Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами
В областi, що є декартовим добутком вiдрiзка на багатовимiрний тор, дослiджено крайову задачу з умовами Дiрiхле–Неймана за видiленою змiнною та умовами перiодичностi за iншими координатами для лiнiйних загальних (незалежно вiд типу) рiвнянь iз
 частинними похiдними високого порядку зi сталим...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95827 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами / Б.Й. Пташник, С.М. Репетило // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 24-31. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860066171377680384 |
|---|---|
| author | Пташник, Б.Й. Репетило, С.М. |
| author_facet | Пташник, Б.Й. Репетило, С.М. |
| citation_txt | Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами / Б.Й. Пташник, С.М. Репетило // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 24-31. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | В областi, що є декартовим добутком вiдрiзка на багатовимiрний тор, дослiджено крайову задачу з умовами Дiрiхле–Неймана за видiленою змiнною та умовами перiодичностi за iншими координатами для лiнiйних загальних (незалежно вiд типу) рiвнянь iз
частинними похiдними високого порядку зi сталими коефiцiєнтами, iзотропних сто-
совно порядку диференцiювання за незалежними змiнними. Встановлено умови однозначної розв’язностi задачi та конструктивно побудовано її розв’язок у виглядi ряду за системою ортогональних функцiй. Для оцiнок знизу малих знаменникiв, що виникли
при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiдхiд.
В области, являющейся декартовым произведением отрезка на многомерный тор, исследована краевая задача с условиями Дирихле–Неймана по выделенной переменной и условиями
периодичности по другим координатам для линейных общих (независимо от типа) уравнений с частными производными высокого порядка с постоянными коэффициентами, изотропных относительно порядка дифференцирования по независимым переменным. Установлены условия однозначной разрешимости задачи и конструктивно построено ее решение в виде ряда по системе ортогональных функций. Для оценок снизу малых знаменателей, возникших при построении решения задачи, использован метрический подход.
In the domain, which is the Cartesian product of a segment and a multidimensional torus, we
study the boundary value-problem with Dirichlet-Neumann conditions with respect to the selected
variable and conditions of periodicity with respect to other coordinates for general (regardless of
type) linear partial differential equations of a high order with constant coefficients, isotropic in the
order of differentiation with respect to independent variables. We establish conditions for the unique
solvability of the problem and structurally built the solution in the form of a series in a system of
orthogonal functions. To estimate the small denominators arising in the construction of a solution to the problem from below, we use the metric approach.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:07:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
Член-кореспондент НАН України Б.Й. Пташник, С.М. Репетило
Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних
рiвнянь з частинними похiдними зi сталими
коефiцiєнтами
В областi, що є декартовим добутком вiдрiзка на багатовимiрний тор, дослiджено кра-
йову задачу з умовами Дiрiхле–Неймана за видiленою змiнною та умовами перiодично-
стi за iншими координатами для лiнiйних загальних (незалежно вiд типу) рiвнянь iз
частинними похiдними високого порядку зi сталими коефiцiєнтами, iзотропних сто-
совно порядку диференцiювання за незалежними змiнними. Встановлено умови одно-
значної розв’язностi задачi та конструктивно побудовано її розв’язок у виглядi ряду за
системою ортогональних функцiй. Для оцiнок знизу малих знаменникiв, що виникли
при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiдхiд.
Крайовi задачi з локальними умовами на всiй межi областi для неелiптичних (гiпербо-
лiчних i безтипних) рiвнянь з частинними похiдними є, взагалi, умовно коректними, а їхня
розв’язнiсть в обмежених областях пов’язана з проблемою малих знаменникiв (див., наприк-
лад, [1–5] та бiблiографiю в них). Kоректнiсть таких задач, а також близьких до них за при-
родою задач з нелокальними крайовими умовами вивчалась багатьма авторами; зокрема,
у роботах [1, 2, 4–10] для гiперболiчних та безтипних рiвнянь i систем рiвнянь дослiджено
задачi з умовами типу Дiрiхле, типу Неймана i мiшаними умовами (Дiрiхле–Неймана).
