Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей
Для выпуклой области D, границей которой является гиперповерхность ∂D ограниченной нормальной кривизны, доказаны теоремы сравнения углов между ∂D и геодезическими из фиксированной точки в D с соответствующими углами для поверхностей постоянной нормальной кривизны, а также теоремы сравнения для опор...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95886 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей / А.А. Борисенко, К.Д. Драч // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 3. — С. 11-16. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859805722191069184 |
|---|---|
| author | Борисенко, А.А. Драч, К.Д. |
| author_facet | Борисенко, А.А. Драч, К.Д. |
| citation_txt | Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей / А.А. Борисенко, К.Д. Драч // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 3. — С. 11-16. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Для выпуклой области D, границей которой является гиперповерхность ∂D ограниченной нормальной кривизны, доказаны теоремы сравнения углов между ∂D и геодезическими из фиксированной точки в D с соответствующими углами для поверхностей
постоянной нормальной кривизны, а также теоремы сравнения для опорных функций
таких гиперповерхностей. Как следствие, получена теорема прокатывания Бляшке.
Для опуклої областi D, межею якої є гiперповерхня ∂D обмеженої нормальної кривини,
доведено теореми порiвняння кутiв мiж ∂D та геодезичними з фiксованої точки в D i вiдповiдними кутами для поверхонь сталої нормальної кривини, а також теореми порiвняння
для опорних функцiй таких гiперповерхонь. Як наслiдок, отримано теорему прокачування Бляшке.
For a convex domain D that is enclosed by the hypersurface ∂D of bounded normal curvature, we
prove an angle comparison theorem for the angles between ∂D and geodesic rays starting from some
fixed point in D, and the corresponding angles for hypersurfaces of constant normal curvature. We
obtain a comparison theorem for the support functions of such surfaces. As a corollary, we present
a proof of Blaschke’s rolling theorem.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:16:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.764.274
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Борисенко, К. Д. Драч
Теорема сравнения для опорных функций
гиперповерхностей
Для выпуклой области D, границей которой является гиперповерхность ∂D ограни-
ченной нормальной кривизны, доказаны теоремы сравнения углов между ∂D и геодези-
ческими из фиксированной точки в D с соответствующими углами для поверхностей
постоянной нормальной кривизны, а также теоремы сравнения для опорных функций
таких гиперповерхностей. Как следствие, получена теорема прокатывания Бляшке.
Известна следующая теорема В. Бляшке:
Теорема прокатывания Бляшке. Пусть M
m(c) — m-мерное пространство посто-
янной кривизны, равной c, D ⊂ M
m(c) — выпуклое тело с Cr-гладкой границей, r > 2,
и P ∈ ∂D — произвольная точка.
A. Если нормальные кривизны kn гиперповерхности ∂D во всех точках и по всем на-
правлениям удовлетворяют неравенству kn > λ > 0 для некоторой константы λ, то ги-
перповерхность ∂D целиком лежит в замкнутой выпуклой области, ограниченной полной
гиперповерхностью ∂Dλ постоянной нормальной кривизны, равной λ, касающейся ∂D в P .
B. Если нормальные кривизны гиперповерхности ∂D во всех точках и по всем направ-
лениям удовлетворяют неравенству λ > kn, то гиперповерхность ∂Dλ, касающаяся ∂D
в точке P , целиком лежит в D.
При этом гиперповерхности ∂D и ∂Dλ могут пересекаться только по области, со-
держащей точку P .
Для евклидова пространства эта теорема была впервые доказана в [1]; в общем случае
пространств постоянной кривизны см. [2–4].
Оказывается, что теорема прокатывания Бляшке является следствием следующих тео-
рем сравнения углов между радиус-вектором гиперповерхности и нормалями к ней. Для их
формулировки введем необходимые обозначения.
Везде далее M
m — это полное односвязное m-мерное риманово многообразие, секцион-
ные кривизны Kσ которого по каждой двумерной площадке σ ⊂ TMm удовлетворяют нера-
венству c2 > Kσ > c1 для некоторых констант c1 и c2. Обозначим через D ⊂M
m замкнутую
область, граница ∂D которой — Cr-гладкая гиперповерхность, r > 2. При этом в случае
c2 > 0 будем считать, что область D лежит внутри геодезической сферы радиуса π/(2
√
c2).
