Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95828 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 32-37. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859848429002293248 |
|---|---|
| author | Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. |
| author_facet | Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. |
| citation_txt | Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 32-37. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| first_indexed | 2025-12-07T15:40:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк
Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних
наближень класiв аналiтичних функцiй
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
В метриках просторiв Ls, 1 6 s 6 ∞, одержано точнi за порядком оцiнки знизу найкра-
щих m-членних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй, що
належать одиничнiй кулi простору Lp, 1 6 p 6 ∞, з твiрним ядром Ψβ(t) =
∞∑
k=1
ψ(k) ×
×cos(kt−βπ/2), β ∈ R, коефiцiєнти ψ(k) якого прямують до нуля не повiльнiше за геоме-
тричну прогресiю. Знайденi оцiнки збiглися за порядком iз наближеннями частинними
сумами Фур’є вказаних класiв функцiй в Ls-метрицi, що дозволило також записати
точнi порядковi оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень та
тригонометричних поперечникiв зазначених класiв.
Нехай Lp, 1 6 p <∞, — простiр 2π-перiодичних сумовних у p-му степенi на [0, 2π) функцiй
f : R → C з нормою
∥f∥p :=
( 2π∫
0
|f(t)|pdt
)1/p
,
L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй f : R → C з нормою
∥f∥∞ := ess sup
t
|f(t)|.
Нехай f : R → R — функцiя iз L1, ряд Фур’є якої має вигляд
∞∑
k=−∞
f̂(k)eikx,
де f̂(k) :=
1
2π
π∫
−π
f(t)e−iktdt, ψ(k) — довiльна фiксована послiдовнiсть дiйсних чисел i β —
фiксоване дiйсне число. Тодi якщо ряд
∑
k∈Z\{0}
f̂(k)
ψ(|k|)
ei(kx+
βπ
2
signk)
є рядом Фур’є деякої функцiї φ з L1, то цю функцiю називають (ψ, β)-похiдною функцiї f
i позначають через fψβ (див., наприклад, [1, с. 132]). Множину функцiй f , у яких iснує
(ψ, β)-похiдна, позначають через Lψβ .
Розглянемо одиничну кулю Bp у просторi дiйснозначних функцiй з Lp, тобто множину
функцiй φ : R → R таких, що ∥φ∥p 6 1, 1 6 p 6 ∞. Якщо f ∈ Lψβ i, крiм того, fψβ ∈ Bp, то
кажуть, що функцiя f належить класу Lψβ,p.
© А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк, 2015
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
Пiдмножини неперервних функцiй iз Lψβ та Lψβ,p будемо позначати через Cψβ та Cψβ,p
вiдповiдно.
У випадку коли ψ(k) = k−r, r > 0, класи Lψβ,p є вiдомими класами Вейля–Надя W r
β,p.
Послiдовностi ψ(k), k ∈ N, що визначають класи Lψβ,p, зручно розглядати як звуження
на множину натуральних чисел N деяких додатних, неперервних, опуклих донизу функцiй
ψ(t), t > 1, таких, що lim
t→∞
ψ(t) = 0. Множину всiх таких функцiй ψ(t) будемо позначати
через M.
Наслiдуючи О. I. Степанця (див., наприклад, [1, с. 160]), кожнiй функцiї ψ ∈ M поста-
вимо у вiдповiднiсть характеристики
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
ψ(t)
2
)
, µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t) − t
,
де ψ−1 — обернена до ψ функцiя, i покладемо
M+
∞ = {ψ ∈ M : µ(ψ; t) ↑ ∞, t→ ∞}.
Через M′
∞ позначимо пiдмножину функцiй ψ ∈ M+
∞, для яких величина η(ψ; t)−t обмежена
зверху, тобто iснує стала K > 0 така, що η(ψ; t) − t 6 K, t > 1.
