Влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины
На основе уточненной модели С. П. Тимошенко исследовано влияние деформаций сдвига на эффективность активного демпфирования вынужденных резонансных колебаний вязкоупругой прямоугольной пластины при помощи пьезолектрического актутаора. На основi уточненої моделi С. П. Тимошенка дослiджено вплив дефор...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95831 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 50-54. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95831 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. 2016-03-06T10:43:43Z 2016-03-06T10:43:43Z 2015 Влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 50-54. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95831 539.3 На основе уточненной модели С. П. Тимошенко исследовано влияние деформаций сдвига на эффективность активного демпфирования вынужденных резонансных колебаний вязкоупругой прямоугольной пластины при помощи пьезолектрического актутаора. На основi уточненої моделi С. П. Тимошенка дослiджено вплив деформацiй зсуву на ефективнiсть активного демпфування вимушених резонансних коливань прямокутної пластин за допомогою п’єзоелектричних актуторiв. On the base of refined Timoshenko’ model, the influence of the shear deformations on the effectiveness of the active daming of forced resonance vibrations of the rectangular plates by the piezoelectric actuators is investigated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины Вплив деформацiй зсуву на ефективнiсть роботи п’єзоактуаторiв при активному демпфуваннi коливань прямокутної пластини Influence of shear deformations on the effective work of piezoelectric actuators under the active damping of vibrations of a rectangular plate Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины |
| spellingShingle |
Влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. Механіка |
| title_short |
Влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины |
| title_full |
Влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины |
| title_fullStr |
Влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины |
| title_full_unstemmed |
Влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины |
| title_sort |
влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины |
| author |
Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. |
| author_facet |
Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Вплив деформацiй зсуву на ефективнiсть роботи п’єзоактуаторiв при активному демпфуваннi коливань прямокутної пластини Influence of shear deformations on the effective work of piezoelectric actuators under the active damping of vibrations of a rectangular plate |
| description |
На основе уточненной модели С. П. Тимошенко исследовано влияние деформаций сдвига
на эффективность активного демпфирования вынужденных резонансных колебаний вязкоупругой прямоугольной пластины при помощи пьезолектрического актутаора.
На основi уточненої моделi С. П. Тимошенка дослiджено вплив деформацiй зсуву на ефективнiсть активного демпфування вимушених резонансних коливань прямокутної пластин за допомогою п’єзоелектричних актуторiв.
On the base of refined Timoshenko’ model, the influence of the shear deformations on the effectiveness
of the active daming of forced resonance vibrations of the rectangular plates by the piezoelectric
actuators is investigated.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95831 |
| citation_txt |
Влияние деформаций сдвига на эффективность работы пьезоактуаторов при активном демпфировании колебаний прямоугольной пластины / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 2. — С. 50-54. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT karnauhovvg vliâniedeformaciisdviganaéffektivnostʹrabotypʹezoaktuatorovpriaktivnomdempfirovaniikolebaniiprâmougolʹnoiplastiny AT kozlovvi vliâniedeformaciisdviganaéffektivnostʹrabotypʹezoaktuatorovpriaktivnomdempfirovaniikolebaniiprâmougolʹnoiplastiny AT karnauhovatv vliâniedeformaciisdviganaéffektivnostʹrabotypʹezoaktuatorovpriaktivnomdempfirovaniikolebaniiprâmougolʹnoiplastiny AT karnauhovvg vplivdeformaciizsuvunaefektivnistʹrobotipêzoaktuatorivpriaktivnomudempfuvannikolivanʹprâmokutnoíplastini AT kozlovvi vplivdeformaciizsuvunaefektivnistʹrobotipêzoaktuatorivpriaktivnomudempfuvannikolivanʹprâmokutnoíplastini AT karnauhovatv vplivdeformaciizsuvunaefektivnistʹrobotipêzoaktuatorivpriaktivnomudempfuvannikolivanʹprâmokutnoíplastini AT karnauhovvg influenceofsheardeformationsontheeffectiveworkofpiezoelectricactuatorsundertheactivedampingofvibrationsofarectangularplate AT kozlovvi influenceofsheardeformationsontheeffectiveworkofpiezoelectricactuatorsundertheactivedampingofvibrationsofarectangularplate AT karnauhovatv influenceofsheardeformationsontheeffectiveworkofpiezoelectricactuatorsundertheactivedampingofvibrationsofarectangularplate |
| first_indexed |
2025-11-25T23:52:39Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:52:39Z |
| _version_ |
1850588593535320064 |
| fulltext |
УДК 539.3
В. Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова
Влияние деформаций сдвига на эффективность работы
пьезоактуаторов при активном демпфировании
колебаний прямоугольной пластины
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
На основе уточненной модели С.П. Тимошенко исследовано влияние деформаций сдвига
на эфективность активного демпфирования вынужденных резонансных колебаний вяз-
коупругой прямоугольной пластины при помощи пьезолектрического актутаора.