У данiй роботi результати працi [5] частково поширено на задачу з умовами Дiрiхле–
Неймана за видiленою змiнною t для загального (незалежно вiд типу) рiвняння 2n-го по-
рядку, n > 1, яка вивчається в областi, що є декартовим добутком вiдрiзка на p-вимiрний
тор, p > 1. Встановлено умови однозначної розв’язностi задачi та побудовано її розв’язок
у виглядi ряду за системою ортогональних функцiй. Для оцiнок знизу малих знаменни-
кiв, що виникли при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiдхiд. Розглянуто
також частиннi випадки дослiджуваної задачi.
1. Надалi використовуємо такi позначення: Zp+ — множина точок Rp з цiлими невiд’єм-
ними координатами; s = (s1, . . . , sp) ∈ Rp+, |s| = s1 + · · · + sp, ŝ = (s0, s1, . . . , sp) := (s0, s) ∈
∈ Zp+1
+ , |ŝ| = s0+s1+ · · ·+sp; |ŝ|∗ = 2s0+s1+ · · ·+sp; x = (x1, . . . , xp) ∈ Rp; k = (k1, . . . , kp) ∈
∈ Zp, |k| = |k1| + · · · + |kp|; (k, x) = k1x1 + · · · + kpxp; i — уявна одиниця; cj , j = 1, 2, . . ., —
додатнi сталi, якi не залежать вiд k ∈ Zp; Ωp — p-вимiрний тор (R/2πZ)p; D = {(t, x) : t ∈
∈ (0, T ), x ∈ Ωp}; mesB — мiра Лебега множини B ∈ Rm, m ∈ N; T — простiр скiнчен-
них тригонометричних полiномiв з комплексними коефiцiєнтами v(x) =
∑
|k|6N
vk exp(ik, x),
N ∈ N, в якому збiжнiсть визначається таким чином: vn(x)
T→
n→∞
v(x), якщо, починаючи
з деякого номера, степенi всiх полiномiв vn(x), n ∈ N, не перевищують деякого фiксова-
ного числа N1 i vnk →
n→∞
vk для кожного k; T ′ — простiр усiх антилiнiйних неперервних
функцiоналiв над T зi слабкою збiжнiстю (простiр T ′ збiгається з простором формаль-
них тригонометричних рядiв [11]); Cr([0, T ]; T ) (Cr([0, T ]; T ′)), r ∈ Z+, — простiр функцiй
© Б.Й. Пташник, С.М. Репетило, 2015
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
v(t, x) =
∑
|k|>0
vk(t) exp(ik, x), vk(t) ∈ Cr([0, T ]), k ∈ Zp, таких, що при кожному фiксованому
t ∈ [0, T ] ∂jv/∂tj ∈ T (T ′), j ∈ {0, 1, . . . , r}; Hq(Ω
p), q ∈ R, — простiр, отриманий шляхом
поповнення простору T за нормою ∥v;Hq(Ω
p)∥2 :=
∞∑
k=−∞
(1 + |k|2)q|vk|2; Cr([0, T ];Hq(Ω
p)),
q ∈ R, r ∈ Z+, — банахiв простiр функцiй v(t, x) таких, що для кожного t ∈ [0, T ] функ-
цiї ∂jv(t, x)/∂tj , j ∈ {0, 1, . . . , r}, належать до простору Hq−j(Ω
p) та є неперервними за t
у нормi цього простору, ∥v;Cr([0, T ],Hq(Ω
p))∥ :=
r∑
j=0
max
06t6T
∥∂jv/∂tj ;Hq−j(Ω
p)∥. Очевидно,
що Cr([0, T ];Hq(Ω
p)) ⊂ Cr([0, T ]; T ′), q ∈ R.
2. В областi D розглянемо задачу
L[u] :=
∑
|ŝ|∗62n
Aŝ
∂|ŝ|
∗
u(t, x)
∂t2s0∂xs11 · · · ∂xspp
= 0, (t, x) ∈ D, Aŝ ∈ C, A(n,0,...,0) = 1, (1)
Ur[u] :=
∂2r−2u(t, x)
∂t2r−2
∣∣∣∣
t=0
= φr(x),
Un+r[u] :=
∂2r−1u(t, x)
∂t2r−1
∣∣∣∣
t=T
= φn+r(x),
r ∈ {1, . . . , n}, x ∈ Ωp. (2)
Вигляд областi D накладає умови 2π-перiодичностi за змiнними x1, . . . , xp на функцiї u
та φj , j ∈ {1, . . . , 2n}. Нехай φj ∈ T ′,
φj(x) =
∑
|k|>0
φjk exp(ik, x), φjk =
1
(2π)p
∫
Ωp
φj(x) exp(−ik, x) dx, j ∈ {1, . . . , 2n}.