Як випливає з [2, с. 1698], функцiї з множини Cψβ , де ψ ∈ M′
∞, складаються iз тих i тiльки
тих 2π-перiодичних функцiй f : R → R, якi допускають аналiтичне продовження в смугу
|Imz| 6 c, c > 0 комплексної площини. Отже, класи Cψβ,p є класами аналiтичних функцiй.
Природними представниками функцiй з множини M′
∞ є функцiї ψ(t) = exp(−αtr), α > 0,
r > 1.
Нехай f ∈ Ls i γm, m ∈ N, — довiльний набiр iз m цiлих чисел. Величину
em(f)s = inf
γm
inf
ck∈C
∥∥∥∥∥f(x) −
∑
k∈γm
cke
ikx
∥∥∥∥∥
s
, 1 6 s 6 ∞, (1)
називають найкращим m-членним тригонометричним наближенням функцiї f в метрицi
простору Ls. В бiльш загальнiй ситуацiї величини виду (1) при s = 2 були введенi С.Б. Стєч-
кiним [3] з метою встановлення критерiю абсолютної збiжностi ортогональних рядiв.
Для довiльного класу F iз Ls покладемо
em(F )s := sup
f∈F
em(f)s, 1 6 s 6 ∞. (2)
Порядки спадання до нуля при n → ∞ величин (2) при F = Lψβ,p для рiзних спiввiд-
ношень мiж параметрами p i s за умови ψ ∈ B, де B — множина незростаючих додатних
функцiй ψ(t), t > 1, для кожної з яких iснує додатна стала K така, що ψ(t)/ψ(2t) 6 K,
t > 1, та при деяких додаткових умовах на функцiю ψ дослiджувались у роботах [4–6].
В данiй роботi розглядається задача про знаходження точних порядкових оцiнок вели-
чин em(Lψβ,p)s, 1 6 p, s 6 ∞, β ∈ R у випадку, коли ψ ∈ M′
∞.
Крiм величин em(F )s в роботi для класiв F = Lψβ,p розглядаються величини вигляду
e⊥m(F )s = sup
f∈F
inf
γm
∥∥∥∥∥f(x) −
∑
k∈γm
f̂(k)eikx
∥∥∥∥∥
s
, 1 6 s 6 ∞, m ∈ N,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 33
якi називають найкращими ортогональними тригонометричними наближеннями класу F =
= Lψβ,p ⊂ Ls в метрицi простору Ls, а також величини
d⊤m(F )s := inf
γm
sup
f∈F
inf
ck∈C
∥∥∥∥∥f(x) −
∑
k∈γm
cke
ikx
∥∥∥∥∥
s
, 1 6 s 6 ∞,
якi називають тригонометричними поперечниками класу F в метрицi простору Ls.
Позначимо через En(F )s наближення сумами Фур’є класу F ⊂ Ls в метрицi простору Ls,
тобто величини вигляду
En(F )s = sup
f∈F
∥f(x) −
n−1∑
k=−n+1
f̂(k)eikx∥s, 1 6 s 6 ∞.
З означень величин em(F )s, e⊥m(F )s, d⊤m(F )s i En(F )s випливає, що при m = 2n, 2n− 1,
n ∈ N мають мiсце нерiвностi
em(F )s 6
e⊥m(F )s
d⊤m(F )s
6 En(F )s. (3)
Зазначимо, що величини em(F )s, e⊥m(F )s, d⊤m(F )s i En(F )s для рiзноманiтних класiв
функцiй F як однiєї, так i багатьох змiнних вивчались багатьма авторами. З детальною
iсторiєю дослiджень цих величин та вiдповiдною бiблiографiєю можна ознайомитись, на-
приклад, в роботах [7–12].
