Об одном способе оценки решений квазилинейных систем
Для оценки решений квазилинейных систем уравнений возмущенного движения предложен способ оценки нормы решений на основе одного нелинейного интегрального неравенства. Для оцiнки розв’язкiв квазiлiнiйних систем рiвнянь збуреного руху запропоновано спосiб оцiнки норми розв’язкiв на основi однiєї нелiн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95826 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном способе оценки решений квазилинейных систем / А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 19-23. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859661615069134848 |
|---|---|
| author | Мартынюк, А.А. |
| author_facet | Мартынюк, А.А. |
| citation_txt | Об одном способе оценки решений квазилинейных систем / А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 19-23. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Для оценки решений квазилинейных систем уравнений возмущенного движения предложен способ оценки нормы решений на основе одного нелинейного интегрального неравенства.
Для оцiнки розв’язкiв квазiлiнiйних систем рiвнянь збуреного руху запропоновано спосiб
оцiнки норми розв’язкiв на основi однiєї нелiнiйної iнтегральної нерiвностi.
To estimate the solutions of quasilinear systems of equations of perturbed motion, an estimation
method is proposed on the basis of a nonlinear integral inequality.
|
| first_indexed | 2025-11-30T10:03:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.36
Академик НАН Украины А.А. Мартынюк
Об одном способе оценки решений квазилинейных
систем
Для оценки решений квазилинейных систем уравнений возмущенного движения предло-
жен способ оценки нормы решений на основе одного нелинейного интегрального неравен-
ства.
Рассматривается нелинейная система дифференциальных уравнений возмущенного движе-
ния некоторой механической системы в виде
dx
dt
= A(t)x+ f(t, x), x(t0) = x0, (1)
где x ∈ Rn; f ∈ C(R+ × Rn,Rn); A(t) — n × n — матрица с непрерывными на любом
конечном интервале элементами. Уравнения (1) могут рассматриваться как возмущение
системы линейных уравнений
dy
dt
= A(t)y, y(t0) = y0, (2)
Свойства устойчивости и ограниченности решений системы (1) часто исследуются путем
сравнения со свойствами решений уравнений (2) (см., например, [1–3]).
В данной работе свойства решений уравнения (1) исследуются на основании одного не-
линейного интегрального неравенства. Это позволяет расширить предположения о системе
уравнений (2) по сравнению с упомянутым подходом.
Установим вначале оценку нормы решений x(t) системы (1) при таких предположениях:
А1. Существует неотрицательная интегрируемая функция b(t) при всех t > t0 > 0 такая,
что
∥A(t)∥ 6 b(t) при всех t > t0 > 0.
А2. Существует неотрицательная интегрируемая функция c(t) при всех t > t0 > 0 и по-
стоянная α > 1 такие, что
∥f(t, x)∥ 6 c(t)∥x∥α
при всех (t, x) ∈ R+ × D, где D = {x ∈ Rn : ∥x∥ 6 d}.
Теорема 1. Пусть для системы уравнений (1) выполняются условия предположений
А1, А2. Тогда для нормы решений x(t) = x(t, t0, x0) верна оценка
∥x(t)∥ 6
∥x0∥ exp
t∫
t0
b(s) ds
[
1 − (α− 1)∥x0∥α−1
t∫
t0
c(s) exp
(
(α− 1)
s∫
t0
b(τ) dτ
)
ds
]1/(α−1)
(3)
© А.А. Мартынюк, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 19
при всех t > t0 > 0, как только
(α− 1)∥x0∥α−1
t∫
t0
c(s) exp
(
(α− 1)
t∫
t0
b(τ) dτ
)
ds < 1. (4)
Доказательство. Пусть x(t) — решение системы уравнений (1) с начальными значе-
ниями x(t0) = x0, t0 > 0. Из уравнения (1) при условиях А1, А2 получим оценку нормы
решения x(t) в виде
∥x(t)∥ 6 ∥x0∥ +
t∫
t0
b(s)∥x(s)∥ ds+
t∫
t0
c(s)∥x(s)∥αds. (5)
Неравенство (5) преобразуем к псевдолинейному неравенству (см. [4]):
∥x(t)∥ 6 ∥x0∥ +
t∫
t0
(b(s) + c(s)∥x(s)∥α−1)∥x(s)∥ ds, (6)
и применив лемму Гронуолла–Беллмана [1], получим оценку
∥x(t)∥ 6 ∥x0∥ exp
( t∫
t0
(b(s) + c(s)∥x(s)∥α−1) ds
)
(7)
при всех t > t0 > 0. Обозначим ∥x(t)∥ = ψ(t) при всех t > t0 и перепишем неравенство (7)
в виде
ψα−1(t) 6 ∥x0∥α−1 exp
[
(α− 1)
t∫
t0
(b(s) + c(s)ψα−1(s)) ds
]
. (8)
Умножив обе стороны неравенства (8) на выражение
−(α− 1)c(s) exp
(
−(α− 1)
t∫
t0
c(s)ψα−1(s) ds
)
,
получим
−(α− 1)c(t)ψα−1(t) exp
[
−(α− 1)
t∫
t0
c(s)ψk−1(s) ds
]
>
> −(α− 1)∥x0∥α−1c(t) exp
[
(α− 1)
t∫
t0
b(s) ds
]
,
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
откуда следует, что
−(α− 1)∥x0∥α−1c(t) exp
[
(α− 1)
t∫
t0
b(s) ds
]
6 d
dt
[
exp
(
−(α− 1)
t∫
t0
c(s)ψα−1(s) ds
)]
.