Проблема демпфирования колебаний тонкостенных элементов конструкций является акту-
альной для многих областей современной техники: авиа-, судо-, турбостроения, строитель-
ства, электроники и др. Для этой цели широкое распространение получило пассивное демп-
фирование колебаний, при котором амплитуда колебаний уменьшается за счет включения
в конструкцию компонент с высокими гистерезисными потерями, например, вязкоупругих
слоев [1–4]. В последние годы для демпфирования колебаний стержней, пластин и оболо-
чек широко применяются активные методы, основанные на использовании пьезоэлектриче-
ских компонент. Одним из основных методов активного демпфирования колебаний являет-
ся метод, базирующийся на использовании пьезоактуаторов. При этом в структуру тонко-
стенной конструкции включаются пьезослои, выполняющие функции актуаторов. К ним
подводится разность потенциалов, которая компенсирует механическую нагрузку, так что
при совместном действии механической и электрической нагрузок уровень колебаний су-
щественно уменьшается. При использовании такого метода основной задачей является рас-
чет указанной разности потенциалов, которая зависит от многих факторов: механических
граничных условий, размещения актуаторов, их размеров и др. Обзор исследований по
этим вопросам представлен, например, в [5–10]. Для описания механического поведения
тонкостенных элементов можно выбирать различные гипотезы. Если они изготовлены из
анизотропного материала и их толщина недостаточно мала, использование классических
гипотез Кирхгоффа–Лява может привести к значительным погрешностям при расчете ука-
занной разности потенциалов. В святи с этим возникает необходимость при решении этого
вопроса применять уточненные модели тонкостенных элементов, основанные, например, на
гипотезах С.П. Тимошенко.
В настоящей статье получено аналитическое решение задачи об активном демпфирова-
нии колебаний шарнирно опертой прямоугольной пластины при помощи пъезоактуаторов.
Для моделирования колебаний пластины используются гипотезы С.П. Тимошенко [11–13].
Рассматривается пластина из ортотропного и трансверсально-изотропного вязкоупругого
материала. Для последнего случая получена очень простая формула для разности потен-
циалов, которую необходимо подвести к актуатору для компенсации механической нагрузки
при резонансных колебаниях.
Постановка задачи. Рассмотрим ортотропную вязкоупругую пластину толщиной h0
размером a × b. Края пластины шарнирно оперты. На верхней и нижней поверхностях
© В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова, 2015
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
пластины нанесены пъезослои толщиной h1 с противоположной поляризацией. На пласти-
ну действует равномерно распределенное гармоническое во времени давление p(t) = P0e
iωt
с частотой, близкой к резонансной. Для моделирования механического поведения такой
пластины применяются гипотезы С. П. Тимошенко. Универсальные соотношения (уравне-
ния движения, кинематические соотношения, механические граничные условия), описы-
вающие колебания пластины на основе этих гипотез, известны и представлены, например,
в монографии [13].
Уравнения движения имеют вид
∂T13
∂x
+
∂T23
∂y
+ p(t) = ρ̃
∂2w
∂t2
,
∂M11
∂x
+
∂H
∂y
− T13 = 0,
∂H
∂x
+
∂M22
∂y
− T23 = 0. (1)
Кинематические характеристики определяются формулами [13]
χ1 =
∂φ1
∂x
, χ2 =
∂φ2
∂y
, χ12 =
∂φ2
∂x
+
∂φ1
∂y
, ε13 =
∂w
∂x
+ φ1, ε23 =
∂w
∂y
+ φ2, (2)
где w — поперечный прогиб; φ1, φ2 характеризуют сдвиг в выражениях (2). Для гипотез
Кирхгоффа–Лява ε13 = ε23 = 0.
Специфика электромеханического поведения указанной трехслойной пластины описы-
вается определяющими уравнениями для моментов M11, M22, H и сдвиговых усилий T13,
T23:
M11 = D11(χ1 + ν21χ2) +M0, M22 = D22(ν12χ1 + χ2) +M0,
H = D12χ12, T13 = B13ε13, T23 = B23ε23,
(3)
где
M0 = (h0 + h1)γ31Va, γ31 =
d31
SE11(1 − ν)
, ν = −S
E
12
SE11
. (4)
Здесь приняты обозначения [14, 15].