Означення 1. Розв’язком задачi (1), (2) з простору C2n([0, T ], T ′) називатимемо функ-
цiю u(t, x) =
∑
|k|>0
uk(t) exp(ik, x) таку, що кожен з коефiцiєнтiв uk(t), k ∈ Zp, належить
простору C2n([0, T ]) i справджує, вiдповiдно, рiвностi
∑
|ŝ|∗62n
Aŝ(ik1)
s1 · · · (ikp)sp
d2s0uk(t)
dt2s0
= 0, t ∈ (0, T ), (3)
u
(2r−2)
k (0) = φrk, u
(2r−1)
k (T ) = φn+r,k, r ∈ {1, . . . , n}. (4)
Для кожного k ∈ Zp рiвнянню (3) вiдповiдає характеристичне рiвняння∑
|ŝ|∗62n
Aŝ(ik1)
s1 · · · (ikp)spη2s0 = 0, (5)
η-коренi якого є такими:
ηj :=ηj(k)=
√
|λj(k)| exp(i arg λj(k)/2), ηn+j :=ηn+j(k)=−ηj(k), j ∈{1, . . . , n}, (6)
де λ1(k), . . . , λn(k) — коренi рiвняння P (λ, k) :=
∑
|ŝ|∗62n
Aŝ(ik1)
s1 · · · (ikp)spλs0 = 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 25
Вважатимемо, що для кожного k ∈ Zp коренi η1(k), . . . , ηn(k), −η1(k), . . . , −ηn(k) рiв-
няння (5) є рiзними, а отже, вiдмiнними вiд нуля; не порушуючи загальностi, припускаємо,
що Re ηj(k) > 0, j ∈ {1, . . . , n}, k ∈ Zp.
Для λ-коренiв полiнома P (λ, k) справедливi оцiнки (див. [12, с. 101])
|λj(0)| 6 2 max
s0∈{0,...,n−1}
n−s0
√
|A(s0,0,...,0)|, |λj(k)| 6 c1|k|2,
k ∈ Zp \ {(0)}; j ∈ {1, . . . , n},
(7)
де c1 = 2 max
s0∈{0,...,n−1}
n−s0
√ ∑
|s|62(n−s0)
|A(s0,s1,...sp)|.
Для кожного k ∈ Zp рiвняння (3) має, вiдповiдно, таку фундаментальну систему розв’яз-
кiв: {ukj(t) = exp(ηj(k)t), uk,n+j(t) = exp(−ηj(k)t), j ∈ {1, . . . , n}}.
Характеристичний визначник [13] задачi (3), (4) обчислюється за формулою
∆(k, T ) = (−1)n
∏
16s<l6n
(η2l − η2s)
2
n∏
j=1
((eηjT + e−ηjT )ηj), k ∈ Zp.
Вiдомо [13], що для кожного k ∈ Zp задача (3), (4) має єдиний розв’язок тодi i лише
тодi, коли ∆(k, T ) ̸= 0.
Теорема 1. Для єдиностi розв’язку задачi (1), (2) у просторi C2n([0, T ], T ′) необхiдно
i достатньо, щоб справджувались умови
(∀k ∈ Zp, ∀m ∈ Z) iηj(k)T ̸= π
(
m+
1
2
)
, j ∈ {1, . . . , n}. (8)
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 1 iз [5].
Теорема 2. Нехай справджуються умови (8). Якщо φj ∈ T ′(T ), j ∈ {1, . . . , 2n}, то
iснує єдиний розв’язок задачi (1), (2) з простору C2n([0, T ]; T ′) (C2n([0, T ]; T )); цей розв’я-
зок визначає формула
u(t, x) =
∑
|k|>0
uk(t)e
(ik,x) :=
:=
∑
|k|>0
n∑
q,j=1
S
(q)
n−j
φjkηq(e
−ηqt + e−2ηqT+ηqt) + φn+j,k(e
ηqt−ηqT − e−ηqt−ηqT )
(−1)n+jηq(1 + e−2ηqT )
n∏
s=1,s̸=q
(η2q − η2s)
e(ik,x), (9)
де S(q)
l , l ∈ {1, . . . , n − 1}, — сума всiх можливих добуткiв елементiв η21, . . . , η2q−1, η
2
q+1,
. . . , η2n, узятих по l штук у кожному добутку, S(q)
0 ≡ 1.