Теорема 1. Нехай ψ ∈ M′
∞, 1 6 p, s 6 ∞, β ∈ R. Тодi мають мiсце порядковi оцiнки
e2n(Lψβ,p)s ≍ e2n−1(L
ψ
β,p)s ≍ ψ(n). (4)
Доведення теореми. Внаслiдок теореми 6.8.2 роботи [10, с. 48], якщо ψ ∈ M′
∞, то
En(Lψβ,p)s ≍ ψ(n), 1 6 p, s 6 ∞, β ∈ R. (5)
Згiдно зi спiввiдношеннями (3) i (5) одержуємо
e2n(Lψβ,p)s 6 e2n−1(L
ψ
β,p)s 6 C0ψ(n), 1 6 p, s 6 ∞,
де C0 — деяка додатна стала. Знайдемо вiдповiдну оцiнку знизу для величини e2n(Lψβ,p)s.
Доозначимо послiдовнiсть ψ(k) у точцi k = 0 за допомогою рiвностi ψ(0) = ψ(1). Розглянемо
функцiю
f∗(t) = f∗(ψ;n; t) := C1
(
ψ(1)
2(n+A)2
+
n∑
k=1
ψ(k)
(n− k +A)2
cos kt
)
,
де C1 та A — деякi додатнi сталi, якi будуть визначенi пiзнiше.
Оскiльки
∥(f∗)ψβ (t)∥p = C1
∥∥∥∥∥
n∑
k=1
1
(n− k +A)2
cos
(
kt+
βπ
2
)∥∥∥∥∥
p
6 2πC1
n∑
k=1
1
(n− k +A)2
,
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
то очевидно, що вибравши сталу C1 так, щоб 2πC1
n∑
k=1
1/(n− k +A)2 6 1, отримаємо вклю-
чення f∗ ∈ Lψβ,p. Покажемо, що
e2n(f∗)s > C2ψ(n), n ∈ N, (6)
де C2 — деяка додатна стала.
З цiєю метою скористаємося спiввiдношенням двоїстостi (див., наприклад, [13, с. 42])
em(f)s = inf
γm
sup
h∈L⊥(γm),
∥h∥s′61
∣∣∣∣
π∫
−π
f(t)h(t) dt
∣∣∣∣, m ∈ N, (7)
де 1/s + 1/s′ = 1, a запис h ∈ L⊥(γm) означає, що
π∫
−π
h(t)eiktdt = 0, k ∈ γm.
Для довiльного набору γ2n iз 2n цiлих чисел вiзьмемо довiльне цiле число k∗ таке, що
k∗ ∈ [−n, n] i k∗ /∈ γ2n. Покладемо
T (t) :=
1
2π
e−ik
∗t.
Очевидно, що T ∈ L⊥(γ2n) i ∥T∥s′ 6 1, 1 6 s 6 ∞, 1/s + 1/s′ = 1, а отже, згiдно зi
спiввiдношенням (7) та рiвнiстю
π∫
−π
eikteimtdt =
{
0, k +m ̸= 0,
2π, k +m = 0,
k,m ∈ Z,
отримуємо оцiнку
e2n(f∗)s = inf
γ2n
sup
h∈L⊥(γ2n),
∥h∥s′61
∣∣∣∣
π∫
−π
f∗(t)h(t) dt
∣∣∣∣ > inf
γ2n
∣∣∣∣
π∫
−π
f∗(t)T (t) dt
∣∣∣∣ =
=
C1
4π
inf
γ2n
∣∣∣∣
π∫
−π
∑
|k|6n
ψ(|k|)
(n− |k| +A)2
e−ikte−ik
∗tdt
∣∣∣∣ =
C1
2
inf
γ2n
ψ(|k∗|)
(n− |k∗| +A)2
>
> C1
2
min
06k6n
ψ(k)
(n− k +A)2
=
C1
2
min
16k6n
ψ(k)
(n− k +A)2
. (8)
Покажемо, що функцiя ψn(t) = ψ(t)/(n− t+A)2 при певному виборi сталої A не зростає
на промiжку [1, n]. Легко бачити, що
ψ′
n(t) =
(
ψ(t)
(n− t+A)2
)′
=
2ψ(t)
(n− t+A)3
+
ψ′(t)
(n− t+A)2
=
=
ψ(t)
(n− t+A)3
(
2 − |ψ′(t)|
ψ(t)
(n− t+A)
)
, ψ′(t) := ψ′(t+ 0). (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 35
Далi скористаємось тим, що для ψ ∈ M+
∞ за умови µ(t) > b > 0 має мiсце нерiвнiсть
(див. [14, с. 1251])
ψ(t)
|ψ′(t)|
6 4
(
1 +
1
b
)
(η(t) − t), t > 1. (10)
Оскiльки ψ ∈ M′
∞, то iснує стала K0 > 0 така, що η(t) − t 6 K0, а отже,