Также обозначим через tQ(·) = dist(Q, ·) функцию расстояния от некоторой точки Q ∈
∈ D, заданную на M
m\{Q}, а через ∂tQ — градиент функции tQ, и пусть ρQ — ограничение tQ
на ∂D: ρQ(·) = tQ(·)|∂D.
С учетом введенных обозначений справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть D ⊂ M
m и Dk1 ⊂ M
m(c1) — замкнутые области такие, что нор-
мальные кривизны kn гиперповерхности ∂D в каждой точке и в каждом направлении
относительно единичного внутреннего поля нормалей N удовлетворяют неравенству
kn > k1 > 0,
© А.А. Борисенко, К.Д. Драч, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №3 11
а нормальные кривизны ∂Dk1 постоянны и равны k1 относительно внутреннего поля нор-
малей N1. И пусть точки O ∈ D, O1 ∈ Dk1 такие, что dist(O, ∂D) = dist(O1, ∂Dk1). Тогда
в тех точках P ∈ ∂D и P1 ∈ ∂Dk1 , для которых
ρO(P ) = ρO1
(P1),
выполняется неравенство
|〈N, ∂tO 〉|(P ) > |〈N1, ∂tO1
〉|(P1). (1)
Напомним, что опорной функцией гиперповерхности ∂D ⊂M
m относительно некоторой
точки Q ∈ D называется функция
hQ = ρQ · |〈N, ∂tQ〉|,
заданная на ∂D (см. [5, гл. 6, §5]).
Из теоремы 1 следует теорема сравнения для опорных функций.
Теорема 2. Пусть D ⊂ M
m и Dk1 ⊂ M
m(c1) — замкнутые области такие, что нор-
мальные кривизны kn гиперповерхности ∂D удовлетворяют неравенству
kn > k1 > 0,
а нормальные кривизны ∂Dk1 постоянны и равны k1. И пусть точки O ∈ D, O1 ∈ Dk1
такие, что dist(O, ∂D) = dist(O1, ∂Dk1). Тогда в точках P ∈ ∂D и P1 ∈ ∂Dk1 , для которых
ρO(P ) = ρO1
(P1), выполняется неравенство
hO(P ) > hO1
(P1).
Для теорем 1 и 2 справедлива двойственная к ним следующая теорема.
Теорема 3. Пусть D ⊂ M
m и Dk2 ⊂ M
m(c2) — замкнутые области такие, что нор-
мальные кривизны kn гиперповерхности ∂D относительно единичного внутреннего поля
нормалей N удовлетворяют неравенству
k2 > kn > 0,
а нормальные кривизны ∂Dk2 постоянны и равны k2 относительно внутреннего поля нор-
малей N2. И пусть точки O ∈ D и O2 ∈ Dk2 такие, что dist(O, ∂D) = dist(O2, ∂Dk2).
Тогда в точках P ∈ ∂D и P2 ∈ ∂Dk2 , для которых расстояния ρO(P ) и ρO2
(P2) равны,
выполняются неравенства
|〈N2, ∂tO2
〉| > |〈N, ∂t〉|,
hO2
> hO.
Замечание 1. Для справедливости теоремы 3 достаточно ограничения c2 > Kσ на се-
кционные кривизны многообразия M
m.
Замечание 2. Теоремы 1–3 останутся в силе, если заменить выпуклую область D на
звездную относительно точки O область, нормальные кривизны границы которой ограни-
чены сверху или снизу произвольным числом λ.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №3
Доказательство теоремы 1. Мы изложим здесь доказательство, в котором исполь-
зуется та же техника, что и в [6], но более простое.
Пусть Q ∈ ∂D и Q1 ∈ ∂Dk1 — такие точки, что dist(O, ∂D) = tO(Q) и dist(O1, ∂Dk1) =
= tO1
(Q1). Обозначим d = tO(Q) = tO1
(Q1). Заметим, что в этих точках неравенство (1)
выполнено.
На многообразиях M
m и M
m(c1) введем полярные системы координат с началами в точ-
ках O и O1 соответственно. По условию теоремы обе гиперповерхности лежат в области
регулярности таких систем координат. Более того, в силу положительной определенности
вторых фундаментальных форм, гиперповерхности ∂D и ∂Dk1 ограничивают выпуклые
области. А значит, обе они могут быть заданы в полярной системе координат явно. Рассмот-
рим интегральные траектории γ(t) и γ1(t) векторных полей градиентов функций ρO и ρO1
,
проходящие через точки P и P1 и параметризованные расстоянием t от начала координат.