При доведеннi теореми 2 використано теорему 6.2 з [11, с. 111] (згiдно з якою в прос-
торi T ′ довiльний тригонометричний ряд є збiжним) i той факт, що простiр T неперервно
вкладається в простiр T ′.
3. Для iнших просторiв, зокрема для шкали просторiв C2n([0, T ],Hq(Ω
p)), q ∈ R, iсну-
вання розв’язку задачi (1), (2) пов’язане, взагалi, з проблемою малих знаменникiв, бо модулi
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
виразiв ηq(k), η2q (k) − η2s(k), 1 + e−2ηqT , q, s ∈ {1, . . . , n}, q ̸= s, якi входять множниками
у знаменники членiв ряду (9), будучи вiдмiнними вiд нуля, можуть ставати як завгодно
малими для нескiнченної кiлькостi векторiв k ∈ Zp.
Теорема 3. Нехай справджуються умови (8) та iснують такi додатнi сталi c2, c3, c4,
α1, α2, α3, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k ∈ Zp правильними є оцiнки
|ηq(k)| > c2(1 + |k|)−α1 , q ∈ {1, . . . , n}, (10)
n∏
s=1,s̸=q
|η2q (k) − η2s(k)| > c3(1 + |k|)−α2 , q ∈ {1, . . . , n}, (11)
|1 + e−2ηq(k)T | > c4(1 + |k|)−α3 , q ∈ {1, . . . , n}. (12)
Якщо φs ∈ Hχ+q(Ω
p), φn+s ∈ Hχ+α1+q(Ω
p), s ∈ {1, . . . , n}, χ = 2n − 2 + α2 + α3, то iснує
єдиний розв’язок задачi (1), (2) з простору C2n([0, T ],Hq(Ω
p)). Цей розв’язок справджує
нерiвнiсть
∥u;C2n([0, T ],Hq(Ω
p))∥ 6 c5
(
n∑
s=1
∥φs;Hχ+q∥ +
2n∑
s=n+1
∥φs;Hχ+α1+q∥
)
,
де c5 = c5(Aŝ, |ŝ|∗ 6 2n;n, c2, c3, c4).
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 3 з [5].
З’ясуємо можливiсть виконання оцiнок (10)–(12). Нехай b = (b1, . . . , bβ) ∈ Zβ та d =
= (d1, . . . , dβ) ∈ Zβ — вектори, складенi, вiдповiдно, iз дiйсних та уявних частин коефiцiєн-
тiв A(0,s) рiвняння (1), де β — кiлькiсть розв’язкiв у цiлих невiд’ємних числах нерiвностi
s1 + s2 + · · · + sp 6 2n.
Лема 1. Для майже всiх (стосовно мiри Лебега в Rβ) векторiв b i довiльного фiксо-
ваного вектора d, або для довiльного фiксованого вектора b i майже всiх (стосовно мiри
Лебега в Rβ) векторiв d нерiвностi (10) та (11) виконуються для всiх (крiм скiнченної
кiлькостi) векторiв k ∈ Zp при α1 > n + p/2 − 1 та α2 > (n − 1)p/2.
Доведення здiйснюється за схемою доведення теорем 4.4 та 4.5 з [4, с. 62–63], вiдпо-
вiдно, iз урахуванням формул (6), оцiнок (7) та теореми Вiєта.
Лема 2. Для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T та для майже всiх
(стосовно мiри Лебега в Rβ) векторiв b i довiльного фiксованого вектора d (або для майже
всiх векторiв d i довiльного фiксованого вектора b) нерiвностi (12) виконуються для всiх
(крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k ∈ Zp при α3 > 3p/2 + n.
Доведення грунтується на лемi 1, лемi 2.2 з [4, с. 15], лемi Бореля–Кантеллi (див. лему 1
iз [14, с. 10]) та частковому використаннi схеми доведення леми 4 з [3].