µ(t) =
t
η(t) − t
> 1
η(t) − t
> 1
K0
, (11)
i застосовуючи (10) при b = 1/K0, маємо
|ψ′(t)|
ψ(t)
> 1
4(K0 + 1)(η(t) − t)
> 1
4(K0 + 1)K0
. (12)
Враховуючи (12), отримуємо
2 − |ψ′(t)|
ψ(t)
(n− t+A) 6 2 − 1
4(K0 + 1)K0
(n− t+A) 6 2 − A
4(K0 + 1)K0
. (13)
З (9) i (13) випливає, що при A > 8K0(K0 + 1) справедлива нерiвнiсть ψ′
n(t) 6 0, t > 1,
тобто функцiя ψn(t) не зростає. Тому
min
16k6n
ψ(k)
(n− k +A)2
=
ψ(n)
A2
. (14)
З (8) та (14) отримуємо (6). Теорему доведено.
Згiдно з теоремою 1 i спiввiдношеннями (3) та (5) можна записати таке твердження.
Теорема 2. Нехай ψ ∈ M′
∞, 1 6 p, s 6 ∞, β ∈ R i m ∈ N. Тодi
em(Lψβ,p)s ≍ e⊥m(Lψβ,p)s ≍ d⊤m(Lψβ,p)s ≍ ψ
([
m+ 1
2
])
,
де запис [a] означає цiлу частину дiйсного числа a.
1. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. Ч. I. – Київ, 2002. – 427 с. – (Працi Iн-ту мате-
матики НАН України; Т. 40).
2. Степанец А.И., Сердюк А.С., Шидлич А.Л. Классификация бесконечно дифференцируемых функ-
ций // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 12. – С. 1686–1708.
3. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. – 1955. – 102,
№ 1. – С. 37–40.
4. Федоренко О.С. Наближення (ψ, β)-диференцiйовних функцiй тригонометричними полiномами: Ав-
тореф. дис. . . . канд. фiз.-мат. наук / Iн-т математики НАН України. – Київ, 2001. – 16 с.
5. Федоренко А.С., Федоренко О.С. Найкращi m-членнi тригонометричнi наближення класiв Lψβ,p в рiв-
номiрнiй метрицi // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Працi Iн-ту математики
НАН України. – Київ, 2003. – Т. 46. – С. 276–282.
6. Федоренко А.С., Федоренко О.С. Найкращi m-членнi тригонометричнi наближення класiв Lψβ,p у
рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 1. – С. 129–132.
7. Романюк А.С. Наилучшие M-членные тригонометрические приближения классов Бесова периоди-
ческих функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – С. 61–100.
8. Романюк А.С. Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций мно-
гих переменных в равномерной метрике // Мат. заметки. – 2007. – 81, № 2. – С. 247–261.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
9. Романюк А.С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих перемен-
ных. – Київ, 2012. – 352 с. – (Працi Iн-ту математики НАН України; Т. 93).
10. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. Ч. II. – Київ, 2002. – 468 с. – (Працi Iн-ту
математики НАН України; Т. 40).