При этом γ(d) = Q и γ1(d) = Q1. Вдоль этих интегральных траекторий в силу сказанного
выше справедливы равенства (см. [7])
kn(t) = |〈N, ∂tO 〉|(t) · µn(t) +
d
dt
|〈N, ∂tO 〉|, (2)
k1 = |〈N1, ∂tO1
〉|(t) · µc1n (t) +
d
dt
|〈N1, ∂tO1
〉|, (3)
где µc1n (t) — нормальная кривизна сферы радиуса t в M
m(c1), взятая относительно вну-
тренних нормалей, а нормальные кривизны kn и µn взяты в точке γ(t) в направлениях
соответственно вектора γ̇(t) и его проекции на касательное пространство Tγ(t)S
m−1 к гео-
дезической сфере Sm−1 ⊂ M
m радиуса t с центром в точке O.
Как известно, µc1n (t) = sn′c1(t)/snc1(t), где
snc1(t) =
1√
c1
sin
√
c1t, если c1 > 0,
t, если c1 = 0,
1√−c1
sinh
√
−c1t, если c1 < 0.
По теореме сравнения для нормальных кривизн сфер (см. [8, гл. 6, § 5]) имеем
µc1n (t) > µn(t). (4)
Вычтем равенство (3) из равенства (2). Учитывая (4) и неравенство kn > k1 между
нормальными кривизнами из условия теоремы, получим
0 6 kn(t)− k1 6
d
dt
(|〈N, ∂tO 〉|− |〈N1, ∂tO1
〉|)+ µc1n (t)(|〈N, ∂tO 〉|− |〈N1, ∂tO1
〉|). (5)
Обозначим f(t) = |〈N, ∂tO 〉|(t) − |〈N1, ∂tO1
〉|(t). В силу (5) функция f удовлетворяет
следующему дифференциальному неравенству:
f ′(t) +
sn′c1(t)
snc1(t)
f(t) > 0. (6)
И так как snc1(t) > 0 для всех положительных значений t, то (6) эквивалентно условию
(f(t) · snc1(t))′ > 0. (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №3 13
Таким образом, функция f · snc1 является монотонно возрастающей. При этом
f(d) · snc1(d) = 0. А значит, для всех значений t, больших d, мы имеем f(t) > 0. И если зна-
чение t = l > d соответствует точкам P и P1, то f(l) = |〈N, ∂tO 〉|(P ) − |〈N1, ∂tO1
〉|(P1) > 0,
что и требовалось показать.
Замечание 3. Теорема 1 справедлива также в случае, когда M
m — пространство де Сит-
тера S
m
1 (c) постоянной положительной секционной кривизны, равной c, а ∂D ⊂ S
m
1 (c) —
связная пространственно подобная гиперповерхность, являющаяся графиком над стандар-
тной единичной сферой Sm−1. Такие поверхности называются ахроническими (см. [9]).
Справедливость теоремы следует из того, что формула (2) в таком же виде переносится на
случай пространства де Ситтера и, более того, связного лоренцева глобально гиперболичес-
кого многообразия с компактной гиперповерхностью Коши, практически дословно следуя
выкладкам из [7]. После чего можно повторить все выкладки из приведенного доказатель-
ства.
Покажем теперь, что теорема Бляшке является следствием теорем 1 и 3. Начнем с пун-
кта А. Введем на M
m(c) полярную систему координат с центром в точке O ∈ D такой, что
длина геодезического отрезка OP равна dist(O, ∂D). Пусть (t, θ1, . . . , θm−1) — соответст-
вующие координаты. Можем также считать, что в этой системе координат точка P имеет
координаты (dist(O, ∂D), 0, . . . , 0).
Во введенной системе координат, в силу выпуклости областей D и Dλ, гиперповерхности
∂D и ∂Dλ, ограничивающие эти области, могут быть заданы явно
∂D : t = p(θ1, . . . , θm−1), ∂Dλ : t = q(θ1, . . . , θm−1), (8)
причем p(0, . . . , 0) = q(0, . . . , 0).