Iз теореми 3 та лем 1, 2 випливає таке твердження.
Наслiдок. Якщо φs ∈ Hq+χ(Ωp), φn+s ∈ Hq+χ+p/2+n−1(Ω
p), χ > (pn)/2 + 3n + p − 2,
s ∈ {1, . . . , n}, то, за умов (8), для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T та
для майже всiх (стосовно мiри Лебега в Rβ) векторiв b i довiльного фiксованого век-
тора d (або для майже всiх векторiв d i довiльного фiксованого вектора b) у просторi
C2n([0, T ],Hq(Ω
p)) iснує єдиний розв’язок задачi (1), (2); цей розв’язок неперервно зале-
жить вiд функцiй φj, j ∈ {1, . . . , 2n}.
Наведемо частиннi випадки рiвняння (1), для яких отримано кращi оцiнки знизу малих
знаменникiв, нiж у лемах 1 i 2, а отже, i слабшi умови на вихiднi данi у теоремах iснування
розв’язку задачi (1), (2) зi шкали просторiв C2n([0, T ],Hq(Ω
p)), q ∈ R.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 27
4. Розглянемо рiвняння з факторизованим оператором
n∏
j=1
[
∂2
∂t2
−
(
p∑
s=1
ajs
∂
∂xs
+ bj
)2]
u(t, x) = 0, (t, x) ∈ D, ajs, bj ∈ C. (13)
Позначимо:
a
(1)
js = Re ajs, a
(2)
js = Im ajs, b
(1)
j = Re bj , b
(2)
j = Im bj , j ∈ {1, . . . , n}, s ∈ {1, . . . , p};
a1 =
(
a
(1)
11
b
(2)
1
, . . . ,
a
(1)
1p
b
(2)
1
,
a
(1)
21
b
(2)
2
, . . . ,
a
(1)
2p
b
(2)
2
, . . . ,
a
(1)
n1
b
(2)
n
, . . . ,
a
(1)
np
b
(2)
n
)
,
a2 =
(
a
(2)
11
b
(1)
1
, . . . ,
a
(2)
1p
b
(1)
1
,
a
(2)
21
b
(1)
2
, . . . ,
a
(2)
2p
b
(1)
2
, . . . ,
a
(2)
n1
b
(1)
n
, . . . ,
a
(2)
np
b
(1)
n
)
;
η∗j (k) := bj + i
p∑
s=1
ajsks, j ∈ {1, . . . , n}.
З теореми 1 випливає: для єдиностi розв’язку задачi (2), (13) у просторi C2n([0, T ], T ′)
необхiдно i достатньо, щоб справджувались умови
(∀k ∈ Zp, ∀m ∈ Z) iη∗j (k)T ̸= π
(
m+
1
2
)
, j ∈ {1, . . . , n}. (14)
На пiдставi леми 2 та теореми Грошева [15] встановлено, що для майже всiх (стосовно
мiри Лебега в R) чисел T ∈ (0,+∞) та для майже всiх (стосовно мiри Лебега в Rnp) век-
торiв a1 i довiльного фiксованого вектора a2 (або для майже всiх векторiв a2 i довiльного
фiксованого вектора a1) нерiвностi (10)–(12), у яких покладено ηj(k) = η∗j (k), j ∈ {1, . . . , n},
справджуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k ∈ Zp при α1 > p/n, α2 > 2p
i α3 > p + p/n + 1, вiдповiдно.
Теорема 4. Нехай справджуються умови (14). Якщо φs ∈ Hq+χ(Ωp), φn+s ∈
∈ Hq+χ+p/n(Ωp), χ > 2n + 3p + p/n − 1, s ∈ {1, . . . , n}, то для майже всiх (стосовно
мiри Лебега в R) чисел T та для майже всiх (стосовно мiри Лебега в Rnp) векторiв a1
i довiльного фiксованого вектора a2 (або для майже всiх векторiв a2 i довiльного фiксова-
ного вектора a1) у просторi C2n([0, T ],Hq(Ω
p)) iснує єдиний розв’язок задачi (2), (16). Цей
розв’язок справджує нерiвнiсть
∥u;C2n([0, T ],Hq(Ω
p))∥ 6 c6
(
n∑
s=1
∥φs;Hq+χ∥ +
2n∑
s=n+1
∥φs;Hq+χ+p/n∥
)
.
