр. – Москва:
Наука, 1971. – 576 с.
8. Ли С. Теория групп преобразований. В 3 ч.: Ч. 3. – Москва; Ижевск: Ижев. ин-т компьютер. иссле-
дований, 2013. – 937 с.
9. Ли С. Симметрии дифференциальных уравнений. Лекции о непрерывных группах с геометрическими
и другими приложениями. Т. 2. – Москва; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2011. –
840 с.
10. Яковенко Г.Н. Дифференциальные уравнения с фундаментальными решениями: Софус Ли и дру-
гие. – Москва: Физматкнига, 2006. – 112 с.
Надiйшло до редакцiї 25.09.2014Iнститут проблем математичних
машин i систем НАН України, Київ
В.И. Легенький
Теоретико-групповой анализ решений д’Аламбера основного
уравнения внешней баллистики
Рассмотрено основное уравнение внешней баллистики и доказано, что все предложенные
д’Аламбером в 1744 г. специализации функции аэродинамического сопротивления превра-
щают указанное уравнение в такое, которое допускает систему фундаментальных реше-
ний в смысле Ли–Шефферса. Именно благодаря этому скрытому свойству оно сводится
к классическим уравнениям Бернулли и Риккати.
V. I. Lehenkyi
The group-theoretic analysis for d’Alembert’s solutions of the basic
equation of exterior ballistics
We consider the basic equation of exterior ballistics and prove that all specializations of the drug
function presented by d’Alembert in 1744 transform this equation to some Lie–Sheffers equation.
Due to this hidden property, it can be converted to the classical Bernoulli or Riccati equations.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95825 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:05:05Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Легенький, В.І. 2016-03-06T10:42:18Z 2016-03-06T10:42:18Z 2015 Теоретико-груповий аналіз розв’язків д’Аламбера основного рівняння зовнішньої балістики / В.І. Легенький // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 14-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95825 517.9+514.8 Розглянуто основне рiвняння зовнiшньої балiстики та доведено, що всi запропонованi
 д’Аламбером у 1744 р. спецiалiзацiї функцiї аеродинамiчного опору перетворюють це
 рiвняння на таке, яке допускає фундаментальну систему розв’язкiв у сенсi Лi–Шеферса.
 Саме завдяки цiй прихованiй властивостi воно зводиться до класичних рiвнянь Бернуллi та Рiккатi. Рассмотрено основное уравнение внешней баллистики и доказано, что все предложенные
 д’Аламбером в 1744 г. специализации функции аэродинамического сопротивления превращают указанное уравнение в такое, которое допускает систему фундаментальных решений в смысле Ли–Шефферса. Именно благодаря этому скрытому свойству оно сводится
 к классическим уравнениям Бернулли и Риккати. We consider the basic equation of exterior ballistics and prove that all specializations of the drug
 function presented by d’Alembert in 1744 transform this equation to some Lie–Sheffers equation.
 Due to this hidden property, it can be converted to the classical Bernoulli or Riccati equations. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Теоретико-груповий аналіз розв’язків д’Аламбера основного рівняння зовнішньої балістики Теоретико-групповой анализ решений д’Аламбера основного уравнения внешней баллистики The group-theoretic analysis for d’Alembert’s solutions of the basic equation of exterior ballistics Article published earlier |
| spellingShingle | Теоретико-груповий аналіз розв’язків д’Аламбера основного рівняння зовнішньої балістики Легенький, В.І. Математика |
| title | Теоретико-груповий аналіз розв’язків д’Аламбера основного рівняння зовнішньої балістики |
| title_alt | Теоретико-групповой анализ решений д’Аламбера основного уравнения внешней баллистики The group-theoretic analysis for d’Alembert’s solutions of the basic equation of exterior ballistics |
| title_full | Теоретико-груповий аналіз розв’язків д’Аламбера основного рівняння зовнішньої балістики |
| title_fullStr | Теоретико-груповий аналіз розв’язків д’Аламбера основного рівняння зовнішньої балістики |
| title_full_unstemmed | Теоретико-груповий аналіз розв’язків д’Аламбера основного рівняння зовнішньої балістики |
| title_short | Теоретико-груповий аналіз розв’язків д’Аламбера основного рівняння зовнішньої балістики |
| title_sort | теоретико-груповий аналіз розв’язків д’аламбера основного рівняння зовнішньої балістики |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95825 |
| work_keys_str_mv | AT legenʹkiiví teoretikogrupoviianalízrozvâzkívdalamberaosnovnogorívnânnâzovníšnʹoíbalístiki AT legenʹkiiví teoretikogruppovoianalizrešeniidalamberaosnovnogouravneniâvnešneiballistiki AT legenʹkiiví thegrouptheoreticanalysisfordalembertssolutionsofthebasicequationofexteriorballistics |