Используя задание (8), получаем
|〈N, ∂t〉| =
1√
1 + | gradM p|2
, |〈N1, ∂t〉| =
1√
1 + | gradM q|2
, (9)
где N и N1 — единичные внешние нормали к ∂D и ∂Dλ соответственно; ∂t — координат-
ное векторное поле, касательное к геодезическим из O; gradM — оператор градиента на
многообразии M
m(c).
Если точки Q ∈ ∂D, Q1 ∈ ∂Dλ таковы, что dist(O,Q) = dist(O,Q1), то, в силу (9)
и теоремы 1, в них выполняется неравенство
| gradM p|(Q) 6 | gradM q|(Q1).
Дальнейшие рассуждения совпадают с таковыми в [6]. Из них следует, что q > p для
всех значений угловых параметров θi. Это и доказывает пункт A.
Рассмотрим теперь случай B теоремы Бляшке. Легко проследить, что для плоского
случая m = 2 справедливы выкладки, аналогичные выкладкам из [6] для случая кривых.
В то же время при m > 2 аргументы из [6] напрямую не проходят, поэтому будем дей-
ствовать иначе.
Если M
m(c) = E
m, то пункт B теоремы Бляшке следует из двумерного случая при по-
мощи проектирования. Действительно, если π ⊂ E
m — произвольная двумерная плоскость,
параллельная вектору нормали к ∂D в точке P , то ортогональная проекция Prπ(∂D) гипер-
поверхности ∂D на эту плоскость будет кривой, кривизна которой не превосходит λ (см. [1]).
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №3
Если c 6= 0, рассмотрим полярное преобразование (см. [10, теорема 2.4] и [11, теоре-
ма 4.9]) гиперповерхности ∂D, образом которого будет Cr-гладкая гиперповерхность ∂D∗,
лежащая в случае c > 0 в сфере, а в случае c < 0 — в пространстве де Ситтера. При этом
нормальные кривизны ∂D∗ во всех точках и по всем направлениям будут удовлетворять
неравенству kn > 1/λ. Для гиперповерхности ∂D∗ справедлив пункт A теоремы Бляшке
(при этом стоит отметить, что для пространства де Ситтера выкладки из доказательства
пункта A, с учетом замечания 3, переносятся практически дословно). Значит, ∂D∗ будет ле-
жать в замкнутой выпуклой области, ограниченной гиперповерхностью ∂D1/λ постоянной
нормальной кривизны, равной 1/λ, касающейся ∂D∗ в любой заданной точке. Делая еще
раз полярное преобразование для ∂D∗ и ∂D1/λ, мы получим, что полная гиперповерхность
∂Dλ = (∂D1/λ)
∗ постоянной нормальной кривизны, равной λ, касающаяся ∂D в точке P ,
будет лежать в D, что и требовалось.
Замечание 4. Теорема Бляшке справедлива и в негладком случае, в частности, когда
∂D — λ-выпуклая или λ-вогнутая гиперповерхность (для определений см., например, [6]).
Такая обобщенная теорема Бляшке получается из гладкого случая и теории усреднения
(см. [12, утверждение 6]).
1. Бляшке В. Круг и шар. – Москва: Наука, 1967. – 232 с.
2. Karcher H. Umkreise und Inkreise konvexer Kurven in der spharischen und der hyperbolischen Geometrie //
Math. Ann. – 1968. – 177. – P. 122–132.
3. Милка А.Д. Об одной теореме Шура–Шмидта // Укр. геом. сб. – 1970. – 8. – С. 95–102.
4. Howard R. Blaschke’s rolling theorem for manifolds with boundary // Manuscripta Math. – 1999. – 99,
No 4. – P. 471–483.
5. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. – Ленинград: Наука, 1980. – 288 с.
6. Борисенко А.А., Драч К.Д. О сферичности гиперповерхностей с ограниченной снизу нормальной
кривизной // Мат. сб. – 2013. – 204, No 11. – С. 21–40.
7. Borisenko A.A. Convex sets in Hadamard manifolds // Different. Geom. and its Appl. – 2002. – 17. –
P. 111–121.
8. Petersen P. Riemannian geometry (Graduate texts in mathematics; Vol. 171). – New York: Springer,
1998. – 432 p.
9. Gerhardt C. Hypersurfaces of prescribed curvature in Lorentzian manifolds // Indiana Univ. Math. J. –
2000. – 49, No 3. – P. 1125–1153.