5. Розглянемо випадок, коли рiвняння (1) є гiперболiчним за Гордiнгом. Тодi, згiдно
з припущенням п. 2, коренi ηj(k) рiвняння (5) справджують оцiнки
Re ηj(k) 6 h, h > 0, j ∈ {1, . . . , 2n}, k ∈ Zp. (15)
На пiдставi елементарної нерiвностi sinx > 2x/π, 0 6 x 6 π/2, формул (6), оцiнок (7),
(15) та леми 2.4 [4, с. 17] встановлено, що для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R)
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
чисел T та довiльних фiксованих коефiцiєнтiв рiвняння (1) нерiвностi (12) виконуються
для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k ∈ Zp при α3 > p.
Теорема 5. Нехай рiвняння (1) є гiперболiчним за Гордiнгом i справджуються умо-
ви (8). Якщо φs ∈ Hq+χ(Ωp), φn+s ∈ Hq+χ+p/2+n−1(Ω
p), χ > 2(n − 1) + p/2(n + 1), s ∈
∈ {1, . . . , n}, то для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T та для майже всiх
(стосовно мiри Лебега в Rβ) векторiв b i довiльного фiксованого вектора d (або для май-
же всiх векторiв d i довiльного фiксованого вектора b) у просторi C2n([0, T ],Hq(Ω
p)) iснує
єдиний розв’язок задачi (1), (2). Цей розв’язок справджує нерiвнiсть
∥u;C2n([0, T ],Hq(Ω
p))∥ 6 c7
(
n∑
s=1
∥φs;Hq+χ∥ +
2n∑
s=n+1
∥φs;Hq+χ+p/2+n−1∥
)
.
6. Тепер розглянемо задачу з умовами (2) для рiвняння
∑
|ŝ|∗=2n
Aŝ
∂|ŝ|
∗
u(t, x)
∂t2s0∂xs11 · · · ∂xspp
= 0, (t, x) ∈ D, Aŝ ∈ R, A(n,0,...,0) = 1, (16)
яке є строго гiперболiчним за Петровським.
Для єдиностi розв’язку задачi (2), (16) у просторi C2n([0, T ], T ′) необхiдно i достатньо,
щоб виконувались умови
(∀k ∈ Zp \ {(0)},∀m ∈ Z+) |k|µj(k)T ̸= π
(
m+
1
2
)
, j ∈ {1, . . . , n}, (17)
де µ1(k), . . . , µn(k) — додатнi коренi рiвняння
∑
|ŝ|∗=2n
Aŝ(k1/|k|)s1 . . . (kp/|k|)spµ2s0=0, k ∈
∈ Zp \ {(0)}.
Якщо φj ∈ T ′, j ∈ {1, . . . , 2n}, то за умов (17) iснує єдиний розв’язок задачi (2), (16)
з простору C2n([0, T ], T ′); цей розв’язок визначає формула
u(t, x) = u0(t) +
+
∑
|k|>0
n∑
q,j=1
S
(q)
n−j [φjk|k|µq(k) cos(µq(k)|k|(T − t)) − φn+j,k sin(µq(k)|k|t)]
(−1)n+j |k|µq(k) cos(µq(k)|k|T )
n∏
s=1,s̸=q
(µ2s(k) − µ2q(k))
e(ik,x), (18)
де u0(t) — многочлен степеня 2n− 1; S(q)
l , l ∈ {1, . . . , n− 1}, — сума всiх можливих добуткiв
елементiв µ21(k), . . . , µ2q−1(k), µ2q+1(k), . . . , µ2n(k), узятих по l штук у кожному добутку, S(q)
0 ≡
≡ 1.