За счет наличия пъезослоев жесткостные характеристики в (3) модифицируются [14, 15].
Подставляя (2) в (3), а полученный результат — в (1), записываем три уравнения движения
относительно w, φ1, φ2:
B13
(
∂2w
∂x2
+
∂φ1
∂x
)
+B23
(
∂2w
∂y2
+
∂φ2
∂y
)
+ p(t) +
(
∂2M0
∂x2
+
∂2M0
∂y2
)
= ρ̃
∂2w
∂t2
,
D11
(
∂2φ1
∂x2
+ ν21
∂2φ2
∂x∂y
)
+D12
(
∂2φ2
∂x∂y
+
∂2φ2
∂y2
)
−B13
(
∂w
∂x
+ φ1
)
= 0,
D22
(
∂2φ1
∂y2
+ ν12
∂2φ1
∂x∂y
)
+D12
(
∂2φ1
∂x∂y
+
∂2φ2
∂x2
)
−?23
(
∂w
∂y
+ φ2
)
= 0.
(5)
Решение задачи. Для шарнирного опирания торцов пластины при колебаниях по моде
(m,n), когда
P0 = pmn sin kmx sin pny, M0 = Mmn sin kmx sin pny, km =
mπ
a
,
pn =
nπ
b
, pmn =
16P0
abkmpn
, Mmn =
16M0
abkmpn
,
(6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 51
решение системы (5) может быть представлено в виде
w = wmn sin kmx sin pny,
φ1 = φ1mn cos kmx sin pny, φ2 = φ2mn sin kmx sin pny.
(7)
В результате из (1)–(6) получим следующие обыкновенное дифференциальное уравне-
ние, которое описывает изгибные колебания ортотропной пластины при совместном дейст-
вии механической и электрической нагрузок:
ρ̃ẅmn +A1
mnwmn +A2
mnMmn − Pmn = 0. (8)
Здесь
A1
mn = B13km
∆13∆22 − ∆23∆12
∆
+B12pn
∆23∆11 − ∆13∆21
∆
,
A2
mn = B13km
∆01∆22 − ∆02∆12
∆
+B23pn
∆02∆11 − ∆01∆21
∆
.
Для ортотропного материала:
∆11 = k2mD11 + p2nD12 +B13, ∆22 = k2mD12 + p2nD22 +B23,
∆12 = −(D11ν12 +D12)kmpn = ∆21, ∆13 = −∆01B13, ∆01 = km,
∆23 = −∆02B23, △02= pn, ∆ = ∆11∆22 − ∆2
12.
(9)
Для трансверсально-изотропного материала:
∆11 =
(
k2m +
1 − ν
2
pn
)
D +B′, ∆22 =
(
1 − ν
2
k2m + p2n
)
D +B′,
∆12 = ∆21 =
1 + ν
2
Dkmpn, ∆13 = −kmB′,
∆23 = −pnB′, B′ = hk2G′, D =
Eh3
12(1 − ν2)
=
Gh3
6(1 − ν2)
, k2 =
π2
12
.
(10)
Для трансверсально-изотропного материала в уравнении (8)
A1
mn = D
(k2m + p2n)2
1 + c(k2m + p2n)
, A2
mn = D
(k2m + p2n)2
1 + c(k2m + p2n)
, c =
D
B′ . (11)
Анализ решения. Из уравнения (8) для резонансных гармонических колебаний по-
лучаем
wmn =
Pmn −A2
mnMmn
A2
mn − ρ̃ω2
. (12)
Из формулы (12) видно, что резонансная частота
ωpmn =
√
A2
mn
ρ̃
(13)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
Из той же формулы следует, что, если
Mmn =
Pmn
A2
mn
, (14)
при учете вязкости
wmn = 0. (15)
Для трансверсально-изотропного материала из (8) и (11) имеем wmn = 0 при
Va =
P
(h0 + h1)γ31
1
k2m + p2n
[1 + c(k2m + p2n)], (16)
или
V T
a = V K
a [1 + c(k2m + p2n)], (17)
где V T
a , V K
a — разность потенциалов, рассчитанная по гипотезе С. П. Тимошенко и Кирхгоф-
фа–Лява соответственно. Как видно из (17), для компенсации механической нагрузки учет
сдвига приводит к увеличению разности потенциалов, которую необходимо подвести к акту-
атору для компенсации заданной механической нагрузки.