10. Gerhardt C. Minkowski type problems for convex hypersurfaces in the sphere // Pure and Appl. Math.
Quart. Leon Simon spec. iss. pt. I. – 2007. – 3, No 2. – P. 417–449.
11. Gerhardt C. Minkowski type problems for convex hypersurfaces in hyperbolic space // arXiv: math.
DG/0602597. – 2006. – 32 p.
12. Parkkonen J., Paulin F. On strictly convex subsets in negatively curved manifolds // J. Geom. Anal. –
2012. – 22, No 3. – P. 621–632.
Поступило в редакцию 08.10.2014Сумской государственный университет
Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
Член-кореспондент НАН України О.А. Борисенко, К.Д. Драч
Теорема порiвняння для опорних функцiй гiперповерхонь
Для опуклої областi D, межею якої є гiперповерхня ∂D обмеженої нормальної кривини,
доведено теореми порiвняння кутiв мiж ∂D та геодезичними з фiксованої точки в D i вiд-
повiдними кутами для поверхонь сталої нормальної кривини, а також теореми порiвняння
для опорних функцiй таких гiперповерхонь. Як наслiдок, отримано теорему прокачування
Бляшке.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №3 15
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.A. Borisenko, K.D. Drach
Comparison theorem for the support functions of hypersurfaces
For a convex domain D that is enclosed by the hypersurface ∂D of bounded normal curvature, we
prove an angle comparison theorem for the angles between ∂D and geodesic rays starting from some
fixed point in D, and the corresponding angles for hypersurfaces of constant normal curvature. We
obtain a comparison theorem for the support functions of such surfaces. As a corollary, we present
a proof of Blaschke’s rolling theorem.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-95886 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:16:32Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Борисенко, А.А. Драч, К.Д. 2016-03-07T14:38:49Z 2016-03-07T14:38:49Z 2015 Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей / А.А. Борисенко, К.Д. Драч // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 3. — С. 11-16. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95886 514.764.274 Для выпуклой области D, границей которой является гиперповерхность ∂D ограниченной нормальной кривизны, доказаны теоремы сравнения углов между ∂D и геодезическими из фиксированной точки в D с соответствующими углами для поверхностей постоянной нормальной кривизны, а также теоремы сравнения для опорных функций таких гиперповерхностей. Как следствие, получена теорема прокатывания Бляшке. Для опуклої областi D, межею якої є гiперповерхня ∂D обмеженої нормальної кривини, доведено теореми порiвняння кутiв мiж ∂D та геодезичними з фiксованої точки в D i вiдповiдними кутами для поверхонь сталої нормальної кривини, а також теореми порiвняння для опорних функцiй таких гiперповерхонь. Як наслiдок, отримано теорему прокачування Бляшке. For a convex domain D that is enclosed by the hypersurface ∂D of bounded normal curvature, we prove an angle comparison theorem for the angles between ∂D and geodesic rays starting from some fixed point in D, and the corresponding angles for hypersurfaces of constant normal curvature. We obtain a comparison theorem for the support functions of such surfaces. As a corollary, we present a proof of Blaschke’s rolling theorem. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей Теорема порiвняння для опорних функцiй гiперповерхонь Comparison theorem for the support functions of hypersurfaces Article published earlier |
| spellingShingle | Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей Борисенко, А.А. Драч, К.Д. Математика |
| title | Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей |
| title_alt | Теорема порiвняння для опорних функцiй гiперповерхонь Comparison theorem for the support functions of hypersurfaces |
| title_full | Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей |
| title_fullStr | Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей |
| title_full_unstemmed | Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей |
| title_short | Теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей |
| title_sort | теорема сравнения для опорных функций гиперповерхностей |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/95886 |
| work_keys_str_mv | AT borisenkoaa teoremasravneniâdlâopornyhfunkciigiperpoverhnostei AT dračkd teoremasravneniâdlâopornyhfunkciigiperpoverhnostei AT borisenkoaa teoremaporivnânnâdlâopornihfunkciigiperpoverhonʹ AT dračkd teoremaporivnânnâdlâopornihfunkciigiperpoverhonʹ AT borisenkoaa comparisontheoremforthesupportfunctionsofhypersurfaces AT dračkd comparisontheoremforthesupportfunctionsofhypersurfaces |