Теорема 6. Нехай справджуються умови (17). Якщо φs ∈ Hχ(Ωp), φn+s ∈ Hχ−1(Ω
p),
χ > q + p, s ∈ {1, . . . , n}, то для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T та
для довiльних фiксованих коефiцiєнтiв рiвняння (16) у просторi C2n([0, T ],Hq(Ω
p)) iснує
єдиний розв’язок задачi (16), (2). Цей розв’язок справджує нерiвнiсть
∥u;C2n([0, T ],Hq(Ω
p))∥ 6 c12
(
n∑
s=1
∥φs;Hχ∥ +
2n∑
s=n+1
∥φs;Hχ−1∥
)
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 29
Доведення грунтується на тому, що в областi строгої гiперболiчностi рiвняння (16)
справджуються оцiнки c8 6 µq(k) 6 c9, c10 6 |µ2s(k)−µ2q(k)| 6 c11, s, q ∈ {1, . . . , n}, s ̸= q, k ∈
∈ Zp\{(0)} i для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T нерiвностi | cos(µq(k)|k|T )| >
> T |k|−p−ε, q ∈ {1, . . . , n}, 0 < ε < 1, справджуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi)
векторiв k ∈ Zp \ {(0)}; останнє твердження доводиться за схемою доведення леми 2 з [5].
Результати роботи можна поширити на випадок системи рiвнянь вигляду (1).
1. Бiлусяк Н. I., Комарницька Л. I., Пташник Б.Й. Задача типу Дiрiхле для систем рiвнянь iз частин-
ними похiдними, нерозв’язних вiдносно старшої похiдної за часом // Укр. мат. журн. – 2002. – 54,
№ 12. – С. 1592–1602.
2. Бобик I.О., Симотюк М.М. Задача з двома кратними вузлами для лiнiйних факторизованих рiвнянь
з частинними похiдними // Вiсник Нац. ун-ту “Львiвська полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2010. –
Вип. 687. – С. 11–19.
3. Симотюк М.М. Дiофантовi наближення визначника задачi з двома кратними вузлами для рiвнянь
з частинними похiдними // Мат. вiсник НТШ. – 2005. – 2. – С. 199–212.
4. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.
5. Пташник Б.Й., Репетило С.М. Задача Дiрiхле–Неймана у смузi для гiперболiчних рiвнянь зi ста-
лими коефiцiєнтами // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2013. – 56, № 3. – С. 15–28.
6. Павленко В.Н., Петраш Т.А. Периодические решения уравнения колебаний струны с граничными
условиями Неймана и Дирихле и разрывной нелинейностью // Тр. Ин-та математики и механики
УрО РАН. – 2012. – 18, № 2. – С. 199–204.
7. Gentile G., Mastropietro V., Procesi M. Periodic solutions for completely resonant nonlinear wave equations
with Dirichlet boundary conditions // Commun. Math. Phys. – 2005. – 256, No 2. – P. 437–490.
8. Rudakov I. A. Periodic solutions of a nonlinear wave equation with Neumann and Dirichlet boundary
conditions // Russian Math. – 2007. – 51, No 2. – P. 44–52.
9. Korzyuk V. I., Konopel’ko O.A. Strong solution of boundary value problems in cylindrical domains for a
four-order equation of composite type // Different. Equat. – 2010. – 46, No 5. – P. 690–701.
10. Zikirov O. S. A non-local boundary value problem for third-order linear partial differential equation of
composite type // Math. Modelling and Analysis. – 2009. – 47, No 3. – P. 407–421.
11. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. –
Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с.
12. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – Москва: Наука, 1972. – 304 с.
13. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – Москва: Наука, 1969. – 526 с.
14. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. – Москва: Наука, 1977. – 144 с.
15. Грошев А.В. Теорема о системе линейных форм // Докл. АН СССР, 1938. – 19, № 3. – С. 151–152.