Интегрируя это неравенство в пределах от t0 до t, находим
1− (α− 1)∥x0∥α−1
t∫
t0
c(s) exp
[
(α− 1)
s∫
t0
b(τ) dτ
]
ds 6 exp
[
−(α− 1)
t∫
t0
c(s)ψα−1(s) ds
]
. (9)
При выполнении условия (3) из оценки (9) следует
exp
[
(α− 1)
t∫
t0
c(s)ψα−1(s) ds
]
6 1
1 − (α− 1)∥x0∥α−1
t∫
t0
c(s) exp
(
(α− 1)
s∫
t0
b(τ) dτ
)
ds
.
При этом неравенство (7) примет вид
ψα−1(t) 6 ∥x0∥α−1
exp
[
(α− 1)
t∫
t0
b(s) ds
]
1 − (α− 1)∥x0∥α−1
t∫
t0
c(s) exp
(
(α− 1)
s∫
t0
b(τ) dτ
)
ds
,
из которого следует оценка ∥x(t)∥ при всех t > t0 > 0.
Теорема 1 доказана.
Замечание 1. При получении оценки нормы решений квазилинейных уравнений обычно
применяется лемма Гронуолла–Беллмана [1–3]. Неравенство (5) является частным случаем
неравенства (1.4.9) из монографии [5]. Однако применение псевдолинейного неравенства (6)
в контексте с леммой Гронуолла–Беллмана упрощает получение оценки для нормы решений
системы (1) и имеет определенный интерес для приложений.
Оценка (3) позволяет установить условия ограниченности и устойчивости решения сис-
темы (1) в следующем виде.
Теорема 2. Если выполняются условия A1, A2 теоремы 1 при всех (t, x) ∈ R+ × Rn
и существует постоянная β > 0 такая, что ∥x(t)∥(3) < β при всех t > t0, где β может
зависеть от каждого решения, то решение x(t, t0, x0) системы (1) ограничено.
Теорема 3. Если выполняются условия A1, A2 теоремы 1 при всех (t, x) ∈ R+ × D
и f(t, x) = 0 при x = 0 и для любого ε > 0 и t0 > 0 существуют δ(t0, ε) > 0 такие, что,
если ∥x0∥ < δ(t0, ε), выполняется оценка ∥x(t)∥(3) < ε при всех t > t0, то нулевое решение
системы (1) устойчиво.
Доказательства утверждений теорем 2, 3 следуют непосредственно из оценки нормы
решений x(t) в форме (3). Символы ∥x(t)∥(3) < β и (∥x(t)∥(3) < ε) означают, что этим
неравенствам должна удовлетворять правая часть неравенства (3) при соответствующих
начальных условиях.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 21
Пример. Рассмотрим существенно нелинейную систему (например, систему (1) при
A(t) ≡ 0 при всех t > t0 > 0)
dx
dt
= f(t, x), x(t0) = x0. (10)
Если выполняется условие A2 с функцией c(t) такой, что
tk+1∫
tk
c(t) dt > 0
при любых (tk, tk+1) ∈ R+, tk < tk+1, то
∥x(t)∥ 6 ∥x0∥ +
t∫
t0
c(s)∥x(s)∥αds.