11. Романюк В.С. Дополнения к оценкам приближения суммами Фурье классов бесконечно дифференци-
руемых функций // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Працi Iн-ту математики
НАН України. – Київ, 2003. – Т. 46. – С. 131–135.
12. Грабова У. З., Сердюк А.С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв
(ψ, β)-диференцiйовних функцiй // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 9. – С. 1186–1197.
13. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. – Москва: Наука, 1987. – 424 с.
14. Сердюк А.С., Степанюк Т.А. Оцiнки найкращих наближень класiв нескiнченно диференцiйов-
них функцiй в рiвномiрнiй та iнтегральних метриках // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 9. –
С. 1244–1256.
Надiйшло до редакцiї 10.10.2014Iнститут математики НАН України, Київ
Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет
iм. Лесi Українки, Луцьк
А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк
Оценки наилучших m-членных тригонометрических приближений
классов аналитических функций
В метриках пространств Ls, 1 6 s 6 ∞, получены точные по порядку оценки наилучших
m-членных тригонометрических приближений классов сверток периодических функций, ко-
торые принадлежат единичному шару пространства Lp, 1 6 p 6 ∞, с производящим ядром
Ψβ(t) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos(kt − βπ/2), β ∈ R, коэффициенты ψ(k) которого стремятся к нулю не
медленее геометрической прогрессии. Полученные оценки совпали по порядку с приближени-
ем частичными суммами Фурье указанных классов функций в Ls-метрике, что позволило
также записать точные порядковые оценки наилучших ортогональных тригонометриче-
ских приближений и тригонометрических поперечников указанных классов.
А. S. Serdyuk, Т.А. Stepanyuk
Estimates of the best m-term trigonometric approximations of classes of
analytic functions
In the metrics of spaces Ls, 1 6 s 6 ∞, we obtain exact in order estimates of the best m-term
trigonometric approximations of classes of the convolutions of periodic functions that belong to a
unit ball of the space Lp, 1 6 p 6 ∞, with the generating kernel Ψβ(t) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos(kt− βπ/2),
β ∈ R, whose coefficients ψ(k) tend to zero not slower than a geometric progression. The obtained
estimates coincide in order with the approximation by Fourier sums of the given classes of functions
in the Ls-metric. This fact allows us to write down exact order estimates of the best orthogonal
trigonometric approximations and the trigonometric widths of the given classes.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 37
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95828 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:40:10Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. 2016-03-06T10:42:59Z 2016-03-06T10:42:59Z 2015 Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 32-37. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95828 517.5 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй Оценки наилучших m-членных тригонометрических приближений классов аналитических функций Estimates of the best m-term trigonometric approximations of classes of analytic functions Article published earlier |
| spellingShingle | Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. Математика |
| title | Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй |
| title_alt | Оценки наилучших m-членных тригонометрических приближений классов аналитических функций Estimates of the best m-term trigonometric approximations of classes of analytic functions |
| title_full | Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй |
| title_fullStr | Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй |
| title_full_unstemmed | Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй |
| title_short | Оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй |
| title_sort | оцiнки найкращих m-членних тригонометричних наближень класiв аналiтичних функцiй |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95828 |
| work_keys_str_mv | AT serdûkas ocinkinaikraŝihmčlennihtrigonometričnihnabliženʹklasivanalitičnihfunkcii AT stepanûkta ocinkinaikraŝihmčlennihtrigonometričnihnabliženʹklasivanalitičnihfunkcii AT serdûkas ocenkinailučšihmčlennyhtrigonometričeskihpribliženiiklassovanalitičeskihfunkcii AT stepanûkta ocenkinailučšihmčlennyhtrigonometričeskihpribliženiiklassovanalitičeskihfunkcii AT serdûkas estimatesofthebestmtermtrigonometricapproximationsofclassesofanalyticfunctions AT stepanûkta estimatesofthebestmtermtrigonometricapproximationsofclassesofanalyticfunctions |