Надiйшло до редакцiї 02.10.2014Iнститут прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
Член-корреспондент НАН Украины Б.И. Пташник, C. М. Репетило
Задача Дирихле–Неймана для линейных неэллиптических
уравнений с частными производными с постоянными
коэффициентами
В области, являющейся декартовым произведением отрезка на многомерный тор, исследо-
вана краевая задача с условиями Дирихле–Неймана по выделенной переменной и условиями
периодичности по другим координатам для линейных общих (независимо от типа) урав-
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
нений с частными производными высокого порядка с постоянными коэффициентами, изо-
тропных относительно порядка дифференцирования по независимым переменным. Уста-
новлены условия однозначной разрешимости задачи и конструктивно построено ее решение
в виде ряда по системе ортогональных функций. Для оценок снизу малых знаменателей,
возникших при построении решения задачи, использован метрический подход.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine B.Yo. Ptashnyk, S. M. Repetylo
The Dirichlet–Neumann problem for linear nonelliptic partial
differential equations with constant coefficients
In the domain, which is the Cartesian product of a segment and a multidimensional torus, we
study the boundary value-problem with Dirichlet-Neumann conditions with respect to the selected
variable and conditions of periodicity with respect to other coordinates for general (regardless of
type) linear partial differential equations of a high order with constant coefficients, isotropic in the
order of differentiation with respect to independent variables. We establish conditions for the unique
solvability of the problem and structurally built the solution in the form of a series in a system of
orthogonal functions. To estimate the small denominators arising in the construction of a solution
to the problem from below, we use the metric approach.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 31
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95827 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:07:48Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пташник, Б.Й. Репетило, С.М. 2016-03-06T10:42:45Z 2016-03-06T10:42:45Z 2015 Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами / Б.Й. Пташник, С.М. Репетило // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 24-31. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95827 517.95 В областi, що є декартовим добутком вiдрiзка на багатовимiрний тор, дослiджено крайову задачу з умовами Дiрiхле–Неймана за видiленою змiнною та умовами перiодичностi за iншими координатами для лiнiйних загальних (незалежно вiд типу) рiвнянь iз
 частинними похiдними високого порядку зi сталими коефiцiєнтами, iзотропних сто-
 совно порядку диференцiювання за незалежними змiнними. Встановлено умови однозначної розв’язностi задачi та конструктивно побудовано її розв’язок у виглядi ряду за системою ортогональних функцiй. Для оцiнок знизу малих знаменникiв, що виникли
 при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiдхiд. В области, являющейся декартовым произведением отрезка на многомерный тор, исследована краевая задача с условиями Дирихле–Неймана по выделенной переменной и условиями
 периодичности по другим координатам для линейных общих (независимо от типа) уравнений с частными производными высокого порядка с постоянными коэффициентами, изотропных относительно порядка дифференцирования по независимым переменным. Установлены условия однозначной разрешимости задачи и конструктивно построено ее решение в виде ряда по системе ортогональных функций. Для оценок снизу малых знаменателей, возникших при построении решения задачи, использован метрический подход. In the domain, which is the Cartesian product of a segment and a multidimensional torus, we
 study the boundary value-problem with Dirichlet-Neumann conditions with respect to the selected
 variable and conditions of periodicity with respect to other coordinates for general (regardless of
 type) linear partial differential equations of a high order with constant coefficients, isotropic in the
 order of differentiation with respect to independent variables. We establish conditions for the unique
 solvability of the problem and structurally built the solution in the form of a series in a system of
 orthogonal functions. To estimate the small denominators arising in the construction of a solution to the problem from below, we use the metric approach. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами Задача Дирихле–Неймана для линейных неэллиптических уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами The Dirichlet–Neumann problem for linear nonelliptic partial differential equations with constant coefficients Article published earlier |
| spellingShingle | Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами Пташник, Б.Й. Репетило, С.М. Математика |
| title | Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами |
| title_alt | Задача Дирихле–Неймана для линейных неэллиптических уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами The Dirichlet–Neumann problem for linear nonelliptic partial differential equations with constant coefficients |
| title_full | Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами |
| title_fullStr | Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами |
| title_full_unstemmed | Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами |
| title_short | Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами |
| title_sort | задача дiрiхле–неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95827 |
| work_keys_str_mv | AT ptašnikbi zadačadirihleneimanadlâliniinihneeliptičnihrivnânʹzčastinnimipohidnimizistalimikoeficiêntami AT repetilosm zadačadirihleneimanadlâliniinihneeliptičnihrivnânʹzčastinnimipohidnimizistalimikoeficiêntami AT ptašnikbi zadačadirihleneimanadlâlineinyhneélliptičeskihuravneniisčastnymiproizvodnymispostoânnymikoéfficientami AT repetilosm zadačadirihleneimanadlâlineinyhneélliptičeskihuravneniisčastnymiproizvodnymispostoânnymikoéfficientami AT ptašnikbi thedirichletneumannproblemforlinearnonellipticpartialdifferentialequationswithconstantcoefficients AT repetilosm thedirichletneumannproblemforlinearnonellipticpartialdifferentialequationswithconstantcoefficients |