Нетрудно показать, что если
(α− 1)∥x0∥α−1
t∫
t0
c(s) ds < 1
при всех t > t0 > 0, то
∥x(t)∥ 6 ∥x0∥(
1 − (α− 1)∥x0∥α−1
t∫
t0
c(s) ds
)1/(α−1)
(11)
при всех t > t0 > 0.
Замечание 2. Оценка (11) получается такой же на основе леммы Бихари (см. [7] и библио-
графию там). Это иллюстрирует эквивалентность подходов, основанных на применении
леммы Бихари и псевдолинейного неравенства при исследовании поведения нормы решений
нелинейной системы (1).
1. Bellman R. Stability theory of differential equations. – New York: Dover, 1953. – 166 p.
2. Coddington E.A., Levinson N. Theory of ordinary differential equations. – New York: McGraw-Hill, 1955. –
429 p.
3. Rao M.R.M. Ordinary differential equations. – New Delhi-Madras: Affiliated East-West Press, 1980. –
266 p.
4. Louartassi Y., El Mazoudi El H., Elalami N. A new generalization of lemma Gronwall–Bellman // Appl.
Math. Sci. – 2012. – 13, No 6. – P. 621–628.
5. Мартынюк А.А., Гутовский Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. – Киев: Наук.
думка, 1979. – 271 с.
6. Мартынюк А.А., Лакшмикантам В., Лила С. Устойчивость движения: Метод интегральных нера-
венств. – Киев: Наук. думка, 1989. – 271 с.
7. Pachpatte B.G. Inequalities for differential and integral equations. – San Diego: Academic Press, 1998. –
611 p. – 271 p.
Поступило в редакцию 27.08.2014Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
Академiк НАН України А.А. Мартинюк
Про один спосiб оцiнки розв’язкiв квазiлiнiйних систем
Для оцiнки розв’язкiв квазiлiнiйних систем рiвнянь збуреного руху запропоновано спосiб
оцiнки норми розв’язкiв на основi однiєї нелiнiйної iнтегральної нерiвностi.
Academician of the NAS of Ukraine A.A. Martynyuk
On a method for estimating the solutions of quasilinear systems
To estimate the solutions of quasilinear systems of equations of perturbed motion, an estimation
method is proposed on the basis of a nonlinear integral inequality.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95826 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T10:03:40Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартынюк, А.А. 2016-03-06T10:42:31Z 2016-03-06T10:42:31Z 2015 Об одном способе оценки решений квазилинейных систем / А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 19-23. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95826 517.36 Для оценки решений квазилинейных систем уравнений возмущенного движения предложен способ оценки нормы решений на основе одного нелинейного интегрального неравенства. Для оцiнки розв’язкiв квазiлiнiйних систем рiвнянь збуреного руху запропоновано спосiб оцiнки норми розв’язкiв на основi однiєї нелiнiйної iнтегральної нерiвностi. To estimate the solutions of quasilinear systems of equations of perturbed motion, an estimation method is proposed on the basis of a nonlinear integral inequality. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Об одном способе оценки решений квазилинейных систем Про один спосiб оцiнки розв’язкiв квазiлiнiйних систем On a method for estimating the solutions of quasilinear systems Article published earlier |
| spellingShingle | Об одном способе оценки решений квазилинейных систем Мартынюк, А.А. Математика |
| title | Об одном способе оценки решений квазилинейных систем |
| title_alt | Про один спосiб оцiнки розв’язкiв квазiлiнiйних систем On a method for estimating the solutions of quasilinear systems |
| title_full | Об одном способе оценки решений квазилинейных систем |
| title_fullStr | Об одном способе оценки решений квазилинейных систем |
| title_full_unstemmed | Об одном способе оценки решений квазилинейных систем |
| title_short | Об одном способе оценки решений квазилинейных систем |
| title_sort | об одном способе оценки решений квазилинейных систем |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95826 |
| work_keys_str_mv | AT martynûkaa obodnomsposobeocenkirešeniikvazilineinyhsistem AT martynûkaa proodinsposibocinkirozvâzkivkvaziliniinihsistem AT martynûkaa onamethodforestimatingthesolutionsofquasilinearsystems |