Если выбрать поправочный коэффициент k2 = π2/12, то в формуле (17)
c =
(
D
B′
)
=
(
2
1 − ν
)(
G
G′
)(
h
a
)2[
m2 +
(
a
b
)2
n2
]
.
Тогда
V yt
a = V kl
a
{
1 +
2
1 − ν
(
G
G′
)(
h
a
)2[
m2 +
(
a
b
)2
n2
]}
. (18)
Для основной моды m = n = 1 и из формулы (18) следует
V yt
a = V kl
a
{
1 +
2
1 − ν
(
G
G′
)(
h
a
)2[
1 +
(
a
b
)2]}
. (19)
При этом поправка к классическому результату зависит от отношения модулей сдвигов
трансверсально-изотропного материала (G/G′) и отношения толщины пластины к планар-
ному размеру a. В зависимости от их значений величина поправки может быть достаточно
большой.
1. Матвеев В.В. Демпфирование колебаний деформируемых тел. – Киев: Наук. думка, 1985. – 264 с.
2. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний. – Москва: Мир, 1988. – 448 с.
3. Савченко Е.В. Пассивное демпфирование колебаний композитных конструкцiй. – Нежин: ООО
“Изд.-во Аспект – Полиграф”. – 2006. – 232 с.
4. Jones D. I.G. Handbook of viscoelastic vibration damping. – New York: Wiley, 2001. – 410 p.
5. Batra R.C., Porfiri M., Spinello D. Review of modeling electrostatically actuated microelectromechanical
systems // Smart Mater. Struct. – 2007. – 16. – P. R23-R31.
6. Gabbert U., Tzou H. S. Smart structures and structronic systems. – Dordrecht: Kluwer, 2001. – 384 p.
7. Encyclopedia of smart materials (by Mel Schwartz). – New York: Wiley, 2002. – 1176 p.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №2 53
8. Rao S. S., Sunar M. Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and control оf structure: A survey //
Appl. mech. rev. – 1994. – 47, No 44. – P. 113–123.
9. Tani J., Takagi T., Qiu J. Intelligent material systems: Applications of functional materials // Ibid. –
1998. – 51, No 8. – P. 505–521.
10. Tzou H. S., Bergman L.A. Dynamics and control of distributed systems. – Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1998. – 400 p.
11. Карнаухов В. Г., Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Уточнена термомеханiчна модель композитних обо-
лонок типу Тимошенка з розподiленими трансверсально-iзотропними актуаторами при моногармонi-
чному навантаженнi // Прикл. пробл. механiки i математики. – 2006. – Вип. 4. – С. 84–95.
12. Карнаухов В. Г., Жук Я.А., Карнаухова Т.В. Уточнена термомеханiчна модель вимушених гармо-
нiчних коливань фiзично нелiнiйної оболонки з розподiленими трансверсально-iзотропними актуато-
рами // Доп. НАН України. – 2007. – № 6. – С. 50–55.
13. Луговой П. З., Мейш В.Ф., Штанцель Э.А. Нестационарная динамика неоднородных оболочечных
конструкций. – Киев: Изд.-полиграф. центр “Киев. университет”, 2005. – 536 с.
14. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н. А. Механика связанных полей в элементах конструкций.
Электроупругость. – Т. 5. – Киев: Наук. думка, 1989. – 290 с.
15. Карнаухов В. Г., Киричок И.Ф. Механика связанных полей в элементах конструкций. Электротер-
мовязкоупругость. – Т. 4. – Киев: Наук. думка, 1988. – 320 с.
Поступило в редакцию 01.10.2014Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
НТУ Украины “Киевский политехнический институт”
В. Г. Карнаухов, В. I. Козлов, Т.В. Карнаухова
Вплив деформацiй зсуву на ефективнiсть роботи п’єзоактуаторiв
при активному демпфуваннi коливань прямокутної пластини
На основi уточненої моделi С.П. Тимошенка дослiджено вплив деформацiй зсуву на ефек-
тивнiсть активного демпфування вимушених резонансних коливань прямокутної пластин
за допомогою п’єзоелектричних актуторiв.
V.G. Karnaukhov, V. I. Kozlov, T.V. Karnaukhova
Influence of shear deformations on the effective work of piezoelectric
actuators under the active damping of vibrations of a rectangular plate
On the base of refined Timoshenko’ model, the influence of the shear deformations on the effective-
ness of the active daming of forced resonance vibrations of the rectangular plates by the piezoelectric
actuators is investigated.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №2
|